Proiezione cartografica cilindrica. Proiezioni e distorsioni cartografiche

L'uso dei risultati del lavoro topografico e geodetico è notevolmente semplificato se questi risultati sono correlati al più semplice: un sistema di coordinate rettangolare su un piano. In un tale sistema di coordinate, molti problemi geodetici su piccole aree di terreno e su mappe vengono risolti applicando semplici formule di geometria analitica su un piano. La legge dell'immagine di una superficie su un'altra si chiama proiezione. Le proiezioni cartografiche si basano sulla formazione di una visualizzazione specifica dei paralleli di latitudine e dei meridiani di longitudine dell'ellissoide su una superficie livellata o spiegata. In geometria, come è noto, le superfici sviluppabili più semplici sono un piano, un cilindro e un cono. Ciò ha definito tre famiglie di proiezioni cartografiche: azimutale, cilindrico e conico . Indipendentemente dal tipo di trasformazione scelto, qualsiasi mappatura di una superficie curva su un piano comporta errori e distorsioni. Per le proiezioni geodetiche si preferiscono proiezioni che garantiscano un lento aumento delle distorsioni degli elementi delle costruzioni geodetiche con un graduale aumento dell'area del territorio proiettato. Particolarmente importante è il requisito che la proiezione garantisca elevata precisione e facilità di contabilizzazione di queste distorsioni, utilizzando le formule più semplici. Gli errori nelle trasformazioni di proiezione sorgono in base alla precisione di quattro caratteristiche:

equiangolarità: la verità della forma di qualsiasi oggetto;

pari area – uguaglianza delle aree;

equidistanza: la verità della misurazione della distanza;

verità delle indicazioni.

Nessuna delle proiezioni cartografiche può fornire una visualizzazione accurata sull'aereo di tutte le caratteristiche elencate.

Per natura della distorsione le proiezioni cartografiche si dividono in equiangolari, di uguale area e arbitrarie (in casi particolari equidistanti).

Equiangolo (conforme) ) le proiezioni sono quelle in cui non ci sono distorsioni negli angoli e negli azimut degli elementi lineari. Queste proiezioni preservano gli angoli senza distorsioni (ad esempio, l'angolo tra nord ed est dovrebbe essere sempre dritto) e le forme di piccoli oggetti, ma le loro lunghezze e aree sono nettamente deformate. Va notato che il mantenimento degli angoli per grandi aree è difficile da ottenere e può essere ottenuto solo in piccole aree.

Uguali dimensioni (area uguale) le proiezioni sono proiezioni in cui le aree delle aree corrispondenti sulla superficie degli ellissoidi e sul piano sono identicamente uguali (proporzionali). In queste proiezioni, gli angoli e le forme degli oggetti sono distorti.

gratuito proiezioni hanno distorsioni di angoli, aree e lunghezze, ma queste distorsioni sono distribuite sulla mappa in modo tale che siano minime nella parte centrale e aumentino alla periferia. Un caso speciale di proiezioni arbitrarie sono equidistante (equidistante), in cui non ci sono distorsioni di lunghezza in una delle direzioni: lungo il meridiano o lungo il parallelo.

Equidistante sono chiamate proiezioni che preservano la lunghezza lungo una delle direzioni principali. Di norma si tratta di proiezioni con una griglia cartografica ortogonale. In questi casi le direzioni principali sono lungo i meridiani e i paralleli. Di conseguenza, vengono determinate proiezioni equidistanti lungo una delle direzioni. Il secondo modo per costruire tali proiezioni è mantenere un fattore di scala unitario lungo tutte le direzioni da uno o due punti. Le distanze misurate da tali punti corrisponderanno esattamente a quelle reali, ma per tutti gli altri punti questa regola non si applica. Quando si sceglie questo tipo di proiezione, la scelta dei punti è molto importante. In genere, viene data preferenza ai punti da cui viene effettuato il maggior numero di misurazioni.

a) conico
b) cilindrico
c) azimutale

Figura 11. Classi di proiezioni per metodo di costruzione

Azimut uguale proiezioni più spesso utilizzato nella navigazione, ad es. quando l'interesse maggiore è mantenere le indicazioni stradali. Similmente alla proiezione di uguale area, le direzioni reali possono essere preservate solo per uno o due punti specifici. Le linee rette tracciate solo da questi punti corrisponderanno alle direzioni vere.

Per metodo di costruzione(dispiegamento di una superficie su un piano) esistono tre grandi classi di proiezioni: conico (a), cilindrico (b) e azimutale (c).

Proiezioni coniche si formano in base alla proiezione della superficie terrestre sulla superficie laterale di un cono, orientato in un certo modo rispetto all'ellissoide. Nelle proiezioni coniche dirette, gli assi del globo e del cono coincidono e viene selezionato un cono secante o tangente. Dopo la progettazione, la superficie laterale del cono viene tagliata lungo una delle generatrici e dispiegata in un piano. A seconda della dimensione dell'area raffigurata nelle proiezioni coniche, vengono adottati uno o due paralleli, lungo i quali le lunghezze vengono mantenute senza distorsioni. Un parallelo (tangente) viene adottato per una latitudine breve; due paralleli (secante) per un'ampia estensione per ridurre le deviazioni delle scale dall'unità. Tali paralleli sono chiamati standard. Una caratteristica speciale delle proiezioni coniche è che le loro linee centrali coincidono con i paralleli medi. Di conseguenza, le proiezioni coniche sono convenienti per rappresentare territori situati a medie latitudini e significativamente allungati in longitudine. Ecco perché in queste proiezioni vengono disegnate molte mappe dell’ex Unione Sovietica.

Proiezioni cilindriche si formano sulla base della proiezione della superficie terrestre sulla superficie laterale di un cilindro, orientato in un certo modo rispetto all'ellissoide terrestre. Nelle proiezioni cilindriche diritte, paralleli e meridiani sono rappresentati da due famiglie di linee rette parallele perpendicolari tra loro. Pertanto, viene specificata una griglia rettangolare di proiezioni cilindriche. Le proiezioni cilindriche possono essere considerate come un caso speciale di quelle coniche, quando il vertice del cono è all'infinito ( = 0). Esistono diversi modi per formare proiezioni cilindriche. Il cilindro può essere tangente o secante all'ellissoide. Nel caso di utilizzo di un cilindro tangente, la precisione della misurazione della lunghezza viene mantenuta lungo l'equatore. Se viene utilizzato un cilindro secante, lungo due paralleli standard, simmetrici rispetto all'equatore. Vengono utilizzate proiezioni cilindriche diritte, oblique e trasversali, a seconda della posizione dell'area ripresa. Le proiezioni cilindriche vengono utilizzate quando si disegnano mappe di piccola e grande scala.

Proiezioni azimutali si formano proiettando la superficie terrestre su un certo piano, orientato in un certo modo rispetto all'ellissoide. In essi, i paralleli sono raffigurati come cerchi concentrici e i meridiani come un insieme di linee rette che partono dal centro del cerchio. Gli angoli tra i meridiani delle proiezioni sono uguali alle corrispondenti differenze di longitudine. Gli spazi tra i paralleli sono determinati dalla natura accettata dell'immagine (equiangolare o altro). La griglia di proiezione normale è ortogonale. Le proiezioni azimutali possono essere considerate come un caso speciale di proiezioni coniche, in cui =1.

Vengono utilizzate proiezioni azimutali dirette, oblique e trasversali, determinate dalla latitudine del punto centrale della proiezione, la cui scelta, a sua volta, dipende dalla posizione del territorio. A seconda della distorsione, le proiezioni azimutali sono divise in equiangolari, di uguale area e con proprietà intermedie.

