Schede di riferimento: Insegnare materiale algebrico nella scuola elementare. Studiare materiale algebrico nella scuola elementare

Lezione 8. Metodi di studio del materiale algebrico.

Lezione 7. Il concetto di perimetro di un poligono

1. Metodologia per considerare gli elementi di algebra.

2. Uguaglianze e disuguaglianze numeriche.

3. Prepararsi a familiarizzare con la variabile. Elementi di simboli di lettere.

4. Disuguaglianze con una variabile.

5. Equazione

1. L'introduzione di elementi di algebra nel corso iniziale di matematica consente, fin dall'inizio della formazione, di svolgere un lavoro sistematico volto a sviluppare nei bambini concetti matematici importanti come: espressione, uguaglianza, disuguaglianza, equazione. La familiarità con l'uso di una lettera come simbolo che denota qualsiasi numero dal campo dei numeri noti ai bambini crea le condizioni per generalizzare molti a corso iniziale le domande di teoria aritmetica sono una buona preparazione per introdurre i bambini in futuro ai concetti della variabile delle funzioni. Introduzione precedente all'uso metodo algebrico la risoluzione dei problemi consente di apportare seri miglioramenti all'intero sistema di insegnamento ai bambini per risolvere una varietà di problemi di parole.

Compiti: 1. Sviluppare la capacità degli studenti di leggere, scrivere e confrontare espressioni numeriche.2. Presentare agli studenti le regole per eseguire l'ordine delle azioni nelle espressioni numeriche e sviluppare la capacità di calcolare i valori delle espressioni in conformità con queste regole.3. Sviluppare la capacità degli studenti di leggere e scrivere espressioni letterali e calcolare i loro valori per determinati valori di lettere.4. Far conoscere agli studenti le equazioni di 1 ° grado, contenenti le azioni del primo e del secondo stadio, sviluppare la capacità di risolverle utilizzando il metodo di selezione, nonché sulla base della conoscenza della relazione tra componenti m/y e il risultato di operazioni aritmetiche.

Programma classi primarie Fornisce agli studenti la familiarità con l'uso dei simboli delle lettere, le soluzioni di equazioni elementari di primo grado con un'incognita e la loro applicazione ai problemi in un'unica azione. Queste domande sono studiate in stretta connessione con il materiale aritmetico, che contribuisce alla formazione dei numeri e operazioni aritmetiche.

Fin dai primi giorni di formazione, inizia il lavoro per sviluppare i concetti di uguaglianza tra gli studenti. Inizialmente, i bambini imparano a confrontare molti oggetti, a uguagliare gruppi disuguali e a trasformare gruppi uguali in gruppi disuguali. Già quando si studiano una dozzina di numeri vengono introdotti esercizi di confronto. Innanzitutto vengono eseguiti con supporto su oggetti.

Il concetto di espressione si forma negli scolari più giovani in stretta connessione con i concetti delle operazioni aritmetiche. La metodologia per lavorare sulle espressioni prevede due fasi. In 1 si forma il concetto delle espressioni più semplici (somma, differenza, prodotto, quoziente di due numeri) e in 2 si forma il concetto delle espressioni complesse (la somma di un prodotto e un numero, la differenza di due quozienti, ecc.) . Vengono introdotti i termini “espressione matematica” e “valore di un'espressione matematica” (senza definizioni). Dopo aver registrato diversi esempi in un'attività, l'insegnante informa che questi esempi sono altrimenti chiamati espressioni metamatematiche. Quando si studiano le operazioni aritmetiche, sono inclusi esercizi sul confronto delle espressioni, divisi in 3 gruppi; Studiare le regole di procedura. L'obiettivo in questa fase si basa su abilità pratiche gli studenti, attirano la loro attenzione sull'ordine di esecuzione delle azioni in tali espressioni e formulano la regola corrispondente. Gli studenti risolvono autonomamente gli esempi selezionati dall'insegnante e spiegano l'ordine in cui hanno eseguito le azioni in ciascun esempio. Successivamente, formulano la conclusione da soli o la leggono da un libro di testo. La trasformazione identica di un'espressione è la sostituzione di una data espressione con un'altra il cui valore è uguale al valore dell'espressione data. Gli studenti eseguono tali trasformazioni di espressioni, basandosi sulle proprietà delle operazioni aritmetiche e sulle conseguenze che ne derivano (come aggiungere una somma a un numero, come sottrarre un numero da una somma, come moltiplicare un numero per un prodotto, ecc. ). Studiando ciascuna proprietà, gli studenti si convincono che nelle espressioni di un certo tipo le azioni possono essere eseguite in modi diversi, ma il significato dell'espressione non cambia.

2. Espressioni numeriche fin dall'inizio sono considerati inscindibilmente legati agli uguali e ai disuguali numerici. Le uguaglianze e le disuguaglianze numeriche si dividono in “vere” e “errate”. Compiti: confrontare numeri, confrontare espressioni aritmetiche, risolvere semplici disuguaglianze con un'incognita, passare dalla disuguaglianza all'uguaglianza e dall'uguaglianza alla disuguaglianza

1. Un esercizio volto a chiarire da parte degli studenti la conoscenza delle operazioni aritmetiche e della loro applicazione. Quando si introducono gli studenti alle operazioni aritmetiche, si confrontano le espressioni della forma 5+3 e 5-3; 8*2 e 8/2. Le espressioni vengono prima confrontate trovando i valori di ciascuna e confrontando i numeri risultanti. In futuro, l'attività verrà eseguita in base al fatto che la somma di due numeri è maggiore della loro differenza e il prodotto è maggiore del loro quoziente; il calcolo viene utilizzato solo per verificare il risultato. Viene effettuato un confronto tra le espressioni della forma 7+7+7 e 7*3 per consolidare la conoscenza degli studenti sulla connessione tra addizione e moltiplicazione.

Durante il processo di confronto, gli studenti acquisiscono familiarità con l'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche. Per prima cosa consideriamo le espressioni contenenti parentesi nella forma 16 - (1+6).

2. Successivamente, viene considerato l'ordine delle azioni nelle espressioni senza parentesi contenenti azioni di uno e due gradi. Gli studenti apprendono questi significati mentre completano gli esempi. Innanzitutto, viene considerato l'ordine delle azioni nelle espressioni contenenti azioni di un livello, ad esempio: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Allo stesso tempo, i bambini devono imparare che se le espressioni contengono solo addizione e sottrazione o solo moltiplicazione e divisione, vengono eseguite nell'ordine in cui sono scritte. Successivamente vengono introdotte le espressioni contenenti azioni di entrambe le fasi. Si informano gli studenti che in tali espressioni devono prima eseguire in ordine le operazioni di moltiplicazione e divisione, e poi l'addizione e la sottrazione, ad esempio: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Per convincere gli studenti dell'estrema importanza di seguire l'ordine delle azioni, è utile eseguirle nella stessa espressione in una sequenza diversa e confrontare i risultati.

3. Esercizi in cui gli studenti apprendono e consolidano la conoscenza della relazione tra le componenti e i risultati delle operazioni aritmetiche. Οʜᴎ sono già inclusi quando si studiano i numeri dieci.

In questo gruppo di esercizi, gli studenti acquisiscono familiarità con casi di cambiamenti nei risultati di azioni basati su un cambiamento in uno dei componenti. Si confrontano le espressioni in cui uno dei termini viene cambiato (6+3 e 6+4) o ridotto 8-2 e 9-2, ecc. Compiti simili sono inclusi anche nello studio della moltiplicazione e divisione delle tabelle e vengono eseguiti utilizzando calcoli (5*3 e 6*3, 16:2 e 18:2), ecc. In futuro, puoi confrontare queste espressioni senza fare affidamento sui calcoli.

Gli esercizi considerati sono strettamente correlati al materiale del programma e contribuiscono alla sua assimilazione. Insieme a questo, nel processo di confronto di numeri ed espressioni, gli studenti ricevono le prime idee sull’uguaglianza e la disuguaglianza.

Quindi, in 1a elementare, dove i termini “uguaglianza” e “disuguaglianza” non sono ancora utilizzati, l'insegnante può, quando verifica la correttezza dei calcoli eseguiti dai bambini, porre domande nella seguente forma: “Kolya ha aggiunto otto a sei e ho ottenuto 15. Questa soluzione è corretta o sbagliata?”, oppure suggerire ai bambini esercizi in cui è necessario verificare la soluzione di esempi forniti, trovare le voci corrette, ecc. Allo stesso modo, quando si considerano le disuguaglianze numeriche della forma 5<6,8>4 e più complesso, l’insegnante può porre una domanda nella forma seguente: “Questi record sono corretti?”, e dopo aver introdotto una disuguaglianza – “Queste disuguaglianze sono vere?”

A partire dalla 1a elementare, i bambini acquisiscono familiarità con le trasformazioni delle espressioni numeriche, che vengono eseguite sulla base dell'applicazione degli elementi studiati della teoria aritmetica (numerazione, significato delle azioni, ecc.). Ad esempio, basandosi sulla conoscenza della numerazione e del valore posizionale dei numeri, gli studenti possono rappresentare qualsiasi numero come la somma delle sue parti posizionali. Questa abilità viene utilizzata quando si considerano le trasformazioni dell'espressione in relazione all'espressione di molte tecniche computazionali.

In connessione con tali trasformazioni, già in prima elementare, i bambini incontrano una “catena” di uguaglianze.

Lezione 8. Metodi di studio del materiale algebrico. - concetto e tipologie. Classificazione e caratteristiche della categoria "Lezione 8. Metodi di studio del materiale algebrico". 2017, 2018.

Domande e compiti per lavoro indipendente

1. Nomina i concetti geometrici studiati nella scuola elementare. Perché sono oggetto di studio?

2. La materia geometrica costituisce una sezione autonoma nel corso iniziale di matematica? Perché?

3. Descrivere la metodologia per formare concetti geometrici tra gli studenti: segmento di linea, triangolo, angolo, rettangolo.

4. Quali sono le opportunità di sviluppo? pensiero logico agli studenti prevede lo studio del materiale geometrico? Dare esempi.

5. Con quali relazioni gli studenti acquisiscono familiarità quando studiano il materiale geometrico?

6. Che funzione hanno i compiti di costruzione nella scuola elementare?

7. Fornisci esempi tipici scuola elementare compiti di costruzione.

8. Quali sono le fasi di risoluzione dei problemi di costruzione? Mostrare in che misura è possibile utilizzare lo schema generale per la risoluzione dei problemi di costruzione scuola elementare.

Lezione 14. Metodi per lo studio del materiale algebrico

1. Concetti di base della matematica.

2. Problemi generali Metodi per lo studio delle materie algebriche nei corsi di matematica della scuola primaria.

3. Espressioni numeriche. Studiare le regole per l'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche.

4. Espressioni con una variabile.

5. Metodi per lo studio delle equazioni.

6. Metodologia per lo studio delle uguaglianze numeriche e delle disuguaglianze numeriche.

7. Introdurre gli studenti alla dipendenza funzionale.

Riferimenti: (1) Capitolo 4; (2) § 27, 37, 52; (5) - (12).

Concetti di base della matematica

Espressione numerica in vista generale può essere definito così:

1) Ogni numero è un'espressione numerica.

2) Se A e B sono espressioni numeriche, allora (A) + (B), (A) - (B), (A) (B), (A): (B); Anche (A)⁽ⁿ⁾ e f(A), dove f (x) è una funzione numerica, sono espressioni numeriche.

Se tutte le azioni specificate in esso possono essere eseguite in un'espressione numerica, il numero reale risultante è chiamato valore numerico di questa espressione numerica e si dice che l'espressione numerica abbia significato. A volte un'espressione numerica non ha un valore numerico perché non tutte le azioni in esso specificate sono realizzabili; si dice che tale espressione numerica non abbia significato. Quindi, le seguenti espressioni numeriche (5 - 3): (2 – 8:4); √7 – 2 · 6 e (7 – 7)° non hanno senso.

Pertanto, qualsiasi espressione numerica ne ha uno valore numerico, oppure non ha senso. -

Per calcolare il valore di un'espressione numerica si adotta la seguente procedura:

1. Tutte le operazioni all'interno delle parentesi vengono eseguite per prime. Se sono presenti più coppie di parentesi, i calcoli iniziano da quella più interna.

2. All'interno delle parentesi, l'ordine dei calcoli è determinato dalla priorità delle operazioni: i valori delle funzioni vengono calcolati per primi, quindi viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi viene eseguita la moltiplicazione o la divisione e infine l'addizione e la sottrazione.

3. Se sono presenti più operazioni con la stessa priorità, i calcoli vengono eseguiti in sequenza da sinistra a destra.

Uguaglianza numerica- due espressioni numeriche A e B, collegate da un segno di uguale ("=").

Disuguaglianza numerica - due espressioni numeriche A e B, collegate da un segno di disuguaglianza (“<", ">", "≤" o "≥").

Viene richiamata un'espressione che contiene una variabile e che diventa un numero quando la variabile viene sostituita dal suo valore espressione con variabile o forma numerica.

Equazione con una variabile(con un'incognita) – un predicato della forma f₁(x) = f₂(x), dove x ∊X, dove f₁(x) e f₂(x) sono espressioni con variabile x definita sull'insieme X.

Viene chiamato qualsiasi valore di una variabile x dell'insieme X per il quale l'equazione si trasforma in una vera uguaglianza numerica radice(risolvere l'equazione). Risolvi l'equazione- questo significa ritrovare tutte le sue radici o dimostrare che non esistono. L'insieme di tutte le radici dell'equazione (o l'insieme di verità T del predicato f₁(x) = f₂(x)) è chiamato insieme delle soluzioni dell'equazione

L'insieme di valori in cui sono definiti entrambi i lati dell'equazione è chiamato regione dei valori ammissibili (ADV) della variabile x e regione di definizione dell'equazione.

2. Domande generali sui metodi di studio della materia algebrica

Il corso iniziale di matematica, insieme al materiale aritmetico di base, comprende anche gli elementi di algebra presentati i seguenti concetti:

Espressioni numeriche;

Espressioni con una variabile;

Uguaglianze e diseguaglianze numeriche;

Equazioni.

Lo scopo di includere elementi di algebra in un corso di matematica della scuola primaria è:

Considera il materiale aritmetico in modo più completo e approfondito;

Porta le generalizzazioni degli studenti a qualcosa di più alto livello;

Creare le precondizioni per fare di più studio di successo Algebra nelle scuole medie e superiori.

Il materiale algebrico non è evidenziato come argomento separato nel programma. È distribuito in tutto il corso di matematica della scuola primaria questioni separate. Queste domande vengono studiate a partire dal grado 1, parallelamente allo studio del materiale aritmetico di base. La sequenza di considerazione delle domande proposte dal programma è determinata dal libro di testo.

Padroneggiare i concetti algebrici studiati nelle classi elementari implica l'introduzione di una terminologia appropriata e l'esecuzione di semplici operazioni senza costruire definizioni logiche formali.

