Divisione e il numeratore e il denominatore della frazione su di loro divisore comune , diverso da uno, si chiama riducendo una frazione.

Per ridurre una frazione comune, devi dividere il suo numeratore e denominatore per lo stesso numero naturale.

Questo numero è il massimo comun divisore del numeratore e del denominatore della frazione data.

Sono possibili le seguenti operazioni moduli di registrazione delle decisioni Esempi per ridurre le frazioni comuni.

Lo studente ha la facoltà di scegliere qualsiasi forma di registrazione.

Esempi. Semplificare le frazioni.

Riduci la frazione per 3 (dividi il numeratore per 3;

dividere il denominatore per 3).

Riduci la frazione di 7.

Eseguiamo le azioni indicate nel numeratore e nel denominatore della frazione.

La frazione risultante viene ridotta di 5.

Riduciamo questa frazione 4) SU 5·7³- il massimo comun divisore (MCD) del numeratore e del denominatore, che è costituito dai fattori comuni del numeratore e del denominatore, elevati alla potenza con l'esponente più piccolo.

Scomponiamo in fattori primi il numeratore e il denominatore di questa frazione.

Otteniamo: 756=2²·3³·7 E 1176=2³·3·7².

Determina il MCD (massimo comun divisore) del numeratore e del denominatore della frazione 5) .

Questo è il prodotto dei fattori comuni presi con gli esponenti più bassi.

mcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Dividiamo il numeratore e il denominatore di questa frazione per il loro mcd, cioè per 2²·3·7 otteniamo una frazione irriducibile 9/14 .

Oppure era possibile scrivere la scomposizione del numeratore e del denominatore sotto forma di prodotto di fattori primi, senza utilizzare il concetto di potenza, e quindi ridurre la frazione cancellando gli stessi fattori nel numeratore e nel denominatore. Quando non rimangono più fattori identici, moltiplichiamo i fattori rimanenti separatamente al numeratore e separatamente al denominatore e scriviamo la frazione risultante 9/14 .

E finalmente è stato possibile ridurre questa frazione 5) gradualmente, applicando i segni di divisione dei numeri sia al numeratore che al denominatore della frazione. Ragioniamo così: numeri 756 E 1176 terminano con un numero pari, il che significa che entrambi sono divisibili per 2 . Riduciamo la frazione di 2 . Il numeratore e il denominatore della nuova frazione sono numeri 378 E 588 anche diviso in 2 . Riduciamo la frazione di 2 . Notiamo che il numero 294 - anche, e 189 è dispari e la riduzione di 2 non è più possibile. Controlliamo la divisibilità dei numeri 189 E 294 SU 3 .

(1+8+9)=18 è divisibile per 3 e (2+9+4)=15 è divisibile per 3, da qui i numeri stessi 189 E 294 sono divisi in 3 . Riduciamo la frazione di 3 . Prossimo, 63 è divisibile per 3 e 98 - NO. Consideriamo altri fattori primi. Entrambi i numeri sono divisibili per 7 . Riduciamo la frazione di 7 e otteniamo la frazione irriducibile 9/14 .

In questo articolo vedremo operazioni fondamentali con le frazioni algebriche:

• frazioni riducenti
• moltiplicando le frazioni
• dividere le frazioni

Cominciamo con riduzione delle frazioni algebriche.

Sembrerebbe algoritmo ovvio.

A ridurre frazioni algebriche , è necessario

1. Fattorizzare il numeratore e il denominatore della frazione.

2. Ridurre i fattori uguali.

Tuttavia, gli scolari spesso commettono l'errore di “ridurre” non i fattori, ma i termini. Ad esempio, ci sono dilettanti che “riducono” le frazioni e ottengono come risultato , il che, ovviamente, non è vero.

Diamo un'occhiata agli esempi:

1. Ridurre una frazione:

1. Fattorizziamo il numeratore utilizzando la formula del quadrato della somma e il denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati

2. Dividere il numeratore e il denominatore per

2. Ridurre una frazione:

1. Fattorizziamo il numeratore. Poiché il numeratore contiene quattro termini, utilizziamo il raggruppamento.

2. Fattorizziamo il denominatore. Possiamo anche usare il raggruppamento.

3. Scriviamo la frazione che abbiamo ottenuto e riduciamo gli stessi fattori:

Moltiplicazione di frazioni algebriche.

