Frazioni ordinarie e decimali e operazioni su di esse. Decimali, definizioni, notazione, esempi, operazioni con i decimali

Che se conoscono la teoria delle serie, senza di essa non possono essere introdotti concetti metamatici. Inoltre, queste persone credono che chiunque non lo usi ampiamente sia ignorante. Lasciamo alla loro coscienza il punto di vista di queste persone. Comprendiamo meglio cos'è una frazione periodica infinita e come dovremmo affrontarla noi, persone non istruite che non conoscono limiti.

Dividiamo 237 per 5. No, non è necessario avviare la Calcolatrice. Ricordiamo meglio la scuola secondaria (o anche primaria?) e dividiamola semplicemente in una colonna:

Bene, ti sei ricordato? Quindi puoi metterti al lavoro.

Il concetto di “frazione” in matematica ha due significati:

1. Numero non intero.
2. Forma non intera.

Esistono due tipi di frazioni, nel senso che due forme di scrittura dei numeri non interi:

1. Semplice (o verticale) frazioni, come 1/2 o 237/5.
2. Frazioni decimali, ad esempio 0,5 o 47,4.

Si noti che in generale l'uso stesso di una notazione frazionaria non significa che ciò che è scritto sia un numero frazionario, ad esempio 3/3 o 7.0 - non frazioni nel primo senso della parola, ma nel secondo, ovviamente , frazioni.

In matematica, in generale, il conteggio decimale è sempre stato accettato, e quindi decimali più convenienti di quelle semplici, cioè una frazione con denominatore decimale (Vladimir Dal. Dizionario vivere la grande lingua russa. "Dieci").

E se è così, allora voglio rendere ogni frazione verticale un decimale (“orizzontale”). E per fare questo devi semplicemente dividere il numeratore per il denominatore. Prendiamo ad esempio la frazione 1/3 e proviamo a ricavarne un decimale.

Anche una persona completamente ignorante noterà: non importa quanto tempo ci vorrà, non si separerà: le terzine continueranno ad apparire all'infinito. Allora scriviamolo: 0,33... Intendiamo “il numero che si ottiene dividendo 1 per 3”, o, in breve, “un terzo”. Naturalmente un terzo è una frazione nel primo senso della parola, e “1/3” e “0,33...” sono frazioni nel secondo senso della parola, cioè moduli di iscrizione un numero che si trova sulla linea dei numeri a una distanza tale dallo zero che se lo metti da parte tre volte ne ottieni uno.

Ora proviamo a dividere 5 per 6:

Scriviamolo di nuovo: 0,833... Intendiamo "il numero che ottieni dividendo 5 per 6" o, in breve, "cinque sesti". Tuttavia, qui sorge la confusione: questo significa 0,83333 (e poi le terzine vengono ripetute), o 0,833833 (e poi 833 viene ripetuto). Pertanto, la notazione con i puntini di sospensione non è adatta a noi: non è chiaro dove inizi la parte ripetuta (si chiama “punto”). Pertanto, metteremo il punto tra parentesi, in questo modo: 0,(3); 0,8(3).

0,(3) non facile equivale un terzo, cioè C'è un terzo, perché abbiamo inventato questa notazione appositamente per rappresentare questo numero come frazione decimale.

Questa voce si chiama frazione periodica infinita, o semplicemente una frazione periodica.

Ogni volta che dividiamo un numero per un altro, se non otteniamo una frazione finita, otteniamo una frazione periodica infinita, cioè un giorno le sequenze di numeri inizieranno definitivamente a ripetersi. Il motivo per cui è così può essere compreso in modo puramente speculativo osservando attentamente l'algoritmo di divisione delle colonne:

Nei posti contrassegnati con segni di spunta non è sempre possibile ottenere diverse coppie di numeri (perché, in linea di principio, esiste un numero finito di tali coppie). E non appena appare lì una coppia del genere, che già esisteva, anche la differenza sarà la stessa - e quindi l'intero processo inizierà a ripetersi. Non è necessario verificarlo, perché è abbastanza ovvio che se si ripetono le stesse azioni, i risultati saranno gli stessi.