1. Il significato del materiale algebrico in istruzione elementare matematica.

2. Problemi di studio della materia algebrica.

3. Metodologia per lavorare su concetti algebrici.

4. Metodi per lo studio delle espressioni matematiche.

5. Metodi per lo studio delle uguaglianze e diseguaglianze numeriche.

6. Metodi di insegnamento della risoluzione di equazioni e problemi in modo algebrico.

7. Metodologia per lavorare sulle disuguaglianze con una variabile.

8. Propedeutica funzionale nell'insegnamento della matematica primaria.

1. L'importanza della materia algebrica nell'insegnamento primario della matematica

a) trovare il significato delle espressioni matematiche;

b) risolvere equazioni e disequazioni;

a) leggi a×(b+c)=a×b+a×c;

b) dipendenze, regole a+b=c

4. Sviluppo del pensiero logico e teorico.

5. Preparazione per ulteriori studi di matematica.

Quello. il materiale algebrico svolge una funzione ausiliaria nello studio del materiale aritmetico.

Sebbene il materiale algebrico occupi un posto subordinato al contenuto aritmetico, ha anche una certa indipendenza, che, prima di tutto, si manifesta nella sequenza di introduzione degli elementi algebrici.

Quali concetti algebrici vengono introdotti nel corso iniziale di matematica? Come vengono definiti in matematica? (Vedi OS n. 22)

Nel corso elementare di matematica nessuno di essi è portato al livello di definizione formale. Pertanto non si può porre la domanda: “Che cosa si chiama...?”

Gli studenti devono: comprendere correttamente il termine e utilizzarlo correttamente nelle attività pratiche.

Capire

Oggetto del termine

Fare domanda a

Il lavoro sulla formazione di concetti algebrici viene svolto in più fasi:

1. Lavori preparatori.

2. Introduzione del concetto (termine).

3. Consolidamento nelle attività pratiche.

Lavoro preparatorio implica operare con oggetti corrispondenti senza utilizzare termini. Per esempio:

a) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2?5; (51-48):(27:9) e simili→introdurre il concetto di “Espressione matematica”.

b) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

V) ? +4=6, a+4=6, x+4=12→eq.

Pertanto, nella fase di preparazione, vengono accumulate idee specifiche, che vengono generalizzate nella fase successiva.

Vengono introdotti i concetti algebrici:

a) contestualmente, cioè il significato del nuovo termine viene chiarito dal significato del brano testuale. Ad esempio: “La lettera x (x) denota un numero sconosciuto. x+2=5 è l'equazione. Risolvere un’equazione significa trovare un numero sconosciuto”.

b) ostensivo, quando l'oggetto è semplicemente nominato e dimostrato. Ad esempio: “Espressioni matematiche numeriche”.

In questo caso è necessario utilizzare il confronto, l'analisi, la sintesi, la classificazione. Ad esempio: “L’uguaglianza è disuguaglianza”.

Assimilazione i concetti algebrici vengono svolti in attività pratiche con i loro rappresentanti specifici.

Gli studenti imparano a comprendere e ad applicare correttamente le parole-termini appropriati.

Cosa significa studiare le espressioni matematiche? (vedi OS N22)

- imparare a leggere e scrivere sotto dettatura o da un libro di testo;

— familiarità con le regole della procedura per l'esecuzione delle azioni;

- redigere espressioni per compiti, secondo schemi;

— calcolo dei valori di espressione;

— familiarità con trasformazioni (identiche) di espressioni;

— confronto di espressioni.

Per molto tempo, l'opinione prevalente in psicologia è stata che gli elementi di algebra dovessero essere studiati non nelle classi elementari, ma in quelle senior, a causa delle peculiarità del pensiero di uno scolaretto e della sua incapacità di formare astrazioni di un pensiero. livello più alto. Tuttavia, psicologi di spicco come P.Ya. Galperin, V.V. Davydov, D.B Elkonin, ecc. E insegnanti - A.I Merkushevich, A.M. Pyshkalo, ecc., hanno scoperto che i bambini di età compresa tra 6 e 10 anni, con una certa organizzazione della formazione, possono padroneggiare appieno il contenuto di alcuni concetti algebrici. Sulla base di ciò, nel 1969 il materiale algebrico fu incluso nel curriculum di matematica della scuola primaria.

Quando studiano gli elementi dell'algebra, gli scolari più giovani ricevono le informazioni iniziali su espressioni numeriche, uguaglianze e disuguaglianze numeriche, disuguaglianze con una variabile, espressioni con una variabile, con due variabili ed equazioni.

Il materiale algebrico viene studiato dalla 1a elementare. in stretta connessione con l'aritmetica e la geometrica. L'introduzione di elementi di algebra contribuisce alla generalizzazione dei concetti sui numeri, sulle operazioni aritmetiche e sulle relazioni matematiche e allo stesso tempo prepara i bambini allo studio dell'algebra nelle classi successive.

Le fasi principali dello studio e il contenuto del materiale algebrico

1. METODOLOGIA PER LO STUDIO DELLE ESPRESSIONI NUMERICHE

Espressione numerica -

1. ogni numero è un'espressione numerica.

2. se aeb sono espressioni numeriche, allora anche la loro somma a+b, differenza a-b, prodotto a∙b e quoziente a:b sono espressioni numeriche.

Valore dell'espressione numerica- questo è il numero ottenuto come risultato dell'esecuzione di tutte le azioni. indicato in termini numerici.

Il programma di matematica prevede:

Introdurre le regole per l'ordine delle azioni e insegnare loro come usarle nei calcoli,

Presentare agli studenti trasformazioni identiche di espressioni.

La metodologia per familiarizzare con i CV può essere suddivisa in 3 fasi:

Fase 1. Familiarizzazione con espressioni contenenti un'azione (somma, differenza, prodotto, quoziente di due numeri).

La conoscenza della prima espressione - la somma - avviene in 1a elementare. quando si studia la concentrazione “10”.

1. Quando eseguono operazioni sugli insiemi, i bambini imparano prima di tutto il significato specifico di addizione e sottrazione, quindi, nelle notazioni della forma 5 + 1,6-2, comprendono i segni delle azioni come una breve designazione delle parole "aggiungi" , “sottrarre” (leggi: aggiungi 1 a 5, ottieni 6, sottrai 2 da 6, ottieni 4).

2. In futuro, il concetto di queste azioni si approfondirà. Gli studenti imparano che aggiungendo poche unità un numero aumenta dello stesso numero di unità e sottraendo un numero lo diminuisce dello stesso numero di unità.

(lettura: 5 aumentano di 1, 6 diminuiscono di 2).

3. Quindi i bambini imparano il nome dei segni di azione: “più”, “meno”

(lettura: 5 più 1,6 meno 1).

4. I bambini imparano i nomi dei componenti del CV.

(lettura: 1 termine. 5, 2 termini 1, somma pari a 6).

Più o meno allo stesso modo, si sta lavorando sulle seguenti espressioni: differenza (1a elementare), prodotto e quoziente (2a elementare).

Fase 2. Familiarizzazione con CV contenenti azioni di una fase .

Prima di studiare le espressioni tra parentesi, agli studenti vengono proposte espressioni nella forma 8+1-7 10-5+4

In questi casi, viene prima trovato il valore dell'espressione racchiusa in un ovale, quindi dal risultato risultante viene sottratto il numero nel quadrato. In questo caso gli studenti utilizzano la regola per l'ordine delle azioni in forma implicita ed eseguono le prime trasformazioni identiche (8+1-7=9-7=2).

Successivamente vengono introdotte le parentesi 6+4-1=(6+4)-1.

La regola è formata: l'azione scritta tra parentesi viene eseguita per prima.

Per padroneggiare la regola introdotta sono inclusi vari esercizi di allenamento. Allo stesso tempo, i bambini imparano a leggere e scrivere correttamente queste espressioni:

Scrivi e calcola: .

1. Sottrai 10 dalla somma dei numeri 9 e 7.

2. A 10 aggiungi la differenza tra i numeri 9 e 7.

Successivamente vengono introdotti i concetti di espressione numerica (otensiva, mostrando) e il significato di un'espressione numerica. 2 classi Con. 68

Successivamente, i bambini leggono o scrivono le espressioni, trovano i loro significati e inventano le espressioni da soli.

Padroneggiare nuovi termini permette loro di leggere le espressioni in modi nuovi ( scrivere espressioni, trovare il significato di un'espressione, confrontare espressioni ecc.) 2° elementare p.58 n. 1,2, 6; p.69 N.2.

Nelle espressioni complesse, i segni di azione che collegano le espressioni hanno un doppio significato, che viene rivelato agli studenti.

Introduzione................................................. ...................................................... ............. .......2

Capitolo I. Aspetti teorici generali dello studio delle materie algebriche nella scuola elementare................................. ..................................................... ....................................7

1.1 Esperienza nell’introduzione di elementi di algebra nella scuola elementare................................. 7

1.2 Fondamenti psicologici per l'introduzione dei concetti algebrici

nella scuola primaria............................................ ............................ 12

1.3 Il problema dell'origine dei concetti algebrici e il suo significato

per la costruzione di un soggetto educativo............................................ ............ .......20

2.1 L'apprendimento nella scuola primaria dal punto di vista dei bisogni

Scuola superiore................................................ .................................... 33

2.1 Confronto (contrasto) di concetti nelle lezioni di matematica.... 38

2.3 Studio congiunto di addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione 48

Capitolo III. Pratica di studio del materiale algebrico nelle lezioni di matematica nelle classi primarie della scuola secondaria n. 4 a Rylsk............................ ...................... ...55

3.1 Giustificazione per l'uso di tecnologie innovative (tecnologie

consolidamento delle unità didattiche)............................................. ...... ....... 55

3.2 Sull'esperienza di familiarizzazione con i concetti algebrici nella classe I.... 61

3.3 Formazione alla risoluzione di problemi legati al movimento dei corpi................................. 72

Conclusione................................................. .................................................... .......76

Bibliografia................................................. .....................................79

introduzione

In ogni sistema moderno di istruzione generale, la matematica occupa uno dei posti centrali, che senza dubbio parla dell'unicità di questo campo di conoscenza.

Cos’è la matematica moderna? Perché è necessario? Queste e altre domande simili vengono spesso poste dai bambini agli insegnanti. E ogni volta la risposta sarà diversa a seconda del livello di sviluppo del bambino e dei suoi bisogni educativi.

Si dice spesso che la matematica sia il linguaggio della scienza moderna. Tuttavia, sembra che ci sia un difetto significativo in questa affermazione. Il linguaggio della matematica è così diffuso e così spesso efficace proprio perché la matematica non può ridursi a esso.

Eccezionale matematico russo A.N. Kolmogorov ha scritto: “La matematica non è solo una delle lingue. La matematica è linguaggio più ragionamento, è come linguaggio e logica insieme collega un ragionamento con un altro... Le ovvie complessità della natura con le sue strane leggi e regole, ognuna delle quali consente una spiegazione separata molto dettagliata, sono in realtà strettamente correlate. Tuttavia, se non vuoi usare la matematica, allora dentro questa enorme varietà di fatti non vedrai che la logica ti permette di passare dall'uno all'altro" (p. 44).

Pertanto, la matematica ci consente di formare alcune forme di pensiero necessarie per studiare il mondo che ci circonda.

Attualmente diventa sempre più evidente la sproporzione tra il grado della nostra conoscenza della natura e la nostra comprensione dell’uomo, della sua psiche e dei processi mentali. W. W. Sawyer nel libro “Prelude to Mathematics” (p. 7) osserva: “Possiamo insegnare agli studenti a risolvere molti tipi di problemi, ma la vera soddisfazione arriverà solo quando saremo in grado di impartire ai nostri studenti non solo conoscenza, ma flessibilità of mind ", che darebbe loro l'opportunità in futuro non solo di risolvere in modo indipendente, ma anche di stabilire nuovi compiti per se stessi.

Naturalmente, ci sono alcuni confini che non dovrebbero essere dimenticati: molto è determinato dalle capacità e dal talento innati. Tuttavia, possiamo notare tutta una serie di fattori che dipendono dall'istruzione e dall'educazione. Ciò rende estremamente importante valutare correttamente l’enorme potenziale non sfruttato dell’istruzione in generale e dell’educazione matematica in particolare.

Negli ultimi anni c'è stata una tendenza costante da parte dei metodi matematici a penetrare in scienze come la storia, la filologia, per non parlare della linguistica e della psicologia. Pertanto, la cerchia di persone che potrebbero utilizzare la matematica nelle loro future attività professionali si sta espandendo.

Il nostro sistema educativo è progettato in modo tale che per molti la scuola rappresenta l’unica opportunità nella vita di unirsi a una cultura matematica e padroneggiare i valori contenuti nella matematica.

Qual è l'influenza della matematica in generale e della matematica scolastica in particolare sulla formazione di una personalità creativa? Insegnare l'arte di risolvere i problemi nelle lezioni di matematica ci offre un'opportunità estremamente favorevole per sviluppare una certa mentalità negli studenti. La necessità di attività di ricerca sviluppa l'interesse per i modelli e ci insegna a vedere la bellezza e l'armonia del pensiero umano. Tutto questo è, a nostro avviso, l'elemento più importante della cultura generale. Il corso di matematica ha un'influenza importante sulla formazione di varie forme di pensiero: logico, spaziale-geometrico, algoritmico. Qualsiasi processo creativo inizia con la formulazione di un'ipotesi. La matematica, con un'adeguata organizzazione dell'istruzione, essendo una buona scuola per costruire e verificare ipotesi, insegna a confrontare diverse ipotesi, trovare l'opzione migliore, porre nuovi problemi e cercare modi per risolverli. Tra le altre cose sviluppa anche l'abitudine al lavoro metodico, senza il quale non è concepibile alcun processo creativo. Massimizzando le possibilità del pensiero umano, la matematica è il suo risultato più alto. Aiuta una persona a capire se stessa e a formare il suo carattere.

Questo è un piccolo elenco di ragioni per cui la conoscenza matematica dovrebbe diventare parte integrante della cultura generale e un elemento obbligatorio nell'educazione e nell'educazione di un bambino.

Il corso di matematica (senza geometria) nella nostra scuola decennale è in realtà diviso in tre parti principali: aritmetica (classi I - V), algebra (classi VI - VIII) ed elementi di analisi (classi IX - X). Qual è la base di una tale divisione?

Naturalmente, ciascuna di queste parti ha la propria “tecnologia” speciale. Pertanto, in aritmetica è associato, ad esempio, a calcoli eseguiti su numeri a più cifre, in algebra - con trasformazioni identiche, logaritmizzazione, in analisi - con differenziazione, ecc. Ma quali sono le ragioni più profonde legate al contenuto concettuale di ciascuna parte?

La domanda successiva riguarda le basi per distinguere l'aritmetica scolastica dall'algebra (cioè la prima e la seconda parte del corso). L'aritmetica comprende lo studio dei numeri naturali (interi positivi) e delle frazioni (primi e decimali). Tuttavia, un'analisi specifica mostra che la combinazione di questi tipi di numeri in una materia scolastica è illegale.

Il fatto è che questi numeri hanno funzioni diverse: i primi sono associati al conteggio degli oggetti, i secondi alla misurazione delle quantità. Questa circostanza è molto importante per comprendere il fatto che i numeri frazionari (razionali) sono solo un caso speciale di numeri reali.

Dal punto di vista della misurazione delle quantità, come notato da A.N. Kolmogorov, “non esiste una differenza così profonda tra i numeri reali razionali e irrazionali. Per ragioni pedagogiche, essi si soffermano a lungo sui numeri razionali, poiché sono comunque facili da scrivere sotto forma di frazioni fin dall'inizio dovrebbero portare immediatamente ai numeri reali nella loro interezza" (), p. 9).

