Metodi per lo studio delle espressioni numeriche. Metodi di studio della materia algebrica nel corso iniziale di matematica

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE E DELLA SCIENZA DELLA RF

AGENZIA FEDERALE PER L'ISTRUZIONE

L'UNIVERSITÀ STATALE DEGLI ELETS DAL NOME I.A.BUNINA

METODOLOGIA PER LO STUDIO DELLA MATERIALE ALGEBRICA, GEOMETRICA, QUANTITÀ E FRAZIONI

NELLE CLASSI PRIMARIE

Yelets – 2006

BBK 65

Compilato da Faustova N.P., Dolgosheeva E.V. Metodi per lo studio della materia algebrica, geometrica, delle quantità e delle frazioni scuola primaria. - Yelets, 2006. - 46 p.

IN questo manuale rivela la metodologia per studiare materiale algebrico, geometrico, quantità e frazioni nelle classi primarie.

Il manuale è destinato agli studenti della Facoltà di Pedagogia e Metodologia istruzione primaria diurno e modulo di corrispondenza formazione, può essere utilizzato dagli insegnanti classi primarie, docenti delle facoltà delle università PIMNE e degli istituti pedagogici.

Il manuale è stato compilato in conformità con gli standard statali e programma di lavoro a questo ritmo.

Revisori:

Candidato scienze pedagogiche, Professore Associato del Dipartimento di Analisi Matematica e Matematica Elementare T.A. Poznyak

Specialista principale del dipartimento della pubblica istruzione dell'amministrazione del distretto di Yeletsk della regione di Lipetsk Avdeeva M.V.

METODOLOGIA PER LO STUDIO DEL MATERIALE ALGEBRICO NELLE CLASSI DELLA SCUOLA PRIMARIA

1.1. Domande generali metodi di studio materiale algebrico.

1.2. Metodologia di studio espressioni numeriche.

1.3. Imparare le espressioni delle lettere.

1.4. Studio delle uguaglianze e diseguaglianze numeriche.

1.5. Metodi per lo studio delle equazioni.

1.6. Risolvere semplici problemi aritmetici scrivendo equazioni.

1.1. Questioni generali di metodologia per lo studio del materiale algebrico

Introduzione di materiale algebrico in corso iniziale La matematica consente di preparare gli studenti allo studio dei concetti di base della matematica moderna (variabili, equazioni, uguaglianza, disuguaglianza, ecc.), Promuove la generalizzazione della conoscenza aritmetica e la formazione del pensiero funzionale nei bambini.

Gli studenti della scuola primaria dovrebbero ricevere informazioni iniziali sulle espressioni matematiche, uguaglianze e diseguaglianze numeriche, imparare a risolvere le equazioni fornite curriculum e semplici problemi aritmetici componendo un'equazione ( base teorica scegliendo un'operazione aritmetica in cui la connessione tra le componenti e il risultato dell'operazione aritmetica corrispondente0.

Lo studio del materiale algebrico viene effettuato in stretta connessione con il materiale aritmetico.

Metodologia per lo studio delle espressioni numeriche

In matematica, un'espressione è intesa come costruita utilizzando certe regole una sequenza di simboli matematici che rappresentano numeri e operazioni su di essi.

Espressioni come: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - espressioni numeriche; tipo: 8-a; 30:c; 5+(3+s) - espressioni letterali(espressioni con una variabile).

Obiettivi di studio dell'argomento

2) Familiarizzare gli studenti con le regole dell'ordine di esecuzione operazioni aritmetiche.

3) Insegna a trovare i numeri significati espressivi.

4) Introdurre trasformazioni identiche di espressioni basate sulle proprietà delle operazioni aritmetiche.

La soluzione dei compiti prefissati viene effettuata durante tutti gli anni di istruzione nella scuola primaria, a partire dai primi giorni di permanenza del bambino a scuola.

La metodologia per lavorare sulle espressioni numeriche prevede tre fasi: nella prima fase - la formazione di concetti sulle espressioni più semplici (somma, differenza, prodotto, quoziente di due numeri); nella seconda fase - sulle espressioni contenenti due o più operazioni aritmetiche di un livello; nella terza fase - sulle espressioni contenenti due o più operazioni aritmetiche di diversi livelli.

Gli studenti vengono introdotti alle espressioni più semplici - somma e differenza - in prima elementare (secondo il programma 1-4) con il prodotto e quoziente, in seconda elementare (con il termine “prodotto” in 2° elementare, con il termine “quoziente” in terza elementare).

Consideriamo la metodologia per lo studio delle espressioni numeriche.

Quando eseguono operazioni sugli insiemi, i bambini, prima di tutto, apprendono il significato specifico di addizione e sottrazione, quindi, nelle voci della forma 3 + 2, 7-1, i segni delle azioni vengono riconosciuti da loro come una breve designazione degli parole “aggiungi”, “sottrai” (aggiungi 2 a 3). In futuro, i concetti di azione si approfondiscono: gli studenti imparano che sommando (sottraendo) più unità, aumentiamo (diminuiamo) il numero dello stesso numero di unità (leggi: 3 aumenta di 2), poi i bambini imparano il nome delle azioni segni di azione "più" (lettura: 3 più 2), "meno".

Nell'argomento "Addizione e sottrazione entro 20" i bambini vengono introdotti ai concetti di "somma" e "differenza" come nomi di espressioni matematiche e come nome del risultato delle operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione.

Diamo un'occhiata a un frammento della lezione (2a elementare).

Attacca 4 cerchi rossi e 3 gialli al tabellone usando l'acqua:

Quanti cerchi rossi? (Scrivi il numero 4.)

Quanti cerchi gialli? (Scrivi il numero 3.)

Quale azione bisogna compiere sui numeri scritti 3 e 4 per scoprire quanti cerchi rossi e quanti gialli ci sono insieme? (appare la voce: 4+3).

Dimmi, senza contare, quanti cerchi ci sono?

Tale espressione in matematica, quando tra i numeri c’è il segno “+”, si chiama somma (diciamo insieme: somma) e si legge così: somma di quattro e tre.

Ora scopriamo a quanto vale la somma dei numeri 4 e 3 (diamo la risposta completa).

Allo stesso modo per la differenza.

Quando si imparano addizioni e sottrazioni entro 10, espressioni composte da 3 o più numeri collegati dallo stesso e segni diversi operazioni aritmetiche: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3, ecc. Rivelando il significato di tali espressioni, l'insegnante mostra come leggerle. Calcolando i valori di queste espressioni, i bambini praticamente padroneggiano la regola sull'ordine delle operazioni aritmetiche nelle espressioni senza parentesi, sebbene non la formino: 10-3+2=7+2=9. Tali voci rappresentano il primo passo nell'esecuzione delle trasformazioni di identità.

Il metodo per familiarizzare con le espressioni tra parentesi può essere diverso (descrivi un frammento della lezione nel tuo quaderno, preparati per lezioni pratiche).

La capacità di comporre e trovare il significato di un'espressione viene utilizzata dai bambini quando risolvono problemi aritmetici, qui si verifica un'ulteriore padronanza del concetto di "espressione" e viene acquisito il significato specifico delle espressioni nelle registrazioni della risoluzione dei problemi; .

Interessante è il tipo di lavoro proposto dal metodologo lettone J.Ya. Mencis.

Viene fornito un testo, ad esempio, come questo: "Il ragazzo aveva 24 rubli, la torta costa 6 rubli, le caramelle costano 2 rubli", si suggerisce:

a) comporre tutti i tipi di espressioni basate su questo testo e spiegare cosa mostrano;

b) spiegare cosa mostrano le espressioni:

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

Nel grado 3, insieme alle espressioni discusse in precedenza, includono le espressioni composte da due espressioni semplici (37+6)-(42+1), nonché quelle composte da un numero e dal prodotto o quoziente di due numeri. Ad esempio: 75-50:25+2. Laddove l'ordine in cui vengono eseguite le azioni non coincide con l'ordine in cui sono state scritte, vengono utilizzate le parentesi: 16-6:(8-5). I bambini devono imparare a leggere e scrivere correttamente queste espressioni e a trovarne il significato.

I termini “espressione” e “valore dell’espressione” vengono introdotti senza definizioni. Per rendere più facile per i bambini leggere e trovare il significato di espressioni complesse, i metodologi consigliano di utilizzare un diagramma compilato collettivamente e utilizzato durante la lettura delle espressioni:

1) Determinerò quale azione verrà eseguita per ultima.

2) Penserò a come vengono chiamati i numeri quando eseguo questa azione.

3) Leggerò come sono espressi questi numeri.

Le regole per l'ordine di esecuzione delle azioni nelle espressioni complesse vengono studiate in terza elementare, ma i bambini ne usano praticamente alcune in prima e seconda elementare.

La prima da considerare è la regola sull'ordine delle operazioni nelle espressioni senza parentesi, quando i numeri sono solo addizione e sottrazione, oppure moltiplicazione e divisione (3a elementare). L'obiettivo del lavoro in questa fase si basa su abilità pratiche gli studenti acquisiti in precedenza, prestano attenzione all'ordine di esecuzione delle azioni in tali espressioni e formulano una regola.

Condurre i bambini alla formulazione della regola e alla loro consapevolezza della stessa può essere diverso. Si fa affidamento principalmente sull'esperienza esistente, sulla massima indipendenza possibile, creando una situazione di ricerca e scoperta, prove.

Può essere utilizzato tecnica metodica Sh.A. Amonashvili “l’errore dell’insegnante”.

Per esempio. L'insegnante riferisce che, quando ha trovato il significato delle seguenti espressioni, ha ottenuto risposte che è sicuro siano corrette (le risposte sono chiuse).

36:2 6=6, ecc.

Invita i bambini a trovare da soli il significato delle espressioni, per poi confrontare le risposte con quelle ricevute dall'insegnante (a questo punto vengono rivelati i risultati delle operazioni aritmetiche). I bambini dimostrano che l'insegnante ha commesso degli errori e, sulla base dello studio di fatti particolari, formulano una regola (vedi libro di testo di matematica, 3a elementare).

