Risolvere graficamente le disuguaglianze quadratiche.

Il grafico di una disuguaglianza lineare o quadratica è costruito allo stesso modo del grafico di qualsiasi funzione (equazione). La differenza è che la disuguaglianza implica soluzioni multiple, quindi il grafico di una disuguaglianza non è solo un punto su una retta numerica o una retta su piano delle coordinate. Usando le operazioni matematiche e il segno di disuguaglianza, puoi determinare molte soluzioni alla disuguaglianza.

Passi

Rappresentazione grafica della disuguaglianza lineare sulla retta numerica

1. Risolvi la disuguaglianza. Per fare ciò, isola la variabile utilizzando le stesse tecniche algebriche che usi per risolvere qualsiasi equazione. Ricordatelo quando moltiplichi o dividi una disuguaglianza per un numero negativo(o termine), invertire il segno di disuguaglianza.

   • Ad esempio, data la disuguaglianza 3 anni + 9 > 12 (\displaystyle 3anni+9>12). Per isolare una variabile, sottrai 9 da entrambi i lati della disuguaglianza, quindi dividi entrambi i lati per 3:
     3 anni + 9 > 12 (\displaystyle 3anni+9>12)
     3 a + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3a+9-9>12-9)
     3 anni > 3 (\displaystyle 3anni>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Una disuguaglianza deve avere una sola variabile. Se la disuguaglianza ha due variabili, è meglio tracciare il grafico sul piano delle coordinate.

2. Disegna una linea numerica. Sulla linea numerica, segna il valore che hai trovato (la variabile può essere minore, maggiore o uguale a questo valore). Disegna una linea numerica della lunghezza appropriata (lunga o corta).

   • Ad esempio, se lo calcoli y > 1 (\displaystyle y>1), segnare il valore 1 sulla linea numerica.

3. Disegna un cerchio per rappresentare il valore trovato. Se la variabile è inferiore a ( < {\displaystyle <} ) o più ( > (\displaystyle >)) di questo valore, il cerchio non è riempito perché l'insieme delle soluzioni non include questo valore. Se la variabile è minore o uguale a ( ≤ (\displaystyle \leq )) o maggiore o uguale a ( ≥ (\displaystyle \geq )) a questo valore, il cerchio è riempito perché il set di soluzioni include questo valore.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), sulla linea numerica, disegna un cerchio aperto nel punto 1 perché 1 non è nell'insieme delle soluzioni.

4. Sulla linea numerica, ombreggia la regione che definisce l'insieme della soluzione. Se la variabile è maggiore del valore trovato, ombreggia l'area alla sua destra, perché l'insieme della soluzione comprende tutti i valori maggiori del valore trovato. Se la variabile è inferiore al valore trovato, ombreggiare l'area alla sua sinistra, perché l'insieme della soluzione comprende tutti i valori inferiori al valore trovato.

   • Ad esempio, se data la disuguaglianza y > 1 (\displaystyle y>1), sulla linea dei numeri, ombreggia l'area a destra di 1 perché l'insieme della soluzione comprende tutti i valori maggiori di 1.

   Rappresentazione grafica della disuguaglianza lineare sul piano delle coordinate

   1. Risolvi la disuguaglianza (trova il valore y (\displaystyle y)). Per ottenere un'equazione lineare, isola la variabile sul lato sinistro utilizzando tecniche algebriche familiari. Dovrebbe esserci una variabile sul lato destro x (\displaystyle x) e forse qualche costante.

      • Ad esempio, data la disuguaglianza 3 a + 9 > 9 x (\displaystyle 3a+9>9x). Isolare una variabile y (\displaystyle y), sottrai 9 da entrambi i membri della disuguaglianza, quindi dividi entrambi i membri per 3:
        3 a + 9 > 9 x (\displaystyle 3a+9>9x)
        3 a + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3a+9-9>9x-9)
        3 a > 9 x − 9 (\displaystyle 3a>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x - 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Disegna un grafico sul piano delle coordinate equazione lineare. disegna un grafico come faresti con il grafico di qualsiasi equazione lineare. Traccia l'intercetta Y e poi usa la pendenza per tracciare gli altri punti.

      • y > 3 x - 3 (\displaystyle y>3x-3) rappresentare graficamente l'equazione y = 3x-3 (\displaystyle y=3x-3). Il punto di intersezione con l'asse Y ha coordinate e pendenzaè uguale a 3 (o 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Quindi prima traccia il punto con le coordinate (0 , - 3) (\displaystyle (0,-3)); il punto sopra il punto di intersezione dell'asse y ha coordinate (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); il punto sotto il punto di intersezione dell'asse Y ha le coordinate (- 1 , - 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Disegna una linea retta. Se la disuguaglianza è stretta (include il segno < {\displaystyle <} O > (\displaystyle >)), tracciare una linea tratteggiata perché l'insieme della soluzione non include valori sulla linea. Se la disuguaglianza non è stretta (include il segno ≤ (\displaystyle \leq ) O ≥ (\displaystyle \geq )), traccia una linea continua perché l'insieme della soluzione include valori che si trovano sulla linea.

      • Ad esempio, nel caso della disuguaglianza y > 3 x - 3 (\displaystyle y>3x-3) traccia una linea tratteggiata perché l'insieme della soluzione non include valori sulla linea.

   4. Ombreggia l'area appropriata. Se la disuguaglianza è della forma y > mx+b (\displaystyle y>mx+b), ombreggia l'area sopra la linea. Se la disuguaglianza è della forma sì< m x + b {\displaystyle y, ombreggia l'area sotto la linea.

      • Ad esempio, nel caso della disuguaglianza y > 3 x - 3 (\displaystyle y>3x-3) ombreggiare l'area sopra la linea.

   Rappresentazione grafica della disuguaglianza quadratica sul piano delle coordinate

   1. Determina che questa disuguaglianza è quadratica. La disuguaglianza quadratica ha la forma a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). A volte la disuguaglianza non contiene una variabile del primo ordine ( x (\displaystyle x)) e/o un termine libero (costante), ma include necessariamente una variabile del secondo ordine ( x2 (\displaystyle x^(2))). Variabili x (\displaystyle x) E y (\displaystyle y) deve essere isolato lati diversi disuguaglianze.

