Dato un grafico della derivata, trovare il valore più piccolo. Grafico derivato

Il problema B9 fornisce il grafico di una funzione o derivata da cui è necessario determinare una delle seguenti quantità:

1. Il valore della derivata ad un certo punto x 0,
2. Punti massimi o minimi (punti estremi),
3. Intervalli di funzioni crescenti e decrescenti (intervalli di monotonicità).

Le funzioni e le derivate presentate in questo problema sono sempre continue, rendendo la soluzione molto più semplice. Nonostante il fatto che l'incarico appartenga alla sezione analisi matematica, è abbastanza alla portata anche degli studenti più deboli, poiché qui non è richiesta alcuna conoscenza teorica approfondita.

Per trovare il valore della derivata, dei punti estremi e degli intervalli di monotonicità, esistono algoritmi semplici e universali: tutti saranno discussi di seguito.

Leggi attentamente le condizioni del problema B9 per evitare di commettere errori stupidi: a volte ti imbatti in testi piuttosto lunghi, ma ci sono poche condizioni importanti che influenzano l'andamento della soluzione.

Calcolo del valore derivativo. Metodo a due punti

Se al problema viene dato il grafico di una funzione f(x), tangente a questo grafico in un punto x 0, e si vuole trovare il valore della derivata in questo punto, si applica il seguente algoritmo:

1. Trova due punti “adeguati” sul grafico tangente: le loro coordinate devono essere intere. Indichiamo questi punti come A (x 1 ; y 1) e B (x 2 ; y 2). Annota correttamente le coordinate: questo è momento chiave soluzioni e qualsiasi errore qui si traduce in una risposta errata.
2. Conoscendo le coordinate, è facile calcolare l'incremento dell'argomento Δx = x 2 − x 1 e l'incremento della funzione Δy = y 2 − y 1 .
3. Infine troviamo il valore della derivata D = Δy/Δx. In altre parole, devi dividere l'incremento della funzione per l'incremento dell'argomento e questa sarà la risposta.

Notiamo ancora una volta: i punti A e B vanno cercati proprio sulla tangente, e non sul grafico della funzione f(x), come spesso accade. La linea tangente conterrà necessariamente almeno due di questi punti, altrimenti il ​​​​problema non verrà formulato correttamente.

Considera i punti A (−3; 2) e B (−1; 6) e trova gli incrementi:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.

Troviamo il valore della derivata: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Compito. La figura mostra un grafico della funzione y = f(x) e una tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x 0 .

Considera i punti A (0; 3) e B (3; 0), trova gli incrementi:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3.

Ora troviamo il valore della derivata: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Compito. La figura mostra un grafico della funzione y = f(x) e una tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x 0 .

Considera i punti A (0; 2) e B (5; 2) e trova gli incrementi:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0.

Resta da trovare il valore della derivata: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Dall'ultimo esempio possiamo formulare una regola: se la tangente è parallela all'asse OX, la derivata della funzione nel punto di tangenza è zero. In questo caso non hai nemmeno bisogno di contare nulla: basta guardare il grafico.

Calcolo dei punti massimi e minimi

A volte, invece del grafico di una funzione, il Problema B9 fornisce un grafico della derivata e richiede di trovare il punto massimo o minimo della funzione. In questa situazione, il metodo a due punti è inutile, ma esiste un altro algoritmo, ancora più semplice. Per prima cosa definiamo la terminologia:

1. Il punto x 0 è detto punto massimo della funzione f(x) se in qualche intorno di questo punto vale la seguente disuguaglianza: f(x 0) ≥ f(x).
2. Il punto x 0 è detto punto di minimo della funzione f(x) se in qualche intorno di questo punto vale la seguente disuguaglianza: f(x 0) ≤ f(x).