Adesso che abbiamo capito bene essenza frazione periodica, proviamo a moltiplicare un terzo per tre. Sì, certo, ne otterrai uno, ma scriviamo questa frazione in forma decimale e moltiplichiamola in una colonna (qui non sorgono ambiguità a causa dei puntini di sospensione, poiché tutti i numeri dopo la virgola sono uguali):

E ancora una volta notiamo che nove, nove e nove appariranno sempre dopo la virgola decimale. Cioè, usando la notazione delle parentesi inverse, otteniamo 0, (9). Dato che sappiamo che il prodotto di un terzo per tre è uno, allora 0.(9) è un modo davvero sofisticato di scriverne uno. Tuttavia, non è appropriato utilizzare questa forma di registrazione, perché un'unità può essere scritta perfettamente senza utilizzare un punto, in questo modo: 1.

Come puoi vedere, 0,(9) è uno di quei casi in cui l'intero numero è scritto in forma frazionaria, come 3/3 o 7.0. Cioè, 0,(9) è una frazione solo nel secondo senso della parola, ma non nel primo.

Quindi, senza limiti o serie, abbiamo capito cos'è 0.(9) e come gestirlo.

Ma ricordiamoci ancora che in realtà siamo analisi intelligenti e studiate. Infatti è difficile negare che:

Ma forse nessuno metterà in discussione il fatto che:

Tutto questo è, ovviamente, vero. Infatti, 0,(9) è sia la somma della serie ridotta che il doppio seno dell'angolo indicato, e logaritmo naturale Numeri di Eulero.

Ma né l'uno, né l'altro, né il terzo sono una definizione.

Dire che 0,(9) è la somma della serie infinita 9/(10 n), con n uguale a uno, equivale a dire che il seno è la somma della serie infinita di Taylor:

Questo assolutamente giusto, e questo è il fatto più importante Per matematica computazionale, ma questa non è una definizione e, soprattutto, non avvicina l'uomo alla comprensione essenzialmente seno L'essenza del seno di un certo angolo è quella proprio tutto il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa.

Quindi, una frazione periodica lo è proprio tutto una frazione decimale che si ottiene quando quando si divide per una colonna verrà ripetuta la stessa serie di numeri. Non c'è traccia di analisi qui.

Ed è qui che sorge la domanda: da dove viene? affatto abbiamo preso il numero 0,(9)? Cosa dividiamo per cosa con una colonna per ottenerlo? In effetti, non esistono numeri tali che, se divisi in una colonna, apparirebbero nove all'infinito. Ma siamo riusciti a ottenere questo numero moltiplicando 0,(3) per 3 con una colonna? Non proprio. Dopotutto, è necessario moltiplicare da destra a sinistra per tenere conto correttamente dei trasferimenti di cifre, e noi lo abbiamo fatto da sinistra a destra, approfittando astutamente del fatto che i trasferimenti non avvengono comunque da nessuna parte. Pertanto, la liceità di scrivere 0,(9) dipende dal fatto che si riconosca o meno la liceità di tale moltiplicazione per una colonna.

Pertanto, possiamo generalmente dire che la notazione 0,(9) è errata - e in una certa misura è corretta. Tuttavia, poiché la notazione a ,(b ) è accettata, è semplicemente brutto abbandonarla quando b = 9; È meglio decidere cosa significa una voce del genere. Quindi, se generalmente accettiamo la notazione 0,(9), allora questa notazione, ovviamente, significa il numero uno.

Resta solo da aggiungere che se utilizzassimo, ad esempio, il sistema numerico ternario, dividendo per una colonna di uno (1 3) per tre (10 3) otterremmo 0,1 3 (leggi "zero virgola un terzo"), e quando si divide Uno per due sarebbe 0,(1) 3.

Quindi la periodicità di un numero di frazione non è una caratteristica oggettiva di un numero di frazione, ma semplicemente per effetto utilizzando l'uno o l'altro sistema numerico.

È noto che se il denominatore P una frazione irriducibile nella sua espansione canonica ha un fattore primo diverso da 2 e 5, allora questa frazione non può essere rappresentata come una frazione decimale finita. Se proviamo in questo caso a scrivere la frazione irriducibile originale come decimale, dividendo il numeratore per il denominatore, allora il processo di divisione non può finire, perché se fosse completata dopo un numero finito di passi, otterremmo una frazione decimale finita, il che contraddice il teorema precedentemente dimostrato. Quindi in questo caso la notazione decimale di un numero razionale positivo è UN= sembra essere una frazione infinita.

Ad esempio, frazione = 0,3636... . È facile notare che i resti della divisione 4 per 11 vengono ripetuti periodicamente, quindi le cifre decimali verranno ripetute periodicamente, ad es. si scopre frazione decimale periodica infinita, che può essere scritto come 0,(36).