      • Ad esempio, è necessario tracciare la disuguaglianza sì< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Disegna un grafico sul piano delle coordinate. Per fare ciò, converti la disuguaglianza in un'equazione e rappresentala come se rappresentassi qualsiasi equazione quadratica. Ricorda che il grafico di un'equazione quadratica è una parabola.

      • Ad esempio, nel caso della disuguaglianza sì< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y rappresentare graficamente un'equazione quadratica y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Il vertice della parabola è nel punto (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)) e la parabola interseca l'asse X nei punti (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) E (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

vedere anche Risoluzione grafica di un problema di programmazione lineare, Forma canonica dei problemi di programmazione lineare

Il sistema di vincoli per un tale problema consiste di disuguaglianze in due variabili:
e la funzione obiettivo ha la forma F = C 1 X + C 2 sì che deve essere massimizzato.

Rispondiamo alla domanda: quali coppie di numeri ( X; sì) sono soluzioni del sistema di diseguaglianze, cioè soddisfano ciascuna delle disuguaglianze contemporaneamente? In altre parole, cosa significa risolvere graficamente un sistema?
Per prima cosa devi capire qual è la soluzione di una disuguaglianza lineare con due incognite.
Risolvere una disuguaglianza lineare con due incognite significa determinare tutte le coppie di valori incogniti per cui vale la disuguaglianza.
Ad esempio, la disuguaglianza 3 X – 5sì≥ 42 soddisfano le coppie ( X , sì) : (100, 2); (3, –10), ecc. Il compito è trovare tutte queste coppie.
Consideriamo due disuguaglianze: ascia + di≤ C, ascia + di≥ C. Dritto ascia + di = C divide il piano in due semipiani in modo che le coordinate dei punti di uno di essi soddisfino la disuguaglianza ascia + di >C e l'altra disuguaglianza ascia + +di <C.
Infatti, prendiamo un punto con coordinata X = X 0; poi un punto giacente su una retta e avente un'ascissa X 0, ha un'ordinata

Diamo per certezza UN<0, B>0, C>0. Tutti i punti con ascissa X 0 sdraiato sopra P(ad esempio, punto M), Avere e M>sì 0 e tutti i punti sotto il punto P, con ascissa X 0, avere e N<sì 0 . Perché il X 0 è un punto arbitrario, quindi ci saranno sempre punti su un lato della linea per cui ascia+ di > C, formando un semipiano, e dall'altro lato - punti per i quali ascia + di< C.

Immagine 1

Il segno di disuguaglianza nel semipiano dipende dai numeri UN, B , C.
Ciò porta al seguente metodo di risoluzione grafica dei sistemi disuguaglianze lineari da due variabili. Per risolvere il sistema è necessario:

1. Per ogni disuguaglianza, scrivi l'equazione corrispondente a questa disuguaglianza.
2. Costruisci linee rette che sono grafici di funzioni specificate da equazioni.
3. Per ogni linea determinare il semipiano, che è dato dalla disuguaglianza. Per fare ciò, prendi un punto arbitrario che non giace su una linea e sostituisci le sue coordinate nella disuguaglianza. se la disuguaglianza è vera, allora il semipiano contenente il punto scelto è la soluzione della disuguaglianza originaria. Se la disuguaglianza è falsa, allora il semipiano dall'altra parte della retta è l'insieme delle soluzioni di questa disuguaglianza.
4. Per risolvere un sistema di diseguaglianze è necessario trovare l'area di intersezione di tutti i semipiani che costituiscono la soluzione di ciascuna disuguaglianza del sistema.

Quest'area potrebbe rivelarsi vuota, quindi il sistema di disuguaglianze non ha soluzioni ed è incoerente. Altrimenti il ​​sistema si dice coerente.
Le soluzioni possono essere un numero finito oppure un numero infinito. L'area può essere un poligono chiuso o illimitato.

Consideriamo tre esempi rilevanti.

Esempio 1. Risolvi graficamente il sistema:
X + sì – 1 ≤ 0;
–2X - 2sì + 5 ≤ 0.

• consideriamo le equazioni x+y–1=0 e –2x–2y+5=0 corrispondenti alle disuguaglianze;
• Costruiamo le rette date da queste equazioni.

figura 2

Definiamo i semipiani definiti dalle disuguaglianze. Prendiamo un punto arbitrario, sia (0; 0). Consideriamo X+ sì– 1 0, sostituisci il punto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Ciò significa che nel semipiano dove giace il punto (0; 0), X + sì – 1 ≤ 0, cioè il semipiano sottostante la linea è una soluzione alla prima disuguaglianza. Sostituendo questo punto (0; 0) nel secondo, otteniamo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, cioè nel semipiano in cui si trova il punto (0; 0), –2 X – 2sì+ 5≥ 0, e ci è stato chiesto dove –2 X – 2sì+ 5 ≤ 0, quindi, nell'altro semipiano, in quello sopra la retta.
Troviamo l'intersezione di questi due semipiani. Le linee sono parallele, quindi i piani non si intersecano da nessuna parte, il che significa che il sistema di queste disuguaglianze non ha soluzioni ed è incoerente.

Esempio 2. Trova soluzioni grafiche al sistema di disuguaglianze:

Figura 3
1. Scriviamo le equazioni corrispondenti alle disuguaglianze e costruiamo linee rette.
X + 2sì– 2 = 0

X	2	0
sì	0	1

sì – X – 1 = 0

X	0	2
sì	1	3

sì + 2 = 0;
sì = –2.
2. Avendo scelto il punto (0; 0), determiniamo i segni delle disuguaglianze nei semipiani:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, cioè X + 2sì– 2 ≤ 0 nel semipiano sottostante la retta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, cioè sì –X– 1 ≤ 0 nel semipiano sottostante la retta;
0 + 2 =2 ≥ 0, cioè sì+ 2 ≥ 0 nel semipiano sopra la retta.
3. L'intersezione di questi tre semipiani sarà un'area che è un triangolo. Non è difficile trovare i vertici della regione come punti di intersezione delle linee corrispondenti


Così, UN(–3; –2), IN(0; 1), CON(6; –2).

Consideriamo un altro esempio in cui il dominio della soluzione risultante del sistema non è limitato.

