Qual è la base del logaritmo naturale. Comprendere il logaritmo naturale

Vengono fornite le principali proprietà logaritmo naturale, grafico, dominio di definizione, insieme di valori, formule base, derivata, integrale, sviluppo in serie di potenze e rappresentazione della funzione ln x mediante numeri complessi.

Definizione

Logaritmo naturaleè la funzione y = lnx, l'inverso dell'esponenziale, x = e y, ed è il logaritmo alla base del numero e: ln x = log e x.

Il logaritmo naturale è ampiamente utilizzato in matematica perché la sua derivata ha la forma più semplice: (ln x)′ = 1/ x.

Basato definizioni, la base del logaritmo naturale è il numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafico della funzione y = lnx.

Grafico del logaritmo naturale (funzioni y = lnx) si ottiene dal grafico esponenziale per riflessione speculare relativo alla retta y = x.

Il logaritmo naturale è definito in valori positivi variabile x.

Aumenta monotonicamente nel suo dominio di definizione. 0 In x→

il limite del logaritmo naturale è meno infinito (-∞). Poiché x → + ∞, il limite del logaritmo naturale è più infinito (+ ∞). Per x grandi, il logaritmo aumenta piuttosto lentamente. Qualunque funzione di potenza

x a con esponente positivo a cresce più velocemente del logaritmo.

Proprietà del logaritmo naturale

Dominio di definizione, insieme di valori, estremi, aumento, diminuzione

Il logaritmo naturale è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi. Le principali proprietà del logaritmo naturale sono presentate nella tabella.

ln valori x

ln1 = 0

Formule fondamentali per i logaritmi naturali

Formule che seguono dalla definizione della funzione inversa:

La proprietà principale dei logaritmi e le sue conseguenze

Formula sostitutiva della base

Qualsiasi logaritmo può essere espresso in termini di logaritmi naturali utilizzando la formula di sostituzione delle basi:

Le dimostrazioni di queste formule sono presentate nella sezione "Logaritmo".

Funzione inversa

L'inverso del logaritmo naturale è l'esponente.

Se poi

Se poi.

Derivata ln x
.
Derivata del logaritmo naturale:
.
Derivata del logaritmo naturale del modulo x:
.
Derivata dell'ennesimo ordine:

Formule di derivazione > > >

Integrante
.
L'integrale si calcola integrando per parti:

COSÌ,

Espressioni che utilizzano numeri complessi
.
Consideriamo la funzione della variabile complessa z: Esprimiamo la variabile complessa z tramite modulo R φ :
.
e argomento
.
Utilizzando le proprietà del logaritmo abbiamo:
.
L'argomento φ non è definito in modo univoco. Se metti
, dove n è un numero intero,
sarà lo stesso numero per n. diversi.

Pertanto, il logaritmo naturale, in quanto funzione di una variabile complessa, non è una funzione a valore singolo.

Espansione in serie di potenze

Quando avviene l’espansione:

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.

Logaritmo naturale

Grafico della funzione logaritmo naturale. La funzione si avvicina lentamente all'infinito positivo man mano che aumenta X e si avvicina rapidamente all'infinito negativo quando X tende a 0 (“lento” e “veloce” rispetto a qualsiasi funzione di potenza di X).

Logaritmo naturaleè il logaritmo in base , Dove e- una costante irrazionale pari a circa 2,718281 828. Il logaritmo naturale è solitamente scritto come ln( X), tronco d'albero e (X) o talvolta semplicemente accedi( X), se la base e implicito.

Logaritmo naturale di un numero X(scritto come ln(x)) è l'esponente a cui deve essere elevato il numero e, Ottenere X. Per esempio, ln(7.389...)è uguale a 2 perché e 2 =7,389... . Logaritmo naturale del numero stesso e (ln(e)) è uguale a 1 perché e 1 = e, e il logaritmo naturale è 1 ( ln(1)) è uguale a 0 perché e 0 = 1.

Il logaritmo naturale può essere definito per qualsiasi numero reale positivo UN come l'area sotto la curva sì = 1/X da 1 a UN. La semplicità di questa definizione, coerente con molte altre formule che utilizzano il logaritmo naturale, ha portato al nome "naturale". Questa definizione può essere estesa ai numeri complessi, come verrà discusso di seguito.

Se consideriamo il logaritmo naturale come una funzione reale di una variabile reale, allora è la funzione inversa della funzione esponenziale, che porta alle identità:

Come tutti i logaritmi, il logaritmo naturale associa la moltiplicazione all'addizione:

Pertanto, la funzione logaritmica è un isomorfismo del gruppo dei numeri reali positivi rispetto alla moltiplicazione per il gruppo dei numeri reali rispetto all'addizione, che può essere rappresentato come una funzione:

Il logaritmo può essere definito per qualsiasi base positiva diversa da 1, non solo e, ma i logaritmi per altre basi differiscono dal logaritmo naturale solo per un fattore costante e sono solitamente definiti in termini di logaritmo naturale. I logaritmi sono utili per risolvere equazioni che coinvolgono incognite come esponenti. Ad esempio, i logaritmi vengono utilizzati per trovare la costante di decadimento per un tempo di dimezzamento noto o per trovare il tempo di decadimento nella risoluzione dei problemi di radioattività. Svolgono un ruolo importante in molte aree della matematica e delle scienze applicate e vengono utilizzati in finanza per risolvere molti problemi, incluso il calcolo degli interessi composti.

