All'inizio della lezione esamineremo le proprietà di base radici quadrate, e poi considerane alcuni esempi complessi per semplificare le espressioni contenenti radici quadrate.

Soggetto:Funzione. Proprietà radice quadrata

Lezione:Conversione e semplificazione di espressioni più complesse con radici

1. Richiami sulle proprietà delle radici quadrate

Ripetiamo brevemente la teoria e ricordiamo le proprietà fondamentali delle radici quadrate.

Proprietà delle radici quadrate:

1. quindi, ;

3. ;

4. .

2. Esempi di semplificazione di espressioni con radici

Passiamo agli esempi di utilizzo di queste proprietà.

Esempio 1: semplificare un'espressione .

Soluzione. Per semplificare, il numero 120 deve essere scomposto in fattori primi:

Riveleremo il quadrato della somma utilizzando la formula appropriata:

Esempio 2: semplificare un'espressione .

Soluzione. Teniamo presente che questa espressione non ha senso per tutti valori possibili variabile, perché questa espressione contiene radici quadrate e frazioni, il che porta ad un “restringimento” dell'area valori accettabili. ODZ: ().

Portiamo l'espressione tra parentesi al denominatore comune e scriviamo il numeratore dell'ultima frazione come differenza di quadrati:

Risposta. A.

Esempio 3: semplificare un'espressione .

Soluzione. Si può notare che la seconda parentesi del numeratore ha un aspetto scomodo e necessita di essere semplificata, proviamo a fattorizzarla utilizzando il metodo del raggruppamento;

Per poter calcolare il fattore comune, abbiamo semplificato le radici fattorizzandole. Sostituiamo l'espressione risultante nella frazione originale:

Dopo aver ridotto la frazione, applichiamo la formula della differenza dei quadrati.

3. Un esempio di come sbarazzarsi dell'irrazionalità

Esempio 4. Liberarsi dall'irrazionalità (radici) al denominatore: a) ; B) .

Soluzione. a) Per eliminare l'irrazionalità nel denominatore, viene utilizzato il metodo standard di moltiplicare sia il numeratore che il denominatore di una frazione per il fattore coniugato al denominatore (la stessa espressione, ma con il segno opposto). Questo viene fatto per completare il denominatore della frazione con la differenza dei quadrati, il che consente di eliminare le radici nel denominatore. Facciamo questo nel nostro caso:

b) eseguire azioni simili:

4. Esempio di dimostrazione e identificazione di un quadrato completo in un radicale complesso

Esempio 5. Dimostrare l'uguaglianza .

Prova. Usiamo la definizione di radice quadrata, da cui segue che il quadrato dell'espressione di destra deve essere uguale all'espressione radicale:

. Apriamo le parentesi utilizzando la formula del quadrato della somma:

, abbiamo ottenuto l'uguaglianza corretta.

Comprovato.

Esempio 6. Semplifica l'espressione.

Soluzione. Questa espressione è solitamente chiamata radicale complesso (radice sotto radice). IN in questo esempio devi indovinare per isolare un quadrato completo dall'espressione radicale. Per fare ciò, nota che dei due termini, è candidato al ruolo di doppio prodotto nella formula per la differenza al quadrato (differenza, poiché c'è un meno). Scriviamolo nella forma del seguente prodotto: , allora 1 pretende di essere uno dei termini del quadrato completo, e 1 pretende di essere il secondo.

Sostituiamo questa espressione sotto la radice.

Livello base

Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2019)

Conversione di espressioni

Spesso sentiamo questa frase spiacevole: “semplificare l’espressione”. Di solito vediamo una specie di mostro come questo:

“È molto più semplice”, diciamo, ma una risposta del genere di solito non funziona.

Ora ti insegnerò a non aver paura di tali compiti. Inoltre, alla fine della lezione, tu stesso semplificherai questo esempio in (solo!) un numero ordinario (sì, al diavolo queste lettere).

Ma prima di iniziare questa lezione, devi essere in grado di gestire le frazioni e fattorizzare i polinomi. Pertanto, in primo luogo, se non l'hai mai fatto prima, assicurati di padroneggiare gli argomenti "" e "".

L'hai letto? Se sì, allora ora sei pronto.

Operazioni di semplificazione di base

Ora diamo un'occhiata alle tecniche di base utilizzate per semplificare le espressioni.