Per trovare i punti massimo e minimo sul grafico della derivata, basta seguire questi passaggi:

1. Ridisegna il grafico della derivata, rimuovendo tutte le informazioni non necessarie. Come dimostra la pratica, i dati non necessari interferiscono solo con la decisione. Pertanto, segniamo gli zeri della derivata sull'asse delle coordinate e il gioco è fatto.
2. Scopri i segni della derivata sugli intervalli tra zeri. Se per qualche punto x 0 è noto che f'(x 0) ≠ 0, allora sono possibili solo due opzioni: f'(x 0) ≥ 0 oppure f'(x 0) ≤ 0. Il segno della derivata è facile da determinare dal disegno originale: se il grafico della derivata giace sopra l'asse OX, allora f'(x) ≥ 0. E viceversa, se il grafico della derivata giace sotto l'asse OX, allora f'(x) ≤ 0.
3. Ancora una volta controlliamo gli zeri e i segni della derivata. Il punto in cui il segno cambia da meno a più è il punto minimo. Viceversa, se il segno della derivata cambia da più a meno, questo è il punto massimo. Il conteggio si effettua sempre da sinistra a destra.

Questo schema funziona solo per le funzioni continue: non ce ne sono altri nel problema B9.

Compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sull'intervallo [−5; 5]. Trova il punto minimo della funzione f(x) su questo segmento.

Eliminiamo le informazioni non necessarie e lasciamo solo i confini [−5; 5] e zeri della derivata x = −3 e x = 2,5. Notiamo anche i segnali:

Ovviamente nel punto x = −3 il segno della derivata cambia da meno a più. Questo è il punto minimo.

Compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sull'intervallo [−3; 7]. Trova il punto massimo della funzione f(x) su questo segmento.

Ridisegniamo il grafico, lasciando solo i confini [−3; 7] e zeri della derivata x = −1,7 ex = 5. Notiamo i segni della derivata sul grafico risultante. Abbiamo:

Ovviamente nel punto x = 5 il segno della derivata cambia da più a meno: questo è il punto massimo.

Compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x), definita sull'intervallo [−6; 4]. Trova il numero di punti massimi della funzione f(x), appartenenti al segmento [−4; 3].

Dalle condizioni del problema segue che è sufficiente considerare solo la parte del grafico limitata dal segmento [−4; 3]. Pertanto, costruiamo un nuovo grafico sul quale segniamo solo i confini [−4; 3] e gli zeri della derivata al suo interno. Vale a dire, punti x = −3,5 e x = 2. Otteniamo:

Su questo grafico c'è un solo punto massimo x = 2. È in questo punto che il segno della derivata cambia da più a meno.

Una piccola nota sui punti con coordinate non intere. Ad esempio, nell'ultimo problema si considerava il punto x = −3,5, ma con lo stesso successo possiamo prendere x = −3,4. Se il problema è scritto correttamente, tali modifiche non dovrebbero influenzare la risposta, poiché i punti “senza luogo specifico residenza" non partecipano direttamente alla soluzione del problema. Naturalmente questo trucco non funziona con i punti interi.

Trovare intervalli di funzioni crescenti e decrescenti

In un problema di questo tipo, come per i punti di massimo e di minimo, si propone di utilizzare il grafico della derivata per trovare aree in cui la funzione stessa aumenta o diminuisce. Per prima cosa definiamo cosa sono crescente e decrescente:

1. Una funzione f(x) si dice crescente su un segmento se per due punti qualsiasi x 1 e x 2 di questo segmento è vera la seguente affermazione: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . In altre parole, maggiore è il valore dell'argomento, maggiore è il valore della funzione.
2. Una funzione f(x) si dice decrescente su un segmento se per due punti qualsiasi x 1 ex 2 di questo segmento è vera la seguente affermazione: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Quelli. valore più alto argomento corrisponde al valore più piccolo della funzione.

Formuliamo condizioni sufficienti per aumentare e diminuire:

1. Affinché una funzione continua f(x) cresca sul segmento , è sufficiente che la sua derivata all'interno del segmento sia positiva, cioè f’(x) ≥ 0.
2. Affinché una funzione continua f(x) decresca sul segmento , è sufficiente che la sua derivata all'interno del segmento sia negativa, cioè f’(x) ≤ 0.