Storia

La prima menzione del logaritmo naturale fu fatta da Nicholas Mercator nella sua opera Logaritmotecnia, pubblicato nel 1668, sebbene l'insegnante di matematica John Spidell compilò una tavola di logaritmi naturali già nel 1619. Precedentemente era chiamato logaritmo iperbolico perché corrisponde all'area sotto l'iperbole. A volte viene chiamato logaritmo di Napier, sebbene il significato originale di questo termine fosse leggermente diverso.

Convenzioni di designazione

Il logaritmo naturale è solitamente indicato con “ln( X)", logaritmo in base 10 - tramite "lg( X)", e altri motivi sono solitamente indicati esplicitamente con il simbolo "log".

In molti lavori sulla matematica discreta, sulla cibernetica e sull’informatica, gli autori usano la notazione “log( X)" per logaritmi in base 2, ma questa convenzione non è generalmente accettata e richiede chiarimenti nell'elenco delle notazioni utilizzate o (in assenza di tale elenco) mediante una nota a piè di pagina o un commento al primo utilizzo.

Le parentesi attorno all'argomento dei logaritmi (se ciò non porta ad un'errata lettura della formula) vengono solitamente omesse e quando si eleva un logaritmo a potenza, l'esponente viene assegnato direttamente al segno del logaritmo: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistema anglo-americano

Matematici, statistici e alcuni ingegneri solitamente usano per denotare il logaritmo naturale o “log( X)" o "ln( X)", e per denotare il logaritmo in base 10 - "log 10 ( X)».

Alcuni ingegneri, biologi e altri specialisti scrivono sempre “ln( X)" (o occasionalmente "log e ( X)") quando intendono il logaritmo naturale e la notazione "log( X)" significano log 10 ( X).

tronco d'albero eè un logaritmo "naturale" perché si presenta automaticamente e appare molto spesso in matematica. Consideriamo ad esempio il problema della derivata di una funzione logaritmica:

Se la base B equivale e, allora la derivata è semplicemente 1/ X, e quando X= 1 questa derivata è uguale a 1. Un altro motivo per cui la base e La cosa più naturale riguardo al logaritmo è che può essere definito semplicemente in termini di un integrale semplice o di una serie di Taylor, cosa che non si può dire degli altri logaritmi.

Ulteriori giustificazioni per la naturalezza non sono legate alla notazione. Ad esempio, esistono diverse serie semplici con logaritmi naturali. Li chiamavano Pietro Mengoli e Nicola Mercatore logaritmo naturale diversi decenni fino a quando Newton e Leibniz svilupparono il calcolo differenziale e integrale.

Definizione

Formalmente ln( UN) può essere definita come l'area sotto la curva del grafico 1/ X da 1 a UN, cioè come integrale:

È veramente un logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale del logaritmo:

Ciò può essere dimostrato assumendo quanto segue:

Valore numerico

Per calcolare il valore numerico del logaritmo naturale di un numero, puoi utilizzare il suo sviluppo in serie di Taylor nella forma:

Ottenere migliore velocità convergenza, possiamo utilizzare la seguente identità:

purché sì = (X−1)/(X+1) e X > 0.

Per ln( X), Dove X> 1, più vicino è il valore X a 1, quindi velocità più veloce convergenza. Le identità associate al logaritmo possono essere utilizzate per raggiungere l'obiettivo:

Questi metodi venivano utilizzati anche prima dell'avvento delle calcolatrici, per le quali venivano utilizzate tabelle numeriche e venivano eseguite manipolazioni simili a quelle sopra descritte.

Alta precisione

Per calcolare il logaritmo naturale con grande quantità numeri di precisione, la serie di Taylor non è efficiente perché la sua convergenza è lenta. Un'alternativa è utilizzare il metodo di Newton per invertire in una funzione esponenziale la cui serie converge più rapidamente.

Un’alternativa per una precisione di calcolo molto elevata è la formula:

Dove M denota la media aritmetico-geometrica di 1 e 4/s, e

M scelto così P si ottengono segni di accuratezza. (Nella maggior parte dei casi, un valore pari a 8 per m è sufficiente.) Infatti, se si utilizza questo metodo, è possibile applicare l'inverso del logaritmo naturale di Newton per calcolare in modo efficiente la funzione esponenziale. (Le costanti ln 2 e pi possono essere precalcolate con la precisione desiderata utilizzando una qualsiasi delle serie note a rapida convergenza.)

Complessità computazionale

La complessità computazionale dei logaritmi naturali (usando la media aritmetico-geometrica) è O( M(N)ln N). Qui Nè il numero di cifre di precisione per le quali deve essere valutato il logaritmo naturale, e M(N) è la complessità computazionale della moltiplicazione di due N numeri a -cifre.

