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Ellisse

è una curva chiusa su un piano che può essere ottenuta come intersezione di un piano e di una circolare

cilindro

, o come proiezione ortogonale

cerchio

all'aereo.

Cerchio

è un caso speciale

ellisse

. Insieme a

iperbole

parabola

ellisse

sezione conica

quadrica

ellisse

è intersecato da due linee parallele, quindi il segmento che collega i punti medi dei segmenti formati all'intersezione delle linee e

ellisse

, passerà sempre

centro dell'ellisse

. Questa proprietà permette, costruendo utilizzando compasso e righello, di ottenere

centro dell'ellisse

Evoluta

ellisse

C'è

asteroide

, che è allungato lungo l'asse corto.

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Circonferenza è una curva piana chiusa, i cui punti sono equidistanti da un punto dato (il centro del cerchio). La distanza da un punto qualsiasi della circonferenza \(P\left((x,y) \right)\) al suo centro è detta raggio. Il centro del cerchio e il cerchio stesso giacciono sullo stesso piano. Equazione della circonferenza di raggio \(R\) con centro nell'origine ( Equazione canonica della circonferenza ) ha la forma
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Equazione di una circonferenza raggio \(R\) con centro in un punto arbitrario \(A\left((a,b) \right)\) si scrive come
\((\sinistra((x - a) \destra)^2) + (\sinistra((y - b) \destra)^2) = (R^2)\).

Equazione della circonferenza passante per tre punti , scritto nella forma: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right|
Qui \(A\sinistra(((x_1),(y_1)) \destra)\), \(B\sinistra(((x_2),(y_2)) \destra)\), \(C\sinistra(( (x_3),(y_3)) \right)\) sono tre punti che giacciono sul cerchio.

Equazione della circonferenza in forma parametrica
\(\left\( \begin(aligned) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
dove \(x\), \(y\) sono le coordinate dei punti del cerchio, \(R\) è il raggio del cerchio, \(t\) è il parametro.

Equazione generale della circonferenza
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
soggetto a \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Il centro del cerchio si trova nel punto con coordinate \(\left((a,b) \right)\), dove
\(a = - \large\frac(D)((2A))\normalsize,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\normalsize.\)
Il raggio del cerchio è
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\normalsize) \)

Ellisseè una curva piana per ciascun punto la cui somma delle distanze di due punti dati ( fuochi dell'ellisse ) è costante. Si chiama la distanza tra i fuochi lunghezza focale ed è indicato con \(2c\). Viene chiamata la parte centrale del segmento che collega i fuochi il centro dell'ellisse . Un'ellisse ha due assi di simmetria: il primo asse o focale, passante per i fuochi, e il secondo asse perpendicolare ad esso. I punti di intersezione di questi assi con l'ellisse si chiamano picchi. Si chiama il segmento che collega il centro dell'ellisse con il vertice semiasse dell'ellisse . Il semiasse maggiore è indicato con \(a\), il semiasse minore con \(b\). Un'ellisse il cui centro è nell'origine e i cui semiassi giacciono su linee coordinate è descritta come segue equazione canonica :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ dimensione normale = 1.\)

La somma delle distanze da un punto qualsiasi dell'ellisse ai suoi fuochi costante:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
dove \((r_1)\), \((r_2)\) sono le distanze da un punto arbitrario \(P\left((x,y) \right)\) ai fuochi \((F_1)\) e \(( F_2)\), \(a\) è il semiasse maggiore dell'ellisse.

Il rapporto tra i semiassi dell'ellisse e la lunghezza focale
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
dove \(a\) è il semiasse maggiore dell'ellisse, \(b\) è il semiasse minore, \(c\) è la metà della lunghezza focale.

Eccentricità dell'ellisse
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize

Equazioni delle direttrici dell'ellisse
La direttrice di un'ellisse è una linea retta perpendicolare al suo asse focale e che lo interseca a distanza \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) dal centro. L'ellisse ha due direttrici situate ai lati opposti del centro. Le equazioni delle direttrici sono scritte nella forma
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

Equazione di un'ellisse in forma parametrica
\(\left\( \begin(aligned) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
dove \(a\), \(b\) sono i semiassi dell'ellisse, \(t\) è il parametro.

Equazione generale dell'ellisse
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
dove \((B^2) - 4AC

Equazione generale dell'ellisse i cui semiassi sono paralleli agli assi coordinati
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
dove \(AC > 0\).

Perimetro dell'ellisse
\(L = 4aE\sinistra(e \destra)\),
dove \(a\) è il semiasse maggiore dell'ellisse, \(e\) è l'eccentricità, \(E\) è integrale ellittico completo di seconda specie.

Formule approssimative per il perimetro di un'ellisse
\(L \approssimativamente \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \circa \pi \sqrt (2\sinistra(((a^2) + (b^2)) \destra)),\)
dove \(a\), \(b\) sono i semiassi dell'ellisse.

Area dell'ellisse
\(S = \pi ab\)

In astronomia, quando si considera il movimento dei corpi cosmici nelle orbite, viene spesso utilizzato il concetto di “ellisse”, poiché le loro traiettorie sono caratterizzate proprio da questa curva. Nell'articolo considereremo la questione di cosa rappresenta la figura contrassegnata e forniremo anche la formula per la lunghezza dell'ellisse.

Cos'è un'ellisse?

Secondo la definizione matematica, un'ellisse è una curva chiusa per la quale la somma delle distanze da uno qualsiasi dei suoi punti a due altri punti specifici giacenti sull'asse principale, detti fuochi, è un valore costante. Di seguito è riportata una figura che spiega questa definizione.