Allo stesso modo, puoi introdurre le restanti regole per l'ordine delle azioni: quando le espressioni senza parentesi contengono azioni della 1a e 2a fase, nelle espressioni con parentesi. È importante che i bambini si rendano conto che cambiare l'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche porta a un cambiamento nel risultato, e quindi i matematici hanno deciso di concordare e formulare regole che devono essere seguite rigorosamente.

Trasformare un'espressione significa sostituire una determinata espressione con un'altra con lo stesso valore numerico. Gli studenti eseguono tali trasformazioni di espressioni, basandosi sulle proprietà delle operazioni aritmetiche e sulle conseguenze che ne derivano (p. 249-250).

Studiando ciascuna proprietà, gli studenti si convincono che nelle espressioni di un certo tipo le azioni possono essere eseguite in modi diversi, ma il significato dell'espressione non cambia. In futuro, gli studenti utilizzeranno la conoscenza delle proprietà delle azioni per trasformare determinate espressioni in espressioni identiche. Ad esempio, vengono offerte attività come questa: continuare a registrare in modo che il segno "=" venga preservato:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Quando completano il primo compito, gli studenti ragionano in questo modo: a sinistra da 76, sottrai la somma dei numeri 20 e 4 , a destra sottrai 20 da 76; per ottenere a destra lo stesso importo che a sinistra, bisogna anche sottrarre 4 a destra. Altre espressioni si trasformano in modo simile, cioè, dopo aver letto l'espressione, lo studente ricorda la regola corrispondente. E, eseguendo azioni secondo la regola, riceve un'espressione trasformata. Per garantire che la trasformazione sia corretta, i bambini calcolano i valori delle espressioni date e trasformate e li confrontano.

Utilizzando la conoscenza delle proprietà delle azioni per giustificare le tecniche di calcolo, gli studenti delle classi I-IV eseguono trasformazioni delle espressioni della forma:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18·30= 18·(3·10) = (18·3) 10=540

Anche qui è necessario che gli studenti non solo spieghino su quale base derivano ogni espressione successiva, ma comprendano anche che tutte queste espressioni sono collegate dal segno “=" perché hanno gli stessi significati. Per fare ciò, di tanto in tanto si dovrebbe chiedere ai bambini di calcolare il significato delle espressioni e di confrontarle. Ciò impedisce errori della forma: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) = 24 10+24 2 = 288.

Gli studenti delle classi II-IV trasformano le espressioni non solo sulla base delle proprietà dell'azione, ma anche sulla base del loro significato specifico. Ad esempio, la somma di termini identici viene sostituita dal prodotto: (6 + 6 + 6 = 6 3, e viceversa: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Anche in base al significato dell'azione di moltiplicazione si trasformano espressioni più complesse: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Sulla base dei calcoli e dell'analisi di espressioni appositamente selezionate, gli studenti di quarta elementare sono portati alla conclusione che se nelle espressioni con parentesi le parentesi non influenzano l'ordine delle azioni, allora possono essere omesse. Successivamente, utilizzando le proprietà studiate delle azioni e le regole per l'ordine delle azioni, gli studenti si esercitano a trasformare le espressioni con parentesi in espressioni identiche senza parentesi. Ad esempio, si propone di scrivere queste espressioni senza parentesi in modo che i loro valori non cambino:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Pertanto, i bambini sostituiscono la prima delle espressioni fornite con le espressioni: 65 + 30-20, 65-20 + 30, spiegando l'ordine in cui vengono eseguite le azioni. In questo modo gli studenti sono convinti che il significato di un'espressione non cambia cambiando l'ordine delle azioni solo se vengono applicate le proprietà delle azioni.

2. Espressione matematica e suo significato.

3. Risoluzione di problemi basati sulla stesura di un'equazione.

L'algebra sostituisce i valori numerici delle caratteristiche quantitative di insiemi o quantità con simboli di lettere. In generale, l'algebra sostituisce anche i segni di operazioni specifiche (addizione, moltiplicazione, ecc.) con simboli generalizzati di operazioni algebriche e considera non i risultati specifici di queste operazioni (risposte), ma le loro proprietà.

Metodologicamente, si ritiene che il ruolo principale degli elementi di algebra in un corso di matematica della scuola primaria sia quello di contribuire alla formazione di idee generalizzate dei bambini sul concetto di "quantità" e sul significato delle operazioni aritmetiche.

Oggi ci sono due tendenze radicalmente opposte nel determinare il volume del contenuto del materiale algebrico in un corso di matematica scuola primaria. Una tendenza è legata alla precoce algebrizzazione del corso di matematica della scuola primaria, con la sua saturazione di materiale algebrico già a partire dalla prima elementare; Un'altra tendenza è legata all'introduzione di materiale algebrico nel corso di matematica della scuola primaria nella sua fase finale, alla fine della 4a elementare. I rappresentanti della prima tendenza possono essere considerati autori di libri di testo alternativi del sistema L.V. Zankova (I.I. Arginskaya), sistemi V.V. Davydov (E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina, ecc.), il sistema “Scuola 2100” (L.G. Peterson), il sistema “Scuola del 21° secolo” (V.N. Rudnitskaya). L'autore del libro di testo alternativo del sistema “Armonia”, N.B., può essere considerato un rappresentante della seconda tendenza. Istomin.

Un rappresentante delle visioni "medie" può essere considerato un libro di testo della scuola tradizionale: contiene molto materiale algebrico, poiché è focalizzato sull'uso del libro di testo di matematica di N.Ya. Vilenkina nelle classi 5-6 della scuola secondaria, ma introduce i bambini ai concetti algebrici a partire dalla classe 2, distribuendo il materiale in tre anni, e negli ultimi 20 anni praticamente non ha ampliato l'elenco dei concetti algebrici.

Il contenuto minimo obbligatorio dell'insegnamento della matematica per i gradi primari (ultima edizione 2001) non contiene materiale algebrico. Non menzionano la capacità dei diplomati della scuola primaria di lavorare con concetti algebrici e i requisiti per il loro livello di preparazione al termine della scuola primaria.

Espressione matematica e suo significato

Una sequenza di lettere e numeri collegati da segni di azione è chiamata espressione matematica.

È necessario distinguere un'espressione matematica da uguaglianza e disuguaglianza, che nella scrittura utilizzano segni di uguale e disuguaglianza.

Per esempio:

3 + 2 - espressione matematica;

7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - espressioni matematiche;

a+b; 7 - s; 23 - e 4 - espressioni matematiche.

Una notazione come 3 + 4 = 7 non è un'espressione matematica, è un'uguaglianza.

Tipo di registrazione 5< 6 или 3 + а >7 - Non sono espressioni matematiche, sono disuguaglianze.

Espressioni numeriche

Le espressioni matematiche contenenti solo numeri e simboli di azione sono chiamate espressioni numeriche.

Nella prima elementare, il libro di testo in questione non utilizza questi concetti. I bambini vengono introdotti alle espressioni numeriche esplicite (con nomi) in 2a elementare.

Le espressioni numeriche più semplici contengono solo segni di addizione e sottrazione, ad esempio: 30 - 5 + 7; 45+3; 8 - 2 - 1, ecc. Dopo aver completato le azioni indicate, otteniamo il valore dell'espressione. Ad esempio: 30 - 5 + 7 = 32, dove 32 è il valore dell'espressione.

Alcune espressioni che i bambini imparano nei corsi di matematica della scuola primaria hanno i propri nomi: 4 + 5 - somma;

6 - 5 - differenza;

7 6 - prodotto; 63: 7 - quoziente.

Queste espressioni hanno nomi per ciascun componente: componenti della somma - addendi; componenti della differenza: minuendo e sottraendo; i componenti del prodotto sono fattori; Gli elementi della divisione sono il dividendo e il divisore. I nomi dei valori di queste espressioni coincidono con il nome dell'espressione, ad esempio: il valore dell'importo si chiama “somma”; il significato di un quoziente si chiama “quoziente”, ecc.

Il prossimo tipo di espressioni numeriche sono espressioni contenenti operazioni di prima fase (addizione e sottrazione) e parentesi. I bambini li conoscono in prima elementare. A questo tipo di espressione è associata la regola per l'ordine di esecuzione delle azioni nelle espressioni tra parentesi: le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime.

Seguono le espressioni numeriche contenenti operazioni in due fasi senza parentesi (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Associata a questo tipo di espressione è la regola per l'ordine delle operazioni nelle espressioni contenenti tutte le operazioni aritmetiche senza parentesi: le operazioni di moltiplicazione e divisione vengono eseguite prima dell'addizione e della sottrazione.

L'ultimo tipo di espressioni numeriche sono espressioni contenenti operazioni in due passaggi con parentesi. Associata a questo tipo di espressione è la regola per l'ordine delle operazioni nelle espressioni contenenti tutte le operazioni aritmetiche e le parentesi: vengono eseguite prima le azioni tra parentesi, poi vengono eseguite le operazioni di moltiplicazione e divisione, quindi le operazioni di addizione e sottrazione.

1.1.

Domande generali sui metodi di studio della materia algebrica.

1.2.

Metodi per lo studio delle espressioni numeriche.

1.3.

1.6.

Risolvere semplici problemi aritmetici scrivendo equazioni.

1.1. Domande generali sui metodi di studio della materia algebrica

L'introduzione di materiale algebrico nel corso iniziale di matematica consente di preparare gli studenti allo studio dei concetti di base della matematica moderna (variabili, equazioni, uguaglianza, disuguaglianza, ecc.), contribuisce alla generalizzazione della conoscenza aritmetica e alla formazione di pensiero funzionale nei bambini.

Gli studenti della scuola primaria dovrebbero ricevere le prime informazioni sulle espressioni matematiche, uguaglianze e diseguaglianze numeriche, imparare a risolvere le equazioni previste dal curriculum e semplici problemi aritmetici costruendo un'equazione (la base teorica per scegliere un'operazione aritmetica in cui il rapporto tra i componenti e il risultato della corrispondente operazione aritmetica0.

Lo studio del materiale algebrico viene effettuato in stretta connessione con il materiale aritmetico.

1.2. Metodologia per lo studio delle espressioni numeriche

In matematica, per espressione si intende una sequenza di simboli matematici costruiti secondo determinate regole, che denotano numeri e operazioni su di essi.

Espressioni come: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - espressioni numeriche;

tipo: 8-a; 30:c; 5+(3+c) - espressioni letterali (espressioni con una variabile).