Esiste un'ampia varietà di proiezioni: pseudocilindrica, policonica, pseudoazimutale e altre. La possibilità di una soluzione ottimale dei compiti dipende dalla scelta corretta della proiezione cartografica. La scelta delle proiezioni è determinata da molti fattori, che possono essere grossomodo raggruppati in tre gruppi.

Il primo gruppo di fattori caratterizza l'oggetto della mappatura dal punto di vista della posizione geografica del territorio studiato, delle sue dimensioni, configurazione e significato delle sue singole parti.

Il secondo gruppo comprende fattori caratterizzati dalla mappa in fase di creazione. Questo gruppo include il contenuto e lo scopo della mappa nel suo insieme, i metodi e le condizioni per il suo utilizzo nella risoluzione dei problemi GIS e i requisiti per l'accuratezza della loro soluzione.

Il terzo gruppo comprende fattori che caratterizzano la proiezione cartografica risultante. Questa è una condizione per garantire un minimo di distorsioni, i valori massimi consentiti delle distorsioni, la natura della loro distribuzione, la curvatura dell'immagine dei meridiani e dei paralleli.

Si propone che la scelta delle proiezioni cartografiche venga effettuata in due fasi.

Nella prima fase viene stabilita una serie di proiezioni tenendo conto dei fattori del primo e del secondo gruppo. In questo caso è necessario che le linee centrali o punti di proiezione, in prossimità dei quali le scale cambiano poco, si trovino al centro del territorio studiato, e le linee centrali coincidano, se possibile, con la direzione di maggiore distribuzione dei questi territori. Nella seconda fase, viene determinata la proiezione desiderata.

Consideriamo la scelta di diverse proiezioni a seconda dell'ubicazione dell'area di studio. Le proiezioni azimutali vengono scelte, di regola, per rappresentare i territori delle regioni polari. Le proiezioni cilindriche sono preferibili per le aree situate vicine e simmetriche rispetto all'equatore e allungate in longitudine. Le proiezioni coniche dovrebbero essere utilizzate per le stesse aree, ma non simmetriche rispetto all'equatore o situate alle medie latitudini.

Per tutte le proiezioni della popolazione selezionata, le scale parziali e le distorsioni vengono calcolate utilizzando formule cartografiche matematiche. Si dovrebbe, naturalmente, dare la preferenza alla proiezione che presenta la minore distorsione, una forma più semplice di griglia cartografica e, a parità di condizioni, un apparato matematico di proiezione più semplice. Quando si considera l'utilizzo di proiezioni ad area uguale, è necessario considerare la dimensione dell'area di interesse e la quantità e la distribuzione della distorsione angolare. Piccole aree appaiono con una distorsione angolare molto inferiore quando si utilizzano proiezioni ad area uguale, il che può essere utile quando l'area e le forme degli oggetti sono importanti. Nel caso in cui venga risolto il problema della determinazione delle distanze più brevi, è meglio utilizzare proiezioni che non distorcano le direzioni. La selezione di una proiezione è uno dei processi principali nella creazione di un GIS.

Quando si risolvono i problemi di mappatura nell'uso del sottosuolo in Russia, vengono spesso utilizzate le due proiezioni descritte di seguito.

Proiezione policonica semplice modificata usato come multiforme, cioè Ogni foglio è definito nella propria versione della proiezione.

Figura 12. Nomenclatura trapezi di fogli in scala 1:200000 in proiezione policonica

Le caratteristiche della proiezione policonica semplice modificata e la distribuzione delle distorsioni all'interno dei singoli fogli su scala milioni sono le seguenti:

tutti i meridiani sono rappresentati come linee rette, non ci sono distorsioni di lunghezze sui paralleli estremi e sui meridiani situati a ±2º dalla media,

i paralleli estremi di ogni foglio (nord e sud) sono archi di cerchio, i centri di questi paralleli si trovano sul meridiano medio, la loro lunghezza non è distorta, i paralleli medi sono determinati dalla divisione proporzionale della latitudine lungo i meridiani rettilinei,

La superficie terrestre, considerata come la superficie di un ellissoide, è divisa in trapezi da linee di meridiani e paralleli. I trapezi sono raffigurati su fogli separati nella stessa proiezione (per una mappa in scala 1: 1.000.000 in una policonica semplice modificata). I fogli della Mappa del Mondo Internazionale, scala 1: 1.000.000, hanno determinate dimensioni di trapezi: 4 gradi lungo i meridiani, 6 gradi lungo i paralleli; ad una latitudine da 60 a 76 gradi i teli sono raddoppiati, hanno dimensione parallela di 12; sopra i 76 gradi vengono combinati quattro fogli e la loro dimensione parallela è di 24 gradi.

L'uso della proiezione come poliedrica è inevitabilmente associato all'introduzione della nomenclatura, ad es. sistemi per la designazione dei singoli fogli. Per una mappa su milioni di scale, è accettata la designazione dei trapezi lungo le zone di latitudine, dove nella direzione dall'equatore ai poli la designazione viene effettuata in lettere dell'alfabeto latino (A, B, C, ecc.) E lungo le colonne in numeri arabi, che si contano a partire dal meridiano di longitudine 180 (secondo Greenwich) in senso antiorario. Il foglio su cui si trova la città di Ekaterinburg, ad esempio, ha la nomenclatura O-41.

Figura 13. Divisione nomenclatura del territorio della Russia

Il vantaggio di una proiezione policonica semplice modificata, applicata come poliedrica, è la piccola quantità di distorsione. L'analisi all'interno del foglio cartografico ha evidenziato che le distorsioni in lunghezza non superano lo 0,10%, l'area 0,15%, gli angoli 5´ e sono praticamente impercettibili. Lo svantaggio di questa proiezione è la comparsa di spazi vuoti quando si collegano i fogli lungo i meridiani e i paralleli.

Proiezione pseudocilindrica conforme (conforme) di Gauss-Kruger. Per utilizzare tale proiezione, la superficie dell'ellissoide terrestre viene divisa in zone racchiuse tra due meridiani con una differenza di longitudine di 6 o 3 gradi. Meridiani e paralleli sono rappresentati come curve, simmetriche rispetto al meridiano assiale della zona e all'equatore. I meridiani assiali delle zone di sei gradi coincidono con i meridiani centrali dei fogli cartografici in scala 1: 1.000.000. Il numero di serie è determinato dalla formula

dove N è il numero di colonna del foglio di mappa in scala 1: 1.000.000.

D I valori dei meridiani assiali delle zone di sei gradi sono determinati dalla formula

L 0 = 6n – 3, dove n è il numero della zona.

Le coordinate rettangolari xey all'interno della zona vengono calcolate rispetto all'equatore e al meridiano centrale, che sono rappresentati come linee rette

Figura 14. Proiezione pseudocilindrica conforme di Gauss-Kruger

Nel territorio dell'ex Unione Sovietica le ascisse delle coordinate Gauss-Kruger sono positive; le ordinate sono positive ad est, negative ad ovest del meridiano assiale. Per evitare valori di ordinata negativi, ai punti del meridiano assiale viene convenzionalmente attribuito il valore y = 500.000 m con l'indicazione obbligatoria del numero di zona corrispondente davanti. Ad esempio, se un punto si trova nella zona numero 11, 25.075 m a est del meridiano assiale, allora il valore della sua ordinata si scrive come segue: y = 11.525.075 m: se il punto si trova a ovest del meridiano assiale di questa zona alla stessa distanza, allora y = 11.474.925 m.

