La risoluzione limita il modo in cui risolvere. Limiti meravigliosi

Continuiamo ad analizzare le risposte già pronte alla teoria dei limiti e oggi ci concentreremo solo sul caso in cui una variabile in una funzione o un numero in una sequenza tende all'infinito. Le istruzioni per il calcolo del limite per una variabile tendente all'infinito sono state date in precedenza; qui ci soffermeremo solo su singoli casi non evidenti e semplici per tutti;

Esempio 35. Abbiamo una sequenza sotto forma di frazione, dove il numeratore e il denominatore contengono funzioni di radice.
Dobbiamo trovare il limite quando il numero tende all'infinito.
Qui non è necessario rivelare l'irrazionalità del numeratore, ma solo analizzare attentamente le radici e scoprire dove è contenuta una potenza superiore del numero.
Nella prima, le radici del numeratore sono il moltiplicatore n^4, cioè n^2 può essere tolto dalle parentesi.
Facciamo lo stesso con il denominatore.
Successivamente, valutiamo il significato delle espressioni radicali quando si passa al limite.

Abbiamo ottenuto le divisioni per zero, il che non è corretto nel percorso scolastico, ma nel passaggio al limite è accettabile.
Solo con un emendamento “per valutare dove sta andando la funzione”.
Pertanto, non tutti gli insegnanti possono interpretare come corretta la notazione sopra riportata, pur comprendendo che il risultato risultante non cambierà.
Diamo un'occhiata alla risposta compilata secondo le esigenze degli insegnanti secondo la teoria.
Per semplificare valuteremo solo i principali componenti aggiuntivi sotto root

Inoltre al numeratore la potenza è pari a 2, al denominatore 2/3, quindi il numeratore cresce più velocemente, il che significa che il limite tende all'infinito.
Il suo segno dipende dai fattori di n^2, n^(2/3) , quindi è positivo.

Esempio 36. Considera un esempio di limite di divisione funzioni esponenziali. Ci sono pochi esempi pratici di questo tipo, quindi non tutti gli studenti vedono facilmente come svelare le incertezze che emergono.
Il fattore massimo per il numeratore e il denominatore è 8^n, e lo semplifichiamo

Successivamente, valutiamo il contributo di ciascun termine
I termini 3/8 tendono a zero man mano che la variabile va all'infinito, a partire da 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Esempio 37. Il limite di una sequenza con fattoriali viene rivelato scrivendo il fattoriale al massimo comun divisore per il numeratore e il denominatore.
Successivamente, lo riduciamo e valutiamo il limite in base al valore degli indicatori numerici al numeratore e al denominatore.
Nel nostro esempio, il denominatore cresce più velocemente, quindi il limite è zero.


Qui viene utilizzato quanto segue

proprietà fattoriale.

Esempio 38. Senza applicare le regole di L'Hopital, confrontiamo gli indicatori massimi della variabile al numeratore e al denominatore della frazione.
Poiché il denominatore contiene l'esponente più alto della variabile 4>2, cresce più velocemente.
Da ciò concludiamo che il limite della funzione tende a zero.

Esempio 39. Riveliamo la peculiarità della forma infinito diviso per infinito rimuovendo x^4 dal numeratore e dal denominatore della frazione.
Passando al limite si ottiene l'infinito.

Esempio 40. Abbiamo una divisione di polinomi; dobbiamo determinare il limite poiché la variabile tende all'infinito.
Il grado più alto della variabile al numeratore e al denominatore è uguale a 3, il che significa che il confine esiste ed è uguale a quello attuale.
Tiriamo fuori x^3 ed eseguiamo il passaggio al limite

Esempio 41. Abbiamo una singolarità di tipo uno alla potenza dell'infinito.
Ciò significa che l'espressione tra parentesi e l'indicatore stesso devono essere portati sotto il secondo confine importante.
Scriviamo il numeratore per evidenziare l'espressione in esso identica al denominatore.
Successivamente passiamo a un'espressione contenente uno più un termine.
Il titolo deve essere distinto dal fattore 1/(termine).
Otteniamo così l'esponente alla potenza del limite della funzione frazionaria.