Uno dei metodi più convenienti per risolvere le disuguaglianze quadratiche è il metodo grafico. In questo articolo vedremo come le disuguaglianze quadratiche vengono risolte graficamente. Innanzitutto, discutiamo qual è l'essenza di questo metodo. E poi presenteremo l'algoritmo e considereremo esempi di risoluzione grafica delle disuguaglianze quadratiche.

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L'essenza del metodo grafico

Affatto Metodo grafico per la risoluzione delle disuguaglianze con una variabile viene utilizzato non solo per risolvere disuguaglianze quadratiche, ma anche altri tipi di disuguaglianze. L'essenza del metodo grafico per risolvere le disuguaglianze successivo: considera le funzioni y=f(x) e y=g(x), che corrispondono ai lati sinistro e destro della disuguaglianza, costruisci i loro grafici in un sistema di coordinate rettangolari e scopri a quali intervalli il grafico di uno dei loro è inferiore o superiore all'altro. Quegli intervalli dove

• il grafico della funzione f sopra il grafico della funzione g sono soluzioni della disuguaglianza f(x)>g(x) ;
• il grafico della funzione f non inferiore al grafico della funzione g sono soluzioni della disuguaglianza f(x)≥g(x) ;
• il grafico di f sotto il grafico di g sono soluzioni della disuguaglianza f(x)
• il grafico di una funzione f non superiore al grafico di una funzione g sono soluzioni della disuguaglianza f(x)≤g(x) .

Diremo anche che le ascisse dei punti di intersezione dei grafici delle funzioni f e g sono soluzioni dell'equazione f(x)=g(x) .

Trasferiamo questi risultati al nostro caso: risolvere la disuguaglianza quadratica a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Introduciamo due funzioni: la prima y=a x 2 +b x+c (con f(x)=a x 2 +b x+c) corrispondente al membro sinistro della disuguaglianza quadratica, la seconda y=0 (con g ( x)=0 ) corrisponde al lato destro della disuguaglianza. Programma funzione quadratica f è una parabola e il grafico funzione costante g – retta coincidente con l'asse delle ascisse Ox.

Successivamente, secondo il metodo grafico per risolvere le disuguaglianze, è necessario analizzare a quali intervalli il grafico di una funzione si trova sopra o sotto un'altra, il che ci consentirà di scrivere la soluzione desiderata della disuguaglianza quadratica. Nel nostro caso dobbiamo analizzare la posizione della parabola rispetto all'asse del Bue.

A seconda dei valori dei coefficienti a, b e c, sono possibili le seguenti sei opzioni (per le nostre esigenze è sufficiente una rappresentazione schematica e non è necessario rappresentare l'asse Oy, poiché la sua posizione non influisce sul soluzioni alla disuguaglianza):

In questo disegno vediamo una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, e che interseca l'asse del Bue in due punti, le cui ascisse sono x 1 e x 2. Questo disegno corrisponde all'opzione quando il coefficiente a è positivo (è responsabile della direzione verso l'alto dei rami della parabola) e quando il valore è positivo discriminante di un trinomio quadratico a x 2 +b x+c (in questo caso il trinomio ha due radici, che abbiamo indicato come x 1 e x 2, e abbiamo assunto che x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x1 =−2 , x2 =3 .

Per chiarezza, rappresentiamo in rosso le parti della parabola situate sopra l'asse x, e in blu quelle situate sotto l'asse x.


Ora scopriamo quali intervalli corrispondono a queste parti. Il seguente disegno ti aiuterà a identificarli (in futuro faremo mentalmente selezioni simili sotto forma di rettangoli):


Quindi sull'asse delle ascisse sono stati evidenziati in rosso due intervalli (−∞, x 1) e (x 2 , +∞), su di essi la parabola è sopra l'asse del Ox, costituiscono una soluzione della disuguaglianza quadratica a x 2 +b x +c>0 , e l'intervallo (x 1 , x 2) è evidenziato in blu, sotto l'asse del Bue c'è una parabola, rappresenta la soluzione della disuguaglianza a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

E ora brevemente: per a>0 e D=b 2 −4 a c>0 (o D"=D/4>0 per un coefficiente pari b)

• la soluzione della disuguaglianza quadratica a x 2 +b x+c>0 è (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) o in un'altra notazione x x2;
• la soluzione della disuguaglianza quadratica a x 2 +b x+c≥0 è (−∞, x 1 ]∪ o in un'altra notazione x 1 ≤x≤x 2 ,

dove x 1 e x 2 sono le radici del trinomio quadratico a x 2 +b x+c e x 1


Qui vediamo una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, e che tocca l'asse dell'ascissa, cioè ha con esso un punto in comune, indichiamo l'ascissa di questo punto come x 0; Il caso presentato corrisponde a a>0 (i rami sono diretti verso l'alto) e D=0 (il trinomio quadrato ha una radice x 0). Ad esempio, puoi prendere la funzione quadratica y=x 2 −4·x+4, qui a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 e x 0 =2.

Dal disegno si vede chiaramente che la parabola si trova sopra l'asse del Bue ovunque tranne che nel punto di contatto, cioè sugli intervalli (−∞, x 0), (x 0, ∞). Per chiarezza, evidenziamo le aree del disegno per analogia con il paragrafo precedente.


Traiamo conclusioni: per a>0 e D=0

• la soluzione della disuguaglianza quadratica a·x 2 +b·x+c>0 è (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) o in altra notazione x≠x 0;
• la soluzione della disuguaglianza quadratica a·x 2 +b·x+c≥0 è (−∞, +∞) o in altra notazione x∈R ;
• disuguaglianza quadratica a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• la disuguaglianza quadratica a x 2 +b x+c≤0 ha un'unica soluzione x=x 0 (è data dal punto di tangenza),

dove x 0 è la radice del trinomio quadrato a x 2 + b x + c.


In questo caso i rami della parabola sono diretti verso l'alto e non ha punti in comune con l'asse delle ascisse. Qui abbiamo le condizioni a>0 (i rami sono diretti verso l'alto) e D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Ovviamente la parabola si trova sopra l'asse del Bue per tutta la sua lunghezza (non ci sono intervalli in cui sia sotto l'asse del Bue, non c'è punto di tangenza).