In una proiezione conforme, gli angoli dei triangoli di triangolazione non sono distorti, cioè rimangono gli stessi che sulla superficie dell'ellissoide terrestre. La scala dell'immagine degli elementi lineari sul piano è costante in un dato punto e non dipende dall'azimut di questi elementi: le distorsioni lineari sul meridiano assiale sono nulle e aumentano gradualmente con la distanza da esso: al bordo dei sei -grado raggiungono il loro valore massimo.

Nei paesi dell'emisfero occidentale, la proiezione Universal Transverse Mercator (UTM) viene utilizzata per compilare mappe topografiche in zone di sei gradi. Questa proiezione è vicina nelle sue proprietà e nella distribuzione delle distorsioni alla proiezione di Gauss-Kruger, ma sul meridiano assiale di ciascuna zona la scala è m=0,9996, non unità. La proiezione UTM si ottiene mediante doppia proiezione: un ellissoide su una palla e poi una palla su un piano nella proiezione di Mercatore.

Figura 15. Conversione delle coordinate nei sistemi informativi geografici

La presenza di software in GIS che esegue trasformazioni di proiezione facilita il trasferimento dei dati da una proiezione all'altra. Ciò potrebbe essere necessario se i dati di origine ricevuti esistono in una proiezione che non coincide con quella selezionata nel progetto o se è necessario modificare la proiezione dei dati del progetto per risolvere un problema specifico. La transizione da una proiezione all'altra è chiamata trasformazioni di proiezione. È possibile tradurre le coordinate dei dati digitali originariamente immessi nelle coordinate convenzionali del digitalizzatore o del substrato raster utilizzando trasformazioni piane.

Ogni oggetto spaziale, oltre al riferimento spaziale, ha un'essenza significativa e nel prossimo capitolo considereremo le possibilità di descriverlo.

Data di: 24.10.2015

Proiezione della mappa- un metodo matematico per rappresentare il globo (ellissoide) su un piano.

Per proiettare una superficie sferica su un piano utilizzo superfici ausiliarie.

Per apparenza Le proiezioni ausiliarie della superficie cartografica si dividono in:

Cilindrico 1(la superficie ausiliaria è la superficie laterale del cilindro), conico 2(superficie laterale del cono), azimut 3(l'aereo chiamato piano dell'immagine).

Anche distinto policonico

condizionale pseudocilindrico

e altre proiezioni.

Per orientamento le proiezioni delle figure ausiliarie si dividono in:

• normale(in cui l'asse del cilindro o del cono coincide con l'asse del modello terrestre e il piano dell'immagine è ad esso perpendicolare);
• trasversale(in cui l'asse del cilindro o del cono è perpendicolare all'asse del modello terrestre e il piano dell'immagine è parallelo ad esso);
• obliquo, dove l'asse della figura ausiliaria si trova in una posizione intermedia tra il polo e l'equatore.

Distorsioni cartografiche- questa è una violazione delle proprietà geometriche degli oggetti sulla superficie terrestre (lunghezze di linee, angoli, forme e aree) quando sono rappresentati su una mappa.

Quanto più piccola è la scala della mappa, tanto più significativa è la distorsione. Nelle mappe su larga scala la distorsione è trascurabile.

Esistono quattro tipi di distorsioni sulle mappe: lunghezze, le zone, angoli E forme oggetti. Ogni proiezione ha le sue distorsioni.

In base alla natura della distorsione, le proiezioni cartografiche si dividono in:

• equiangolo, che memorizzano gli angoli e le forme degli oggetti, ma distorcono lunghezze e aree;

• di dimensioni uguali, in cui le aree vengono memorizzate, ma gli angoli e le forme degli oggetti vengono modificati in modo significativo;

• arbitrario, in cui lunghezze, aree e angoli sono distorti, ma sono distribuiti uniformemente sulla mappa. Tra questi si distinguono soprattutto le proiezioni di allineamento, in cui non ci sono distorsioni di lunghezze né lungo i paralleli né lungo i meridiani.

Linee e punti a distorsione zero- linee lungo le quali e punti in cui non ci sono distorsioni, poiché qui, quando si proietta una superficie sferica su un piano, la superficie ausiliaria (cilindro, cono o piano dell'immagine) era tangenti alla palla.

Scala indicato sulle mappe, conservato solo sulle linee e nei punti di distorsione zero. Si chiama quello principale.

In tutte le altre parti della mappa la scala differisce da quella principale e viene detta parziale. Per determinarlo sono necessari calcoli speciali.

Per determinare la natura e l'entità delle distorsioni sulla mappa, è necessario confrontare la griglia dei gradi della mappa e del globo.

Sul globo tutti paralleli sono alla stessa distanza l'uno dall'altro, Tutto i meridiani sono uguali tra loro e si intersecano con i paralleli ad angolo retto. Pertanto, tutte le celle della griglia dei gradi tra paralleli adiacenti hanno la stessa dimensione e forma, e le celle tra i meridiani si espandono e aumentano dai poli all'equatore.

Per determinare l'entità della distorsione, vengono analizzate anche le ellissi di distorsione: figure ellissoidali formate a seguito della distorsione in una certa proiezione di cerchi disegnati su un globo della stessa scala della mappa.

In proiezione conforme Le ellissi di distorsione hanno la forma di un cerchio, la cui dimensione aumenta in base alla distanza dai punti e dalle linee di distorsione zero.

In proiezione di uguale area Le ellissi di distorsione hanno la forma di ellissi le cui aree sono le stesse (la lunghezza di un asse aumenta e quella del secondo diminuisce).

In proiezione equidistante Le ellissi di distorsione hanno la forma di ellissi con la stessa lunghezza di uno degli assi.

I principali segni di distorsione sulla mappa

1. Se le distanze tra i paralleli sono le stesse, ciò indica che le distanze lungo i meridiani (equidistanti lungo i meridiani) non sono distorte.
2. Le distanze non vengono distorte dai paralleli se i raggi dei paralleli sulla mappa corrispondono ai raggi dei paralleli sul globo.
3. Le aree non vengono distorte se le celle create dai meridiani e dai paralleli all'equatore sono quadrati e le loro diagonali si intersecano ad angolo retto.
4. Le lunghezze lungo i paralleli sono distorte se le lunghezze lungo i meridiani non sono distorte.
   
5. Le lunghezze lungo i meridiani sono distorte se le lunghezze lungo i paralleli non sono distorte.

La natura delle distorsioni nei principali gruppi di proiezioni cartografiche

Proiezioni cartografiche	Distorsioni
Conforme	Preservano gli angoli e distorcono le aree e le lunghezze delle linee.
Uguale dimensione	Preservano le aree e distorcono angoli e forme.
Equidistante	In una direzione hanno una scala di lunghezza costante, le distorsioni degli angoli e delle aree sono in equilibrio.
gratuito	Distorcono angoli e aree.
Cilindrico	Non ci sono distorsioni lungo la linea dell'equatore, ma aumentano man mano che ci si avvicina ai poli.
Conico	Non ci sono distorsioni lungo il parallelo di contatto tra cono e globo.
Azimutale	Non ci sono distorsioni nella parte centrale della mappa.

Proiezioni cartografiche

mappatura dell'intera superficie dell'ellissoide terrestre (vedi ellissoide terrestre) o di qualsiasi parte di esso su un piano, ottenuta principalmente allo scopo di costruire una mappa.

