Abbreviazione di espressioni letterali. Espressioni letterali

Un'espressione algebrica in cui, insieme alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, utilizza anche espressioni di divisione in lettere, è chiamata espressione algebrica frazionaria. Queste sono, ad esempio, le espressioni

Chiamiamo frazione algebrica espressione algebrica, che ha la forma del quoziente della divisione di due espressioni algebriche intere (ad esempio monomi o polinomi). Queste sono, ad esempio, le espressioni

La terza delle espressioni).

Le trasformazioni identiche delle espressioni algebriche frazionarie sono per la maggior parte destinate a rappresentarle nella forma frazione algebrica. Per trovare il denominatore comune, viene utilizzata la fattorizzazione dei denominatori delle frazioni, termini per trovare il loro minimo comune multiplo. Quando si riducono le frazioni algebriche, la stretta identità delle espressioni può essere violata: è necessario escludere valori di quantità ai quali il fattore con cui viene effettuata la riduzione diventa zero.

Diamo esempi di trasformazioni identiche di espressioni algebriche frazionarie.

Esempio 1: semplificare un'espressione

Tutti i termini possono essere ridotti a un denominatore comune (è conveniente cambiare il segno al denominatore dell'ultimo termine e il segno che lo precede):

La nostra espressione è uguale a uno per tutti i valori tranne questi valori; non è definita e ridurre la frazione è illegale).

Esempio 2. Rappresenta l'espressione come una frazione algebrica

Soluzione. L'espressione può essere presa come denominatore comune. Troviamo in sequenza:

Esercizi

1. Trova i valori delle espressioni algebriche per i valori dei parametri specificati:

2. Fattorizzare.

Semplificare le espressioni algebriche è uno dei punti chiave imparare l'algebra e un'abilità estremamente utile per tutti i matematici. La semplificazione consente di ridurre un'espressione complessa o lunga in un'espressione semplice con cui sia facile lavorare. Le competenze di base di semplificazione vanno bene anche per chi non è entusiasta della matematica. Osservandone diversi regole semplici, puoi semplificare molti dei tipi più comuni di espressioni algebriche senza alcuna conoscenza matematica speciale.

Passi

Definizioni importanti

1. Membri simili. Si tratta di membri con una variabile dello stesso ordine, membri con le stesse variabili o membri liberi (membri che non contengono una variabile). In altre parole, termini simili includono la stessa variabile nella stessa misura, includono diverse variabili identiche o non includono affatto una variabile. L'ordine dei termini nell'espressione non ha importanza.

   • Ad esempio, 3x 2 e 4x 2 sono termini simili perché contengono una variabile del secondo ordine (alla seconda potenza) "x". Tuttavia x e x2 non sono termini simili, poiché contengono la variabile “x” di ordine diverso (primo e secondo). Allo stesso modo, -3yx e 5xz non sono termini simili perché contengono variabili diverse.

2. Fattorizzazione. Si tratta di trovare numeri il cui prodotto porta al numero originale. Qualsiasi numero originale può avere diversi fattori. Ad esempio, il numero 12 può essere scomposto nelle seguenti serie di fattori: 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4, quindi possiamo dire che i numeri 1, 2, 3, 4, 6 e 12 sono fattori del numero 12. I fattori sono gli stessi dei fattori , cioè i numeri per cui viene diviso il numero originale.

   • Ad esempio, se vuoi fattorizzare il numero 20, scrivilo in questo modo: 4×5.
   • Si noti che durante la fattorizzazione, la variabile viene presa in considerazione. Ad esempio, 20x = 4(5x).
   • I numeri primi non possono essere scomposti perché sono divisibili solo per se stessi e per 1.

3. Ricorda e segui l'ordine delle operazioni per evitare errori.

   • Parentesi
   • Grado
   • Moltiplicazione
   • Divisione
   • Aggiunta
   • Sottrazione

   Portare membri simili

   1. Scrivi l'espressione. Semplici espressioni algebriche (quelle che non contengono frazioni, radici, ecc.) possono essere risolte (semplificate) in pochi passaggi.

      • Ad esempio, semplifica l'espressione 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definire termini simili (termini con una variabile dello stesso ordine, termini con le stesse variabili o termini liberi).

      • Trova termini simili in questa espressione. I termini 2x e 4x contengono una variabile dello stesso ordine (prima). Inoltre, 1 e -3 sono termini liberi (non contengono una variabile). Quindi, in questa espressione i termini 2x e 4x sono simili, e i membri 1 e -3 sono anche simili.

   3. Fornisci termini simili. Ciò significa aggiungerli o sottrarli e semplificare l'espressione.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Riscrivi l'espressione tenendo conto dei termini indicati. Otterrai un'espressione semplice con meno termini. La nuova espressione è uguale a quella originale.

      • Nel nostro esempio: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x-2, ovvero l'espressione originale è semplificata e più facile da utilizzare.

   5. Segui l'ordine delle operazioni quando porti membri simili. Nel nostro esempio, è stato facile fornire termini simili. Tuttavia, nel caso di espressioni complesse in cui i termini sono racchiusi tra parentesi e sono presenti frazioni e radici, non è così facile riportare tali termini. In questi casi, seguire l'ordine delle operazioni.

      • Ad esempio, considera l'espressione 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Qui sarebbe un errore definire subito 3x e 2x come termini simili e presentarli, perché è necessario prima aprire le parentesi. Pertanto, eseguire le operazioni secondo il loro ordine.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ora, quando l'espressione contiene solo operazioni di addizione e sottrazione, puoi riportare termini simili.
        • x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x2 + 12x + 3

   Togliendo il moltiplicatore tra parentesi

   1. Trova il massimo comun divisore (MCD) di tutti i coefficienti dell'espressione. GCD lo è numero maggiore, per il quale vengono divisi tutti i coefficienti dell'espressione.

      • Ad esempio, considera l'equazione 9x 2 + 27x - 3. In questo caso, MCD = 3, poiché qualsiasi coefficiente di questa espressione è divisibile per 3.

   2. Dividi ciascun termine dell'espressione per MCD. I termini risultanti conterranno coefficienti più piccoli rispetto all'espressione originale.

      • Nel nostro esempio, dividi ciascun termine nell'espressione per 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Il risultato è stato un'espressione 3x2 + 9x - 1. Non è uguale all'espressione originale.

   3. Scrivi l'espressione originale come uguale al prodotto MCD dell'espressione risultante. Cioè, racchiudi l'espressione risultante tra parentesi e togli il mcd dalle parentesi.