UN. Kolmogorov considerava giustificata sia dal punto di vista della storia dello sviluppo della matematica, sia essenzialmente la proposta di A. Lebesgue di spostarsi nell'insegnamento dei numeri naturali direttamente all'origine e alla natura logica dei numeri reali. Allo stesso tempo, come notato da A.N. Kolmogorov, “l'approccio alla costruzione dei numeri razionali e reali dal punto di vista della misurazione delle quantità non è meno scientifico di, ad esempio, l'introduzione dei numeri razionali sotto forma di “coppie”. vantaggio” (p. 10).

Esiste quindi la possibilità reale, sulla base dei numeri naturali (interi), di formare immediatamente “il concetto più generale di numero” (nella terminologia di A. Lebesgue), il concetto di numero reale. Ma dal punto di vista della costruzione del programma ciò significa né più né meno che l’eliminazione dell’aritmetica delle frazioni nella sua interpretazione scolastica. Il passaggio dai numeri interi ai numeri reali è un passaggio dall'aritmetica all '"algebra", alla creazione di una base per l'analisi.

Queste idee, espresse più di 20 anni fa, sono ancora attuali. È possibile modificare in questa direzione la struttura dell’insegnamento della matematica nella scuola primaria? Quali sono i vantaggi e gli svantaggi di “algebrizzare” l’insegnamento della matematica primaria? Lo scopo di questo lavoro è provare a fornire risposte alle domande poste.

La realizzazione di questo obiettivo richiede la risoluzione dei seguenti compiti:

Considerazione degli aspetti teorici generali relativi all'introduzione dei concetti algebrici di grandezza e numero nella scuola elementare. Questo compito è posto nel primo capitolo dell'opera;

Studio di metodi specifici per l'insegnamento di questi concetti nella scuola elementare. Qui, in particolare, si intende considerare la cosiddetta teoria dell'ampliamento delle unità didattiche (UDE), di cui si dirà più avanti;

Mostrare l'applicabilità pratica delle disposizioni in esame nelle lezioni di matematica scolastica nella scuola elementare (le lezioni sono state tenute dall'autore nella scuola secondaria n. 4 a Rylsk). A questo è dedicato il terzo capitolo dell’opera.

Per quanto riguarda la bibliografia dedicata al tema si segnala quanto segue. Nonostante il fatto che recentemente la quantità totale di letteratura metodologica pubblicata in matematica sia estremamente ridotta, non sono mancate informazioni durante la stesura del lavoro. Infatti, dal 1960 (epoca in cui venne posto il problema) al 1990. Nel nostro Paese è stata pubblicata un'enorme quantità di letteratura educativa, scientifica e metodologica, che in un modo o nell'altro tocca il problema dell'introduzione di concetti algebrici nei corsi di matematica delle scuole primarie. Inoltre, questi problemi sono regolarmente trattati in periodici specializzati. Pertanto, durante la stesura del lavoro, sono state ampiamente utilizzate le pubblicazioni sulle riviste “Pedagogia”, “Insegnamento della matematica a scuola” e “Scuola primaria”.

Capitolo I. Aspetti teorici generali dello studio di materiale algebrico nella scuola elementare 1.1 Esperienza nell'introduzione degli elementi di algebra nella scuola elementare

Il contenuto di una materia accademica, come è noto, dipende da molti fattori: dalle esigenze della vita in termini di conoscenza degli studenti, dal livello delle scienze pertinenti, dalle capacità mentali e fisiche dei bambini, ecc. La corretta considerazione di questi fattori è una condizione essenziale per l'educazione più efficace degli scolari e l'espansione delle loro capacità cognitive. Ma a volte questa condizione non viene soddisfatta per un motivo o per l'altro. In questo caso l’insegnamento non dà l’effetto desiderato sia in termini di acquisizione da parte dei bambini della gamma di conoscenze necessarie, sia in termini di sviluppo della loro intelligenza.

Sembra che attualmente i programmi di insegnamento di alcune materie accademiche, in particolare la matematica, non corrispondano alle nuove esigenze della vita, al livello di sviluppo delle scienze moderne (ad esempio la matematica) e ai nuovi dati della psicologia e della logica dello sviluppo. Questa circostanza impone la necessità di una verifica teorica e sperimentale completa di possibili progetti per nuovi contenuti di materie educative.

Le basi della conoscenza matematica vengono poste nella scuola elementare. Ma, sfortunatamente, sia i matematici stessi, sia i metodologi e gli psicologi prestano pochissima attenzione al contenuto della matematica elementare. Basti dire che il programma di matematica nella scuola primaria (classi I - IV) nelle sue caratteristiche principali è stato formato 50-60 anni fa e riflette naturalmente il sistema di idee matematiche, metodologiche e psicologiche di quel tempo.

Consideriamo le caratteristiche caratteristiche dello standard statale per la matematica nella scuola elementare. Il suo contenuto principale sono i numeri interi e le operazioni su di essi, studiati in una determinata sequenza. Innanzitutto, vengono studiate quattro operazioni nel limite di 10 e 20, quindi: calcoli orali nel limite di 100, calcoli orali e scritti nel limite di 1000 e infine nel limite di milioni e miliardi. Nel grado IV vengono studiate alcune relazioni tra i dati e i risultati delle operazioni aritmetiche, nonché le frazioni semplici. Insieme a questo, il programma prevede lo studio delle misure metriche e delle misure del tempo, la padronanza della capacità di usarle per la misurazione, la conoscenza di alcuni elementi di geometria visiva: disegnare un rettangolo e un quadrato, misurare segmenti, aree di un rettangolo e di un quadrato, calcolare volumi.

Gli studenti devono applicare le conoscenze e le abilità acquisite alla risoluzione di problemi ed all'esecuzione di semplici calcoli. Durante tutto il corso, la risoluzione dei problemi viene effettuata parallelamente allo studio dei numeri e delle operazioni: per questo viene assegnata metà del tempo appropriato. La risoluzione dei problemi aiuta gli studenti a comprendere il significato specifico delle azioni, a comprendere i vari casi della loro applicazione, a stabilire relazioni tra quantità e ad acquisire competenze di base di analisi e sintesi. Dalla I alla IV classe, i bambini risolvono le seguenti principali tipologie di problemi (semplici e compositi): trovare la somma e il resto, prodotto e quoziente, aumentare e diminuire numeri dati, differenza e confronto multiplo, regola semplice della tripla, divisione proporzionale, trovare un sconosciuto da due differenze, calcolo della media aritmetica e altri tipi di problemi.

I bambini incontrano diversi tipi di dipendenze dalla quantità quando risolvono i problemi. Ma è molto tipico che gli studenti inizino i problemi dopo e mentre studiano i numeri; la cosa principale richiesta quando si risolve è trovare una risposta numerica. I bambini hanno grandi difficoltà a identificare le proprietà delle relazioni quantitative in situazioni specifiche e particolari, che di solito sono considerate problemi aritmetici. La pratica dimostra che la manipolazione dei numeri spesso sostituisce l'analisi effettiva delle condizioni del problema dal punto di vista delle dipendenze delle quantità reali. Inoltre, i problemi introdotti nei libri di testo non rappresentano un sistema in cui situazioni più “complesse” sarebbero associate a strati “più profondi” di relazioni quantitative. Problemi della stessa difficoltà si possono trovare sia all'inizio che alla fine del libro di testo. Variano da sezione a sezione e da classe a classe in termini di complessità della trama (il numero di azioni aumenta), rango dei numeri (da dieci a un miliardo), complessità delle dipendenze fisiche (dai problemi di distribuzione ai movimenti problemi) e altri parametri. Solo un parametro - l'approfondimento del sistema stesso delle leggi matematiche - si manifesta in essi debolmente e indistintamente. Pertanto, è molto difficile stabilire un criterio per la difficoltà matematica di un particolare problema. Perché i problemi nel trovare un'incognita da due differenze e nel trovare la media aritmetica (III grado) sono più difficili dei problemi sulla differenza e nel confronto multiplo (II grado)? La metodologia non fornisce una risposta convincente e logica a questa domanda.

Pertanto, gli studenti della scuola primaria non ricevono una conoscenza adeguata e completa delle dipendenze delle quantità e proprietà generali ah quantità né quando si studiano gli elementi della teoria dei numeri, perché nel corso scolastico sono associati principalmente alla tecnica dei calcoli, né quando si risolvono i problemi, perché questi ultimi non hanno la forma corrispondente e non hanno il sistema richiesto. I tentativi dei metodologi di migliorare i metodi di insegnamento, sebbene portino a successi parziali, non cambiano lo stato generale delle cose, poiché sono limitati in anticipo dal quadro dei contenuti accettati.

Sembra che l'analisi critica del programma aritmetico adottato dovrebbe basarsi sulle seguenti disposizioni:

Il concetto di numero non è identico al concetto di caratteristiche quantitative degli oggetti;

Il numero non è la forma originale per esprimere le relazioni quantitative.

Cerchiamo di fornire la motivazione di tali disposizioni.

È noto che la matematica moderna (in particolare l'algebra) studia aspetti delle relazioni quantitative che non hanno un involucro numerico. È anche noto che alcune relazioni quantitative sono del tutto esprimibili senza numeri e prima dei numeri, ad esempio in segmenti, volumi, ecc. (rapporto “più”, “meno”, “uguale”). La presentazione dei concetti matematici generali originali nei manuali moderni viene effettuata in un tale simbolismo che non implica necessariamente l'espressione degli oggetti mediante numeri. Quindi, nel libro di E.G. Nell'"Aritmetica teorica" ​​di Gonin gli oggetti matematici fondamentali sono designati fin dall'inizio con lettere e segni speciali (, pp. 12 – 15). È caratteristico che certi tipi di numeri e dipendenze numeriche siano forniti solo come esempi, illustrazioni delle proprietà degli insiemi e non come la loro unica forma di espressione possibile e unica esistente. Inoltre, è degno di nota il fatto che molte illustrazioni delle singole definizioni matematiche sono fornite in forma grafica, attraverso il rapporto tra segmenti e aree (, pp. 14-19). Tutte le proprietà fondamentali degli insiemi e delle quantità possono essere dedotte e giustificate senza coinvolgere sistemi numerici; Inoltre, questi stessi ricevono giustificazione sulla base di concetti matematici generali.

A loro volta, numerose osservazioni di psicologi e insegnanti mostrano che le idee quantitative nascono nei bambini molto prima che acquisiscano la conoscenza dei numeri e di come utilizzarli. È vero che si tende a classificare queste idee come “formazioni prematematiche” (il che è del tutto naturale per i metodi tradizionali che identificano le caratteristiche quantitative di un oggetto con un numero), ma ciò non cambia la loro funzione essenziale nella visione generale del bambino. orientamento nelle proprietà delle cose. E a volte capita che la profondità di queste presunte "formazioni pre-matematiche" sia più significativa per lo sviluppo del pensiero matematico di un bambino rispetto alla conoscenza delle complessità della tecnologia informatica e alla capacità di trovare dipendenze puramente numeriche. È interessante notare che l'accademico UN. Kolmogorov, caratterizzando le caratteristiche della creatività matematica, nota in particolare la seguente circostanza: “La base della maggior parte delle scoperte matematiche è un'idea semplice: una costruzione geometrica visiva, una nuova disuguaglianza elementare, ecc. È solo necessario applicare correttamente questa semplice idea a la soluzione del problema che a prima vista sembra inaccessibile» (, p. 17).

Allo stato attuale, sono appropriate una varietà di idee riguardanti la struttura e le modalità di costruzione di un nuovo programma. È necessario coinvolgere matematici, psicologi, logici e metodologi nel lavoro sulla sua costruzione. Ma in tutte le sue varianti specifiche, sembra dover soddisfare i seguenti requisiti fondamentali:

Superare il divario esistente tra i contenuti della matematica nelle scuole primarie e secondarie;

Fornire un sistema di conoscenza sulle leggi fondamentali delle relazioni quantitative del mondo oggettivo; in questo caso, le proprietà dei numeri, come forma speciale per esprimere la quantità, dovrebbero diventare una sezione speciale, ma non principale del programma;

Instillare nei bambini i metodi del pensiero matematico, e non solo le capacità di calcolo: si tratta di costruire un sistema di problemi basato sull'approfondimento della sfera delle dipendenze delle quantità reali (la connessione della matematica con la fisica, la chimica, la biologia e altre scienze che studiano specifiche le quantità);

Semplificare decisamente tutte le tecniche di calcolo, riducendo al minimo il lavoro che non può essere svolto senza tabelle appropriate, libri di consultazione e altri mezzi ausiliari (in particolare elettronici).

Il significato di questi requisiti è chiaro: nella scuola elementare è del tutto possibile insegnare la matematica come scienza sulle leggi delle relazioni quantitative, sulle dipendenze delle quantità; le tecniche informatiche e gli elementi di teoria dei numeri dovrebbero diventare una sezione speciale e privata del programma.

L'esperienza della costruzione di un nuovo programma di matematica e la sua sperimentazione sperimentale, condotta a partire dalla fine degli anni '60, ci permettono oggi di parlare della possibilità di introdurre un corso sistematico di matematica nella scuola a partire dalla prima elementare, fornendo conoscenze sulle relazioni e dipendenze quantitative delle quantità in forma algebrica.

1.2 Fondamenti psicologici per l'introduzione dei concetti algebrici nella scuola primaria

Recentemente, nella modernizzazione dei programmi, è stata attribuita particolare importanza alla creazione di una base teorica per il corso scolastico (questa tendenza si manifesta chiaramente sia qui che all'estero). L’attuazione di questa tendenza nell’insegnamento (soprattutto nelle classi elementari, come si osserva, ad esempio, in una scuola americana) porrà inevitabilmente una serie di domande difficili per la psicologia infantile e dell’educazione e per la didattica, perché ora non ci sono quasi studi rivelando le caratteristiche dell'assimilazione da parte del bambino del significato del concetto di insieme (a differenza dell'acquisizione del conteggio e del numero, che è stata studiata in modo molto completo).

La ricerca logica e psicologica degli ultimi anni (in particolare il lavoro di J. Piaget) ha rivelato la connessione tra alcuni “meccanismi” del pensiero dei bambini e concetti matematici generali. Di seguito discutiamo specificamente le caratteristiche di questa connessione e il loro significato per la costruzione della matematica come materia accademica (parleremo del lato teorico della questione e non di una particolare versione del programma).

Il numero naturale è stato un concetto fondamentale nella matematica nel corso della sua storia; gioca un ruolo molto significativo in tutti i settori della produzione, della tecnologia e della vita quotidiana. Ciò consente ai matematici teorici di assegnargli un posto speciale tra gli altri concetti della matematica. In varie forme si afferma che il concetto di numero naturale è lo stadio iniziale dell'astrazione matematica, che è la base per la costruzione della maggior parte delle discipline matematiche.

La scelta degli elementi iniziali della matematica come materia accademica dà sostanzialmente attuazione a queste disposizioni generali. Si presume che, mentre acquisisce familiarità con i numeri, il bambino scopra contemporaneamente da solo le caratteristiche iniziali delle relazioni quantitative. Il conteggio e il numero sono la base per tutto il successivo apprendimento della matematica a scuola.

Tuttavia, c'è motivo di credere che queste disposizioni, pur evidenziando giustamente il significato speciale e fondamentale del numero, allo stesso tempo esprimano in modo inadeguato la sua connessione con altri concetti matematici e valutino in modo impreciso il posto e il ruolo del numero nel processo di padronanza della matematica. . A causa di questa circostanza, in particolare, emergono alcune carenze significative nei programmi, nei metodi e nei libri di testo di matematica adottati. È necessario considerare specificamente l'effettiva connessione del concetto di numero con altri concetti.