Quando moltiplichiamo le frazioni algebriche, moltiplichiamo il numeratore per il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per il denominatore.

Importante! Non è necessario affrettarsi a moltiplicare il numeratore e il denominatore di una frazione. Dopo aver scritto il prodotto dei numeratori delle frazioni nel numeratore e il prodotto dei denominatori nel denominatore, dobbiamo fattorizzare ciascun fattore e ridurre la frazione.

Diamo un'occhiata agli esempi:

3. Semplifica l'espressione:

1. Scriviamo il prodotto delle frazioni: al numeratore il prodotto dei numeratori e al denominatore il prodotto dei denominatori:

2. Fattorizziamo ciascuna parentesi:

Ora dobbiamo ridurre gli stessi fattori. Si noti che le espressioni e differiscono solo nel segno: e come risultato della divisione della prima espressione per la seconda otteniamo -1.

COSÌ,

Dividiamo le frazioni algebriche secondo la seguente regola:

Questo è Per dividere per una frazione è necessario moltiplicare per quella "invertita".

Vediamo che dividere le frazioni si riduce a moltiplicare, e la moltiplicazione alla fine si riduce alla riduzione delle frazioni.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

4. Semplifica l'espressione:

Obiettivi:

1. Educativo- consolidare le conoscenze e le abilità acquisite nella riduzione delle frazioni algebriche durante la risoluzione di esercizi più complessi, utilizzando la fattorizzazione di un polinomio in diversi modi, e sviluppare abilità nella riduzione delle frazioni algebriche. Ripeti le formule di moltiplicazione abbreviate: (a+b)2=a2+2ab+b2,
(UN-b) 2 =un 2-2ab+b2,un 2 -b2 =(a+B)(UN-b), metodo di raggruppamento, ponendo il fattore comune tra parentesi.

2. Sviluppo – sviluppo del pensiero logico per la percezione cosciente materiale didattico, attenzione, attività degli studenti nella lezione.

3. Educare - educazione dell'attività cognitiva, formazione delle qualità personali: accuratezza e chiarezza dell'espressione verbale dei pensieri; concentrazione e attenzione; perseveranza e responsabilità, motivazione positiva allo studio della materia, accuratezza, coscienziosità e senso di responsabilità.

Compiti:

1. Rafforzare il materiale studiato modificando i tipi di lavoro su questo argomento “Frazione algebrica. Ridurre le frazioni."

2. Sviluppare competenze e abilità nella riduzione delle frazioni algebriche utilizzando modi diversi fattorizzazione del numeratore e del denominatore, sviluppo pensiero logico, discorso matematico corretto e competente, sviluppo dell'indipendenza e fiducia nelle proprie conoscenze e abilità durante l'esecuzione diversi tipi funziona

3. Coltivare l'interesse per la matematica introducendo diversi tipi di consolidamento del materiale: lavoro orale, lavoro con un libro di testo, lavoro alla lavagna, dettato matematico, test, lavoro indipendente, il gioco “Torneo di matematica”; stimolare e incoraggiare le attività degli studenti.

Piano:
IO. Momento organizzativo.
II . Lavoro orale.
III. Dettatura matematica.
IV.
1.Lavora secondo il libro di testo e alla lavagna.
2. Lavora in gruppi utilizzando le carte: il gioco “Torneo di matematica”.
3. Lavoro indipendente per livelli (A, B, C).
V. In conclusione.
1. Test (verifica reciproca).
VI. Compiti a casa.

Avanzamento della lezione:

I. Momento organizzativo.

L'umore emotivo e la prontezza dell'insegnante e degli studenti per la lezione. Gli studenti stabiliscono scopi e obiettivi - questa lezione, sulla base delle domande principali dell'insegnante, determinare l'argomento della lezione.

II. Lavoro orale.

1. Ridurre le frazioni:

2. Trova il valore della frazione algebrica:
in c = 8, c = -13, c = 11.
Risposta: 6; -1; 3.

3. Rispondi alle domande:

1) Qual è l'ordine utile da seguire quando si fattorizzano i polinomi?
(Quando si fattorizzano i polinomi, è utile seguire il seguente ordine: a) mettere tra parentesi il fattore comune, se ce n'è uno; b) provare a fattorizzare il polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate; c) provare ad applicare il metodo del raggruppamento se i metodi precedenti non hanno portato all'obiettivo).