      • Nel nostro esempio: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x2 + 9x - 1)

   4. Semplificare le espressioni frazionarie mettendo il fattore tra parentesi. Perché mettere semplicemente il moltiplicatore tra parentesi, come è stato fatto prima? Quindi, per imparare a semplificare espressioni complesse, come le espressioni frazionarie. In questo caso, mettere il fattore tra parentesi può aiutare a eliminare la frazione (dal denominatore).

      • Ad esempio, considera l'espressione frazionaria (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizzare la fattorizzazione per semplificare questa espressione.
        • Metti il ​​fattore 3 tra parentesi (come hai fatto prima): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Nota che ora c'è un 3 sia al numeratore che al denominatore. Questo può essere ridotto per ottenere l'espressione: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Poiché qualsiasi frazione che ha il numero 1 al denominatore è semplicemente uguale al numeratore, l'espressione della frazione originale si semplifica in: 3x2 + 9x - 1.

   Ulteriori metodi di semplificazione

4. Consideriamo un semplice esempio: √(90). Il numero 90 può essere scomposto nei seguenti fattori: 9 e 10 ed estratto da 9 Radice quadrata(3) e rimuovi 3 da sotto la radice.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Semplificare le espressioni con le potenze. Alcune espressioni contengono operazioni di moltiplicazione o divisione di termini con potenze. Nel caso di moltiplicazione di termini con la stessa base si sommano le loro potenze; nel caso di divisione di termini con la stessa base si sottraggono i loro gradi.

   • Consideriamo ad esempio l'espressione 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Nel caso della moltiplicazione sommare le potenze, nel caso della divisione sottrarle.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Quella che segue è una spiegazione delle regole per moltiplicare e dividere i termini esponenti.
     • Moltiplicare i termini per le potenze equivale a moltiplicare i termini per se stessi. Ad esempio, poiché x 3 = x × x × x e x 5 = x × x × x × x × x, allora x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) o x8 .
     • Allo stesso modo, dividere i termini per gradi equivale a dividere i termini per se stessi. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Poiché i termini simili presenti sia al numeratore che al denominatore possono essere ridotti, il prodotto di due “x”, o x 2 , rimane al numeratore.

• Ricorda sempre i segni (più o meno) che precedono i termini dell'espressione, poiché molte persone hanno difficoltà a scegliere il segno corretto.
• Chiedi aiuto se necessario!
• Semplificare le espressioni algebriche non è facile, ma una volta capito, è un'abilità che puoi utilizzare per il resto della tua vita.

Nota 1

Una funzione booleana può essere scritta utilizzando un'espressione booleana e può quindi essere spostata in un circuito logico. È necessario semplificare le espressioni logiche per ottenere il circuito logico più semplice (e quindi più economico) possibile. Essenzialmente una funzione logica, un'espressione logica e un circuito logico sono tre lingue differenti, raccontando di un'entità.

Per semplificare le espressioni logiche utilizzare leggi della logica algebrica.

Alcune trasformazioni sono simili alle trasformazioni di formule nell'algebra classica (togliendo il fattore comune tra parentesi, usando leggi commutative e combinatorie, ecc.), mentre altre trasformazioni si basano su proprietà che le operazioni dell'algebra classica non hanno (usando la proprietà distributiva legge della congiunzione, leggi dell'assorbimento, dell'incollaggio, regole di de Morgan, ecc.).

Le leggi dell'algebra logica sono formulate per le operazioni logiche di base: “NOT” – inversione (negazione), “AND” – congiunzione (moltiplicazione logica) e “OR” – disgiunzione (addizione logica).

La legge della doppia negazione significa che l'operazione “NOT” è reversibile: se la applichi due volte, alla fine il valore logico non cambierà.

La legge del terzo escluso afferma che qualsiasi espressione logica è vera o falsa (“non esiste un terzo”). Pertanto, se $A=1$, allora $\bar(A)=0$ (e viceversa), ciò significa che la congiunzione di queste quantità è sempre uguale a zero e la disgiunzione è sempre uguale a uno.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Semplifichiamo questa formula:

Figura 3.

Ne consegue che $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Risposta: Gli studenti $B$, $C$ e $D$ giocano a scacchi, ma lo studente $A$ non gioca.

Quando si semplificano le espressioni logiche, è possibile eseguire la seguente sequenza di azioni:

1. Sostituisci tutte le operazioni “non basilari” (equivalenza, implicazione, OR esclusivo, ecc.) con le loro espressioni attraverso le operazioni basilari di inversione, congiunzione e disgiunzione.
2. Espandi le inversioni di espressioni complesse secondo le regole di De Morgan in modo tale che le operazioni di negazione rimangano solo per le singole variabili.
3. Quindi semplifica l'espressione utilizzando parentesi aperte, posizionando i fattori comuni all'esterno delle parentesi e altre leggi dell'algebra logica.

Esempio 2

Qui si utilizzano successivamente la regola di De Morgan, la legge distributiva, la legge del terzo escluso, la legge commutativa, la legge di ripetizione, ancora la legge commutativa e la legge di assorbimento.

Spesso le attività richiedono una risposta semplificata. Sebbene siano corrette sia le risposte semplificate che quelle non semplificate, il tuo insegnante potrebbe abbassarti il ​​voto se non semplifichi la risposta. Inoltre, l'espressione matematica semplificata è molto più semplice da utilizzare. Pertanto, è molto importante imparare a semplificare le espressioni.

Passi

Ordine corretto delle operazioni matematiche

1. Ricorda l'ordine corretto per eseguire operazioni matematiche. Quando si semplifica un'espressione matematica, è necessario osservare certo ordine azioni, poiché alcune operazioni matematiche hanno la precedenza sulle altre e devono essere eseguite per prime (infatti, non seguire l'ordine corretto di esecuzione delle operazioni porterà al risultato sbagliato). Ricorda il seguente ordine delle operazioni matematiche: espressione tra parentesi, esponenziazione, moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione.

   • Tieni presente che conoscere l'ordine corretto delle operazioni ti consentirà di semplificare la maggior parte delle espressioni semplici, ma per semplificare un polinomio (un'espressione con una variabile) devi conoscere trucchi speciali (vedi la sezione successiva).

