Modellazione matematica dei processi biologici.

Abbiamo già detto che l'approccio matematico allo studio di alcuni fenomeni mondo reale di solito inizia con la creazione di appropriati concetti generali, cioè dalla costruzione modelli matematici, che hanno proprietà essenziali per noi dei sistemi e dei processi che studiamo. Abbiamo anche accennato alle difficoltà legate alla costruzione di tali modelli in biologia, difficoltà causate dall'estrema complessità dei sistemi biologici. Tuttavia, nonostante queste difficoltà, l’approccio “modello” a problemi biologici si sta ora sviluppando con successo e ha già portato alcuni risultati. Esamineremo alcuni modelli relativi a vari processi e sistemi biologici.

Parlando del ruolo dei modelli nella ricerca biologica, è importante notare quanto segue. Sebbene comprendiamo il termine "modello" in senso astratto, come un certo sistema concetti logici, e non come un vero e proprio dispositivo fisico, tuttavia un modello è qualcosa di significativamente più di una semplice descrizione di un fenomeno o di un'ipotesi puramente qualitativa, in cui c'è ancora abbastanza spazio per ambiguità e opinioni soggettive. Ricordiamo il seguente esempio, risalente ad un passato piuttosto lontano. Un tempo Helmholtz, mentre studiava l'udito, avanzò la cosiddetta teoria della risonanza, che sembrava plausibile da un punto di vista puramente qualitativo. Tuttavia, calcoli quantitativi effettuati successivamente, tenendo conto dei valori reali delle masse, dell’elasticità e della viscosità dei componenti che compongono il sistema uditivo, hanno mostrato l’inconsistenza di tale ipotesi. In altre parole, il tentativo di trasformare un'ipotesi puramente qualitativa in un modello esatto che ne consentisse l'indagine con metodi matematici ha rivelato immediatamente l'inconsistenza dei principi originari. Naturalmente, se abbiamo costruito un certo modello e anche ottenuto un buon accordo tra questo modello e i risultati del corrispondente esperimento biologico, ciò non dimostra ancora la correttezza del nostro modello. Ora, se, sulla base dello studio del nostro modello, possiamo fare alcune previsioni sul sistema biologico che stiamo modellando, e poi confermare queste previsioni con un esperimento reale, allora questa sarà una prova molto più preziosa a favore della correttezza di il modello.

Ma passiamo ad esempi specifici.

2. Circolazione sanguigna

Uno dei primi, se non il primo, lavoro sulla modellazione matematica dei processi biologici dovrebbe essere considerato il lavoro di Leonhard Euler, in cui sviluppò la teoria matematica della circolazione sanguigna, considerando in prima approssimazione l'intero sistema circolatorio in quanto costituito da un serbatoio con pareti elastiche, resistenza periferica e pompa. Queste idee di Eulero (così come alcune delle sue altre opere) furono inizialmente completamente dimenticate, e poi riprese nelle opere successive di altri autori.

3. Le leggi di Mendel

Un modello abbastanza antico e noto, ma comunque molto notevole in biologia, è la teoria mendeliana dell'ereditarietà. Secondo questo modello, basato su concetti teorici della probabilità, i cromosomi delle cellule madri contengono determinati insiemi di caratteristiche che durante la fecondazione si combinano tra loro in modo indipendente e casuale. Successivamente questa idea di fondo ha subito chiarimenti molto significativi; ad esempio, si è scoperto che non sempre i diversi segni sono indipendenti l'uno dall'altro; se sono associati allo stesso cromosoma, possono essere trasmessi solo in una determinata combinazione. Inoltre, si è scoperto che diversi cromosomi non si combinano in modo indipendente, ma esiste una proprietà chiamata affinità cromosomica, che viola questa indipendenza, ecc. Attualmente, i metodi teorico-probabilistici e statistici sono ampiamente penetrati nella ricerca genetica e persino il termine "matematico" genetica” ha ricevuto pieni diritti di cittadinanza. Attualmente si sta svolgendo un intenso lavoro in questo settore e sono stati ottenuti molti risultati interessanti sia dal punto di vista biologico che da quello puramente matematico; Tuttavia, la base stessa di questi studi è il modello creato da Mendel più di 100 anni fa.

4. Modelli muscolari

Uno degli oggetti più interessanti della ricerca fisiologica è il muscolo. Questo oggetto è molto accessibile e lo sperimentatore può effettuare molti studi semplicemente su se stesso, disponendo solo di attrezzature relativamente semplici. Anche le funzioni svolte dai muscoli in un organismo vivente sono abbastanza chiare e definite. Nonostante tutto ciò, numerosi tentativi di costruire un modello soddisfacente della funzione muscolare non hanno prodotto risultati definitivi. È chiaro che sebbene un muscolo possa allungarsi e contrarsi come una molla, le sue proprietà sono completamente diverse e, anche in prima approssimazione, una molla non può essere considerata una parvenza di un muscolo. Per una molla esiste una stretta relazione tra il suo allungamento e il carico ad essa applicato. Per un muscolo non è così: un muscolo può cambiare la sua lunghezza mantenendo la tensione e, viceversa, cambiare la forza di trazione senza cambiare la sua lunghezza. In poche parole, alla stessa lunghezza, un muscolo può essere rilassato o teso.

