La disuguaglianza è detta esponenziale. Equazioni e disequazioni esponenziali

Sin dai tempi antichi è stato necessario confrontare quantità e quantità quando si risolvevano problemi pratici. Allo stesso tempo, sono apparse parole come più e meno, più alto e più basso, più leggero e più pesante, più silenzioso e più forte, più economico e più costoso, ecc., Che denotano i risultati del confronto di quantità omogenee.

I concetti di più e di meno sono nati in relazione al conteggio di oggetti, alla misurazione e al confronto di quantità. Ad esempio, i matematici dell'antica Grecia sapevano che il lato di qualsiasi triangolo è minore della somma degli altri due lati e che il lato maggiore di un triangolo è opposto all'angolo maggiore. Archimede, calcolando la circonferenza, stabilì che il perimetro di qualsiasi cerchio è pari a tre volte il diametro con un eccesso che è inferiore a un settimo del diametro, ma superiore a diecisettanta volte il diametro.

Scrivi simbolicamente le relazioni tra numeri e quantità utilizzando i segni > e b. Record in cui due numeri sono collegati da uno dei segni: > (maggiore di), Hai riscontrato disuguaglianze numeriche anche nelle classi inferiori. Sai che le disuguaglianze possono essere vere o false. Ad esempio, $\frac(1)(2) > \frac(1)(3)$ è corretto disuguaglianza numerica, 0,23 > 0,235 è una disuguaglianza numerica errata.

Le disuguaglianze che comportano incognite possono essere vere per alcuni valori delle incognite e false per altri. Ad esempio, la disuguaglianza 2x+1>5 è vera per x = 3, ma falsa per x = -3. Per una disuguaglianza con un'incognita, puoi impostare il compito: risolvere la disuguaglianza. I problemi di risoluzione delle disuguaglianze nella pratica vengono posti e risolti non meno spesso dei problemi di risoluzione delle equazioni. Ad esempio, molti problemi economici si riducono allo studio e alla soluzione di sistemi di disuguaglianze lineari. In molti rami della matematica, le disuguaglianze sono più comuni delle equazioni.

Alcune disuguaglianze servono come uniche aiuto, permettendoti di dimostrare o confutare l'esistenza di un determinato oggetto, ad esempio la radice di un'equazione.

Disuguaglianze numeriche

Puoi confrontare numeri interi e frazioni decimali. Conoscere le regole per confrontare frazioni ordinarie con gli stessi denominatori ma numeratori diversi; con gli stessi numeratori, ma denominatori diversi. Qui imparerai come confrontare due numeri qualsiasi trovando il segno della loro differenza.

Il confronto dei numeri è ampiamente utilizzato nella pratica. Ad esempio, un economista confronta gli indicatori pianificati con quelli effettivi, un medico confronta la temperatura di un paziente con quella normale, un tornitore confronta le dimensioni di un pezzo lavorato con uno standard. In tutti questi casi, vengono confrontati alcuni numeri. Come risultato del confronto dei numeri, sorgono disuguaglianze numeriche.

Definizione. Il numero a è maggiore del numero b se differenza a-b positivo. Numero a meno numero b, se la differenza a-b è negativa.

Se a è maggiore di b, allora scrivono: a > b; se a è minore di b, allora scrivono: a Quindi, la disuguaglianza a > b significa che la differenza a - b è positiva, cioè a - b > 0. Disuguaglianza a Per due numeri a e b qualsiasi dalle seguenti tre relazioni a > b, a = b, a Confrontare i numeri a e b significa scoprire quale dei segni >, = o Teorema. Se a > b e b > c, allora a > c.

Teorema. Se aggiungi lo stesso numero a entrambi i membri della disuguaglianza, il segno della disuguaglianza non cambierà.
Conseguenza. Qualsiasi termine può essere spostato da una parte all'altra della disuguaglianza cambiando il segno di questo termine nel contrario.

Teorema. Se entrambi i lati della disuguaglianza vengono moltiplicati per lo stesso numero positivo, allora il segno di disuguaglianza non cambierà. Se entrambi i lati della disuguaglianza vengono moltiplicati per lo stesso un numero negativo, allora il segno della disuguaglianza cambierà nel contrario.
Conseguenza. Se entrambi i membri della disuguaglianza sono divisi per lo stesso numero positivo, il segno della disuguaglianza non cambierà. Se entrambi i membri della disuguaglianza sono divisi per lo stesso numero negativo, il segno della disuguaglianza cambierà nel segno opposto.

Sai che le uguaglianze numeriche possono essere aggiunte e moltiplicate termine per termine. Successivamente, imparerai come eseguire azioni simili con disuguaglianze. La capacità di sommare e moltiplicare le disuguaglianze termine per termine viene spesso utilizzata nella pratica. Queste azioni aiutano a risolvere i problemi di valutazione e confronto dei significati delle espressioni.

Quando si risolvono vari problemi, è spesso necessario aggiungere o moltiplicare i lati sinistro e destro delle disuguaglianze termine per termine. Allo stesso tempo, a volte si dice che le disuguaglianze si sommano o si moltiplicano. Ad esempio, se un turista ha percorso più di 20 km il primo giorno e più di 25 km il secondo, allora possiamo dire che in due giorni ha percorso più di 45 km. Allo stesso modo, se la lunghezza di un rettangolo è inferiore a 13 cm e la larghezza è inferiore a 5 cm, allora possiamo dire che l'area di questo rettangolo è inferiore a 65 cm2.

Nel considerare questi esempi, sono stati utilizzati i seguenti: teoremi sull'addizione e sulla moltiplicazione delle disuguaglianze:

Teorema. Sommando disuguaglianze dello stesso segno si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno: se a > b e c > d, allora a + c > b + d.

Teorema. Moltiplicando disuguaglianze dello stesso segno, i cui lati sinistro e destro sono positivi, si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno: se a > b, c > d e a, b, c, d sono numeri positivi, allora ac > bd.

