Qual è la costante e? Storia del numero e

PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Istituzione educativa privata "Scuola di San Pietroburgo "Tete-a-Tete"

Insegnante di Matematica della Categoria Superiore

Numero e

Il numero è apparso per la prima volta inmatematicacome qualcosa di insignificante. Ciò accadde nel 1618. Nell'appendice al lavoro di Napier sui logaritmi, è stata fornita una tabella dei logaritmi naturali di vari numeri. Tuttavia, nessuno si rese conto che si trattava di logaritmi in base, poiché il concetto di logaritmo a quel tempo non includeva una cosa come base. Questo è quello che oggi chiamiamo logaritmo, la potenza alla quale bisogna elevare la base per ottenere il numero richiesto. Torneremo su questo più tardi. La tavola in appendice è stata molto probabilmente realizzata da Augthred, anche se l'autore non è stato identificato. Pochi anni dopo, nel 1624, riappare nella letteratura matematica, ma ancora in modo velato. Quest'anno Briggs ha fornito un'approssimazione numerica logaritmo decimale, ma il numero stesso non è menzionato nella sua opera.

La prossima apparizione del numero è ancora una volta dubbia. Nel 1647 Saint-Vincent calcolò l'area del settore dell'iperbole. Si può solo supporre se abbia capito la connessione con i logaritmi, ma anche se lo avesse capito, è improbabile che possa arrivare al numero stesso. Fu solo nel 1661 che Huygens capì la connessione tra l'iperbole equilatera e i logaritmi. Dimostrò che l'area sotto il grafico di un'iperbole equilatera nell'intervallo da 1 a è uguale a 1. Questa proprietà costituisce la base dei logaritmi naturali, ma i matematici dell'epoca non lo capivano, ma lo erano avvicinandosi lentamente a questa comprensione.

Huygens lo ha fatto passo successivo nel 1661. Definì una curva che chiamò logaritmica (nella nostra terminologia la chiameremo esponenziale). Questa è una curva di tipo. E ancora appare il logaritmo decimale, che Huygens trova accurato fino a 17 cifre decimali. Tuttavia, deriva da Huygens come una sorta di costante e non era associato al logaritmo di un numero (quindi, ancora una volta si avvicinarono a , ma il numero stesso rimane non riconosciuto).

IN ulteriori lavori per i logaritmi, ancora una volta, il numero non appare esplicitamente. Tuttavia, lo studio dei logaritmi continua. Nel 1668 Nicolaus Mercator pubblicò un'operaLogaritmotecnia, che contiene un'espansione in serie. In questo lavoro, Mercatore usa per la prima volta il nome “logaritmo naturale” per il logaritmo di base. Il numero chiaramente non appare più, ma rimane sfuggente da qualche parte a lato.

È sorprendente che il numero appaia per la prima volta in forma esplicita non in relazione ai logaritmi, ma in relazione a prodotti infiniti. Nel 1683 Jacob Bernoulli cerca di trovarlo

Usa il teorema binomiale per dimostrare che questo limite è compreso tra 2 e 3, che possiamo considerare come una prima approssimazione di . Sebbene consideriamo questa la definizione di , questa è la prima volta che un numero viene definito come limite. Bernoulli, ovviamente, non capì la connessione tra il suo lavoro e il lavoro sui logaritmi.

È stato precedentemente menzionato che i logaritmi all'inizio del loro studio non erano in alcun modo collegati agli esponenti. Naturalmente dall'equazione troviamo che , ma questo è un modo di percepire molto più tardi. Qui in realtà intendiamo una funzione con un logaritmo, mentre all'inizio il logaritmo era considerato solo come un numero che aiutava nei calcoli. Jacob Bernoulli potrebbe essere stato il primo a rendersi conto che la funzione logaritmica è l'esponenziale inverso. D'altra parte, la prima persona a collegare logaritmi e potenze potrebbe essere stata James Gregory. Nel 1684 riconobbe certamente la connessione tra logaritmi e potenze, ma forse non fu il primo.

Sappiamo che il numero apparve nella sua forma attuale nel 1690. Leibniz, in una lettera a Huygens, usò questa designazione per esso. Alla fine apparve una designazione (sebbene non coincidesse con quella moderna) e questa designazione fu riconosciuta.

Nel 1697 Johann Bernoulli iniziò gli studi funzione esponenziale e pubblicaPrincipia calculi exponentialum seu percurrentium. In questo lavoro vengono calcolate le somme di varie serie esponenziali e alcuni risultati sono ottenuti mediante la loro integrazione termine per termine.

Eulero ha introdotto così tante notazioni matematiche che
non a caso la designazione appartiene anche a lui. Sembra ridicolo dire che abbia usato la lettera perché è la prima lettera del suo nome. Questo probabilmente non è nemmeno perché è preso dalla parola “esponenziale”, ma semplicemente perché è la vocale successiva dopo “a”, ed Eulero aveva già usato la notazione “a” nella sua opera. Indipendentemente dal motivo, la notazione appare per la prima volta in una lettera di Eulero a Goldbach nel 1731. Egli fece molte scoperte mentre studiava ulteriormente, ma non fino al 1748.Introduzione all'Analisi Infinitarumha dato piena giustificazione per tutte le idee relative a. Lo ha dimostrato

Eulero trovò anche le prime 18 cifre decimali di un numero:

senza però spiegare come li abbia ottenuti. Sembra che abbia calcolato lui stesso questo valore. Infatti, se prendiamo circa 20 termini della serie (1), otteniamo la precisione ottenuta da Eulero. Tra gli altri risultati interessanti il suo lavoro mostra la connessione tra le funzioni seno e coseno e la complessa funzione esponenziale, che Eulero derivò dalla formula di Moivre.

È interessante notare che Eulero trovò anche la scomposizione di un numero in frazioni continue e fornì esempi di tale scomposizione. In particolare, ha ricevuto

Eulero non fornì la prova che queste frazioni continuano allo stesso modo, ma sapeva che se ci fosse stata una prova del genere, avrebbe dimostrato l'irrazionalità. Infatti, se la frazione continua per , continuasse nello stesso modo dell'esempio dato, 6,10,14,18,22,26, (aggiungiamo 4 ogni volta), allora non verrebbe mai interrotta, e (e quindi ) non potrebbe essere razionale. Questo è ovviamente il primo tentativo di dimostrare l’irrazionalità.