2) Qual è il quadrato della somma?
(Il quadrato della somma di due numeri è uguale al quadrato del primo numero più il doppio del prodotto del primo numero e del secondo più il quadrato del secondo numero).

3) Qual è il quadrato della differenza?
(Il quadrato della differenza di due numeri è uguale al quadrato del primo numero meno il doppio del prodotto del primo numero e del secondo più il quadrato del secondo numero).

4) Qual è la differenza tra i quadrati di due numeri?
(La differenza tra i quadrati di due numeri è uguale al prodotto della differenza tra questi numeri e la loro somma).

5) Cosa è necessario fare quando si utilizza il metodo di raggruppamento? (Per fattorizzare un polinomio utilizzando il metodo del raggruppamento, è necessario: a) combinare i membri del polinomio in gruppi che abbiano un fattore comune sotto forma di polinomio; b) togliere questo fattore comune tra parentesi).
6) Per togliere il fattore comune tra parentesi, occorre......?
(Trova questo fattore comune; 2. mettilo tra parentesi).

7) Quali metodi conosci per scomporre un polinomio?
(Tra parentesi il divisore comune, metodo di raggruppamento, formule di moltiplicazione abbreviate).

8) Cosa è necessario per ridurre una frazione?
(Per ridurre una frazione, dividi il numeratore e il denominatore per il loro fattore comune.)

III. Dettatura matematica.

1. Sottolinea le frazioni algebriche:

Opzione I:

Opzione II:

1. È possibile immaginare l'espressione

Opzione I:

Opzione II:

come polinomio? Riesci a immaginare?

3. Quali valori di lettere sono accettabili per l'espressione:
Opzione I:

Opzione II:
(x-5)(x+7).

4. Scrivi una frazione algebrica con un numeratore
Opzione I:
3×2.
Opzione II:
5 anni
e denominatore

Opzione I:
x(x+3).
Opzione II:
y2 (y+7).
e accorciarlo.

IV. Consolidamento dell'argomento: “Frazione algebrica. Riduzione delle frazioni":

1.Lavora secondo il libro di testo e alla lavagna.

Fattorizza il numeratore e il denominatore della frazione e riducilo.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2.Lavorare in gruppi utilizzando le carte - il gioco “Torneo di matematica”.

(Compiti del gioco – “Appendice 1”.)
Il consolidamento e la verifica delle abilità nella risoluzione di esempi su questo argomento vengono effettuati sotto forma di torneo. La classe viene divisa in gruppi e vengono assegnati compiti su carte (carte di diversi livelli).
Dopo un certo tempo, ogni studente deve scrivere su un quaderno la soluzione dei compiti della sua squadra ed essere in grado di spiegarli.
Sono consentite consultazioni all'interno della squadra (condotte dal capitano).
Poi inizia il torneo: ogni squadra ha il diritto di sfidare le altre, ma una sola volta. Ad esempio, il capitano della prima squadra chiama gli studenti della seconda squadra a partecipare al torneo; Il capitano della seconda squadra fa lo stesso, va al tabellone, si scambiano le carte, risolvono i problemi, ecc.

3. Lavoro autonomo sui livelli (A, B, C)

“Materiale didattico” L.I. Zvavich et al., p. 95, C-52 (il libro è disponibile per tutti gli studenti)
UN . №1: I opzione-1) a, b; 2) a,c; 5)a.
II opzione-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Opzione I - a.
Opzione II - b.
IN . №3: Opzione I - a.
Opzione II - b.

V. In conclusione.

1. Test (verifica reciproca).
(Compiti del test – “Appendice 2”.)
(su schede per ogni studente, secondo le opzioni)

VI. Compiti a casa.

1) "D.M." pagina 95 N. 1. (3,4,6);
2) N. 447 (pari);
3) §24, ripetere § 19 - §23.