Il più semplice è

1. Portare simili

Cosa sono simili? L'hai fatto in seconda media, quando in matematica sono apparse per la prima volta le lettere al posto dei numeri. Simili sono i termini (monomi) con la stessa lettera. Ad esempio, nella somma, termini simili sono e.

Ti ricordi?

Portare simili significa aggiungere diversi termini simili tra loro e ottenere un termine.

Come possiamo mettere insieme le lettere? - chiedi.

Questo è molto facile da capire se immagini che le lettere siano una sorta di oggetti. Ad esempio, una lettera è una sedia. Allora a cosa equivale l'espressione? Due sedie più tre sedie, quante saranno? Esatto, sedie: .

Ora prova questa espressione: .

Per evitare confusione, lasciamo lettere diverse rappresentare oggetti diversi. Ad esempio, - è (come al solito) una sedia e - è un tavolo. Poi:

sedie tavoli sedie tavoli sedie sedie tavoli

Vengono chiamati i numeri per i quali vengono moltiplicate le lettere in tali termini coefficienti. Ad esempio, in un monomio il coefficiente è uguale. E in esso è uguale.

Quindi, la regola per portarne di simili è:

Esempi:

Forniscine di simili:

Risposte:

2. (e simili, poiché, quindi, questi termini hanno la stessa parte alfabetica).

2. Fattorizzazione

Questa è solitamente la parte più importante nella semplificazione delle espressioni. Dopo aver fornito espressioni simili, molto spesso l'espressione risultante deve essere fattorizzata, cioè presentata come prodotto. Ciò è particolarmente importante nelle frazioni: per poter ridurre una frazione, il numeratore e il denominatore devono essere rappresentati come un prodotto.

Hai esaminato i metodi di fattorizzazione delle espressioni in dettaglio nell'argomento "", quindi qui devi solo ricordare cosa hai imparato. Per fare questo, decidine alcuni esempi(deve essere fattorizzato):

Soluzioni:

3. Ridurre una frazione.

Ebbene, cosa potrebbe esserci di più piacevole che cancellare parte del numeratore e del denominatore e buttarli fuori dalla tua vita?

Questa è la bellezza del ridimensionamento.

È semplice:

Se numeratore e denominatore contengono gli stessi fattori, possono essere ridotti, cioè rimossi dalla frazione.

Questa regola deriva dalla proprietà fondamentale di una frazione:

Cioè, l'essenza dell'operazione di riduzione è questa Dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per lo stesso numero (o per la stessa espressione).

Per ridurre una frazione è necessario:

1) numeratore e denominatore fattorizzare

2) se numeratore e denominatore contengono fattori comuni, possono essere cancellati.

Il principio, credo, è chiaro?

Vorrei attirare la vostra attenzione su una cosa errore tipico quando si contrae. Sebbene questo argomento sia semplice, molte persone sbagliano tutto senza capirlo ridurre- questo significa dividere numeratore e denominatore sono lo stesso numero.

Nessuna abbreviazione se il numeratore o il denominatore è una somma.

Ad esempio: dobbiamo semplificare.

Alcuni fanno così: il che è assolutamente sbagliato.

Un altro esempio: ridurre.

Il “più intelligente” farà questo: .

Dimmi cosa c'è che non va qui? Sembrerebbe: - questo è un moltiplicatore, il che significa che può essere ridotto.

Ma no: - questo è un fattore di un solo termine nel numeratore, ma il numeratore stesso nel suo insieme non è fattorizzato.

Ecco un altro esempio: .

Questa espressione è fattorizzata, il che significa che puoi ridurla, cioè dividere il numeratore e il denominatore per, e poi per:

Puoi immediatamente dividerlo in:

Per evitare tali errori, ricorda modo semplice come determinare se un'espressione è fattorizzata:

L'operazione aritmetica eseguita per ultima quando si calcola il valore di un'espressione è l'operazione “principale”. Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numero invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione viene fattorizzata). Se l'ultima azione è un'addizione o una sottrazione, significa che l'espressione non è fattorizzata (e quindi non può essere ridotta).

Per consolidare, risolvine alcuni tu stesso esempi:

Risposte:

1. Spero che tu non ti sia affrettato a tagliare subito e? Non bastava ancora “ridurre” unità come questa:

Il primo passo dovrebbe essere la fattorizzazione:

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.