Per valutare la singolarità, abbiamo utilizzato il secondo limite:

Esempio 42. Abbiamo una singolarità di tipo uno alla potenza dell'infinito.
Per rivelarlo bisognerebbe ridurre la funzione al secondo limite notevole.
Come farlo è mostrato in dettaglio nella seguente formula


Puoi trovare molti problemi simili. La loro essenza è ottenere il grado richiesto nell'indicatore ed è uguale a valore reciproco il termine tra parentesi all'unità.
Usando questo metodo otteniamo l'esponente. Ulteriori calcoli si riducono al calcolo del limite del grado esponente.
Qui funzione esponenziale tende all'infinito, poiché il valore è maggiore di uno e=2.72>1.

Esempio 43 Al denominatore della frazione abbiamo un'incertezza del tipo infinito meno infinito, che in realtà è uguale alla divisione per zero.
Per eliminare la radice, moltiplichiamo per l'espressione coniugata, quindi utilizziamo la formula per la differenza dei quadrati per riscrivere il denominatore.
Otteniamo l'incertezza dell'infinito divisa per l'infinito, quindi eliminiamo la variabile nella misura massima e la riduciamo di essa.
Successivamente, valutiamo il contributo di ciascun termine e troviamo il limite della funzione all'infinito

La teoria dei limiti è una delle sezioni analisi matematica. La questione della risoluzione dei limiti è piuttosto ampia, poiché esistono dozzine di metodi per risolverli vari tipi. Esistono dozzine di sfumature e trucchi che ti consentono di risolvere questo o quel limite. Cercheremo comunque di comprendere le principali tipologie di limiti che più spesso si riscontrano nella pratica.

Partiamo dal concetto stesso di limite. Ma prima uno breve riferimento storico. Nel XIX secolo visse un francese, Augustin Louis Cauchy, che diede definizioni rigorose a molti concetti di matan e ne pose le basi. Va detto che questo rispettato matematico era, è e sarà negli incubi di tutti gli studenti dei dipartimenti di fisica e matematica, poiché ha dimostrato un numero enorme di teoremi di analisi matematica e un teorema è più letale dell'altro. A questo proposito, non lo prenderemo ancora in considerazione determinazione del limite di Cauchy, ma proviamo a fare due cose:

1. Comprendi cos'è un limite.
2. Impara a risolvere i principali tipi di limiti.

Mi scuso per alcune spiegazioni non scientifiche, è importante che il materiale sia comprensibile anche a una teiera, che, di fatto, è il compito del progetto.

Allora qual è il limite?

E solo un esempio del perché la nonna irsuta...

Qualsiasi limite è composto da tre parti:

1) La famosa icona del limite.
2) Voci sotto l'icona del limite, in questo caso . La voce recita "X tende a uno". Molto spesso - esattamente, anche se al posto della “X” in pratica ci sono altre variabili. Nei compiti pratici, il posto di uno può essere assolutamente qualsiasi numero, così come l'infinito ().
3) Funzioni sotto il segno limite, in questo caso .

La registrazione stessa si legge così: “il limite di una funzione come x tende all’unità”.

Diamo un'occhiata alla prossima domanda importante: cosa significa l'espressione "x"? si sforza a uno"? E cosa significa “sforzarsi”?
Il concetto di limite è un concetto, per così dire, dinamico. Costruiamo una sequenza: prima , poi , , …, , ….
Cioè, l'espressione “x si sforza a uno” va intesa nel seguente modo: “x” assume costantemente i valori che si avvicinano all’unità infinitamente vicine e praticamente coincidono con essa.

Come risolvere l'esempio sopra? In base a quanto sopra, è sufficiente sostituirne uno nella funzione sotto il segno di limite:

Allora la prima regola: Quando viene dato un limite, per prima cosa proviamo semplicemente a inserire il numero nella funzione.

Abbiamo considerato il limite più semplice, ma questi si verificano anche nella pratica, e non così raramente!