In questo articolo entreremo nel dettaglio riduzione delle frazioni algebriche. Per prima cosa, scopriamo cosa si intende con il termine “riduzione di una frazione algebrica” e scopriamo se una frazione algebrica è sempre riducibile. Di seguito presentiamo una regola che permette di effettuare questa trasformazione. Infine, considereremo soluzioni ad esempi tipici che ci permetteranno di comprendere tutte le complessità del processo.

Navigazione della pagina.

Cosa significa ridurre una frazione algebrica?

Durante gli studi abbiamo parlato della loro riduzione. abbiamo chiamato dividere il suo numeratore e denominatore per un fattore comune. Ad esempio, la frazione comune 30/54 può essere ridotta di 6 (cioè il suo numeratore e denominatore diviso per 6), il che ci porta alla frazione 5/9.

Per riduzione di una frazione algebrica intendiamo azione simile. Ridurre una frazione algebrica- ciò significa dividere il suo numeratore e denominatore per un fattore comune. Ma se il fattore comune del numeratore e del denominatore frazione comune può essere solo un numero, allora il fattore comune del numeratore e del denominatore di una frazione algebrica può essere un polinomio, in particolare un monomio o un numero.

Ad esempio, una frazione algebrica può essere ridotta del numero 3, ottenendo la frazione . È anche possibile eseguire una contrazione della variabile x, ottenendo l'espressione . La frazione algebrica originale può essere ridotta al monomio 3 x, così come a uno qualsiasi dei polinomi x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y o 3 x 2 +6 x y.

L'obiettivo finale della riduzione di una frazione algebrica è ottenere una frazione di forma più semplice, nella migliore delle ipotesi una frazione irriducibile.

È possibile ridurre qualsiasi frazione algebrica?

Sappiamo che le frazioni ordinarie si dividono in . Le frazioni irriducibili non hanno fattori comuni al numeratore e al denominatore diversi da uno, e quindi non possono essere ridotte.

Le frazioni algebriche possono o meno avere fattori comuni al numeratore e al denominatore. Se esistono fattori comuni è possibile ridurre una frazione algebrica. Se non ci sono fattori comuni, semplificare una frazione algebrica riducendola è impossibile.

In generale, secondo aspetto frazione algebrica, è abbastanza difficile determinare se può essere ridotta. Naturalmente, in alcuni casi i fattori comuni del numeratore e del denominatore sono evidenti. Ad esempio, si vede chiaramente che il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica hanno un fattore comune 3. È anche facile notare che una frazione algebrica può essere ridotta di x, di y o direttamente di x·y. Ma molto più spesso il fattore comune del numeratore e del denominatore di una frazione algebrica non è immediatamente visibile e, ancora più spesso, semplicemente non esiste. Ad esempio, è possibile ridurre una frazione di x−1, ma questo fattore comune non è chiaramente presente nella notazione. E una frazione algebrica è impossibile ridurlo, poiché il suo numeratore e denominatore non hanno fattori comuni.

In generale, la questione della riducibilità di una frazione algebrica è molto difficile. E a volte è più facile risolvere un problema lavorando con una frazione algebrica nella sua forma originale piuttosto che scoprire se questa frazione può essere prima ridotta. Ma ci sono ancora trasformazioni che in alcuni casi permettono, con relativamente poco sforzo, di trovare i fattori comuni del numeratore e del denominatore, se presenti, o di concludere che la frazione algebrica originaria è irriducibile. Tali informazioni verranno rese note nel paragrafo successivo.

Regola per ridurre le frazioni algebriche

Le informazioni nei paragrafi precedenti lo consentono naturalmente percepire quanto segue regola per ridurre le frazioni algebriche, che si compone di due fasi:

• per prima cosa si trovano i fattori comuni del numeratore e del denominatore della frazione originaria;
• se ce ne sono, allora viene effettuata una riduzione da questi fattori.

I passaggi indicati della norma annunciata necessitano di chiarimenti.

Maggior parte modo conveniente trovare quelli comuni consiste nel fattorizzare i polinomi che sono al numeratore e al denominatore della frazione algebrica originale. In questo caso, i fattori comuni del numeratore e del denominatore diventano immediatamente visibili, oppure diventa chiaro che non esistono fattori comuni.

Se non esistono fattori comuni, allora possiamo concludere che la frazione algebrica è irriducibile. Se vengono trovati fattori comuni, nella seconda fase vengono ridotti. Il risultato è una nuova frazione di una forma più semplice.