Il primo a calcolare abbastanza gran numero le cifre decimali del numero erano Shanks nel 1854. Glaisher dimostrò che le prime 137 cifre calcolate da Shanks erano corrette, ma poi trovò un errore. Shanks lo corresse e furono ottenute 205 cifre decimali. In realtà, hai bisogno di circa
120 termini di espansione (1) per ottenere 200 cifre corrette del numero.

Nel 1864 Benjamin Peirce si trovava davanti a una lavagna su cui era scritto

Nelle sue lezioni poteva dire ai suoi studenti: “Signori, non abbiamo la minima idea di cosa significhi, ma possiamo essere sicuri che significa qualcosa di molto importante”.

La maggior parte delle persone crede che Eulero abbia dimostrato l'irrazionalità del numero. Tuttavia, ciò fu fatto da Hermite nel 1873. La questione se il numero sia algebrico rimane ancora aperta. Ultimo risultato in questa direzione è che almeno uno dei numeri è trascendente.

Successivamente sono state calcolate le cifre decimali successive del numero. Nel 1884 Boorman calcolò 346 cifre, di cui le prime 187 coincidevano con le cifre di Shanks, ma quelle successive differivano. Nel 1887 Adams calcolò le 272 cifre del logaritmo decimale.

| Numero di Eulero (E)

e - la base del logaritmo naturale, una costante matematica, un numero irrazionale e trascendente. Approssimativamente pari a 2,71828. A volte il numero viene chiamato Numero di Eulero O Numero Napier. Indicato in minuscolo Lettera latina « e».

Storia

Numero e è apparso per la prima volta in matematica come qualcosa di insignificante. Ciò accadde nel 1618. Nell'appendice al lavoro sui logaritmi di John Napier, veniva fornita una tabella dei logaritmi naturali di vari numeri. Nessuno però si è accorto che questi sono logaritmi in base e , poiché il concetto di logaritmo di quel tempo non includeva una base. Questo è quello che oggi chiamiamo logaritmo, la potenza alla quale bisogna elevare la base per ottenere il numero richiesto. Torneremo su questo più tardi. La tavola in appendice è stata molto probabilmente realizzata da Augthred, anche se l'autore non è stato identificato. Pochi anni dopo, nel 1624, ricompare nella letteratura matematica. e , ma ancora una volta in modo velato. Quest'anno Briggs ha fornito un'approssimazione numerica al logaritmo decimale e , ma il numero stesso e non menzionato nella sua opera.

Prossima occorrenza del numero e ancora una volta dubbioso. Nel 1647 Saint-Vincent calcolò l'area del settore dell'iperbole. Si può solo supporre se avesse capito la connessione con i logaritmi, ma anche se lo avesse fatto, è improbabile che sarebbe potuto arrivare al numero stesso. e . Fu solo nel 1661 che Huygens capì la connessione tra l'iperbole equilatera e i logaritmi. Ha dimostrato che l'area sotto il grafico di un'iperbole equilatera xy = 1 iperbole equilatera sull'intervallo da 1 a e è uguale a 1. Questa proprietà rende e la base dei logaritmi naturali, ma questo non era compreso dai matematici dell'epoca, che però si stavano lentamente avvicinando a questa comprensione.

Huygens fece il passo successivo nel 1661. Definì una curva che chiamò logaritmica (nella nostra terminologia la chiameremo esponenziale). Questa è una curva della forma y = kax . E il logaritmo decimale appare di nuovo e , che Huygens ritiene accurato fino a 17 cifre decimali. Tuttavia, deriva da Huygens come una sorta di costante e non era associata al logaritmo di un numero (quindi, ancora una volta ci siamo avvicinati a e , ma il numero stesso e rimane non riconosciuto).

In ulteriori lavori sui logaritmi, ancora una volta il numero e non appare esplicitamente. Tuttavia, lo studio dei logaritmi continua. Nel 1668 Nicolaus Mercator pubblicò un'opera Logaritmotecnia, che contiene un'espansione in serie logaritmo(1 + x) . In questo lavoro, Mercatore usa per la prima volta il nome “logaritmo naturale” per il logaritmo di base e . Numero e chiaramente non riappare, ma rimane sfuggente da qualche parte a lato.

È sorprendente che il numero e appare esplicitamente per la prima volta non in relazione ai logaritmi, ma in relazione a prodotti infiniti. Nel 1683 Jacob Bernoulli cerca di trovarlo

Usa il teorema binomiale per dimostrare che questo limite è compreso tra 2 e 3, che possiamo pensare come una prima approssimazione del numero e . Anche se la prendiamo come definizione e , questa è la prima volta che un numero viene definito come limite. Bernoulli, ovviamente, non capì la connessione tra il suo lavoro e il lavoro sui logaritmi.

È stato precedentemente menzionato che i logaritmi all'inizio del loro studio non erano in alcun modo collegati agli esponenti. Naturalmente, dall'equazione x = una t lo troviamo t = ascia di registro , ma questo è un modo di percepire molto più tardi. Qui in realtà intendiamo una funzione con un logaritmo, mentre all'inizio il logaritmo era considerato solo come un numero che aiutava nei calcoli. Jacob Bernoulli potrebbe essere stato il primo a rendersi conto che la funzione logaritmica è l'esponenziale inverso. D'altra parte, la prima persona a collegare logaritmi e potenze potrebbe essere stata James Gregory. Nel 1684 riconobbe certamente la connessione tra logaritmi e potenze, ma forse non fu il primo.

Sappiamo che il numero e apparve nella sua forma attuale nel 1690. Leibniz, in una lettera a Huygens, utilizzò per esso la designazione B . Finalmente e apparve una designazione (sebbene non coincidesse con quella moderna) e questa designazione fu riconosciuta.

Nel 1697 Johann Bernoulli iniziò a studiare la funzione esponenziale e pubblicò Principia calculi exponentialum seu percurrentium. In questo lavoro vengono calcolate le somme di varie serie esponenziali e alcuni risultati sono ottenuti mediante la loro integrazione termine per termine.