Accettiamo queste affermazioni senza prove. Pertanto, otteniamo uno schema per trovare intervalli crescenti e decrescenti, che è per molti versi simile all'algoritmo per il calcolo dei punti estremi:

1. Rimuovi tutte le informazioni non necessarie. Nel grafico originale della derivata siamo interessati principalmente agli zeri della funzione, quindi lasceremo solo loro.
2. Segna i segni della derivata negli intervalli tra gli zeri. Dove f’(x) ≥ 0, la funzione aumenta e dove f’(x) ≤ 0, diminuisce. Se il problema pone delle restrizioni sulla variabile x, le contrassegniamo inoltre su un nuovo grafico.
3. Ora che conosciamo il comportamento della funzione e i vincoli, resta da calcolare la quantità richiesta nel problema.

Compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sull'intervallo [−3; 7.5]. Trovare gli intervalli di decrescita della funzione f(x). Nella tua risposta, indica la somma dei numeri interi compresi in questi intervalli.

Come al solito, ridisegniamo il grafico e segniamo i confini [−3; 7.5], così come gli zeri della derivata x = −1.5 ex = 5.3. Poi notiamo i segni della derivata. Abbiamo:

Poiché la derivata è negativa sull'intervallo (− 1,5), questo è l'intervallo di funzione decrescente. Resta da sommare tutti i numeri interi che si trovano all'interno di questo intervallo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sull'intervallo [−10; 4]. Trovare gli intervalli della funzione crescente f(x). Nella tua risposta, indica la lunghezza del più grande di essi.

Liberiamoci delle informazioni non necessarie. Lasciamo solo i confini [−10; 4] e zeri della derivata, di cui questa volta erano quattro: x = −8, x = −6, x = −3 e x = 2. Segniamo i segni della derivata e otteniamo la seguente immagine:

Siamo interessati agli intervalli di funzione crescente, cioè tale dove f’(x) ≥ 0. Ci sono due di questi intervalli sul grafico: (−8; −6) e (−3; 2). Calcoliamo la loro lunghezza:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Poiché dobbiamo trovare la lunghezza dell'intervallo più grande, scriviamo come risposta il valore l 2 = 5.

Mostrare la connessione tra il segno della derivata e la natura della monotonicità della funzione.

Si prega di prestare la massima attenzione a quanto segue. Guarda, il programma di COSA ti viene dato! Funzione o sua derivata

Se viene fornito un grafico della derivata, allora saremo interessati solo ai segni e agli zeri della funzione. In linea di principio non siamo interessati a nessuna "collina" o "cavità"!

Compito 1.

La figura mostra un grafico di una funzione definita sull'intervallo. Determina il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è negativa.

Soluzione:

Nella figura sono evidenziate a colori le aree di funzione decrescente:

Queste regioni decrescenti della funzione contengono 4 valori interi.

Compito 2.

La figura mostra un grafico di una funzione definita sull'intervallo. Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela o coincide con la retta.

Soluzione:

Una volta che la tangente al grafico di una funzione è parallela (o coincide) con una retta (o, che è la stessa cosa), avendo pendenza , pari a zero, allora la tangente ha coefficiente angolare .

Ciò a sua volta significa che la tangente è parallela all'asse, poiché la pendenza è la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente all'asse.

Pertanto, troviamo i punti estremi (punti massimo e minimo) sul grafico: è in questi punti che le funzioni tangenti al grafico saranno parallele all'asse.

Ci sono 4 di questi punti.

Compito 3.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita sull'intervallo. Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela o coincide con la retta.

Soluzione:

Poiché la tangente al grafico di una funzione è parallela (o coincide) con una linea che ha una pendenza, anche la tangente ha una pendenza.

Ciò a sua volta significa che nei punti di contatto.

Pertanto, guardiamo quanti punti sul grafico hanno un'ordinata uguale a .