La regola per ridurre le frazioni algebriche si basa sulla proprietà fondamentale di una frazione algebrica, che è espressa dall'uguaglianza, dove a, b e c sono alcuni polinomi e b e c sono diversi da zero. Nella prima fase, la frazione algebrica originale viene ridotta alla forma da cui diventa visibile il fattore comune c, e nella seconda fase viene eseguita la riduzione: il passaggio alla frazione.

Passiamo alla risoluzione degli esempi utilizzando di questa regola. Su di essi analizzeremo tutte le possibili sfumature che sorgono quando si fattorizza il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica in fattori e la successiva riduzione.

Esempi tipici

Per prima cosa dobbiamo parlare di riduzione delle frazioni algebriche il cui numeratore e denominatore sono gli stessi. Tali frazioni sono identicamente uguali a uno sull'intera ODZ delle variabili in esso incluse, ad esempio,
ecc.

Ora non fa male ricordare come ridurre le frazioni ordinarie: dopo tutto, sono un caso speciale di frazioni algebriche. Numeri naturali al numeratore e al denominatore di una frazione comune, dopo di che i fattori comuni si annullano (se presenti). Per esempio, . Il prodotto di fattori primi identici può essere scritto sotto forma di potenze e utilizzato durante l'abbreviazione. In questo caso, la soluzione sarebbe simile a questa: , qui abbiamo diviso numeratore e denominatore per un fattore comune 2 2 3. Oppure, per maggiore chiarezza, in base alle proprietà di moltiplicazione e divisione, la soluzione viene presentata in forma.

Principi assolutamente simili vengono utilizzati per ridurre le frazioni algebriche, il cui numeratore e denominatore contengono monomi con coefficienti interi.

Esempio.

Annullare una frazione algebrica .

Soluzione.

Puoi rappresentare il numeratore e il denominatore della frazione algebrica originale come prodotto di fattori primi e variabili, e quindi effettuare la riduzione:

Ma è più razionale scrivere la soluzione sotto forma di espressione con gradi:

Risposta:

.

Per quanto riguarda la riduzione delle frazioni algebriche che hanno coefficienti numerici frazionari al numeratore e al denominatore, puoi fare due cose: dividere questi coefficienti frazionari separatamente, oppure eliminare prima i coefficienti frazionari moltiplicando il numeratore e il denominatore per un numero naturale. Abbiamo parlato dell'ultima trasformazione nell'articolo che porta una frazione algebrica a un nuovo denominatore può essere eseguita grazie alla proprietà di base di una frazione algebrica; Capiamolo con un esempio.

Esempio.

Eseguire la riduzione della frazione.

Soluzione.

Puoi ridurre la frazione come segue: .

Oppure potresti prima eliminare i coefficienti frazionari moltiplicando il numeratore e il denominatore per i denominatori di questi coefficienti, ovvero per MCM(5, 10)=10. In questo caso abbiamo .

Risposta:

.

Possiamo passare alle frazioni algebriche visione generale, in cui numeratore e denominatore possono contenere sia numeri che monomi, nonché polinomi.

Quando si riducono tali frazioni, il problema principale è che il fattore comune del numeratore e del denominatore non è sempre visibile. Inoltre, non sempre esiste. Per trovare un fattore comune o verificarne l'assenza, è necessario fattorizzare il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica.

Esempio.

Ridurre una frazione razionale .

Soluzione.

Per fare ciò, fattorizziamo i polinomi nel numeratore e nel denominatore. Iniziamo mettendolo tra parentesi: . Ovviamente, le espressioni tra parentesi possono essere trasformate utilizzando

Livello base

Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2019)

Conversione di espressioni

Spesso sentiamo questa frase spiacevole: “semplificare l’espressione”. Di solito vediamo una specie di mostro come questo:

“È molto più semplice”, diciamo, ma una risposta del genere di solito non funziona.

Ora ti insegnerò a non aver paura di tali compiti. Inoltre, alla fine della lezione, tu stesso semplificherai questo esempio in (solo!) un numero ordinario (sì, al diavolo queste lettere).