La ripetizione periodica dei numeri 3 e 6 forma un punto. Potrebbe risultare che ci siano più cifre tra il punto decimale e l'inizio del primo periodo. Questi numeri formano il pre-periodo. Per esempio,

0,1931818... Il processo di divisione di 17 per 88 è infinito. I numeri 1, 9, 3 formano il preperiodo; 1, 8 – punto. Gli esempi che abbiamo considerato riflettono uno schema, vale a dire qualsiasi positivo numero razionale rappresentabile come frazione decimale periodica finita o infinita.

Teorema 1. Sia la frazione ordinaria irriducibile nello sviluppo canonico del denominatore Nè un fattore primo diverso da 2 e 5. Quindi la frazione comune può essere rappresentata come una frazione decimale periodica infinita.

Prova. Sappiamo già che il processo di divisione di un numero naturale M ad un numero naturale N sarà infinito. Mostriamo che sarà periodico. In effetti, durante la divisione M SU N i saldi risultanti saranno inferiori N, quelli. numeri della forma 1, 2, ..., ( N– 1), da cui risulta chiaro che il numero dei resti diversi è finito e quindi, a partire da un certo passo, si ripeterà qualche resto, il che comporterà la ripetizione delle cifre decimali del quoziente, e della frazione decimale infinita diventa periodico.

Valgono altri due teoremi.

Teorema 2. Se l'espansione del denominatore di una frazione irriducibile in fattori primi non include i numeri 2 e 5, quando questa frazione viene convertita in una frazione decimale infinita, si otterrà una frazione periodica pura, ad es. una frazione il cui periodo inizia immediatamente dopo la virgola decimale.

Teorema 3. Se l'espansione del denominatore include i fattori 2 (o 5) o entrambi, la frazione periodica infinita sarà mista, cioè tra il punto decimale e l'inizio del periodo ci saranno più cifre (pre-punto), cioè tante quanto il maggiore degli esponenti dei fattori 2 e 5.

Si propone al lettore di dimostrare indipendentemente i Teoremi 2 e 3.

28. Metodi di transizione da periodici infiniti
frazioni decimali alle frazioni comuni

Sia data una frazione periodica UN= 0,(4), cioè 0,4444... .

Moltiplichiamo UN entro le 10, otteniamo

10UN= 4.444…4…Þ 10 UN = 4 + 0,444….

Quelli. 10 UN = 4 + UN, abbiamo ottenuto un'equazione per UN, risolvendolo, otteniamo: 9 UN= 4Þ UN = .

Notiamo che 4 è sia il numeratore della frazione risultante che il periodo della frazione 0,(4).

Regola la conversione di una frazione periodica pura in una frazione ordinaria è formulata come segue: il numeratore della frazione è uguale al periodo e il denominatore è costituito dallo stesso numero di nove quante sono le cifre nel periodo della frazione.

Dimostriamo ora questa regola per una frazione il cui periodo è costituito da P

UN= . Moltiplichiamo UN il 10 N, noi abbiamo:

10N × UN = = + 0, ;

10N × UN = + UN;

(10N – 1) UN = Þ un = = .

Quindi, la regola precedentemente formulata è stata dimostrata per qualsiasi frazione periodica pura.

Diamo ora una frazione UN= 0,605(43) – periodico misto. Moltiplichiamo UN per 10 con lo stesso indicatore, quante cifre ci sono nel pre-periodo, cioè entro 10 3, otteniamo

10 3× UN= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × UN = 605 + = 605 + = = ,

quelli. 10 3× UN= .

Regola la conversione di una frazione periodica mista in frazione ordinaria è formulata come segue: il numeratore della frazione è uguale alla differenza tra il numero scritto in cifre prima dell'inizio del secondo periodo e il numero scritto in cifre prima dell'inizio del primo periodo , il denominatore è costituito dal numero di nove pari al numero di cifre del periodo e dal numero di zeri quante cifre ci sono prima dell'inizio del primo periodo.

Dimostriamo ora questa regola per una frazione il cui preperiodo è costituito da P numeri e il punto è da A numeri Sia data una frazione periodica

Denotiamo V= ; R= ,

Con= ; Poi Con=nella × 10k+r.

Moltiplichiamo UN per 10 con tale esponente quante cifre ci sono nel preperiodo, cioè il 10 N, noi abbiamo:

UN×10 N = + .

Tenendo conto delle notazioni introdotte sopra, scriviamo:

a× 10N= V+ .

Quindi, la regola formulata sopra è stata dimostrata per qualsiasi frazione periodica mista.

Ogni frazione decimale periodica infinita è una forma di scrittura di un numero razionale.