Molti concetti matematici generali, e in particolare i concetti di relazione di equivalenza e di ordine, sono sistematicamente considerati in matematica indipendentemente dalla forma numerica. Questi concetti non perdono il loro carattere indipendente; sulla base di essi è possibile descrivere e studiare un particolare argomento: diversi sistemi numerici, i cui concetti di per sé non coprono il significato e il significato delle definizioni originali. Inoltre, nella storia della scienza matematica, i concetti generali si sono sviluppati proprio nella misura in cui le “operazioni algebriche”, un noto esempio delle quattro operazioni aritmetiche, hanno cominciato ad essere applicate a elementi di natura completamente non numerica.

Recentemente sono stati fatti tentativi per espandere la fase di introduzione di un bambino alla matematica nell'insegnamento. Questa tendenza trova espressione nei manuali metodologici, così come in alcuni libri di testo sperimentali. Pertanto, in un libro di testo americano destinato all'insegnamento ai bambini di 6-7 anni (), nelle prime pagine vengono introdotti compiti ed esercizi che addestrano specificamente i bambini a stabilire l'identità dei gruppi di argomenti. Ai bambini viene mostrata la tecnica di connessione degli insiemi e viene introdotto il simbolismo matematico corrispondente. Lavorare con i numeri si basa sulla conoscenza di base degli insiemi.

Il contenuto dei tentativi concreti di attuare questa tendenza può essere valutato diversamente, ma esso stesso, a nostro avviso, è abbastanza legittimo e promettente.

A prima vista, i concetti di "atteggiamento", "struttura", "leggi di composizione", ecc., Che hanno definizioni matematiche complesse, non possono essere associati alla formazione di concetti matematici nei bambini piccoli. Naturalmente, l'intero significato vero e astratto di questi concetti e il loro posto nella struttura assiomatica della matematica come scienza è oggetto di assimilazione per una testa già ben sviluppata e “addestrata” alla matematica. Tuttavia, alcune proprietà delle cose fissate da questi concetti, in un modo o nell'altro, appaiono al bambino relativamente presto: per questo esistono prove psicologiche specifiche.

Prima di tutto, va tenuto presente che dal momento della nascita fino a 7-10 anni, un bambino sviluppa e sviluppa sistemi complessi di idee generali sul mondo che lo circonda e getta le basi per un pensiero significativo e oggettivo. Inoltre, sulla base di materiale empirico relativamente ristretto, i bambini identificano modelli generali di orientamento nelle dipendenze spazio-temporali e causa-effetto delle cose. Questi diagrammi servono come una sorta di struttura per il "sistema di coordinate" all'interno del quale il bambino inizia a padroneggiare sempre più le varie proprietà del mondo diverso. Naturalmente questi schemi generali sono poco realizzati e in piccola misura possono essere espressi dal bambino stesso sotto forma di giudizio astratto. Loro, in senso figurato, sono una forma intuitiva di organizzazione del comportamento del bambino (anche se, ovviamente, si riflettono sempre più nei giudizi).

Negli ultimi decenni, le questioni relative alla formazione dell'intelligenza dei bambini e all'emergere delle loro idee generali su realtà, tempo e spazio sono state studiate in modo particolarmente intenso dal famoso psicologo svizzero J. Piaget e dai suoi colleghi. Alcuni dei suoi lavori sono direttamente correlati ai problemi di sviluppo del pensiero matematico di un bambino, e quindi è importante per noi considerarli in relazione alle questioni di progettazione del curriculum.

In uno dei suoi ultimi libri (), J. Piaget fornisce dati sperimentali sulla genesi e la formazione nei bambini (fino a 12-14 anni) di strutture logiche elementari come la classificazione e la seriazione. La classificazione prevede l'esecuzione di un'operazione di inclusione (ad esempio, A + A" = B) e la sua operazione inversa (B - A" = A). La seriazione è l'ordinamento degli oggetti in file sistematiche (ad esempio, bastoncini di diversa lunghezza possono essere disposti in una fila, ciascuno dei quali è più grande di tutti i precedenti e più piccolo di tutti quelli successivi).

Analizzando la formazione della classificazione, J. Piaget mostra come dalla sua forma iniziale, dalla creazione di un “aggregato figurativo” basato solo sulla vicinanza spaziale degli oggetti, si passa a una classificazione basata sul rapporto di somiglianza (“non- aggregati figurativi"), e poi alla classificazione stessa della forma complessa - all'inclusione di classi, determinata dalla connessione tra il volume e il contenuto del concetto. L'autore considera in particolare la questione della formazione di una classificazione non solo secondo uno, ma anche secondo due o tre criteri, e dello sviluppo nei bambini della capacità di cambiare la base della classificazione quando si aggiungono nuovi elementi. Gli autori trovano fasi simili nel processo di formazione della seriazione.

Questi studi perseguivano un obiettivo molto specifico: identificare i modelli di formazione delle strutture operatorie della mente e, prima di tutto, una loro proprietà costitutiva come la reversibilità, ad es. la capacità della mente di andare avanti e indietro. La reversibilità si verifica quando «operazioni e azioni possono svolgersi in due direzioni, e la comprensione di una di queste direzioni provoca ipso facto [in virtù del fatto stesso] la comprensione dell'altra» (, p. 15).

La reversibilità, secondo J. Piaget, rappresenta la legge fondamentale della composizione insita nella mente. Ha due forme complementari e irriducibili: l'inversione (inversione o negazione) e la reciprocità. L'inversione si verifica, ad esempio, nel caso in cui il movimento spaziale di un oggetto da A a B può essere annullato trasferendo nuovamente l'oggetto da B ad A, il che equivale in definitiva a una trasformazione zero (il prodotto di un'operazione e la sua inversa è un'operazione identica o una trasformazione pari a zero).

La reciprocità (o compensazione) implica il caso in cui, ad esempio, quando un oggetto viene spostato da A a B, l'oggetto rimane in B, ma il bambino stesso si sposta da A a B e riproduce la posizione iniziale quando l'oggetto era contro il suo corpo . Il movimento dell’oggetto qui non veniva annullato, ma veniva compensato dal corrispondente movimento del proprio corpo – e questa è una forma di trasformazione diversa dalla circolazione (, p. 16).

Nei suoi lavori, J. Piaget ha dimostrato che queste trasformazioni compaiono prima sotto forma di circuiti sensomotori (da 10 a 12 mesi). Il graduale coordinamento dei circuiti senso-motori, il simbolismo funzionale e la visualizzazione linguistica portano al fatto che, attraverso una serie di fasi, circolazione e reciprocità diventano proprietà delle azioni intellettuali (operazioni) e vengono sintetizzate in un'unica struttura operatoria (nel periodo da da 7 a 11 e da 12 a 15 anni). Ora il bambino può coordinare tutti i movimenti in uno secondo due sistemi di riferimento contemporaneamente: uno mobile, l'altro fisso.

J. Piaget ritiene che la ricerca psicologica sullo sviluppo delle operazioni aritmetiche e geometriche nella mente del bambino (in particolare quelle operazioni logiche che realizzano precondizioni in esse) consenta di correlare accuratamente le strutture dell'operatore del pensiero con strutture algebriche, strutture dell'ordine e topologiche quelli (pag. 13). Pertanto, la struttura algebrica ("gruppo") corrisponde ai meccanismi operatori della mente, soggetti a una delle forme di reversibilità: inversione (negazione). Un gruppo ha quattro proprietà elementari: il prodotto di due elementi di un gruppo dà anche un elemento del gruppo; ad un'operazione diretta corrisponde una ed una sola operazione inversa; c'è un'operazione di identità; le composizioni successive sono associative. Nel linguaggio delle azioni intellettuali ciò significa:

Il coordinamento di due sistemi di azione costituisce un nuovo schema annesso ai precedenti;

L'operazione può svilupparsi in due direzioni;

Quando torniamo al punto di partenza lo troviamo immutato;

Lo stesso punto può essere raggiunto in modi diversi e il punto stesso rimane immutato.

I fatti dello sviluppo “autonomo” del bambino (cioè lo sviluppo indipendente dall’influenza diretta dell’istruzione scolastica) mostrano una discrepanza tra l’ordine degli stadi della geometria e gli stadi della formazione dei concetti geometrici nel bambino. Questi ultimi approssimano l'ordine di successione dei gruppi principali, dove la topologia viene prima. Un bambino, secondo J. Piaget, sviluppa prima l'intuizione topologica, quindi si orienta nella direzione delle strutture proiettive e metriche. Pertanto, in particolare, come nota J. Piaget, durante i primi tentativi di disegno, il bambino non distingue tra quadrati, cerchi, triangoli e altre figure metriche, ma distingue perfettamente figure aperte e chiuse, la posizione “fuori” o “dentro” ” in relazione al confine, alla divisione e alla prossimità (senza distinguere per ora le distanze), ecc. (, pag. 23).

Consideriamo le principali disposizioni formulate da J. Piaget in relazione alle questioni relative alla costruzione di un curriculum. Innanzitutto, la ricerca di J. Piaget mostra che durante l'infanzia prescolare e scolastica, un bambino sviluppa strutture di pensiero operatorie che gli consentono di valutare le caratteristiche fondamentali delle classi di oggetti e delle loro relazioni. Inoltre, già nella fase di operazioni specifiche (dai 7 agli 8 anni), l'intelletto del bambino acquisisce la proprietà di reversibilità, estremamente importante per comprendere il contenuto teorico delle materie educative, in particolare la matematica.

Questi dati indicano che la psicologia e la pedagogia tradizionali non tengono sufficientemente conto della natura complessa e capiente di quelle fasi dello sviluppo mentale di un bambino che sono associate al periodo da 2 a 7 e da 7 a 11 anni.

L'esame dei risultati ottenuti da J. Piaget ci consente di trarre una serie di conclusioni significative in relazione alla progettazione di un curriculum di matematica. Innanzitutto, i dati fattuali sulla formazione dell'intelletto di un bambino dai 2 agli 11 anni indicano che in questo momento non solo le proprietà degli oggetti descritti attraverso i concetti matematici di “relazione - struttura” non gli sono “estranee”, ma questi ultimi entrano organicamente nel pensiero del bambino.

I programmi tradizionali non ne tengono conto. Pertanto, non realizzano molte delle opportunità nascoste nel processo di sviluppo intellettuale del bambino.

I materiali disponibili nella moderna psicologia infantile ci permettono di valutare positivamente l'idea generale di costruire una materia educativa basata sui concetti delle strutture matematiche iniziali. Naturalmente, lungo questo percorso sorgono grandi difficoltà, poiché non esiste ancora esperienza nella costruzione di un simile oggetto educativo. In particolare, uno di questi riguarda la determinazione della “soglia” di età a partire dalla quale è possibile la formazione nell'ambito del nuovo programma. Se seguiamo la logica di J. Piaget, a quanto pare, questi programmi possono essere insegnati solo quando i bambini hanno già strutture operatorie completamente formate (dai 14 ai 15 anni). Ma se assumiamo che il vero pensiero matematico del bambino si formi proprio all'interno del processo designato da J. Piaget come il processo di piegatura delle strutture degli operatori, allora questi programmi possono essere introdotti molto prima (ad esempio, dai 7 agli 8 anni) , quando i bambini iniziano a formare operazioni specifiche con il più alto livello di reversibilità. In condizioni “naturali”, quando si studia secondo i programmi tradizionali, le operazioni formali possono prendere forma solo all’età di 13-15 anni. Ma non è possibile “accelerare” la loro formazione introducendo anticipatamente tale materiale didattico, la cui assimilazione richiede l'analisi diretta delle strutture matematiche?

Sembra che tali possibilità esistano. All'età di 7 - 8 anni, i bambini hanno già sufficientemente sviluppato un piano per le azioni mentali e, attraverso la formazione in un programma appropriato, in cui le proprietà delle strutture matematiche sono fornite "esplicitamente" e ai bambini vengono dati i mezzi per analizzarle, è possibile è possibile portare i bambini al livello delle operazioni “formali” in tempi rapidi, rispetto all'arco temporale in cui questa viene effettuata durante la scoperta “autonoma” di tali proprietà.

È importante tenere conto della seguente circostanza. C'è motivo di credere che le peculiarità del pensiero a livello di operazioni specifiche, datate da J. Piaget all'età di 7-11 anni, siano esse stesse inestricabilmente legate alle forme di organizzazione dell'apprendimento caratteristiche della scuola elementare tradizionale. Questa formazione (sia qui che all'estero) è condotta sulla base di contenuti estremamente empirici, spesso per nulla collegati ad un atteggiamento concettuale (teorico) nei confronti dell'oggetto. Tale formazione sostiene e consolida nei bambini il pensiero basato sulla percezione esterna, diretta, sui segni percettibili delle cose.

Pertanto, attualmente, esistono dati fattuali che mostrano una stretta connessione tra le strutture del pensiero dei bambini e le strutture algebriche generali, sebbene il “meccanismo” di questa connessione sia tutt'altro che chiaro e quasi inesplorato. La presenza di questo collegamento apre fondamentali possibilità (per ora solo opportunità!) per la costruzione di un soggetto educativo che si sviluppi secondo lo schema “dalle strutture semplici alle loro complesse combinazioni”. Una delle condizioni per realizzare queste possibilità è lo studio della transizione al pensiero mediato e dei suoi standard di età. Questo metodo di costruzione della matematica come materia accademica può essere esso stesso una potente leva per sviluppare nei bambini un pensiero basato su basi concettuali abbastanza forti.

1.3 Il problema dell'origine dei concetti algebrici e il suo significato per la costruzione di un soggetto educativo

La divisione del corso di matematica scolastica in algebra e aritmetica è, ovviamente, condizionata. Il passaggio dall'uno all'altro avviene gradualmente. Nella pratica scolastica, il significato di questa transizione è mascherato dal fatto che lo studio delle frazioni avviene effettivamente senza un ampio supporto per la misurazione delle quantità: le frazioni sono fornite come rapporti di coppie di numeri (sebbene formalmente l'importanza della misurazione delle quantità sia riconosciuta nei manuali metodologici ). Un'ampia introduzione di numeri frazionari basati sulla misurazione di quantità porta inevitabilmente al concetto di numero reale. Ma quest’ultima cosa di solito non accade, poiché gli studenti vengono costretti a lavorare con i numeri razionali per molto tempo, e quindi la loro transizione all’“algebra” viene ritardata.

In altre parole, l'algebra scolastica inizia proprio quando si creano le condizioni per il passaggio dai numeri interi ai numeri reali, per esprimere il risultato di una misurazione come frazione (semplice e decimale - finita, e poi infinita).

Inoltre, il punto di partenza può essere la familiarità con l'operazione di misura, ottenendo frazioni decimali finite e imparando ad operare su di esse. Se gli studenti conoscono già questa forma di scrittura del risultato di una misurazione, allora questo serve come prerequisito per “abbandonare” l’idea che un numero possa essere espresso anche come frazione infinita. Ed è opportuno creare questo prerequisito già all'interno della scuola elementare.

Se il concetto di numero frazionario (razionale) viene rimosso dalla competenza dell'aritmetica scolastica, il confine tra esso e l '"algebra" passerà lungo la linea di differenza tra numeri interi e numeri reali. È questo che “taglia” il corso di matematica in due parti. Questa non è una semplice differenza, ma un fondamentale “dualismo” delle fonti: conteggio e misurazione.