2. Inizia risolvendo l'espressione tra parentesi. In matematica, le parentesi indicano che l'espressione racchiusa al loro interno deve essere valutata per prima. Pertanto, quando si semplifica qualsiasi espressione matematica, iniziare risolvendo l'espressione racchiusa tra parentesi (non importa quali operazioni è necessario eseguire all'interno delle parentesi). Ma ricorda che quando lavori con un'espressione racchiusa tra parentesi, devi seguire l'ordine delle operazioni, ovvero i termini tra parentesi vengono prima moltiplicati, divisi, aggiunti, sottratti e così via.

   • Ad esempio, semplifichiamo l'espressione 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Qui iniziamo con le espressioni tra parentesi: 5 + 2 = 7 e 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • L'espressione nella seconda coppia di parentesi si semplifica in 5 perché 4/2 deve essere diviso per primo (secondo l'ordine corretto delle operazioni). Se non segui questo ordine, otterrai la risposta sbagliata: 3 + 4 = 7 e 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Se tra le parentesi è presente un'altra coppia di parentesi, inizia a semplificare risolvendo l'espressione tra parentesi interne e poi passa a risolvere l'espressione tra parentesi esterne.

3. Esponenziare. Dopo aver risolto le espressioni tra parentesi, passiamo all'elevamento a potenza (ricordiamo che una potenza ha un esponente e una base). Eleva a potenza l'espressione (o il numero) corrispondente e sostituisci il risultato nell'espressione che ti viene data.

   • Nel nostro esempio, l'unica espressione (numero) elevata è 3 2: 3 2 = 9. Nell'espressione che ti è stata data, sostituisci 3 2 con 9 e otterrai: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Moltiplicare. Ricorda che l'operazione di moltiplicazione può essere rappresentata dai seguenti simboli: "x", "∙" o "*". Ma se non ci sono simboli tra il numero e la variabile (ad esempio 2x) o tra il numero e il numero tra parentesi (ad esempio 4(7)), anche questa è un'operazione di moltiplicazione.

   • Nel nostro esempio ci sono due operazioni di moltiplicazione: 2x (due moltiplicati per la variabile “x”) e 4(7) (quattro moltiplicati per sette). Non conosciamo il valore di x, quindi lasceremo l'espressione 2x così com'è. 4(7) = 4 x 7 = 28. Ora puoi riscrivere l'espressione che ti è stata data come segue: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dividere. Ricorda che l'operazione di divisione può essere rappresentata dai seguenti simboli: “/”, “÷” o “–” (quest'ultimo carattere potrebbe essere presente nelle frazioni). Ad esempio, 3/4 è tre diviso quattro.

   • Nel nostro esempio non c'è più un'operazione di divisione, poiché hai già diviso 4 per 2 (4/2) risolvendo l'espressione tra parentesi. Quindi puoi andare a passo successivo. Ricorda che la maggior parte delle espressioni non contiene tutte le operazioni matematiche (solo alcune di esse).

6. Piega. Quando aggiungi i termini di un'espressione, puoi iniziare con il termine più lontano (a sinistra) oppure puoi aggiungere per primi i termini che si aggiungono facilmente. Ad esempio, nell'espressione 49 + 29 + 51 +71, è prima più semplice sommare 49 + 51 = 100, poi 29 + 71 = 100 e infine 100 + 100 = 200. È molto più difficile sommare in questo modo: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Nel nostro esempio 2x + 28 + 9 + 5 ci sono due operazioni di addizione. Cominciamo con il termine più esterno (a sinistra): 2x + 28; non puoi sommare 2x e 28 perché non conosci il valore della variabile "x". Quindi aggiungi 28 + 9 = 37. Ora l'espressione può essere riscritta come segue: 2x + 37 - 5.

7. Sottrarre. Questa è l'ultima operazione effettuata nel giusto ordine eseguire operazioni matematiche. In questa fase puoi anche aggiungere numeri negativi oppure fallo nella fase di aggiunta dei membri: ciò non influirà in alcun modo sul risultato finale.

   • Nel nostro esempio 2x + 37 - 5 c'è una sola operazione di sottrazione: 37 - 5 = 32.

8. A questo punto, dopo aver eseguito tutte le operazioni matematiche, dovresti ottenere un'espressione semplificata. Ma se l'espressione che ti viene data contiene una o più variabili, ricorda che il termine con la variabile rimarrà così com'è. Risolvere (non semplificare) un'espressione con una variabile implica trovare il valore di quella variabile. A volte le espressioni variabili possono essere semplificate utilizzando metodi speciali (vedere la sezione successiva).

   • Nel nostro esempio, la risposta finale è 2x + 32. Non puoi sommare i due termini finché non conosci il valore della variabile "x". Una volta che conosci il valore della variabile, puoi facilmente semplificare questo binomio.

   Semplificazione di espressioni complesse

   1. Aggiunta di termini simili. Ricorda che puoi solo sottrarre e aggiungere termini simili, cioè termini con la stessa variabile e lo stesso esponente. Ad esempio, puoi sommare 7x e 5x, ma non puoi sommare 7x e 5x 2 (poiché gli esponenti sono diversi).

      • Questa regola si applica anche ai membri con più variabili. Ad esempio, puoi aggiungere 2xy 2 e -3xy 2 , ma non puoi aggiungere 2xy 2 e -3x 2 y o 2xy 2 e -3y 2 .
      • Consideriamo un esempio: x 2 + 3x + 6 - 8x. Qui i termini simili sono 3x e 8x, quindi possono essere sommati. Un'espressione semplificata è questa: x 2 - 5x + 6.

   2. Semplifica la frazione numerica. In tale frazione, sia il numeratore che il denominatore contengono numeri (senza variabile). Una frazione numerica può essere semplificata in diversi modi. Per prima cosa dividi semplicemente il denominatore per il numeratore. In secondo luogo, fattorizza il numeratore e il denominatore e annulla i fattori simili (poiché dividendo un numero per se stesso otterrai 1). In altre parole, se sia il numeratore che il denominatore hanno lo stesso fattore, puoi eliminarlo e ottenere una frazione semplificata.

      • Consideriamo ad esempio la frazione 36/60. Usando una calcolatrice, dividi 36 per 60 per ottenere 0,6. Ma puoi semplificare questa frazione in un altro modo fattorizzando il numeratore e il denominatore: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Poiché 6/6 = 1, la frazione semplificata è: 1 x 6/10 = 6/10. Ma questa frazione può anche essere semplificata: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Se una frazione contiene una variabile, puoi cancellare fattori simili con la variabile. Fattorizza sia il numeratore che il denominatore e cancella i fattori simili, anche se contengono la variabile (ricorda che i fattori simili qui possono o meno contenere la variabile).