Scala. Le stazioni di controllo sono costruite su una certa scala. Ridurre mentalmente l'ellissoide terrestre in M volte, ad esempio 10.000.000 di volte, otteniamo il suo modello geometrico: il globo, la cui immagine a grandezza naturale su un piano fornisce una mappa della superficie di questo ellissoide. Valore 1: M(nell'esempio 1: 10.000.000) determina la scala principale, o generale, della mappa. Poiché le superfici di un ellissoide e di una palla non possono essere sviluppate su un piano senza interruzioni e pieghe (non appartengono alla classe delle superfici sviluppabili (vedi superficie sviluppabile)), qualsiasi superficie di composizione è inerente a distorsioni nella lunghezza delle linee, angoli, ecc., caratteristici di qualsiasi mappa. La caratteristica principale di un sistema spaziale in ogni punto è la scala parziale μ. Questo è il reciproco del rapporto del segmento infinitesimo ds sull'ellissoide terrestre alla sua immagine dσ sul piano: μ min ≤ μ ≤ μ max, e l'uguaglianza qui è possibile solo in singoli punti o lungo alcune linee sulla mappa. Pertanto, la scala principale della mappa la caratterizza solo in termini generali, in una forma media. Atteggiamento µ/M chiamata scala relativa, o aumento di lunghezza, la differenza M = 1.

Informazioni generali. Teoria di K. p. - Cartografia matematica - Il suo obiettivo è studiare tutti i tipi di distorsioni nella mappatura della superficie dell'ellissoide terrestre su un piano e sviluppare metodi per costruire proiezioni in cui le distorsioni avrebbero i valori più piccoli (in ogni senso) o una distribuzione predeterminata.

In base alle esigenze della cartografia (Vedi Cartografia), nella teoria della cartografia vengono considerate le mappature della superficie dell'ellissoide terrestre su un piano. Poiché l'ellissoide terrestre ha una bassa compressione e la sua superficie si discosta leggermente dalla sfera, e anche perché gli elementi ellittici sono necessari per elaborare mappe su scala media e piccola ( M> 1.000.000), spesso si limitano a considerare mappature sul piano di una sfera di un certo raggio R, le cui deviazioni dall'ellissoide possono essere trascurate o prese in considerazione in qualche modo. Pertanto di seguito si intendono le mappature sul piano xOy sfera, riferita alle coordinate geografiche φ (latitudine) e λ (longitudine).

Le equazioni di qualsiasi QP hanno la forma

x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ), (1)

Dove F 1 e F 2 - funzioni che soddisfano alcune condizioni generali. Immagini dei meridiani λ = cost e paralleli φ = cost in una data mappa formano una griglia cartografica. K.p. può anche essere determinato da due equazioni in cui compaiono coordinate non rettangolari X,A aerei, ma qualsiasi altro. Alcune proiezioni [ad esempio, proiezioni prospettiche (in particolare, ortografiche, riso. 2 ) prospettico-cilindrico ( riso. 7 ) ecc.] possono essere determinati mediante costruzioni geometriche. Una proiezione è determinata anche dalla regola di costruzione della corrispondente griglia cartografica o dalle sue proprietà caratteristiche, da cui si possono ricavare equazioni della forma (1), che determinano completamente la proiezione.

Brevi notizie storiche. Lo sviluppo della teoria della cartografia, così come di tutta la cartografia, è strettamente correlato allo sviluppo della geodesia, dell'astronomia, della geografia e della matematica. Le basi scientifiche della cartografia furono gettate nell'antica Grecia (VI-I secolo aC). La proiezione gnomonica, utilizzata da Talete di Mileto per costruire mappe del cielo stellato, è considerata la più antica CG. Dopo la sua fondazione nel III sec. AVANTI CRISTO e. la forma sferica della Terra. C. cominciò ad essere inventata e utilizzata nella compilazione di carte geografiche (Ipparco, Tolomeo ecc.). Il significativo incremento della cartografia nel XVI secolo, causato dalle Grandi Scoperte Geografiche, portò alla creazione di una serie di nuove proiezioni; uno di essi, proposto da G. Mercatore, È ancora utilizzato oggi (vedi proiezione di Mercatore). Nei secoli XVII e XVIII, quando l'ampia organizzazione dei rilievi topografici cominciò a fornire materiale affidabile per la compilazione di mappe su un vasto territorio, furono sviluppate carte come base per carte topografiche (cartografo francese R. Bonn, J. D. Cassini), e sono stati condotti studi anche su singoli gruppi più importanti di campi quantistici (I. Lambert, L. Euler, J. Lagrange e così via.). Lo sviluppo della cartografia militare e l'ulteriore aumento del volume del lavoro topografico nel XIX secolo. richiedeva la fornitura di una base matematica per mappe su larga scala e l'introduzione di un sistema di coordinate rettangolari su una base più adatta per i calcoli geometrici. Ciò portò K. Gauss allo sviluppo di una proiezione geodetica fondamentale (vedi Proiezioni geodetiche). Infine, a metà del XIX secolo. A. Tissot (Francia) ha fornito una teoria generale delle distorsioni della PC. Lo sviluppo della teoria della PC in Russia è stato strettamente correlato alle esigenze della pratica e ha dato molti risultati originali (L. Euler, F. I. Schubert, P. L. Chebyshev, D. A. Grave, ecc.). Nelle opere dei cartografi sovietici V. V. Kavraisky (vedi Kavraisky), N. A. Urmaev e altri, furono sviluppati nuovi gruppi di mappe, le loro varianti individuali (fino allo stadio dell'uso pratico) e importanti questioni della teoria generale delle mappe. le loro classificazioni, ecc.

Teoria della distorsione. Le distorsioni in una regione infinitesimale attorno a qualsiasi punto di proiezione obbediscono a determinate leggi generali. In qualsiasi punto della mappa in una proiezione non conforme (vedi sotto), ci sono due direzioni reciprocamente perpendicolari, che corrispondono anche a direzioni reciprocamente perpendicolari sulla superficie visualizzata, queste sono le cosiddette direzioni di visualizzazione principali. Le scale in queste direzioni (scale principali) hanno valori estremi: μmax = a E μmin = b. Se in qualsiasi proiezione i meridiani e i paralleli sulla mappa si intersecano ad angolo retto, le loro direzioni sono le principali per questa proiezione. La distorsione della lunghezza in un dato punto di proiezione rappresenta visivamente un'ellisse di distorsione, simile e similmente posizionata all'immagine di un cerchio infinitesimale circoscritto attorno al punto corrispondente della superficie visualizzata. I semidiametri di questa ellisse sono numericamente uguali alle scale parziali in un dato punto nelle direzioni corrispondenti, i semiassi dell'ellisse sono uguali alle scale estreme, e le loro direzioni sono le principali.

La connessione tra gli elementi dell'ellisse di distorsione, le distorsioni della QP e le derivate parziali delle funzioni (1) è stabilita dalle formule base della teoria delle distorsioni.

Classificazione delle proiezioni cartografiche in base alla posizione del polo delle coordinate sferiche utilizzate. I poli della sfera sono punti speciali di coordinazione geografica, sebbene la sfera in questi punti non abbia alcuna caratteristica. Ciò significa che quando si mappano aree contenenti poli geografici, a volte è preferibile utilizzare non coordinate geografiche, ma altre in cui i poli risultano essere punti di coordinamento ordinari. Pertanto, sulla sfera vengono utilizzate le coordinate sferiche, le cui linee di coordinate, le cosiddette verticali (longitudine condizionale su di esse a = cost) e almucantarati (dove le distanze polari z = cost), simili ai meridiani e ai paralleli geografici, ma il loro polo Z0 non coincide con il polo geografico P0 (riso. 1 ). Transizione dalle coordinate geografiche φ , λ qualsiasi punto della sfera alle sue coordinate sferiche z, UN ad una data pole position Z 0 (φ 0 , λ 0) effettuata utilizzando le formule della trigonometria sferica. Qualsiasi QP dato dalle equazioni (1) è chiamato normale o diretto ( φ0 = π/2). Se la stessa proiezione di una sfera viene calcolata utilizzando le stesse formule (1), in cui invece di φ , λ apparire z, UN, allora questa proiezione è chiamata trasversale quando φ0 = 0, λ 0 e obliquo se 0 . L'uso di proiezioni oblique e trasversali porta ad una riduzione della distorsione. SU riso. 2 mostra le proiezioni ortografiche normale (a), trasversale (b) e obliqua (c) (vedi Proiezione ortografica) di una sfera (superficie di una palla).