Seguendo le idee di Lebesgue riguardo al “concetto generale di numero”, è possibile garantire la completa unità nell’insegnamento della matematica, ma solo dal momento e dopo aver familiarizzato i bambini con il conteggio e i numeri interi (naturali). Naturalmente, i tempi di questa familiarità preliminare possono essere diversi (nei programmi tradizionali per le scuole elementari sono chiaramente ritardati); elementi di misurazioni pratiche possono anche essere introdotti nel corso di aritmetica elementare (che si svolge nel programma) - tuttavia, tutto ciò non elimina le differenze nei fondamenti dell'aritmetica e dell'"algebra" come materie educative. Il “dualismo” dei punti di partenza impedisce inoltre che le sezioni relative alla misurazione delle quantità e al passaggio alle frazioni reali possano realmente “attecchire” in un corso di aritmetica. Gli autori dei programmi e i metodologi si sforzano di mantenere la stabilità e la “purezza” dell'aritmetica come materia scolastica. Questa differenza nelle fonti è la ragione principale per insegnare la matematica secondo lo schema: prima aritmetica (numero intero), poi "algebra" (numero reale).

Questo schema sembra del tutto naturale e irremovibile, inoltre, è giustificato da molti anni di pratica nell'insegnamento della matematica. Ma ci sono circostanze che, da un punto di vista logico e psicologico, richiedono un'analisi più approfondita della liceità di questo rigido schema didattico.

Il fatto è che, nonostante tutte le differenze tra questi tipi di numeri, si riferiscono specificamente ai numeri, ad es. a una forma speciale di rappresentazione delle relazioni quantitative. Il fatto che i numeri interi e reali appartengano ai “numeri” serve come base per l'assunzione dei derivati ​​genetici delle stesse differenze tra conteggio e misurazione: hanno una fonte speciale e unica corrispondente alla forma stessa del numero. La conoscenza delle caratteristiche di questa base unificata di conteggio e misurazione consentirà di immaginare più chiaramente le condizioni della loro origine, da un lato, e la relazione, dall'altro.

A cosa dovremmo rivolgerci per trovare la radice comune dell'albero ramificato dei numeri? Sembra che occorra anzitutto analizzare il contenuto del concetto di quantità. È vero, questo termine è immediatamente associato a un'altra dimensione. Tuttavia, la legittimità di tale collegamento non esclude una certa indipendenza del significato di “grandezza”. La considerazione di questo aspetto ci consente di trarre conclusioni che mettono insieme, da un lato, misurazione e conteggio e, dall'altro, la manipolazione dei numeri con determinate relazioni e schemi matematici generali.

Allora, cos’è la “quantità” e che interesse ha per costruire le sezioni iniziali della matematica scolastica?

Nell'uso generale, il termine “grandezza” è associato ai concetti “uguale”, “più”, “meno”, che descrivono una varietà di qualità (lunghezza e densità, temperatura e bianchezza). V.F. Kagan solleva la questione di quali proprietà comuni abbiano questi concetti. Mostra che si riferiscono ad aggregati - insiemi di oggetti omogenei, il cui confronto di elementi ci consente di applicare i termini "più", "uguale", "meno" (ad esempio, alla totalità di tutti i segmenti di linea retta, pesi , velocità, ecc.).

Un insieme di oggetti si trasforma in grandezza solo quando si stabiliscono criteri che permettano di stabilire, rispetto a uno qualsiasi dei suoi elementi A e B, se A sarà uguale a B, maggiore di B o minore di B. Inoltre, per due elementi qualsiasi A e B, uno ed uno solo dei rapporti: A=B, A>B, A<В.

Queste frasi costituiscono una disgiunzione completa (almeno una vale, ma ciascuna esclude tutte le altre).

V.F. Kagan identifica le seguenti otto proprietà fondamentali dei concetti “uguale”, “più”, “meno”: (, pp. 17-31).

1) Vale almeno una delle relazioni: A=B, A>B, A<В.

2) Se vale la relazione A = B, allora la relazione A non vale<В.

3) Se vale la relazione A=B, allora non vale la relazione A>B.

4) Se A=B e B=C, allora A=C.

5) Se A>B e B>C, allora A>C.

6) Se l'A<В и В<С, то А<С.

7) L'uguaglianza è una relazione reversibile: dalla relazione A=B segue sempre la relazione B=A.

8) L'uguaglianza è una relazione reciproca: qualunque sia l'elemento A dell'insieme considerato, A = A.

Le prime tre frasi caratterizzano la disgiunzione delle relazioni fondamentali "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Queste proprietà inferenziali di V.F. Kagan descrive sotto forma di otto teoremi:

I. Il rapporto A>B esclude il rapporto B>A (A<В исключает В<А).

II. Se A>B, allora B<А (если А<В, то В>UN).

III. Se A>B vale, allora A non vale.

IV. Se A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, allora A1=An.

V. Se A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, allora A1>An.

VI. Se A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Se A=C e B=C, allora A=B.

VIII. Se c'è uguaglianza o disuguaglianza A=B, o A>B, o A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

se A=B e A=C, allora C=B;

se A>B e A=C, allora C>B, ecc.).

Postulati e teoremi di confronto, sottolinea V.F. Kagan, “si esauriscono tutte quelle proprietà dei concetti “uguale”, “più” e “meno”, che in matematica sono ad essi associati e trovano applicazione indipendentemente dalle proprietà individuali dell’insieme agli elementi di cui le applichiamo in vari casi particolari” (, pagina 31).

Le proprietà specificate nei postulati e nei teoremi possono caratterizzare non solo quelle caratteristiche immediate degli oggetti che siamo abituati ad associare a “uguale”, “più”, “meno”, ma anche molte altre caratteristiche (ad esempio, possono caratterizzare la relazione “antenato - discendente”). Ciò ci permette di assumere un punto di vista generale nel descriverli e di considerare, ad esempio, dal punto di vista di questi postulati e teoremi tre tipi qualsiasi di relazioni “alfa”, “beta”, “gamma” (in questo caso si tratta è possibile stabilire se tali relazioni soddisfano i postulati e i teoremi e a quali condizioni).

Da questo punto di vista si può, ad esempio, considerare una proprietà delle cose come la durezza (più duro, più morbido, uguale durezza), la sequenza degli eventi nel tempo (successivo, precedente, simultaneo), ecc. In tutti questi casi, i rapporti “alfa”, “beta”, “gamma” ricevono la loro specifica interpretazione. Il compito associato alla selezione di un insieme di corpi che avrebbero queste relazioni, nonché l'identificazione dei segni con cui si potrebbero caratterizzare "alfa", "beta", "gamma" - questo è il compito di determinare i criteri di confronto in un dato insieme di enti (in pratica, in alcuni casi non è di facile risoluzione). "Stabilendo criteri di confronto, trasformiamo la moltitudine in grandezza", ha scritto V.F. Kagan (, pag. 41).

Gli oggetti reali possono essere visti dalla prospettiva di diversi criteri. Pertanto, un gruppo di persone può essere considerato secondo un criterio come la sequenza dei momenti di nascita di ciascuno dei suoi membri. Un altro criterio è la posizione relativa che assumeranno le teste di queste persone se saranno affiancate sullo stesso piano orizzontale. In ogni caso, il gruppo verrà trasformato in una quantità che ha un nome corrispondente: età, altezza. In pratica, una quantità solitamente non denota l'insieme degli elementi in sé, ma un nuovo concetto introdotto per distinguere i criteri di confronto (il nome della quantità). È così che nascono i concetti di "volume", "peso", "tensione elettrica", ecc. "Allo stesso tempo, per un matematico, il valore è completamente definito quando vengono indicati molti elementi e criteri di confronto", ha osservato V.F. Kagan (, pag. 47).

Questo autore considera la serie naturale dei numeri come l'esempio più importante di quantità matematica. Dal punto di vista di un criterio di confronto come la posizione occupata dai numeri in una serie (occupano lo stesso posto, seguono..., precedono), questa serie soddisfa i postulati e quindi rappresenta una quantità. Secondo i criteri di confronto corrispondenti, anche un insieme di frazioni viene convertito in una quantità.

Questo secondo V.F. Kagan, il contenuto della teoria della quantità, che svolge un ruolo fondamentale nel fondamento di tutta la matematica.

Lavorando con le quantità (si consiglia di registrare i loro valori individuali in lettere), è possibile eseguire un complesso sistema di trasformazioni, stabilendo le dipendenze delle loro proprietà, passando dall'uguaglianza alla disuguaglianza, eseguendo addizioni (e sottrazioni) e quando si aggiungono puoi lasciarti guidare dalle proprietà commutative e associative. Quindi, se è data la relazione A = B, allora quando “risolvi” i problemi puoi essere guidato dalla relazione B = A. In un altro caso, se ci sono relazioni A>B, B=C, possiamo concludere che A>C. Poiché per a>b esiste un c tale che a=b+c, ​​allora possiamo trovare la differenza tra a e b (a-b=c), ecc. Tutte queste trasformazioni possono essere eseguite corpi fisici e altri oggetti, stabilendo criteri di confronto e conformità delle relazioni selezionate con i postulati di confronto.

I materiali di cui sopra ci consentono di concludere che sia i numeri naturali che quelli reali sono ugualmente fortemente associati alle quantità e ad alcune delle loro caratteristiche essenziali. È possibile rendere queste e altre proprietà oggetto di studio speciale per il bambino anche prima che venga introdotta la forma numerica per descrivere il rapporto tra quantità? Possono servire come prerequisiti per la successiva introduzione dettagliata del numero e dei suoi tipi diversi, in particolare per la propedeutica delle frazioni, concetti di coordinate, funzioni e altri concetti già nelle classi prime.

Quale potrebbe essere il contenuto di questa sezione iniziale? Si tratta di una conoscenza con oggetti fisici, criteri per il loro confronto, evidenziazione di una quantità come oggetto di considerazione matematica, familiarità con metodi di confronto e mezzi simbolici per registrarne i risultati, con tecniche per analizzare le proprietà generali delle quantità. Questo contenuto deve essere sviluppato in un programma didattico relativamente dettagliato e, soprattutto, collegato a quelle azioni del bambino attraverso le quali può padroneggiare questo contenuto (ovviamente, nella forma appropriata). Allo stesso tempo, è necessario stabilire sperimentalmente se i bambini di 7 anni possono padroneggiare questo programma e qual è la fattibilità della sua introduzione per il successivo insegnamento della matematica nelle classi primarie nella direzione di avvicinare l'aritmetica e l'algebra primaria insieme.

Fino ad ora, il nostro ragionamento è stato di natura teorica e mirava a chiarire i prerequisiti matematici per costruire una sezione iniziale del corso che introducesse i bambini ai concetti algebrici di base (prima dell'introduzione speciale dei numeri).

Le principali proprietà che caratterizzano le quantità sono state descritte sopra. Naturalmente non ha senso che i bambini di 7 anni tengano “lezioni” su queste proprietà. Era necessario trovare una tale forma di lavoro per i bambini con materiale didattico, attraverso il quale da un lato potrebbero identificare queste proprietà nelle cose che li circondano, dall'altro imparerebbero a fissarle con un certo simbolismo e a svolgere elementari analisi matematica relazioni allocate.

A questo proposito, il programma dovrebbe contenere, in primo luogo, un'indicazione delle proprietà della materia che devono essere padroneggiate, in secondo luogo, una descrizione dei materiali didattici, in terzo luogo - e questa è la cosa principale da un punto di vista psicologico - le caratteristiche di quelle azioni attraverso le quali il bambino identifica determinate proprietà di un oggetto e le padroneggia. Queste “componenti” costituiscono il programma didattico nel senso proprio del termine.

È opportuno presentare le caratteristiche specifiche di questo ipotetico programma e dei suoi “componenti” quando si descrive il processo di apprendimento stesso e i suoi risultati. Ecco lo schema di questo programma e i suoi argomenti principali.

Argomento I. Livellamento e completamento degli oggetti (per lunghezza, volume, peso, composizione delle parti e altri parametri).

Esercitazioni pratiche su livellamento e acquisizione. Individuazione delle caratteristiche (criteri) con cui gli stessi oggetti possono essere equalizzati o completati. Designazione verbale di queste caratteristiche (“per lunghezza”, per peso”, ecc.).

Questi compiti vengono risolti nel processo di lavoro con materiale didattico (barre, pesi, ecc.) da:

Scegliendo lo “stesso” articolo,

Riproduzione (costruzione) dello “stesso” oggetto secondo un parametro selezionato (specificato).

Argomento II. Confrontare oggetti e fissarne i risultati utilizzando la formula di uguaglianza-disuguaglianza.

1. Compiti sul confronto di oggetti e sulla designazione simbolica dei risultati di questa azione.

2. Registrazione verbale dei risultati del confronto (termini “più”, “meno”, “uguale”). Caratteri scritti ">", "<", "=".

3. Indicazione del risultato del confronto con un disegno (“copia” e poi “astratto” - linee).

4. Designazione di oggetti confrontati con lettere. Registrare il risultato del confronto utilizzando le formule: A=B; UN<Б, А>B.

Una lettera come segno che fissa un valore particolare e dato direttamente di un oggetto in base a un parametro selezionato (in peso, in volume, ecc.).

5. Impossibilità di fissare il risultato del confronto utilizzando formule diverse. Selezione di una formula specifica per un dato risultato (disgiunzione completa delle relazioni maggiore - minore - uguale).

Argomento III. Proprietà di uguaglianza e disuguaglianza.

1. Reversibilità e riflessività dell'uguaglianza (se A=B, allora B=A; A=A).

2. La connessione tra i rapporti “più” e “meno” nelle disuguaglianze durante le “permutazioni” delle parti confrontate (se A>B, allora B<А и т.п.).

3. Transitività come proprietà di uguaglianza e disuguaglianza:

se A=B, se A>B, se A<Б,

un B=B, un B>B, un B<В,

allora A=B; quindi A>B; poi un<В.

4. Transizione dal lavoro con materiale didattico in oggetto alla valutazione delle proprietà di uguaglianza e disuguaglianza in presenza di sole formule letterali. Risolvere vari problemi che richiedono la conoscenza di queste proprietà (ad esempio, risolvere problemi relativi alla connessione di relazioni del tipo: dato che A>B e B=C; scoprire la relazione tra A e C).

Argomento IV. Operazione di addizione (sottrazione).

1. Osservazioni dei cambiamenti negli oggetti secondo l'uno o l'altro parametro (in volume, in peso, in durata, ecc.). Illustrazione di aumento e diminuzione con i segni "+" e "-" (più e meno).

2. Violazione dell'uguaglianza precedentemente stabilita con un corrispondente cambiamento nell'uno o nell'altro dei suoi lati. Il passaggio dall’uguaglianza alla disuguaglianza. Scrivere formule come:

se A=B, se A=B,

poi A+K>B; poi A-K<Б.

3. Metodi di transizione verso una nuova uguaglianza (il suo “ripristino” secondo il principio: aggiungere “uguale” a “uguale” dà “uguale”).

Lavorare con formule come:

quindi A+K>B,

ma A+K=B+K.

4. Risolvere vari problemi che richiedono l'uso dell'addizione (sottrazione) quando si passa dall'uguaglianza alla disuguaglianza e viceversa.