Addizione e sottrazione frazioni ordinarie- l'operazione è ben nota: cerchiamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e addizioniamo/sottraiamo i numeratori. Ricordiamo:

Risposte:

1. I denominatori e sono relativamente primi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, il LCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il denominatore comune:

2. Qui il denominatore comune è:

3. La prima cosa qui frazioni miste li trasformiamo in errati e poi seguiamo il solito schema:

La questione è completamente diversa se le frazioni contengono lettere, ad esempio:

Cominciamo con qualcosa di semplice:

a) I denominatori non contengono lettere

Qui tutto è uguale a quello delle frazioni numeriche ordinarie: troviamo il denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottraiamo i numeratori:

Ora nel numeratore puoi fornire quelli simili, se presenti, e fattorizzarli:

Provalo tu stesso:

b) I denominatori contengono lettere

Ricordiamo il principio di trovare un denominatore comune senza lettere:

· innanzitutto determiniamo i fattori comuni;

· poi scriviamo uno alla volta tutti i fattori comuni;

· e moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li scomponiamo prima in fattori primi:

Sottolineiamo i fattori comuni:

Ora scriviamo uno alla volta i fattori comuni e aggiungiamo ad essi tutti i fattori non comuni (non sottolineati):

Questo è il denominatore comune.

Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente nello stesso modo:

· fattorizzare i denominatori;

· determinare fattori comuni (identici);

· scrivere tutti i fattori comuni una volta;

· moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Quindi, in ordine:

1) fattorizzare i denominatori:

2) determinare fattori comuni (identici):

3) scrivi una volta tutti i fattori comuni e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):

Quindi qui c'è un denominatore comune. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda per:

A proposito, c'è un trucco:

Per esempio: .

Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo che tutti con indicatori diversi. Il denominatore comune sarà:

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura.

Complichiamo il compito:

Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?

Ricordiamo la proprietà base di una frazione:

Da nessuna parte viene detto che lo stesso numero può essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!

Guarda tu stesso: prendi qualsiasi frazione, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio, . Cosa hai imparato?

Quindi, un'altra regola irremovibile:

Quando riduci le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!

Ma per cosa bisogna moltiplicare per ottenere?

Quindi moltiplica per. E moltiplicare per:

Chiameremo “fattori elementari” le espressioni che non possono essere fattorizzate. Ad esempio, questo è un fattore elementare. - Stesso. Ma no: può essere fattorizzato.

E l'espressione? È elementare?

No, perché può essere fattorizzato:

(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").

Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono analoghi ai fattori semplici in cui scomponi i numeri. E li tratteremo allo stesso modo.

Vediamo che entrambi i denominatori hanno un moltiplicatore. Andrà al denominatore comune del grado (ricordate perché?).

Il fattore è elementare e non hanno un fattore comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:

Un altro esempio:

Soluzione:

Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come fattorizzarli? Entrambi rappresentano:

Grande! Poi:

Un altro esempio:

Soluzione:

Come al solito fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore lo mettiamo semplicemente tra parentesi; nel secondo - la differenza dei quadrati:

Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono simili... Ed è vero:

Quindi scriviamo:

Cioè, è risultato così: all'interno della parentesi abbiamo scambiato i termini e allo stesso tempo il segno davanti alla frazione è cambiato al contrario. Prendi nota, dovrai farlo spesso.

Ora portiamolo ad un denominatore comune:

Fatto? Controlliamolo ora.

Compiti per una soluzione indipendente:

Risposte:

Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:

Tieni presente che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula “quadrato della somma”! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo: .

A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso contenuto è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non il loro doppio prodotto. Il quadrato parziale della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza dei cubi:

Cosa fare se ci sono già tre frazioni?

Sì, la stessa cosa! Prima di tutto assicuriamoci di questo quantità massima i fattori ai denominatori erano gli stessi:

Nota: se si cambiano i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nel segno opposto. Quando cambiamo i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nuovamente nel segno opposto. Di conseguenza, esso (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.

Scriviamo l'intero primo denominatore nel denominatore comune, quindi aggiungiamo tutti i fattori che non sono ancora stati scritti, dal secondo e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, risulta così:

Hmm... È chiaro cosa fare con le frazioni. Ma che dire dei due?

È semplice: sai come sommare le frazioni, vero? Quindi dobbiamo far sì che due diventino una frazione! Ricordiamo: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te lo fossi dimenticato). E non c'è niente di più semplice che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:

Proprio quello di cui hai bisogno!

5. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.

Bene, la parte più difficile è ormai passata. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:

Procedura

Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda calcolando il significato di questa espressione:

Hai contato?

Dovrebbe funzionare.