Obiettivi di studio dell'argomento 2) Familiarizzare gli studenti con le regole per l'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche. 3) Insegna a trovare

valori numerici

espressioni.

4) Introdurre trasformazioni identiche di espressioni basate sulle proprietà delle operazioni aritmetiche.

La soluzione dei compiti prefissati viene effettuata durante tutti gli anni della scuola primaria, a partire dai primi giorni di permanenza del bambino a scuola.

Diamo un'occhiata a un frammento della lezione (2a elementare).

Attacca 4 cerchi rossi e 3 gialli al tabellone usando l'acqua:

OOO OOO

Quanti cerchi rossi? (Scrivi il numero 4.)

Quanti cerchi gialli? (Scrivi il numero 3.)

Quale azione bisogna compiere sui numeri scritti 3 e 4 per scoprire quanti cerchi rossi e quanti gialli ci sono insieme? (appare la voce: 4+3).

Dimmi, senza contare, quanti cerchi ci sono?

Tale espressione in matematica, quando tra i numeri c’è il segno “+”, si chiama somma (diciamo insieme: somma) e si legge così: somma di quattro e tre.

Ora scopriamo a quanto vale la somma dei numeri 4 e 3 (diamo la risposta completa).

Allo stesso modo per la differenza.

Quando si studiano addizioni e sottrazioni entro 10, sono incluse espressioni composte da 3 o più numeri collegati dagli stessi e diversi segni di operazioni aritmetiche: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3, ecc. Rivelando il significato di tali espressioni, l'insegnante mostra come leggerle. Calcolando i valori di queste espressioni, i bambini praticamente padroneggiano la regola sull'ordine delle operazioni aritmetiche nelle espressioni senza parentesi, anche se non la formulano: 10-3+2=7+2=9. Tali voci rappresentano il primo passo per eseguire trasformazioni di identità.

Il metodo per familiarizzare con le espressioni tra parentesi può essere diverso (descrivi un frammento della lezione nel tuo quaderno, preparati per lezioni pratiche).

La capacità di comporre e trovare il significato di un'espressione viene utilizzata dai bambini quando risolvono problemi aritmetici, qui si verifica un'ulteriore padronanza del concetto di "espressione" e il significato specifico delle espressioni nelle registrazioni della risoluzione dei problemi è; acquisito.

Interessante è il tipo di lavoro proposto dal metodologo lettone J.Ya. Mencis.

Viene fornito, ad esempio, un testo come questo: "Il ragazzo aveva 24 rubli, la torta costa 6 rubli, le caramelle costano 2 rubli", si suggerisce:

a) comporre tutti i tipi di espressioni basate su questo testo e spiegare cosa mostrano;

b) spiegare cosa mostrano le espressioni:

2 classi 3 gradi

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

1) Determinerò quale azione verrà eseguita per ultima.

2) Penserò a come vengono chiamati i numeri quando eseguo questa azione.

3) Leggerò come sono espressi questi numeri.

Le regole per l'ordine di esecuzione delle azioni nelle espressioni complesse vengono studiate in terza elementare, ma i bambini ne usano praticamente alcune in prima e seconda elementare.

La prima da considerare è la regola sull'ordine delle operazioni nelle espressioni senza parentesi, quando i numeri sono solo addizione e sottrazione, oppure moltiplicazione e divisione (3a elementare). L'obiettivo del lavoro in questa fase è fare affidamento sulle capacità pratiche degli studenti acquisite in precedenza, prestare attenzione all'ordine di esecuzione delle azioni in tali espressioni e formulare una regola.

Puoi utilizzare la tecnica metodologica di Sh.A.

Amonashvili “l’errore dell’insegnante”.

Per esempio. L'insegnante riferisce che, trovando il significato delle seguenti espressioni, ha ottenuto risposte che è sicuro siano corrette (le risposte sono chiuse).

36:2 6=6, ecc.

Allo stesso modo, puoi introdurre le restanti regole per l'ordine delle azioni: quando le espressioni senza parentesi contengono azioni della 1a e 2a fase, nelle espressioni con parentesi.

È importante che i bambini si rendano conto che cambiare l'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche porta a un cambiamento nel risultato, e quindi i matematici hanno deciso di concordare e formulare regole che devono essere seguite rigorosamente. Trasformare un'espressione significa sostituire una determinata espressione con un'altra con lo stesso valore numerico.

Gli studenti eseguono tali trasformazioni di espressioni, basandosi sulle proprietà delle operazioni aritmetiche e sulle conseguenze che ne derivano (p. 249-250). Studiando ciascuna proprietà, gli studenti si convincono che nelle espressioni di un certo tipo le azioni possono essere eseguite in modi diversi, ma il significato dell'espressione è

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

non cambia. In futuro, gli studenti utilizzeranno la conoscenza delle proprietà delle azioni per trasformare determinate espressioni in espressioni identiche. Ad esempio, vengono offerte attività come questa: continuare a registrare in modo che il segno "=" venga preservato: , Quando completano il primo compito, gli studenti ragionano in questo modo: a sinistra da 76, sottrai la somma dei numeri 20 e 4

a destra sottrai 20 da 76; per ottenere a destra lo stesso importo che a sinistra, bisogna anche sottrarre 4 a destra. Altre espressioni si trasformano in modo simile, cioè, dopo aver letto l'espressione, lo studente ricorda la regola corrispondente. E, eseguendo azioni secondo la regola, riceve un'espressione trasformata.

Per garantire che la trasformazione sia corretta, i bambini calcolano i valori delle espressioni date e trasformate e li confrontano.

Utilizzando la conoscenza delle proprietà delle azioni per giustificare le tecniche di calcolo, gli studenti delle classi I-IV eseguono trasformazioni delle espressioni della forma:

Anche in base al significato dell'azione di moltiplicazione si trasformano espressioni più complesse: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Gli obiettivi principali dello studio del materiale algebrico nelle classi elementari sono che gli scolari della scuola primaria ottengano informazioni iniziali su uguaglianze e disuguaglianze, su una variabile, su uguaglianze e disuguaglianze con una variabile, sulle espressioni matematiche (numeriche e alfabetiche), sul calcolo dei loro valori, su semplici equazioni e disuguaglianze, addestrando gli scolari sui modi per risolverle e risolvendo i problemi algebricamente. Lo studio di materiale algebrico nelle classi elementari contribuisce alla generalizzazione dei concetti sui numeri, sulle operazioni aritmetiche e sulle loro proprietà, ed è una preparazione per lo studio dell'algebra nelle scuole superiori.

L'equazione viene trattata come un'uguaglianza con una variabile. Risolvere un'equazione significa scegliere un valore di una variabile tale che, una volta sostituita nell'equazione, si trasformi in un'uguaglianza numerica corretta. Questa è la base per il metodo di risoluzione delle equazioni mediante selezione. Nelle classi elementari, le equazioni vengono risolte anche sulla base della relazione tra i componenti e i risultati delle operazioni aritmetiche, sulla base dell'applicazione delle proprietà di base delle uguaglianze (sistema di L.V. Zankov), nonché con l'aiuto di grafici (UMK “Scuola primaria del 21° secolo”). La soluzione alle disuguaglianze è limitata dal metodo di selezione. Tuttavia, per risolvere i problemi vengono utilizzate equazioni e disuguaglianze. metodo algebrico la risoluzione dei problemi è limitata al livello di familiarità nelle classi elementari.

I concetti sulle espressioni più semplici si formano in relazione allo studio delle operazioni aritmetiche, quindi vengono introdotte espressioni complesse ed espressioni con una variabile. Gli studenti più giovani imparano a calcolare i valori di espressioni numeriche complesse utilizzando regole d'ordine. Imparano anche a trovare il significato delle espressioni con una variabile dati i valori delle lettere.

I simboli delle lettere vengono utilizzati per generalizzare la registrazione delle leggi e delle proprietà delle operazioni aritmetiche, nonché formule per il calcolo delle aree di rettangoli, triangoli, poligoni, volumi, velocità, ecc.

Attualmente, ci sono due tendenze radicalmente opposte nella determinazione del volume del materiale algebrico in un corso di matematica della scuola primaria. Una tendenza è associata alla precoce algebrizzazione dei corsi di matematica delle scuole elementari. I rappresentanti di questa tendenza sono I.I. Arginskaya, E.I. Aleksandrova, L.G. Peterson, V.N Rudnitskaya e altri. Il libro di testo della scuola tradizionale (M.I. Moro e altri) è un rappresentante delle visioni “medie”.

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INTRODUZIONE

CONCLUSIONE

RIFERIMENTI

Introduzione

In qualsiasi momento sistema moderno Nell'istruzione generale, la matematica occupa uno dei posti centrali, che senza dubbio parla dell'unicità di questo campo di conoscenza.

Cos’è la matematica moderna? Perché è necessario? Queste e altre domande simili vengono spesso poste dai bambini agli insegnanti. E ogni volta la risposta sarà diversa a seconda del livello di sviluppo del bambino e dei suoi bisogni educativi.

Si dice spesso che la matematica sia il linguaggio della scienza moderna. Tuttavia, sembra che ci sia un difetto significativo in questa affermazione. Il linguaggio della matematica è così diffuso e così spesso efficace proprio perché la matematica non può ridursi a esso.

Eccezionale matematico domestico UN. Kolmogorov ha scritto: “La matematica non è solo una delle lingue. La matematica è linguaggio più ragionamento, è come linguaggio e logica insieme collegare un ragionamento con un altro Le evidenti complessità della natura con le sue strane leggi e regole, ognuna delle quali consente un comportamento separato spiegazione dettagliata, sono infatti strettamente correlati. Tuttavia, se non vuoi usare la matematica, in questa enorme varietà di fatti non vedrai che la logica ti permette di passare dall'uno all'altro."

Pertanto, la matematica ci consente di formare alcune forme di pensiero necessarie per studiare il mondo che ci circonda.