Frazioni continue

Sebbene non esistano frazioni continue semplici per rappresentare un logaritmo, è possibile utilizzare diverse frazioni continue generalizzate, tra cui:

Logaritmi complessi

La funzione esponenziale può essere estesa a una funzione che fornisce un numero complesso della forma e X per qualsiasi numero complesso arbitrario X, in questo caso una serie infinita con complesso X. Questa funzione esponenziale può essere invertita per formare un logaritmo complesso, che avrà la maggior parte delle proprietà dei logaritmi ordinari. Ci sono però due difficoltà: non esiste X, per cui e X= 0, e risulta che e 2πi = 1 = e 0 . Poiché la proprietà della moltiplicatività è valida per una funzione esponenziale complessa, allora e Esprimiamo la variabile complessa = e Esprimiamo la variabile complessa+2nπi per tutti i complessi Esprimiamo la variabile complessa e intero N.

Il logaritmo non può essere definito sull'intero piano complesso, e anche così è multivalore: qualsiasi logaritmo complesso può essere sostituito da un logaritmo "equivalente" aggiungendo qualsiasi multiplo intero di 2 πi. Il logaritmo complesso può essere a valore singolo solo su una fetta del piano complesso. Ad esempio, ln io = 1/2 πi o 5/2 πi o −3/2 πi, ecc., e sebbene io 4 = 1,4 logaritmo io può essere definito come 2 πi, o 10 πi o −6 πi, e così via.

Guarda anche

• John Napier - inventore dei logaritmi

Appunti

1. Matematica per la chimica fisica. - 3°. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Estratto di pagina 9
2. JJ O'Connor e EF Robertson Il numero e. L'archivio MacTutor History of Mathematics (settembre 2001). Archiviato
3. Cajori Florian Una storia della matematica, 5a ed. - Libreria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashmann, Martin Stima degli integrali mediante polinomi. Archiviata dall'originale il 12 febbraio 2012.

spesso prendi un numero e = 2,718281828 . Vengono chiamati i logaritmi basati su questa base naturale. Quando si eseguono calcoli con logaritmi naturali, è normale operare con il segno lN, ma no tronco d'albero; mentre il numero 2,718281828 , che definiscono la base, non sono indicati.

In altre parole, la formulazione sarà simile a: logaritmo naturale numeri X- questo è un esponente a cui deve essere elevato un numero e, Ottenere X.

COSÌ, ln(7.389...)= 2, poiché e 2 =7,389... . Logaritmo naturale del numero stesso e= 1 perché e 1 =e, e il logaritmo naturale dell'unità è zero, poiché e 0 = 1.

Il numero stesso e definisce il limite di una successione limitata monotona

si calcola così e = 2,7182818284... .

Molto spesso, per fissare un numero in memoria, le cifre del numero richiesto sono associate a una data in sospeso. Velocità di memorizzazione delle prime nove cifre di un numero e dopo la virgola aumenterà se notate che il 1828 è l'anno di nascita di Leone Tolstoj!

Oggi ce ne sono abbastanza tavoli pieni logaritmi naturali.

Grafico del logaritmo naturale(funzioni y =lnx) è una conseguenza del fatto che il grafico dell'esponente è un'immagine speculare della linea retta y = x ed ha la forma:

Il logaritmo naturale può essere trovato per ogni numero reale positivo UN come l'area sotto la curva sì = 1/X da 1 Prima UN.

Il carattere elementare di questa formulazione, che è coerente con molte altre formule in cui è coinvolto il logaritmo naturale, è stata la ragione per la formazione del nome “naturale”.

Se analizzi logaritmo naturale, come funzione reale di una variabile reale, allora agisce funzione inversa ad una funzione esponenziale, che si riduce alle identità:

e ln(a) =a (a>0)

ln(ea) =a

Per analogia con tutti i logaritmi, il logaritmo naturale converte la moltiplicazione in addizione, la divisione in sottrazione:

ln(xy) = ln(X) + ln(sì)

ln(x/y)= lnx - lny

Il logaritmo può essere trovato per ogni base positiva che non sia uguale a uno, non solo per e, ma i logaritmi per altre basi differiscono dal logaritmo naturale solo per un fattore costante e sono solitamente definiti in termini di logaritmo naturale.

Dopo aver analizzato grafico del logaritmo naturale, troviamo che esiste per valori positivi della variabile X. Aumenta monotonicamente nel suo dominio di definizione.

A X → 0 il limite del logaritmo naturale è meno infinito ( -∞ ).A x → +∞ il limite del logaritmo naturale è più infinito ( + ∞ ). In generale X Il logaritmo aumenta abbastanza lentamente. Qualsiasi funzione di alimentazione xa con esponente positivo UN aumenta più velocemente del logaritmo. Il logaritmo naturale è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi.