Classificazione delle proiezioni cartografiche in base alla natura delle distorsioni. Nei punti equiangoli (conformi), la scala dipende solo dalla posizione del punto e non dipende dalla direzione. Le ellissi di distorsione degenerano in cerchi. Esempi - Proiezione di Mercatore, Proiezione stereografica.

Negli spazi di pari dimensione (equivalenti), le aree vengono preservate; più precisamente, le aree delle figure sulle mappe compilate in tali proiezioni sono proporzionali alle aree delle figure corrispondenti in natura, e il coefficiente di proporzionalità è il reciproco del quadrato della scala principale della mappa. Le ellissi di distorsione hanno sempre la stessa area, diversa per forma e orientamento.

I compositi arbitrari non sono né equiangoli né uguali in area. Di questi si distinguono quelli equidistanti, in cui una delle scale principali è uguale all'unità, e ortodromico, in cui i cerchi massimi della palla (ortodromi) sono raffigurati come rettilinei.

Quando si raffigura una sfera su un piano, le proprietà di equiangolarità, equilateralità, equidistanza e ortodromicità sono incompatibili. Per mostrare le distorsioni in diversi punti dell'area immagine, utilizzare: a) ellissi di distorsione costruite in diversi punti della griglia o dello schizzo della mappa ( riso. 3 ); b) isocole, cioè linee di uguale valore di distorsione (on riso. 8v vedere le isocol della massima distorsione degli angoli с e le isocol della scala dell'area R); c) immagini in alcuni punti della mappa di alcune linee sferiche, solitamente ortodromie (O) e lossodromie (L), vedi. riso. 3a ,3b e così via.

Classificazione delle proiezioni cartografiche normali in base al tipo di immagini di meridiani e paralleli, che è il risultato dello sviluppo storico della teoria della PC, abbraccia la maggior parte delle proiezioni conosciute. Conserva i nomi associati al metodo geometrico per ottenere le proiezioni, ma i gruppi in esame sono ora definiti analiticamente.

Proiezioni cilindriche ( riso. 3 ) - proiezioni in cui i meridiani sono rappresentati come linee parallele equidistanti, e i paralleli sono rappresentati come linee rette perpendicolari alle immagini dei meridiani. Utile per rappresentare territori che si estendono lungo l'equatore o eventuali paralleli. La navigazione utilizza la proiezione di Mercatore, una proiezione cilindrica conforme. La proiezione Gauss-Kruger è una proiezione cilindrica trasversale conforme, utilizzata nella compilazione di mappe topografiche e nell'elaborazione delle triangolazioni.

Proiezioni azimutali ( riso. 5 ) - proiezioni in cui i paralleli sono cerchi concentrici, i meridiani sono i loro raggi e gli angoli tra questi ultimi sono uguali alle corrispondenti differenze di longitudine. Un caso speciale di proiezioni azimutali sono le proiezioni prospettiche.

Proiezioni pseudoconiche ( riso. 6 ) - proiezioni in cui i paralleli sono rappresentati come cerchi concentrici, il meridiano centrale come una linea retta e i restanti meridiani come curve. Viene spesso utilizzata la proiezione pseudoconica di uguale area di Bonn; Dal 1847 compilò una mappa di tre verste (1: 126.000) della parte europea della Russia.

Proiezioni pseudocilindriche ( riso. 8 ) - proiezioni in cui i paralleli sono rappresentati come rette parallele, il meridiano medio come una retta perpendicolare a queste rette e che costituisce l'asse di simmetria delle proiezioni, i rimanenti meridiani come curve.

Proiezioni policoniche ( riso. 9 ) - proiezioni in cui i paralleli sono rappresentati come cerchi con centri situati sulla stessa linea retta che rappresenta il meridiano medio. Quando si costruiscono proiezioni policoniche specifiche, vengono imposte condizioni aggiuntive. Per la carta internazionale (1:1.000.000) è consigliata una delle proiezioni policoniche.

Esistono molte proiezioni che non appartengono a queste tipologie. Le proiezioni cilindriche, coniche e azimutali, chiamate le più semplici, sono spesso classificate come proiezioni circolari in senso lato, distinguendole dalle proiezioni circolari in senso stretto - proiezioni in cui tutti i meridiani e i paralleli sono rappresentati come cerchi, ad esempio le proiezioni conformi di Lagrange, Proiezione Grinten, ecc.

Utilizzo e selezione delle proiezioni cartografiche dipendono principalmente dallo scopo della mappa e dalla sua scala, che spesso determinano la natura delle distorsioni consentite nella metrica selezionata. Le mappe su larga e media scala destinate a risolvere problemi metrici sono solitamente redatte in proiezioni conformi e su piccola scala mappe utilizzate per rilievi generali e determinazione del rapporto tra le aree di eventuali territori - in aree uguali. In questo caso, è possibile una violazione delle condizioni che definiscono queste proiezioni ( ω ≡ 0 O p ≡ 1), il che non porta ad errori evidenti, cioè permettiamo la scelta di proiezioni arbitrarie, tra le quali vengono più spesso utilizzate proiezioni equidistanti lungo i meridiani. Quest'ultimo viene utilizzato anche quando lo scopo della mappa non prevede affatto la conservazione di angoli o aree. Nella scelta delle proiezioni si inizia da quelle più semplici per poi passare a proiezioni più complesse, eventualmente modificandole. Se nessuno dei CP conosciuti soddisfa i requisiti per la creazione della mappa in termini di scopo, si cerca un nuovo CP più adatto, cercando (per quanto possibile) di ridurre le distorsioni in esso. Il problema della costruzione di CP più vantaggiosi, in cui le distorsioni siano in qualche modo ridotte al minimo, non è stato ancora del tutto risolto.

I punti C. vengono utilizzati anche nella navigazione, nell'astronomia, nella cristallografia, ecc.; sono ricercati ai fini della mappatura della Luna, dei pianeti e di altri corpi celesti.

Trasformazione delle proiezioni. Considerando due QP definiti dai corrispondenti sistemi di equazioni: x = f1 (φ, λ), y = f2 (φ, λ) E X = g1 (φ, λ), Y = g2(φ, λ), è possibile, escludendo φ e λ da queste equazioni, stabilire la transizione dall'una all'altra:

X = F1 (x, y), Y = F2(x, y).

Queste formule quando si specifica il tipo di funzioni F 1 ,F 2, in primo luogo, fornire un metodo generale per ottenere le cosiddette proiezioni derivate; in secondo luogo, costituiscono la base teorica per tutti i possibili metodi tecnici per disegnare mappe (vedi Carte geografiche). Ad esempio, le trasformazioni lineari affini e frazionarie vengono eseguite utilizzando trasformatori cartografici (Vedi Trasformatore cartografico). Tuttavia, trasformazioni più generali richiedono l’uso di nuove tecnologie, in particolare elettroniche. Il compito di creare trasformatori CP perfetti è un problema urgente della cartografia moderna.