Ma prima di iniziare questa lezione, devi essere in grado di gestire le frazioni e fattorizzare i polinomi. Pertanto, in primo luogo, se non l'hai mai fatto prima, assicurati di padroneggiare gli argomenti "" e "".

L'hai letto? Se sì, allora ora sei pronto.

Operazioni di semplificazione di base

Ora diamo un'occhiata alle tecniche di base utilizzate per semplificare le espressioni.

Il più semplice è

1. Portare simili

Cosa sono simili? L'hai fatto in seconda media, quando in matematica sono apparse per la prima volta le lettere al posto dei numeri. Simili sono i termini (monomi) con la stessa lettera. Ad esempio, nella somma, termini simili sono e.

Ti ricordi?

Portare simili significa aggiungere diversi termini simili tra loro e ottenere un termine.

Come possiamo mettere insieme le lettere? - chiedi.

Questo è molto facile da capire se immagini che le lettere siano una sorta di oggetti. Ad esempio, una lettera è una sedia. Allora a cosa equivale l'espressione? Due sedie più tre sedie, quante saranno? Esatto, sedie: .

Ora prova questa espressione: .

Per evitare confusione, lasciamo lettere diverse rappresentare oggetti diversi. Ad esempio, - è (come al solito) una sedia e - è un tavolo. Poi:

sedie tavoli sedie tavoli sedie sedie tavoli

Vengono chiamati i numeri per i quali vengono moltiplicate le lettere in tali termini coefficienti. Ad esempio, in un monomio il coefficiente è uguale. E in esso è uguale.

Quindi, la regola per portarne di simili è:

Esempi:

Forniscine di simili:

Risposte:

2. (e simili, poiché, quindi, questi termini hanno la stessa parte alfabetica).

2. Fattorizzazione

Questa è solitamente la parte più importante nella semplificazione delle espressioni. Dopo aver fornito espressioni simili, molto spesso l'espressione risultante deve essere fattorizzata, cioè presentata come prodotto. Ciò è particolarmente importante nelle frazioni: per poter ridurre una frazione, il numeratore e il denominatore devono essere rappresentati come un prodotto.

Hai esaminato in dettaglio i metodi di fattorizzazione delle espressioni nell'argomento "", quindi qui devi solo ricordare cosa hai imparato. Per fare questo, decidine alcuni esempi(deve essere fattorizzato):

Soluzioni:

3. Ridurre una frazione.

Ebbene, cosa potrebbe esserci di più piacevole che cancellare parte del numeratore e del denominatore e buttarli fuori dalla tua vita?

Questa è la bellezza del ridimensionamento.

È semplice:

Se numeratore e denominatore contengono gli stessi fattori, possono essere ridotti, cioè rimossi dalla frazione.

Questa regola deriva dalla proprietà fondamentale di una frazione:

Cioè, l'essenza dell'operazione di riduzione è questa Dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per lo stesso numero (o per la stessa espressione).

Per ridurre una frazione è necessario:

1) numeratore e denominatore fattorizzare

2) se il numeratore e il denominatore contengono fattori comuni, possono essere cancellati.

Il principio, credo, è chiaro?

Vorrei attirare la vostra attenzione su una cosa errore tipico quando si contrae. Sebbene questo argomento sia semplice, molte persone sbagliano tutto senza capirlo ridurre- questo significa dividere numeratore e denominatore sono lo stesso numero.

Nessuna abbreviazione se il numeratore o il denominatore è una somma.

Ad esempio: dobbiamo semplificare.

Alcune persone fanno così: il che è assolutamente sbagliato.

Altro esempio: ridurre.

Il “più intelligente” farà questo: .

Dimmi cosa c'è che non va qui? Sembrerebbe: - questo è un moltiplicatore, il che significa che può essere ridotto.

Ma no: - questo è un fattore di un solo termine nel numeratore, ma il numeratore stesso nel suo insieme non è fattorizzato.

Ecco un altro esempio: .

Questa espressione è fattorizzata, il che significa che puoi ridurla, cioè dividere il numeratore e il denominatore per, e poi per:

Puoi immediatamente dividerlo in:

Per evitare tali errori, ricorda modo semplice come determinare se un'espressione è fattorizzata:

L'operazione aritmetica eseguita per ultima quando si calcola il valore di un'espressione è l'operazione “principale”. Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numero invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione viene fattorizzata). Se l'ultima azione è un'addizione o una sottrazione, significa che l'espressione non è fattorizzata (e quindi non può essere ridotta).