Qual è l’influenza della matematica in generale e della matematica scolastica in particolare sull’istruzione? personalità creativa? Insegnare l'arte di risolvere i problemi nelle lezioni di matematica ci offre un'opportunità estremamente favorevole per sviluppare una certa mentalità negli studenti. La necessità di attività di ricerca sviluppa l'interesse per i modelli e ci insegna a vedere la bellezza e l'armonia del pensiero umano. Tutto questo è, a nostro avviso, l'elemento più importante della cultura generale. Il corso di matematica ha un'influenza importante sulla formazione varie forme pensiero: logico, spaziale-geometrico, algoritmico. Qualunque processo creativo inizia con la formulazione di un’ipotesi. La matematica, con un'adeguata organizzazione dell'istruzione, essendo una buona scuola per costruire e verificare ipotesi, insegna a confrontare diverse ipotesi, trovare l'opzione migliore, porre nuovi problemi e cercare modi per risolverli. Tra le altre cose sviluppa anche l'abitudine al lavoro metodico, senza il quale non è concepibile alcun processo creativo. Massimizzando le possibilità del pensiero umano, la matematica è il suo risultato più alto. Aiuta una persona a capire se stessa e a formare il suo carattere. Questo è un piccolo elenco di ragioni per cui la conoscenza matematica dovrebbe diventare parte integrante della cultura generale e un elemento obbligatorio nell'educazione e nell'educazione di un bambino. Il corso di matematica (senza geometria) nella nostra scuola decennale è in realtà diviso in tre parti principali: aritmetica (classi I - V), algebra (VI - V III classe s) ed elementi di analisi (gradi IX - X). Qual è la base di una tale divisione? Naturalmente, ciascuna di queste parti ha la propria “tecnologia” speciale.

Pertanto, in aritmetica è associato, ad esempio, a calcoli eseguiti su numeri a più cifre, in algebra - con trasformazioni identiche, logaritmizzazione, in analisi - con differenziazione, ecc. Ma quali sono le ragioni più profonde legate al contenuto concettuale di ciascuna parte? La domanda successiva riguarda le basi per distinguere l'aritmetica scolastica dall'algebra (cioè la prima e la seconda parte del corso). L'aritmetica comprende lo studio dei numeri naturali (interi positivi) e delle frazioni (primi e decimali). Tuttavia, un'analisi specifica mostra che la combinazione di questi tipi di numeri in una materia scolastica è illegale.

Il fatto è che questi numeri hanno funzioni diverse: i primi sono associati al conteggio degli oggetti, i secondi alla misurazione delle quantità. Questa circostanza è molto importante per comprendere il fatto che i numeri frazionari (razionali) sono solo un caso speciale di numeri reali.

Dal punto di vista della misurazione delle quantità, come notato da A.N. Kolmogorov, “non esiste una differenza così profonda tra i numeri reali razionali e irrazionali. Per ragioni pedagogiche, essi si soffermano a lungo sui numeri razionali, poiché sono comunque facili da scrivere sotto forma di frazioni fin dall'inizio dovrebbero portare immediatamente a numeri reali nella loro interezza."

UN. Kolmogorov considerava giustificata sia dal punto di vista della storia dello sviluppo della matematica che in sostanza la proposta di A. Lebesgue di spostarsi nell'insegnamento dei numeri naturali direttamente all'origine e alla natura logica dei numeri reali. Allo stesso tempo, come notato da A.N. Kolmogorov, “l'approccio alla costruzione dei numeri razionali e reali dal punto di vista della misurazione delle quantità non è meno scientifico di, ad esempio, l'introduzione dei numeri razionali sotto forma di “coppie”. indubbio vantaggio” (.

Esiste quindi la possibilità reale, sulla base dei numeri naturali (interi), di formare immediatamente “il concetto più generale di numero” (nella terminologia di A. Lebesgue), il concetto di numero reale. Ma dal punto di vista della costruzione del programma ciò significa né più né meno che l’eliminazione dell’aritmetica delle frazioni nella sua interpretazione scolastica. Il passaggio dai numeri interi ai numeri reali è un passaggio dall'aritmetica all '"algebra", alla creazione di una base per l'analisi. Queste idee, espresse più di 20 anni fa, sono ancora attuali.

1. Aspetti teorici generali dello studio delle materie algebriche nella scuola primaria

Matematica comparativa scolastica algebrica

1.1 Esperienza nell'introduzione di elementi di algebra nella scuola elementare

Il contenuto di una materia accademica, come è noto, dipende da molti fattori: dalle esigenze della vita in termini di conoscenza degli studenti, dal livello delle scienze pertinenti, dalle capacità mentali e fisiche dei bambini, ecc. La corretta considerazione di questi fattori è per la maggior parte una condizione essenziale apprendimento efficace scolari, espandendo le loro capacità cognitive. Ma a volte questa condizione non viene soddisfatta per un motivo o per l'altro. In questo caso l’insegnamento non dà l’effetto desiderato sia in termini di acquisizione da parte dei bambini della gamma di conoscenze necessarie, sia in termini di sviluppo della loro intelligenza.

Sembra che attualmente i programmi di insegnamento di alcune materie accademiche, in particolare della matematica, non rispondano alle nuove esigenze di vita e al livello di sviluppo scienze moderne(ad esempio, matematica) e nuovi dati psicologia dello sviluppo e logica. Questa circostanza impone la necessità di test teorici e sperimentali completi progetti possibili nuovi contenuti delle materie educative.

Le basi della conoscenza matematica vengono poste nella scuola elementare. Ma, sfortunatamente, sia i matematici stessi, sia i metodologi e gli psicologi prestano pochissima attenzione al contenuto della matematica elementare. Basti dire che il curriculum di matematica nella scuola primaria (classi I - IV) nelle sue caratteristiche principali si è formato 50-60 anni fa e riflette naturalmente il sistema di idee matematiche, metodologiche e psicologiche di quel tempo.

Consideriamo tratti caratteristici standard statale per la matematica nella scuola primaria. Il suo contenuto principale sono i numeri interi e le operazioni su di essi, studiati in una determinata sequenza. Innanzitutto, vengono studiate quattro operazioni nel limite di 10 e 20, quindi: calcoli orali nel limite di 100, calcoli orali e scritti nel limite di 1000 e infine nel limite di milioni e miliardi. Nel grado IV vengono studiate alcune relazioni tra i dati e i risultati delle operazioni aritmetiche, nonché le frazioni semplici. Insieme a questo, il programma prevede lo studio delle misure metriche e delle misure del tempo, la padronanza della capacità di usarle per la misurazione, la conoscenza di alcuni elementi di geometria visiva: disegnare un rettangolo e un quadrato, misurare segmenti, aree di un rettangolo e di un quadrato, calcolare volumi.

Gli studenti devono applicare le conoscenze e le abilità acquisite alla risoluzione di problemi ed all'esecuzione di semplici calcoli. Durante tutto il corso, la risoluzione dei problemi viene effettuata parallelamente allo studio dei numeri e delle operazioni: per questo viene assegnata metà del tempo appropriato. La risoluzione dei problemi aiuta gli studenti a comprendere il significato specifico delle azioni, a comprendere i vari casi della loro applicazione, a stabilire relazioni tra quantità e ad acquisire competenze di base di analisi e sintesi.

Dalla I alla IV classe, i bambini risolvono le seguenti principali tipologie di problemi (semplici e compositi): trovare la somma e il resto, prodotto e quoziente, aumentare e diminuire numeri dati, differenza e confronto multiplo, regola semplice della tripla, divisione proporzionale, trovare un sconosciuto da due differenze, calcolo della media aritmetica e altri tipi di problemi.

CON diversi tipi i bambini incontrano dipendenze di quantità durante la risoluzione dei problemi. Ma è molto tipico che gli studenti inizino i problemi dopo e mentre studiano i numeri; la cosa principale richiesta quando si risolve è trovare una risposta numerica. I bambini hanno grandi difficoltà a identificare le proprietà delle relazioni quantitative in situazioni specifiche e particolari, che di solito sono considerate problemi aritmetici. La pratica dimostra che la manipolazione dei numeri spesso sostituisce l'analisi effettiva delle condizioni del problema dal punto di vista delle dipendenze delle quantità reali. Inoltre, i problemi introdotti nei libri di testo non rappresentano un sistema in cui situazioni più “complesse” sarebbero associate a strati “più profondi” di relazioni quantitative. Problemi della stessa difficoltà si possono trovare sia all'inizio che alla fine del libro di testo. Cambiano da sezione a sezione e da classe a classe a seconda della complessità della trama (il numero delle azioni aumenta), a seconda del rango dei numeri (da dieci a un miliardo), a seconda della complessità dipendenze fisiche(dai problemi di distribuzione ai problemi di movimento) e secondo altri parametri. Solo un parametro - l'approfondimento del sistema stesso delle leggi matematiche - si manifesta in essi debolmente e indistintamente. Pertanto, è molto difficile stabilire un criterio per la difficoltà matematica di un particolare problema. Perché i problemi nel trovare un'incognita da due differenze e nel trovare la media aritmetica (III grado) sono più difficili dei problemi sulla differenza e nel confronto multiplo (II grado)? La metodologia non fornisce una risposta convincente e logica a questa domanda.

Pertanto, gli studenti della scuola primaria non ricevono una conoscenza adeguata e completa delle dipendenze delle quantità e proprietà generali ah quantità né quando si studiano gli elementi della teoria dei numeri, perché nel corso scolastico sono associati principalmente alla tecnica dei calcoli, né quando si risolvono i problemi, perché questi ultimi non hanno la forma corrispondente e non hanno il sistema richiesto. I tentativi dei metodologi di migliorare i metodi di insegnamento, sebbene portino a un successo parziale, non cambiano posizione generale casi, poiché sono limitati in anticipo dal quadro dei contenuti accettati.

Sembra che fondamentalmente analisi critica Il programma aritmetico adottato deve contenere le seguenti disposizioni:

Il concetto di numero non è identico al concetto di caratteristiche quantitative degli oggetti;

Il numero non è la forma originaria delle relazioni quantitative.

Cerchiamo di fornire la motivazione di tali disposizioni. È noto che la matematica moderna (in particolare l'algebra) studia aspetti delle relazioni quantitative che non hanno un involucro numerico. È anche noto che alcune relazioni quantitative sono del tutto esprimibili senza numeri e prima dei numeri, ad esempio in segmenti, volumi, ecc. (rapporto “più”, “meno”, “uguale”). La presentazione dei concetti matematici generali originali nei manuali moderni viene effettuata in un tale simbolismo che non implica necessariamente l'espressione degli oggetti mediante numeri. Quindi, nel libro di E.G. Nell'"Aritmetica teorica" di Gonin gli oggetti matematici di base sono indicati fin dall'inizio con lettere e segni speciali.