Quindi, lascia che te lo ricordi.

Il primo passo è calcolare la laurea.

Il secondo è la moltiplicazione e la divisione. Se si effettuano più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, è possibile eseguirle in qualsiasi ordine.

E infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni. Ancora una volta, in qualsiasi ordine.

Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata a sproposito!

Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, prima calcoliamo l'espressione in ciascuna parentesi, quindi le moltiplichiamo o dividiamo.

Cosa succede se ci sono più parentesi all'interno delle parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Quando calcoli un'espressione, cosa dovresti fare prima? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.

Quindi, la procedura per l'espressione di cui sopra è la seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, cioè l'azione che sto eseguendo in questo momento):

Ok, è tutto semplice.

Ma questa non è la stessa cosa di un'espressione con lettere?

No, è lo stesso! Solo invece di operazioni aritmetiche devi fare operazioni algebriche, cioè le azioni descritte nella sezione precedente: portando simili, sommando frazioni, riducendo frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione di fattorizzazione dei polinomi (lo usiamo spesso quando lavoriamo con le frazioni). Molto spesso, per fattorizzare, è necessario utilizzare I o semplicemente mettere il fattore comune tra parentesi.

Di solito il nostro obiettivo è rappresentare l'espressione come prodotto o quoziente.

Per esempio:

Semplifichiamo l'espressione.

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. In questo caso abbiamo una differenza di frazioni e il nostro obiettivo è presentarla come prodotto o quoziente. Quindi portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:

È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione; qui tutti i fattori sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).

2) Otteniamo:

Moltiplicare le frazioni: cosa potrebbe essere più semplice.

3) Ora puoi abbreviare:

Bene, questo è tutto. Niente di complicato, vero?

Un altro esempio:

Semplifica l'espressione.

Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo dopo guarda la soluzione.

Prima di tutto, determiniamo l'ordine delle azioni. Per prima cosa aggiungiamo le frazioni tra parentesi, così invece di due frazioni ne otteniamo una. Poi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione. Numererò schematicamente i passaggi:

Ora ti mostrerò il procedimento, colorando di rosso l’azione corrente:

Infine ti darò due consigli utili:

1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. Qualunque sia il momento in cui si presentano casi simili nel nostro Paese, è opportuno segnalarli immediatamente.

2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, bisogna sfruttarla. L'eccezione è per le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora lo hanno stessi denominatori, allora la riduzione dovrebbe essere rimandata per dopo.

Ecco alcuni compiti che puoi risolvere da solo:

E ciò che è stato promesso all'inizio:

Soluzioni (brevi):

Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, hai padroneggiato l'argomento.

Ora passiamo all'apprendimento!

CONVERTIRE LE ESPRESSIONI. FORMULE RIASSUNTIVE E BASE

Operazioni di semplificazione di base:

• Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili è necessario sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
• Fattorizzazione: mettendo il fattore comune tra parentesi, applicandolo, ecc.
• Ridurre una frazione: Il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, il che non modifica il valore della frazione.
  1) numeratore e denominatore fattorizzare
  2) se numeratore e denominatore hanno fattori comuni, possono essere cancellati.

  IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!

• Addizione e sottrazione di frazioni:
  ;
• Moltiplicare e dividere le frazioni:
  ;

Qualsiasi lingua può esprimere le stesse informazioni in parole diverse e rivoluzioni. Il linguaggio matematico non fa eccezione. Ma la stessa espressione può essere scritta in modo equivalente in diversi modi. E in alcune situazioni, una delle voci è più semplice. Parleremo di semplificare le espressioni in questa lezione.

Le persone continuano a comunicare lingue diverse. Per noi confronto importanteè la coppia “lingua russa - lingua matematica”. Le stesse informazioni possono essere comunicate in diverse lingue. Ma oltre a ciò, nella stessa lingua può essere pronunciato in modi diversi.

Ad esempio: "Petya è amico di Vasya", "Vasya è amico di Petya", "Petya e Vasya sono amici". Detto diversamente, ma è la stessa cosa. Da una qualsiasi di queste frasi capiremmo di cosa stiamo parlando.

Diamo un'occhiata a questa frase: "Il ragazzo Petya e il ragazzo Vasya sono amici". Capiamo cosa intendiamo stiamo parlando. Tuttavia non ci piace il suono di questa frase. Non possiamo semplificarlo, dire la stessa cosa, ma più semplice? "Ragazzo e ragazzo" - puoi dire una volta: "I ragazzi Petya e Vasya sono amici".