Per consolidare, risolvine alcuni tu stesso esempi:

Risposte:

1. Spero che tu non ti sia affrettato a tagliare subito e? Non bastava ancora “ridurre” unità come questa:

Il primo passo dovrebbe essere la fattorizzazione:

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.

Addizione e sottrazione frazioni ordinarie- l'operazione è ben nota: cerchiamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e addizioniamo/sottraiamo i numeratori. Ricordiamo:

Risposte:

1. I denominatori e sono relativamente primi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, il LCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il denominatore comune:

2. Qui il denominatore comune è:

3. La prima cosa qui frazioni miste li trasformiamo in errati e poi seguiamo il solito schema:

La questione è completamente diversa se le frazioni contengono lettere, ad esempio:

Cominciamo con qualcosa di semplice:

a) I denominatori non contengono lettere

Qui tutto è uguale a quello delle frazioni numeriche ordinarie: troviamo il denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottraiamo i numeratori:

Ora nel numeratore puoi fornire quelli simili, se presenti, e fattorizzarli:

Provalo tu stesso:

b) I denominatori contengono lettere

Ricordiamo il principio di trovare un denominatore comune senza lettere:

· innanzitutto determiniamo i fattori comuni;

· poi scriviamo uno alla volta tutti i fattori comuni;

· e moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li scomponiamo prima in fattori primi:

Sottolineiamo i fattori comuni:

Ora scriviamo uno alla volta i fattori comuni e aggiungiamo ad essi tutti i fattori non comuni (non sottolineati):

Questo è il denominatore comune.

Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente nello stesso modo:

· fattorizzare i denominatori;

· determinare fattori comuni (identici);

· scrivere tutti i fattori comuni una volta;

· moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Quindi, in ordine:

1) fattorizzare i denominatori:

2) determinare fattori comuni (identici):

3) scrivi una volta tutti i fattori comuni e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):

Quindi qui c'è un denominatore comune. La prima frazione va moltiplicata per, la seconda per:

A proposito, c'è un trucco:

Per esempio: .

Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo che tutti con indicatori diversi. Il denominatore comune sarà:

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura.

Complichiamo il compito:

Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?

Ricordiamo la proprietà base di una frazione:

Da nessuna parte viene detto che lo stesso numero può essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!

Guarda tu stesso: prendi qualsiasi frazione, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio, . Cosa hai imparato?

Quindi, un'altra regola irremovibile:

Quando riduci le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!

Ma per cosa devi moltiplicare per ottenere?

Quindi moltiplica per. E moltiplicare per:

Chiameremo “fattori elementari” le espressioni che non possono essere fattorizzate. Ad esempio, questo è un fattore elementare. - Stesso. Ma no: può essere fattorizzato.

E l'espressione? È elementare?

No, perché può essere fattorizzato:

(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").

Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono analoghi ai fattori semplici in cui scomponi i numeri. E li tratteremo allo stesso modo.

Vediamo che entrambi i denominatori hanno un moltiplicatore. Andrà al denominatore comune del grado (ricordate perché?).

Il fattore è elementare e non hanno un fattore comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:

Un altro esempio:

Soluzione:

Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come fattorizzarli? Entrambi rappresentano:

Grande! Poi:

Un altro esempio:

Soluzione:

Come al solito fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore lo mettiamo semplicemente tra parentesi; nel secondo - la differenza dei quadrati:

Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono simili... Ed è vero:

Quindi scriviamo:

Cioè, è risultato così: all'interno della parentesi abbiamo scambiato i termini e allo stesso tempo il segno davanti alla frazione è cambiato al contrario. Prendi nota, dovrai farlo spesso.

Ora portiamolo ad un denominatore comune:

Fatto? Controlliamolo ora.

Compiti per una soluzione indipendente:

Risposte:

Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:

Tieni presente che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula “quadrato della somma”! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo: .

A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso contenuto è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non il loro doppio prodotto. Il quadrato parziale della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza dei cubi:

Cosa fare se ci sono già tre frazioni?