Argomento V. Transizione dalla disuguaglianza di tipo A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Compiti che richiedono tale transizione. La necessità di determinare il valore della quantità per cui differiscono gli oggetti confrontati. La capacità di scrivere l'uguaglianza quando il valore specifico di questa quantità è sconosciuto. Metodo di utilizzo di x (x).

Scrivere formule come:

se un<Б, если А>B,

allora A+x=B; allora A-x=B.

2. Determinazione del valore di x. Sostituendo questo valore nella formula (introduzione alle parentesi). Digitare le formule

3. Risoluzione di problemi (inclusi quelli “trama-testuali”) che richiedono l'esecuzione delle operazioni specificate.

Tema Vl. Addizione-sottrazione di uguaglianze-disuguaglianze. Sostituzione.

1. Addizione-sottrazione di uguaglianze-disuguaglianze:

se A=B se A>B se A>B

e M=D, e K>E, e B=G,

allora A+M=B+D; quindi A+K>B+E; quindi A+-B>C+-G.

2. La capacità di rappresentare il valore di una quantità come somma di più valori. Sostituzione del tipo:

3. Risoluzione di vari problemi che richiedono la presa in considerazione delle proprietà delle relazioni con cui i bambini hanno acquisito familiarità nel processo di lavoro (molti compiti richiedono la considerazione simultanea di diverse proprietà, intelligenza nel valutare il significato delle formule; le descrizioni dei problemi e delle soluzioni sono fornite di seguito ).

Questo è un programma progettato per 3,5 - 4 mesi. prima metà dell'anno. Come dimostra l'esperienza dell'insegnamento sperimentale, con un'adeguata pianificazione delle lezioni, il miglioramento dei metodi di insegnamento e una scelta vincente dei sussidi didattici, tutto il materiale presentato nel programma può essere pienamente assorbito dai bambini in un periodo di tempo più breve (in 3 mesi). .

Come sta andando avanti il ​​nostro programma? Innanzitutto i bambini acquisiscono familiarità con il metodo per ottenere un numero che esprime la relazione di un oggetto nel suo insieme (la stessa quantità rappresentata da un oggetto continuo o discreto) con la sua parte. Questo rapporto stesso e il suo significato specifico sono rappresentati dalla formula A/K = n, dove n è un numero intero, che molto spesso esprime il rapporto con l'"unità" più vicina (solo con una selezione speciale di materiale o contando solo "qualitativamente" singole cose si può ottenere un numero intero assolutamente esatto). Fin dall'inizio, i bambini sono “costretti” a tenere presente che durante la misurazione o il conteggio può risultare un resto, la cui presenza deve essere appositamente stipulata. Questo è il primo passo per il successivo lavoro con le frazioni.

Con questa forma di ottenimento di un numero, non è difficile portare i bambini a descrivere un oggetto con una formula del tipo A = 5k (se il rapporto fosse pari a “5”). Insieme alla prima formula, apre opportunità per uno studio speciale delle dipendenze tra oggetto, base (misura) e risultato del conteggio (misura), che funge anche da propedeutica per il passaggio ai numeri frazionari (in particolare , per comprendere le proprietà di base di una frazione).

Un'altra linea di sviluppo del programma, attuata già in prima elementare, è il trasferimento ai numeri (interi) delle proprietà fondamentali della quantità (disgiunzione di uguaglianza-disuguaglianza, transitività, invertibilità) e dell'operazione di addizione (commutatività, associatività, monotonicità, la possibilità di sottrazione). In particolare, lavorando sulla retta numerica, i bambini possono convertire velocemente sequenze di numeri in grandezze (ad esempio, valutarne chiaramente la transitività facendo notazioni di tipo 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

La familiarità con alcune delle cosiddette caratteristiche “strutturali” dell’uguaglianza consente ai bambini di affrontare in modo diverso la connessione tra addizione e sottrazione. Pertanto, quando si passa dalla disuguaglianza all'uguaglianza, vengono eseguite le seguenti trasformazioni: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; trova la relazione tra i lati sinistro e destro della formula per 8+1-4...6+3-2; in caso di disuguaglianza, portare questa espressione a uguaglianza (prima è necessario inserire il segno "minore di" e poi aggiungere "due" a sinistra).

Pertanto, trattare una serie numerica come una quantità consente di sviluppare le capacità di addizione e sottrazione (e quindi di moltiplicazione e divisione) in un modo nuovo.

Capitolo II. Raccomandazioni metodologiche per lo studio delle materie algebriche nella scuola primaria 2.1 L'insegnamento nella scuola primaria dal punto di vista dei bisogni della scuola secondaria

Come sapete, quando si studia matematica in quinta elementare, una parte significativa del tempo è dedicata alla ripetizione di ciò che i bambini avrebbero dovuto imparare alle elementari. Questa ripetizione in quasi tutti i libri di testo esistenti richiede 1,5 trimestri accademici. Questa situazione non è nata per caso. Il motivo è l'insoddisfazione degli insegnanti di matematica della scuola secondaria nei confronti della preparazione dei diplomati della scuola primaria. Qual è la ragione di questa situazione? A questo scopo sono stati analizzati i cinque libri di testo di matematica della scuola primaria oggi più conosciuti. Questi sono i libri di testo di M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson e V.V. Davydova (, , , ,).

L'analisi di questi libri di testo ha rivelato diversi aspetti negativi, presenti in misura maggiore o minore in ciascuno di essi e che influiscono negativamente sull'apprendimento successivo. Prima di tutto, l'assimilazione del materiale in essi contenuto si basa in gran parte sulla memorizzazione. Un chiaro esempio di ciò è memorizzare la tavola pitagorica. Nella scuola elementare, molti sforzi e tempo vengono dedicati alla sua memorizzazione. Ma durante le vacanze estive i bambini la dimenticano. La ragione di un oblio così rapido è l’apprendimento meccanico. La ricerca di L.S. Vygotsky ha dimostrato che la memorizzazione significativa è molto più efficace della memorizzazione meccanica, e successivi esperimenti dimostrano in modo convincente che il materiale entra nella memoria a lungo termine solo se viene ricordato come risultato del lavoro corrispondente a questo materiale.

Un metodo per padroneggiare efficacemente la tavola pitagorica è stato trovato negli anni '50. Consiste nell'organizzare un certo sistema di esercizi, eseguendo i quali i bambini stessi costruiscono una tavola pitagorica. Tuttavia, questo metodo non è implementato in nessuno dei libri di testo esaminati.

Un altro punto negativo che influisce sull'istruzione superiore è che in molti casi la presentazione del materiale nei libri di testo di matematica delle scuole elementari è strutturata in modo tale che in futuro i bambini dovranno essere riqualificati e questo, come sappiamo, è molto più difficile che insegnare. In relazione allo studio di materiale algebrico, un esempio potrebbe essere la risoluzione di equazioni nella scuola elementare. In tutti i libri di testo, la risoluzione delle equazioni si basa sulle regole per trovare componenti sconosciuti delle azioni.

Ciò viene fatto in modo leggermente diverso solo nel libro di testo di L.G. Peterson, dove, ad esempio, la risoluzione delle equazioni di moltiplicazione e divisione si basa sulla correlazione dei componenti dell'equazione con i lati e l'area di un rettangolo e alla fine si riduce anche a regole, ma queste sono regole per trovare il lato o l'area di un rettangolo. Nel frattempo, a partire dalla 6a elementare, ai bambini viene insegnato un principio completamente diverso per risolvere le equazioni, basato sull'uso di trasformazioni identiche. Questa necessità di riapprendimento porta al fatto che risolvere le equazioni è un compito piuttosto difficile per la maggior parte dei bambini.

Analizzando i libri di testo, abbiamo anche riscontrato il fatto che quando si presenta il materiale in essi contenuto, spesso si verifica una distorsione dei concetti. Ad esempio, la formulazione di molte definizioni è data sotto forma di implicazioni, mentre dalla logica matematica è noto che qualsiasi definizione è un'equivalenza. A titolo illustrativo, possiamo citare la definizione di moltiplicazione dal libro di testo di I.I. Arginskaya: "Se tutti i termini della somma sono uguali tra loro, l'addizione può essere sostituita da un'altra azione: la moltiplicazione." (Tutti i termini della somma sono uguali tra loro. Pertanto, l'addizione può essere sostituita dalla moltiplicazione.) Come puoi vedere, questa è un'implicazione nella sua forma pura. Questa formulazione non solo è analfabeta dal punto di vista matematico, non solo forma erroneamente nei bambini l'idea di cosa sia una definizione, ma è anche molto dannosa perché in futuro, ad esempio, quando si costruisce una tavola pitagorica, gli autori di libri di testo utilizzano la sostituzione del prodotto con la somma di termini identici, cosa che la formulazione presentata non consente. Un lavoro così errato con affermazioni scritte sotto forma di implicazione forma nei bambini uno stereotipo errato, che sarà superato con grande difficoltà nelle lezioni di geometria, quando i bambini non sentiranno la differenza tra un'affermazione diretta e inversa, tra un segno di una figura e la sua proprietà. L'errore di utilizzare il teorema inverso per risolvere i problemi, mentre è stato dimostrato solo il teorema diretto, è molto comune.

Un altro esempio di formazione errata dei concetti è lavorare con la relazione di uguaglianza letterale. Ad esempio, le regole per moltiplicare un numero per uno e un numero per zero in tutti i libri di testo sono fornite sotto forma di lettera: a x 1 = a, a x 0 = 0. La relazione di uguaglianza, come è noto, è simmetrica e quindi tale una notazione prevede non solo che moltiplicato per 1 si ottenga lo stesso numero, ma anche che qualsiasi numero possa essere rappresentato come il prodotto di questo numero e uno. Tuttavia, la formulazione verbale proposta nei libri di testo dopo l'inserimento della lettera parla solo della prima possibilità. Anche gli esercizi su questo argomento mirano solo a esercitarsi a sostituire il prodotto di un numero e uno con questo numero. Tutto ciò porta non solo al fatto che un punto molto importante non diventa oggetto della coscienza dei bambini: qualsiasi numero può essere scritto sotto forma di prodotto, cosa che in algebra causerà corrispondenti difficoltà quando si lavora con i polinomi, ma anche alla fatto che i bambini, in linea di principio, non sanno come lavorare correttamente con la relazione di uguaglianza. Ad esempio, quando si lavora con la formula della differenza dei quadrati, i bambini, di regola, affrontano il compito di fattorizzare la differenza dei quadrati. Tuttavia, i compiti in cui è richiesta l’azione opposta causano in molti casi difficoltà. Un altro esempio sorprendente di questa idea è il lavoro con la legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione. Anche qui, nonostante la redazione letterale della legge, sia la sua formulazione verbale che il sistema degli esercizi allenano soltanto la capacità di aprire parentesi. Di conseguenza, mettere il fattore comune fuori parentesi causerà notevoli difficoltà in futuro.

Molto spesso nella scuola elementare, anche quando una definizione o una regola è formulata correttamente, l'apprendimento viene stimolato facendo affidamento non su di esse, ma su qualcosa di completamente diverso. Ad esempio, quando si studia la tavola pitagorica per 2, tutti i libri di testo esaminati mostrano come costruirla. Nel libro di testo M.I. Moro ha fatto così:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Con questo metodo di lavoro, i bambini noteranno molto rapidamente lo schema delle serie numeriche risultanti.

Dopo 3-4 uguaglianze, smetteranno di aggiungere i due e inizieranno a scrivere il risultato in base allo schema osservato. Pertanto, il metodo di costruzione della tavola pitagorica non diventerà oggetto della loro coscienza, il che si tradurrà nella sua fragile assimilazione.

Quando si studia materiale nella scuola elementare, si fa affidamento su azioni oggettive e chiarezza illustrativa, che porta alla formazione del pensiero empirico. Ovviamente non è possibile fare a meno di tale visibilità nella scuola elementare. Ma dovrebbe servire solo come illustrazione di questo o quel fatto, e non come base per la formazione di un concetto. L’uso di chiarezza illustrativa e azioni sostanziali nei libri di testo spesso porta a “sfocare” il concetto stesso. Ad esempio, nei metodi di matematica per le classi 1–3, M.I. Moreau dice che i bambini devono fare la divisione disponendo gli oggetti in pile o facendo un disegno per 30 lezioni. Tali azioni perdono l'essenza dell'operazione di divisione in quanto azione inversa della moltiplicazione. Di conseguenza, la divisione viene appresa con la massima difficoltà ed è molto peggiore di altre operazioni aritmetiche.

Quando si insegna matematica alle elementari, non si parla di dimostrare alcuna affermazione. Nel frattempo, ricordando quanto sarà difficile insegnare la prova al liceo, è necessario iniziare a prepararsi già nelle classi elementari. Inoltre, questo può essere fatto su materiale abbastanza accessibile agli scolari più giovani. Tale materiale, ad esempio, può essere la regola per dividere un numero per 1, zero per un numero e un numero per se stesso. I bambini sono perfettamente in grado di dimostrarli utilizzando la definizione di divisione e le corrispondenti regole di moltiplicazione.

Il materiale della scuola elementare consente anche propedeutica algebra, lavorando con lettere ed espressioni alfabetiche. La maggior parte dei libri di testo evita l'uso delle lettere. Di conseguenza, i bambini lavorano quasi esclusivamente con i numeri per quattro anni, dopodiché, ovviamente, è molto difficile abituarli a lavorare con le lettere. Tuttavia, è possibile fornire una propedeutica a tale lavoro, insegnando ai bambini a sostituire un numero invece di una lettera in un'espressione alfabetica già nella scuola elementare. Ciò è stato fatto, ad esempio, nel libro di testo di L.G. Peterson.

Parlando delle carenze dell'insegnamento della matematica nella scuola elementare, che interferiscono con l'apprendimento ulteriore, è necessario sottolineare in particolare il fatto che spesso il materiale nei libri di testo viene presentato senza uno sguardo a come funzionerà in futuro. Un esempio molto eclatante di ciò è l'organizzazione della moltiplicazione dell'apprendimento per 10, 100, 1000, ecc. In tutti i libri di testo recensiti, la presentazione di questo materiale è strutturata in modo tale da portare inevitabilmente alla formazione nella mente dei bambini della regola: “Per moltiplicare un numero per 10, 100, 1000, ecc., occorre per aggiungere a destra tanti zeri quanti sono in 10, 100, 1000, ecc." Questa regola è una di quelle che si imparano molto bene alle elementari. E questo porta a un gran numero di errori quando si moltiplicano le frazioni decimali per unità di cifre intere. Anche dopo aver ricordato la nuova regola, i bambini spesso aggiungono automaticamente uno zero a destra della virgola quando moltiplicano per 10. Inoltre, va notato che quando si moltiplica un numero naturale e quando si moltiplica una frazione decimale per unità di cifre intere, accade sostanzialmente la stessa cosa: ogni cifra del numero viene spostata a destra del numero di cifre corrispondente. Pertanto, non ha senso insegnare ai bambini due regole separate e del tutto formali. È molto più utile insegnare loro un modo generale di procedere quando si risolvono problemi simili.