Leonhard Euler ha introdotto così tanta notazione matematica che non sorprende che la notazione e appartiene anche a lui. Sembra ridicolo dire che abbia usato la lettera e dovuto al fatto che è la prima lettera del suo nome. Probabilmente non è nemmeno perché e tratto dalla parola “esponenziale”, è semplicemente la vocale successiva dopo “a”, ed Eulero aveva già usato la notazione “a” nella sua opera. Indipendentemente dal motivo, la notazione appare per la prima volta in una lettera di Eulero a Goldbach nel 1731. Fece molte scoperte mentre studiava e più tardi, ma solo nel 1748 Introduzione all'Analisi Infinitarum ha dato piena giustificazione per tutte le idee relative a e . Lo ha dimostrato

Eulero trovò anche le prime 18 cifre decimali del numero e :

È vero, senza spiegare come li ha ottenuti. Sembra che abbia calcolato lui stesso questo valore. Infatti, se prendiamo circa 20 termini della serie (1), otteniamo la precisione ottenuta da Eulero. Tra gli altri risultati interessanti del suo lavoro c'è la connessione tra le funzioni seno e coseno e la complessa funzione esponenziale, che Eulero derivò dalla formula di De Moivre.

È interessante notare che Eulero trovò anche una scomposizione del numero e in frazioni continue e ha fornito esempi di tale scomposizione. In particolare, ha ricevuto

Eulero non fornì la prova che queste frazioni continuano allo stesso modo, ma sapeva che se ci fosse stata una tale prova, avrebbe dimostrato l’irrazionalità e . Infatti, se la frazione continua for (e - 1) / 2 , continuato nello stesso modo dell'esempio precedente, 6,10,14,18,22,26, (ne aggiungiamo 4 ogni volta), allora non sarebbe mai stato interrotto, e (e -1) / 2 (e quindi e ) non potrebbe essere razionale. Ovviamente, questo è il primo tentativo di dimostrare l’irrazionalità e .

Il primo a calcolare un numero abbastanza elevato di cifre decimali di un numero e , fu Shanks nel 1854. Glaisher dimostrò che i primi 137 caratteri calcolati da Shanks erano corretti, ma poi trovò un errore. Shanks lo corresse e furono ottenute 205 cifre decimali del numero e . Infatti, sono necessari circa 120 termini di espansione (1) per ottenere 200 cifre corrette del numero e .

Nel 1864 Benjamin Peirce si trovava davanti a una lavagna su cui era scritto

Nelle sue lezioni poteva dire ai suoi studenti: “Signori, non abbiamo la minima idea di cosa significhi, ma possiamo essere sicuri che significa qualcosa di molto importante”.

Molti credono che Eulero abbia dimostrato l'irrazionalità del numero e . Tuttavia, ciò fu fatto da Hermite nel 1873. La questione rimane ancora aperta se il numero lo sia e e algebrico. Il risultato finale in questa direzione è che almeno uno dei numeri e e E ee2 è trascendentale.

Successivamente, sono state calcolate le seguenti cifre decimali del numero e . Nel 1884 Boorman calcolò 346 cifre e , di cui i primi 187 coincidevano con i segni di Shanks, ma quelli successivi differivano. Nel 1887 Adams calcolò le 272 cifre del logaritmo decimale e .

JJ Connor, EF Robertson. Il numero e.

Come qualcosa di insignificante. Ciò accadde nel 1618. Nell'appendice al lavoro di Napier sui logaritmi, è stata fornita una tabella dei logaritmi naturali di vari numeri. Tuttavia, nessuno si rese conto che si trattava di logaritmi in base, poiché il concetto di logaritmo a quel tempo non includeva una cosa come base. Questo è quello che oggi chiamiamo logaritmo, la potenza alla quale bisogna elevare la base per ottenere il numero richiesto. Torneremo su questo più tardi. La tavola in appendice è stata molto probabilmente realizzata da Augthred, anche se l'autore non è stato identificato. Pochi anni dopo, nel 1624, riappare nella letteratura matematica, ma ancora in modo velato. Quest'anno Briggs ha fornito un'approssimazione numerica del logaritmo decimale, ma il numero stesso non è menzionato nel suo lavoro.

La prossima apparizione del numero è ancora una volta dubbia. Nel 1647 Saint-Vincent calcolò l'area del settore dell'iperbole. Si può solo supporre se abbia capito la connessione con i logaritmi, ma anche se lo avesse capito, è improbabile che possa arrivare al numero stesso. Fu solo nel 1661 che Huygens capì la connessione tra l'iperbole equilatera e i logaritmi. Ha dimostrato che l'area sotto il grafico di un'iperbole equilatera di un'iperbole equilatera sull'intervallo da a è uguale a . Questa proprietà costituisce la base dei logaritmi naturali, ma i matematici dell'epoca non lo capivano, ma si stavano lentamente avvicinando a questa comprensione.

Huygens fece il passo successivo nel 1661. Definì una curva che chiamò logaritmica (nella nostra terminologia la chiameremo esponenziale). Questa è una curva di tipo. E ancora appare il logaritmo decimale, che Huygens trova accurato fino a 17 cifre decimali. Tuttavia, deriva da Huygens come una sorta di costante e non era associato al logaritmo di un numero (quindi, ancora una volta si avvicinarono a , ma il numero stesso rimane non riconosciuto).

In ulteriori lavori sui logaritmi, ancora una volta il numero non appare esplicitamente. Tuttavia, lo studio dei logaritmi continua. Nel 1668 Nicolaus Mercator pubblicò un'opera Logaritmotecnia, che contiene un'espansione in serie. In questo lavoro, Mercatore usa per la prima volta il nome “logaritmo naturale” per il logaritmo di base. Il numero chiaramente non appare più, ma rimane sfuggente da qualche parte a lato.

È sorprendente che il numero appaia per la prima volta in forma esplicita non in relazione ai logaritmi, ma in relazione a prodotti infiniti. Nel 1683 Jacob Bernoulli cerca di trovarlo

Usa il teorema binomiale per dimostrare che questo limite è compreso tra e , che possiamo considerare come una prima approssimazione di . Sebbene consideriamo questa la definizione di , questa è la prima volta che un numero viene definito come limite. Bernoulli, ovviamente, non capì la connessione tra il suo lavoro e il lavoro sui logaritmi.