“Ragazzi”... Non è chiaro dai loro nomi che non sono ragazze? Rimuoviamo i "ragazzi": "Petya e Vasya sono amici". E la parola "amici" può essere sostituita con "amici": "Petya e Vasya sono amici". Di conseguenza, la prima, lunga e brutta frase è stata sostituita con un'affermazione equivalente, più facile da dire e da capire. Abbiamo semplificato questa frase. Semplificare significa dirlo in modo più semplice, senza però perderne o stravolgerne il significato.

IN linguaggio matematico succede più o meno la stessa cosa. Si può dire la stessa cosa, scritta diversamente. Cosa significa semplificare un'espressione? Ciò significa che per l'espressione originale esistono molte espressioni equivalenti, cioè che significano la stessa cosa. E tra tutta questa varietà dobbiamo scegliere quella più semplice, a nostro avviso, ovvero quella più adatta ai nostri scopi ulteriori.

Consideriamo ad esempio l'espressione numerica. Sarà equivalente a .

Sarà anche equivalente ai primi due: .

Risulta che abbiamo semplificato le nostre espressioni e trovato l'espressione equivalente più breve.

Per espressioni numeriche devi sempre eseguire tutte le azioni e ottenere l'espressione equivalente sotto forma di un singolo numero.

Consideriamo un esempio di espressione letterale . Ovviamente sarà più semplice.

Quando si semplifica espressioni letteraliè necessario eseguire tutte le azioni possibili.

È sempre necessario semplificare un'espressione? No, a volte ci sarà più conveniente avere un ingresso equivalente ma più lungo.

Esempio: devi sottrarre un numero da un numero.

È possibile calcolare, ma se il primo numero fosse rappresentato dalla sua notazione equivalente: , i calcoli sarebbero istantanei: .

Cioè, un'espressione semplificata non è sempre vantaggiosa per noi per ulteriori calcoli.

Tuttavia, molto spesso ci troviamo di fronte a un compito che suona semplicemente come “semplificare l’espressione”.

Semplifica l'espressione: .

Soluzione

1) Eseguire le azioni indicate nella prima e nella seconda parentesi: .

2) Calcoliamo i prodotti: .

Ovviamente l'ultima espressione ha una forma più semplice di quella iniziale. Lo abbiamo semplificato.

Per semplificare l'espressione è necessario sostituirla con un equivalente (uguale).

Per determinare l'espressione equivalente è necessario:

1) eseguire tutte le azioni possibili,

2) utilizzare le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per semplificare i calcoli.

Proprietà di addizione e sottrazione:

1. Proprietà commutativa dell'addizione: riordinare i termini non cambia la somma.

2. Proprietà combinatoria dell'addizione: per aggiungere un terzo numero alla somma di due numeri, puoi aggiungere la somma del secondo e del terzo numero al primo numero.

3. La proprietà di sottrarre una somma da un numero: per sottrarre una somma da un numero, puoi sottrarre ogni termine separatamente.

Proprietà della moltiplicazione e della divisione

1. Proprietà commutativa della moltiplicazione: riordinare i fattori non cambia il prodotto.

2. Proprietà combinatoria: per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.

3. Proprietà distributiva della moltiplicazione: per moltiplicare un numero per una somma, è necessario moltiplicarlo per ciascun termine separatamente.

Vediamo come eseguiamo effettivamente i calcoli mentali.

Calcolare:

Soluzione

1) Immaginiamo come

2) Immaginiamo il primo fattore come somma di termini in bit ed eseguiamo la moltiplicazione:

3) puoi immaginare come ed eseguire la moltiplicazione:

4) Sostituisci il primo fattore con una somma equivalente:

Si può usare anche la legge distributiva retro: .

Segui questi passaggi:

1) 2)

Soluzione

1) Per comodità, puoi usare la legge distributiva, ma usala nella direzione opposta: togli il fattore comune tra parentesi.

2) Togliamo il fattore comune tra parentesi

È necessario acquistare linoleum per la cucina e il corridoio. Zona cottura - , disimpegno - . Esistono tre tipi di linoleum: per e rubli per. Quanto costerà ciascuno? tre tipi linoleum? (Fig.1)

Riso. 1. Illustrazione per la dichiarazione del problema

Soluzione

Metodo 1. Puoi scoprire separatamente quanti soldi ci vorranno per acquistare linoleum per la cucina, quindi nel corridoio e sommare i prodotti risultanti.