Esempio con infinito:

Scopriamo di cosa si tratta? Questo è il caso quando aumenta senza limite, cioè: prima, poi, poi, poi e così all'infinito.

Cosa succede alla funzione in questo momento?
, , , …

Quindi: se , allora la funzione tende a meno infinito:

In parole povere, secondo la nostra prima regola, invece di “X” sostituiamo l’infinito nella funzione e otteniamo la risposta.

Un altro esempio con infinito:

Ancora una volta iniziamo ad aumentare all'infinito e osserviamo il comportamento della funzione:

Conclusione: quando la funzione aumenta senza limiti:

E un'altra serie di esempi:

Prova ad analizzare mentalmente quanto segue e ricorda i tipi di limiti più semplici:

, , , , , , , , ,
Se hai dei dubbi, puoi prendere una calcolatrice ed esercitarti un po'.
Nel caso in cui , provare a costruire la sequenza , , . Se poi , , .

! Nota: A rigor di termini, questo approccio alla costruzione di sequenze di più numeri non è corretto, ma per comprendere gli esempi più semplici è abbastanza adatto.

Prestare attenzione anche alla cosa seguente. Anche se dato un limite con un largo numero in alto, anche con un milione: è tutto uguale , poiché prima o poi “X” inizierà ad assumere valori così giganteschi che un milione in confronto sarà un vero microbo.

Cosa devi ricordare e capire da quanto sopra?

1) Quando viene dato un limite, prima proviamo semplicemente a sostituire il numero nella funzione.

2) Devi comprendere e risolvere immediatamente i limiti più semplici, come , , eccetera.

Inoltre, il limite ha un ottimo effetto significato geometrico. Per comprendere meglio l'argomento ti consiglio di leggere materiale metodologico Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Dopo aver letto questo articolo, non solo capirai finalmente cos'è un limite, ma ne farai anche conoscenza casi interessanti, quando il limite della funzione è generalmente non esiste!

In pratica, purtroppo, i regali sono pochi. E quindi passiamo a considerare limiti più complessi. A proposito, su questo argomento c'è corso intensivo in formato pdf, utile soprattutto se hai MOLTO poco tempo per prepararti. Ma i materiali del sito, ovviamente, non sono peggiori:

Considereremo ora il gruppo dei limiti quando , e la funzione è una frazione il cui numeratore e denominatore contengono polinomi

Esempio:

Calcola limite

Secondo la nostra regola, proveremo a sostituire l'infinito nella funzione. Cosa otteniamo in cima? Infinito. E cosa succede sotto? Anche l'infinito. Abbiamo quindi quella che viene chiamata incertezza della specie. Si potrebbe pensare che , e la risposta è pronta, ma nel caso generale non è affatto così, ed è necessario applicare qualche tecnica risolutiva, che ora considereremo.

Come risolvere limiti di questo tipo?

Per prima cosa guardiamo il numeratore e troviamo la potenza più alta:

La potenza principale al numeratore è due.

Ora guardiamo il denominatore e troviamolo anche alla massima potenza:

Il grado più alto del denominatore è due.

Scegliamo quindi la potenza più alta del numeratore e del denominatore: in in questo esempio coincidono e sono uguali a due.

Quindi, il metodo di soluzione è il seguente: per rivelare l'incertezza, è necessario dividere il numeratore e il denominatore per la potenza più alta.

Eccola, la risposta, e non l'infinito.

Cosa è di fondamentale importanza nella progettazione di una decisione?

Innanzitutto, indichiamo l’incertezza, se presente.

In secondo luogo è consigliabile interrompere la soluzione per spiegazioni intermedie. Di solito uso il segno, non ha alcun significato matematico, ma significa che la soluzione viene interrotta per una spiegazione intermedia.

In terzo luogo, è consigliabile contrassegnare al limite cosa sta andando e dove. Quando il lavoro è redatto a mano, è più conveniente farlo in questo modo:

È meglio usare una matita semplice per gli appunti.

Naturalmente, non devi fare nulla di tutto ciò, ma poi, forse, l'insegnante indicherà i difetti della soluzione o inizierà a porre ulteriori domande sul compito. Ne hai bisogno?