Eulero ha introdotto così tante notazioni matematiche che
non a caso la designazione appartiene anche a lui. Sembra ridicolo dire che abbia usato la lettera perché è la prima lettera del suo nome. Questo probabilmente non è nemmeno perché è preso dalla parola “esponenziale”, ma semplicemente perché è la vocale successiva dopo “a”, ed Eulero aveva già usato la notazione “a” nella sua opera. Indipendentemente dal motivo, la notazione appare per la prima volta in una lettera di Eulero a Goldbach nel 1731. Egli fece molte scoperte mentre studiava ulteriormente, ma non fino al 1748. Introduzione all'Analisi Infinitarum ha dato piena giustificazione per tutte le idee relative a. Lo ha dimostrato

Eulero trovò anche le prime 18 cifre decimali di un numero:

senza però spiegare come li abbia ottenuti. Sembra che abbia calcolato lui stesso questo valore. Infatti, se prendiamo circa 20 termini della serie (1), otteniamo la precisione ottenuta da Eulero. Tra gli altri risultati interessanti del suo lavoro c'è la connessione tra le funzioni seno e coseno e la complessa funzione esponenziale, che Eulero derivò dalla formula di De Moivre.

È interessante notare che Eulero trovò anche la scomposizione di un numero in frazioni continue e fornì esempi di tale scomposizione. In particolare, ha ricevuto
E
Eulero non fornì la prova che queste frazioni continuano allo stesso modo, ma sapeva che se ci fosse stata una prova del genere, avrebbe dimostrato l'irrazionalità. Infatti, se la frazione continua di continuasse nello stesso modo dell'esempio precedente (aggiungiamo ogni volta), allora non verrebbe mai interrotta e (e quindi) non potrebbe essere razionale. Questo è ovviamente il primo tentativo di dimostrare l’irrazionalità.

Il primo a calcolare un numero abbastanza elevato di cifre decimali fu Shanks nel 1854. Glaisher dimostrò che le prime 137 cifre calcolate da Shanks erano corrette, ma poi trovò un errore. Shanks lo corresse e furono ottenute 205 cifre decimali. In realtà, hai bisogno di circa
120 termini di espansione (1) per ottenere 200 cifre corrette del numero.

Nel 1864 Benjamin Peirce si trovava davanti a una lavagna su cui era scritto

Nelle sue lezioni poteva dire ai suoi studenti: “Signori, non abbiamo la minima idea di cosa significhi, ma possiamo essere sicuri che significa qualcosa di molto importante”.

La maggior parte delle persone crede che Eulero abbia dimostrato l'irrazionalità del numero. Tuttavia, ciò fu fatto da Hermite nel 1873. La questione se il numero sia algebrico rimane ancora aperta. Il risultato finale in questa direzione è che almeno uno dei numeri è trascendente.

sì (x) = ex, la cui derivata è uguale alla funzione stessa.

L'esponente è indicato come , o .

Numero e

La base del grado dell'esponente è numero e. Questo è un numero irrazionale. È approssimativamente uguale
e ≈ 2,718281828459045...

Il numero e è determinato attraverso il limite della sequenza. Questo è il cosiddetto secondo meraviglioso limite:
.

Il numero e può anche essere rappresentato come una serie:
.

Grafico esponenziale

Grafico esponenziale, y = e x .

Il grafico mostra l'esponente e in una certa misura X.
sì (x) = ex
Il grafico mostra che l'esponente aumenta in modo monotono.

Formule

Le formule base sono le stesse della funzione esponenziale con base di grado e.

;
;
;

Espressione di una funzione esponenziale con base arbitraria di grado a tramite un esponenziale:
.

Valori privati

Lascia che tu (x) = ex. Poi
.

Proprietà dell'esponente

L'esponente ha le proprietà di una funzione esponenziale con una base di potenza e > 1 .

Dominio, insieme di valori

Esponente y (x) = ex definito per tutti gli x.
Il suo dominio di definizione:
- ∞ < x + ∞ .
I suoi molteplici significati:
0 < y < + ∞ .

Estremi, crescente, decrescente

L'esponenziale è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi. Le sue proprietà principali sono presentate nella tabella.

Funzione inversa

L'inverso dell'esponente è il logaritmo naturale.
;
.

Derivata dell'esponente

Derivato e in una certa misura X uguale a e in una certa misura X :
.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Formule di derivazione > > >

Integrante

Numeri complessi

Le operazioni con numeri complessi vengono eseguite utilizzando Le formule di Eulero:
,
dov'è l'unità immaginaria:
.

Espressioni mediante funzioni iperboliche

; ;
.

Espressioni che utilizzano funzioni trigonometriche

; ;
;
.

Espansione in serie di potenze

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.

Dottore in Scienze Geologiche e Mineralogiche, Candidato in Scienze Fisiche e Matematiche B. GOROBETS.

Grafici delle funzioni y = arcsin x, la funzione inversa y = sin x

Grafico della funzione y = arctan x, l'inverso della funzione y = tan x.

Funzione di distribuzione normale (distribuzione gaussiana). Il massimo del suo grafico corrisponde al valore più probabile di una variabile casuale (ad esempio, la lunghezza di un oggetto misurata con un righello), e il grado di “diffusione” della curva dipende dai parametri a e sigma.

I sacerdoti dell'antica Babilonia calcolarono che il disco solare si adattava al cielo 180 volte dall'alba al tramonto e introdussero una nuova unità di misura: un grado pari alla sua dimensione angolare.

Dimensioni formazioni naturali- dune di sabbia, colline e montagne - aumentano ad ogni passo in media di 3,14 volte.

Scienza e vita // Illustrazioni

Il pendolo, oscillando senza attrito o resistenza, mantiene un'ampiezza di oscillazione costante. La comparsa di resistenza porta ad un'attenuazione esponenziale delle oscillazioni.

In un mezzo molto viscoso, un pendolo deviato si muove esponenzialmente verso la sua posizione di equilibrio.

Bilancia pigne ed i riccioli delle conchiglie di molti molluschi sono disposti in spirali logaritmiche.

Scienza e vita // Illustrazioni

Una spirale logaritmica interseca tutti i raggi provenienti dal punto O con gli stessi angoli.

Probabilmente, qualsiasi candidato o studente, alla domanda su cosa siano i numeri ed e, risponderà: - questo è un numero uguale al rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, ed e è la base dei logaritmi naturali. Se viene chiesto di definire questi numeri in modo più rigoroso e di calcolarli, gli studenti forniranno delle formule:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...2.7183…

(ricordate che il fattoriale n! =1 X 2X 3X… X N);

3(1+ 1/3X 2 3 + 1X 3/4X 5X 2 5 + .....) 3,14159…

(La serie di Newton è l'ultima, ce ne sono altre).