Sezione 5 ESPRESSIONI ED EQUAZIONI

In questa sezione imparerai:

ü o espressioni e loro semplificazioni;

ü quali sono le proprietà delle uguaglianze;

ü come risolvere equazioni basate sulle proprietà delle uguaglianze;

ü quali tipi di problemi vengono risolti utilizzando le equazioni; cosa sono le linee perpendicolari e come costruirle;

ü quali linee sono chiamate parallele e come costruirle;

ü cos'è un piano di coordinate?

ü come determinare le coordinate di un punto su un piano;

ü cos'è un grafico della relazione tra quantità e come costruirlo;

ü come applicare nella pratica il materiale studiato

§ 30. ESPRESSIONI E LORO SEMPLIFICAZIONE

Sai già cosa sono le espressioni delle lettere e sai come semplificarle utilizzando le leggi dell'addizione e della moltiplicazione. Ad esempio, 2a ∙ (-4 b) = -8ab . Nell'espressione risultante, il numero -8 è chiamato coefficiente dell'espressione.

Fa l'espressione CD coefficiente? COSÌ. È uguale a 1 perché cd - 1 ∙ cd .

Ricordiamo che convertire un'espressione con parentesi in un'espressione senza parentesi si chiama espansione delle parentesi. Ad esempio: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

L'azione inversa in questo esempio è togliere il fattore comune dalle parentesi.

I termini contenenti gli stessi fattori di lettere sono chiamati termini simili. Togliendo il fattore comune dalle parentesi, vengono sollevati termini simili:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

Bx+ 7y - 5.

Regole per aprire le parentesi

1. Se c'è un segno "+" davanti alle parentesi, quando si aprono le parentesi, i segni dei termini tra parentesi vengono preservati;

2. Se c'è un segno "-" davanti alle parentesi, quando le parentesi vengono aperte, i segni dei termini tra parentesi cambiano al contrario.

Compito 1. Semplifica l'espressione:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 a -(-8 + 7 a ).

Soluzioni. 1. Prima delle parentesi c'è un segno "+", quindi quando si aprono le parentesi vengono preservati i segni di tutti i termini:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Prima delle parentesi c'è il segno “-”, quindi quando si aprono le parentesi: i segni di tutti i termini sono invertiti:

15 - (- 8 + 7a) = 15a + 8 - 7a = 8a +8.

Per aprire le parentesi, utilizzare la proprietà distributiva della moltiplicazione: a( b + c ) = ab + ac. Se a > 0, allora i segni dei termini B e con non cambiare. Se a< 0, то знаки слагаемых B e cambiare al contrario.

Attività 2. Semplifica l'espressione:

1) 2(6 a -8) + 7 a ;

2)-5(2-5x) + 12.

Soluzioni. 1. Il fattore 2 davanti alle parentesi è positivo, quindi, aprendo le parentesi, conserviamo i segni di tutti i termini: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Il fattore -5 davanti alle parentesi è negativo, quindi quando si aprono le parentesi cambiamo i segni di tutti i termini al contrario:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Scopri di più

1. La parola “sum” deriva dal latino summa , che significa “totale”, “importo totale”.

2. La parola “più” deriva dal latino più che significa "più" e la parola "meno" viene dal latino meno Cosa significa "meno"? I segni “+” e “-” vengono utilizzati per indicare le operazioni di addizione e sottrazione. Questi segni furono introdotti dallo scienziato ceco J. Widman nel 1489 nel libro “Un resoconto rapido e piacevole per tutti i commercianti”(Fig. 138).

Riso. 138

RICORDA L'IMPORTANTE

1. Quali termini sono chiamati simili? Come vengono costruiti tali termini?

2. Come si aprono le parentesi precedute dal segno “+”?

3. Come si aprono le parentesi precedute dal segno “-”?

4. Come si aprono le parentesi precedute da un fattore positivo?

5. Come si aprono le parentesi precedute da un fattore negativo?

1374". Assegnare un nome al coefficiente dell'espressione:

1)12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nomina i termini che differiscono solo per il coefficiente:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n+5m -4n+4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.

Come si chiamano questi termini?

1376". Esistono termini simili nell'espressione:

1)11a+10a; 3)6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12m+m; 6)8 k +10 k - n ?