Disuguaglianze con il segno > (maggiore di) e 1/2, 3/4 b, c Insieme ai segni di disuguaglianze strette > e Allo stesso modo, la disuguaglianza $a \geq b $ significa che il numero a è maggiore o uguale a b, cioè .e non inferiore a b.

Le disuguaglianze contenenti il segno $\geq $ o il segno $\leq $ sono dette non strette. Ad esempio, $18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 $ non sono disuguaglianze strette.

Tutte le proprietà delle disuguaglianze strette valgono anche per le disuguaglianze non strette. Inoltre, se per disuguaglianze strette i segni > fossero considerati opposti e si sapesse che per risolvere una serie di problemi applicati è necessario creare un modello matematico sotto forma di equazione o sistema di equazioni. Successivamente lo scoprirai modelli matematici Per risolvere molti problemi ci sono disuguaglianze con incognite. Verrà introdotto il concetto di risoluzione di una disuguaglianza e verrà mostrato come verificare se un dato numero è una soluzione a una particolare disuguaglianza.

Disuguaglianze della forma
\(ax > b, \quad ax in cui a e b sono numeri e x è un'incognita, sono chiamati disuguaglianze lineari con uno sconosciuto.

Definizione. La soluzione ad una disuguaglianza con un'incognita è il valore dell'incognita al quale questa disuguaglianza diventa una vera disuguaglianza numerica. Risolvere una disuguaglianza significa trovare tutte le sue soluzioni o constatare che non ne esiste alcuna.

Hai risolto le equazioni riducendole alle equazioni più semplici. Allo stesso modo, quando si risolvono le disuguaglianze, si cerca di ridurle, utilizzando le proprietà, alla forma di disuguaglianze semplici.

Risolvere disuguaglianze di secondo grado con una variabile

Disuguaglianze della forma
$ax^2+bx+c >0 $ e $ax^2+bx+c dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \(a \neq 0 $, chiamato disuguaglianze di secondo grado con una variabile.

Soluzione alla disuguaglianza
$ax^2+bx+c >0 $ o $ax^2+bx+c possono essere considerati come la ricerca di intervalli in cui la funzione \(y= ax^2+bx+c $ assume valore positivo o negativo valori Per fare ciò, è sufficiente analizzare come si trova il grafico della funzione $y= ax^2+bx+c$ nel piano delle coordinate: dove sono diretti i rami della parabola - verso l'alto o verso il basso, a prescindere la parabola interseca l'asse x e, se lo fa, in quali punti.

Algoritmo per risolvere le disuguaglianze di secondo grado con una variabile:
1) trovare il discriminante del trinomio quadrato $ax^2+bx+c$ e scoprire se il trinomio ha radici;
2) se il trinomio ha radici, segnatele sull'asse x e attraverso i punti segnati tracciate una parabola schematica, i cui rami sono diretti verso l'alto per a > 0 o verso il basso per a 0 o in basso per a 3) trova gli intervalli sull'asse x per i quali i punti parabole si trovano sopra l'asse x (se risolvono la disuguaglianza $ax^2+bx+c >0$) o sotto l'asse x (se risolvono la disuguaglianza $ax^2+bx+c >0$) disuguaglianza
\(ax^2+bx+c Risoluzione delle disuguaglianze utilizzando il metodo degli intervalli

Considera la funzione
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Il dominio di questa funzione è l'insieme di tutti i numeri. Gli zeri della funzione sono i numeri -2, 3, 5. Dividono il dominio di definizione della funzione negli intervalli $(-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) $ e $ (5; +\infty)$

Scopriamo quali sono i segni di questa funzione in ciascuno degli intervalli indicati.

L'espressione (x + 2)(x - 3)(x - 5) è il prodotto di tre fattori. Il segno di ciascuno di questi fattori negli intervalli considerati è indicato nella tabella:

In generale, lasciamo che la funzione sia data dalla formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
dove x è una variabile e x 1, x 2, ..., x n sono numeri che non sono uguali tra loro. I numeri x 1 , x 2 , ..., x n sono gli zeri della funzione. In ciascuno degli intervalli in cui il dominio di definizione è diviso per gli zeri della funzione, il segno della funzione viene conservato e quando passa per lo zero cambia segno.

Questa proprietà viene utilizzata per risolvere le disuguaglianze della forma
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dove x 1, x 2, ..., x n sono numeri non uguali tra loro

Metodo considerato la risoluzione delle disuguaglianze è chiamata metodo degli intervalli.

Forniamo esempi di risoluzione delle disuguaglianze utilizzando il metodo degli intervalli.

Risolvere la disuguaglianza:

$x(0.5-x)(x+4) Ovviamente gli zeri della funzione f(x) = x(0.5-x)(x+4) sono i punti \(x=0, \; x= \ frac(1)(2), \;x=-4 $

Tracciamo gli zeri della funzione sull'asse dei numeri e calcoliamo il segno su ciascun intervallo:

Selezioniamo gli intervalli in cui la funzione è inferiore o uguale a zero e annotiamo la risposta.

Risposta:
$x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) $

Molte persone pensano che le disuguaglianze esponenziali siano qualcosa di complesso e incomprensibile. E che imparare a risolverli è quasi una grande arte, che solo gli Eletti sono in grado di comprendere...

Totale assurdità! Le disuguaglianze esponenziali sono facili. E sono sempre risolti semplicemente. Beh, quasi sempre. :)

Oggi esamineremo questo argomento dentro e fuori. Questa lezione sarà molto utile per coloro che stanno appena iniziando a comprendere questa sezione della matematica scolastica. Iniziamo con compiti semplici e passeremo a questioni più complesse. Non ci sarà alcun duro lavoro oggi, ma quello che stai per leggere sarà sufficiente per risolvere la maggior parte delle disuguaglianze su tutti i tipi di test e test. lavoro indipendente. E anche in questo tuo esame.