Come puoi vedere, ci sono quattro punti di questo tipo.

Compito 4.

La figura mostra un grafico di una funzione definita sull'intervallo. Trova il numero di punti in cui la derivata della funzione è 0.

Soluzione:

La derivata è uguale a zero nei punti estremi. Ne abbiamo 4:

Compito 5.

La figura mostra un grafico di una funzione e undici punti sull'asse x:. In quanti di questi punti la derivata della funzione è negativa?

Soluzione:

Su intervalli di funzione decrescente assume la sua derivata valori negativi. E la funzione diminuisce in alcuni punti. Ci sono 4 di questi punti.

Compito 6.

La figura mostra un grafico di una funzione definita sull'intervallo. Trova la somma dei punti estremi della funzione.

Soluzione:

Punti estremi– questi sono i punti massimi (-3, -1, 1) e minimi (-2, 0, 3).

Somma dei punti estremi: -3-1+1-2+0+3=-2.

Compito 7.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita sull'intervallo. Trova gli intervalli di incremento della funzione. Nella risposta indica la somma dei punti interi compresi in questi intervalli.

Soluzione:

La figura evidenzia gli intervalli in cui la derivata della funzione è non negativa.

Non ci sono punti interi sull'intervallo crescente piccolo; sull'intervallo crescente ci sono quattro valori interi: , , e .

La loro somma:

Compito 8.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita sull'intervallo. Trova gli intervalli di incremento della funzione. Nella tua risposta, indica la lunghezza del più grande di essi.

Soluzione:

Nella figura tutti gli intervalli su cui la derivata è positiva sono evidenziati a colori, il che significa che su questi intervalli la funzione stessa aumenta.

La lunghezza del più grande è 6.

Compito 9.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita sull'intervallo. In quale punto del segmento assume il maggior valore?

Soluzione:

Vediamo come si comporta il grafico sul segmento, che è quello che ci interessa solo il segno della derivata .

Il segno della derivata è meno, poiché il grafico su questo segmento è sotto l'asse.

La retta y=3x+2 è tangente al grafico della funzione y=-12x^2+bx-10.

Trova b, dato che l'ascissa del punto tangente è minore di zero.

Mostra soluzione

Soluzione

Sia x_0 l'ascissa del punto sul grafico della funzione y=-12x^2+bx-10 attraverso il quale passa la tangente a questo grafico. Il valore della derivata nel punto x_0 è uguale alla pendenza della tangente, cioè y"(x_0)=-24x_0+b=3. D'altra parte il punto di tangenza appartiene contemporaneamente sia al grafico della funzione e la tangente, cioè -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Otteniamo un sistema di equazioni

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(casi)

Risolvendo questo sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 o x_0=1.

Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di tangenza sono minori di zero, quindi x_0=-1, quindi b=3+24x_0=-21.

Risposta

Trova b, dato che l'ascissa del punto tangente è minore di zero.

Mostra soluzione

Condizione La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) (che è una linea spezzata composta da tre segmenti retti). Utilizzando la figura, calcola F(9)-F(5), dove F(x) è una delle derivative della funzione f(x). Secondo la formula di Newton-Leibniz, la differenza F(9)-F(5), dove F(x) è una delle antiderivative della funzione f(x), è uguale all'area del trapezio curvilineo limitata dal grafico della funzione y=f(x), rette y=0 , x=9 e x=5.

Secondo il programma, determiniamo che quanto indicato trapezio curvo

Risolvendo questo sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 o x_0=1.

è un trapezio con basi uguali a 4 e 3 e altezza 3.

Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di tangenza sono minori di zero, quindi x_0=-1, quindi b=3+24x_0=-21.

La sua area è uguale

Trova b, dato che l'ascissa del punto tangente è minore di zero.

Mostra soluzione

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Risolvendo questo sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 o x_0=1.

è un trapezio con basi uguali a 4 e 3 e altezza 3.

Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di tangenza sono minori di zero, quindi x_0=-1, quindi b=3+24x_0=-21.