1377". È necessario cambiare i segni dei termini tra parentesi, aprendo le parentesi nell'espressione:

1)4 + (a+ 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Semplifica l’espressione e sottolinea il coefficiente:

1379°. Semplifica l’espressione e sottolinea il coefficiente:

1380°. Combina termini simili:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10-4 d - 12 + 4 d ;

2) 4b - 5b + 4 + 5b ; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Combina termini simili:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b+12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Togli il fattore comune tra parentesi:

1)1,2a+1,2b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Togli il fattore comune tra parentesi:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Apri le parentesi e combina termini simili;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Apri le parentesi e combina termini simili:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s-5 d) - (- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Apri le parentesi e trova il significato dell'espressione:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Apri le parentesi e trova il significato dell'espressione:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Espandi le parentesi:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Espandi le parentesi:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Semplifichiamo l'espressione:

1391. Semplifichiamo l'espressione:

1392. Combina termini simili:

1393. Combina termini simili:

1394. Semplifichiamo l'espressione:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, per ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Semplifichiamo l'espressione:

1396. Trovare il significato dell'espressione;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), se a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), se = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Trova il significato dell'espressione:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), se x = -0,25;

1398*. Trova l'errore nella soluzione:

1)5- (a-2.4)-7 ∙ (-a+ 1.2) = 5a - 12-7a + 8.4 = -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Apri le parentesi e semplifica l'espressione:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Disporre le parentesi per ottenere l'uguaglianza corretta:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Dimostrare che per qualsiasi numero a e b se a > b , allora vale l'uguaglianza:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Questa uguaglianza sarà corretta se: a) a< B ; b) a = 6?

1402*. Dimostralo per chiunque numero naturale e la media aritmetica dei numeri precedente e successivo è uguale al numero a.

METTILO IN PRATICA

1403. Per cucinare dolce alla frutta per tre persone vi servono: 2 mele, 1 arancia, 2 banane e 1 kiwi. Come creare un'espressione in lettere per determinare la quantità di frutta necessaria per preparare il dessert per gli ospiti? Aiuta Marin a calcolare quanti frutti deve comprare se: 1) 5 amici vengono a trovarla; 2) 8 amici.

1404. Crea un'espressione di lettere per determinare il tempo richiesto per completare i compiti di matematica se:

1) è stato dedicato un minuto alla risoluzione dei problemi; 2) la semplificazione delle espressioni è 2 volte maggiore rispetto alla risoluzione dei problemi. Quanto tempo è stato necessario per completarlo compiti a casa Vasilko, se impiegasse 15 minuti a risolvere i problemi?

1405. Il pranzo nella mensa scolastica consiste in insalata, borscht, involtini di cavolo e composta. Il costo dell'insalata è del 20%, il borscht è del 30%, gli involtini di cavolo sono del 45%, la composta è del 5% del costo totale dell'intero pranzo. Scrivi un'espressione per trovare il costo del pranzo nella mensa scolastica. Quanto costa il pranzo se il prezzo dell'insalata è 2 UAH?

PROBLEMI DI REVISIONE

1406. Risolvi l'equazione:

1407. Tanya spende per il gelatotutto il denaro disponibile, e per le caramelle -il riposo. Quanti soldi sono rimasti a Tanya?

se le caramelle costano 12 UAH?

Utilizzando qualsiasi lingua, puoi esprimere le stesse informazioni con parole e frasi diverse. Il linguaggio matematico non fa eccezione. Ma la stessa espressione può essere scritta in modo equivalente in diversi modi. E in alcune situazioni, una delle voci è più semplice. Parleremo di semplificare le espressioni in questa lezione.

Le persone comunicano in diverse lingue. Per noi, un confronto importante è la coppia "lingua russa - lingua matematica". Le stesse informazioni possono essere comunicate in diverse lingue. Ma oltre a ciò, nella stessa lingua può essere pronunciato in modi diversi.

Ad esempio: "Petya è amico di Vasya", "Vasya è amico di Petya", "Petya e Vasya sono amici". Detto diversamente, ma è la stessa cosa. Da una qualsiasi di queste frasi capiremmo di cosa stiamo parlando.

Diamo un'occhiata a questa frase: "Il ragazzo Petya e il ragazzo Vasya sono amici". Capiamo di cosa stiamo parlando. Tuttavia non ci piace il suono di questa frase. Non possiamo semplificarlo, dire la stessa cosa, ma più semplice? "Ragazzo e ragazzo" - puoi dire una volta: "I ragazzi Petya e Vasya sono amici".