Come sempre, partiamo da una definizione. Una disuguaglianza esponenziale è qualsiasi disuguaglianza che contiene una funzione esponenziale. In altre parole, essa può sempre essere ridotta ad una disuguaglianza della forma

\[((a)^(x)) \gt b\]

Dove il ruolo di $b$ può essere un numero ordinario, o forse qualcosa di più difficile. Esempi? Sì grazie:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fine(allineare)\]

Penso che il significato sia chiaro: c'è funzione esponenziale$((a)^(x))$, viene confrontato con qualcosa e quindi viene chiesto di trovare $x$. In casi particolarmente clinici, al posto della variabile $x$, possono essere inserite alcune funzioni $f\left(x \right)$ e quindi complicare un po' la disuguaglianza :).

Naturalmente, in alcuni casi la disuguaglianza può apparire più grave. Per esempio:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

O anche questo:

In generale, la complessità di tali disuguaglianze può essere molto diversa, ma alla fine si riducono comunque alla semplice costruzione $((a)^(x)) \gt b$. E in qualche modo scopriremo una simile costruzione (nei casi particolarmente clinici, quando non ci viene in mente nulla, i logaritmi ci aiuteranno). Pertanto, ora ti insegneremo come risolvere costruzioni così semplici.

Risoluzione di semplici disuguaglianze esponenziali

Consideriamo una cosa molto semplice. Ad esempio, questo:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Ovviamente, il numero a destra può essere riscritto come una potenza di due: $4=((2)^(2))$. Pertanto, la disuguaglianza originale può essere riscritta in una forma molto conveniente:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

E ora le mie mani non vedono l'ora di “cancellare” i due nelle basi delle potenze per ottenere la risposta $x \gt 2$. Ma prima di cancellare qualsiasi cosa, ricordiamo le potenze di due:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Come vediamo, allora numero maggioreè nell'esponente, maggiore è il numero di output. "Grazie, Capitano!" - esclamerà uno degli studenti. È diverso? Sfortunatamente, succede. Per esempio:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ destra))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Anche qui tutto è logico: cosa più grado, quante più volte il numero 0,5 viene moltiplicato per se stesso (cioè diviso a metà). Pertanto, la sequenza di numeri risultante è decrescente e la differenza tra la prima e la seconda sequenza è solo nella base:

Se la base del grado $a \gt 1$, allora all'aumentare dell'esponente $n$ aumenterà anche il numero $((a)^(n))$;
E viceversa, se $0 \lt a \lt 1$, all'aumentare dell'esponente $n$, il numero $((a)^(n))$ diminuirà.

Riassumendo questi fatti, otteniamo l’affermazione più importante su cui si basa l’intera soluzione delle disuguaglianze esponenziali:

Se $a \gt 1$, allora la disuguaglianza $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ è equivalente alla disuguaglianza $x \gt n$. Se $0 \lt a \lt 1$, allora la disuguaglianza $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ è equivalente alla disuguaglianza $x \lt n$.

In altre parole, se la base è maggiore di uno, puoi semplicemente rimuoverla: il segno di disuguaglianza non cambierà. E se la base è inferiore a uno, allora puoi anche rimuoverla, ma allo stesso tempo dovrai cambiare il segno di disuguaglianza.

Tieni presente che non abbiamo considerato le opzioni $a=1$ e $a\le 0$. Perché in questi casi nasce l’incertezza. Diciamo come risolvere una disuguaglianza della forma $((1)^(x)) \gt 3$? Uno a qualsiasi potere ne darà di nuovo uno: non ne otterremo mai tre o più. Quelli. non ci sono soluzioni.

CON ragioni negative ancora più interessante. Consideriamo, ad esempio, questa disuguaglianza:

\[((\sinistra(-2 \destra))^(x)) \gt 4\]

A prima vista, tutto è semplice:

Giusto? Ma no! Basta sostituire al posto di $x$ una coppia di pari e una coppia numeri dispari per assicurarsi che la soluzione non sia corretta. Guarda:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Frecciadestra ((\sinistra(-2 \destra))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Frecciadestra ((\sinistra(-2 \destra))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Freccia destra ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Come puoi vedere, i segni si alternano. Ma c'è di più poteri frazionari e altro stagno. Come, ad esempio, ordineresti di calcolare $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (meno due alla potenza di sette)? Non c'è modo!

Pertanto, per certezza, assumiamo che in tutte le disuguaglianze esponenziali (e anche nelle equazioni) $1\ne a \gt 0$. E poi tutto è risolto in modo molto semplice:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(allineare) \right.\]

In generale, ricorda ancora una volta la regola principale: se la base in un'equazione esponenziale è maggiore di uno, puoi semplicemente rimuoverla; e se la base è minore di uno, si potrà anche togliere, ma cambierà il segno della disuguaglianza.

Esempi di soluzioni

Quindi, diamo un'occhiata ad alcune semplici disuguaglianze esponenziali:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fine(allineare)\]

Il compito principale in tutti i casi è lo stesso: ridurre le disuguaglianze alla forma più semplice $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Questo è esattamente ciò che faremo ora con ciascuna disuguaglianza, e allo stesso tempo ripeteremo le proprietà dei gradi e delle funzioni esponenziali. Quindi andiamo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Che cosa si può fare qui? Ebbene, a sinistra abbiamo già un'espressione indicativa: non è necessario modificare nulla. Ma a destra c'è una specie di schifezza: una frazione e persino una radice al denominatore!

Tuttavia, ricordiamo le regole per lavorare con frazioni e potenze:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fine(allineare)\]

Cosa significa? Innanzitutto, possiamo facilmente eliminare la frazione trasformandola in una potenza con esponente negativo. E in secondo luogo, poiché il denominatore ha una radice, sarebbe carino trasformarlo in una potenza, questa volta con un esponente frazionario.