Utilizzo logaritmi naturali molto razionale quando si passa alla matematica superiore. Pertanto, l'uso del logaritmo è conveniente per trovare la risposta alle equazioni in cui le incognite appaiono come esponenti. L'uso dei logaritmi naturali nei calcoli consente di semplificare notevolmente un gran numero di formule matematiche. Logaritmi alla base e sono presenti nella risoluzione di un numero significativo di problemi fisici e naturalmente sono inclusi nella descrizione matematica dei singoli processi chimici, biologici e di altro tipo. Pertanto, i logaritmi vengono utilizzati per calcolare la costante di decadimento per un tempo di dimezzamento noto o per calcolare il tempo di decadimento nella risoluzione di problemi di radioattività. Si esibiscono in ruolo di primo piano in molti rami della matematica e scienze pratiche, si ricorre a loro nel campo della finanza per risolvere elevato numero compiti, compreso il calcolo degli interessi composti.

Logaritmo di un dato numero si chiama esponente al quale si deve elevare un altro numero, si chiama base logaritmo per ottenere questo numero. Ad esempio, il logaritmo in base 10 di 100 è 2. In altre parole, 10 deve essere elevato al quadrato per ottenere 100 (10 2 = 100). Se N– un dato numero, B– base e l– logaritmo, quindi bl = n. Numero N detto anche antilogaritmo delle basi B numeri l. Ad esempio, l'antilogaritmo di 2 in base 10 è uguale a 100. Questo può essere scritto sotto forma di log delle relazioni b n = l e antilog b l = N.

Proprietà di base dei logaritmi:

Qualsiasi numero positivo diverso da uno può servire come base per i logaritmi, ma sfortunatamente risulta che se B E N sono numeri razionali, quindi in rari casi esiste un numero così razionale l, Che cosa bl = n. Tuttavia è possibile definire un numero irrazionale l, ad esempio, tale che 10 l= 2; questo è un numero irrazionale l può essere approssimato con tutta la precisione richiesta numeri razionali. Si scopre che nell'esempio fornito lè approssimativamente uguale a 0,3010 e questa approssimazione del logaritmo in base 10 di 2 può essere trovata nelle tabelle di logaritmi decimali a quattro cifre. I logaritmi in base 10 (o logaritmi in base 10) sono così comunemente usati nei calcoli che vengono chiamati ordinario logaritmi e scritto come log2 = 0,3010 oppure log2 = 0,3010, omettendo l'indicazione esplicita della base del logaritmo. Logaritmi alla base e, un numero trascendente pari a circa 2,71828 naturale logaritmi. Si trovano principalmente in opere su analisi matematica e le sue applicazioni alle varie scienze. I logaritmi naturali si scrivono anche senza indicare esplicitamente la base, ma utilizzando la notazione speciale ln: ad esempio ln2 = 0,6931, perché e 0,6931 = 2.

Utilizzo di tabelle di logaritmi ordinari.

Il logaritmo regolare di un numero è un esponente al quale bisogna elevare 10 per ottenere un dato numero. Poiché 10 0 = 1, 10 1 = 10 e 10 2 = 100, otteniamo immediatamente che log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, ecc. per potenze intere crescenti 10. Allo stesso modo, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 e quindi log0,1 = –1, log0,01 = –2, ecc. per tutti i numeri interi poteri negativi 10. I logaritmi usuali dei restanti numeri sono contenuti tra i logaritmi delle potenze intere più vicine del numero 10; log2 deve essere compreso tra 0 e 1, log20 deve essere compreso tra 1 e 2 e log0.2 deve essere compreso tra -1 e 0. Pertanto, il logaritmo è costituito da due parti, un numero intero e decimale, racchiuso tra 0 e 1. Viene chiamata la parte intera caratteristica logaritmo ed è determinato dal numero stesso, viene chiamata la parte frazionaria mantissa e può essere trovato dalle tabelle. Inoltre, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Il logaritmo di 2 è 0,3010, quindi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Allo stesso modo, log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Dopo la sottrazione, otteniamo log0,2 = – 0,6990. Tuttavia, è più conveniente rappresentare log0.2 come 0.3010 – 1 o come 9.3010 – 10; può essere formulato e regola generale: tutti i numeri ottenuti da un dato numero mediante moltiplicazione per una potenza di 10 hanno la stessa mantissa, uguale alla mantissa del numero dato. La maggior parte delle tabelle mostrano le mantisse dei numeri compresi tra 1 e 10, poiché le mantisse di tutti gli altri numeri possono essere ottenute da quelle indicate nella tabella.

La maggior parte delle tabelle fornisce logaritmi con quattro o cinque cifre decimali, sebbene esistano tabelle a sette cifre e tabelle con ancora più cifre decimali. Il modo più semplice per imparare a utilizzare tali tabelle è con gli esempi. Per trovare log3.59 notiamo innanzitutto che il numero 3.59 è compreso tra 10 0 e 10 1, quindi la sua caratteristica è 0. Troviamo nella tabella il numero 35 (a sinistra) e spostiamoci lungo la riga fino alla colonna che ha in alto il numero 9; l'intersezione di questa colonna e della riga 35 è 5551, quindi log3,59 = 0,5551. Trovare la mantissa di un numero con quattro figure significative, è necessario ricorrere all'interpolazione. In alcune tabelle l'interpolazione è facilitata dalle proporzioni riportate nelle ultime nove colonne sul lato destro di ciascuna pagina delle tabelle. Troviamo ora log736.4; il numero 736,4 è compreso tra 10 2 e 10 3, quindi la caratteristica del suo logaritmo è 2. Nella tabella troviamo una riga a sinistra della quale c'è 73 e la colonna 6. All'intersezione di questa riga e questa colonna c'è il numero 8669. Tra le parti lineari troviamo la colonna 4 . All'intersezione della riga 73 e della colonna 4 c'è il numero 2. Sommando 2 a 8669, otteniamo la mantissa: è uguale a 8671. Quindi, log736.4 = 2,8671.