Quindi, per a>0 e D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 e a x 2 +b x+c≥0 è l'insieme di tutti i numeri reali e le disuguaglianze a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

E rimangono tre opzioni per la posizione della parabola con i rami diretti verso il basso, non verso l'alto, rispetto all'asse del Bue. In linea di principio non è necessario considerarle, poiché moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per −1 si ottiene una disuguaglianza equivalente con coefficiente positivo per x 2. Ma non fa ancora male farsi un’idea di questi casi. Il ragionamento qui è simile, quindi annoteremo solo i risultati principali.

Algoritmo risolutivo

Il risultato di tutti i calcoli precedenti è algoritmo per risolvere graficamente le disuguaglianze quadratiche:

Sul piano delle coordinate viene realizzato un disegno schematico che raffigura l'asse Ox (non è necessario rappresentare l'asse Oy) e uno schizzo di una parabola corrispondente alla funzione quadratica y=a·x 2 +b·x+c. Per disegnare uno schizzo di una parabola, è sufficiente chiarire due punti:

• Innanzitutto, dal valore del coefficiente a si determina dove sono diretti i suoi rami (per a>0 - verso l'alto, per a<0 – вниз).
• E in secondo luogo, dal valore del discriminante del trinomio quadrato a x 2 + b x + c si determina se la parabola interseca l'asse delle ascisse in due punti (per D>0), lo tocca in un punto (per D=0) , oppure non ha punti in comune con l'asse del Bue (in D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Quando il disegno è pronto, usalo nel secondo passaggio dell'algoritmo

  • quando si risolve la disuguaglianza quadratica a·x 2 +b·x+c>0, si determinano gli intervalli in cui la parabola si trova sopra l'ascissa;
  • quando si risolve la disuguaglianza a·x 2 +b·x+c≥0, si determinano gli intervalli in cui si trova la parabola sopra l'asse delle ascisse e si sommano le ascisse dei punti di intersezione (o l'ascissa del punto tangente) loro;
  • quando si risolve la disuguaglianza a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • infine, quando si risolve una disuguaglianza quadratica della forma a·x 2 +b·x+c≤0, si trovano intervalli in cui la parabola è al di sotto dell'asse Ox e l'ascissa dei punti di intersezione (o l'ascissa del punto tangente ) viene aggiunto ad essi;

  costituiscono la soluzione desiderata alla disuguaglianza quadratica, e se non ci sono tali intervalli né punti di tangenza, allora la disuguaglianza quadratica originale non ha soluzioni.

Tutto ciò che resta da fare è risolvere alcune disuguaglianze quadratiche utilizzando questo algoritmo.

Esempi con soluzioni

Esempio.

Risolvi la disuguaglianza .

Soluzione.

Dobbiamo risolvere una disuguaglianza quadratica, usiamo l'algoritmo del paragrafo precedente. Nel primo passaggio dobbiamo disegnare il grafico della funzione quadratica . Il coefficiente di x 2 è uguale a 2, è positivo, quindi i rami della parabola sono diretti verso l'alto. Scopriamo anche se la parabola ha punti in comune con l’asse x, per fare questo calcoleremo il discriminante del trinomio quadratico . Abbiamo . Il discriminante è risultato maggiore di zero, quindi il trinomio ha due radici reali: E , cioè x 1 =−3 e x 2 =1/3.

Da ciò è chiaro che la parabola interseca l'asse del Bue in due punti con ascisse −3 e 1/3. Rappresenteremo questi punti nel disegno come punti ordinari, poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza non rigorosa. Sulla base dei dati chiariti, otteniamo il seguente disegno (si adatta al primo modello del primo paragrafo dell'articolo):

Passiamo al secondo passaggio dell'algoritmo. Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza quadratica non stretta con il segno ≤, dobbiamo determinare gli intervalli in cui la parabola si trova sotto l'ascissa e aggiungere ad essi le ascisse dei punti di intersezione.

Dal disegno è chiaro che la parabola è sotto l'asse x sull'intervallo (−3, 1/3) e ad essa aggiungiamo le ascisse dei punti di intersezione, cioè i numeri −3 e 1/3. Di conseguenza, arriviamo all'intervallo numerico [−3, 1/3] . Questa è la soluzione che stiamo cercando. Può essere scritto come una doppia disuguaglianza −3≤x≤1/3.

Risposta:

[−3, 1/3] o −3≤x≤1/3 .

Esempio.

Trova la soluzione della disuguaglianza quadratica −x 2 +16 x−63<0 .

Soluzione.

Come al solito, iniziamo con un disegno. Il coefficiente numerico del quadrato della variabile è negativo, −1, quindi i rami della parabola sono diretti verso il basso. Calcoliamo il discriminante, o meglio ancora la sua quarta parte: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Il suo valore è positivo, calcoliamo le radici del trinomio quadrato: E , x1 =7 e x2 =9. Quindi la parabola interseca l'asse del Bue in due punti con le ascisse 7 e 9 (la disuguaglianza originale è rigorosa, quindi rappresenteremo questi punti con un centro vuoto Ora possiamo fare un disegno schematico:).

Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza quadratica rigorosa con un segno<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Il disegno mostra che le soluzioni alla disuguaglianza quadratica originale sono due intervalli (−∞, 7) , (9, +∞) .

Risposta:

(−∞, 7)∪(9, +∞) o in un'altra notazione x<7 , x>9 .

Quando risolvi le disuguaglianze quadratiche, quando il discriminante di un trinomio quadratico sul lato sinistro è zero, devi fare attenzione a includere o escludere l'ascissa del punto tangente dalla risposta. Ciò dipende dal segno della disuguaglianza: se la disuguaglianza è stretta, allora non è una soluzione alla disuguaglianza, ma se non è stretta, allora lo è.

Esempio.

La disuguaglianza quadratica 10 x 2 −14 x+4.9≤0 ha almeno una soluzione?

Soluzione.

