Retta. Linee parallele

Che giacciono sullo stesso piano e coincidono oppure non si intersecano. In qualche definizioni scolastiche le rette coincidenti non sono considerate parallele; tale definizione non viene qui considerata.

Proprietà

1. Il parallelismo è una relazione di equivalenza binaria, quindi divide l'intero insieme di linee in classi di linee parallele tra loro.
2. Per ogni punto si può tracciare esattamente una linea retta parallela a quella data. Questa è una proprietà distintiva della geometria euclidea; in altre geometrie il numero 1 è sostituito da altri (nella geometria Lobachevskij esistono almeno due di queste linee)
3. 2 rette parallele nello spazio giacciono sullo stesso piano.
4. Quando 2 linee parallele si intersecano, una terza, chiamata secante:
   1. La secante interseca necessariamente entrambe le rette.
   2. Quando si intersecano, si formano 8 angoli, alcune delle quali coppie caratteristiche hanno nomi e proprietà speciali:
      1. Sdraiato di traverso gli angoli sono uguali.
      2. Pertinente gli angoli sono uguali.
      3. Unilaterale la somma degli angoli ammonta a 180°.

Nella geometria Lobachevskij

Nella geometria Lobachevskij il piano passa per un punto Impossibile analizzare l'espressione ( errore lessicale): Cal di fuori di questa linea $AB$

Esistono infinite linee rette che non si intersecano UNB. Di questi, parallelamente a UNB solo due sono nominati.

Dritto CE chiamata linea equilatera (parallela). UNB nella direzione da UN A B, Se:

1. punti B E E giacciono su un lato di una linea retta UNC ;
2. Dritto CE non interseca la linea UNB, ma ogni raggio passante per un angolo UNCE, attraversa il raggio UNB .

Una linea retta è definita in modo simile UNB nella direzione da B A UN .

Vengono chiamate tutte le altre linee che non intersecano questa ultraparallelo O divergente.

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per l'insegnante. AB|| Album didattico di 12 fogli. Divisibilità…E

Non si intersecano, non importa per quanto tempo continuano. Il parallelismo delle linee rette nella scrittura è indicato come segue:

CON

La possibilità dell'esistenza di tali linee è dimostrata dal teorema..

Teorema. AB Per ogni punto preso al di fuori di una linea data si può tracciare un punto parallelo a questa linea Permettere questa linea retta e Permettere CON qualche punto preso al di fuori di esso. È necessario dimostrarlo fino in fondoAB puoi disegnare una linea retta AB parallelo Permettere . Abbassiamolo aPermetteredal punto perpendicolare PermettereE^ Permetteredal punto D e poi condurremo, cosa è possibile. Dritto AB.

CE e poi condurremo parallelo AB Per dimostrarlo, supponiamo il contrario, cioè che interseca ad un certo punto interseca M Permetteredal punto. Quindi dal punto intersecadal punto ad una linea retta avremmo due perpendicolari diverse E e poi condurremo SM AB, il che è impossibile. Significa, PermettereE, cosa è possibile. Dritto AB.

non posso incrociarmi

, cioè.EConseguenza.Due perpendicolari (CEdal puntoD.B.

) ad una linea retta (C

Per lo stesso punto non è possibile tracciare due linee diverse parallele alla stessa linea.

Quindi, se dritto Permetteredal punto, disegnato attraverso il punto Permettere parallelo alla linea AB, quindi ogni altra riga PermettereE, tracciato attraverso lo stesso punto Permettere, non può essere parallelo AB, cioè. lei è in continuazione si intersecherà Con AB.

Dimostrare questa verità non del tutto ovvia risulta essere impossibile. È accettato senza prova, come presupposto necessario (postulatum).

Conseguenze.

1. Se Dritto(PermettereE) si interseca con uno di parallelo(NE), quindi si interseca con un altro ( AB), perché altrimenti attraverso lo stesso punto Permettere ci sarebbero due linee diverse che passano parallele AB, il che è impossibile.

2. Se ciascuno dei due diretto (UNConseguenza.B) sono parallele alla stessa terza linea ( Permettere) , Allora loro parallelo tra loro.

Infatti, se lo assumiamo UN ad una linea retta B si intersecano ad un certo punto interseca, allora passerebbero due diverse rette parallele a questo punto Permettere, il che è impossibile.

Teorema.

Se la linea è perpendicolare ad una delle rette parallele allora è perpendicolare all'altra parallelo.

Teorema. AB || Album didattico di 12 fogli. Divisibilità…dal punto ad una linea retta EF ^ AB.È necessario dimostrarlo EF ^ Permetteredal punto.

PerpendicolareEF, intersecandosi con AB, attraverserà sicuramente e Permetteredal punto. Sia il punto di intersezione H.