La figura mostra un grafico di y=f"(x) - la derivata della funzione f(x), definita sull'intervallo (-4; 10). Trova gli intervalli della funzione decrescente f(x). Nella tua risposta, indicare la lunghezza del più grande di essi.

Trova b, dato che l'ascissa del punto tangente è minore di zero.

Mostra soluzione

Il grafico mostra che la derivata f"(x) della funzione f(x) cambia segno da più a meno (in tali punti ci sarà un massimo) esattamente in un punto (tra -5 e -4) dall'intervallo [ -6; -2 ] Pertanto c'è esattamente un punto massimo nell'intervallo [-6;

Risolvendo questo sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 o x_0=1.

è un trapezio con basi uguali a 4 e 3 e altezza 3.

Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di tangenza sono minori di zero, quindi x_0=-1, quindi b=3+24x_0=-21.

La figura mostra un grafico della funzione y=f(x), definita sull'intervallo (-2; 8).

Trova b, dato che l'ascissa del punto tangente è minore di zero.

Mostra soluzione

Determina il numero di punti in cui la derivata della funzione f(x) è uguale a 0.

Risolvendo questo sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 o x_0=1.

è un trapezio con basi uguali a 4 e 3 e altezza 3.

Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di tangenza sono minori di zero, quindi x_0=-1, quindi b=3+24x_0=-21.

L'uguaglianza della derivata in un punto a zero significa che la tangente al grafico della funzione disegnata in questo punto è parallela all'asse Ox.

Trova b, dato che l'ascissa del punto tangente è minore di zero.

Mostra soluzione

Troviamo quindi dei punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela all'asse Ox.

Su questo grafico, tali punti sono punti estremi (punti massimi o minimi). Come puoi vedere, ci sono 5 punti estremi.

Risolvendo questo sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 o x_0=1.

è un trapezio con basi uguali a 4 e 3 e altezza 3.

Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di tangenza sono minori di zero, quindi x_0=-1, quindi b=3+24x_0=-21.

La retta y=-3x+4 è parallela alla tangente al grafico della funzione y=-x^2+5x-7.

Trova l'ascissa del punto tangente.Il coefficiente angolare della linea retta al grafico della funzione y=-x^2+5x-7 in un punto arbitrario x_0 è uguale a y"(x_0). Ma y"=-2x+5, che significa y" (x_0)=-2x_0+5. Angolare il coefficiente della linea y=-3x+4 specificato nella condizione è uguale a -3. Le linee parallele hanno gli stessi coefficienti angolari Pertanto, troviamo un valore di x_0 tale che = -2x_0 +5=-3.

1. Otteniamo: x_0 = 4. La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e sull'ascissa sono segnati i punti -6, -1, 1, 4. In quale di questi punti la derivata è più piccola? Per favore indica questo punto nella tua risposta.

2.

B8

3.

. Esame di Stato Unificato

La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e una tangente a questo grafico disegnata nel punto con l'ascissa x0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

4.

Risposta: 2 Risposta: -5

5. Nell'intervallo (–9;4). Risposta:2

6.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0 Risposta: 0,5

7.

La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e sull'ascissa sono segnati i punti -6, -1, 1, 4. In quale di questi punti la derivata è più piccola? Per favore indica questo punto nella tua risposta.

8.

Trova il punto di tangenza della retta y = 3x + 8 e il grafico della funzione y = x3+x2-5x-4. Nella risposta, indica l'ascissa di questo punto. Risposta: -2

9.

Determina il numero di valori interi dell'argomento per i quali la derivata della funzione f(x) è negativa.

Risposta: 4 La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e sull'ascissa sono segnati i punti -6, -1, 1, 4. In quale di questi punti la derivata è più piccola? Per favore indica questo punto nella tua risposta.

10.

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y=5–x.

11

Risposta: 3

12. Intervallo (-8; 3).

Retta y = -20. Risposta: -5

13. Intervallo (-8; 3).

Retta y = -20. Risposta: -0,5

14.