È caratteristico che certi tipi di numeri e dipendenze numeriche siano forniti solo come esempi, illustrazioni delle proprietà degli insiemi e non come la loro unica forma di espressione possibile e unica esistente. Inoltre, è interessante notare che molte illustrazioni delle singole definizioni matematiche sono fornite in forma grafica, attraverso il rapporto tra segmenti e aree. Tutte le proprietà fondamentali degli insiemi e delle quantità possono essere dedotte e giustificate senza coinvolgere sistemi numerici; Inoltre, questi stessi ricevono giustificazione sulla base di concetti matematici generali.

A loro volta, numerose osservazioni di psicologi e insegnanti mostrano che le idee quantitative nascono nei bambini molto prima che acquisiscano la conoscenza dei numeri e di come utilizzarli. È vero, c’è la tendenza a classificare queste idee come “formazioni pre-matematiche” (il che è del tutto naturale per i metodi tradizionali che identificano caratteristiche quantitative oggetto con un numero), tuttavia, ciò non cambia la loro funzione essenziale nell'orientamento generale del bambino riguardo alle proprietà delle cose. E a volte capita che la profondità di queste presunte "formazioni pre-matematiche" sia più significativa per lo sviluppo del pensiero matematico di un bambino rispetto alla conoscenza delle complessità della tecnologia informatica e alla capacità di trovare dipendenze puramente numeriche. È interessante notare che l'accademico UN. Kolmogorov, caratterizzando le caratteristiche della creatività matematica, rileva in particolare la seguente circostanza: “La base della maggior parte delle scoperte matematiche è un'idea semplice: una costruzione geometrica visiva, una nuova disuguaglianza elementare, ecc. Devi solo applicarla correttamente un'idea semplice per risolvere un problema che a prima vista sembra inaccessibile."

Attualmente, sono appropriate una varietà di idee riguardanti la struttura e i metodi di costruzione. nuovo programma. È necessario coinvolgere matematici, psicologi, logici e metodologi nel lavoro sulla sua costruzione. Ma in tutte le sue varianti specifiche, sembra dover soddisfare i seguenti requisiti fondamentali:

Superare il divario esistente tra i contenuti della matematica nelle scuole primarie e secondarie;

Fornire un sistema di conoscenza sulle leggi fondamentali delle relazioni quantitative del mondo oggettivo; in questo caso, le proprietà dei numeri, come forma speciale per esprimere la quantità, dovrebbero diventare una sezione speciale, ma non principale del programma;

Instillare nei bambini i metodi del pensiero matematico, e non solo le capacità di calcolo: si tratta di costruire un sistema di problemi basato sull'approfondimento della sfera delle dipendenze delle quantità reali (la connessione della matematica con la fisica, la chimica, la biologia e altre scienze che studiano specifiche quantità);

Semplificare decisamente tutte le tecniche di calcolo, riducendo al minimo il lavoro che non può essere svolto senza tabelle appropriate, libri di consultazione e altri mezzi ausiliari (in particolare elettronici).

Il significato di questi requisiti è chiaro: nella scuola elementare è del tutto possibile insegnare la matematica come scienza sulle leggi delle relazioni quantitative, sulle dipendenze delle quantità; le tecniche informatiche e gli elementi di teoria dei numeri dovrebbero diventare una sezione speciale e privata del programma.

L'esperienza della costruzione di un nuovo programma di matematica e la sua sperimentazione sperimentale, condotta a partire dalla fine degli anni '60, ci permettono oggi di parlare della possibilità di introdurre un corso sistematico di matematica nella scuola a partire dalla prima elementare, fornendo conoscenze sulle relazioni e dipendenze quantitative delle quantità in forma algebrica.

1.2 Il problema dell'origine dei concetti algebrici e il suo significato per la costruzione di un soggetto educativo

Separazione corso scolastico matematica per algebra e aritmetica, ovviamente, in modo condizionale. Il passaggio dall'uno all'altro avviene gradualmente. Nella pratica scolastica, il significato di questa transizione è mascherato dal fatto che lo studio delle frazioni avviene effettivamente senza un ampio supporto per la misurazione delle quantità: le frazioni sono date come rapporti di coppie di numeri (anche se formalmente l'importanza di misurare le quantità in manuali metodologici ammesso). Un'ampia introduzione di numeri frazionari basati sulla misurazione di quantità porta inevitabilmente al concetto di numero reale. Ma quest’ultima cosa di solito non accade, poiché gli studenti vengono costretti a lavorare con i numeri razionali per molto tempo, e quindi la loro transizione all’“algebra” viene ritardata.

In altre parole, l'algebra scolastica inizia proprio quando si creano le condizioni per il passaggio dai numeri interi ai numeri reali, per esprimere il risultato di una misurazione come frazione (semplice e decimale - finita, e poi infinita). Inoltre, il passo iniziale può essere la familiarità con l'operazione di misurazione, ottenendo quella finale decimali e studiare le azioni su di essi. Se gli studenti conoscono già questa forma di scrittura del risultato di una misurazione, allora questo serve come prerequisito per “abbandonare” l’idea che un numero possa essere espresso anche come frazione infinita. Ed è opportuno creare questo prerequisito già all'interno della scuola elementare.

Se il concetto di numero frazionario (razionale) viene rimosso dalla competenza dell'aritmetica scolastica, il confine tra esso e l '"algebra" passerà lungo la linea di differenza tra numeri interi e numeri reali. È questo che “taglia” il corso di matematica in due parti. Questa non è una semplice differenza, ma un fondamentale “dualismo” delle fonti: conteggio e misurazione.

Seguendo le idee di Lebesgue riguardo " concetto generale numeri", è possibile garantire la completa unità nell'insegnamento della matematica, ma solo dal momento e dopo che i bambini hanno familiarizzato con il conteggio e con i numeri interi (naturali). Naturalmente, i tempi di questa familiarità preliminare possono essere diversi (nella tradizione programmi per le scuole primarie sono chiaramente in ritardo), nel corso di aritmetica elementare si possono anche introdurre elementi di misurazioni pratiche (che si svolgono nel programma) - tuttavia, tutto ciò non elimina le differenze nei fondamenti dell'aritmetica e " l'algebra" come materie educative. Il "dualismo" dei punti di partenza impedisce anche di comprendere veramente l'aritmetica. Le sezioni relative alla misurazione delle quantità e al passaggio alle frazioni reali "hanno messo radici". e la "purezza" dell'aritmetica come materia scolastica Questa differenza nelle fonti è la ragione principale per insegnare la matematica secondo lo schema: prima l'aritmetica (numero intero), poi "algebra" (numero reale).

Questo schema sembra del tutto naturale e irremovibile, inoltre, è giustificato da molti anni di pratica nell'insegnamento della matematica. Ma ci sono circostanze che, da un punto di vista logico e psicologico, richiedono un'analisi più approfondita della liceità di questo rigido schema didattico.

Il fatto è che, nonostante tutte le differenze tra questi tipi di numeri, si riferiscono specificamente ai numeri, ad es. a una forma speciale di rappresentazione delle relazioni quantitative. Il fatto che i numeri interi e reali appartengano ai “numeri” serve come base per l'assunzione dei derivati genetici delle stesse differenze tra conteggio e misurazione: hanno una fonte speciale e unica corrispondente alla forma stessa del numero.

La conoscenza delle caratteristiche di questa base unificata di conteggio e misurazione consentirà di immaginare più chiaramente le condizioni della loro origine, da un lato, e la relazione, dall'altro.

A cosa dovremmo rivolgerci per trovare la radice comune dell'albero ramificato dei numeri? Sembra che occorra anzitutto analizzare il contenuto del concetto di quantità. È vero, questo termine è immediatamente associato a un'altra dimensione. Tuttavia, la legittimità di tale collegamento non esclude una certa indipendenza del significato di “grandezza”. La considerazione di questo aspetto ci consente di trarre conclusioni che mettono insieme, da un lato, la misurazione e il conteggio e, dall'altro, il funzionamento dei numeri con determinate relazioni e schemi matematici generali.

Allora, cos’è la “quantità” e che interesse ha per costruire le sezioni iniziali della matematica scolastica? Nell'uso generale, il termine “grandezza” è associato ai concetti “uguale”, “più”, “meno”, che descrivono una varietà di qualità (lunghezza e densità, temperatura e bianchezza). V.F. Kagan solleva la questione di quali proprietà comuni abbiano questi concetti. Mostra che si riferiscono ad aggregati - insiemi di oggetti omogenei, il cui confronto di elementi ci consente di applicare i termini "più", "uguale", "meno" (ad esempio, agli aggregati di tutti i segmenti diritti, pesi, velocità , ecc.).

Un insieme di oggetti si trasforma in grandezza solo quando si stabiliscono criteri che permettano di stabilire, rispetto a uno qualsiasi dei suoi elementi A e B, se A sarà uguale a B, maggiore di B o minore di B. Inoltre, per due elementi qualsiasi A e B, uno ed uno solo dei rapporti: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan identifica le seguenti otto proprietà fondamentali dei concetti “uguale”, “più”, “meno”: .

1) Vale almeno una delle relazioni: A=B, A>B, A<В.

2) Se vale la relazione A = B, allora la relazione A non vale<В.

3) Se vale la relazione A=B, allora non vale la relazione A>B.

4) Se A=B e B=C, allora A=C.

5) Se A>B e B>C, allora A>C.

6) Se l'A<В и В<С, то А<С.

7) L'uguaglianza è una relazione reversibile: dalla relazione A=B segue sempre la relazione B=A.

8) L'uguaglianza è una relazione reciproca: qualunque sia l'elemento A dell'insieme considerato, A = A.

Le prime tre frasi caratterizzano la disgiunzione delle relazioni fondamentali "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

tre elementi A, B e C. Le seguenti frasi 7 - 8 caratterizzano solo l'uguaglianza - la sua reversibilità e ricorrenza (o riflessività). V.F. Kagan chiama queste otto disposizioni fondamentali postulati di confronto, sulla base dei quali si possono ricavare numerose altre proprietà della quantità.