      • Consideriamo un esempio: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Questa espressione può essere riscritta (fattorizzata) nella forma: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Poiché il termine 3x è sia al numeratore che al denominatore, puoi cancellarlo per ottenere un'espressione semplificata: (x + 1)/(5 - x). Consideriamo un altro esempio: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Tieni presente che non puoi cancellare alcun termine: vengono cancellati solo i fattori identici presenti sia al numeratore che al denominatore. Ad esempio, nell'espressione (x(x + 2))/x, la variabile (fattore) “x” è sia al numeratore che al denominatore, quindi “x” può essere ridotto per ottenere un'espressione semplificata: (x + 2)/1 = x + 2. Tuttavia, nell'espressione (x + 2)/x, la variabile “x” non può essere ridotta (poiché “x” non è un fattore nel numeratore).

   4. Parentesi aperta. Per fare ciò, moltiplica il termine fuori parentesi per ciascun termine tra parentesi. A volte questo aiuta a semplificare un'espressione complessa. Questo vale per entrambi i membri che lo sono numeri primi e ai membri che contengono la variabile.

      • Ad esempio, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 e 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Si prega di notare che espressioni frazionarie Non è necessario aprire le parentesi se lo stesso fattore è presente sia al numeratore che al denominatore. Ad esempio, nell'espressione (3(x 2 + 8))/3x non è necessario espandere le parentesi, poiché qui puoi cancellare il fattore 3 e ottenere l'espressione semplificata (x 2 + 8)/x. È più facile lavorare con questa espressione; se espandessi le parentesi, otterresti la seguente espressione complessa: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Polinomi fattoriali. Usando questo metodo, puoi semplificare alcune espressioni e polinomi. La fattorizzazione è l'operazione opposta all'apertura di parentesi, ovvero un'espressione viene scritta come il prodotto di due espressioni, ciascuna racchiusa tra parentesi. In alcuni casi, la fattorizzazione può ridursi stessa espressione. IN casi speciali(di solito con equazioni quadratiche) La fattorizzazione ti consentirà di risolvere l'equazione.

      • Considera l'espressione x 2 - 5x + 6. È scomposta: (x - 3)(x - 2). Pertanto, se, ad esempio, l'espressione è data (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), allora puoi riscriverla come (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), ridurre l'espressione (x - 2) e ottenere un'espressione semplificata (x - 3)/2.
      • La fattorizzazione dei polinomi viene utilizzata per risolvere (trovare le radici) equazioni (un'equazione è un polinomio uguale a 0). Ad esempio, considera l'equazione x 2 - 5x + 6 = 0. Fattorizzandola, ottieni (x - 3)(x - 2) = 0. Poiché qualsiasi espressione moltiplicata per 0 è uguale a 0, possiamo scriverla come questo: x - 3 = 0 e x - 2 = 0. Quindi, x = 3 e x = 2, cioè hai trovato due radici dell'equazione che ti è stata data.

Un'espressione letterale (o espressione variabile) è un'espressione matematica composta da numeri, lettere e simboli matematici. Ad esempio, la seguente espressione è letterale:

a+b+4

Usando le espressioni alfabetiche puoi scrivere leggi, formule, equazioni e funzioni. La capacità di manipolare le espressioni delle lettere è la chiave per una buona conoscenza dell'algebra e della matematica superiore.

Qualsiasi problema serio in matematica si riduce alla risoluzione di equazioni. E per poter risolvere le equazioni, devi essere in grado di lavorare con espressioni letterali.

Per lavorare con le espressioni letterali, devi essere esperto nell'aritmetica di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, leggi fondamentali della matematica, frazioni, operazioni con frazioni, proporzioni. E non solo studiare, ma comprendere a fondo.

Contenuto della lezione

Variabili

Vengono chiamate le lettere contenute in espressioni letterali variabili. Ad esempio, nell'espressione a+b+4 le variabili sono le lettere UN E B. Se sostituiamo qualsiasi numero al posto di queste variabili, l'espressione letterale a+b+4 contatto espressione numerica, il cui valore può essere trovato.

Vengono chiamati i numeri che sostituiscono le variabili valori delle variabili. Ad esempio, cambiamo i valori delle variabili UN E B. Il segno uguale viene utilizzato per modificare i valori

a = 2, b = 3

Abbiamo cambiato i valori delle variabili UN E B. Variabile UN assegnato un valore 2 , variabile B assegnato un valore 3 . Di conseguenza, l'espressione letterale a+b+4 si trasforma in un'espressione numerica regolare 2+3+4 il cui valore può essere trovato:

2 + 3 + 4 = 9

Quando le variabili vengono moltiplicate, vengono scritte insieme. Ad esempio, registra ab significa lo stesso della voce a×b. Se sostituiamo le variabili UN E B numeri 2 E 3 , quindi otteniamo 6

2×3 = 6

Puoi anche scrivere insieme la moltiplicazione di un numero per un'espressione tra parentesi. Ad esempio, invece di a×(b + c) può essere scritto un(b+c). Applicando la legge di distribuzione della moltiplicazione, otteniamo a(b+c)=ab+ac.

Probabilità

Nelle espressioni letterali è spesso possibile trovare una notazione in cui, ad esempio, un numero e una variabile sono scritti insieme 3a. Questa è in realtà una scorciatoia per moltiplicare il numero 3 per una variabile. UN e questa voce assomiglia 3×a .

In altre parole, l'espressione 3aè il prodotto del numero 3 e della variabile UN. Numero 3 in questo lavoro chiamano coefficiente. Questo coefficiente mostra quante volte la variabile verrà aumentata UN. Questa espressione può essere letta come " UN tre volte" o "tre volte". UN", o "aumenta il valore di una variabile UN tre volte", ma molto spesso letto come "tre". UN«

Ad esempio, se la variabile UN uguale a 5 , quindi il valore dell'espressione 3a sarà pari a 15.

3×5 = 15

A proposito di in un linguaggio semplice, il coefficiente è il numero che precede la lettera (prima della variabile).

Possono esserci più lettere, ad esempio 5abc. Qui il coefficiente è il numero 5 . Questo coefficiente mostra che il prodotto delle variabili abc aumenta di cinque volte. Questa espressione può essere letta come " abc cinque volte" o "aumenta il valore dell'espressione abc cinque volte" o "cinque". abc«.