2.1 Confronto (contrasto) di concetti nelle lezioni di matematica

L'attuale programma prevede lo studio in I grado di sole due operazioni del primo livello: addizione e sottrazione. Limitare il primo anno di studio a sole due operazioni è, in sostanza, una deviazione da quanto già realizzato nei libri di testo che hanno preceduto quelli attuali: nessun insegnante allora si è mai lamentato che la moltiplicazione e la divisione, diciamo, entro 20, fossero oltre le capacità degli alunni della prima elementare. È anche degno di nota il fatto che nelle scuole di altri paesi, dove l'istruzione inizia all'età di 6 anni, il primo anno scolastico prevede la conoscenza iniziale di tutte e quattro le operazioni aritmetiche. La matematica si basa principalmente su quattro azioni, e quanto prima verranno incluse nella pratica di pensiero dello studente, tanto più stabile e affidabile sarà il successivo sviluppo del corso di matematica.

Per correttezza va notato che nelle prime versioni dei libri di testo di M.I Moro per la prima elementare erano previste la moltiplicazione e la divisione. Tuttavia, un incidente ha impedito il caso: gli autori dei nuovi programmi si sono aggrappati con insistenza a una “novità”: la copertura in prima elementare di tutti i casi di addizione e sottrazione entro 100 (37+58 e 95-58, ecc.). Ma poiché non c'era abbastanza tempo per studiare una quantità così ampia di informazioni, si decise di spostare completamente la moltiplicazione e la divisione all'anno di studio successivo.

Quindi, il fascino per la linearità del programma, cioè un'espansione puramente quantitativa della conoscenza (le stesse azioni, ma con numeri maggiori), ha occupato il tempo precedentemente assegnato all'approfondimento qualitativo della conoscenza (studiando tutte e quattro le azioni all'interno due dozzine). Studiare la moltiplicazione e la divisione già in prima elementare significa un salto di qualità nel pensiero, poiché consente di padroneggiare processi di pensiero condensati.

Secondo la tradizione, lo studio dell'addizione e della sottrazione entro 20 era un argomento speciale. La necessità di questo approccio nella sistematizzazione della conoscenza è visibile anche dall'analisi logica della domanda: il fatto è che la tabella completa per l'addizione di una cifra. i numeri si sviluppano all'interno di due decine (0+1= 1, ...,9+9=18). Pertanto, i numeri entro 20 formano un sistema completo di relazioni nelle loro connessioni interne; da qui risulta chiara l'opportunità di preservare i “Venti” come secondo tema olistico (il primo di questi temi sono le azioni all'interno dei primi dieci).

Il caso in discussione è proprio quello in cui la concentricità (preservando la seconda decina come tema speciale) risulta essere più vantaggiosa della linearità (“dissolvendo” la seconda decina nel tema “Cento”).

Nel libro di testo di M.I. Moro, lo studio dei primi dieci è diviso in due sezioni isolate: prima viene studiata la composizione dei numeri dei primi dieci, e nell'argomento successivo vengono considerate le azioni entro 10 da P.M. Erdnieva, al contrario, ha condotto uno studio congiunto sulla numerazione, sulla composizione dei numeri e sulle operazioni (addizione e sottrazione) entro 10 contemporaneamente in una sezione. Con questo approccio si utilizza uno studio monografico dei numeri, vale a dire: all'interno del numero in esame (ad esempio 3), si comprende immediatamente tutta la “matematica dei contanti”: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Se, secondo i programmi attuali, sono state assegnate 70 ore per lo studio delle prime dieci, nel caso della formazione sperimentale, tutto questo materiale è stato studiato in 50 ore (e oltre al programma sono stati considerati alcuni concetti aggiuntivi che non erano presenti il libro di testo stabile, ma erano strutturalmente correlati al materiale principale).

La questione della classificazione dei compiti e dei nomi dei loro tipi richiede un'attenzione particolare nella metodologia della formazione iniziale. Generazioni di metodologi hanno lavorato per semplificare il sistema dei compiti scolastici, per crearne tipi e varietà efficaci, fino alla selezione di termini di successo per i nomi dei compiti destinati allo studio a scuola. È noto che almeno la metà dell'orario di insegnamento delle lezioni di matematica è dedicata alla loro soluzione. I compiti scolastici necessitano certamente di sistematizzazione e classificazione. Che tipo (tipo) di compiti studiare, quando studiare, che tipo di problemi studiare in relazione al passaggio di una particolare sezione: questo è un legittimo oggetto di studio della metodologia e del contenuto centrale dei programmi. Il significato di questa circostanza emerge chiaramente dalla storia della metodologia matematica.

Nei sussidi didattici sperimentali dell'autore, particolare attenzione è rivolta alla classificazione dei compiti e alla distribuzione delle tipologie e varietà necessarie per l'insegnamento in una particolare classe. Attualmente, i classici nomi dei tipi di problemi (trovare una somma, un termine sconosciuto, ecc.) sono scomparsi anche dall'indice di un libro di testo stabile di prima elementare. Nel libro di testo del processo P.M. Erdniev, questi nomi “funzionano”: sono utili come pietre miliari didattiche non solo per lo studente, ma anche per l'insegnante. Presentiamo il contenuto del primo argomento del libro di testo di matematica di prova, che è caratterizzato dalla completezza logica dei concetti.

I primi dieci

Confrontando i concetti di superiore - inferiore, sinistra - destra, tra, più corto - più lungo, più largo - più stretto, più spesso - più sottile, più vecchio - più giovane, più lontano - più vicino, più lento - più veloce, più leggero - più pesante, poco - molto.

Studio monografico dei numeri dei primi dieci: nome, designazione, confronto, messa dei numeri sull'abaco e designazione dei numeri sulla linea dei numeri; segni: uguale (=), diverso (¹), maggiore di (>), minore di (<).

Linee rette e curve; cerchio e ovale.

Punto, retta, segmento, loro designazione con lettere; misurare la lunghezza di un segmento e disporre segmenti di una determinata lunghezza; designazione, denominazione, costruzione, ritagliare triangoli uguali, poligoni uguali. Elementi di un poligono: vertici, lati, diagonali (indicati con lettere).

Studio monografico dei numeri all'interno del numero in questione:

composizione dei numeri, addizione e sottrazione.

I nomi dei componenti di addizione e sottrazione.

Quattro esempi di addizione e sottrazione:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Esempi deformati (con numeri e segni mancanti):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Risolvere problemi su come trovare somma, additivo, differenza, minuendo e sottraendo. Compilazione e soluzione di problemi reciprocamente inversi.

Tre compiti: aumentare e diminuire un numero di diverse unità e fare un confronto con la differenza. Confronto di segmenti per lunghezza.

Legge commutativa dell'addizione. Una variazione di una somma dipendente dalla variazione di un termine. La condizione in cui l'importo non cambia. Le espressioni di lettere più semplici: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Compilazione e risoluzione di problemi di espressione.

Nella seguente presentazione, considereremo le questioni principali della metodologia per presentare questa sezione iniziale di matematica scolastica, tenendo presente che la metodologia per presentare le sezioni successive dovrebbe essere per molti versi simile al processo di padronanza del materiale del primo argomento .

Nelle primissime lezioni, l'insegnante dovrebbe porsi l'obiettivo di insegnare allo studente a utilizzare coppie di concetti, il cui contenuto si rivela nel processo di composizione delle frasi corrispondenti con queste parole. (In primo luogo, padroneggiamo il confronto a livello qualitativo, senza utilizzare numeri.)

Ecco alcuni esempi delle coppie di concetti più comuni che dovrebbero essere utilizzati nelle lezioni non solo di matematica, ma anche nello sviluppo del linguaggio:

Più - meno, più lungo - più corto, più alto - più basso, più pesante - più leggero, più largo - più stretto, più spesso - più sottile, destra - sinistra, più lontano - più vicino, più vecchio - più giovane, più veloce - più lento, ecc.

Quando si lavora su tali coppie di concetti, è importante utilizzare non solo le illustrazioni del libro di testo, ma anche le osservazioni dei bambini; così, ad esempio, dalla finestra dell'aula vedono che c'è una casa al di là del fiume, e inventano le frasi: “Il fiume è più vicino alla scuola che alla casa, e la casa è più lontana dalla scuola del fiume .”

Lascia che lo studente tenga in mano alternativamente un libro e un quaderno. L'insegnante chiede: cosa è più pesante: un libro o un quaderno? Cosa è più facile? “Un libro è più pesante di un quaderno e un quaderno è più leggero di un libro.”

Avendo allineato fianco a fianco davanti alla classe lo studente più alto e quello più basso della classe, inventiamo immediatamente due frasi: "Misha è più alta di Kolya e Kolya è più bassa di Misha".

In questi esercizi è importante ottenere una sostituzione grammaticalmente corretta di un giudizio con un duplice: "Una casa in pietra è più alta di una in legno, il che significa che una casa in legno è più bassa di una in pietra".

Quando acquisisci familiarità con il concetto di "più lungo - più corto", puoi mostrare un confronto di oggetti in lunghezza sovrapponendoli uno sopra l'altro (che è più lungo: una penna o un astuccio?).

Nelle lezioni di aritmetica e sviluppo del linguaggio è utile risolvere problemi logici con l'obiettivo di insegnare l'uso di concetti opposti: “Chi è più grande: padre o figlio? Chi è più giovane: padre o figlio? Quale è nato prima? Chi è dopo?

“Confronta la larghezza di un libro e di una valigetta. Cos'è più ampio: un libro o una valigetta? Cos'è già un libro o una valigetta? Cos'è più pesante: un libro o una valigetta?

L'apprendimento del processo di confronto può essere reso più interessante introducendo i cosiddetti esercizi a matrice (tabellari). Sulla lavagna viene costruita una tabella di quattro celle e viene spiegato il significato dei concetti “colonna” e “riga”. Introduciamo i concetti di “colonna sinistra” e “colonna destra”, “riga superiore” e “riga inferiore”.

Insieme agli studenti mostriamo (imitiamo) l'interpretazione semantica di questi concetti.

Mostra la colonna (i bambini muovono la mano dall'alto verso il basso).

Mostra la colonna di sinistra, la colonna di destra (i bambini fanno oscillare le braccia due volte dall'alto verso il basso).

Mostra la linea (muovi la mano da sinistra a destra).

Mostra la linea superiore e la linea inferiore (onde a due mani che mostrano la linea superiore e la linea inferiore).

È necessario assicurarsi che gli studenti indichino accuratamente la posizione della cella: “cella in alto a sinistra”, “cella in basso a destra”, ecc. Viene immediatamente risolto il problema inverso, ovvero: l'insegnante indica qualche cella della tabella (matrice) , lo studente dà il nome corrispondente di questa cella. Quindi, se viene puntata una cella che si trova all'intersezione tra la riga superiore e la colonna sinistra, lo studente dovrebbe nominare: "Cella in alto a sinistra". Tali esercizi abituano gradualmente i bambini all'orientamento spaziale e sono importanti quando successivamente si studia il metodo delle coordinate della matematica.

Lavorare sulle serie numeriche è di grande importanza per le prime lezioni di matematica elementare.

È conveniente illustrare la crescita di una serie di numeri aggiungendoli uno per uno spostandosi verso destra lungo la linea numerica.

Se il segno (+) è associato allo spostamento di uno lungo una linea numerica verso destra, allora il segno (-) è associato allo spostamento indietro di uno a sinistra, ecc. (Pertanto, mostriamo entrambi i segni contemporaneamente nello stesso lezione.)

Lavorando con le serie numeriche, introduciamo i seguenti concetti: l'inizio della serie numerica (il numero zero) rappresenta l'estremità sinistra del raggio; Il numero 1 corrisponde a un segmento unitario, che deve essere rappresentato separatamente dalla serie numerica.

Chiedi agli studenti di lavorare su una linea numerica entro tre.

Selezioniamo due numeri vicini qualsiasi, ad esempio 2 e 3. Passando dal numero 2 al numero 3, i bambini ragionano così: “Il numero 2 è seguito dal numero 3”. Passando dal numero 3 al numero 2, dicono:

“Il numero 3 viene prima del numero 2” oppure: “Il numero 2 viene prima del numero 3”.

Questo metodo consente di determinare la posizione di un dato numero rispetto sia al numero precedente che a quello successivo; È opportuno prestare subito attenzione alla relatività della posizione del numero, ad esempio: il numero 3 è contemporaneamente sia successivo (dietro il numero 2) che precedente (prima del numero 4).

Le transizioni indicate lungo la serie numerica devono essere associate alle corrispondenti operazioni aritmetiche.

Ad esempio, la frase “Il numero 2 è seguito dal numero 3” è simbolicamente raffigurata come segue: 2 + 1 = 3; tuttavia è psicologicamente vantaggioso creare subito dopo la connessione opposta dei pensieri, vale a dire: l'espressione “Prima del numero 3 viene il numero 2” è supportata dalla voce: 3 – 1 = 2.

Per comprendere la posizione di un numero in una serie numerica, è necessario porre domande accoppiate:

1. Quale numero è seguito dal numero 3? (Il numero 3 viene dopo il numero 2.) Quale numero viene prima del numero 2? (Il numero 2 viene prima del numero 3.)

2. Quale numero viene dopo il numero 2? (Il numero 2 è seguito dal numero 3.) Quale numero viene prima del numero 3? (Il numero 3 è preceduto dal numero 2.)

3. Tra quali numeri si trova il numero 2? (Il numero 2 è compreso tra il numero 1 e il numero 3.) Quale numero è compreso tra i numeri 1 e 3? (Tra i numeri 1 e 3 c'è il numero 2.)

In questi esercizi le informazioni matematiche sono contenute in parole funzionali: prima, dietro, tra.

È conveniente combinare il lavoro con una serie numerica con il confronto dei numeri in base alla grandezza, nonché con il confronto della posizione dei numeri sulla linea numerica. Via via si sviluppano collegamenti di giudizi di natura geometrica: il numero 4 è sulla linea numerica a destra del numero 3; ciò significa che 4 è maggiore di 3. E viceversa: il numero 3 è sulla linea numerica a sinistra del numero 4; Ciò significa che il numero 3 è inferiore al numero 4. È così che viene stabilita una connessione tra coppie di concetti: a destra - più, a sinistra - meno.

Da quanto sopra, vediamo un tratto caratteristico dell'assimilazione integrata della conoscenza: l'intero insieme di concetti associati all'addizione e alla sottrazione sono offerti insieme, nelle loro continue transizioni (ricodifiche) l'uno nell'altro.

Il mezzo principale per padroneggiare le relazioni numeriche nel nostro libro di testo sono le barre colorate; È conveniente confrontarli per lunghezza, stabilendo quante celle sono più grandi o più piccole di loro nella barra superiore o inferiore. In altre parole, non introduciamo il concetto di “confronto delle differenze di segmenti” come un argomento speciale, ma gli studenti lo acquisiscono familiarità proprio all'inizio dello studio dei primi dieci numeri. Nelle lezioni dedicate allo studio dei primi dieci è conveniente utilizzare delle barre colorate, che consentono di effettuare propedeutiche alle principali tipologie di compiti per le azioni della prima fase.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Si sovrappongano due barre colorate, divise in celle:

in quella inferiore - 3 celle, in quella superiore - 2 celle (vedi figura).

Confrontando il numero di celle nelle barre superiore e inferiore, l'insegnante compone due esempi di azioni reciprocamente inverse (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2) e le soluzioni a questi esempi vengono lette in coppia in tutti i modi possibili:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) aggiungi 1 a 2: ottieni 3; a) sottrai 1 da 3: ottieni 2;

b) aumenta 2 di 1: ottieni 3; b) riduci 3 per 1: ottieni 2;

c) 3 è più di 2 per 1; c) 2 è inferiore a 3 per 1;

d) 2 sì 1 sarà 3; d) 3 senza 1 sarà 2;

e) somma il numero 2 con il numero 1 - e) sottrai il numero 1 dal numero 3 -

risulta 3. risulta 2.