Per ragioni di coerenza, a volte un decimale finito è considerato anche un decimale periodico infinito con punto "zero". Ad esempio, 0,27 = 0,27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3.000... .

Ora diventa vera la seguente affermazione: ogni numero razionale può (e in modo unico) essere espresso da una frazione decimale periodica infinita, e ogni frazione decimale periodica infinita esprime esattamente un numero razionale (le frazioni decimali periodiche con periodo 9 non vengono considerate ).

Il fatto che molti radici quadrate Sono numeri irrazionali, non toglie nulla al loro significato, in particolare il numero $\sqrt2$ viene utilizzato molto spesso in vari calcoli ingegneristici e scientifici; Questo numero può essere calcolato con la precisione richiesta in ciascun caso specifico. Puoi ottenere questo numero con tutte le cifre decimali di cui hai la pazienza.

Ad esempio, il numero $\sqrt2$ può essere determinato con una precisione di sei cifre decimali: $\sqrt2=1.414214$. Questo valore non è molto diverso dal valore reale, poiché $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$. Questa risposta differisce da 2 di poco più di un milionesimo. Pertanto, il valore di $\sqrt2$ pari a $1.414214$ è considerato abbastanza accettabile per risolvere la maggior parte dei problemi pratici. Nei casi in cui è richiesta una maggiore precisione, non è difficile ottenerla figure significative dopo il punto decimale, come necessario in questo caso.

Tuttavia, se mostri rara testardaggine e provi a estrarre Radice quadrata dal numero $\sqrt2$ finché non raggiungi il risultato esatto, non finirai mai il tuo lavoro. È un processo senza fine. Non importa quante cifre decimali ottieni, ne rimarranno sempre alcune in più.

Questo fatto potrebbe sorprenderti tanto quanto trasformare $\frac13$ in un decimale infinito $0,333333333…$ e così via indefinitamente, o trasformare $\frac17$ in $0,142857142857142857…$ e così via indefinitamente. A prima vista può sembrare che queste radici quadrate infinite e irrazionali siano fenomeni dello stesso ordine, ma non è affatto così. Dopotutto, queste frazioni infinite hanno un equivalente frazionario, mentre $\sqrt2$ non ha tale equivalente. Perché esattamente? Il fatto è che l'equivalente decimale di $\frac13$ e $\frac17$, così come un numero infinito di altre frazioni, sono frazioni periodiche infinite.

Allo stesso tempo, l'equivalente decimale di $\sqrt2$ è una frazione non periodica. Questa affermazione è vera anche per qualsiasi numero irrazionale.

Il problema è che qualsiasi decimale che sia un'approssimazione della radice quadrata di 2 lo è frazione non periodica. Non importa quanto lontano andiamo nei nostri calcoli, qualsiasi frazione che otteniamo sarà non periodica.

Immagina una frazione con un numero enorme di cifre non periodiche dopo la virgola decimale. Se improvvisamente dopo la milionesima cifra si ripete l'intera sequenza di cifre decimali, significa decimale- periodico e ne esiste un equivalente sotto forma di un rapporto di numeri interi. Se una frazione con un numero enorme (miliardi o milioni) di cifre decimali non periodiche ad un certo punto ha una serie infinita di cifre ripetute, ad esempio $...55555555555...$, ciò significa anche che questa frazione è periodica e esiste un equivalente sotto forma di rapporto di numeri interi.

Tuttavia, nel caso, i loro equivalenti decimali sono completamente non periodici e non possono diventare periodici.

Naturalmente, puoi porre la seguente domanda: “Chi può sapere e dire con certezza cosa succede a una frazione, diciamo, dopo il segno del trilione? Chi può garantire che una frazione non diventi periodica?” Esistono modi per dimostrare in modo definitivo che i numeri irrazionali non sono periodici, ma tali dimostrazioni richiedono una matematica complessa. Ma se all'improvviso si scoprisse che il numero irrazionale diventa frazione periodica, ciò significherebbe un completo collasso dei fondamenti delle scienze matematiche. E in effetti questo è difficilmente possibile. Non è facile per te lanciarlo da una parte all'altra sulle nocche, qui c'è una complessa teoria matematica.

Ricordi come nella primissima lezione sui decimali ho detto che ci sono frazioni numeriche che non possono essere rappresentate come decimali (vedi lezione “Decimali”)? Abbiamo anche imparato a fattorizzare i denominatori delle frazioni per vedere se ci sono numeri diversi da 2 e 5.