Illuminato.: Vitkovsky V., Cartografia. (Teoria delle proiezioni cartografiche), San Pietroburgo. 1907; Kavraisky V.V., Cartografia matematica, M. - L., 1934; suo, Izbr. opere, vol.2, secolo. 1-3, [M.], 1958-60; Urmaev N. A., Cartografia matematica, M., 1941; lui, Metodi per trovare nuove proiezioni cartografiche, M., 1947; Graur A.V., Cartografia matematica, 2a ed., Leningrado, 1956; Ginzburg G. A., Proiezioni cartografiche, M., 1951; Meshcheryakov G. A., Fondamenti teorici della cartografia matematica, M., 1968.

G. A. Meshcheryakov.

2. La palla e le sue proiezioni ortografiche.

3a. Proiezioni cilindriche. Mercatore equiangolo.

3b. Proiezioni cilindriche. Equidistante (rettangolare).

3c. Proiezioni cilindriche. Area uguale (isocilindrica).

4a. Proiezioni coniche. Equiangolo.

4b. Proiezioni coniche. Equidistante.

4c. Proiezioni coniche. Uguale dimensione.

Riso. 5a. Proiezioni azimutali. Conforme (stereografico) a sinistra - trasversale, a destra - obliquo.

Riso. 5B. Proiezioni azimutali. Ugualmente intermedio (a sinistra - trasversale, a destra - obliquo).

Riso. V secolo Proiezioni azimutali. Di uguali dimensioni (a sinistra - trasversale, a destra - obliquo).

Riso. 8a. Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione di Mollweide ad area uguale.

Riso. 8b. Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione sinusoidale ad area uguale di V. V. Kavraisky.

Riso. VIII secolo Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione arbitraria di TsNIIGAiK.

Riso. 8 g. Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione BSAM.

Riso. 9a. Proiezioni policoniche. Semplice.

Riso. 9b. Proiezioni policoniche. Proiezione arbitraria di G. A. Ginzburg.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Scopri cosa sono le "proiezioni cartografiche" in altri dizionari:

Metodi matematici per rappresentare la superficie dell'ellissoide o della sfera terrestre su un piano. Le proiezioni cartografiche determinano la relazione tra le coordinate dei punti sulla superficie dell'ellissoide terrestre e sul piano. A causa dell'impossibilità di espandersi... ... Grande dizionario enciclopedico

PROIEZIONI CARTOGRAFICHE, metodi sistematici per disegnare i meridiani e i paralleli della Terra su una superficie piana. Solo su un globo i territori e le forme possono essere rappresentati in modo affidabile. Sulle mappe piatte di aree estese la distorsione è inevitabile. Le proiezioni sono... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

Coordinate del mondo e dello schermo

Proiezioni

Quando si utilizzano dispositivi grafici, vengono solitamente utilizzate le proiezioni. La proiezione specifica il modo in cui gli oggetti vengono visualizzati su un dispositivo grafico. Considereremo solo le proiezioni sul piano.

La proiezione è la mappatura dei punti specificati in un sistema di coordinate con dimensione N su punti in un sistema di dimensione inferiore.

I proiettori (raggi di proiezione) sono segmenti diritti che vanno dal centro della proiezione attraverso ciascun punto dell'oggetto fino all'intersezione con il piano di proiezione (piano dell'immagine).

Quando si visualizzano oggetti spaziali su uno schermo o su un foglio di carta utilizzando una stampante, è necessario conoscere le coordinate degli oggetti. Considereremo due sistemi di coordinate. Primo - coordinate del mondo, che descrivono la vera posizione degli oggetti nello spazio con una determinata precisione. Il secondo è il sistema di coordinate del dispositivo di visualizzazione, in cui le immagini degli oggetti vengono visualizzate in una determinata proiezione. Chiamiamo il sistema di coordinate del dispositivo grafico coordinate dello schermo(anche se questo dispositivo non deve essere come il monitor di un computer).

Lascia che le coordinate del mondo siano coordinate rettangolari 3D. Dove dovrebbe essere posizionato il centro delle coordinate e quali saranno le unità di misura lungo ciascun asse non è molto importante per noi ora. L'importante è che per la visualizzazione conosceremo eventuali valori numerici delle coordinate degli oggetti visualizzati.

Per ottenere un'immagine in una proiezione specifica, è necessario calcolare le coordinate di proiezione. Per sintetizzare un'immagine su un piano dello schermo o su un foglio, utilizziamo un sistema di coordinate bidimensionale. Il compito principale è specificare le trasformazioni delle coordinate dalle coordinate mondiali alle coordinate dello schermo.

L'immagine degli oggetti su un piano (schermo) è associata all'operazione geometrica del design. Esistono diversi tipi di design utilizzati nella computer grafica, ma esistono due tipi principali: parallelo e centrale.

Il fascio di raggi proiettato viene diretto attraverso l'oggetto sul piano dell'immagine, sul quale si trovano successivamente le coordinate dell'intersezione dei raggi (o delle linee rette) con questo piano.

Riso. 2.14. Principali tipologie di proiezioni

Con disegno centrale tutte le linee iniziano da un punto.

Con parallelo- si considera che il centro dei raggi (linee rette) sia infinitamente distante, e le rette siano parallele.

Ognuna di queste classi principali è divisa in diverse sottoclassi a seconda della posizione relativa del piano dell'immagine e degli assi delle coordinate.

Proiezione a punto singolo

Riso. 2.15. Classificazione delle proiezioni piane

Per le proiezioni parallele, il centro della proiezione si trova all'infinito rispetto al piano di proiezione:

• ortogonale (ortogonale),
• assonometrico (assonometrico rettangolare) - i proiettori sono perpendicolari al piano di proiezione situato ad angolo rispetto all'asse principale,
• obliquo (assonometrico obliquo) - il piano di proiezione è perpendicolare all'asse principale, i proiettori si trovano ad angolo rispetto al piano di proiezione.

Per le proiezioni centrali, il centro della proiezione si trova a una distanza finita dal piano di proiezione. Esistono le cosiddette distorsioni prospettiche.

Proiezioni ortogonali (viste principali)

Riso. 2.16. Proiezioni ortogonali

1. Vista frontale, vista principale, proiezione frontale (sulla faccia posteriore della V),
2. Vista dall'alto, pianta, proiezione orizzontale (sul bordo inferiore di H),
3. Vista da sinistra, proiezione del profilo (sul lato destro di W),
4. Vista da destra (sul lato sinistro),
5. Vista dal basso (bordo superiore),
6. Vista posteriore (lato anteriore).

La matrice di proiezione ortogonale sul piano YZ lungo l'asse X ha la forma:

Se il piano è parallelo, allora questa matrice deve essere moltiplicata per la matrice di spostamento, quindi:

dove p è lo spostamento lungo l'asse X;

Per il piano ZX lungo l'asse Y

dove q è lo spostamento lungo l'asse Y;

Per il piano XY lungo l'asse Z:

dove R è lo spostamento lungo l'asse Z.

Nella proiezione assonometrica, le linee sporgenti sono perpendicolari al piano del quadro.

Isometrico- tutti e tre gli angoli tra la normale dell'immagine e gli assi delle coordinate sono uguali.

Dimetria - due angoli tra la normale dell'immagine e gli assi delle coordinate sono uguali.

Trimetria - il vettore normale del piano dell'immagine forma angoli diversi con gli assi delle coordinate.

Ciascuno dei tre tipi di queste proiezioni è ottenuto da una combinazione di rotazioni seguite da una proiezione parallela.