Sì, la stessa cosa! Prima di tutto assicuriamoci di questo quantità massima i fattori ai denominatori erano gli stessi:

Nota: se si cambiano i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nel segno opposto. Quando cambiamo i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nuovamente nel segno opposto. Di conseguenza, esso (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.

Scriviamo l'intero primo denominatore nel denominatore comune, quindi aggiungiamo tutti i fattori che non sono ancora stati scritti, dal secondo e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, risulta così:

Hmm... È chiaro cosa fare con le frazioni. Ma che dire dei due?

È semplice: sai come sommare le frazioni, vero? Quindi dobbiamo far sì che due diventino una frazione! Ricordiamo: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te lo fossi dimenticato). E non c'è niente di più semplice che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:

Proprio quello di cui hai bisogno!

5. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.

Bene, la parte più difficile è ormai passata. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:

Procedura

Qual è la procedura per il conteggio? espressione numerica? Ricorda calcolando il significato di questa espressione:

Hai contato?

Dovrebbe funzionare.

Quindi, lascia che te lo ricordi.

Il primo passo è calcolare la laurea.

Il secondo è la moltiplicazione e la divisione. Se si effettuano più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, è possibile eseguirle in qualsiasi ordine.

E infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni. Ancora una volta, in qualsiasi ordine.

Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata a sproposito!

Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, prima calcoliamo l'espressione in ciascuna parentesi, quindi le moltiplichiamo o dividiamo.

Cosa succede se ci sono più parentesi all'interno delle parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Quando calcoli un'espressione, cosa dovresti fare prima? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.

Quindi, la procedura per l'espressione di cui sopra è la seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, cioè l'azione che sto eseguendo in questo momento):

Ok, è tutto semplice.

Ma questa non è la stessa cosa di un'espressione con lettere?

No, è lo stesso! Solo invece di operazioni aritmetiche devi fare operazioni algebriche, cioè le azioni descritte nella sezione precedente: portando simili, sommando frazioni, riducendo frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione di fattorizzazione dei polinomi (lo usiamo spesso quando lavoriamo con le frazioni). Molto spesso, per fattorizzare, è necessario utilizzare I o semplicemente mettere il fattore comune tra parentesi.

Di solito il nostro obiettivo è rappresentare l'espressione come prodotto o quoziente.

Per esempio:

Semplifichiamo l'espressione.

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. In questo caso abbiamo una differenza di frazioni e il nostro obiettivo è presentarla come prodotto o quoziente. Quindi portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:

È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione; qui tutti i fattori sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).

2) Otteniamo:

Moltiplicare le frazioni: cosa potrebbe essere più semplice.

3) Ora puoi abbreviare:

Bene, questo è tutto. Niente di complicato, vero?

Un altro esempio:

Semplifica l'espressione.

Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo dopo guarda la soluzione.

Prima di tutto, determiniamo l'ordine delle azioni. Per prima cosa aggiungiamo le frazioni tra parentesi, così invece di due frazioni ne otteniamo una. Poi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione. Numererò schematicamente i passaggi:

Ora ti mostrerò il procedimento, colorando di rosso l’azione corrente:

Infine ti darò due consigli utili:

1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. Qualunque sia il momento in cui si presentano casi simili nel nostro Paese, è opportuno segnalarli immediatamente.

2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, bisogna sfruttarla. L'eccezione riguarda le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora hanno gli stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere lasciata per dopo.

Ecco alcuni compiti che puoi risolvere da solo:

E ciò che è stato promesso all'inizio:

Soluzioni (brevi):

Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, considerati di aver padroneggiato l'argomento.

Ora passiamo all'apprendimento!

CONVERTIRE LE ESPRESSIONI. FORMULE RIASSUNTIVE E BASE

Operazioni di semplificazione di base:

• Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili è necessario sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
• Fattorizzazione: mettendo il fattore comune tra parentesi, applicandolo, ecc.
• Ridurre una frazione: Il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, il che non modifica il valore della frazione.
  1) numeratore e denominatore fattorizzare
  2) se numeratore e denominatore hanno fattori comuni, possono essere cancellati.

  IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!

• Addizione e sottrazione di frazioni:
  ;
• Moltiplicare e dividere le frazioni:
  ;