Applichiamo queste azioni in sequenza al lato destro della disuguaglianza e vediamo cosa succede:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Non dimenticare che quando si eleva un grado a potenza, gli esponenti di questi gradi si sommano. E in generale, quando si lavora con equazioni e disuguaglianze esponenziali, è assolutamente necessario conoscere almeno le regole più semplici per lavorare con le potenze:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fine(allineare)\]

In realtà, abbiamo appena applicato l'ultima regola. Pertanto, la nostra disuguaglianza originale verrà riscritta come segue:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Ora ci liberiamo dei due alla base. Poiché 2 > 1, il segno di disuguaglianza rimarrà lo stesso:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Questa è la soluzione! La difficoltà principale non sta affatto nella funzione esponenziale, ma nella trasformazione competente dell'espressione originale: è necessario portarla attentamente e rapidamente alla sua forma più semplice.

Consideriamo la seconda disuguaglianza:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Così così. Qui ci aspettano le frazioni decimali. Come ho detto molte volte, in qualsiasi espressione con potenze dovresti eliminare i decimali: questo è spesso l'unico modo per vedere una soluzione rapida e semplice. Qui ci libereremo di:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Freccia destra ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\fine(allinea)\]

Anche in questo caso abbiamo la disuguaglianza più semplice, e anche con una base di 1/10, cioè meno di uno. Ebbene, togliamo le basi, cambiando contemporaneamente il segno da “meno” a “più”, e otteniamo:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fine(allineare)\]

Abbiamo ricevuto la risposta finale: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Nota: la risposta è esattamente un insieme e in nessun caso una costruzione della forma $x \lt -1$. Perché formalmente tale costruzione non è affatto un insieme, ma una disuguaglianza rispetto alla variabile $x$. Sì, è molto semplice, ma non è la risposta!

Nota importante. Questa disuguaglianza potrebbe essere risolta in un altro modo: riducendo entrambe le parti a una potenza con base maggiore di uno. Guarda:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Freccia destra ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cpunto 2))\]

Dopo tale trasformazione otterremo nuovamente una disuguaglianza esponenziale, ma con base 10 > 1. Ciò significa che possiamo semplicemente cancellare il dieci: il segno della disuguaglianza non cambierà. Noi abbiamo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fine(allinea)\]

Come puoi vedere, la risposta è stata esattamente la stessa. Allo stesso tempo, ci siamo salvati dalla necessità di cambiare il segno e in generale di ricordare eventuali regole :).

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Tuttavia, non lasciare che questo ti spaventi. Qualunque sia il contenuto degli indicatori, la tecnologia per risolvere la disuguaglianza rimane la stessa. Notiamo quindi innanzitutto che 16 = 2 4. Riscriviamo la disuguaglianza originaria tenendo conto di questo fatto:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Evviva! Abbiamo la solita disuguaglianza quadratica! Il segno non è cambiato da nessuna parte, poiché la base è due, un numero maggiore di uno.

Zeri di una funzione sulla retta numerica

Disponiamo i segni della funzione $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - ovviamente il suo grafico sarà una parabola con i rami verso l'alto, quindi ci saranno “più " ai lati. Siamo interessati alla regione in cui la funzione è minore di zero, cioè $x\in \left(2;5 \right)$ è la risposta al problema originale.

Consideriamo infine un’altra disuguaglianza:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ancora una volta vediamo una funzione esponenziale con una frazione decimale alla base. Convertiamo questa frazione in una frazione comune:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\sinistra(((5)^(-1)) \destra))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

In questo caso abbiamo utilizzato l'osservazione data in precedenza: abbiamo ridotto la base al numero 5 > 1 per semplificare la nostra ulteriore soluzione. Facciamo lo stesso con il lato destro:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ destra))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Riscriviamo la disuguaglianza originaria tenendo conto di entrambe le trasformazioni:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2))\destra)))\ge ((5)^(-2))\]

Le basi su entrambi i lati sono le stesse e superano l'una. Non ci sono altri termini a destra e a sinistra, quindi semplicemente “cancelliamo” i cinque e otteniamo un'espressione molto semplice:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

È qui che devi stare più attento. A molti studenti piace semplicemente estrarre Radice quadrata di entrambi i lati della disuguaglianza e scrivi qualcosa come $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. In nessun caso dovresti farlo, poiché la radice di un quadrato esatto è module, e in nessun caso la variabile originale:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\sinistra| x\destra|\]

Tuttavia, lavorare con i moduli non è l'esperienza più piacevole, vero? Quindi non lavoreremo. Invece, spostiamo semplicemente tutti i termini a sinistra e risolviamo la solita disuguaglianza utilizzando il metodo degli intervalli:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(allineare)$

Contrassegniamo nuovamente i punti ottenuti sulla linea numerica e osserviamo i segni:

Nota: i punti sono ombreggiati

Poiché stavamo risolvendo una disuguaglianza non rigorosa, tutti i punti sul grafico sono ombreggiati. Pertanto la risposta sarà: $x\in \left[ -1;1 \right]$ non è un intervallo, ma un segmento.

In generale, vorrei sottolineare che non c'è nulla di complicato nelle disuguaglianze esponenziali. Il significato di tutte le trasformazioni che abbiamo eseguito oggi si riduce a un semplice algoritmo:

Trovare la base alla quale ridurremo tutti i gradi;
Esegui attentamente le trasformazioni per ottenere una disuguaglianza della forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naturalmente al posto delle variabili $x$ e $n$ ce ne possono essere molte altre funzioni complesse, ma il significato non cambierà;
Cancella le basi dei gradi. In questo caso il segno della disuguaglianza può cambiare se la base $a \lt 1$.

In realtà, questo è un algoritmo universale per risolvere tutte queste disuguaglianze. E tutto il resto che ti diranno su questo argomento sono solo tecniche e trucchi specifici che semplificheranno e accelereranno la trasformazione. Parleremo di una di queste tecniche ora :).

Metodo di razionalizzazione

Consideriamo un altro insieme di disuguaglianze:

\[\begin(align) & ((\text()\!\!\pi\!\!\text())^(x+7)) \gt ((\text()\!\!\pi \!\!\testo( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \destra))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Allora cosa hanno di così speciale? Sono leggeri. Anche se, fermati! Il numero π è elevato a una certa potenza? Che sciocchezza?