Tracciamo la funzione y=10 x 2 −14 x+4,9. I suoi rami sono diretti verso l'alto, poiché il coefficiente di x 2 è positivo, e tocca l'asse delle ascisse nel punto con l'ascissa 0,7, poiché D"=(−7) 2 −10 4,9=0, da cui o 0,7 nella forma di una frazione decimale. Schematicamente appare così:

Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza quadratica con il segno ≤, la sua soluzione saranno gli intervalli su cui la parabola si trova al di sotto dell'asse Ox, così come l'ascissa del punto tangente. Dal disegno è chiaro che non c'è un solo intervallo in cui la parabola sarebbe sotto l'asse del Bue, quindi la sua soluzione sarà solo l'ascissa del punto tangente, cioè 0,7.

Risposta:

questa disuguaglianza ha un'unica soluzione 0.7.

Esempio.

Risolvi la disuguaglianza quadratica –x 2 +8 x−16<0 .

Soluzione.

Seguiamo l'algoritmo per risolvere le disuguaglianze quadratiche e iniziamo costruendo un grafico. I rami della parabola sono diretti verso il basso, poiché il coefficiente di x 2 è negativo, −1. Troviamo il discriminante del trinomio quadrato –x 2 +8 x−16, che abbiamo D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 e quindi x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Quindi la parabola tocca l'asse del Bue nel punto 4 dell'ascissa. Facciamo il disegno:

Guardiamo il segno della disuguaglianza originaria, è lì<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Nel nostro caso si tratta di raggi aperti (−∞, 4) , (4, +∞) . Separatamente notiamo che 4 - l'ascissa del punto di contatto - non è una soluzione, poiché nel punto di contatto la parabola non è inferiore all'asse del Bue.

Risposta:

(−∞, 4)∪(4, +∞) o in un'altra notazione x≠4 .

Prestare particolare attenzione ai casi in cui il discriminante del trinomio quadratico sul lato sinistro della disuguaglianza quadratica è inferiore a zero. Non è necessario affrettarsi qui e dire che la disuguaglianza non ha soluzioni (siamo abituati a trarre una conclusione del genere per equazioni quadratiche con discriminante negativo). Il punto è che la disuguaglianza quadratica per D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Esempio.

Trova la soluzione della disuguaglianza quadratica 3 x 2 +1>0.

Soluzione.

Come al solito, iniziamo con un disegno. Il coefficiente a è 3, è positivo, quindi i rami della parabola sono diretti verso l'alto. Calcoliamo il discriminante: D=0 2 −4·3·1=−12 . Poiché il discriminante è negativo, la parabola non ha punti in comune con l'asse del Bue. Le informazioni ottenute sono sufficienti per un grafico schematico:

Risolviamo una disuguaglianza quadratica rigorosa con un segno >. La sua soluzione saranno tutti gli intervalli in cui la parabola è sopra l'asse del Bue. Nel nostro caso la parabola si trova sopra l'asse x per tutta la sua lunghezza, quindi la soluzione desiderata sarà l'insieme di tutti i numeri reali.

Bue , ed anche ad essi bisogna aggiungere l'ascissa dei punti di intersezione oppure l'ascissa del punto di tangenza. Ma il disegno mostra chiaramente che tali lacune non esistono (poiché la parabola è ovunque al di sotto dell'asse delle ascisse), così come non ci sono punti di intersezione e non ci sono punti di tangenza. Pertanto, la disuguaglianza quadratica originale non ha soluzioni.

Risposta:

nessuna soluzione o in un'altra voce ∅.

Bibliografia.

• Algebra: manuale per l'ottavo grado. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; a cura di S. A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9° grado: educativo. per l'istruzione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; a cura di S. A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2009. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich. - 11a edizione, cancellata. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13a edizione, cancellata. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra e inizio dell'analisi matematica. Grado 11. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale (livello di profilo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2a ed., cancellata. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Permettere f(x,y) E g(x, y)- due espressioni con variabili X E A e portata X. Quindi disuguaglianze della forma f(x, y) > g(x, y) O f(x, y) < g(x, y) chiamato disuguaglianza con due variabili .

Significato delle variabili x, y da molti X, in cui la disuguaglianza diventa vera disuguaglianza numerica, è chiamato decisione ed è designato (x, y). Risolvere la disuguaglianza - questo significa trovare molte di queste coppie.

Se ogni coppia di numeri (x, y) dall'insieme delle soluzioni alla disuguaglianza, abbina il punto M(x, y), otteniamo l'insieme dei punti sul piano definito da questa disuguaglianza. Egli è chiamato grafico di questa disuguaglianza . Il grafico di una disuguaglianza è solitamente un'area su un piano.

Rappresentare l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza f(x, y) > g(x, y), procedi come segue. Innanzitutto, sostituisci il segno di disuguaglianza con un segno di uguale e trova una linea che contenga l'equazione f(x,y) = g(x,y). Questa linea divide l'aereo in più parti. Successivamente è sufficiente prendere un punto in ciascuna parte e verificare se la disuguaglianza a questo punto è soddisfatta f(x, y) > g(x, y). Se viene eseguito a questo punto, verrà eseguito nell'intera parte in cui si trova questo punto. Combinando tali parti si ottengono numerose soluzioni.

Compito. sì > X.

Soluzione. Per prima cosa sostituiamo il segno di disuguaglianza con un segno di uguale e costruiamo una linea in un sistema di coordinate rettangolare che abbia l'equazione sì = X.

Questa linea divide l'aereo in due parti. Successivamente, prendi un punto in ciascuna parte e controlla se la disuguaglianza è soddisfatta a questo punto sì > X.

Compito. Risolvi graficamente la disuguaglianza
X 2 + A 2£25.

Riso. 18.

Soluzione. Innanzitutto, sostituisci il segno di disuguaglianza con un segno di uguale e traccia una linea X 2 + A 2 = 25. Questo è un cerchio con centro nell'origine e raggio 5. Il cerchio risultante divide il piano in due parti. Verifica della soddisfacibilità della disuguaglianza X 2 + A 2 £ 25 in ciascuna parte, troviamo che il grafico è un insieme di punti su un cerchio e parti di un piano all'interno del cerchio.

Siano date due disuguaglianze F 1(x, y) > G 1(x, y) E F 2(x, y) > G 2(x, y).

Sistemi di insiemi di disequazioni a due variabili

Sistema di disuguaglianze È te stesso la congiunzione di queste disuguaglianze. Soluzione di sistema è ogni significato (x, y), che trasforma ciascuna delle disuguaglianze in una vera disuguaglianza numerica. Molte soluzioni sistemi Le disuguaglianze sono l'intersezione di insiemi di soluzioni alle disuguaglianze che formano un dato sistema.