Se invece di variabili abc sostituire i numeri 2, 3 e 4, quindi il valore dell'espressione 5abc sarà uguale 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Puoi immaginare mentalmente come i numeri 2, 3 e 4 siano stati prima moltiplicati e il valore risultante sia aumentato di cinque volte:

Il segno del coefficiente si riferisce solo al coefficiente e non si applica alle variabili.

Considera l'espressione −6b. Meno prima del coefficiente 6 , si applica solo al coefficiente 6 e non appartiene alla variabile B. Comprendere questo fatto ti consentirà di non commettere errori in futuro con i segni.

Troviamo il valore dell'espressione −6b A b = 3.

−6b −6×b. Per chiarezza scriviamo l'espressione −6b in forma estesa e sostituire il valore della variabile B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione −6b A b = −5

Scriviamo l'espressione −6b in forma espansa

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione −5a+b A un = 3 E b = 2

−5a+b questa è una forma abbreviata per −5 × a + b, quindi per chiarezza scriviamo l'espressione −5×a+b in forma estesa e sostituire i valori delle variabili UN E B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

A volte, ad esempio, le lettere vengono scritte senza coefficiente UN O ab. In questo caso il coefficiente è unitario:

ma tradizionalmente l'unità non viene scritta, quindi scrivono semplicemente UN O ab

Se c'è un segno meno prima della lettera, il coefficiente è un numero −1 . Ad esempio, l'espressione −a sembra davvero −1a. Questo è il prodotto di meno uno e della variabile UN.È risultato così:

−1 × a = −1a

C'è un piccolo problema qui. Nell'espressione −a segno meno davanti alla variabile UN in realtà si riferisce a una "unità invisibile" piuttosto che a una variabile UN. Pertanto, dovresti fare attenzione quando risolvi i problemi.

Ad esempio, se viene data l'espressione −a e ci viene chiesto di trovarne il valore un = 2, poi a scuola abbiamo sostituito la variabile con il due UN e ha ricevuto una risposta −2 , senza soffermarsi troppo su come è andata a finire. In effetti, meno uno è stato moltiplicato per numero positivo 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Se viene data l'espressione −a e devi trovarne il valore un = −2, quindi sostituiamo −2 invece di una variabile UN

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Per evitare errori, inizialmente le unità invisibili possono essere scritte esplicitamente.

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione abc A a=2 , b=3 E c=4

Espressione abc 1×a×b×c. Per chiarezza scriviamo l'espressione abc un, b E C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Esempio 5. Trova il valore di un'espressione abc A a=−2 , b=−3 E c=−4

Scriviamo l'espressione abc in forma estesa e sostituire i valori delle variabili un, b E C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Esempio 6. Trova il valore di un'espressione − abc A a=3, b=5 e c=7

Espressione − abc questa è una forma abbreviata per −1×a×b×c. Per chiarezza scriviamo l'espressione − abc in forma estesa e sostituire i valori delle variabili un, b E C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Esempio 7. Trova il valore di un'espressione − abc A a=−2 , b=−4 e c=−3

Scriviamo l'espressione − abc in forma estesa:

−abc = −1 × a × b × c

Sostituiamo i valori delle variabili UN , B E C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Come determinare il coefficiente

A volte è necessario risolvere un problema in cui è necessario determinare il coefficiente di un'espressione. In linea di principio, questo compito è molto semplice. È sufficiente essere in grado di moltiplicare correttamente i numeri.

Per determinare il coefficiente in un'espressione, è necessario moltiplicare separatamente i numeri inclusi in questa espressione e moltiplicare separatamente le lettere. Il fattore numerico risultante sarà il coefficiente.

Esempio 1. 7m×5a×(−3)×n

L'espressione è composta da diversi fattori. Questo può essere visto chiaramente se scrivi l'espressione in forma estesa. Cioè, i lavori 7m E 5a scrivilo nel modulo 7×m E 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Applichiamo la legge associativa della moltiplicazione, che ti consente di moltiplicare i fattori in qualsiasi ordine. Vale a dire, moltiplicheremo separatamente i numeri e moltiplicheremo separatamente le lettere (variabili):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105uomo

Il coefficiente è −105 . Dopo il completamento, è consigliabile disporre la parte delle lettere in ordine alfabetico:

−105 am

Esempio 2. Determinare il coefficiente nell'espressione: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Il coefficiente è 6.

Esempio 3. Determinare il coefficiente nell'espressione:

Moltiplichiamo numeri e lettere separatamente:

Il coefficiente è −1. Si tenga presente che l'unità non viene svalutata poiché è consuetudine non scrivere il coefficiente 1.

Questi compiti apparentemente più semplici possono giocarci uno scherzo molto crudele. Spesso si scopre che il segno del coefficiente è impostato in modo errato: o manca il meno o, al contrario, è stato impostato invano. Per evitare questi fastidiosi errori occorre studiarlo ad un buon livello.

Additivi nelle espressioni letterali

Quando si sommano più numeri, si ottiene la somma di questi numeri. I numeri che si sommano si chiamano addendi. Possono esserci diversi termini, ad esempio:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Quando un'espressione è composta da termini, è molto più semplice da valutare perché aggiungere è più semplice che sottrarre. Ma l'espressione può contenere non solo addizione, ma anche sottrazione, ad esempio:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In questa espressione, i numeri 3 e 5 sono sottraendo, non addendi. Ma nulla ci impedisce di sostituire la sottrazione con l’addizione. Quindi otteniamo di nuovo un'espressione composta da termini:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Non importa che i numeri −3 e −5 ora abbiano un segno meno. La cosa principale è che tutti i numeri in questa espressione sono collegati da un segno di addizione, cioè l'espressione è una somma.

Entrambe le espressioni 1 + 2 − 3 + 4 − 5 E 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) uguale allo stesso valore - meno uno

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Pertanto, il significato dell'espressione non verrà compromesso se da qualche parte sostituiamo la sottrazione con l'addizione.

Puoi anche sostituire la sottrazione con l'addizione nelle espressioni letterali. Consideriamo ad esempio la seguente espressione:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Per qualsiasi valore delle variabili a, b, c, d E S espressioni 7a + 6b − 3c + 2d − 4s E 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) sarà uguale allo stesso valore.

Devi essere preparato al fatto che un insegnante a scuola o un insegnante in un istituto possono chiamare numeri pari (o variabili) che non sono addendi.

Ad esempio, se la differenza è scritta sulla lavagna un - b, allora l'insegnante non lo dirà UNè un minuendo, e B- sottraibile. Chiamerà entrambe le variabili con una parola comune: termini. E tutto perché l'espressione della forma un - b il matematico vede come si ottiene la somma a+(-b). In questo caso, l'espressione diventa una somma e le variabili UN E (-b) diventare termini.