Logaritmi naturali.

Le tabelle e le proprietà dei logaritmi naturali sono simili alle tabelle e alle proprietà dei logaritmi ordinari. La differenza principale tra i due è che la parte intera del logaritmo naturale non è significativa nel determinare la posizione del punto decimale, e quindi la differenza tra la mantissa e la caratteristica non gioca un ruolo speciale. Logaritmi naturali dei numeri 5.432; 54,32 e 543,2 sono pari rispettivamente a 1,6923; 3.9949 e 6.2975. La relazione tra questi logaritmi diventerà evidente se consideriamo le differenze tra loro: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; ultimo numero non è altro che il logaritmo naturale del numero 10 (scritto così: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; l'ultimo numero è 2ln10. Ma 543,2 = 10′54,32 = 10 2′5,432. Quindi, dal logaritmo naturale di un dato numero UN puoi trovare i logaritmi naturali dei numeri, uguale ai prodotti numeri UN per qualsiasi laurea N numeri 10 se a ln UN aggiungi ln10 moltiplicato per N, cioè. ln( UNґ10N) = logaritmo UN + N ln10 = ln UN + 2,3026N. Ad esempio, ln0,005432 = ln(5,432′10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3′2,3026) = – 5,2155. Pertanto, le tabelle dei logaritmi naturali, come le tabelle dei logaritmi ordinari, di solito contengono solo logaritmi di numeri da 1 a 10. Nel sistema dei logaritmi naturali si può parlare di antilogaritmi, ma più spesso si parla di una funzione esponenziale o di un esponente. Se X= registro sì, Quello sì = es, E sì chiamato esponente di X(per comodità tipografica, spesso scrivono sì= esp X). L'esponente svolge il ruolo di antilogaritmo del numero X.

Utilizzando le tabelle dei logaritmi decimali e naturali, è possibile creare tabelle dei logaritmi in qualsiasi base diversa da 10 e e. Se log b a = X, Quello bx = UN, e quindi log cbx=log circa O X tronco d'albero cb=log circa, O X=log circa/tronco d'albero cb=log b a. Pertanto, utilizzando questa formula di inversione dalla tabella dei logaritmi di base C puoi costruire tabelle di logaritmi in qualsiasi altra base B. Moltiplicatore 1/log cb chiamato modulo di transizione dalla base C alla base B. Nulla impedisce, ad esempio, di utilizzare la formula di inversione o di transizione da un sistema di logaritmi a un altro, di trovare logaritmi naturali dalla tavola dei logaritmi ordinari o di effettuare la transizione inversa. Ad esempio, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923̑0,4343 = 0,7350. Il numero 0,4343, per il quale bisogna moltiplicare il logaritmo naturale di un dato numero per ottenere un logaritmo ordinario, è il modulo di transizione al sistema dei logaritmi ordinari.

Tavoli speciali.

I logaritmi furono originariamente inventati in modo che, utilizzando le loro proprietà log ab=log UN+ registro B e registrare UN/B=log UN-tronco d'albero B, trasformano i prodotti in somme e i quozienti in differenze. In altre parole, se log UN e registrare B sono noti, quindi utilizzando addizione e sottrazione possiamo facilmente trovare il logaritmo del prodotto e il quoziente. In astronomia, invece, spesso vengono indicati valori di log UN e registrare B devo trovare log( UN + B) o registro( UN – B). Naturalmente si potrebbe prima ricavarlo dalle tavole dei logaritmi UN E B, quindi eseguire l'addizione o la sottrazione indicata e, tornando nuovamente alle tabelle, trovare i logaritmi richiesti, ma tale procedura richiederebbe di fare riferimento alle tabelle tre volte. Z. Leonelli pubblicò le tavole dei cosiddetti nel 1802. Logaritmi gaussiani– logaritmi per sommare somme e differenze – che permettevano di limitarsi ad un unico accesso alle tabelle.

Nel 1624 I. Keplero propose tabelle di logaritmi proporzionali, ad es. logaritmi dei numeri UN/X, Dove UN– qualche valore costante positivo. Queste tabelle sono utilizzate principalmente da astronomi e navigatori.

Logaritmi proporzionali a UN= 1 vengono chiamati dai logaritmi e vengono utilizzati nei calcoli quando si ha a che fare con prodotti e quozienti. Cologaritmo di un numero N uguale al logaritmo numero reciproco; quelli. cologo N= log1/ N= – log N. Se log2 = 0,3010, allora colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Il vantaggio di utilizzare i cologaritmi è che quando si calcola il valore del logaritmo di espressioni come pq/tramite modulo logaritmo della somma tripla dei decimali positivi P+ registro Q+colog tramite moduloè più facile da trovare rispetto al registro misto di somme e differenze P+ registro Q-tronco d'albero tramite modulo.