Quindi: ho mentito. E oggi impareremo come convertire assolutamente qualsiasi frazione numerica in un decimale. Allo stesso tempo, conosceremo un'intera classe di frazioni con una parte significativa infinita.

Un decimale periodico è qualsiasi decimale che:

1. La parte significativa è composta da un numero infinito di cifre;
2. A determinati intervalli si ripetono i numeri nella parte significativa.

L'insieme di cifre ripetute che costituiscono la parte significativa è chiamato parte periodica di una frazione, e il numero di cifre in questo insieme è chiamato periodo della frazione. Il restante segmento della parte significativa, che non si ripete, si chiama parte non periodica.

Poiché esistono molte definizioni, vale la pena considerare alcune di queste frazioni in dettaglio:

Questa frazione appare più spesso nei problemi. Parte non periodica: 0; parte periodica: 3; durata del periodo: 1.

Parte non periodica: 0,58; parte periodica: 3; durata del periodo: ancora 1.

Parte non periodica: 1; parte periodica: 54; durata del periodo: 2.

Parte non periodica: 0; parte periodica: 641025; durata del periodo: 6. Per comodità, le parti ripetute sono separate l'una dall'altra da uno spazio: ciò non è necessario in questa soluzione.

Parte non periodica: 3066; parte periodica: 6; durata del periodo: 1.

Come puoi vedere, la definizione di frazione periodica si basa sul concetto parte significativa di un numero. Pertanto, se hai dimenticato di cosa si tratta, ti consiglio di ripeterlo - vedi la lezione “”.

Transizione alla frazione decimale periodica

Consideriamo una frazione ordinaria della forma a/b. Fattorizziamo il suo denominatore in fattori primi. Ci sono due opzioni:

1. L'espansione contiene solo i fattori 2 e 5. Queste frazioni possono essere facilmente convertite in decimali - vedere la lezione “Decimali”. Non siamo interessati a queste persone;
2. C'è qualcos'altro nell'espansione oltre a 2 e 5. In questo caso la frazione non può essere rappresentata come decimale, ma può essere convertita in un decimale periodico.

Per definire una frazione decimale periodica, è necessario trovare le sue parti periodiche e non periodiche. Come? Converti la frazione in frazione impropria, quindi dividi il numeratore per il denominatore utilizzando un angolo.

Accadrà quanto segue:

1. Si dividerà per primo intera parte , se esiste;
2. Potrebbero esserci più numeri dopo la virgola decimale;
3. Dopo un po' inizieranno i numeri ripetere.

È tutto! I numeri che si ripetono dopo la virgola decimale sono indicati dalla parte periodica, mentre quelli che precedono sono indicati dalla parte non periodica.

Compito. Convertire le frazioni ordinarie in decimali periodici:

Tutte le frazioni senza parte intera, quindi dividiamo semplicemente il numeratore per il denominatore con un “angolo”:

Come puoi vedere, i resti si ripetono. Scriviamo la frazione nella forma “corretta”: 1.733 ... = 1.7(3).

Il risultato è una frazione: 0,5833 ... = 0,58(3).

Lo scriviamo in forma normale: 4.0909 ... = 4,(09).

Otteniamo la frazione: 0,4141 ... = 0.(41).

Transizione dalla frazione decimale periodica alla frazione ordinaria

Considera la frazione decimale periodica X = abc (a 1 b 1 c 1). È necessario convertirlo in un classico “a due piani”. Per fare ciò, segui quattro semplici passaggi:

1. Trova il periodo della frazione, ad es. conta quante cifre ci sono nella parte periodica. Sia questo il numero k;
2. Trova il valore dell'espressione X · 10 k. Ciò equivale a spostare la virgola decimale a destra di un punto intero - vedere la lezione "Moltiplicazione e divisione dei decimali";
3. L'espressione originale deve essere sottratta dal numero risultante. In questo caso la parte periodica viene “bruciata” e rimane frazione comune;
4. Trova X nell'equazione risultante. Convertiamo tutte le frazioni decimali in frazioni ordinarie.

Compito. Converti il ​​numero in una frazione impropria ordinaria:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Lavoriamo con la prima frazione: X = 9,(6) = 9.666 ...

Le parentesi contengono solo una cifra, quindi il periodo è k = 1. Successivamente moltiplichiamo questa frazione per 10 k = 10 1 = 10. Abbiamo:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

Sottrai la frazione originale e risolvi l'equazione:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Consideriamo ora la seconda frazione. Quindi X = 32,(39) = 32,393939...