Esempio 2

Trova il limite
Sempre al numeratore e al denominatore troviamo in massimo grado:

Grado massimo al numeratore: 3
Grado massimo al denominatore: 4
Scegliere più grande valore, in questo caso quattro.
Secondo il nostro algoritmo, per rivelare l'incertezza, dividiamo il numeratore e il denominatore per .
L'incarico completo potrebbe assomigliare a questo:

Dividi numeratore e denominatore per

Esempio 3

Trova il limite
Grado massimo della “X” al numeratore: 2
Grado massimo di “X” al denominatore: 1 (può essere scritto come)
Per rivelare l'incertezza è necessario dividere numeratore e denominatore per . La soluzione finale potrebbe assomigliare a questa:

Dividi numeratore e denominatore per

Notazione non significa divisione per zero (non è possibile dividere per zero), ma divisione per un numero infinitesimo.

Pertanto, scoprendo l’incertezza sulle specie, potremmo essere in grado di farlo numero finale, zero o infinito.

Limiti con incertezza di tipo e metodo per risolverli

Il successivo gruppo di limiti è in qualche modo simile ai limiti appena considerati: il numeratore e il denominatore contengono polinomi, ma “x” non tende più all’infinito, ma a numero finito.

Esempio 4

Limite di risoluzione
Innanzitutto, proviamo a sostituire -1 nella frazione:

In questo caso si ottiene la cosiddetta incertezza.

Regola generale : se il numeratore e il denominatore contengono polinomi e c'è incertezza sulla forma, allora rivelarlo devi fattorizzare il numeratore e il denominatore.

Per fare ciò, molto spesso è necessario risolvere un'equazione quadratica e/o utilizzare formule di moltiplicazione abbreviate. Se queste cose sono state dimenticate, visita la pagina Formule e tabelle matematiche e leggere il materiale didattico Formule calde corso scolastico matematici. A proposito, è meglio stamparlo; è richiesto molto spesso e le informazioni vengono assorbite meglio dalla carta.

Quindi, risolviamo il nostro limite

Fattorizza il numeratore e il denominatore

Per fattorizzare il numeratore è necessario risolvere l'equazione quadratica:

Per prima cosa troviamo il discriminante:

E la sua radice quadrata: .

Se il discriminante è grande, ad esempio 361, utilizziamo una calcolatrice, la funzione di estrazione radice quadrata disponibile sul calcolatore più semplice.

! Se la radice non viene estratta per intero (si ottiene un numero frazionario con una virgola), è molto probabile che il discriminante sia stato calcolato in modo errato o che si sia verificato un errore di battitura.

Successivamente troviamo le radici:

Così:

Tutto. Il numeratore è fattorizzato.

Denominatore. Il denominatore è già il fattore più semplice e non c'è modo di semplificarlo.

Ovviamente si può abbreviare in:

Ora sostituiamo -1 nell'espressione che rimane sotto il segno limite:

Naturalmente, dentro lavoro di prova, durante una prova o un esame, la soluzione non viene mai scritta in modo così dettagliato. Nella versione finale, il design dovrebbe assomigliare a questo:

Fattorizziamo il numeratore.

Esempio 5

Calcola limite

Innanzitutto, la versione “finitiva” della soluzione

Fattorizziamo il numeratore e il denominatore.

Numeratore:
Denominatore:



,

Cosa è importante in questo esempio?
Innanzitutto, devi avere una buona comprensione di come viene rivelato il numeratore, prima abbiamo preso 2 tra parentesi e poi abbiamo utilizzato la formula per la differenza dei quadrati. Questa è la formula che devi conoscere e vedere.

Raccomandazione: Se in un limite (di quasi ogni tipo) è possibile togliere un numero tra parentesi, lo facciamo sempre.
Inoltre è consigliabile spostare tali numeri oltre l'icona limite. Per quello? Sì, solo per non intralciarli. La cosa principale è non perdere questi numeri più tardi durante la soluzione.