Assumiamolo ora Permetteredal punto non perpendicolare a E.H.. Poi qualche altra linea retta, per esempio HK., sarà perpendicolare a E.H. e quindi attraverso lo stesso punto H ce ne saranno due rettilineo parallelo AB: uno Permetteredal punto, per condizione, e l'altro HK. come dimostrato in precedenza. Poiché ciò è impossibile, non è possibile presumerlo NE non era perpendicolare a E.H..

Il concetto di rette parallele

Definizione 1

Grande dizionario enciclopedico– Le rette che giacciono sullo stesso piano non coincidono e non hanno punti in comune.

Se le linee rette hanno un punto in comune, allora intersecare.

Se tutti i punti sono dritti incontro, allora abbiamo essenzialmente una linea retta.

Se le linee giacciono su piani diversi, le condizioni per il loro parallelismo sono leggermente maggiori.

Considerando rette sullo stesso piano si può dare la seguente definizione:

Definizione 2

Si chiamano due rette in un piano parallelo, se non si intersecano.

In matematica, le rette parallele sono solitamente indicate con il segno di parallelismo “$\parallel$”. Ad esempio, il fatto che la linea $c$ sia parallela alla linea $d$ è indicato come segue:

$c\parallelo d$.

Viene spesso preso in considerazione il concetto di segmenti paralleli.

Definizione 3

I due segmenti vengono chiamati parallelo, se giacciono su rette parallele.

Ad esempio, nella figura i segmenti $AB$ e $CD$ sono paralleli, perché appartengono a rette parallele:

$AB \parallelo CD$.

Allo stesso tempo i segmenti $MN$ e $AB$ oppure $MN$ e $CD$ non sono paralleli. Questo fatto può essere scritto usando i simboli come segue:

$MN ∦ AB$ e $MN ∦ CD$.

In modo analogo si determina il parallelismo di una retta e di un segmento, di una retta e di una semiretta, di un segmento e di una semiretta o di due raggi.

Riferimento storico

Dal greco il concetto di “parallelos” viene tradotto come “avvicinarsi” o “tenere uno accanto all’altro”. Questo termine è stato utilizzato in scuola antica Pitagora ancor prima che fossero definite le rette parallele. Secondo fatti storici Euclide nel III$ secolo. AVANTI CRISTO. le sue opere rivelano tuttavia il significato del concetto di rette parallele.

Nei tempi antichi, il simbolo per indicare le rette parallele aveva un aspetto diverso da quello che usiamo nella matematica moderna. Ad esempio, l'antico matematico greco Pappo nel $III$ secolo. ANNO DOMINI il parallelismo è stato indicato utilizzando un segno di uguale. Quelli. il fatto che la linea $l$ sia parallela alla linea $m$ era precedentemente indicato con “$l=m$”. Successivamente, il familiare segno “$\parallel$” cominciò ad essere usato per denotare il parallelismo delle linee, e il segno uguale cominciò ad essere usato per denotare l’uguaglianza di numeri ed espressioni.

Linee parallele nella vita

Spesso non ci accorgiamo di ciò che ci circonda nella vita di tutti i giorni. numero enorme linee parallele. Ad esempio, in un libro di musica e in una raccolta di brani con note, il rigo è realizzato utilizzando linee parallele. Si trovano anche linee parallele strumenti musicali(ad esempio corde di arpa, corde di chitarra, tasti di pianoforte, ecc.).

Anche i cavi elettrici che si trovano lungo le strade e le strade corrono paralleli. Rotaie della linea metropolitana e linee ferroviarie si trovano in parallelo.

Oltre che nella vita quotidiana, linee parallele si ritrovano nella pittura, nell’architettura e nella costruzione degli edifici.

Linee parallele in architettura

Nelle immagini presentate, le strutture architettoniche contengono linee parallele. L'uso di linee parallele nella costruzione aiuta ad aumentare la durata di tali strutture e conferisce loro straordinaria bellezza, attrattiva e grandiosità. Inoltre, le linee elettriche sono volutamente disposte in parallelo per evitare di incrociarle o toccarle, cosa che comporterebbe cortocircuiti, interruzioni e perdite di elettricità. Affinché il treno possa muoversi liberamente, anche le rotaie sono realizzate in linee parallele.

Nella pittura, le linee parallele sono raffigurate come convergenti in una linea o vicine ad essa. Questa tecnica è chiamata prospettiva, che deriva dall'illusione della visione. Se guardi a lungo in lontananza, le linee parallele sembreranno due linee convergenti.

Questo articolo riguarda le rette parallele e le rette parallele. Innanzitutto viene data la definizione di rette parallele nel piano e nello spazio, vengono introdotte notazioni, vengono forniti esempi e illustrazioni grafiche di rette parallele. Successivamente vengono discussi i segni e le condizioni per il parallelismo delle linee. In conclusione, vengono mostrate soluzioni ai problemi tipici di dimostrazione del parallelismo delle linee, che sono date da alcune equazioni di una linea in un sistema di coordinate rettangolari su un piano e nello spazio tridimensionale.