Come elevare a potenza il numero $2\sqrt(3)-3$? Oppure $3-2\sqrt(2)$? Gli scrittori problematici ovviamente hanno bevuto troppo biancospino prima di sedersi a lavorare :).

In realtà, non c'è nulla di spaventoso in questi compiti. Lascia che te lo ricordi: una funzione esponenziale è un'espressione della forma $((a)^(x))$, dove la base $a$ è qualsiasi numero positivo tranne uno. Il numero π è positivo, lo sappiamo già. Anche i numeri $2\sqrt(3)-3$ e $3-2\sqrt(2)$ sono positivi: questo è facile da vedere se li confronti con zero.

Si scopre che tutte queste disuguaglianze “spaventose” vengono risolte in modo non diverso da quelle semplici discusse sopra? E si risolvono allo stesso modo? Sì, è assolutamente vero. Tuttavia, usando il loro esempio, vorrei considerare una tecnica che consente di risparmiare notevolmente tempo nel lavoro indipendente e negli esami. Parleremo del metodo di razionalizzazione. Quindi, attenzione:

Qualsiasi disuguaglianza esponenziale della forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ è equivalente alla disuguaglianza $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ destra) \gt 0 $.

Questo è il metodo. :) Pensavi che ci sarebbe stata una specie di altro gioco? Niente del genere! Ma questo semplice fatto, scritto letteralmente in una riga, semplificherà notevolmente il nostro lavoro. Guarda:

\[\begin(matrix) ((\text()\!\!\pi\!\!\text())^(x+7)) \gt ((\text()\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrice)\]

Quindi non ci sono più funzioni esponenziali! E non devi ricordare se il segno cambia o meno. Ma sorge nuovo problema: cosa fare con il maledetto moltiplicatore \[\left(\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Non sappiamo di cosa si tratta valore esatto numeri π. Tuttavia, il capitano sembra alludere all’ovvio:

\[\text()\!\!\pi\!\!\text( )\circa 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

In generale, il valore esatto di π non ci preoccupa veramente, è importante solo capire che in ogni caso $\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. questa è una costante positiva e possiamo dividere entrambi i lati della disuguaglianza per essa:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Come puoi vedere, a un certo punto abbiamo dovuto dividere per meno uno e il segno della disuguaglianza è cambiato. Alla fine, ho ampliato il trinomio quadratico utilizzando il teorema di Vieta: è ovvio che le radici sono uguali a $((x)_(1))=5$ e $((x)_(2))=-1$ . Quindi tutto viene risolto utilizzando il metodo classico dell'intervallo:

Risolvere le disuguaglianze utilizzando il metodo degli intervalli

Tutti i punti vengono rimossi perché la disuguaglianza originaria è stretta. Siamo interessati alla regione con valori negativi, quindi la risposta è $x\in \left(-1;5 \right)$. Questa è la soluzione. :)

Passiamo al compito successivo:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tutto qui è generalmente semplice, perché c'è un'unità sulla destra. E ricordiamo che uno è un numero qualsiasi elevato allo zero. Anche se questo numero è un'espressione irrazionale alla base a sinistra:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\fine(allineare)\]

Bene, razionalizziamo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Non resta che individuare i segnali. Il fattore $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ non contiene la variabile $x$: è solo una costante e dobbiamo scoprirne il segno. A tale scopo, tenere presente quanto segue:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Si scopre che il secondo fattore non è solo una costante, ma una costante negativa! E dividendo per esso, il segno della disuguaglianza originaria cambia al contrario:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Ora tutto diventa completamente ovvio. Le radici del trinomio quadrato a destra sono: $((x)_(1))=0$ e $((x)_(2))=2$. Li segniamo sulla linea numerica e osserviamo i segni della funzione $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Il caso in cui siamo interessati agli intervalli laterali

A noi interessano gli intervalli contrassegnati dal segno più. Non resta che scrivere la risposta:

Passiamo al prossimo esempio:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ destra))^(16-x))\]

Bene, qui tutto è completamente ovvio: le basi contengono potenze dello stesso numero. Pertanto, scriverò tutto brevemente:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Giù \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ sinistra(16-x \destra))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Come puoi vedere, durante il processo di trasformazione abbiamo dovuto moltiplicare per un numero negativo, quindi il segno della disuguaglianza è cambiato. Alla fine ho applicato nuovamente il teorema di Vieta per fattorizzare il trinomio quadratico. Di conseguenza, la risposta sarà la seguente: $x\in \left(-8;4 \right)$ - chiunque può verificarlo disegnando una linea numerica, segnando i punti e contando i segni. Nel frattempo passiamo all’ultima disuguaglianza del nostro “insieme”:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Come puoi vedere, alla base c'è ancora un numero irrazionale, e a destra c'è ancora un'unità. Pertanto, riscriviamo la nostra disuguaglianza esponenziale come segue:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ destra))^(0))\]

Applichiamo la razionalizzazione:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tuttavia, è abbastanza ovvio che $1-\sqrt(2) \lt 0$, poiché $\sqrt(2)\about 1,4... \gt 1$. Pertanto, il secondo fattore è ancora una costante negativa, per la quale è possibile dividere entrambi i lati della disuguaglianza:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Spostarsi in un'altra base

Un problema separato quando si risolvono le disuguaglianze esponenziali è la ricerca della base “corretta”. Purtroppo non è sempre chiaro a prima vista in un compito cosa prendere come base e cosa fare a seconda del grado di questa base.