Tieni presente che nella fase finale della soluzione ho tolto le due icone fuori limite, quindi il meno.

! Importante
Durante la soluzione, molto spesso si verifica un frammento di tipo. Riduci questa frazioneè vietato . Per prima cosa devi cambiare il segno del numeratore o del denominatore (metti -1 tra parentesi).
, cioè appare un segno meno, che viene preso in considerazione nel calcolo del limite e non è necessario perderlo affatto.

In generale ho notato che il più delle volte per trovare limiti di questo tipo bisogna risolverne due equazioni quadratiche, cioè sia il numeratore che il denominatore contengono trinomi quadrati.

Metodo per moltiplicare il numeratore e il denominatore per l'espressione coniugata

Continuiamo a considerare l'incertezza della forma

Il tipo successivo di limiti è simile al tipo precedente. L'unica cosa, oltre ai polinomi, aggiungeremo le radici.

Esempio 6

Trova il limite

Iniziamo a decidere.

Per prima cosa proviamo a sostituire 3 nell'espressione sotto il segno limite
Lo ripeto ancora una volta: questa è la prima cosa che devi fare per QUALSIASI limite. Questa azione viene solitamente eseguita mentalmente o sotto forma di bozza.

Si è ottenuta un'incertezza della forma che occorre eliminare.

Come probabilmente avrai notato, il nostro numeratore contiene la differenza delle radici. E in matematica è consuetudine eliminare le radici, se possibile. Per quello? E la vita è più facile senza di loro.

Concetti di limiti di successioni e funzioni. Quando occorre trovare il limite di una successione si scrive così: lim xn=a. In tale sequenza di sequenze, xn tende ad a e n tende all'infinito. Una sequenza è solitamente rappresentata come una serie, ad esempio:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Le sequenze si dividono in crescenti e decrescenti. Per esempio:
xn=n^2 - sequenza crescente
yn=1/n - sequenza
Quindi, ad esempio, il limite della sequenza xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Questo limite è pari a zero, poiché n→∞, e la successione 1/n^2 tende a zero.

Tipicamente, una quantità variabile x tende a un limite finito a, e x si avvicina costantemente ad a, e la quantità a è costante. Si scrive così: limx =a, mentre n può anche tendere sia a zero che a infinito. Esistono infinite funzioni, per le quali il limite tende all'infinito. Negli altri casi, quando ad esempio la funzione sta rallentando un treno, il limite tende a zero.
I limiti hanno una serie di proprietà. In genere, qualsiasi funzione ha un solo limite. Questa è la proprietà principale del limite. Altri sono elencati di seguito:
*Limite di importo pari alla somma limiti:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limite del prodotto uguale al prodotto limiti:
lim(xy)=lim x*lim y
* Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Il fattore costante viene preso al di fuori del segno limite:
lim(Cx)=C limx
Data una funzione 1 /x in cui x →∞, il suo limite è zero. Se x→0, il limite di tale funzione è ∞.
Per funzioni trigonometriche provengono da queste regole. Perché funzione del peccato x tende sempre all'unità quando si avvicina allo zero, per esso vale l'identità:
lim sin x/x=1

In un certo numero di funzioni ci sono funzioni, quando si calcolano i limiti di cui sorge l'incertezza - una situazione in cui il limite non può essere calcolato. L'unica via d'uscita da questa situazione è L'Hopital. Esistono due tipi di incertezze:
*incertezza della forma 0/0
* incertezza della forma ∞/∞
Ad esempio, dato il limite il seguente tipo: lim f(x)/l(x), e f(x0)=l(x0)=0. In questo caso si presenta un'incertezza della forma 0/0. Per risolvere un problema del genere, entrambe le funzioni vengono differenziate, dopodiché viene trovato il limite del risultato. Per le incertezze di tipo 0/0 il limite è:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (a x→0)
La stessa regola vale anche per le incertezze del tipo ∞/∞. Ma in questo caso vale la seguente uguaglianza: f(x)=l(x)=∞
Usando la regola di L'Hopital, puoi trovare i valori di eventuali limiti in cui compaiono incertezze. Un prerequisito per

volume: nessun errore durante la ricerca dei derivati. Quindi, ad esempio, la derivata della funzione (x^2)" è uguale a 2x. Da qui possiamo concludere che:
f"(x)=nx^(n-1)