Navigazione della pagina.

Rette parallele: informazioni di base.

Definizione.

Si chiamano due rette in un piano parallelo, se non hanno punti comuni.

Definizione.

Si chiamano due linee nello spazio tridimensionale parallelo, se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

Tieni presente che la clausola "se giacciono sullo stesso piano" nella definizione di linee parallele nello spazio è molto importante. Chiariamo questo punto: due linee nello spazio tridimensionale che non hanno punti in comune e non giacciono sullo stesso piano non sono parallele, ma si intersecano.

Ecco alcuni esempi di rette parallele. Bordi opposti foglio di quaderno giacciono su rette parallele. Le linee rette lungo le quali il piano del muro della casa interseca i piani del soffitto e del pavimento sono parallele. Binari ferroviari in piano possono anche essere considerate come linee parallele.

Per indicare linee parallele, utilizzare il simbolo "". Cioè, se le linee a e b sono parallele, allora possiamo scrivere brevemente a b.

Nota: se le linee a e b sono parallele, allora possiamo dire che la linea a è parallela alla linea b, e anche che la linea b è parallela alla linea a.

Esprimiamo un'affermazione che gioca un ruolo importante nello studio delle rette parallele su un piano: per un punto che non giace su una retta data passa l'unica retta parallela a quella data. Questa affermazione è accettata come un fatto (non può essere dimostrata sulla base dei noti assiomi della planimetria) e viene chiamata assioma delle rette parallele.

Nel caso dello spazio vale il teorema: per ogni punto dello spazio che non giace su una retta data passa un'unica retta parallela a quella data. Questo teorema è facilmente dimostrabile utilizzando l'assioma delle rette parallele sopra (puoi trovarne la dimostrazione nel libro di testo di geometria per i gradi 10-11, che è elencato alla fine dell'articolo nell'elenco dei riferimenti).

Nel caso dello spazio vale il teorema: per ogni punto dello spazio che non giace su una retta data passa un'unica retta parallela a quella data. Questo teorema può essere facilmente dimostrato utilizzando l'assioma delle rette parallele sopra riportato.

Parallelismo delle rette - segni e condizioni del parallelismo.

Un segno di parallelismo delle lineeè una condizione sufficiente affinché le rette siano parallele, cioè una condizione il cui adempimento garantisce che le rette siano parallele. In altre parole, l'adempimento di questa condizione è sufficiente per stabilire il fatto che le rette sono parallele.

Esistono anche condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle linee su un piano e nello spazio tridimensionale.

Spieghiamo il significato della frase “condizione necessaria e sufficiente per rette parallele”.

Abbiamo già trattato la condizione sufficiente per rette parallele. E cos'è " condizione necessaria parallelismo delle rette"? Dal nome “necessario” è chiaro che l'adempimento di questa condizione è necessario per le linee parallele. In altre parole, se la condizione necessaria affinché le linee siano parallele non è soddisfatta, allora le linee non sono parallele. Così, condizione necessaria e sufficiente per rette paralleleè una condizione il cui adempimento è necessario e sufficiente per le linee parallele. Cioè, da un lato, questo è un segno di parallelismo delle linee e, dall'altro, questa è una proprietà che hanno le linee parallele.

Prima di formulare una condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette, è opportuno richiamare alcune definizioni ausiliarie.

Linea secanteè una linea che interseca ciascuna di due linee date non coincidenti.

Quando due rette si intersecano con una trasversale si formano otto non sviluppate. Nella formulazione della condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette, il cosiddetto giacente trasversalmente, corrispondente ad una linea retta angoli unilaterali. Mostriamoli nel disegno.

CON

Se due rette in un piano sono intersecate da una trasversale, allora affinché siano parallele è necessario e sufficiente che gli angoli che si intersecano siano uguali, o che gli angoli corrispondenti siano uguali, o che la somma degli angoli unilaterali sia uguale a 180 gradi .

Mostriamo un'illustrazione grafica di questa condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette su un piano.

Puoi trovare prove di queste condizioni per il parallelismo delle linee nei libri di testo di geometria per le classi 7-9.

Si noti che queste condizioni possono essere utilizzate anche nello spazio tridimensionale: la cosa principale è che le due linee e la secante giacciono sullo stesso piano.

Ecco alcuni altri teoremi che vengono spesso usati per dimostrare il parallelismo delle rette.

CON

Se due rette in un piano sono parallele a una terza retta, allora sono parallele. La dimostrazione di questo criterio segue dall'assioma delle rette parallele.

Esiste una condizione simile per le linee parallele nello spazio tridimensionale.