Insegnante. Se 2 viene moltiplicato per 1, quanto sarà?

Alunno. Se aumenti 2 per 1, ottieni 3.

Insegnante. Ora dimmi cosa bisogna fare con il numero 3 per ottenere 2?

Alunno. Riduci 3 per 1 per ottenere 2.

Richiamiamo qui l'attenzione sulla necessità in questo dialogo di un'attuazione metodicamente competente dell'operazione di opposizione. ,

La padronanza sicura da parte dei bambini del significato dei concetti accoppiati (addizione - sottrazione, aumento - diminuzione, più - meno, sì - senza, aggiunta - sottrazione) si ottiene utilizzandoli in una lezione, basata sulla stessa tripla di numeri (ad esempio, 2+1= =3, 3-1=2), basato su una dimostrazione - confrontando le lunghezze di due barre.

Questa è la differenza fondamentale tra il sistema metodologico di consolidamento delle unità di assimilazione e il sistema di studio separato di questi concetti di base, in cui concetti contrastanti di matematica vengono introdotti, di regola, separatamente nella pratica vocale degli studenti.

L'esperienza di apprendimento mostra i vantaggi dell'introduzione simultanea di coppie di concetti reciprocamente opposti, a partire dalle primissime lezioni di aritmetica.

Quindi, ad esempio, l'uso simultaneo di tre verbi: "aggiungere" (aggiungere 1 a 2), "aggiungere" (aggiungere il numero 2 con il numero 1), "aumentare" (2 aumentare di 1), che sono raffigurati simbolicamente identicamente (2+1= 3), aiuta i bambini ad apprendere la somiglianza e la vicinanza di queste parole nel significato (un ragionamento simile può essere fatto riguardo alle parole “sottrarre”, “sottrarre”, “ridurre”).

Allo stesso modo, l'essenza del confronto delle differenze viene appresa attraverso l'uso ripetuto del confronto di coppie di numeri fin dall'inizio della formazione, e in ogni parte del dialogo della lezione vengono utilizzate tutte le possibili forme verbali di interpretazione dell'esempio risolto: “Cosa è maggiore: 2 o 3? Quanto fa più 3 di 2? Quanto devi aggiungere a 2 per ottenere 3? ecc. Il cambiamento delle forme grammaticali e l'uso frequente di forme interrogative sono di grande importanza per padroneggiare il significato di questi concetti.

Test a lungo termine hanno dimostrato i vantaggi dello studio monografico dei primi dieci numeri. Ogni numero successivo è sottoposto ad analisi multilaterale, enumerando tutte le possibili opzioni per la sua formazione; all'interno di questo numero vengono eseguite tutte le azioni possibili, viene ripetuta “tutta la matematica disponibile”, vengono utilizzate tutte le forme grammaticali accettabili per esprimere la relazione tra i numeri. Naturalmente, con questo sistema di studio, in connessione con la copertura dei numeri successivi, si ripetono gli esempi precedentemente studiati, cioè l'espansione delle serie numeriche viene effettuata con ripetizione costante di combinazioni di numeri e varietà di problemi semplici precedentemente considerate .

2.3 Studio congiunto di addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione

Nella metodologia della matematica elementare, gli esercizi su queste due operazioni vengono solitamente considerati separatamente. Nel frattempo, sembra che sia preferibile lo studio simultaneo della duplice operazione “addizione - scomposizione in termini”.

Lascia che gli studenti risolvano il problema dell'addizione: "Aggiungi 1 bastoncino a tre bastoncini: ottieni 4 bastoncini". Dopo questo compito, è necessario porsi immediatamente la domanda: "Da quali numeri è composto il numero 4?" 4 bastoncini sono costituiti da 3 bastoncini (il bambino conta 3 bastoncini) e 1 bastoncino (separa 1 altro bastoncino).

L'esercizio iniziale può essere la scomposizione di un numero. L'insegnante chiede: "Da quali numeri è composto il numero 5?" (Il numero 5 è composto da 3 e 2.) E subito viene posta la domanda sugli stessi numeri: "Quanto ottieni se aggiungi 2 a 3?" (Aggiungi 2 a 3: ottieni 5.)

Allo stesso scopo è utile esercitarsi nella lettura degli esempi in due direzioni: 5+2=7. Somma 2 a 5 e ottieni 7 (leggi da sinistra a destra). 7 è composto dai termini 2 e 5 (leggere da destra a sinistra).

È utile accompagnare l'opposizione verbale con esercizi di abaco d'aula, che permettano di vedere il contenuto specifico delle operazioni corrispondenti. I calcoli sull'abaco sono indispensabili come mezzo per visualizzare le azioni sui numeri, e la dimensione dei numeri entro 10 è qui associata alla lunghezza di un insieme di ossa situate su un filo (questa lunghezza viene percepita visivamente dallo studente). È impossibile essere d’accordo con tale “innovazione” quando gli attuali libri di testo e programmi hanno completamente abbandonato l’uso dell’abaco russo nelle lezioni.

Quindi, risolvendo un esempio di addizione (5+2=7), lo studente ha prima contato 5 tessere sull'abaco, poi ne ha aggiunte 2 e poi ha annunciato la somma: "Aggiungi 2 a 5 - ottieni 7" (il nome del numero 7 risultante, lo studente stabilisce ricalcolando la nuova totalità: “Uno - due - tre - quattro - cinque - sei - sette”).

Alunno. Aggiungi 2 a 5 e ottieni 7.

Insegnante. Ora mostra da quali termini è composto il numero 7.

Studente (prima separa due ossa a destra, poi parla). Il numero 7 è composto da 2 e 5.

Quando si eseguono questi esercizi, è consigliabile utilizzare fin dall'inizio i concetti “primo termine” (5), “secondo termine” (2) e “somma”.

Vengono offerti i seguenti tipi di compiti: a) la somma di due termini è 7; trovare i termini; b) da quali componenti è composto il numero 7?; c) decomporre la somma 7 in 2 termini (in 3 termini). Eccetera.

Padroneggiare un concetto algebrico così importante come la legge commutativa dell'addizione richiede una varietà di esercizi, inizialmente basati su manipolazioni pratiche con oggetti.

Insegnante. Prendi 3 bastoncini con la mano sinistra e 2 con la mano destra. Quanti bastoncini ci sono in totale?

Alunno. Ci sono 5 bastoncini in totale.

Insegnante. Come posso dire di più su questo?

Alunno. Aggiungi 2 bastoncini a 3 bastoncini: ci saranno 5 bastoncini.

Insegnante. Componi questo esempio dai numeri tagliati. (Lo studente fa un esempio: 3+2=5.)

Insegnante. Ora scambia le bacchette: trasferisci le bacchette dalla mano sinistra alla destra e trasferisci le bacchette dalla mano destra alla sinistra. Quanti bastoncini ci sono adesso in entrambe le mani?

Alunno. In totale, c'erano 5 bastoncini in due mani e ora ce ne sono di nuovo 5.

Insegnante. Perché è successo questo?

Alunno. Perché non abbiamo messo nulla da parte e non abbiamo aggiunto bastoncini. Quanto c’era, tanto è rimasto.

Insegnante. Componi esempi risolti dai numeri tagliati.

Studente (mette da parte: 3+2=5, 2+3=5). Qui c'era il numero 3, e ora il numero 2. E qui c'era il numero 2, e ora il numero 3.

Insegnante. Abbiamo scambiato i numeri 2 e 3, ma il risultato è rimasto lo stesso:

5. (Un esempio è fatto da numeri divisi: 3+2=2+3.)

La legge commutativa si apprende anche negli esercizi sulla scomposizione di un numero in termini.

Quando introdurre la legge commutativa dell’addizione?

L'obiettivo principale dell'insegnamento dell'addizione – già nell'ambito dei primi dieci – è quello di sottolineare costantemente il ruolo della legge commutativa negli esercizi.

Lascia che i bambini contino prima 6 bastoncini; quindi aggiungiamo tre bastoncini e ricalcolando (“sette - otto - nove”) stabiliamo la somma: 6 sì 3 - sarà 9. È necessario offrire immediatamente un nuovo esempio: 3 + 6; il nuovo importo può essere inizialmente ristabilito mediante ricalcolo (cioè nel modo più primitivo), ma gradualmente e in modo mirato si dovrebbe formulare un metodo di soluzione in un codice superiore, cioè logicamente, senza ricalcolo.

Se 6 e 3 saranno 9 (la risposta viene stabilita mediante ricalcolo), allora anche 3 e 6 (senza ricalcolo!) saranno 9!

In breve, la proprietà commutativa dell'addizione deve essere introdotta fin dall'inizio degli esercizi sull'addizione di termini diversi, in modo che comporre (pronunciare) le soluzioni di quattro esempi diventi un'abitudine:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Compilare quattro esempi è un mezzo per espandere la conoscenza accessibile ai bambini.

Vediamo che una caratteristica così importante dell'operazione di addizione come la sua commutabilità non dovrebbe verificarsi occasionalmente, ma dovrebbe diventare il principale mezzo logico per rafforzare le corrette associazioni numeriche. La proprietà principale dell'addizione - la commutabilità dei termini - dovrebbe essere costantemente considerata in relazione all'accumulo di nuovi risultati tabulari nella memoria.

Vediamo: la relazione di operazioni computazionali o logiche più complesse si basa su una relazione simile a coppie (prossimità) di operazioni elementari attraverso le quali vengono eseguite una coppia di operazioni “complesse”. In altre parole, l'opposizione esplicita di concetti complessi si basa sull'opposizione implicita (subconscia) di concetti più semplici.

Si consiglia di svolgere lo studio iniziale di moltiplicazione e divisione nella seguente sequenza di tre cicli di problemi (tre compiti in ogni ciclo):

Ciclo: a, b) moltiplicazione con moltiplicando costante e divisione per contenuto (insieme); c) divisione in parti uguali.

Ciclo II: a, b) diminuzione e aumento di numero più volte (insieme); c) confronto multiplo.

III ciclo: a, b) trovare una parte di un numero e un numero in base alla dimensione di una delle sue parti (insieme); c) risolvere il problema: "Quale parte è un numero di un altro?"

Il sistema metodologico per lo studio di questi problemi è simile a quello sopra descritto per i problemi semplici della prima fase (addizione e sottrazione).

Studio simultaneo della moltiplicazione e divisione del contenuto. In due o tre lezioni (non di più!) dedicate alla moltiplicazione, viene chiarito il significato del concetto di moltiplicazione come addizione collassata di termini uguali (l'azione della divisione non è ancora discussa in queste lezioni). Questa volta è sufficiente studiare la tabella della moltiplicazione del numero 2 per numeri a una cifra.

In genere, agli studenti viene mostrato un record in cui si sostituisce l'addizione con la moltiplicazione: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Qui la connessione tra addizione e moltiplicazione va nella direzione dell'addizione-moltiplicazione. È opportuno proporre subito agli studenti un esercizio volto a produrre feedback della forma “moltiplicazione-addizione” (termini uguali): guardando questa voce lo studente dovrebbe capire che il numero 2 deve essere ripetuto come addendo tante volte quanto il moltiplicatore nell'esempio mostra (2*4= 8).

La combinazione di entrambi i tipi di esercizi è una delle condizioni importanti che garantisce l'assimilazione consapevole del concetto di "moltiplicazione", che significa addizione collassata.

Nella terza lezione (o quarta, a seconda della classe), per ciascuno dei casi conosciuti di moltiplicazione, viene dato un corrispondente caso di divisione. In futuro, è utile considerare la moltiplicazione e la divisione solo insieme nelle stesse lezioni.

Nell'introdurre il concetto di divisione è necessario richiamare i corrispondenti casi di moltiplicazione per creare, a partire da essi, il concetto di una nuova azione inversa alla moltiplicazione.

Il concetto di “moltiplicazione” acquista quindi un ricco contenuto: non è solo il risultato dell’addizione di termini uguali (“generalizzazione dell’addizione”), ma anche la base, il momento iniziale della divisione, che, a sua volta, rappresenta “sottrazione collassata”, che sostituisce la “sottrazione sequenziale di 2” sequenziale:

Il significato della moltiplicazione si comprende non tanto attraverso la moltiplicazione stessa, ma attraverso continue transizioni tra moltiplicazione e divisione, poiché la divisione è una moltiplicazione velata, “modificata”. Questo spiega perché è utile studiare successivamente moltiplicazione e divisione sempre contemporaneamente (sia tabulari che extratabulari; sia orali che scritte).

Le prime lezioni sullo studio simultaneo della moltiplicazione e della divisione dovrebbero essere dedicate all'elaborazione pedante delle operazioni logiche stesse, supportate in ogni modo possibile da ampie attività pratiche nella raccolta e distribuzione di vari oggetti (cubetti, funghi, bastoncini, ecc.), ma la sequenza delle azioni dettagliate dovrebbe rimanere la stessa.

Il risultato di questo lavoro saranno le tabelle di moltiplicazione e divisione scritte fianco a fianco:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, ecc.

Pertanto, la tabella di moltiplicazione viene creata utilizzando un moltiplicando costante e la tabella di divisione viene creata utilizzando un divisore costante.

È utile anche proporre agli studenti, in abbinamento a questo compito, un esercizio strutturalmente opposto sul passaggio dalla divisione alla sottrazione di sottraendo uguali.

Negli esercizi di ripetizione è utile proporre compiti di questo tipo: 14:2==.

Studio della divisione in parti uguali. Dopo aver studiato o ripetuto insieme la moltiplicazione del numero 2 e la divisione per 2, in una delle lezioni viene introdotto il concetto di “divisione in parti uguali” (il terzo tipo di problema del primo ciclo).

Considera il problema: “Quattro studenti hanno portato 2 quaderni. Quanti quaderni hai portato?"

L'insegnante spiega: prendi 2 4 volte - ottieni 8. (Appare la voce: 2 * 4 = 8.) Chi scriverà il problema inverso?

E una generalizzazione dell'esperienza degli insegnanti nello svolgimento di lezioni di matematica su questo argomento. Il lavoro del corso è costituito da un'introduzione, due capitoli, una conclusione e un elenco di riferimenti. Capitolo I. Caratteristiche metodologiche dello studio dell'area delle figure geometriche e delle sue unità di misura nelle lezioni di matematica nella scuola primaria 1.1 Caratteristiche legate all'età dello sviluppo degli scolari più giovani nella fase di formazione dei concetti geometrici...

Ancora non illumina i problemi. Poiché la questione dei metodi di insegnamento per la trasformazione dei compiti è stata affrontata in misura minima, continueremo a studiarla. Capitolo II. Metodologia per insegnare la trasformazione dei problemi. 2.1. Problemi di trasformazione nelle lezioni di matematica nella scuola elementare. Poiché esiste pochissima letteratura specializzata sulla trasformazione dei compiti, abbiamo deciso di condurre un sondaggio tra gli insegnanti...

Quando si apprende nuovo materiale, si consiglia di strutturare la lezione in modo tale che il lavoro inizi con una serie di dimostrazioni condotte dall'insegnante o dallo studente. L'uso di ausili visivi nelle lezioni di matematica durante lo studio del materiale geometrico consente ai bambini di padroneggiare con fermezza e consapevolezza tutte le questioni del programma. Il linguaggio della matematica è un linguaggio di simboli, di segni convenzionali, di disegni, di geometrie...