Ruotando di un angolo β rispetto all'asse Y (ordinate), di un angolo α attorno all'asse X (ascissa) e successiva proiezione dell'asse Z (applicata), appare una matrice

Proiezione isometrica

Riso. 2.17. Proiezioni isometriche

Proiezione dimetrica

Riso. 2.18. Proiezioni dimetriche

Proiezioni oblique

Un classico esempio di proiezione obliqua parallela è proiezione del mobile(Fig. 2.26). Questa proiezione è spesso utilizzata nella letteratura matematica per disegnare forme solide. Asse A raffigurato inclinato di un angolo di 45 gradi. Lungo l'asse A scala 0,5, lungo altri assi - scala 1. Scriviamo le formule per il calcolo delle coordinate del piano di proiezione

Qui, come prima, l'asse Υ pr diretto verso il basso.

Per le proiezioni parallele oblique, i raggi di proiezione non sono perpendicolari al piano di proiezione.

Riso. 2.19. Proiezioni oblique

Veniamo ora alla proiezione centrale. Poiché i raggi di proiezione non sono paralleli, assumeremo normale come proiezione centrale, il cui asse principale è perpendicolare al piano proiezione. Per proiezione obliqua centrale l'asse principale non è perpendicolare al piano di proiezione.

Consideriamo un esempio di proiezione obliqua centrale, che mostra tutte le linee verticali degli oggetti raffigurati come linee parallele. Posizioniamo il piano di proiezione verticalmente, impostiamo l'angolo di visualizzazione con gli angoli a, β e la posizione del punto di fuga (Fig. 2.21).

Fig.2.20. Proiezione del gabinetto

Riso. 2.21. Proiezione obliqua centrale verticale: a – posizione del piano di proiezione, b – vista dall'estremità sinistra del piano di proiezione

Assumeremo che l'asse Ζ le coordinate della vista si trovano perpendicolari al piano di proiezione. Il centro delle coordinate della vista è nel punto ( xc, noi, zc). Scriviamo la trasformazione del tipo corrispondente:

Come per la normale proiezione centrale, il punto di fuga dei raggi di proiezione si trova a distanza sull'asse Z Ok dal centro delle coordinate della vista. È necessario tenere conto dell'inclinazione dell'asse principale della proiezione obliqua. Per fare questo è sufficiente sottrarre Υ pr la lunghezza del segmento è 0-0" (Fig. 2.21). Questa lunghezza è uguale a ( Ζ k - Ζ pl) ctgβ. Ora scriviamo il risultato: formule per calcolare le coordinate di una proiezione verticale obliqua

Dove Uff E Pu sono le funzioni di proiezione per la proiezione normale.

Va notato che per tale proiezione è impossibile realizzare una vista dall'alto (β = 0), poiché qui сtgP = ∞.

La proprietà della proiezione obliqua verticale considerata, che consiste nel mantenere il parallelismo delle linee verticali, è talvolta utile, ad esempio, quando si raffigurano case nei sistemi informatici architettonici. Confronta la fig. 2. 22 (in alto) e fig. 2.22 (in basso). Nell'immagine in basso, le verticali sono raffigurate come verticali: le case non “cadono a pezzi”.

Riso. 2.21. Confronto delle proiezioni

Proiezione del mobile (proiezione dimetrica frontale obliqua assonometrica)

Riso. 2.23.Proiezione del mobile

Proiezione libera (proiezione isometrica orizzontale obliqua assonometrica)

Riso. 2.24.Proiezione libera

Proiezione centrale

Le proiezioni centrali di linee parallele non parallele al piano di proiezione convergono punto di fuga.

A seconda del numero di assi coordinati che interseca il piano di proiezione, si distinguono le proiezioni centrali a uno, due e tre punti.

Riso. 2.25. Proiezione centrale

Consideriamo un esempio di proiezione prospettica (centrale) per una posizione verticale della telecamera, quando α = β = 0. Tale proiezione può essere immaginata come un'immagine su vetro attraverso la quale un osservatore si trova sopra nel punto ( x, y, z) = (0, 0, zk). Qui il piano di proiezione è parallelo al piano (x 0 y), come mostrato in fig. 2.26.

Per un punto arbitrario nello spazio (P), basato sulla somiglianza dei triangoli, scriviamo le seguenti proporzioni:

X pr /(z k – z pl) = x/(z k – z)

Y pr /(z k – z pl) = y/(z k – z)

Troviamo le coordinate della proiezione, tenendo conto anche della coordinata Ζpr:

Scriviamo tali trasformazioni di coordinate in forma funzionale

Dove Π - funzione di trasformazione prospettica delle coordinate.

Riso. 2.26 Proiezione prospettica

In forma matriciale, la trasformazione delle coordinate può essere scritta come segue:

Si noti che qui i coefficienti della matrice dipendono dalla coordinata z (nel denominatore della frazione). Ciò significa che la trasformazione delle coordinate è non lineare (più precisamente, frazionario-lineare), appartiene alla classe proiettivo trasformazioni.

Abbiamo ottenuto formule per calcolare le coordinate di proiezione per il caso in cui il punto di fuga dei raggi si trova sull'asse z. Consideriamo ora il caso generale. Introduciamo un sistema di coordinate della vista (X, Υ,Ζ), situato arbitrariamente nello spazio tridimensionale (x, y, z). Lascia che il punto di fuga sia sull'asse Ζ visualizzare il sistema di coordinate e la direzione di visualizzazione è lungo l'asse Ζ opposto alla sua direzione. Assumeremo che la trasformazione per visualizzare le coordinate sia descritta da una trasformazione affine tridimensionale

Dopo aver calcolato le coordinate ( X, Y, Z) puoi calcolare le coordinate nel piano di proiezione secondo le formule di cui abbiamo già discusso in precedenza. Poiché il punto di fuga si trova sull'asse Z delle coordinate della vista, allora

La sequenza della trasformazione delle coordinate può essere descritta come segue:

Questa trasformazione delle coordinate consente di simulare le posizioni della telecamera in qualsiasi punto dello spazio e visualizzare eventuali oggetti di visualizzazione al centro del piano di proiezione.

Riso. 2.27. Proiezione centrale del punto P 0 nel piano Z = d

Capitolo 3. Grafica raster. Algoritmi raster di base

Per natura della distorsione le proiezioni si dividono in conformi, ad area uguale e arbitrarie.

Conforme(O conforme) proiezioni preservare la grandezza degli angoli e le forme delle figure infinitesimali. La scala delle lunghezze in ogni punto è costante in tutte le direzioni (il che è assicurato dal naturale aumento delle distanze tra paralleli adiacenti lungo il meridiano) e dipende solo dalla posizione del punto. Le ellissi di distorsione sono espresse come cerchi di raggi diversi.

Per ogni punto delle proiezioni conformi valgono le seguenti dipendenze:

/L i= a = b = m = n; un>= 0°; 0 = 90°; k = 1 E a 0 =0°(o ±90°).

Tali proiezioni particolarmente utile per determinare le direzioni e la posa di percorsi lungo un determinato azimut (ad esempio, quando si risolvono problemi di navigazione).

Uguale dimensione(O equivalente) proiezioni non distorcere l'area. In queste proiezioni le aree delle ellissi di distorsione sono uguali. Un aumento della scala delle lunghezze lungo un asse dell'ellisse di distorsione è compensato da una diminuzione della scala delle lunghezze lungo l'altro asse, che provoca una naturale diminuzione delle distanze tra paralleli adiacenti lungo il meridiano e, di conseguenza, una forte distorsione di forme.

Come le proiezioni sono utili per misurare le aree oggetti (che, ad esempio, è essenziale per alcune carte economiche o morfometriche).