Insieme di disuguaglianze È te stesso disgiunzione di questi disuguaglianze Imposta la soluzione è ogni significato (x, y), che converte almeno una dell'insieme di disuguaglianze in una vera disuguaglianza numerica. Molte soluzioni totalità è un'unione di insiemi di soluzioni di disuguaglianze che formano un insieme.

Compito. Risolvere graficamente il sistema di diseguaglianze

Soluzione. y = x E X 2 + A 2 = 25. Risolviamo ogni disuguaglianza del sistema.

Il grafico del sistema sarà l'insieme dei punti sul piano che costituiscono l'intersezione (doppio tratteggio) degli insiemi di soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza.

Compito. Risolvere graficamente un insieme di disuguaglianze

Soluzione. Innanzitutto, sostituiamo il segno di disuguaglianza con un segno di uguale e tracciamo linee in un sistema di coordinate y = x+4 e X 2 + A 2 = 16. Risolvi ogni disuguaglianza nella popolazione. Il grafico della popolazione sarà un insieme di punti sul piano, che sono l'unione degli insiemi di soluzioni della prima e della seconda disuguaglianza.

Esercizi per il lavoro indipendente

1. Risolvi graficamente le disuguaglianze: a) A> 2X; B) A< 2X + 3;

V) X 2+ sì 2 > 9; G) X 2+ sì 2£4.

2. Risolvere graficamente sistemi di disuguaglianze:

a) b)

Tipo di lezione:

Tipo di lezione: Lezione, lezione di risoluzione dei problemi.

Durata: 2 ore.

Obiettivi:1) Impara il metodo grafico.

2) Mostrare l'uso del programma Maple nella risoluzione di sistemi di disequazioni utilizzando il metodo grafico.

3) Sviluppare la percezione e il pensiero su questo argomento.

Piano della lezione:

Avanzamento della lezione.

Fase 1: Il metodo grafico consiste nel costruire un insieme di soluzioni ammissibili del PLP e trovare in questo insieme il punto corrispondente alla funzione obiettivo massimo/minimo.

A causa di disabilità per una rappresentazione grafica visiva, questo metodo viene utilizzato solo per sistemi di disequazioni lineari a due incognite e sistemi riducibili a questa forma.

Per dimostrare chiaramente il metodo grafico, risolviamo il seguente problema:

1. Nella prima fase è necessario costruire una regione di soluzioni fattibili. Per questo esempioÈ più conveniente scegliere X2 per l'ascissa e X1 per l'ordinata e scrivere le disuguaglianze nella forma seguente:

Poiché sia ​​i grafici che l'area delle soluzioni fattibili sono nel primo trimestre. Per trovare i punti di confine, risolviamo le equazioni (1)=(2), (1)=(3) e (2)=(3).

Come si può vedere dall'illustrazione, il poliedro ABCDE forma una regione di soluzioni ammissibili.

Se la regione delle soluzioni ammissibili non è chiusa, allora o max(f)=+ ?, oppure min(f)= -?.

2. Ora possiamo procedere alla ricerca diretta del massimo della funzione f.

Sostituendo alternativamente le coordinate dei vertici del poliedro nella funzione fe e confrontando i valori, troviamo che f(C)=f(4;1)=19 è il massimo della funzione.

Questo approccio è molto vantaggioso con un numero limitato di vertici. Ma questa procedura potrebbe richiedere molto tempo se sono presenti molti vertici.

In questo caso è più conveniente considerare una linea di livello della forma f=a. Con un aumento monotono del numero a da -? a +? le rette f=a vengono spostate lungo il vettore normale. Il vettore normale ha coordinate (C1;C2), dove C1 e C2 sono coefficienti per le incognite nella funzione obiettivo f=C1?X1+C2?X2+C0.. Se con tale spostamento della retta di livello si ha un certo punto X è il primo punto comune del dominio delle soluzioni ammissibili (poliedro ABCDE) e la retta di livello, allora f(X) è il minimo di f sull'insieme ABCDE. Se X è l'ultimo punto di intersezione della linea di livello e dell'insieme ABCDE, allora f(X) è il massimo sull'insieme delle soluzioni ammissibili. Se per un>-? la retta f=a interseca l'insieme delle soluzioni ammissibili, allora min(f)= -?. Se questo accade per a>+?, allora max(f)=+?.

Nel nostro esempio, la retta f=a interseca la regione ABCDE nel punto C(4;1). Poiché questo è l'ultimo punto di intersezione, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Risolvere graficamente il sistema di disequazioni. Trova soluzioni angolari.

x1>= 0, x2>=0

> con(trame);

> con(plottools);

> S1:=risolvi((f1x = X6, f2x = X6), );

Risposta: Tutti i punti Si dove i=1..10 per i quali xey sono positivi.

Area limitata da questi punti: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

Fase 3. Ad ogni studente viene data una delle 20 opzioni, in cui allo studente viene chiesto di risolvere autonomamente la disuguaglianza utilizzando un metodo grafico, e gli esempi rimanenti vengono forniti come compito a casa.

Lezione n. 4 Soluzione grafica di un problema di programmazione lineare

Tipo di lezione: lezione di apprendimento di nuovo materiale.

Tipo di lezione: Lezione frontale + lezione di problem solving.

Durata: 2 ore.

Obiettivi: 1) Studiare la soluzione grafica del problema di programmazione lineare.

2) Impara ad usare il programma Maple quando risolvi un problema di programmazione lineare.

2) Sviluppare la percezione e il pensiero.

Piano della lezione: Fase 1: apprendimento di nuovo materiale.

Fase 2: lavorare su nuovo materiale nel pacchetto matematico Maple.

Fase 3: controllo del materiale studiato e dei compiti.

Avanzamento della lezione.

Il metodo grafico è abbastanza semplice ed intuitivo per risolvere problemi di programmazione lineare con due variabili. È basato su geometrico presentazione di soluzioni fattibili e TF del problema.