Queste proprietà inferenziali di V.F. Kagan descrive sotto forma di otto teoremi:

I. Il rapporto A>B esclude il rapporto B>A (A<В исключает В<А).

II. Se A>B, allora B<А (если А<В, то В>UN).

III. Se A>B vale, allora A non vale.

IV. Se A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, allora A1=An.

V. Se A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, allora A1>An.

VI. Se A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Se A=C e B=C, allora A=B.

VIII. Se c'è uguaglianza o disuguaglianza A=B, o A>B, o A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B e A=C, quindi C>B, ecc.).

Postulati e teoremi di confronto, sottolinea V.F. Kagan, “si esauriscono tutte quelle proprietà dei concetti “uguale”, “più” e “meno”, che in matematica sono ad essi associati e trovano applicazione indipendentemente dalle proprietà individuali dell’insieme agli elementi di cui le applichiamo in vari casi particolari”.

Le proprietà specificate nei postulati e nei teoremi possono caratterizzare non solo quelle caratteristiche immediate degli oggetti che siamo abituati ad associare a “uguale”, “più”, “meno”, ma anche molte altre caratteristiche (ad esempio, possono caratterizzare la relazione “antenato - discendente”). Ciò ci permette di assumere un punto di vista generale nel descriverli e di considerare, ad esempio, dal punto di vista di questi postulati e teoremi tre tipi qualsiasi di relazioni “alfa”, “beta”, “gamma” (in questo caso si tratta è possibile stabilire se tali relazioni soddisfano i postulati e i teoremi e a quali condizioni).

Da questo punto di vista si può, ad esempio, considerare una proprietà delle cose come la durezza (più duro, più morbido, uguale durezza), la sequenza degli eventi nel tempo (successivo, precedente, simultaneo), ecc. In tutti questi casi, i rapporti “alfa”, “beta”, “gamma” ricevono la loro specifica interpretazione. Il compito associato alla selezione di un insieme di corpi che avrebbero queste relazioni, nonché l'identificazione dei segni con cui si potrebbero caratterizzare "alfa", "beta", "gamma" - questo è il compito di determinare i criteri di confronto in un dato insieme di enti (in pratica, in alcuni casi non è di facile risoluzione). "Stabilendo criteri di confronto, trasformiamo la moltitudine in grandezza", ha scritto V.F. Kagan. Gli oggetti reali possono essere visti dalla prospettiva di diversi criteri. Pertanto, un gruppo di persone può essere considerato secondo un criterio come la sequenza dei momenti di nascita di ciascuno dei suoi membri. Un altro criterio è la posizione relativa che assumeranno le teste di queste persone se saranno affiancate sullo stesso piano orizzontale. In ogni caso, il gruppo verrà trasformato in una quantità che ha un nome corrispondente: età, altezza. In pratica, una quantità solitamente non denota l'insieme degli elementi in sé, ma un nuovo concetto introdotto per distinguere i criteri di confronto (il nome della quantità). È così che nascono i concetti di "volume", "peso", "tensione elettrica", ecc. "Allo stesso tempo, per un matematico, il valore è completamente definito quando vengono indicati molti elementi e criteri di confronto", ha osservato V.F. Kagan.

Questo autore considera la serie naturale dei numeri come l'esempio più importante di quantità matematica. Dal punto di vista di un criterio di confronto come la posizione occupata dai numeri in una serie (occupano lo stesso posto, seguono..., precedono), questa serie soddisfa i postulati e quindi rappresenta una quantità. Secondo i criteri di confronto corrispondenti, anche un insieme di frazioni viene convertito in una quantità. Questo secondo V.F. Kagan, il contenuto della teoria della quantità, che gioca un ruolo cruciale nel fondamento di tutta la matematica.

Lavorando con le quantità (si consiglia di registrare i loro valori individuali in lettere), è possibile eseguire un complesso sistema di trasformazioni, stabilendo le dipendenze delle loro proprietà, passando dall'uguaglianza alla disuguaglianza, eseguendo addizioni (e sottrazioni) e quando si aggiungono puoi lasciarti guidare dalle proprietà commutative e associative. Quindi, se è data la relazione A=B, allora quando “risolvi” i problemi puoi essere guidato dalla relazione B=A. In un altro caso, se ci sono relazioni A>B, B=C, possiamo concludere che A>C. Poiché per a>b esiste un c tale che a=b+c, allora possiamo trovare la differenza tra a e b (a-b=c), ecc.

Tutte queste trasformazioni possono essere eseguite corpi fisici e altri oggetti, stabilendo criteri di confronto e conformità delle relazioni selezionate ai postulati di confronto.

I materiali di cui sopra ci consentono di concludere che sia i numeri naturali che quelli reali sono ugualmente fortemente associati alle quantità e ad alcune delle loro caratteristiche essenziali. È possibile rendere queste e altre proprietà oggetto di studio speciale per il bambino anche prima che venga introdotta la forma numerica per descrivere il rapporto tra quantità? Possono servire come prerequisiti per la successiva introduzione dettagliata del numero e dei suoi diversi tipi, in particolare per la propedeutica delle frazioni, concetti di coordinate, funzioni e altri concetti già nelle classi prime.

Quale potrebbe essere il contenuto di questa sezione iniziale? Si tratta di una conoscenza con oggetti fisici, criteri per il loro confronto, evidenziazione di una quantità come oggetto di considerazione matematica, familiarità con metodi di confronto e mezzi simbolici per registrarne i risultati, con tecniche per analizzare le proprietà generali delle quantità. Questo contenuto deve essere sviluppato in un programma didattico relativamente dettagliato e, soprattutto, collegato a quelle azioni del bambino attraverso le quali può padroneggiare questo contenuto (ovviamente, nella forma appropriata). Allo stesso tempo, è necessario stabilire sperimentalmente se i bambini di 7 anni possono padroneggiare questo programma e qual è la fattibilità della sua introduzione per il successivo insegnamento della matematica nelle classi primarie nella direzione di avvicinare l'aritmetica e l'algebra primaria insieme.

Fino ad ora, il nostro ragionamento è stato di natura teorica e mirava a chiarire i prerequisiti matematici per costruire una sezione iniziale del corso che introducesse i bambini ai concetti algebrici di base (prima dell'introduzione speciale dei numeri). Le principali proprietà che caratterizzano le quantità sono state descritte sopra. Naturalmente non ha senso che i bambini di 7 anni tengano “lezioni” su queste proprietà.

Era necessario trovare una tale forma di lavoro per i bambini con materiale didattico, attraverso il quale da un lato potrebbero identificare queste proprietà nelle cose che li circondano, dall'altro imparerebbero a fissarle con un certo simbolismo e a svolgere elementari analisi matematica relazioni allocate.

A questo proposito, il programma dovrebbe contenere, in primo luogo, un'indicazione delle proprietà della materia che devono essere padroneggiate, in secondo luogo, una descrizione dei materiali didattici, in terzo luogo - e questa è la cosa principale da un punto di vista psicologico - le caratteristiche di quelle azioni attraverso le quali il bambino identifica determinate proprietà di un oggetto e le padroneggia. Queste “componenti” costituiscono il programma didattico nel senso proprio del termine. È opportuno presentare le caratteristiche specifiche di questo ipotetico programma e dei suoi “componenti” quando si descrive il processo di apprendimento stesso e i suoi risultati.

Ecco lo schema di questo programma e i suoi argomenti principali.

Argomento I. Livellamento e completamento degli oggetti (per lunghezza, volume, peso, composizione delle parti e altri parametri).

Esercitazioni pratiche su livellamento e acquisizione. Individuazione delle caratteristiche (criteri) con cui gli stessi oggetti possono essere equalizzati o completati. Designazione verbale di queste caratteristiche (“per lunghezza”, per peso”, ecc.).

Questi compiti vengono risolti nel processo di lavoro con materiale didattico (barre, pesi, ecc.) da:

Scegliendo lo “stesso” articolo,

Riproduzione (costruzione) dello “stesso” oggetto secondo un parametro selezionato (specificato).

Argomento II. Confrontare oggetti e fissarne i risultati utilizzando la formula di uguaglianza-disuguaglianza.

1. Compiti sul confronto di oggetti e sulla designazione simbolica dei risultati di questa azione.

2. Registrazione verbale dei risultati del confronto (termini “più”, “meno”, “uguale”). Caratteri scritti ">", "<", "=".

3. Indicazione del risultato del confronto con un disegno (“copia” e poi “astratto” - linee).

4. Designazione di oggetti confrontati con lettere. Registrare il risultato del confronto utilizzando le formule: A=B; UN<Б, А>B. Una lettera come segno che fissa un valore particolare e dato direttamente di un oggetto in base a un parametro selezionato (in peso, in volume, ecc.).

5. Impossibilità di fissare il risultato del confronto utilizzando formule diverse. Scegliere una formula specifica per un dato risultato (disgiunzione completa delle relazioni maggiore - minore - uguale).

Argomento III. Proprietà di uguaglianza e disuguaglianza.

1. Reversibilità e riflessività dell'uguaglianza (se A=B, allora B=A; A=A).

2. La connessione tra i rapporti “più” e “meno” nelle disuguaglianze durante le “permutazioni” delle parti confrontate (se A>B, allora B<А и т.п.).

3. Transitività come proprietà di uguaglianza e disuguaglianza:

se A=B, se A>B, se A<Б,

un B=B, un B>B, un B<В,

allora A=B; quindi A>B; poi A<В.

4. Transizione dal lavoro con materiale didattico in oggetto alla valutazione delle proprietà di uguaglianza e disuguaglianza in presenza di sole formule letterali. Risolvere vari problemi che richiedono la conoscenza di queste proprietà (ad esempio, risolvere problemi relativi alla connessione di relazioni del tipo: dato che A>B e B=C; scoprire la relazione tra A e C).

Argomento IV. Operazione di addizione (sottrazione).

1. Osservazioni dei cambiamenti negli oggetti secondo l'uno o l'altro parametro (in volume, in peso, in durata, ecc.). Illustrazione di aumento e diminuzione con i segni "+" e "-" (più e meno).