CON

Se due linee nello spazio sono parallele a una terza linea, allora sono parallele. La dimostrazione di questo criterio viene discussa nelle lezioni di geometria del 10° anno.

Illustriamo i teoremi enunciati.

Presentiamo un altro teorema che ci permette di dimostrare il parallelismo delle rette su un piano.

CON

Se due rette di un piano sono perpendicolari ad una terza retta allora sono parallele.

Esiste un teorema simile per le linee nello spazio.

CON

Se due linee nello spazio tridimensionale sono perpendicolari allo stesso piano, allora sono parallele.

Disegniamo immagini corrispondenti a questi teoremi.

Tutti i teoremi, i criteri e le condizioni necessarie e sufficienti sopra formulati sono ottimi per dimostrare il parallelismo delle rette utilizzando metodi geometrici. Cioè, per dimostrare il parallelismo di due rette date, è necessario dimostrare che sono parallele a una terza retta, oppure mostrare l'uguaglianza degli angoli trasversali, ecc. Molti problemi simili vengono risolti nelle lezioni di geometria in Scuola superiore. Va tuttavia notato che in molti casi è conveniente utilizzare il metodo delle coordinate per dimostrare il parallelismo delle linee su un piano o nello spazio tridimensionale. Formuliamo le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle linee specificate in un sistema di coordinate rettangolari.

Parallelismo delle rette in un sistema di coordinate rettangolari.

In questo paragrafo dell'articolo formuleremo Condizioni necessarie e sufficienti per rette parallele in un sistema di coordinate rettangolari, a seconda del tipo di equazioni che definiscono queste rette, e presentiamo anche soluzioni dettagliate compiti caratteristici.

Cominciamo con la condizione di parallelismo di due linee su un piano nel sistema di coordinate rettangolari Oxy. La sua dimostrazione si basa sulla definizione del vettore direzione di una linea e sulla definizione del vettore normale di una linea su un piano.

CON

Affinché due rette non coincidenti siano parallele in un piano, è necessario e sufficiente che i vettori di direzione di queste rette siano collineari, oppure i vettori normali di queste rette siano collineari, oppure il vettore di direzione di una retta sia perpendicolare alla normale vettore della seconda linea.

Ovviamente la condizione di parallelismo di due rette su un piano si riduce a (vettore direzione di retta o vettore normale di retta) oppure a (vettore direzione di una retta e vettore normale della seconda retta). Pertanto, se e sono vettori di direzione delle linee a e b, e ad una linea retta sono vettori normali rispettivamente delle rette a e b, allora la condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette a e b sarà scritta come , O , o , dove t è un numero reale. A loro volta, le coordinate delle guide e (o) dei vettori normali delle linee rette aeb vengono trovate da equazioni conosciute Dritto

In particolare, se la retta a nel sistema di coordinate rettangolari Oxy sul piano definisce un'equazione generale della retta della forma , e la linea retta b - , allora i vettori normali di queste linee hanno coordinate e, rispettivamente, e la condizione per il parallelismo delle linee aeb sarà scritta come .

Se la linea a corrisponde all'equazione di una linea con un coefficiente angolare della forma , e linea b - , allora i vettori normali di queste linee hanno coordinate e , e la condizione per il parallelismo di queste linee assume la forma . Di conseguenza, se le linee su un piano in un sistema di coordinate rettangolari sono parallele e possono essere specificate da equazioni di linee con coefficienti angolari, allora coefficienti di pendenza le linee rette saranno uguali. E viceversa: se le linee non coincidenti su un piano in un sistema di coordinate rettangolari possono essere specificate mediante equazioni di una linea con coefficienti angolari uguali, allora tali linee sono parallele.

Se una retta a e una retta b in un sistema di coordinate rettangolari sono determinate dalle equazioni canoniche di una retta su un piano della forma ad una linea retta , o equazioni parametriche di una retta su un piano della forma ad una linea retta di conseguenza, i vettori di direzione di queste linee hanno coordinate e , e la condizione per il parallelismo delle linee a e b è scritta come .

Diamo un'occhiata alle soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Le rette sono parallele? E ?

Soluzione.

Riscriviamo l'equazione di una retta in segmenti nella forma equazione generale Dritto: . Ora possiamo vedere che è il vettore normale della retta , a è il vettore normale della retta. Questi vettori non sono collineari, poiché non esiste un numero reale t per il quale l'uguaglianza ( ). Di conseguenza, la condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette su un piano non è soddisfatta, quindi le rette date non sono parallele.

Risposta:

No, le linee non sono parallele.

Esempio.

Le linee rette e parallele?

Soluzione.

Diamo equazione canonica retta all'equazione di una retta con coefficiente angolare: . Ovviamente le equazioni delle rette e non sono le stesse (in questo caso le rette date sarebbero le stesse) ed i coefficienti angolari delle rette sono uguali, quindi le rette originali sono parallele.

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