Ciascuna delle disuguaglianze del problema di programmazione lineare (1.2) definisce un certo semipiano sul piano delle coordinate (Fig. 2.1) e il sistema di disuguaglianze nel suo insieme definisce l'intersezione dei piani corrispondenti. L'insieme dei punti di intersezione di questi semipiani viene chiamato ambito delle soluzioni fattibili(ODR). L'ODR rappresenta sempre convesso figura, cioè avente la seguente proprietà: se a questa figura appartengono due punti A e B, allora ad essa appartiene l'intero segmento AB. L'ODR può essere rappresentato graficamente da un poligono convesso, un'area poligonale convessa illimitata, un segmento, un raggio o un punto. Se il sistema di vincoli nel problema (1.2) è incoerente, l'ODS è un insieme vuoto.

Tutto quanto sopra si applica anche al caso in cui il sistema di restrizioni (1.2) include uguaglianze, poiché qualsiasi uguaglianza

può essere rappresentato come un sistema di due disuguaglianze (vedi Fig. 2.1)

Il filtro digitale a valore fisso definisce una linea retta sul piano. Cambiando i valori di L, otteniamo una famiglia di rette parallele chiamata linee di livello.

Ciò è dovuto al fatto che variando il valore di L comporterà una variazione solo nella lunghezza del segmento tagliato dalla linea di livello sull'asse (ordinata iniziale), e il coefficiente angolare della retta rimarrà costante (vedi Figura 2.1). Per risolverlo, quindi, basterà costruire una delle linee di livello, scegliendo arbitrariamente il valore di L.

Il vettore con coordinate dai coefficienti CF a ed è perpendicolare a ciascuna delle linee di livello (vedi Fig. 2.1). La direzione del vettore coincide con la direzione crescente CF, che è punto importante per risolvere i problemi. Direzione discendente Il CF è opposto alla direzione del vettore.

L'essenza del metodo grafico è la seguente. Nella direzione (contro la direzione) del vettore nell'ODR viene cercato il punto ottimale. Il punto ottimale è il punto attraverso il quale passa la linea di livello, corrispondente al valore più grande (più piccolo) della funzione. La soluzione ottimale si trova sempre sul confine dell'ODD, ad esempio, sull'ultimo vertice del poligono ODD attraverso il quale passerà la linea target, o su tutto il suo lato.

Quando si cerca una soluzione ottimale ai problemi di programmazione lineare, sono possibili le seguenti situazioni: esiste un'unica soluzione al problema; esiste un numero infinito di soluzioni (alternative); TF non è limitato; la regione delle soluzioni ammissibili è un unico punto; il problema non ha soluzioni.

Figura 2.1 Interpretazione geometrica dei vincoli e CF del problema.

Tecnica per risolvere problemi di LP utilizzando il metodo grafico

I. Nei vincoli del problema (1.2), sostituisci i segni di disuguaglianza con segni di uguaglianza esatti e costruisci le corrispondenti rette.

II. Trova e ombreggia i semipiani consentiti da ciascuno dei vincoli di disuguaglianza del problema (1.2). Per fare ciò, è necessario sostituire le coordinate di un punto [ad esempio, (0;0)] in una disuguaglianza specifica e verificare la verità della disuguaglianza risultante.

Se la disuguaglianza è vera,

Quelloè necessario ombreggiare il semipiano contenente questo punto;

Altrimenti(la disuguaglianza è falsa) dobbiamo ombreggiare il semipiano che non contiene il punto dato.

Poiché e deve essere non negativo, i valori consentiti saranno sempre sopra l'asse e a destra dell'asse, ovvero nel primo quadrante.

I vincoli di uguaglianza consentono solo i punti che giacciono sulla linea corrispondente. Pertanto, è necessario evidenziare tali linee rette sul grafico.

III. Definire l'ODR come una parte del piano che appartiene contemporaneamente a tutte le aree consentite e selezionarlo. In assenza di ODD, il problema non ha soluzioni.

IV. Se l'ODR non è un insieme vuoto, è necessario costruire la riga di destinazione, ad es. una qualsiasi delle linee di livello (dove L è un numero arbitrario, ad esempio un multiplo e, cioè, conveniente per i calcoli). Il metodo di costruzione è simile alla costruzione dei vincoli diretti.

V. Costruisci un vettore che inizia nel punto (0;0) e termina nel punto. Se la linea di destinazione e il vettore sono costruiti correttamente, lo faranno perpendicolare.

VI. Quando si cerca il CF massimo, è necessario spostare la linea di destinazione nella direzione vettore, durante la ricerca del CF minimo - contro la direzione vettore. L'ultimo vertice dell'ODR nella direzione del movimento sarà il punto di massimo o minimo del CF. Se tali punti non esistono, allora possiamo concludere che TF illimitato su molti piani dall'alto (nella ricerca del massimo) o dal basso (nella ricerca del minimo).

VII. Determinare le coordinate del punto max (min) del filtro digitale e calcolare il valore del filtro digitale. Per calcolare le coordinate del punto ottimale, è necessario risolvere un sistema di equazioni delle linee all'intersezione delle quali si trova.

Risolvere un problema di programmazione lineare

1. f(x)=2x1+x2 ->estr

x1>= 0, x2>=0

> grafici((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, opzionifattibile=(colore=rosso),

opzioniopen=(colore=blu, spessore=2),

opzionichiuse=(colore=verde, spessore=3),

opzioniescluse=(colore=giallo));

> con(simplex):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=base(dp);

Sh visualizzazione(C,);

> L:=cterm(C);

Sh X:=doppio(f,C,p);

Sh f_max:=sost(R,f);

Sh R1:=minimizza(f,C ,NONNEGATIVO);

f_min:=sostitutivo(R1,f);

RISPOSTA: Quando X 1 =5/4 X 2 =5/4 f_max=15/4; A X 1 =0 X 2 =0 f_min=0;

Lezione n. 5. Risoluzione di giochi di matrici utilizzando metodi di programmazione lineare e il metodo del simplesso

Tipo di lezione: controllo della lezione + lezione di apprendimento di nuovo materiale. Tipo di lezione: Conferenza.

Durata: 2 ore.

Obiettivi:1) Verificare e consolidare la conoscenza del materiale passato nelle lezioni precedenti.

2) Impara un nuovo metodo per risolvere i giochi a matrici.

3) sviluppare la memoria, il pensiero matematico e l'attenzione.