Risposta 1 Risposta: 0,5

15

Retta y = -20. Risposta:2

16.

La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0. Risposta: -0,25

17

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y = x+7.

Trovare il numero dei punti estremi della funzione f(x) sul segmento [-9;7]. Risposta: 4

18. La retta y = 5x-7 tocca il grafico della funzione y = 6x2 + bx-1 in un punto con ascissa minore di 0. Trova b. Risposta: 17

19

Risposta:-0,25

20

Risposta: 6

21. Trova la tangente al grafico della funzione y=x2+6x-7, parallela alla retta y=5x+11. Nella risposta indica l'ascissa del punto di tangenza. Risposta: -0,5

22.

Risposta: 4

23. F "(x) sull'intervallo (-16;4).

Sul segmento [-11;0] trovare il numero di punti massimi della funzione. Risposta: 1

Trova l'ascissa del punto tangente. Grafici di funzioni, derivate di funzioni. Ricerca funzionale . Esame di Stato Unificato

1. La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e una tangente a questo grafico disegnata nel punto con l'ascissa x0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

2. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x), definita sull'intervallo (-6; 5).

In quale punto del segmento [-5; -1] f(x) assume il valore più piccolo?

3. La figura mostra un grafico della derivata della funzione y = f(x), definita

. Esame di Stato Unificato

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela alla retta

y = 2x-17 o coincide con esso.

4. La figura mostra il grafico della funzione y = f(x) e la tangente ad essa nel punto con ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0

5. Trova il punto di tangenza della retta y = 3x + 8 e il grafico della funzione y = x3+x2-5x-4. Nella risposta, indica l'ascissa di questo punto.

6. La figura mostra un grafico della funzione y = f(x), definita sull'intervallo (-7; 5).

Determina il numero di valori interi dell'argomento per i quali la derivata della funzione f(x) è negativa.

7. La figura mostra un grafico della funzione y=f "(x), definita sull'intervallo (-8; 8).

Trovare il numero di punti estremi della funzione f(x) appartenenti al segmento [-4; 6].

8. La figura mostra un grafico della funzione y = f "(x), definita sull'intervallo (-8; 4).

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela alla retta y=5–x o coincide con essa.

9. La figura mostra un grafico della derivata della funzione y = f(x), definita su

Determina il numero di valori interi dell'argomento per i quali la derivata della funzione f(x) è negativa.

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela

Retta y = -20.

10. Intervallo (-8; 3).

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

11 . La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x), definita sull'intervallo (-9;9).

Trovare il numero di punti minimi della funzione $f(x)$ sul segmento [-6;8]. 1

12. Intervallo (-8; 3).

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

13. Intervallo (-8; 3).

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

14. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x), definita sull'intervallo (-6;8).

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y = x+7.

15 . La figura mostra il grafico della funzione y = f(x) e la tangente ad essa nel punto con ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

16. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x), definita su

La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con ascissa x0.

Trovare il numero di punti massimi della funzione f(x) sul segmento [-12;7].

17 . La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x), definita

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y = x+7.

Trovare il numero dei punti estremi della funzione f(x) sul segmento [-9;7].

18. La retta y = 5x-7 tocca il grafico della funzione y = 6x2 + bx-1 in un punto con ascissa minore di 0. Trova b.

19 . La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) e della tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

20 . Trova il numero di punti sull'intervallo (-1;12) in cui la derivata della funzione y = f(x) mostrata sul grafico è uguale a 0.

21. Trova la tangente al grafico della funzione y=x2+6x-7, parallela alla retta y=5x+11. Nella risposta indica l'ascissa del punto di tangenza.

22. La figura mostra un grafico della funzione y=f(x). Trova il numero di punti interi nell'intervallo (-2;11) in cui la derivata della funzione f(x) è positiva.

23. La figura mostra il grafico della funzione y= F "(x) sull'intervallo (-16;4).

Sul segmento [-11;0] trovare il numero di punti massimi della funzione.