Ma non preoccuparti: qui non esiste alcuna magia o tecnologia “segreta”. In matematica, qualsiasi abilità che non può essere algoritmizzata può essere facilmente sviluppata attraverso la pratica. Ma per questo dovrai risolvere i problemi diversi livelli le difficoltà. Ad esempio, in questo modo:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fine(allinea)\]

Difficile? Allarmante? È più facile che colpire un pollo sull'asfalto! Proviamo. Prima disuguaglianza:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Bene, penso che qui sia tutto chiaro:

Riscriviamo la disuguaglianza originale, riducendo tutto in base due:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Sì, sì, hai capito bene: ho semplicemente applicato il metodo di razionalizzazione sopra descritto. Ora dobbiamo lavorare con attenzione: abbiamo una disuguaglianza frazionaria-razionale (questa è quella che ha una variabile al denominatore), quindi prima di equiparare qualsiasi cosa a zero, dobbiamo portare tutto a un denominatore comune ed eliminare il fattore costante .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Ora utilizziamo il metodo dell'intervallo standard. Zeri del numeratore: $x=\pm 4$. Il denominatore va a zero solo quando $x=0$. Ci sono tre punti in totale che devono essere segnati sulla linea numerica (tutti i punti sono fissati perché il segno di disuguaglianza è rigoroso). Noi abbiamo:

Di più caso difficile: tre radici

Come puoi immaginare, l'ombreggiatura segna gli intervalli in cui assume l'espressione a sinistra valori negativi. Pertanto, la risposta finale includerà due intervalli contemporaneamente:

Le estremità degli intervalli non sono incluse nella risposta perché la disuguaglianza originaria era stretta. Non è richiesta alcuna ulteriore verifica di questa risposta. A questo proposito, le disuguaglianze esponenziali sono molto più semplici di quelle logaritmiche: nessuna ODZ, nessuna restrizione, ecc.

Passiamo al compito successivo:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Anche qui non ci sono problemi, poiché sappiamo già che $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, quindi l'intera disuguaglianza può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Freccia destra ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sinistra(-2 \destra) \destra. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Nota: nella terza riga ho deciso di non perdere tempo in sciocchezze e di dividere subito tutto per (−2). Minul è entrato nel primo girone (ora ci sono vantaggi ovunque) e il due è stato ridotto con un fattore costante. Questo è esattamente ciò che dovresti fare quando prepari display reali su indipendenti e prove— non è necessario descrivere ogni azione e trasformazione.

Successivamente entra in gioco il metodo familiare degli intervalli. Zeri dei numeratori: ma non ce ne sono. Perché il discriminante sarà negativo. A sua volta, il denominatore viene ripristinato solo a $x=0$, proprio come l'ultima volta. Bene, è chiaro che a destra di $x=0$ prenderà la frazione valori positivi, e a sinistra sono negativi. Poiché siamo interessati a valori negativi, la risposta finale è: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Cosa dovresti fare con le frazioni decimali nelle disuguaglianze esponenziali? Esatto: sbarazzarcene, convertendoli in comuni. Qui tradurremo:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ sinistra(\frac(4)(25) \destra))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\destra))^(x)). \\\fine(allineare)\]

Quindi cosa abbiamo ottenuto dalle basi delle funzioni esponenziali? E abbiamo due numeri reciprocamente inversi:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ destra))^(x))=((\sinistra(((\sinistra(\frac(4)(25) \destra))^(-1)) \destra))^(x))=((\ sinistra(\frac(4)(25) \destra))^(-x))\]

Pertanto la disuguaglianza originaria può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fine(allineare)\]

Naturalmente, moltiplicando le potenze con la stessa base, i loro esponenti si sommano, come è successo nella seconda riga. Inoltre, abbiamo rappresentato l'unità a destra, anch'essa come potenza in base 4/25. Non resta che razionalizzare:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Si noti che $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, cioè il secondo fattore è una costante negativa e, dividendo per esso, il segno di disuguaglianza cambierà:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Infine, l’ultima disuguaglianza dell’attuale “insieme”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

In linea di principio, anche qui l'idea della soluzione è chiara: tutte le funzioni esponenziali incluse nella disuguaglianza devono essere ridotte alla base “3”. Ma per questo dovrai armeggiare un po’ con radici e poteri:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fine(allineare)\]

Tenendo conto di questi fatti, la disuguaglianza originaria può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\destra))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fine(allineare)\]

Presta attenzione alla 2a e 3a riga dei calcoli: prima di fare qualsiasi cosa con la disuguaglianza, assicurati di portarla nella forma di cui abbiamo parlato fin dall'inizio della lezione: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Finché hai alcuni fattori mancini, costanti aggiuntive, ecc. A sinistra o a destra, non è possibile effettuare alcuna razionalizzazione o “cancellazione” dei motivi! Innumerevoli attività sono state completate in modo errato a causa della mancata comprensione di ciò fatto semplice. Io stesso osservo costantemente questo problema con i miei studenti quando stiamo appena iniziando ad analizzare le disuguaglianze esponenziali e logaritmiche.

Ma torniamo al nostro compito. Proviamo a fare a meno della razionalizzazione questa volta. Ricordiamolo: la base del grado è maggiore di uno, quindi le triple possono essere semplicemente cancellate: il segno di disuguaglianza non cambierà. Noi abbiamo:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

È tutto. Risposta finale: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isolare un'espressione stabile e sostituire una variabile

In conclusione, propongo di risolvere altre quattro disuguaglianze esponenziali, che sono già abbastanza difficili per gli studenti impreparati. Per affrontarli, è necessario ricordare le regole per lavorare con i titoli di studio. In particolare, mettendo i fattori comuni tra parentesi.