Periodo k = 2, quindi moltiplica tutto per 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Sottrai nuovamente la frazione originale e risolvi l'equazione:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Passiamo alla terza frazione: X = 0,30(5) = 0,30555... Il diagramma è lo stesso, quindi mi limiterò a fare i calcoli:

Periodo k = 1 ⇒ moltiplica tutto per 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Infine, l'ultima frazione: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Ancora una volta, per comodità, le parti periodiche sono separate l'una dall'altra da spazi. Abbiamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Questo articolo riguarda decimali. Qui comprenderemo la notazione decimale dei numeri frazionari, introdurremo il concetto di frazione decimale e forniremo esempi di frazioni decimali. Successivamente parleremo delle cifre delle frazioni decimali e forniremo i nomi delle cifre. Successivamente ci concentreremo sulle frazioni decimali infinite, parliamo di frazioni periodiche e non periodiche. Successivamente elenchiamo le operazioni di base con le frazioni decimali. In conclusione, stabiliamo la posizione delle frazioni decimali sul raggio delle coordinate.

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Notazione decimale di un numero frazionario

Lettura dei decimali

Diciamo alcune parole sulle regole per leggere le frazioni decimali.

Le frazioni decimali, che corrispondono alle frazioni ordinarie proprie, si leggono allo stesso modo di queste frazioni ordinarie, solo prima viene aggiunto "zero intero". Ad esempio, la frazione decimale 0,12 corrisponde alla frazione comune 12/100 (leggi “dodici centesimi”), quindi 0,12 si legge come “zero virgola dodici centesimi”.

Le frazioni decimali che corrispondono a numeri misti vengono lette esattamente come questi numeri misti. Ad esempio, corrisponde la frazione decimale 56.002 numero misto, pertanto, la frazione decimale 56.002 si legge “cinquantasei virgola due millesimi”.

Posti in decimali

Nella scrittura delle frazioni decimali, così come nella scrittura numeri naturali, il significato di ciascuna cifra dipende dalla sua posizione. Infatti, il numero 3 nella frazione decimale 0,3 significa tre decimi, nella frazione decimale 0,0003 - tre decimillesimi e nella frazione decimale 30.000,152 - tre decine di migliaia. Quindi possiamo parlarne decimali, nonché sulle cifre dei numeri naturali.

I nomi delle cifre nella frazione decimale fino alla virgola decimale coincidono completamente con i nomi delle cifre nei numeri naturali. E i nomi delle cifre decimali dopo la virgola possono essere visti dalla tabella seguente.

Ad esempio, nella frazione decimale 37.051, la cifra 3 è nella posizione delle decine, 7 è nella posizione delle unità, 0 è nella posizione dei decimi, 5 è nella posizione dei centesimi e 1 è nella posizione dei millesimi.

Anche le posizioni nelle frazioni decimali differiscono nella precedenza. Se scrivendo una frazione decimale ci spostiamo da una cifra all'altra da sinistra a destra, allora ci sposteremo da gli anziani A ranghi junior. Ad esempio, la posizione delle centinaia è più antica della posizione dei decimi, mentre la posizione dei milioni è inferiore alla posizione dei centesimi. In una data frazione decimale finale si può parlare di cifre maggiori e minori. Ad esempio, nella frazione decimale 604.9387 anziano (il più alto) il posto è il posto delle centinaia, e junior (il più basso)- cifra dei decimillesimi.

Per le frazioni decimali avviene l'espansione in cifre. È simile all'espansione in cifre dei numeri naturali. Ad esempio, l'espansione in cifre decimali di 45.6072 è la seguente: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. E le proprietà dell'addizione dalla scomposizione di una frazione decimale in cifre consentono di passare ad altre rappresentazioni di questa frazione decimale, ad esempio 45.6072=45+0.6072, o 45.6072=40.6+5.007+0.0002, o 45.6072= 45.0072+ 0,6.

Fine dei decimali

Finora abbiamo parlato solo di frazioni decimali, nella cui notazione c'è un numero finito di cifre dopo la virgola. Tali frazioni sono chiamate decimali finiti.

Definizione.

Fine dei decimali- Queste sono frazioni decimali, i cui record contengono un numero finito di caratteri (cifre).

Ecco alcuni esempi di frazioni decimali finali: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230.032,45.

Tuttavia, non tutte le frazioni possono essere rappresentate come decimali finali. Ad esempio, la frazione 5/13 non può essere sostituita da una frazione uguale con uno dei denominatori 10, 100, ..., quindi non può essere convertita in una frazione decimale finale. Ne parleremo più approfonditamente nella sezione teorica, convertendo le frazioni ordinarie in decimali.