Termini simili

Termini simili- questi sono termini che hanno la stessa lettera. Consideriamo ad esempio l'espressione 7a+6b+2a. Componenti 7a E 2a hanno la stessa parte di lettera - variabile UN. Quindi i termini 7a E 2a sono simili.

In genere, termini simili vengono aggiunti per semplificare un'espressione o risolvere un'equazione. Questa operazione si chiama portando termini simili.

Per riportare termini simili, è necessario aggiungere i coefficienti di questi termini e moltiplicare il risultato risultante per la parte comune della lettera.

Ad esempio, presentiamo termini simili nell'espressione 3a+4a+5a. In questo caso, tutti i termini sono simili. Sommiamo i loro coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte comune della lettera, per la variabile UN

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Di solito vengono in mente termini simili e il risultato viene annotato immediatamente:

3a + 4a + 5a = 12a

Inoltre si può ragionare così:

C'erano 3 variabili a , altre 4 variabili a e altre 5 variabili a sono state aggiunte ad esse. Di conseguenza, abbiamo ottenuto 12 variabili a

Diamo un'occhiata a diversi esempi di termini simili. Considerando che questo argomentoè molto importante, all'inizio annoteremo dettagliatamente ogni piccolo dettaglio. Nonostante il fatto che qui tutto sia molto semplice, la maggior parte delle persone commette molti errori. Principalmente per disattenzione, non per ignoranza.

Esempio 1. 3a+2a+6a+8 UN

Sommiamo i coefficienti di questa espressione e moltiplichiamo il risultato risultante per la parte comune della lettera:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

progetto (3 + 2 + 6 + 8)×a Non è necessario scriverlo, quindi scriveremo subito la risposta

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Esempio 2. Fornisci termini simili nell'espressione 2a+a

Secondo termine UN scritto senza coefficiente, ma in realtà c'è un coefficiente davanti 1 , che non vediamo perché non registrato. Quindi l'espressione è questa:

2a+1a

Ora presentiamo termini simili. Cioè, sommiamo i coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte comune della lettera:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Scriviamo brevemente la soluzione:

2a + a = 3a

2a+a, puoi pensare diversamente:

Esempio 3. Fornisci termini simili nell'espressione 2a-a

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

2a + (-a)

Secondo termine (-a) scritto senza coefficiente, ma in realtà sembra (-1a). Coefficiente −1 nuovamente invisibile per il fatto che non viene registrato. Quindi l'espressione assomiglia a questa:

2a + (-1a)

Ora presentiamo termini simili. Sommiamo i coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte totale della lettera:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Di solito scritto più breve:

2a − un = un

Fornire termini simili nell'espressione 2a-a Puoi pensare diversamente:

C'erano 2 variabili a, sottrai una variabile a e di conseguenza rimane solo una variabile a

Esempio 4. Fornisci termini simili nell'espressione 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Ora presentiamo termini simili. Sommiamo i coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte totale delle lettere

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Scriviamo brevemente la soluzione:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Esistono espressioni che contengono diversi gruppi diversi di termini simili. Per esempio, 3a+3b+7a+2b. Per tali espressioni valgono le stesse regole delle altre, cioè sommare i coefficienti e moltiplicare il risultato per la parte comune della lettera. Ma per evitare errori è conveniente evidenziare diversi gruppi di termini con linee diverse.

Ad esempio, nell'espressione 3a+3b+7a+2b quei termini che contengono una variabile UN, possono essere sottolineati con una riga, e quei termini che contengono una variabile B, può essere sottolineato con due righe:

Ora possiamo presentare termini simili. Cioè, aggiungi i coefficienti e moltiplica il risultato risultante per la parte totale della lettera. Questo deve essere fatto per entrambi i gruppi di termini: per i termini che contengono una variabile UN e per termini contenenti una variabile B.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Ancora una volta, lo ripetiamo, l’espressione è semplice e si possono pensare a termini simili:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Esempio 5. Fornisci termini simili nell'espressione 5a − 6a −7b + b

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Sottolineiamo termini simili con linee diverse. Termini contenenti variabili UN sottolineiamo con una riga e i termini sono il contenuto delle variabili B, sottolinea con due righe:

Ora possiamo presentare termini simili. Cioè, aggiungi i coefficienti e moltiplica il risultato risultante per la parte comune della lettera:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Se l'espressione contiene numeri ordinari senza fattori di lettere, vengono aggiunti separatamente.

Esempio 6. Fornisci termini simili nell'espressione 4a + 3a - 5 + 2b + 7

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Presentiamo termini simili. Numeri −5 E 7 non hanno fattori letterali, ma sono termini simili: devono solo essere aggiunti. E il termine 2b rimarrà invariato, poiché è l'unico in questa espressione ad avere un fattore lettera B, e non c'è niente con cui aggiungerlo:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Scriviamo brevemente la soluzione:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

I termini possono essere ordinati in modo che i termini che hanno la stessa parte della lettera si trovino nella stessa parte dell'espressione.

Esempio 7. Fornisci termini simili nell'espressione 5t+2x+3x+5t+x

Poiché l'espressione è una somma di più termini, ciò ci consente di valutarla in qualsiasi ordine. Pertanto, i termini contenenti la variabile T, può essere scritto all'inizio dell'espressione e ai termini che contengono la variabile X alla fine dell'espressione:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Ora possiamo presentare termini simili:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Scriviamo brevemente la soluzione:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

La somma dei numeri opposti è zero. Questa regola funziona anche per le espressioni letterali. Se l'espressione contiene termini identici, ma con segni opposti, quindi puoi sbarazzartene nella fase di riduzione di termini simili. In altre parole, eliminateli semplicemente dall'espressione, poiché la loro somma è zero.

Esempio 8. Fornisci termini simili nell'espressione 3t − 4t − 3t + 2t

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Componenti 3t E (−3t) sono opposti. La somma dei termini opposti è zero. Se rimuoviamo questo zero dall'espressione, il valore dell'espressione non cambierà, quindi lo rimuoveremo. E lo rimuoveremo semplicemente cancellando i termini 3t E (−3t)

Di conseguenza, ci rimarrà l'espressione (−4t) + 2t. In questa espressione puoi aggiungere termini simili e ottenere la risposta finale:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Scriviamo brevemente la soluzione:

Semplificare le espressioni

"semplifica l'espressione" e sotto c'è l'espressione che deve essere semplificata. Semplificare un'espressione significa renderlo più semplice e più breve.