Tutto questo è vero, ma, come sapete, i numeri e la e sono inclusi in molte formule in matematica, fisica, chimica, biologia e anche in economia. Ciò significa che ne riflettono alcuni leggi generali natura. Quali esattamente? Le definizioni di questi numeri attraverso serie, nonostante la loro correttezza e rigore, lasciano ancora un sentimento di insoddisfazione. Sono astratti e non trasmettono la connessione dei numeri in questione con il mondo esterno attraverso l'esperienza quotidiana. Non è possibile trovare risposte alla domanda posta nella letteratura educativa.

Nel frattempo, si può sostenere che la costante e è direttamente correlata all'omogeneità dello spazio e del tempo e all'isotropia dello spazio. Pertanto, riflettono le leggi di conservazione: il numero e - energia e quantità di moto (momento) e il numero - coppia (momento). Di solito tali affermazioni inaspettate causano sorpresa, sebbene essenzialmente, dal punto di vista della fisica teorica, non contengano nulla di nuovo. Il significato profondo di queste costanti mondiali rimane una terra incognita per gli scolari, gli studenti e, a quanto pare, anche per la maggior parte degli insegnanti di matematica e fisica generale, per non parlare di altre aree delle scienze naturali e dell'economia.

Al primo anno di università si possono confondere gli studenti, ad esempio, con una domanda: perché appare l'arcotangente quando si integrano funzioni di tipo 1/(x 2 +1) e funzioni trigonometriche circolari di tipo arcoseno, che esprimono il modulo dell'arco di cerchio? In altre parole, da dove “vengono” i cerchi durante l'integrazione e dove poi scompaiono durante l'azione inversa, differenziando arcotangente e arcoseno? È improbabile che la derivazione delle formule corrispondenti per la differenziazione e l'integrazione risponda da sola alla domanda posta.

Inoltre, nel secondo anno di università, quando si studia la teoria della probabilità, il numero appare nella formula della legge della distribuzione normale variabili casuali(vedi “Scienza e Vita” n. 2, 1995); da esso si può, ad esempio, calcolare la probabilità con cui una moneta cadrà sullo stemma un numero qualsiasi di volte con, diciamo, 100 lanci. Dove sono i cerchi? La forma della moneta è davvero importante? No, la formula della probabilità è la stessa per una moneta quadrata. In effetti, queste non sono domande facili.

Ma la natura del numero e è utile affinché gli studenti di chimica e scienza dei materiali, biologi ed economisti possano conoscerla più a fondo. Ciò li aiuterà a comprendere la cinetica del decadimento degli elementi radioattivi, la saturazione delle soluzioni, l'usura dei materiali, la proliferazione dei microbi, l'impatto dei segnali sui sensi, i processi di accumulazione di capitale, ecc. - un numero infinito di fenomeni in vivere e natura inanimata e le attività umane.

Numero e simmetria sferica dello spazio

Per prima cosa formuliamo la prima tesi principale, quindi ne spieghiamo il significato e le conseguenze.

1. Il numero riflette l'isotropia delle proprietà dello spazio vuoto del nostro Universo, la loro identità in ogni direzione. La legge di conservazione della coppia è associata all'isotropia dello spazio.

Ciò porta a conseguenze ben note che vengono studiate al liceo.

Corollario 1. La lunghezza dell'arco di cerchio lungo il quale si adatta il suo raggio è l'arco naturale e l'unità angolare radiante.

Questa unità è adimensionale. Per trovare il numero di radianti in un arco di cerchio, devi misurare la sua lunghezza e dividere per la lunghezza del raggio di questo cerchio. Come sappiamo, lungo qualsiasi cerchio completo il suo raggio è circa 6,28 volte. Più precisamente, la lunghezza di un arco di cerchio completo è di 2 radianti e in qualsiasi sistema numerico e unità di lunghezza. Quando fu inventata la ruota, si scoprì che era la stessa tra gli indiani d'America, i nomadi dell'Asia e i neri dell'Africa. Solo le unità di misura dell'arco erano diverse e convenzionali. Così, i nostri gradi angolari e d'arco furono introdotti dai sacerdoti babilonesi, i quali ritenevano che il disco del Sole, situato quasi allo zenit, si inserisce nel cielo 180 volte dall'alba al tramonto. 1 grado è 0,0175 rad o 1 rad è 57,3°. Si può sostenere che ipotetiche civiltà aliene si capirebbero facilmente scambiandosi un messaggio in cui il cerchio è diviso in sei parti “con una coda”; ciò significherebbe che il “partner negoziale” ha almeno già superato la fase di reinventare la ruota e sa qual è il numero.

Corollario 2. Scopo funzioni trigonometriche- esprimere la relazione tra l'arco e le dimensioni lineari degli oggetti, nonché tra i parametri spaziali dei processi che si verificano nello spazio sfericamente simmetrico.

Da quanto sopra è chiaro che gli argomenti delle funzioni trigonometriche sono, in linea di principio, adimensionali, come quelli di altri tipi di funzioni, cioè questi sono numeri reali - punti sull'asse dei numeri che non necessitano di notazione dei gradi.

L'esperienza mostra che gli scolari, gli studenti universitari e quelli universitari hanno difficoltà ad abituarsi ad argomenti adimensionali su seno, tangente, ecc. Non tutti i candidati saranno in grado di rispondere alla domanda senza una calcolatrice cosa cos1 (circa 0,5) o arctg / 3. L’ultimo esempio è particolarmente confuso. Si dice spesso che questa sia una sciocchezza: “un arco il cui arcotangente è 60°”. Se dici esattamente questo, l'errore sarà nell'uso non autorizzato misura di laurea all'argomento della funzione. E la risposta corretta è: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Purtroppo molto spesso candidati e studenti dicono che = 180 0, dopodiché devono correggerlo: nel sistema decimale = 3,14…. Ma ovviamente possiamo dire che un radiante è pari a 180 0.