Storia.

Il principio alla base di qualsiasi sistema logaritmico è noto da molto tempo e può essere fatto risalire all'antica matematica babilonese (circa 2000 aC). A quei tempi, per calcolare l'interesse composto veniva utilizzata l'interpolazione tra i valori della tabella delle potenze intere positive dei numeri interi. Molto più tardi, Archimede (287–212 a.C.) usò la potenza di 108 per trovare un limite superiore al numero di granelli di sabbia necessari per riempire completamente l'Universo allora conosciuto. Archimede richiamò l'attenzione sulla proprietà degli esponenti che è alla base dell'efficacia dei logaritmi: il prodotto delle potenze corrisponde alla somma degli esponenti. Alla fine del Medioevo e all'inizio dell'era moderna, i matematici iniziarono a dedicarsi sempre più al rapporto tra progressioni geometriche e aritmetiche. M. Stiefel nel suo saggio Aritmetica dei numeri interi(1544) fornirono una tabella dei poteri positivi e negativi del numero 2:

Stiefel notò che la somma dei due numeri nella prima riga (la riga degli esponenti) è uguale all'esponente di due corrispondente al prodotto dei due numeri corrispondenti nella riga inferiore (la riga degli esponenti). In relazione a questa tabella Stiefel formulò quattro regole equivalenti alle quattro regole moderne per le operazioni sugli esponenti o alle quattro regole per le operazioni sui logaritmi: la somma sulla riga superiore corrisponde al prodotto sulla riga inferiore; la sottrazione sulla riga superiore corrisponde alla divisione sulla riga inferiore; la moltiplicazione sulla riga superiore corrisponde all'elevamento a potenza sulla riga inferiore; la divisione sulla riga superiore corrisponde al radicamento sulla riga inferiore.

A quanto pare, regole simili a quelle di Stiefel hanno portato J. Naper a introdurre formalmente il primo sistema di logaritmi nella sua opera Descrizione della straordinaria tavola dei logaritmi, pubblicato nel 1614. Ma i pensieri di Napier erano occupati dal problema di convertire i prodotti in somme fin da quando, più di dieci anni prima della pubblicazione della sua opera, Napier ricevette la notizia dalla Danimarca che all'Osservatorio di Tycho Brahe i suoi assistenti avevano un metodo che rendeva è possibile convertire i prodotti in somme. Il metodo menzionato nel messaggio ricevuto da Napier era basato sull'uso formule trigonometriche tipo

quindi le tavole di Naper erano costituite principalmente da logaritmi funzioni trigonometriche. Sebbene il concetto di base non fosse esplicitamente incluso nella definizione proposta da Napier, il ruolo equivalente alla base del sistema dei logaritmi nel suo sistema era svolto dal numero (1 – 10 –7)̑10 7, pari approssimativamente a 1/ e.

Indipendentemente da Naper e quasi contemporaneamente a lui, un sistema di logaritmi, del tutto simile nel tipo, fu inventato e pubblicato da J. Bürgi a Praga, pubblicato nel 1620 Tabelle di progressione aritmetica e geometrica. Si trattava di tavole di antilogaritmi alla base (1 + 10 –4) ̑10 4, una discreta approssimazione del numero e.

Nel sistema Naper, il logaritmo del numero 10 7 era considerato pari a zero e, man mano che i numeri diminuivano, i logaritmi aumentavano. Quando G. Briggs (1561–1631) visitò Napier, entrambi concordarono che sarebbe stato più conveniente usare il numero 10 come base e considerare il logaritmo di uno pari a zero. Quindi, man mano che i numeri aumentassero, i loro logaritmi aumenterebbero. Quindi abbiamo ottenuto sistema moderno logaritmi decimali, una tabella di cui Briggs pubblicò nella sua opera Aritmetica logaritmica(1620). Logaritmi alla base e, sebbene non esattamente quelli introdotti da Naper, sono spesso chiamati Naper. I termini "caratteristico" e "mantissa" furono proposti da Briggs.

Primi logaritmi in vigore ragioni storiche usate approssimazioni ai numeri 1/ e E e. Un po' più tardi, l'idea dei logaritmi naturali cominciò ad essere associata allo studio delle aree sotto un'iperbole xy= 1 (figura 1). Nel XVII secolo è stato dimostrato che l'area delimitata da questa curva, l'asse X e ordinate X= 1 e X = UN(nella Fig. 1 questa zona è ricoperta da punti più spessi e radi) aumenta progressione aritmetica, Quando UN aumenta esponenzialmente. È proprio questa dipendenza che nasce nelle regole per le operazioni con esponenti e logaritmi. Ciò ha dato origine a chiamare i logaritmi naperiani “logaritmi iperbolici”.

Funzione logaritmica.