2. Violazione dell'uguaglianza precedentemente stabilita con un corrispondente cambiamento nell'uno o nell'altro dei suoi lati. Il passaggio dall’uguaglianza alla disuguaglianza. Scrivere formule come:

se A=B, se A=B,

poi A+K>B; poi A-K<Б.

3. Modalità di transizione verso una nuova uguaglianza (il suo “ripristino” secondo il principio:

aggiungendo "uguale" a "uguale" si ottiene "uguale").

Lavorare con formule come:

allora A+K>B, ma A+K=B+K.

4. Risolvere vari problemi che richiedono l'uso dell'addizione (sottrazione) quando si passa dall'uguaglianza alla disuguaglianza e viceversa.

Argomento V. Transizione dalla disuguaglianza di tipo A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Compiti che richiedono tale transizione. La necessità di determinare il valore della quantità per cui differiscono gli oggetti confrontati. La capacità di scrivere l'uguaglianza quando il valore specifico di questa quantità è sconosciuto. Metodo di utilizzo di x (x).

Scrivere formule come:

se A<Б, если А>B,

allora A+x=B; allora A-x=B.

2. Determinazione del valore di x. Sostituendo questo valore nella formula (introduzione alle parentesi). Digitare le formule

3. Risoluzione di problemi (incluso “trama-testuale”) che richiedono l'esecuzione delle operazioni specificate.

Tema Vl. Addizione-sottrazione di uguaglianze-disuguaglianze. Sostituzione.

1. Addizione-sottrazione di uguaglianze-disuguaglianze:

se A=B se A>B se A>B

e M=D, e K>E, e B=G, quindi A+M=B+D; quindi A+K>B+E; quindi A+-B>C+-G.

2. La capacità di rappresentare il valore di una quantità come somma di più valori. Sostituzione del tipo:

3. Risoluzione di vari problemi che richiedono la presa in considerazione delle proprietà delle relazioni con cui i bambini hanno acquisito familiarità nel processo di lavoro (molti compiti richiedono la considerazione simultanea di diverse proprietà, intelligenza nel valutare il significato delle formule; le descrizioni dei problemi e delle soluzioni sono fornite di seguito ).

Questo è un programma progettato per 3,5 - 4 mesi. prima metà dell'anno. Come dimostra l'esperienza dell'insegnamento sperimentale, con un'adeguata pianificazione delle lezioni, il miglioramento dei metodi di insegnamento e una scelta vincente dei sussidi didattici, tutto il materiale presentato nel programma può essere pienamente assorbito dai bambini in un periodo di tempo più breve (in 3 mesi). . Come sta andando avanti il nostro programma? Innanzitutto i bambini acquisiscono familiarità con il metodo per ottenere un numero che esprime la relazione di un oggetto nel suo insieme (la stessa quantità rappresentata da un oggetto continuo o discreto) con la sua parte. Questo rapporto stesso e il suo significato specifico sono rappresentati dalla formula A/K = n, dove n è un numero intero, che molto spesso esprime il rapporto con l'"unità" più vicina (solo con una selezione speciale di materiale o contando solo "qualitativamente" singole cose si può ottenere un numero intero assolutamente esatto). Fin dall'inizio, i bambini sono “costretti” a tenere presente che durante la misurazione o il conteggio può risultare un resto, la cui presenza deve essere appositamente stipulata. Questo è il primo passo per il successivo lavoro con le frazioni. Con questa forma di ottenimento di un numero, non è difficile portare i bambini a descrivere un oggetto con una formula del tipo A = 5k (se il rapporto fosse pari a “5”). Insieme alla prima formula, apre opportunità per uno studio speciale delle dipendenze tra l'oggetto, la base (misura) e il risultato del conteggio (misura), che funge anche da propedeutica per il passaggio ai numeri frazionari (in particolare , per comprendere le proprietà di base di una frazione). Un'altra linea di sviluppo del programma, attuata già in prima elementare, è il trasferimento ai numeri (interi) delle proprietà fondamentali della quantità (disgiunzione di uguaglianza-disuguaglianza, transitività, invertibilità) e dell'operazione di addizione (commutatività, associatività, monotonicità, la possibilità di sottrazione). In particolare, lavorando sulla retta numerica, i bambini possono convertire velocemente sequenze di numeri in grandezze (ad esempio, valutarne chiaramente la transitività facendo notazioni di tipo 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

La familiarità con alcune delle cosiddette caratteristiche “strutturali” dell’uguaglianza consente ai bambini di affrontare in modo diverso la connessione tra addizione e sottrazione. Pertanto, quando si passa dalla disuguaglianza all'uguaglianza, vengono eseguite le seguenti trasformazioni: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; trova la relazione tra i lati sinistro e destro della formula per 8+1-4...6+3-2; in caso di disuguaglianza, portare questa espressione a uguaglianza (prima è necessario inserire il segno "minore di" e poi aggiungere "due" a sinistra).

Pertanto, trattare una serie numerica come una quantità consente di formulare le capacità di addizione e sottrazione (e quindi di moltiplicazione e divisione) in un modo nuovo.

2.1 La didattica nella scuola primaria in relazione ai bisogni della scuola secondaria

Come sapete, quando si studia matematica in quinta elementare, una parte significativa del tempo è dedicata alla ripetizione di ciò che i bambini avrebbero dovuto imparare alle elementari. Questa ripetizione in quasi tutti i libri di testo esistenti richiede 1,5 trimestri accademici. Questa situazione non è nata per caso. Il motivo è l'insoddisfazione degli insegnanti di matematica della scuola secondaria nei confronti della preparazione dei diplomati della scuola primaria. Qual è la ragione di questa situazione? A questo scopo sono stati analizzati i cinque libri di testo di matematica della scuola primaria oggi più famosi. Questi sono i libri di testo di M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson, , , .

L'analisi di questi libri di testo ha rivelato diversi aspetti negativi, presenti in misura maggiore o minore in ciascuno di essi e che influiscono negativamente sull'apprendimento successivo. Prima di tutto, l'assimilazione del materiale in essi contenuto si basa in gran parte sulla memorizzazione. Un chiaro esempio di ciò è memorizzare la tavola pitagorica. Nella scuola elementare, molti sforzi e tempo vengono dedicati alla sua memorizzazione. Ma durante le vacanze estive i bambini la dimenticano. La ragione di un oblio così rapido è l’apprendimento meccanico. La ricerca di L.S. Vygotsky ha dimostrato che la memorizzazione significativa è molto più efficace della memorizzazione meccanica, e successivi esperimenti dimostrano in modo convincente che il materiale entra nella memoria a lungo termine solo se viene ricordato come risultato del lavoro corrispondente a questo materiale.

Un metodo per padroneggiare efficacemente la tavola pitagorica è stato trovato negli anni '50. Consiste nell'organizzare un certo sistema di esercizi, eseguendo i quali i bambini stessi costruiscono una tavola pitagorica. Tuttavia, questo metodo non è implementato in nessuno dei libri di testo esaminati.

Un altro punto negativo che influisce sull'istruzione superiore è che in molti casi la presentazione del materiale nei libri di testo di matematica delle scuole elementari è strutturata in modo tale che in futuro i bambini dovranno essere riqualificati e questo, come sappiamo, è molto più difficile che insegnare. In relazione allo studio di materiale algebrico, un esempio potrebbe essere la risoluzione di equazioni nella scuola elementare. In tutti i libri di testo, la risoluzione delle equazioni si basa sulle regole per trovare componenti sconosciuti delle azioni.

Ciò viene fatto in modo leggermente diverso solo nel libro di testo di L.G. Peterson, dove, ad esempio, la risoluzione delle equazioni di moltiplicazione e divisione si basa sulla correlazione dei componenti dell'equazione con i lati e l'area di un rettangolo e alla fine si riduce anche a regole, ma queste sono regole per trovare il lato o l'area di un rettangolo. Nel frattempo, a partire dalla 6a elementare, ai bambini viene insegnato un principio completamente diverso per risolvere le equazioni, basato sull'uso di trasformazioni identiche. Questa necessità di riapprendimento porta al fatto che risolvere le equazioni è un compito piuttosto difficile per la maggior parte dei bambini.

Analizzando i libri di testo, abbiamo anche riscontrato il fatto che quando si presenta il materiale in essi contenuto, spesso si verifica una distorsione dei concetti. Ad esempio, la formulazione di molte definizioni è data sotto forma di implicazioni, mentre dalla logica matematica è noto che qualsiasi definizione è un'equivalenza. A titolo illustrativo, possiamo citare la definizione di moltiplicazione dal libro di testo di I.I. Arginskaya: "Se tutti i termini della somma sono uguali tra loro, l'addizione può essere sostituita da un'altra azione: la moltiplicazione." (Tutti i termini della somma sono uguali tra loro. Pertanto, l'addizione può essere sostituita dalla moltiplicazione.) Come puoi vedere, questa è un'implicazione nella sua forma pura. Questa formulazione non solo è analfabeta dal punto di vista matematico, non solo forma erroneamente nei bambini un'idea di cosa sia una definizione, ma è anche molto dannosa perché in futuro, ad esempio, quando si costruisce una tavola pitagorica, gli autori di libri di testo utilizzano la sostituzione del prodotto con la somma di termini identici, cosa che la formulazione presentata non consente. Un lavoro così errato con affermazioni scritte sotto forma di implicazione forma nei bambini uno stereotipo errato, che sarà superato con grande difficoltà nelle lezioni di geometria, quando i bambini non sentiranno la differenza tra un'affermazione diretta e inversa, tra un segno di una figura e la sua proprietà. L'errore di utilizzare il teorema inverso per risolvere i problemi, mentre è stato dimostrato solo il teorema diretto, è molto comune.

Un altro esempio di formazione errata dei concetti è lavorare con la relazione di uguaglianza letterale. Ad esempio, le regole per moltiplicare un numero per uno e un numero per zero in tutti i libri di testo sono fornite sotto forma di lettera: a x 1 = a, a x 0 = 0. La relazione di uguaglianza, come è noto, è simmetrica e quindi tale una notazione prevede non solo che moltiplicato per 1 si ottenga lo stesso numero, ma anche che qualsiasi numero possa essere rappresentato come il prodotto di questo numero e uno. Tuttavia, la formulazione verbale proposta nei libri di testo dopo l'inserimento della lettera parla solo della prima possibilità.