Ma la cosa più importante è imparare a capire cosa si può togliere esattamente dalle parentesi. Tale espressione è chiamata stabile: può essere denotata da una nuova variabile e quindi eliminare la funzione esponenziale. Quindi, diamo un'occhiata ai compiti:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Cominciamo dalla primissima riga. Scriviamo questa disuguaglianza separatamente:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Nota che $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, quindi la mano destra lato può essere riscritto:

Nota che non ci sono altre funzioni esponenziali eccetto $((5)^(x+1))$ nella disuguaglianza. E in generale, la variabile $x$ non appare da nessun'altra parte, quindi introduciamo una nuova variabile: $((5)^(x+1))=t$. Otteniamo la seguente costruzione:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Ritorniamo alla variabile originale ($t=((5)^(x+1))$) e allo stesso tempo ricordiamo che 1=5 0 . Abbiamo:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fine(allineare)\]

Questa è la soluzione! Risposta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Passiamo alla seconda disuguaglianza:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutto è uguale qui. Tieni presente che $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Quindi il lato sinistro può essere riscritto:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\destra. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Freccia destra ((3)^(x))\ge 9\Freccia destra ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fine(allineare)\]

Questo è approssimativamente il modo in cui è necessario elaborare una soluzione per test reali e lavoro indipendente.

Bene, proviamo qualcosa di più complicato. Ad esempio, ecco la disuguaglianza:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Qual è il problema qui? Innanzitutto le basi delle funzioni esponenziali a sinistra sono diverse: 5 e 25. Tuttavia 25 = 5 2, quindi il primo termine si può trasformare:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Come puoi vedere, all'inizio abbiamo portato tutto sulla stessa base, e poi abbiamo notato che il primo termine può essere facilmente ridotto al secondo: devi solo espandere l'esponente. Ora puoi tranquillamente introdurre una nuova variabile: $((5)^(2x+2))=t$, e l'intera disuguaglianza verrà riscritta come segue:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

E ancora una volta, nessuna difficoltà! Risposta finale: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Passiamo alla disuguaglianza finale nella lezione di oggi:

\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

La prima cosa a cui dovresti prestare attenzione è, ovviamente, decimale alla base del primo grado. È necessario liberarsene e allo stesso tempo portare tutte le funzioni esponenziali sulla stessa base: il numero “2”:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\sinistra(((2)^(-1)) \destra))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Freccia destra ((16)^(x+1.5))=((\sinistra(((2)^(4)) \destra))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Fantastico, abbiamo fatto il primo passo: tutto ha portato alla stessa base. Ora devi selezionare espressione stabile. Nota che $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Se introduciamo una nuova variabile $((2)^(4x+6))=t$, allora la disuguaglianza originale può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\fine(allineare)\]

Naturalmente potrebbe sorgere la domanda: come abbiamo scoperto che 256 = 2 8? Sfortunatamente, qui devi solo conoscere le potenze di due (e allo stesso tempo le potenze di tre e cinque). Bene, oppure dividi 256 per 2 (puoi dividere, poiché 256 lo è numero pari) finché non otteniamo il risultato. Apparirà qualcosa del genere:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Lo stesso vale con il tre (i numeri 9, 27, 81 e 243 sono i suoi gradi), e con il sette (sarebbe bello ricordare anche i numeri 49 e 343). Ebbene, il cinque ha anche dei titoli “bellissimi” che devi conoscere:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fine(allineare)\]

Naturalmente, se lo desideri, tutti questi numeri possono essere ripristinati nella tua mente semplicemente moltiplicandoli successivamente tra loro. Tuttavia, quando devi risolvere diverse disuguaglianze esponenziali e ciascuna successiva è più difficile della precedente, l'ultima cosa a cui vuoi pensare sono le potenze di alcuni numeri. E in questo senso, questi problemi sono più complessi delle disuguaglianze “classiche” risolte con il metodo degli intervalli.

Le equazioni e disuguaglianze esponenziali sono quelle in cui l'incognita è contenuta nell'esponente.

Risolvere equazioni esponenziali spesso si riduce a risolvere l'equazione a x = a b, dove a > 0, a ≠ 1, x è un'incognita. Questa equazione ha una sola radice x = b, poiché è vero il seguente teorema:

Teorema. Se a > 0, a ≠ 1 e a x 1 = a x 2, allora x 1 = x 2.

Sostanziamo l'affermazione considerata.

Supponiamo che l'uguaglianza x 1 = x 2 non valga, cioè x1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, allora la funzione esponenziale y = a x aumenta e quindi la disuguaglianza a x 1 deve essere soddisfatta< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >unax2. In entrambi i casi abbiamo ricevuto una contraddizione alla condizione a x 1 = a x 2.

Consideriamo diversi problemi.

Risolvi l'equazione 4 ∙ 2 x = 1.

Soluzione.

Scriviamo l'equazione nella forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, da cui otteniamo x + 2 = 0, cioè x = -2.

Risposta. x = -2.

Risolvi l'equazione 2 3x ∙ 3 x = 576.

Soluzione.

Poiché 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, l'equazione può essere scritta come 8 x ∙ 3 x = 24 2 oppure come 24 x = 24 2.

Da qui otteniamo x = 2.

Risposta. x = 2.

Risolvi l'equazione 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Soluzione.

Prendendo il fattore comune 3 x - 2 tra parentesi a sinistra, otteniamo 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

da cui 3 x - 2 = 1, cioè x – 2 = 0, x = 2.

Risposta. x = 2.

Risolvi l'equazione 3 x = 7 x.

Soluzione.

Poiché 7 x ≠ 0, l'equazione può essere scritta come 3 x /7 x = 1, da cui (3/7) x = 1, x = 0.

Risposta. x = 0.

Risolvi l'equazione 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Soluzione.

Sostituendo 3 x = a questa equazione si riduce a equazione quadrata a2 – 4a – 45 = 0.

Risolvendo questa equazione, troviamo le sue radici: a 1 = 9 e 2 = -5, da cui 3 x = 9, 3 x = -5.

L'equazione 3 x = 9 ha radice 2 e l'equazione 3 x = -5 non ha radici, poiché la funzione esponenziale non può assumere valori negativi.

Risposta. x = 2.

Risolvere le disuguaglianze esponenziali spesso si riduce a risolvere le disuguaglianze a x > a b o a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Diamo un'occhiata ad alcuni problemi.

Risolvi la disuguaglianza 3 volte< 81.

Soluzione.

Scriviamo la disuguaglianza nella forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, allora la funzione y = 3 x è crescente.