Fase 1: controlla i tuoi compiti come lavoro indipendente.

Fase 2: fornire una breve descrizione del metodo a zigzag

Fase 3: consolidare nuovo materiale e assegnare compiti a casa.

Avanzamento della lezione.

I metodi di programmazione lineare sono metodi numerici per risolvere problemi di ottimizzazione che possono essere ridotti a modelli formali di programmazione lineare.

Come è noto, qualsiasi problema di programmazione lineare può essere ridotto ad un modello canonico per minimizzare una funzione obiettivo lineare con vincoli di tipo uguaglianza lineare. Poiché il numero di variabili in un problema di programmazione lineare è maggiore del numero di vincoli (n > m), è possibile ottenere una soluzione ponendo variabili (n - m), dette gratuito. Le rimanenti variabili m, chiamate di base, può essere facilmente determinato da un sistema di vincoli di uguaglianza utilizzando i consueti metodi dell'algebra lineare. Se esiste una soluzione, allora viene chiamata di base. Se la soluzione di base è ammissibile, allora viene chiamata di base ammissibile. Geometricamente, le soluzioni ammissibili di base corrispondono ai vertici (punti estremi) di un poliedro convesso, che delimita l'insieme delle soluzioni ammissibili. Se un problema di programmazione lineare ha soluzioni ottime, almeno una di esse è basilare.

Le considerazioni precedenti fanno sì che nella ricerca della soluzione ottima ad un problema di programmazione lineare sia sufficiente limitarsi ad enumerare le soluzioni ammissibili di base. Il numero di soluzioni di base è uguale al numero di combinazioni di n variabili in m:

C = mn! /n m! * (n-m)!

e può essere abbastanza grande da poterli enumerare tramite ricerca diretta tempo reale. Il fatto che non tutte le soluzioni di base siano ammissibili non cambia l'essenza del problema, poiché per valutare l'ammissibilità di una soluzione di base è necessario ottenerla.

Il problema dell'enumerazione razionale delle soluzioni di base di un problema di programmazione lineare fu risolto per primo da J. Danzig. Il metodo del simplesso da lui proposto è ancora il metodo di programmazione lineare generale più comune. Il metodo del simplesso implementa una ricerca diretta di soluzioni di base ammissibili lungo i corrispondenti punti estremi di un poliedro convesso di soluzioni ammissibili sotto forma di un processo iterativo, dove ad ogni passo i valori della funzione obiettivo diminuiscono rigorosamente. La transizione tra i punti estremi viene effettuata lungo i bordi di un poliedro convesso di soluzioni ammissibili secondo semplici trasformazioni algebriche lineari del sistema di restrizioni. Dal numero punti estremi ovviamente, e la funzione obiettivo è lineare, allora spostandosi attraverso i punti estremi nella direzione di diminuire la funzione obiettivo, il metodo del simplesso converge al minimo globale in un numero finito di passi.

La pratica ha dimostrato che per la maggior parte dei problemi di programmazione lineare applicati, il metodo del simplesso consente di trovare soluzione ottimale in un numero di passaggi relativamente piccolo rispetto a numero totale punti estremi di un poliedro ammissibile. Allo stesso tempo, è noto che per alcuni problemi di programmazione lineare con una forma della regione ammissibile appositamente selezionata, l'uso del metodo del simplesso porta ad un'enumerazione completa dei punti estremi. Questo fatto in una certa misura ha stimolato la ricerca di cose nuove metodi efficaci soluzioni a problemi di programmazione lineare, basate su idee diverse dal metodo del simplesso, che consentono di risolvere qualsiasi problema di programmazione lineare in un numero finito di passi, significativamente inferiore al numero di punti estremi.

Tra i metodi di programmazione lineare polinomiale invariante alla configurazione del dominio valori accettabili, il più comune è il metodo L.G. Khachiyan. Tuttavia, nonostante questo metodo abbia una stima della complessità polinomiale a seconda della dimensione del problema, risulta tuttavia non competitivo rispetto al metodo del simplesso. La ragione di ciò è che la dipendenza del numero di iterazioni del metodo del simplesso dalla dimensione del problema è espressa da un polinomio del terzo ordine per la maggior parte dei problemi pratici, mentre nel metodo Khachiyan questa dipendenza ha sempre un ordine pari a almeno del quarto ordine. Questo fatto è di importanza decisiva per la pratica, dove i problemi applicati che sono difficili per il metodo del simplesso sono estremamente rari.

Va anche notato che per problemi di programmazione lineare applicata che sono importanti in senso pratico, sono stati sviluppati metodi speciali che tengono conto della natura specifica dei vincoli del problema. In particolare, per un problema di trasporto omogeneo, vengono utilizzati algoritmi speciali per la selezione della base iniziale, i più famosi dei quali sono il metodo dell'angolo nord-ovest e il metodo Vogel approssimativo, e l'implementazione algoritmica del metodo del simplesso stesso è vicina alle specificità di il problema. Per risolvere il problema dell'assegnazione lineare (problema della selezione), invece del metodo del simplesso, viene solitamente utilizzato l'algoritmo ungherese, basato sull'interpretazione del problema in termini di teoria dei grafi come il problema di trovare il perfetto abbinamento di peso massimo in un sistema bipartito grafico o metodo di Mack.

Risolvi un gioco a matrice 3x3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>= 0, x2>=0, x3>=0

> con(simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

Sh visualizzazione(C,);

> fattibile(C, NON NEGATIVO , "NewC", "Trasforma");

> S:=doppio(f,C,p);

Sh R:=massimizza(f,C ,NONNEGATIVO);

Sh f_max:=sost(R,f);

Sh R1:=minimizza(S ,NONNEGATIVO);

> G:=p1+p2+p3;

> f_min:=sost(R1,G);

Troviamo il prezzo del gioco

> V:=1/f_max;

Troviamo la strategia ottimale del primo giocatore > X:=V*R1;

Troviamo la strategia ottimale del secondo giocatore

RISPOSTA: Quando X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Quando Y=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Ad ogni studente viene data una delle 20 opzioni, in cui allo studente viene chiesto di risolvere autonomamente un gioco a matrice 2x2 e gli esempi rimanenti come compiti a casa.