Esaminiamo un'altra situazione non banale incontrata nella teoria della probabilità. Si tratta dell'importante formula per la probabilità di un errore casuale (o legge normale distribuzione di probabilità), che include il numero . Usando questa formula puoi, ad esempio, calcolare la probabilità che una moneta cada sullo stemma 50 volte con 100 lanci. Allora, da dove viene il numero in esso contenuto? Dopotutto, lì non sembrano essere visibili cerchi o cerchi. Ma il punto è che la moneta cade casualmente in uno spazio sfericamente simmetrico, in tutte le direzioni di cui dovrebbero essere ugualmente prese in considerazione le fluttuazioni casuali. I matematici lo fanno integrando su un cerchio e calcolando il cosiddetto integrale di Poisson, che è uguale e incluso nella formula di probabilità specificata. Un chiaro esempio di tali fluttuazioni è l'esempio del tiro a un bersaglio in condizioni costanti. I fori sul bersaglio sono sparsi in un cerchio (!) con la densità più alta vicino al centro del bersaglio, e la probabilità di un colpo può essere calcolata utilizzando la stessa formula contenente il numero .

Il numero è coinvolto nelle strutture naturali?

Cerchiamo di comprendere i fenomeni, le cui cause sono tutt'altro che chiare, ma che, forse, non erano anche senza numero.

Il geografo domestico V.V. Piotrovsky ha confrontato le dimensioni caratteristiche medie rilievi naturali nella riga successiva: increspature di sabbia su secche, dune, colline, sistemi montuosi Caucaso, Himalaya, ecc. Si è scoperto che l'aumento medio delle dimensioni è 3,14. Sembra che uno schema simile sia stato recentemente scoperto nella topografia della Luna e di Marte. Piotrovsky scrive: “Le forme strutturali tettoniche si formarono in la crosta terrestre ed espressi sulla sua superficie sotto forma di forme in rilievo, si sviluppano come risultato di alcuni processi generali che si verificano nel corpo della Terra, sono proporzionali alla dimensione della Terra." Per essere più precisi, sono proporzionali al rapporto delle sue dimensioni lineari e arcuate.

La base di questi fenomeni potrebbe essere la cosiddetta legge della distribuzione dei massimi delle serie casuali, o la “legge delle triplette”, formulata nel 1927 da E. E. Slutsky.

Statisticamente, secondo la legge dei tre, si formano le onde costiere del mare, cosa che gli antichi greci conoscevano. Ogni terza ondata è in media leggermente più alta rispetto a quelle vicine. E nella serie di questi terzi massimi, ogni terzo, a sua volta, è più alto dei suoi vicini. È così che si forma la famosa nona onda. È l'apice del "periodo di secondo rango". Alcuni scienziati suggeriscono che, secondo la legge delle triplette, si verificano anche fluttuazioni nell'attività solare, delle comete e dei meteoriti. Gli intervalli tra i loro massimi vanno da nove a dodici anni, ovvero circa 3 2 . Cosa ne pensa il dottore? Scienze biologiche G. Rosenberg, possiamo continuare a costruire sequenze temporali come segue. Il periodo del terzo rango 3 3 corrisponde all'intervallo tra gravi siccità, che in media è di 27-36 anni; periodo 3 4 - ciclo secolare attività solare(81-108 anni); periodo 3 5 - cicli di glaciazione (243-324 anni). Le coincidenze diventeranno ancora migliori se ci allontaniamo dalla legge delle terzine “pure” e passiamo alle potenze numeriche. A proposito, sono molto facili da calcolare, poiché 2 è quasi uguale a 10 (una volta in India il numero veniva addirittura definito come la radice di 10). Puoi continuare ad adattare i cicli delle epoche, dei periodi e delle ere geologiche a intere potenze di tre (come fa G. Rosenberg, in particolare, nella raccolta “Eureka-88”, 1988) o ai numeri 3.14. E puoi sempre prendere un pio desiderio con vari gradi di precisione. (In relazione agli aggiustamenti, mi viene in mente uno scherzo matematico. Dimostriamolo numeri dispari L'essenza dei numeri è semplice. Prendiamo: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ecc., e 9 qui è un errore sperimentale.) Eppure l'idea del ruolo non ovvio del numero p in molti fenomeni geologici e i fenomeni biologici, a quanto pare, non sono del tutto vuoti, e forse si manifesteranno in futuro.

Il numero e e l'omogeneità del tempo e dello spazio

Passiamo ora alla seconda grande costante del mondo: il numero e. La determinazione matematicamente impeccabile del numero e utilizzando la serie sopra indicata, in sostanza, non chiarisce in alcun modo la sua connessione con la fisica o altro. fenomeni naturali. Come affrontare questo problema? La domanda non è facile. Cominciamo, forse, con il fenomeno standard della propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto. (Inoltre, intendiamo il vuoto come il classico spazio vuoto, senza toccare la natura più complessa del vuoto fisico.)

Tutti sanno che un'onda continua nel tempo può essere descritta da un'onda sinusoidale o dalla somma delle onde sinusoidali e coseno. In matematica, fisica ed elettrotecnica tale onda (di ampiezza pari a 1) è descritta dalla funzione esponenziale e iβt =cos βt + isin βt, dove β è la frequenza delle oscillazioni armoniche. Qui è scritta una delle formule matematiche più famose: la formula di Eulero. Fu in onore del grande Leonhard Euler (1707-1783) che il numero e prese il nome dalla prima lettera del suo cognome.

Questa formula è ben nota agli studenti, ma necessita di essere spiegata agli studenti delle scuole non matematiche, perché ai nostri tempi, dall'ordinario programmi scolastici Sono esclusi i numeri complessi. Il numero complesso z = x+iy è composto da due termini: il numero reale (x) e il numero immaginario, che è il numero reale y moltiplicato per l'unità immaginaria. I numeri reali vengono contati lungo l'asse reale O x e i numeri immaginari vengono contati sulla stessa scala lungo l'asse immaginario O y, la cui unità è i, e la lunghezza di questo segmento unitario è il modulo | io | =1. Ecco perché numero complesso corrisponde a un punto del piano di coordinate (x, y). COSÌ, aspetto insolito un numero e con esponente contenente solo unità immaginarie i significa la presenza di sole oscillazioni non smorzate descritte da un'onda cosinusoidale e sinusoidale.

È chiaro che un'onda non smorzata dimostra il rispetto della legge di conservazione dell'energia Onda elettromagnetica nel vuoto. Questa situazione si verifica durante l'interazione “elastica” di un'onda con un mezzo senza perdita della sua energia. Formalmente, ciò può essere espresso come segue: se si sposta il punto di riferimento lungo l'asse del tempo, l'energia dell'onda verrà preservata, poiché l'onda armonica manterrà la stessa ampiezza e frequenza, cioè unità di energia, e solo la sua la fase, la parte del periodo distante dal nuovo punto di riferimento, cambierà. Ma la fase non incide sull'energia proprio a causa dell'uniformità del tempo quando si sposta il punto di riferimento. Quindi, il trasferimento parallelo del sistema di coordinate (si chiama traslazione) è legale a causa dell'omogeneità del tempo t. Ora è probabilmente chiaro in linea di principio perché l’omogeneità nel tempo porta alla legge di conservazione dell’energia.