Formula per la circonferenza di un'ellisse

Sebbene la figura in questione sia piuttosto semplice, la lunghezza della sua circonferenza può essere determinata con precisione calcolando i cosiddetti integrali ellittici del secondo tipo. Tuttavia, il matematico indiano autodidatta Ramanujan, all'inizio del XX secolo, propose una formula abbastanza semplice per la lunghezza di un'ellisse, che si avvicina al risultato degli integrali marcati dal basso. Cioè, il valore del valore in questione calcolato da esso sarà leggermente inferiore alla lunghezza effettiva. Questa formula è simile a: P ≈ pi *, dove pi = 3,14 è il numero pi.

Ad esempio, supponiamo che le lunghezze dei due semiassi dell'ellisse siano pari a a = 10 cm e b = 8 cm, quindi la sua lunghezza P = 56,7 cm.

Tutti possono verificare che se a = b = R, cioè si considera un cerchio ordinario, allora la formula di Ramanujan si riduce alla forma P = 2 * pi * R.

Tieni presente che i libri di testo scolastici spesso riportano un'altra formula: P = pi * (a + b). È più semplice, ma anche meno accurato. Quindi, se lo applichiamo al caso considerato, otteniamo il valore P = 56,5 cm.

Ovaleè una curva a scatola chiusa che ha due assi di simmetria ed è costituita da due cerchi di appoggio dello stesso diametro, coniugati internamente da archi (Fig. 13.45). Un ovale è caratterizzato da tre parametri: lunghezza, larghezza e raggio dell'ovale. A volte vengono specificate solo la lunghezza e la larghezza dell'ovale, senza definirne i raggi, quindi il problema della costruzione di un ovale presenta una grande varietà di soluzioni (vedi Fig. 13.45, a... d).

Vengono utilizzati anche metodi per costruire ovali basati su due cerchi di riferimento identici che si toccano (Fig. 13.46, a), si intersecano (Fig. 13.46, b) o non si intersecano (Fig. 13.46, c). In questo caso vengono effettivamente specificati due parametri: la lunghezza dell'ovale e uno dei suoi raggi. Questo problema ha molte soluzioni. E' ovvio R > OA non ha limite superiore. In particolare R = O1O2(vedi Fig. 13.46.a e Fig. 13.46.c), e i centri O3 E O4 sono determinati come punti di intersezione dei cerchi di base (vedi Fig. 13.46, b). Secondo la teoria generale dei punti, gli accoppiamenti sono determinati su una linea retta che collega i centri degli archi dei cerchi osculatori.

Costruire un ovale con cerchi di supporto che si toccano(il problema ha molte soluzioni) ( riso. 3.44). Dai centri dei cerchi di riferimento DI E 0 1 con un raggio pari, ad esempio, alla distanza tra i loro centri, si disegnano archi di cerchi finché non si intersecano nei punti DI 2 e O3.

Figura 3.44

Se da punti DI 2 e O3 traccia linee rette attraverso i centri DI E O1, quindi all'intersezione con i cerchi di appoggio otteniamo i punti di collegamento CON, C1, D E D1. Dai punti DI 2 e O3 come dai centri del raggio R2 disegnare archi di coniugazione.

Costruire un ovale con cerchi di riferimento che si intersecano(il problema ha anche molte soluzioni) (Fig. 3.45). Dai punti di intersezione dei cerchi di riferimento C2 E O3 tracciare linee rette, ad esempio, attraverso i centri DI E O1 finché non si intersecano con i cerchi di riferimento nei punti di giunzione C, C1D E D1 e raggi R2, uguale al diametro del cerchio di riferimento - l'arco di coniugazione.

Figura 3.45 Figura 3.46

Costruire un ovale lungo due assi AB e CD specificati(Fig. 3.46). Di seguito è riportata una delle tante soluzioni possibili. Un segmento viene tracciato sull'asse verticale OE, pari alla metà dell'asse maggiore AB. Dal punto CON come disegnare un arco con un raggio dal centro SE all'intersezione con il segmento di linea AC al punto E1. Verso la metà del segmento AE1 ripristinare la perpendicolare e segnare i punti della sua intersezione con gli assi dell'ovale O1 E 0 2 . Costruisci punti O3 E 0 4 , simmetrico ai punti O1 E 0 2 rispetto agli assi CD E AB. Punti O1 E 0 3 saranno i centri dei cerchi di riferimento del raggio R1, uguale al segmento Circa 1 A, e i punti O2 E 0 4 - centri di coniugazione archi di raggio R2, uguale al segmento O2C. Linee rette che collegano i centri O1 E 0 3 Con O2 E 0 4 All'intersezione con l'ovale verranno determinati i punti di collegamento.

In AutoCAD, un ovale viene costruito utilizzando due cerchi di riferimento dello stesso raggio, che:

1. avere un punto di contatto;

2. intersecare;

3. non si intersecano.

Consideriamo il primo caso. Si costruisce un segmento OO 1 =2R, parallelo all'asse X; alle sue estremità (punti O e O 1) si pongono i centri di due cerchi portanti di raggio R ed i centri di due cerchi ausiliari di raggio R 1 =2R. Dai punti di intersezione dei cerchi ausiliari O 2 e O 3, vengono costruiti rispettivamente gli archi CD e C 1 D 1. I cerchi ausiliari vengono rimossi, quindi le parti interne dei cerchi di supporto vengono tagliate rispetto agli archi CD e C 1 D 1. Nella Figura ъъ l'ovale risultante è evidenziato con una linea spessa.