Ci fu un tempo in cui i logaritmi erano considerati esclusivamente come un mezzo di calcolo, ma nel XVIII secolo, soprattutto grazie al lavoro di Eulero, si formò il concetto di funzione logaritmica. Grafico di tale funzione sì= registro X, le cui ordinate aumentano in progressione aritmetica, mentre le ascisse aumentano in progressione geometrica, è presentata in Fig. 2, UN. Grafico di una funzione inversa o esponenziale y = ex, le cui ordinate aumentano in progressione geometrica, e le cui ascisse aumentano in progressione aritmetica, è presentata, rispettivamente, in Fig. 2, B. (Curve sì=log X E sì = 10X simili nella forma alle curve sì= registro X E sì = es.) Sono state proposte anche definizioni alternative della funzione logaritmica, ad es.

kpi; e, similmente, lo sono i logaritmi naturali del numero -1 numeri complessi tipi (2 K + 1)pi, Dove K– un numero intero. Affermazioni simili valgono per i logaritmi generali o altri sistemi di logaritmi. Inoltre, la definizione di logaritmi può essere generalizzata utilizzando le identità di Eulero per includere logaritmi complessi di numeri complessi.

Una definizione alternativa di funzione logaritmica è fornita dall'analisi funzionale. Se F(X) – funzione continua di un numero reale X, avente le seguenti tre proprietà: F (1) = 0, F (B) = 1, F (uv) = F (tu) + F (v), Quello F(X) è definito come il logaritmo del numero X basato su B. Questa definizione presenta una serie di vantaggi rispetto alla definizione fornita all'inizio di questo articolo.

Applicazioni.

Originariamente i logaritmi venivano utilizzati esclusivamente per semplificare i calcoli e questa applicazione è ancora una delle più importanti. Il calcolo di prodotti, quozienti, potenze e radici è facilitato non solo dall'ampia disponibilità di tavole logaritmiche pubblicate, ma anche dall'uso delle cosiddette. regolo calcolatore - uno strumento di calcolo il cui principio di funzionamento si basa sulle proprietà dei logaritmi. Il righello è dotato di scale logaritmiche, cioè distanza dal numero 1 a qualsiasi numero X scelto per essere uguale a log X; Spostando una scala rispetto all'altra è possibile tracciare le somme o le differenze dei logaritmi, il che permette di leggere direttamente sulla scala i prodotti o i quozienti dei numeri corrispondenti. Puoi anche sfruttare i vantaggi di rappresentare i numeri in forma logaritmica. carta logaritmica per tracciare grafici (carta con scale logaritmiche stampate su entrambi gli assi delle coordinate). Se una funzione soddisfa una legge di potenza della forma y = kxn, allora il suo grafico logaritmico appare come una linea retta, perché tronco d'albero sì=log K + N tronco d'albero X– equazione lineare rispetto al log sì e registrare X. Al contrario, se il grafico logaritmico di una dipendenza funzionale assomiglia ad una linea retta, allora questa dipendenza è una legge di potenza. La carta semilogaritmica (in cui l'asse y ha scala logaritmica e l'asse delle ascisse ha scala uniforme) è comoda nei casi in cui è necessario identificare funzioni esponenziali. Equazioni della forma y = kbrx si verificano ogni volta che una quantità, come una popolazione, una quantità di materiale radioattivo o un saldo bancario, diminuisce o aumenta ad un tasso proporzionale alla disponibilità questo momento numero di residenti, sostanza radioattiva o denaro. Se tale dipendenza viene tracciata su carta semilogaritmica, il grafico apparirà come una linea retta.

La funzione logaritmica nasce in connessione con un'ampia varietà di forme naturali. I fiori nelle infiorescenze di girasole sono disposti in spirali logaritmiche, i gusci dei molluschi sono contorti Nautilo, corna pecore di montagna e becchi di pappagallo. Tutte queste forme naturali possono servire come esempi di una curva nota come spirale logaritmica perché, in un sistema di coordinate polari, la sua equazione è r = aebq, o ln tramite modulo= registro UN + bq. Tale curva è descritta da un punto mobile, la cui distanza dal polo aumenta in progressione geometrica, e l'angolo descritto dal suo raggio vettore aumenta in progressione aritmetica. L'ubiquità di tale curva, e quindi della funzione logaritmica, è ben illustrata dal fatto che essa si presenta in aree così distanti e completamente diverse come il contorno di una camma eccentrica e la traiettoria di alcuni insetti che volano verso la luce.

Il logaritmo di un numero b in base a è l'esponente al quale bisogna elevare il numero a per ottenere il numero b.

Se poi

Logaritmo - estremo importante quantità matematica, poiché il calcolo logaritmico consente non solo di risolvere equazioni esponenziali, ma anche operare con indicatori, differenziare funzioni esponenziali e logaritmiche, integrarle e portare ad una forma più accettabile da calcolare.

Tutte le proprietà dei logaritmi sono direttamente correlate alle proprietà funzioni esponenziali. Ad esempio, il fatto che significa che:

Va notato che quando si risolvono problemi specifici, le proprietà dei logaritmi possono rivelarsi più importanti e utili delle regole per lavorare con le potenze.

Presentiamo alcune identità:

Ecco le espressioni algebriche di base:

;

.

Attenzione! può esistere solo per x>0, x≠1, y>0.

Proviamo a capire la domanda su cosa sono i logaritmi naturali. Particolare interesse per la matematica rappresentano due tipi- il primo ha alla base il numero “10”, e si chiama “ logaritmo decimale" Il secondo si chiama naturale. La base del logaritmo naturale è il numero “e”. Questo è ciò di cui parleremo in dettaglio in questo articolo.

