Il logaritmo naturale di x è uguale a. Logaritmo naturale, funzione ln x

Grafico di una funzione logaritmo naturale. La funzione si avvicina lentamente all'infinito positivo man mano che aumenta X e si avvicina rapidamente all'infinito negativo quando X tende a 0 (“lento” e “veloce” rispetto a qualsiasi funzione di potenza di X).

Logaritmo naturaleè il logaritmo in base , Dove e (\displaystyle e)- una costante irrazionale pari a circa 2,72. È indicato come ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) o talvolta semplicemente log ⁡ x (\displaystyle \logx), se la base e (\displaystyle e) implicito. In altre parole, il logaritmo naturale di un numero X- questo è un esponente a cui deve essere elevato un numero e, Ottenere X. Questa definizione può essere estesa ai numeri complessi.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), Perché e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), Perché e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Il logaritmo naturale può anche essere definito geometricamente per qualsiasi numero reale positivo UN come l'area sotto la curva y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) nel mezzo [1; a] (\displaystyle ). La semplicità di questa definizione, che è coerente con molte altre formule che utilizzano questo logaritmo, spiega l'origine del nome "naturale".

Se consideriamo il logaritmo naturale come una funzione reale di una variabile reale, allora è la funzione inversa della funzione esponenziale, che porta alle identità:

e ln ⁡ un = un (un > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e un = un (un > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Come tutti i logaritmi, il logaritmo naturale associa la moltiplicazione all'addizione:

ln ⁡ X y = ln ⁡ X + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Lezione e presentazione sugli argomenti: "Logaritmi naturali. La base del logaritmo naturale. Il logaritmo di un numero naturale"

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Cos'è il logaritmo naturale

Ragazzi, nell'ultima lezione abbiamo imparato un nuovo numero speciale: e. Oggi continueremo a lavorare con questo numero.
Abbiamo studiato i logaritmi e sappiamo che la base di un logaritmo può essere costituita da molti numeri maggiori di 0. Oggi vedremo anche un logaritmo la cui base è il numero e. Tale logaritmo è solitamente chiamato logaritmo naturale. Ha una propria notazione: $\ln(n)$ è il logaritmo naturale. Questa voce è equivalente alla voce: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono inverse, quindi il logaritmo naturale è l'inverso della funzione: $y=e^x$.
Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla retta $y=x$.
Tracciamo il logaritmo naturale tracciando la funzione esponenziale rispetto alla retta $y=x$.

Vale la pena notare che l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione $y=e^x$ nel punto (0;1) è 45°. Allora anche l'angolo di inclinazione della tangente al grafico del logaritmo naturale nel punto (1;0) sarà pari a 45°. Entrambe queste tangenti saranno parallele alla retta $y=x$. Diagrammiamo le tangenti:

Proprietà della funzione $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Non è né pari né dispari.
3. Aumenta in tutto l'ambito di definizione.
4. Non limitato dall'alto, non limitato dal basso.
5. Il massimo valore NO, valore più basso NO.
6. Continuo.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convesso verso l'alto.
9. Differenziabile ovunque.

Nel corso della matematica superiore è dimostrato questo la derivata di una funzione inversa è l'inverso della derivata di una determinata funzione.
Non è necessario approfondire la dimostrazione Ha molto senso, scriviamo semplicemente la formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Esempio.
Calcola il valore della derivata della funzione: $y=\ln(2x-7)$ nel punto $x=4$.
Soluzione.
In generale la nostra funzione è rappresentata dalla funzione $y=f(kx+m)$ di cui possiamo calcolare le derivate.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Calcoliamo il valore della derivata nel punto richiesto: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Risposta: 2.

Esempio.
Disegna una tangente al grafico della funzione $y=ln(x)$ nel punto $х=е$.
Soluzione.
Ricordiamo bene l'equazione della tangente al grafico di una funzione nel punto $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Calcoliamo in sequenza i valori richiesti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
L'equazione tangente nel punto $x=e$ è la funzione $y=\frac(x)(e)$.
Tracciamo il logaritmo naturale e la retta tangente.

Esempio.
Esamina la funzione per monotonicità ed estremi: $y=x^6-6*ln(x)$.
Soluzione.
Il dominio di definizione della funzione $D(y)=(0;+∞)$.
Troviamo la derivata della funzione data:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
La derivata esiste per tutti gli x del dominio di definizione, quindi non ci sono punti critici. Troviamo i punti stazionari:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Il punto $х=-1$ non appartiene al dominio di definizione. Allora abbiamo un punto stazionario $x=1$. Troviamo gli intervalli di aumento e diminuzione:

Il punto $x=1$ è il punto minimo, quindi $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Risposta: La funzione diminuisce sul segmento (0;1], la funzione aumenta sul raggio $)