Successivamente, immaginiamo un'onda non nel tempo, ma nello spazio. Un chiaro esempio può essere un'onda stazionaria (oscillazioni di una corda immobile in diversi nodi) o increspature della sabbia costiera. Matematicamente, quest'onda lungo l'asse O x sarà scritta come e ix = cos x + isin x. È chiaro che in questo caso la traslazione lungo x non modificherà né il coseno né la sinusoide se lo spazio è omogeneo lungo questo asse. Ancora una volta, cambierà solo la loro fase. È noto dalla fisica teorica che l'omogeneità dello spazio porta alla legge di conservazione della quantità di moto (momento), cioè della massa moltiplicata per la velocità. Supponiamo ora che lo spazio sia omogeneo nel tempo (e la legge di conservazione dell'energia sia soddisfatta), ma disomogeneo nelle coordinate. Allora in diversi punti dello spazio disomogeneo anche la velocità sarebbe disuguale, poiché per unità di tempo omogeneo ci sarebbero significati diversi la lunghezza dei segmenti percorsi al secondo da una particella di una data massa (o da un'onda di una data quantità di moto).

Possiamo quindi formulare la seconda tesi principale:

2. Il numero e come base di una funzione di variabile complessa riflette due leggi fondamentali di conservazione: energia - attraverso l'omogeneità del tempo, quantità di moto - attraverso l'omogeneità dello spazio.

Eppure, perché proprio il numero e, e non qualche altro, è stato incluso nella formula di Eulero e si è rivelato alla base della funzione d'onda? Rimanere entro i limiti corsi scolastici matematica e fisica, rispondere a questa domanda non è facile. L'autore ha discusso questo problema con il teorico, dottore in scienze fisiche e matematiche V.D. Efros, e abbiamo cercato di spiegare la situazione come segue.

La classe più importante di processi - processi lineari e linearizzati - mantiene la sua linearità proprio grazie all'omogeneità dello spazio e del tempo. Matematicamente, un processo lineare è descritto da una funzione che serve come soluzione a un'equazione differenziale con coefficienti costanti(questo tipo di equazioni viene studiato nel primo e nel secondo anno di università e college). E il suo nucleo è la formula di Eulero di cui sopra. Quindi la soluzione contiene una funzione complessa di base e, proprio come l'equazione delle onde. Inoltre è e, e non un altro numero alla base del grado! Perché solo la funzione ex non cambia per qualsiasi numero di differenziazioni e integrazioni. E quindi, dopo la sostituzione nell'equazione originale, solo la soluzione in base e darà identità, come dovrebbe essere una soluzione corretta.

Scriviamo ora la soluzione dell’equazione differenziale a coefficienti costanti, che descrive la propagazione di un’onda armonica in un mezzo, tenendo conto dell’interazione anelastica con essa, che porta alla dissipazione di energia o all’acquisizione di energia da fonti esterne:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isina βt).

Vediamo che la formula di Eulero viene moltiplicata per una variabile reale e αt, che è l'ampiezza dell'onda che cambia nel tempo. Sopra, per semplicità, l'abbiamo assunto costante e uguale a 1. Ciò può essere fatto nel caso di oscillazioni armoniche non smorzate, con α = 0. Nel caso generale di qualsiasi onda, il comportamento dell'ampiezza dipende dal segno del coefficiente a con la variabile t (tempo): se α > 0, l'ampiezza delle oscillazioni aumenta se α< 0, затухает по экспоненте.

Forse l'ultimo paragrafo è difficile per i diplomati di molte scuole ordinarie. Tuttavia, dovrebbe essere comprensibile agli studenti delle università e dei college che studiano approfonditamente le equazioni differenziali a coefficienti costanti.

Ora poniamo β = 0, cioè distruggeremo il fattore oscillatorio con numero i nella soluzione contenente la formula di Eulero. Delle oscillazioni precedenti rimarrà solo l'“ampiezza” che decade (o cresce) in modo esponenziale.

Per illustrare entrambi i casi, immagina un pendolo. Nello spazio vuoto oscilla senza smorzarsi. Nello spazio con un mezzo resistivo, le oscillazioni si verificano con decadimento esponenziale dell'ampiezza. Se devi deviare un pendolo non troppo massiccio in un mezzo sufficientemente viscoso, si sposterà dolcemente verso la posizione di equilibrio, rallentando sempre di più.

Quindi, dalla tesi 2 possiamo dedurre il seguente corollario:

Corollario 1. In assenza di una parte immaginaria, puramente vibrazionale, della funzione f(t), a β = 0 (cioè a frequenza zero), la parte reale funzione esponenziale descrive molti processi naturali che procedono secondo il principio fondamentale: l'aumento di valore è proporzionale al valore stesso .

Il principio formulato matematicamente si presenta così: ∆I ~ I∆t, dove, diciamo, I è un segnale, e ∆t è un piccolo intervallo di tempo durante il quale il segnale ∆I aumenta. Dividendo entrambi i membri dell'uguaglianza per I e integrando, otteniamo lnI ~ kt. Oppure: I ~ e kt - la legge dell'aumento o della diminuzione esponenziale del segnale (a seconda del segno di k). Pertanto, conduce alla legge di proporzionalità dell'aumento di valore rispetto al valore stesso logaritmo naturale e quindi al numero e. (E qui questo è mostrato in una forma accessibile agli studenti delle scuole superiori che conoscano gli elementi dell'integrazione.)

Molti processi in fisica, chimica, biologia, ecologia, economia, ecc., procedono in modo esponenziale con un argomento reale, senza esitazione. Notiamo in particolare la legge psicofisica universale di Weber - Fechner (per qualche motivo ignorata in programmi educativi scuole e università). Si legge: “La forza della sensazione è proporzionale al logaritmo della forza della stimolazione”.