Decimali infiniti: frazioni periodiche e frazioni non periodiche

Scrivendo una frazione decimale dopo la virgola, è possibile consentire la possibilità di un numero infinito di cifre. In questo caso arriveremo a considerare le cosiddette frazioni decimali infinite.

Definizione.

Decimali infiniti- Queste sono frazioni decimali, che contengono un numero infinito di cifre.

È chiaro che non possiamo scrivere infinite frazioni decimali in forma completa, quindi nella loro registrazione ci limitiamo solo a un certo numero finito di cifre dopo il punto decimale e inseriamo dei puntini di sospensione che indicano una sequenza di cifre infinitamente continua. Ecco alcuni esempi di frazioni decimali infinite: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Se osservate attentamente le ultime due infinite frazioni decimali, nella frazione 2.111111111... è chiaramente visibile il numero 1 che si ripete all'infinito, e nella frazione 69.74152152152..., a partire dalla terza cifra decimale, un gruppo di numeri ripetitivo 1, 5 e 2 è chiaramente visibile. Tali frazioni decimali infinite sono chiamate periodiche.

Definizione.

Decimali periodici(o semplicemente frazioni periodiche) sono frazioni decimali infinite, nella cui registrazione, a partire da una certa cifra decimale, un numero o un gruppo di numeri viene ripetuto all'infinito, chiamato periodo della frazione.

Ad esempio, il periodo della frazione periodica 2.111111111... è la cifra 1, e il periodo della frazione 69.74152152152... è un gruppo di cifre della forma 152.

Per le frazioni decimali periodiche infinite viene adottata una forma speciale di notazione. Per brevità, abbiamo concordato di scrivere il punto una volta, racchiudendolo tra parentesi. Ad esempio, la frazione periodica 2.111111111... è scritta come 2,(1) e la frazione periodica 69.74152152152... è scritta come 69.74(152) .

Vale la pena notare che è possibile specificare periodi diversi per la stessa frazione decimale periodica. Ad esempio, la frazione decimale periodica 0,73333... può essere considerata come una frazione 0,7(3) con un periodo pari a 3, e anche come una frazione 0,7(33) con un periodo pari a 33, e così via 0,7(333), 0.7 (3333), ... Puoi anche guardare la frazione periodica 0.73333 ... così: 0.733(3), o così 0.73(333), ecc. Qui, per evitare ambiguità e discrepanze, conveniamo di considerare come periodo di una frazione decimale la più breve di tutte le sequenze possibili di cifre ripetute, e partendo dalla posizione più vicina alla virgola decimale. Cioè, il periodo della frazione decimale 0,73333... sarà considerato una sequenza di una cifra 3, e la periodicità inizia dalla seconda posizione dopo la virgola, cioè 0,73333...=0,7(3). Altro esempio: la frazione periodica 4.7412121212... ha periodo 12, la periodicità inizia dalla terza cifra dopo la virgola, cioè 4.7412121212...=4.74(12).

Le frazioni periodiche decimali infinite si ottengono convertendo in frazioni decimali le frazioni ordinarie i cui denominatori contengono fattori primi diversi da 2 e 5.

Qui vale la pena menzionare le frazioni periodiche con un periodo di 9. Diamo esempi di tali frazioni: 6.43(9) , 27,(9) . Queste frazioni sono un'altra notazione per le frazioni periodiche con periodo 0 e solitamente vengono sostituite da frazioni periodiche con periodo 0. Per fare ciò, il periodo 9 viene sostituito dal periodo 0 e il valore della cifra successiva più alta viene aumentato di uno. Ad esempio, una frazione con periodo 9 della forma 7.24(9) viene sostituita da una frazione periodica con periodo 0 della forma 7.25(0) o da una frazione decimale finale uguale 7.25. Un altro esempio: 4,(9)=5,(0)=5. L'uguaglianza di una frazione con periodo 9 e della sua corrispondente frazione con periodo 0 si stabilisce facilmente dopo aver sostituito queste frazioni decimali con frazioni ordinarie uguali.

Infine, diamo uno sguardo più da vicino alle infinite frazioni decimali, che non contengono una sequenza di cifre che si ripete all'infinito. Si chiamano non periodici.

Definizione.

Decimali non ricorrenti(o semplicemente frazioni non periodiche) sono frazioni decimali infinite che non hanno punto.

A volte le frazioni non periodiche hanno una forma simile a quella delle frazioni periodiche, ad esempio 8.02002000200002... è una frazione non periodica. In questi casi, dovresti prestare particolare attenzione a notare la differenza.