Designazioni:

• lgx - decimale;
• ln x - naturale.

Usando l'identità, possiamo vedere che ln e = 1, così come il fatto che lg 10=1.

Grafico del logaritmo naturale

Costruiamo punto per punto un grafico del logaritmo naturale utilizzando il metodo classico standard. Se lo desideri, puoi verificare se stiamo costruendo correttamente la funzione esaminando la funzione. Tuttavia, ha senso imparare a costruirlo “manualmente” per sapere come calcolare correttamente il logaritmo.

Funzione: y = lnx. Scriviamo una tabella di punti attraverso i quali passerà il grafico:

Spieghiamo perché abbiamo scelto questi particolari valori dell'argomento x. È tutta una questione di identità: . Per il logaritmo naturale questa identità sarà simile a questa:

Per comodità possiamo prendere cinque punti di riferimento:

;

;

.

;

.

Pertanto, il calcolo dei logaritmi naturali è un compito abbastanza semplice, inoltre semplifica i calcoli delle operazioni con potenze, trasformandole in moltiplicazione ordinaria.

Tracciando un grafico punto per punto, otteniamo un grafico approssimativo:

Il dominio di definizione del logaritmo naturale (cioè all valori validi argomento X) - tutti i numeri sono maggiori di zero.

Attenzione! Il dominio di definizione del logaritmo naturale comprende solo numeri positivi! L'ambito della definizione non include x=0. Ciò è impossibile in base alle condizioni per l'esistenza del logaritmo.

L'intervallo di valori (ovvero tutti i valori validi della funzione y = ln x) è costituito da tutti i numeri nell'intervallo.

Limite del logaritmo naturale

Studiando il grafico sorge la domanda: come si comporta la funzione in y<0.

Ovviamente il grafico della funzione tende ad incrociare l'asse y, ma non potrà farlo, poiché il logaritmo naturale in x<0 не существует.

Limite naturale tronco d'albero può essere scritto in questo modo:

Formula per sostituire la base di un logaritmo

Gestire un logaritmo naturale è molto più semplice che trattare un logaritmo con base arbitraria. Ecco perché cercheremo di imparare come ridurre qualsiasi logaritmo a uno naturale o esprimerlo a una base arbitraria tramite logaritmi naturali.

Cominciamo con l'identità logaritmica:

Quindi qualsiasi numero o variabile y può essere rappresentato come:

dove x è un numero qualsiasi (positivo secondo le proprietà del logaritmo).

Questa espressione può essere presa logaritmicamente da entrambi i lati. Facciamolo utilizzando una base z arbitraria:

Usiamo la proprietà (solo che al posto di “c” abbiamo l'espressione):

Da qui otteniamo la formula universale:

.

In particolare, se z=e, allora:

.

Siamo stati in grado di rappresentare un logaritmo su una base arbitraria attraverso il rapporto tra due logaritmi naturali.

Risolviamo i problemi

Per comprendere meglio i logaritmi naturali, diamo un'occhiata ad esempi di diversi problemi.

Problema 1. È necessario risolvere l'equazione ln x = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

Problema 2. Risolvi l'equazione (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluzione: Utilizzando la definizione di logaritmo: se , allora , otteniamo:

.

Usiamo ancora la definizione di logaritmo:

.

Così:

.

Puoi calcolare approssimativamente la risposta oppure lasciarla in questo modulo.

Compito 3. Risolvi l'equazione.

Soluzione: Facciamo una sostituzione: t = ln x. Quindi l’equazione assumerà la seguente forma:

.

Abbiamo un'equazione quadratica. Troviamo il suo discriminante:

Prima radice dell'equazione:

.

Seconda radice dell'equazione:

.

Ricordando che abbiamo effettuato la sostituzione t = ln x, otteniamo:

Nella statistica e nella teoria della probabilità, le quantità logaritmiche si trovano molto spesso. Ciò non sorprende, perché il numero e spesso riflette il tasso di crescita di quantità esponenziali.

Nell'informatica, nella programmazione e nella teoria dei computer, i logaritmi si trovano abbastanza spesso, ad esempio, per archiviare N bit in memoria.

Nelle teorie dei frattali e delle dimensioni, i logaritmi vengono costantemente utilizzati, poiché le dimensioni dei frattali sono determinate solo con il loro aiuto.

Nella meccanica e nella fisica Non esiste una sezione in cui non siano stati utilizzati i logaritmi. La distribuzione barometrica, tutti i principi della termodinamica statistica, l'equazione di Tsiolkovsky, ecc. sono processi che possono essere descritti matematicamente solo utilizzando i logaritmi.

In chimica, i logaritmi vengono utilizzati nelle equazioni di Nernst e nelle descrizioni dei processi redox.

Sorprendentemente, anche nella musica, per conoscere il numero delle parti di un'ottava, vengono utilizzati i logaritmi.

Logaritmo naturale Funzione y=ln x le sue proprietà

Dimostrazione della proprietà principale del logaritmo naturale