Per chi vuole imparare a trovare i limiti, in questo articolo ve ne parleremo. Non approfondiremo la teoria; gli insegnanti di solito la spiegano durante le lezioni. Quindi la “teoria noiosa” dovrebbe essere annotata sui tuoi quaderni. In caso contrario, puoi leggere i libri di testo presi in prestito dalla biblioteca. Istituto d'Istruzione o su altre risorse Internet.

Quindi, il concetto di limite è piuttosto importante nello studio di un corso di matematica superiore, soprattutto quando ci si imbatte nel calcolo integrale e si comprende la connessione tra il limite e l'integrale. Nel materiale attuale considereremo semplici esempi, nonché i modi per risolverli.

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Calcola a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluzione

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Le persone spesso ci inviano questi limiti con una richiesta di aiuto per risolverli. Abbiamo deciso di evidenziarli un esempio separato e spiegare che questi limiti devono solo essere ricordati, di regola. Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Noi forniremo soluzione dettagliata. Potrai visualizzare lo stato di avanzamento del calcolo e ottenere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere il voto dal tuo insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0$$

Cosa fare con l'incertezza della forma: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Esempio 3

Risolvi $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluzione

Come sempre, iniziamo sostituendo il valore $ x $ nell'espressione sotto il segno limite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Qual è il prossimo passo? Cosa dovrebbe succedere alla fine? Poiché si tratta di incertezza, questa non è ancora una risposta e continuiamo il calcolo. Dato che abbiamo un polinomio ai numeratori, lo fattorizzeremo utilizzando la formula familiare a tutti fin dalla scuola $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Ti ricordi? Grande! Ora vai avanti e usalo con la canzone :) Troviamo che il numeratore $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuiamo a risolvere tenendo conto della trasformazione di cui sopra: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Risposta

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Spostiamo all'infinito il limite degli ultimi due esempi e consideriamo l'incertezza: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Esempio 5

Calcola $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluzione

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Cosa fare? Cosa dovrei fare? Niente panico, perché l'impossibile è possibile. È necessario eliminare la x sia dal numeratore che dal denominatore, quindi ridurla. Successivamente, prova a calcolare il limite. Proviamo... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Usando la definizione dell'Esempio 2 e sostituendo x con infinito, otteniamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Risposta

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmo per il calcolo dei limiti

Quindi, riassumiamo brevemente gli esempi e creiamo un algoritmo per risolvere i limiti:

1. Sostituisci il punto x nell'espressione che segue il segno limite. Se si ottiene un certo numero o infinito, il limite è completamente risolto. Altrimenti abbiamo l’incertezza: “zero diviso zero” oppure “infinito diviso infinito” e procediamo i seguenti punti Istruzioni.
2. Per eliminare l'incertezza di “zero diviso zero”, è necessario fattorizzare il numeratore e il denominatore. Ridurre quelli simili. Sostituisci il punto x nell'espressione sotto il segno limite.
3. Se l'incertezza è “infinito diviso per infinito”, allora eliminiamo sia il numeratore che il denominatore x nella massima misura. Accorciamo le X. Sostituiamo i valori di x da sotto il limite nell'espressione rimanente.

In questo articolo hai imparato le basi per risolvere i limiti, spesso utilizzati nel corso di Calcolo. Naturalmente questi non sono tutti i tipi di problemi proposti dagli esaminatori, ma solo i limiti più semplici. Parleremo di altri tipi di incarichi negli articoli futuri, ma prima devi imparare questa lezione per andare avanti. Discutiamo su cosa fare se ci sono radici, gradi, studio di funzioni equivalenti infinitesimali, limiti notevoli, regola di L'Hopital.

Se non riesci a capire da solo i limiti, niente panico. Siamo sempre felici di aiutarti!

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