“Ragazzi”... Non è chiaro dai loro nomi che non sono ragazze? Rimuoviamo i "ragazzi": "Petya e Vasya sono amici". E la parola "amici" può essere sostituita con "amici": "Petya e Vasya sono amici". Di conseguenza, la prima, lunga e brutta frase è stata sostituita con un'affermazione equivalente, più facile da dire e da capire. Abbiamo semplificato questa frase. Semplificare significa dirlo in modo più semplice, senza però perderne o stravolgerne il significato.

Nel linguaggio matematico accade più o meno la stessa cosa. Si può dire la stessa cosa, scritta diversamente. Cosa significa semplificare un'espressione? Ciò significa che per l'espressione originale esistono molte espressioni equivalenti, cioè che significano la stessa cosa. E tra tutta questa varietà dobbiamo scegliere quella più semplice, a nostro avviso, ovvero quella più adatta ai nostri scopi ulteriori.

Consideriamo ad esempio l'espressione numerica. Sarà equivalente a .

Sarà anche equivalente ai primi due: .

Risulta che abbiamo semplificato le nostre espressioni e trovato l'espressione equivalente più breve.

Per le espressioni numeriche, è sempre necessario eseguire tutti i passaggi e ottenere l'espressione equivalente come un singolo numero.

Consideriamo un esempio di espressione letterale . Ovviamente sarà più semplice.

Quando si semplificano le espressioni letterali, è necessario eseguire tutte le azioni possibili.

È sempre necessario semplificare un'espressione? No, a volte ci sarà più conveniente avere un ingresso equivalente ma più lungo.

Esempio: devi sottrarre un numero da un numero.

È possibile calcolare, ma se il primo numero fosse rappresentato dalla sua notazione equivalente: , i calcoli sarebbero istantanei: .

Cioè, un'espressione semplificata non è sempre vantaggiosa per noi per ulteriori calcoli.

Tuttavia, molto spesso ci troviamo di fronte a un compito che suona semplicemente come “semplificare l’espressione”.

Semplifica l'espressione: .

Soluzione

1) Eseguire le azioni indicate nella prima e nella seconda parentesi: .

2) Calcoliamo i prodotti: .

Ovviamente l'ultima espressione ha una forma più semplice di quella iniziale. Lo abbiamo semplificato.

Per semplificare l'espressione è necessario sostituirla con un equivalente (uguale).

Per determinare l'espressione equivalente è necessario:

1) eseguire tutte le azioni possibili,

2) utilizzare le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per semplificare i calcoli.

Proprietà di addizione e sottrazione:

1. Proprietà commutativa dell'addizione: riordinare i termini non cambia la somma.

2. Proprietà combinatoria dell'addizione: per aggiungere un terzo numero alla somma di due numeri, puoi aggiungere la somma del secondo e del terzo numero al primo numero.

3. La proprietà di sottrarre una somma da un numero: per sottrarre una somma da un numero, puoi sottrarre ogni termine separatamente.

Proprietà della moltiplicazione e della divisione

1. Proprietà commutativa della moltiplicazione: riordinare i fattori non cambia il prodotto.

2. Proprietà combinatoria: per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.

3. Proprietà distributiva della moltiplicazione: per moltiplicare un numero per una somma, è necessario moltiplicarlo per ciascun termine separatamente.

Vediamo come eseguiamo effettivamente i calcoli mentali.

Calcolare:

Soluzione

1) Immaginiamo come

2) Immaginiamo il primo fattore come somma di termini in bit ed eseguiamo la moltiplicazione:

3) puoi immaginare come ed eseguire la moltiplicazione:

4) Sostituisci il primo fattore con una somma equivalente:

La legge di distribuzione può essere utilizzata anche nella direzione opposta: .

Segui questi passaggi:

1) 2)

Soluzione

1) Per comodità, puoi usare la legge distributiva, ma usala nella direzione opposta: togli il fattore comune tra parentesi.

2) Togliamo il fattore comune tra parentesi

È necessario acquistare linoleum per la cucina e il corridoio. Zona cottura - , disimpegno - . Esistono tre tipi di linoleum: per e rubli per. Quanto costerà ciascuno dei tre tipi di linoleum? (Fig.1)

Riso. 1. Illustrazione per la dichiarazione del problema

Soluzione

Metodo 1. Puoi scoprire separatamente quanti soldi ci vorranno per acquistare linoleum per la cucina, quindi nel corridoio e sommare i prodotti risultanti.