In effetti, abbiamo già semplificato le espressioni quando abbiamo ridotto le frazioni. Dopo la riduzione, la frazione è diventata più breve e più facile da comprendere.

Considera il seguente esempio. Semplifica l'espressione.

Questo compito può essere letteralmente interpretato come segue: "Applica qualsiasi azione valida a questa espressione, ma rendila più semplice." .

In questo caso, puoi ridurre la frazione, ovvero dividere il numeratore e il denominatore della frazione per 2:

Cos'altro puoi fare? Puoi calcolare la frazione risultante. Quindi otteniamo la frazione decimale 0,5

Di conseguenza, la frazione è stata semplificata a 0,5.

La prima domanda che devi porsi quando risolvi tali problemi dovrebbe essere "Cosa si può fare?" . Perché ci sono azioni che puoi fare e ci sono azioni che non puoi fare.

Un altro punto importante La cosa da ricordare è che il valore dell'espressione non dovrebbe cambiare dopo aver semplificato l'espressione. Torniamo all'espressione. Questa espressione rappresenta una divisione che può essere eseguita. Dopo aver eseguito questa divisione, otteniamo il valore di questa espressione, che è pari a 0,5

Ma abbiamo semplificato l'espressione e abbiamo ottenuto una nuova espressione semplificata. Il valore della nuova espressione semplificata è ancora 0,5

Ma abbiamo anche provato a semplificare l'espressione calcolandola. Di conseguenza, abbiamo ricevuto una risposta finale di 0,5.

Pertanto, non importa come semplifichiamo l'espressione, il valore delle espressioni risultanti è sempre uguale a 0,5. Ciò significa che la semplificazione è stata effettuata correttamente in ogni fase. Questo è esattamente ciò a cui dovremmo tendere quando semplifichiamo le espressioni: il significato dell'espressione non dovrebbe risentire delle nostre azioni.

Spesso è necessario semplificare le espressioni letterali. Per essi valgono le stesse regole di semplificazione previste per le espressioni numeriche. È possibile eseguire qualsiasi azione valida, purché il valore dell'espressione non cambi.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1. Semplificare un'espressione 5,21 s × t × 2,5

Per semplificare questa espressione, puoi moltiplicare i numeri separatamente e moltiplicare le lettere separatamente. Questo compito è molto simile a quello che abbiamo affrontato quando abbiamo imparato a determinare il coefficiente:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Quindi l'espressione 5,21 s × t × 2,5 semplificato a 13.025st.

Esempio 2. Semplificare un'espressione −0,4 × (−6,3b) × 2

Secondo pezzo (−6.3b) può essere tradotto in una forma a noi comprensibile, cioè scritto nella forma ( −6,3)×b , quindi moltiplica i numeri separatamente e moltiplica le lettere separatamente:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Quindi l'espressione −0,4 × (−6,3b) × 2 semplificato a 5.04b

Esempio 3. Semplificare un'espressione

Scriviamo questa espressione in modo più dettagliato per vedere chiaramente dove sono i numeri e dove sono le lettere:

Ora moltiplichiamo i numeri separatamente e moltiplichiamo le lettere separatamente:

Quindi l'espressione semplificato a −abc. Questa soluzione può essere scritta brevemente:

Quando si semplificano le espressioni, le frazioni possono essere ridotte durante il processo di soluzione e non alla fine, come abbiamo fatto noi frazioni ordinarie. Ad esempio, se nel corso della risoluzione ci imbattiamo in un'espressione della forma , non è affatto necessario calcolare il numeratore e il denominatore e fare qualcosa del genere:

Una frazione può essere ridotta selezionando un fattore nel numeratore e nel denominatore e riducendo questi fattori del loro valore più grande divisore comune. In altre parole, uso in cui non descriviamo in dettaglio in cosa sono stati divisi numeratore e denominatore.

Ad esempio, al numeratore il fattore è 12 e al denominatore il fattore 4 può essere ridotto di 4. Teniamo in mente il quattro e dividendo 12 e 4 per questo quattro, scriviamo le risposte accanto a questi numeri, dopo averli prima cancellati

Ora puoi moltiplicare i piccoli fattori risultanti. In questo caso ce ne sono pochi e puoi moltiplicarli mentalmente:

Nel corso del tempo, potresti scoprire che quando risolvi un particolare problema, le espressioni iniziano a "ingrassare", quindi è consigliabile abituarsi a calcoli rapidi. Ciò che può essere calcolato nella mente deve essere calcolato nella mente. Ciò che può essere ridotto rapidamente deve essere ridotto rapidamente.

Esempio 4. Semplificare un'espressione

Quindi l'espressione semplificato a

Esempio 5. Semplificare un'espressione

Moltiplichiamo i numeri separatamente e le lettere separatamente:

Quindi l'espressione semplificato a mn.

Esempio 6. Semplificare un'espressione

Scriviamo questa espressione in modo più dettagliato per vedere chiaramente dove sono i numeri e dove sono le lettere:

Ora moltiplichiamo i numeri separatamente e le lettere separatamente. Per facilità di calcolo, la frazione decimale −6.4 e numero misto possono essere convertiti in frazioni ordinarie:

Quindi l'espressione semplificato a

La soluzione per questo esempio può essere scritta molto più breve. Apparirà così:

Esempio 7. Semplificare un'espressione

Moltiplichiamo i numeri separatamente e le lettere separatamente. Per facilità di calcolo, un numero misto e decimali 0,1 e 0,6 possono essere convertiti in frazioni ordinarie:

Quindi l'espressione semplificato a abcd. Se salti i dettagli, allora questa decisione può essere scritto molto più breve:

Nota come è stata ridotta la frazione. È possibile ridurre anche i nuovi fattori ottenuti come risultato della riduzione dei fattori precedenti.

Ora parliamo di cosa non fare. Quando si semplificano le espressioni, è severamente vietato moltiplicare numeri e lettere se l'espressione è una somma e non un prodotto.

Ad esempio, se vuoi semplificare l'espressione 5a+4b, allora non puoi scriverlo in questo modo:

È come se ci chiedessero di sommare due numeri e li moltiplicassimo invece di sommarli.