Pertanto, per x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Quindi, a x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 volte< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Risposta. X< 4.

Risolvi la disuguaglianza 16 x +4 x – 2 > 0.

Soluzione.

Indichiamo 4 x = t, quindi otteniamo la disuguaglianza quadratica t2 + t – 2 > 0.

Questa disuguaglianza vale per t< -2 и при t > 1.

Poiché t = 4 x, otteniamo due disuguaglianze 4 x< -2, 4 х > 1.

La prima disuguaglianza non ha soluzioni, poiché 4 x > 0 per ogni x € R.

Scriviamo la seconda disuguaglianza nella forma 4 x > 4 0, da cui x > 0.

Risposta. x > 0.

Risolvi graficamente l'equazione (1/3) x = x – 2/3.

Soluzione.

1) Costruiamo i grafici delle funzioni y = (1/3) x e y = x – 2/3.

2) In base alla nostra figura possiamo concludere che i grafici delle funzioni considerate si intersecano nel punto con l'ascissa x ≈ 1. La verifica dimostra che

x = 1 è la radice di questa equazione:

(1/3) 1 = 1/3 e 1 – 2/3 = 1/3.

In altre parole, abbiamo trovato una delle radici dell’equazione.

3) Troviamo altre radici o dimostriamo che non ce ne sono. La funzione (1/3) x è decrescente e la funzione y = x – 2/3 è crescente. Pertanto, per x > 1, i valori della prima funzione sono inferiori a 1/3 e della seconda superiori a 1/3; all'x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 e x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Risposta. x = 1.

Si noti che dalla soluzione di questo problema, in particolare, segue che la disuguaglianza (1/3) x > x – 2/3 è soddisfatta per x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

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Teoria:

Quando si risolvono le disuguaglianze, vengono utilizzate le seguenti regole:

1. Qualsiasi termine della disuguaglianza può essere trasferito da una parte
disuguaglianze ad un altro segno opposto, mentre il segno della disuguaglianza non cambia.

2. Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati o divisi per uno
e lo stesso numero positivo senza cambiare il segno di disuguaglianza.

3. Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati o divisi per uno
e lo stesso numero negativo, cambiando il segno di disuguaglianza in
opposto.

Risolvere la disuguaglianza − 8×+11< − 3 x − 4
Soluzione.

1. Spostiamo il pene − 3 volte a sinistra della disuguaglianza e il termine 11 - a destra della disuguaglianza, cambiando i segni in quelli opposti − 3 volte e a 11 .
Allora otteniamo

− 8x + 3x< − 4 − 11

− 5x< − 15

2. Dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza − 5x< − 15 ad un numero negativo − 5 e il segno di disuguaglianza < , cambierà in > , cioè. passiamo ad una disuguaglianza di significato opposto.
Noi abbiamo:

− 5x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— soluzione di una data disuguaglianza.

Fai attenzione!

Esistono due opzioni per scrivere una soluzione: x > 3 o come intervallo numerico.

Contrassegniamo l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza sulla linea numerica e scriviamo la risposta sotto forma di intervallo numerico.

x∈ (3 ; + ∞ )

Risposta: x > 3 O x∈ (3 ; + ∞ )

Disuguaglianze algebriche.

Disuguaglianze quadratiche. Disuguaglianze razionali di grado superiore.

I metodi per risolvere le disuguaglianze dipendono principalmente dalla classe a cui appartengono le funzioni che compongono la disuguaglianza.

IO. Disuguaglianze quadratiche, cioè disuguaglianze della forma

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Per risolvere la disuguaglianza puoi:

Fattorizza il trinomio quadrato, ovvero scrivi la disuguaglianza nella forma

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

Traccia le radici del polinomio sulla retta numerica. Le radici dividono l'insieme dei numeri reali in intervalli, in ciascuno dei quali esiste un corrispondente funzione quadratica avrà segno costante.
Determina il segno di a (x - x 1) (x - x 2) in ciascun intervallo e scrivi la risposta.

Se un trinomio quadrato non ha radici, allora per D<0 и a>0 trinomio quadrato è positivo per qualsiasi x.

Risolvere la disuguaglianza. x2 + x-6 > 0.

Fattorizza il trinomio quadratico (x + 3) (x - 2) > 0

Risposta: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Questa disuguaglianza è vera per qualsiasi x tranne x = 6.

Risposta: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Qui D< 0, a = 1 >0. Il trinomio quadrato è positivo per tutti gli x.

Risposta: x Î Ø.

Risolvere le disuguaglianze:

1+x-2x²< 0. Ответ:
3x² - 12x + 12 ≤ 0. Risposta:
3x² - 7x + 5 ≤ 0. Risposta:
2x² - 12x + 18 > 0. Risposta:
Per quali valori di a vale la disuguaglianza

x² - ax > vale per qualsiasi x? Risposta:

II. Disuguaglianze razionali di grado più elevato, cioè, disuguaglianze della forma

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Un polinomio di massimo grado dovrebbe essere fattorizzato, cioè la disuguaglianza dovrebbe essere scritta nella forma

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Segna i punti sulla retta numerica in cui il polinomio svanisce.

Determina i segni del polinomio su ciascun intervallo.

1) Risolvi la disuguaglianza x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Quindi x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Risposta: (0; 1) (2; 3).

2) Risolvi la disuguaglianza (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Segniamo i punti sull'asse dei numeri in cui il polinomio svanisce. Questi sono x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Nel punto x = - ½ non si ha cambio di segno perché il binomio (2x + 1) è elevato a potenza pari, cioè l'espressione (2x + 1) 4 non cambia segno passando per il punto x = -½.

Risposta: (-∞; -2) (½; 1).

3) Risolvi la disuguaglianza: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Questa disuguaglianza è equivalente al seguente insieme

La soluzione della (1) è x (-∞; -2) (3; +∞). La soluzione della (2) è x = 0, x = -2, x = 3. Combinando le soluzioni ottenute, otteniamo x О (-∞; -2] (0) (0) )