Nella teoria della cartografia matematica è dimostrato ciò no, e non può esserci una proiezione che sia allo stesso tempo equiangolare e uguale in area. In generale, maggiore è la distorsione degli angoli, minore è la distorsione delle aree e viceversa

gratuito proiezioni distorcere sia gli angoli che le aree. Quando li costruiscono, si sforzano di trovare la distribuzione delle distorsioni più vantaggiosa per ciascun caso specifico, raggiungendo, per così dire, qualche compromesso. Questo gruppo di proiezioni utilizzato nei casi in cui l'eccessiva distorsione degli angoli e delle aree è ugualmente indesiderabile. Secondo le loro proprietà, proiezioni arbitrarie si trovano tra equiangolo e uguale area. Tra questi possiamo evidenziare equidistante(O equidistante) proiezioni, in tutti i punti in cui la scala lungo una delle direzioni principali è costante e uguale a quella principale.

Classificazione delle proiezioni cartografiche per tipologia di superficie geometrica ausiliaria .

In base al tipo di superficie geometrica ausiliaria, si distinguono le proiezioni: cilindrica, azimutale e conica.

Cilindrico sono chiamate proiezioni in cui una rete di meridiani e paralleli dalla superficie dell'ellissoide viene trasferita alla superficie laterale di un cilindro tangente (o secante), quindi il cilindro viene tagliato lungo la generatrice e dispiegato in un piano (Fig. 6 ).

Fig.6. Proiezione cilindrica normale

La distorsione è assente sulla linea di tangenza ed è minima in prossimità di essa. Se il cilindro è secante, allora ci sono due linee di tangenza, che significa 2 LNI. La distorsione tra gli LNI è minima.

A seconda dell'orientamento del cilindro rispetto all'asse dell'ellissoide terrestre, si distinguono le proiezioni:

– normale, quando l’asse del cilindro coincide con l’asse minore dell’ellissoide terrestre; i meridiani in questo caso sono linee parallele equidistanti, e le parallele sono linee rette ad esse perpendicolari;

– trasversale, quando l'asse del cilindro giace nel piano equatoriale; tipo di griglia: il meridiano medio e l'equatore sono linee rette reciprocamente perpendicolari, i restanti meridiani e paralleli sono linee curve (Fig. c).

– obliquo, quando l'asse del cilindro forma un angolo acuto con l'asse dell'ellissoide; nelle proiezioni cilindriche oblique, meridiani e paralleli sono linee curve.

Azimutale sono chiamate proiezioni in cui la rete di meridiani e paralleli viene trasferita dalla superficie dell'ellissoide al piano tangente (o secante) (Fig. 7).

Riso. 7. Proiezione azimutale normale

L'immagine vicino al punto di tangenza (o linea di sezione) del piano dell'ellissoide terrestre non è quasi per nulla distorta. Il punto tangente è il punto di distorsione zero.

A seconda della posizione del punto di tangenza del piano sulla superficie dell'ellissoide terrestre, si distinguono le proiezioni azimutali:

– normale, o polare, quando l'aereo tocca la Terra in uno dei poli; tipo di griglia: meridiani - linee rette divergenti radialmente dal polo, paralleli - cerchi concentrici con centri al polo (Fig. 7);

– trasversale, o equatoriale, quando il piano tocca l'ellissoide in uno dei punti dell'equatore; tipo di griglia: il meridiano medio e l'equatore sono linee rette reciprocamente perpendicolari, i rimanenti meridiani e paralleli sono linee curve (in alcuni casi, i paralleli sono rappresentati come linee rette;

– obliquo, o orizzontale, quando il piano tocca l'ellissoide in un punto compreso tra il polo e l'equatore. Nelle proiezioni oblique, solo il meridiano medio su cui si trova il punto tangente è una linea retta, i restanti meridiani e paralleli sono linee curve.

Conico sono chiamate proiezioni in cui la rete di meridiani e paralleli dalla superficie dell'ellissoide viene trasferita alla superficie laterale del cono tangente (o secante) (Fig. 8).

Riso. 8. Proiezione conica normale

Le distorsioni sono poco evidenti lungo la linea di tangenza o due linee di sezione trasversale del cono dell'ellissoide terrestre, che sono le linee di distorsione zero dell'LNI. Come le proiezioni coniche cilindriche, si dividono in:

– normale, quando l’asse del cono coincide con l’asse minore dell’ellissoide terrestre; i meridiani in queste proiezioni sono rappresentati da linee rette divergenti dall'apice del cono, ed i paralleli da archi di cerchi concentrici.

– trasversale, quando l'asse del cono giace nel piano dell'equatore; tipo di griglia: il meridiano medio e il parallelo di tangenza sono linee rette reciprocamente perpendicolari, i rimanenti meridiani e paralleli sono linee curve;

– obliquo, quando l'asse del cono forma un angolo acuto con l'asse dell'ellissoide; nelle proiezioni coniche oblique, meridiani e paralleli sono linee curve.

Nelle normali proiezioni cilindriche, azimutali e coniche, la griglia della mappa è ortogonale: i meridiani e i paralleli si intersecano ad angolo retto, che è una delle caratteristiche diagnostiche importanti di queste proiezioni.

Se, quando si ottengono proiezioni cilindriche, azimutali e coniche, viene utilizzato un metodo geometrico (proiezione lineare di una superficie ausiliaria su un piano), allora tali proiezioni sono chiamate rispettivamente prospettiva-cilindrica, prospettiva-azimutale (prospettiva ordinaria) e prospettiva-conica. .

Policonico sono chiamate proiezioni in cui una rete di meridiani e paralleli dalla superficie di un ellissoide viene trasferita alle superfici laterali di più coni, ciascuno dei quali è tagliato lungo una generatrice e dispiegato in un piano. Nelle proiezioni policoniche i paralleli sono rappresentati come archi di cerchi eccentrici, il meridiano centrale è una linea retta, tutti gli altri meridiani sono linee curve simmetriche rispetto a quella centrale.

Condizionale sono chiamate proiezioni, la cui costruzione non ricorre all'uso di superfici geometriche ausiliarie. Una rete di meridiani e paralleli viene costruita secondo alcune condizioni predeterminate. Tra le proiezioni condizionali possiamo distinguere pseudocilindrico, pseudo-azimutale E pseudoconico proiezioni che mantengono l'aspetto dei paralleli delle originali proiezioni cilindriche, azimutali e coniche. In queste proiezioni il meridiano centrale è una linea retta, i restanti meridiani sono linee curve.

Al condizionale includono anche le proiezioni proiezioni poliedriche , che si ottengono proiettando sulla superficie un poliedro che tocca o taglia l'ellissoide terrestre. Ogni faccia è un trapezio equilatero (meno comunemente, esagoni, quadrati, rombi). Ci sono una varietà di proiezioni poliedriche proiezioni multi-linea , e le strisce possono essere tagliate sia lungo i meridiani che lungo i paralleli. Tali proiezioni sono vantaggiose in quanto la distorsione all'interno di ciascuna faccia o striscia è molto piccola, quindi vengono sempre utilizzate per mappe a più fogli. Lo svantaggio principale delle proiezioni poliedriche è l'impossibilità di combinare un blocco di fogli di mappa in frame comuni senza interruzioni.

In pratica ha valore la suddivisione per copertura territoriale. Di copertura territoriale sono allocate le proiezioni cartografiche mappe del mondo, emisferi, continenti e oceani, mappe dei singoli stati e delle loro parti. Secondo questo principio Sono state costruite le tabelle determinanti delle proiezioni cartografiche. Oltretutto, ultima volta Si stanno facendo tentativi per sviluppare classificazioni genetiche delle proiezioni cartografiche basate sulla forma di equazioni differenziali che le descrivono. Queste classificazioni coprono l'intero insieme possibile di proiezioni, ma sono estremamente poco chiare, perché non sono legati al tipo di griglia di meridiani e paralleli.