Anche gli esercizi su questo argomento mirano solo a esercitarsi a sostituire il prodotto di un numero e uno con questo numero. Tutto ciò porta non solo al fatto che un punto molto importante non diventa oggetto della coscienza dei bambini: qualsiasi numero può essere scritto sotto forma di prodotto, cosa che in algebra causerà corrispondenti difficoltà quando si lavora con i polinomi, ma anche alla fatto che i bambini, in linea di principio, non sanno come lavorare correttamente con la relazione di uguaglianza. Ad esempio, quando si lavora con la formula della differenza dei quadrati, i bambini, di regola, affrontano il compito di fattorizzare la differenza dei quadrati. Tuttavia, i compiti in cui è richiesta l’azione opposta causano in molti casi difficoltà. Un altro esempio sorprendente di questa idea è il lavoro con la legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione. Anche qui, nonostante la redazione letterale della legge, sia la sua formulazione verbale che il sistema degli esercizi allenano soltanto la capacità di aprire parentesi. Di conseguenza, mettere il fattore comune fuori parentesi causerà notevoli difficoltà in futuro.

Molto spesso nella scuola elementare, anche quando una definizione o una regola è formulata correttamente, l'apprendimento viene stimolato facendo affidamento non su di esse, ma su qualcosa di completamente diverso. Ad esempio, quando si studia la tavola pitagorica per 2, tutti i libri di testo esaminati mostrano come costruirla. Nel libro di testo M.I. Moro ha fatto così:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Con questo metodo di lavoro, i bambini noteranno molto rapidamente lo schema delle serie numeriche risultanti.

Dopo 3-4 uguaglianze, smetteranno di aggiungere i due e inizieranno a scrivere il risultato in base allo schema osservato. Pertanto, il metodo di costruzione della tavola pitagorica non diventerà oggetto della loro coscienza, il che si tradurrà nella sua fragile assimilazione.

Quando si studia materiale nella scuola elementare, si fa affidamento su azioni oggettive e chiarezza illustrativa, che porta alla formazione del pensiero empirico. Ovviamente non è possibile fare a meno di tale visibilità nella scuola elementare. Ma dovrebbe servire solo come illustrazione di questo o quel fatto, e non come base per la formazione di un concetto.

L’uso di chiarezza illustrativa e azioni sostanziali nei libri di testo spesso porta a “confondere” il concetto stesso. Ad esempio, nei metodi di matematica per i gradi 1-3 M.I. Moreau dice che i bambini devono fare la divisione disponendo gli oggetti in pile o facendo un disegno per 30 lezioni. Tali azioni perdono l'essenza dell'operazione di divisione in quanto azione inversa della moltiplicazione. Di conseguenza, la divisione viene appresa con la massima difficoltà ed è molto peggiore di altre operazioni aritmetiche.

Quando si insegna matematica alle scuole elementari, non si parla di dimostrare alcuna affermazione. Nel frattempo, ricordando quanto sarà difficile insegnare la prova al liceo, è necessario iniziare a prepararsi già nelle classi elementari. Inoltre, questo può essere fatto su materiale abbastanza accessibile agli scolari più giovani. Tale materiale, ad esempio, può essere la regola per dividere un numero per 1, zero per un numero e un numero per se stesso. I bambini sono perfettamente in grado di dimostrarli utilizzando la definizione di divisione e le corrispondenti regole di moltiplicazione.

Il materiale della scuola elementare consente anche la propedeutica dell'algebra, lavorando con le lettere e le espressioni alfabetiche. La maggior parte dei libri di testo evita l'uso delle lettere. Di conseguenza, i bambini lavorano quasi esclusivamente con i numeri per quattro anni, dopodiché, ovviamente, è molto difficile abituarli a lavorare con le lettere.

Tuttavia, è possibile fornire una propedeutica a tale lavoro, insegnando ai bambini a sostituire un numero invece di una lettera in un'espressione alfabetica già nella scuola elementare. Ciò è stato fatto, ad esempio, nel libro di testo di L.G. Peterson.

Parlando delle carenze dell'insegnamento della matematica nella scuola elementare, che interferiscono con l'apprendimento ulteriore, è necessario sottolineare in particolare il fatto che spesso il materiale nei libri di testo viene presentato senza uno sguardo a come funzionerà in futuro. Un esempio molto eclatante di ciò è l'organizzazione della moltiplicazione dell'apprendimento per 10, 100, 1000, ecc. In tutti i libri di testo recensiti, la presentazione di questo materiale è strutturata in modo tale da portare inevitabilmente alla formazione nella mente dei bambini della regola: “Per moltiplicare un numero per 10, 100, 1000, ecc., occorre per aggiungere a destra tanti zeri quanti sono in 10, 100, 1000, ecc." Questa regola è una di quelle che si imparano molto bene alle elementari. E questo porta a un gran numero di errori quando si moltiplicano le frazioni decimali per unità di cifre intere. Anche dopo aver ricordato una nuova regola, i bambini spesso aggiungono automaticamente zero alla parte destra della virgola quando moltiplicano per 10.

Inoltre, va notato che quando si moltiplica un numero naturale e quando si moltiplica una frazione decimale per unità di cifre intere, accade sostanzialmente la stessa cosa: ogni cifra del numero viene spostata a destra del corrispondente numero di cifre. Pertanto, non ha senso insegnare ai bambini due regole separate e del tutto formali. È molto più utile insegnare loro un modo generale di procedere quando si risolvono problemi simili.

2.2 Confronto (contrasto) di concetti nelle lezioni di matematica

L'attuale programma prevede lo studio in prima elementare di sole due operazioni di primo livello: addizione e sottrazione. Limitare il primo anno di studio a sole due operazioni è, in sostanza, una deviazione da quanto già realizzato nei libri di testo che hanno preceduto quelli attuali: nessun insegnante allora si è mai lamentato che la moltiplicazione e la divisione, diciamo, entro 20, fossero oltre le capacità degli alunni della prima elementare. È anche degno di nota il fatto che nelle scuole di altri paesi, dove l'istruzione inizia all'età di 6 anni, il primo anno scolastico prevede la conoscenza iniziale di tutte e quattro le operazioni aritmetiche.

La matematica si basa innanzitutto su quattro azioni, e quanto prima verranno incluse nella pratica di pensiero dello studente, tanto più stabile e affidabile sarà il successivo sviluppo del corso di matematica.

Per correttezza va notato che nelle prime versioni dei libri di testo di M.I.Moro per la prima elementare erano previste moltiplicazioni e divisioni. Tuttavia, si è verificato un incidente: gli autori dei nuovi programmi si sono aggrappati con insistenza a una "cosa nuova": la copertura in prima elementare di tutti i casi di addizione e sottrazione entro 100 (37+58 e 95-58, ecc.) . Ma poiché non c'era abbastanza tempo per studiare un volume di informazioni così ampio, si è deciso di spostare completamente la moltiplicazione e la divisione all'anno di studio successivo.

Quindi, il fascino per la linearità del programma, cioè un'espansione puramente quantitativa della conoscenza (le stesse azioni, ma con numeri maggiori), ha occupato il tempo precedentemente assegnato all'approfondimento qualitativo della conoscenza (studiando tutte e quattro le azioni all'interno due dozzine). Studiare la moltiplicazione e la divisione già in prima elementare significa un salto di qualità nel pensiero, poiché consente di padroneggiare processi di pensiero condensati.

Secondo la tradizione, lo studio dell'addizione e della sottrazione entro 20 era un argomento speciale. La necessità di questo approccio nella sistematizzazione della conoscenza è visibile anche dall'analisi logica della domanda: il fatto è che la tabella completa per l'addizione di una cifra. i numeri si sviluppano all'interno di due decine (0+1= 1, ...,9+9=18). Pertanto, i numeri entro 20 formano un sistema completo di relazioni nelle loro connessioni interne; risulta quindi chiara l'opportunità di preservare i “Venti” come secondo tema integrale (il primo tema sono le azioni all'interno dei primi dieci).

Il caso in discussione è proprio quello in cui la concentricità (preservando la seconda decina come tema speciale) risulta essere più vantaggiosa della linearità (“dissolvendo” la seconda decina nel tema “Cento”).

Nel libro di testo di M. I. Moro, lo studio dei primi dieci è diviso in due sezioni isolate: prima si studia la composizione dei numeri dei primi dieci, e nell'argomento successivo si considerano le azioni entro 10. Nel libro di testo sperimentale di P.M. Erdnieva, al contrario, ha condotto uno studio congiunto sulla numerazione, sulla composizione dei numeri e sulle operazioni (addizione e sottrazione) entro 10 contemporaneamente in una sezione. Con questo approccio si utilizza uno studio monografico dei numeri, vale a dire: all'interno del numero in esame (ad esempio 3), si comprende immediatamente tutta la “matematica dei contanti”: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1.

Se, secondo i programmi attuali, sono state assegnate 70 ore per lo studio delle prime dieci, nel caso della formazione sperimentale, tutto questo materiale è stato studiato in 50 ore (e oltre al programma sono stati considerati alcuni concetti aggiuntivi che non erano presenti il libro di testo stabile, ma erano strutturalmente correlati al materiale principale).

La questione della classificazione dei compiti e dei nomi dei loro tipi richiede un'attenzione particolare nella metodologia della formazione iniziale. Generazioni di metodologi hanno lavorato per semplificare il sistema dei compiti scolastici, per crearne tipi e varietà efficaci, fino alla selezione di termini di successo per i nomi dei compiti destinati allo studio a scuola. È noto che almeno la metà dell'orario di insegnamento delle lezioni di matematica è dedicata alla loro soluzione. I compiti scolastici necessitano certamente di sistematizzazione e classificazione. Quale tipo (tipo) di compiti studiare, quando studiare, che tipo di problemi studiare in relazione al passaggio di una particolare sezione è un legittimo oggetto di studio della metodologia e del contenuto centrale dei programmi. Il significato di questa circostanza emerge chiaramente dalla storia della metodologia matematica.

Conclusione

Attualmente si sono create condizioni abbastanza favorevoli per un miglioramento radicale nell'organizzazione dell'insegnamento della matematica nella scuola primaria:

1) la scuola primaria è stata trasformata da triennale a quadriennale;

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