Nota che le frazioni non periodiche non si convertono in frazioni ordinarie; le frazioni decimali non periodiche infinite rappresentano numeri irrazionali.

Operazioni con i decimali

Una delle operazioni con le frazioni decimali è il confronto e vengono anche definite le quattro funzioni aritmetiche di base operazioni con decimali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Consideriamo separatamente ciascuna delle azioni con frazioni decimali.

Confronto di decimali basato essenzialmente sul confronto delle frazioni ordinarie corrispondenti alle frazioni decimali confrontate. Tuttavia, convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie è un processo piuttosto laborioso e le frazioni infinite non periodiche non possono essere rappresentate come frazioni ordinarie, quindi è conveniente utilizzare un confronto posizionale delle frazioni decimali. Il confronto spaziale delle frazioni decimali è simile al confronto dei numeri naturali. Per informazioni più dettagliate, consigliamo di studiare l'articolo: confronto tra frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Passiamo al passaggio successivo: moltiplicando i decimali. La moltiplicazione delle frazioni decimali finite viene eseguita in modo simile alla sottrazione di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni alla moltiplicazione per una colonna di numeri naturali. Nel caso delle frazioni periodiche, la moltiplicazione può essere ridotta alla moltiplicazione delle frazioni ordinarie. A sua volta, la moltiplicazione di infinite frazioni decimali non periodiche dopo il loro arrotondamento si riduce alla moltiplicazione di frazioni decimali finite. Raccomandiamo per ulteriori studi il materiale nell'articolo: moltiplicazione di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Decimali su un raggio coordinato

Esiste una corrispondenza biunivoca tra punti e decimali.

Scopriamo come vengono costruiti i punti sul raggio delle coordinate che corrispondono a una determinata frazione decimale.

Possiamo sostituire le frazioni decimali finite e le frazioni decimali periodiche infinite con frazioni ordinarie uguali, e quindi costruire le frazioni ordinarie corrispondenti sul raggio delle coordinate. Ad esempio la frazione decimale 1.4 corrisponde alla frazione comune 14/10, quindi il punto di coordinata 1.4 è allontanato dall'origine in senso positivo di 14 segmenti pari ad un decimo di segmento unitario.

Le frazioni decimali possono essere marcate su un raggio di coordinate, a partire dalla scomposizione di una data frazione decimale in cifre. Ad esempio, dobbiamo costruire un punto con coordinata 16.3007, poiché 16.3007=16+0.3+0.0007, quindi in questo punto puoi arrivarci staccando in sequenza dall'origine 16 segmenti unitari, 3 segmenti la cui lunghezza è pari a un decimo di segmento unitario e 7 segmenti la cui lunghezza è pari a un decimillesimo di segmento unitario.

Questo modo di costruire numeri decimali sul raggio delle coordinate ti permette di avvicinarti quanto vuoi al punto corrispondente ad una frazione decimale infinita.

A volte è possibile tracciare con precisione il punto corrispondente ad una frazione decimale infinita. Per esempio, , allora questa frazione decimale infinita 1.41421... corrisponde a un punto raggio coordinato, allontanato dall'origine della lunghezza della diagonale di un quadrato con lato pari a 1 segmento unitario.

Il processo inverso per ottenere la frazione decimale corrispondente a un dato punto su un raggio di coordinate è il cosiddetto misurazione decimale di un segmento. Scopriamo come è fatto.

Lasciamo che il nostro compito sia quello di arrivare dall'origine a un dato punto sulla linea delle coordinate (o di avvicinarci all'infinito se non riusciamo a raggiungerlo). Con la misura decimale di un segmento possiamo separare in sequenza dall'origine un numero qualsiasi di segmenti unitari, poi segmenti la cui lunghezza è pari a un decimo di unità, quindi segmenti la cui lunghezza è pari a un centesimo di unità, ecc. Registrando il numero di segmenti di ciascuna lunghezza messi da parte, si ottiene la frazione decimale corrispondente ad un dato punto del raggio coordinato.

Ad esempio, per arrivare al punto M nella figura sopra, è necessario mettere da parte 1 segmento unitario e 4 segmenti, la cui lunghezza è pari a un decimo di unità. Pertanto, il punto M corrisponde alla frazione decimale 1.4.

È chiaro che i punti del raggio delle coordinate, che non possono essere raggiunti nel processo di misurazione decimale, corrispondono a infinite frazioni decimali.

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