Quando si sostituiscono valori di variabile UN E B espressione 5a+4b si trasforma in una normale espressione numerica. Supponiamo che le variabili UN E B hanno i seguenti significati:

a = 2, b = 3

Quindi il valore dell'espressione sarà uguale a 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Innanzitutto viene eseguita la moltiplicazione e quindi vengono sommati i risultati. E se provassimo a semplificare questa espressione moltiplicando numeri e lettere, otterremmo quanto segue:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Si scopre un significato completamente diverso dell'espressione. Nel primo caso ha funzionato 22 , nel secondo caso 120 . Ciò significa che semplificare l'espressione 5a+4bè stata eseguita in modo errato.

Dopo aver semplificato un'espressione, il suo valore non dovrebbe cambiare con gli stessi valori delle variabili. Se, sostituendo qualsiasi valore variabile nell'espressione originale, si ottiene un valore, dopo aver semplificato l'espressione, si dovrebbe ottenere lo stesso valore di prima della semplificazione.

Con espressione 5a+4b non c'è davvero niente che tu possa fare. Non lo semplifica.

Se un'espressione contiene termini simili, è possibile aggiungerli se il nostro obiettivo è semplificare l'espressione.

Esempio 8. Semplificare un'espressione 0,3a−0,4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

o più breve: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Quindi l'espressione 0,3a−0,4a+a semplificato a 0.9a

Esempio 9. Semplificare un'espressione −7.5a − 2.5b + 4a

Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

o più breve −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

Termine (−2.5b)è rimasto invariato perché non c'era niente con cui metterlo.

Esempio 10. Semplificare un'espressione

Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:

Il coefficiente era per facilità di calcolo.

Quindi l'espressione semplificato a

Esempio 11. Semplificare un'espressione

Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:

Quindi l'espressione semplificato in .

IN in questo esempio Sarebbe più appropriato aggiungere prima il primo e l'ultimo coefficiente. In questo caso avremmo una soluzione breve. Sarebbe simile a questo:

Esempio 12. Semplificare un'espressione

Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:

Quindi l'espressione semplificato a .

Il termine è rimasto invariato, poiché non c'era nulla a cui aggiungerlo.

Questa soluzione può essere scritta molto più breve. Apparirà così:

La soluzione breve saltava i passaggi relativi alla sostituzione della sottrazione con l'addizione e descriveva in dettaglio come le frazioni venivano ridotte a un denominatore comune.

Un'altra differenza è che in soluzione dettagliata la risposta sembra , ma in breve come . In effetti, sono la stessa espressione. La differenza è che nel primo caso la sottrazione viene sostituita dall'addizione, poiché all'inizio abbiamo scritto la soluzione in dettaglio, abbiamo sostituito la sottrazione con l'addizione ove possibile, e questa sostituzione è stata mantenuta per la risposta.

Identità. Espressioni identicamente uguali

Una volta semplificata qualsiasi espressione, diventa più semplice e più breve. Per verificare se l'espressione semplificata è corretta, è sufficiente sostituire eventuali valori variabili prima nell'espressione precedente che necessitava di essere semplificata e poi in quella nuova che è stata semplificata. Se il valore in entrambe le espressioni è lo stesso, l'espressione semplificata è vera.

Consideriamo esempio più semplice. Sia necessario semplificare l'espressione 2a×7b. Per semplificare questa espressione, puoi moltiplicare numeri e lettere separatamente:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Controlliamo se abbiamo semplificato correttamente l'espressione. Per fare ciò, sostituiamo eventuali valori delle variabili UN E B prima nella prima espressione che doveva essere semplificata, e poi nella seconda, che era semplificata.

Consideriamo i valori delle variabili UN , B sarà il seguente:

a = 4, b = 5

Sostituiamoli nella prima espressione 2a×7b

Ora sostituiamo gli stessi valori delle variabili nell'espressione risultante dalla semplificazione 2a×7b, vale a dire nell'espressione 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Lo vedremo quando a=4 E b=5 valore della prima espressione 2a×7b e il significato della seconda espressione 14ab pari

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Lo stesso accadrà per qualsiasi altro valore. Ad esempio, lasciamo un=1 E b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Pertanto, per qualsiasi valore delle variabili dell'espressione 2a×7b E 14ab sono uguali allo stesso valore. Tali espressioni sono chiamate identicamente uguali.

Concludiamo che tra le espressioni 2a×7b E 14ab puoi mettere un segno di uguale perché sono uguali allo stesso valore.

2a × 7b = 14ab

Un'uguaglianza è qualsiasi espressione collegata da un segno di uguale (=).

E uguaglianza della forma 2a×7b = 14ab chiamato identità.

Un'identità è un'uguaglianza vera per qualsiasi valore delle variabili.

Altri esempi di identità:

un + b = b + un

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Sì, le leggi della matematica che abbiamo studiato sono identità.

Anche le vere uguaglianze numeriche sono identità. Per esempio:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Quando si risolve un problema complesso, per facilitare il calcolo, l'espressione complessa viene sostituita con un'espressione più semplice identicamente uguale alla precedente. Questa sostituzione si chiama trasformazione identica dell'espressione o semplicemente trasformando l'espressione.

Ad esempio, abbiamo semplificato l'espressione 2a×7b, e ho ottenuto un'espressione più semplice 14ab. Questa semplificazione può essere chiamata trasformazione dell’identità.

Spesso puoi trovare un'attività che dice "dimostrare che l'uguaglianza è un'identità" e quindi è data l'uguaglianza che deve essere dimostrata. Di solito questa uguaglianza è composta da due parti: la parte sinistra e quella destra dell'uguaglianza. Il nostro compito è eseguire trasformazioni di identità con una delle parti dell'uguaglianza e ottenere l'altra parte. Oppure esegui trasformazioni identiche con entrambi i lati dell'uguaglianza e assicurati che entrambi i lati dell'uguaglianza contengano le stesse espressioni.

Ad esempio, proviamo che l'uguaglianza 0,5a × 5b = 2,5abè un'identità.

Semplifichiamo il lato sinistro di questa uguaglianza. Per fare ciò, moltiplica i numeri e le lettere separatamente:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Come risultato di una piccola trasformazione dell'identità, il lato sinistro dell'uguaglianza è diventato uguale al lato destro dell'uguaglianza. Quindi abbiamo dimostrato che l’uguaglianza 0,5a × 5b = 2,5abè un'identità.

Da trasformazioni identiche abbiamo imparato ad aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere numeri, ridurre frazioni, aggiungere termini simili e anche a semplificare alcune espressioni.

Ma queste non sono tutte trasformazioni identiche che esistono in matematica. Esistono molte altre trasformazioni identiche. Lo vedremo più di una volta in futuro.

Compiti per una soluzione indipendente:

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