Vista, udito, olfatto, tatto, gusto, emozioni e memoria sono soggetti a questa legge (naturalmente fino a quando i processi fisiologici non si trasformano improvvisamente in patologici, quando i recettori non hanno subito modificazioni o distruzioni). Secondo la legge: 1) un piccolo aumento del segnale di irritazione in qualsiasi intervallo corrisponde ad un aumento lineare (con più o meno) della forza della sensazione; 2) nell'area dei segnali di irritazione deboli, l'aumento della forza della sensazione è molto più ripido che nell'area dei segnali forti. Prendiamo come esempio il tè: un bicchiere di tè con due pezzi di zucchero viene percepito due volte più dolce del tè con un pezzo di zucchero; ma è improbabile che il tè con 20 pezzi di zucchero sembri notevolmente più dolce che con 10 pezzi. La gamma dinamica dei recettori biologici è colossale: i segnali ricevuti dall'occhio possono variare in intensità di ~ 10 10 , e dall'orecchio - di ~ 10 12 volte. Vivi la natura adattato a tali intervalli. Si protegge prendendo un logaritmo (per limitazione biologica) degli stimoli in arrivo, altrimenti i recettori morirebbero. La scala di intensità del suono logaritmica (decibel) ampiamente utilizzata si basa sulla legge di Weber-Fechner, secondo la quale funzionano i controlli del volume delle apparecchiature audio: il loro spostamento è proporzionale al volume percepito, ma non all'intensità del suono! (La sensazione è proporzionale a lg/ 0. La soglia di udibilità è considerata p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Alla soglia abbiamo lg1 = 0. Un aumento dell'intensità (pressione) del suono di 10 volte corrisponde approssimativamente alla sensazione di un sussurro, che è 1 bel sopra la soglia su scala logaritmica Amplificazione del suono un milione di volte da un sussurro a un grido (fino a 10 -5 J/m 2 s) su scala logaritmica. è un aumento di 6 ordini di grandezza o 6 Bel.)

Probabilmente, un tale principio è economicamente ottimale per lo sviluppo di molti organismi. Ciò può essere chiaramente osservato nella formazione di spirali logaritmiche nei gusci di molluschi, in file di semi in un cesto di girasole e in scaglie nei coni. La distanza dal centro aumenta secondo la legge r = ae kj. In ogni istante, il tasso di crescita è linearmente proporzionale a questa distanza stessa (cosa facile da vedere se prendiamo la derivata della funzione scritta). I profili dei coltelli rotanti e delle frese sono realizzati secondo una spirale logaritmica.

Corollario 2. La presenza solo della parte immaginaria della funzione in α = 0, β 0 nella soluzione di equazioni differenziali a coefficienti costanti descrive una varietà di processi lineari e linearizzati in cui si verificano oscillazioni armoniche non smorzate.

Questo corollario ci riporta al modello già discusso in precedenza.

Corollario 3. Quando si implementa il Corollario 2, si verifica una “chiusura” in un’unica formula di numeri ed e attraverso la formula storica di Eulero nella sua forma originale e i = -1.

In questa forma, Eulero pubblicò per la prima volta il suo esponente con un esponente immaginario. Non è difficile esprimerlo attraverso il coseno e il seno a sinistra. Quindi il modello geometrico di questa formula sarà il movimento circolare con una velocità costante in valore assoluto, che è la somma di due oscillazioni armoniche. Secondo l'essenza fisica, la formula e il suo modello riflettono tutte e tre le proprietà fondamentali dello spazio-tempo: la loro omogeneità e isotropia, e quindi tutte e tre le leggi di conservazione.

Conclusione

La tesi sulla connessione delle leggi di conservazione con l'omogeneità del tempo e dello spazio è senza dubbio corretta per lo spazio euclideo nella fisica classica e per lo spazio pseudo-euclideo di Minkowski nella Teoria della Relatività Generale (GR, dove il tempo è la quarta coordinata). Ma nel quadro della relatività generale, sorge una domanda naturale: qual è la situazione nelle regioni con enormi campi gravitazionali, vicino alle singolarità, in particolare vicino ai buchi neri? Le opinioni dei fisici qui differiscono: la maggioranza ritiene che in esse siano preservate le disposizioni fondamentali indicate condizioni estreme. Tuttavia, ci sono altri punti di vista di autorevoli ricercatori. Entrambi stanno lavorando alla creazione di una nuova teoria della gravità quantistica.

Per immaginare brevemente quali problemi sorgono qui, citiamo le parole del fisico teorico accademico A. A. Logunov: “It (spazio di Minkowski. - Auto.) riflette proprietà comuni a tutte le forme di materia. Ciò garantisce l'esistenza di unificato caratteristiche fisiche- energia, quantità di moto, momento angolare, leggi di conservazione dell'energia, quantità di moto. Ma Einstein sosteneva che ciò è possibile solo a una condizione: in assenza di gravità<...>. Da questa affermazione di Einstein ne consegue che lo spazio-tempo non diventa pseudo-euclideo, ma molto più complesso nella sua geometria: riemanniano. Quest'ultimo non è più omogeneo. Cambia da punto a punto. Appare la proprietà della curvatura dello spazio. In essa scompare anche l'esatta formulazione delle leggi di conservazione, così come erano accettate nella fisica classica.<...>A rigor di termini, nella relatività generale, in linea di principio, è impossibile introdurre leggi di conservazione dell'energia-momento, esse non possono essere formulate" (vedi "Scienza e Vita" n. 2, 3, 1987);

Le costanti fondamentali del nostro mondo, la natura di cui abbiamo parlato, sono note non solo ai fisici, ma anche ai parolieri. Pertanto, il numero irrazionale pari a 3,14159265358979323846... ha ispirato l'eccezionale poeta polacco del XX secolo, vincitore premio Nobel 1996 a Wisław Szymborska per la creazione della poesia “Pi”, con una citazione dalla quale concludiamo queste note:

Un numero degno di ammirazione:
Tre virgola uno quattro uno.
Ogni numero dà una sensazione
inizio: cinque nove due,
perché non arriverai mai alla fine.
Non puoi cogliere tutti i numeri a colpo d'occhio -
sei cinque tre cinque.
Operazioni aritmetiche -
otto nove -
non basta più, ed è difficile da credere -
sette nove -
che non puoi farla franca - tre due tre
otto -
né un’equazione che non esiste,
non è un paragone scherzoso -
non puoi contarli.
Andiamo avanti: quattro sei...
(Traduzione dal polacco - B. G.)