Tra le varie modalità di funzionamento possibili per un muscolo, le più significative sono la cosiddetta contrazione isotonica (cioè una contrazione in cui la tensione muscolare rimane costante) e la tensione isometrica, in cui la lunghezza del muscolo non cambia (entrambi le estremità sono fisse). Studiare un muscolo in queste modalità è importante per comprendere i principi del suo funzionamento, sebbene in condizioni naturali l'attività muscolare non sia né puramente isotonica né puramente isometrica.

Sono state proposte varie formule matematiche per descrivere la relazione tra la velocità di contrazione muscolare isotonica e l'entità del carico. La più famosa di queste è la cosiddetta equazione caratteristica di Hill. Sembra

(P+a)V=b(P 0 -P),

- velocità di contrazione, un, b E P0- permanente.

Altre formule ben note per descrivere la stessa relazione sono l'equazione di Ober

P = P 0 e- V⁄P ±F

e l'equazione di Polissar

V=cost (A 1-P/P 0 - B 1-P/P 0).

L'equazione di Hill è diventata molto diffusa in fisiologia; fornisce un buon accordo con l'esperimento per i muscoli di un'ampia varietà di animali, sebbene in realtà rappresenti il ​​risultato di un "adattamento" piuttosto che un'inferenza da qualche modello. Altre due equazioni, che danno approssimativamente la stessa dipendenza dell'equazione di Hill su un intervallo abbastanza ampio di carichi, sono state ottenute dai loro autori da alcune idee sul meccanismo fisico-chimico della contrazione muscolare. Esistono numerosi tentativi di costruire un modello del lavoro muscolare, considerando quest'ultimo come una combinazione di elementi elastici e viscosi. Tuttavia, non esiste ancora un modello sufficientemente soddisfacente che rifletta tutte le principali caratteristiche del lavoro muscolare nelle varie modalità.

5. Modelli di neuroni, reti neurali

Le cellule nervose, o neuroni, sono le “unità lavoratrici” che compongono il sistema nervoso e alle quali il corpo animale o umano deve tutta la sua capacità di percepire i segnali esterni e di controllare le varie parti del corpo. Una caratteristica delle cellule nervose è che una tale cellula può trovarsi in due stati: riposo ed eccitazione. In questo, le cellule nervose sono simili a elementi come tubi radio o trigger a semiconduttore, da cui vengono assemblati i circuiti logici dei computer. Negli ultimi 15-20 anni sono stati fatti molti tentativi per modellare le attività sistema nervoso, basato sugli stessi principi su cui si basa il lavoro dei computer universali. Già negli anni ’40 i ricercatori americani McCulloch e Pitts introdussero il concetto di “neurone formale”, definendolo come un elemento (la cui natura fisica non ha importanza) dotato di un certo numero di “eccitatori” e di un certo numero di “ input “inibitori”. Questo elemento stesso può trovarsi in due stati: "riposo" o "eccitazione". Uno stato eccitato si verifica se il neurone riceve un numero sufficiente di segnali eccitatori e non ci sono segnali inibitori. McCulloch e Pitts hanno dimostrato che con l'aiuto di circuiti composti da tali elementi è possibile, in linea di principio, implementare qualsiasi tipo di elaborazione delle informazioni che avviene in un organismo vivente. Ciò, tuttavia, non significa affatto che in questo modo abbiamo appreso i veri principi del sistema nervoso. Innanzitutto, sebbene le cellule nervose siano caratterizzate dal principio “tutto o niente”, cioè dalla presenza di due stati chiaramente definiti: riposo ed eccitazione, non ne consegue affatto che il nostro sistema nervoso, come un computer universale, utilizzi un sistema binario codice digitale composto da zero e uno. Ad esempio, nel sistema nervoso, sembra che la modulazione di frequenza giochi un ruolo significativo, cioè la trasmissione di informazioni utilizzando la lunghezza degli intervalli di tempo tra gli impulsi. In generale, nel sistema nervoso apparentemente non esiste una divisione dei metodi di codifica delle informazioni in “digitale” (discreto) e “analogico” (continuo) come è disponibile nella moderna tecnologia informatica.

Affinché un sistema di neuroni funzioni nel suo insieme, è necessario che ci siano alcune connessioni tra questi neuroni: gli impulsi generati da un neurone devono arrivare agli input di altri neuroni. Queste connessioni possono avere una struttura corretta e regolare, oppure possono essere determinate solo da modelli statistici ed essere soggette a determinati cambiamenti casuali. Nei dispositivi informatici attualmente esistenti non è consentita alcuna casualità nelle connessioni tra gli elementi, tuttavia esistono numerosi studi teorici sulla possibilità di costruire dispositivi informatici basati sui principi connessioni casuali tra gli elementi. Ci sono argomenti abbastanza seri a favore del fatto che anche le connessioni tra i neuroni reali nel sistema nervoso sono in gran parte statistiche e non strettamente regolari. Tuttavia, le opinioni su questo argomento differiscono.

In generale, si può dire quanto segue riguardo al problema della modellazione del sistema nervoso. Sappiamo già molto sulle peculiarità del lavoro dei neuroni, cioè quegli elementi che compongono il sistema nervoso. Inoltre, con l'ausilio di sistemi di neuroni formali (intesi nel senso di McCulloch e Pitts o in altro senso), simulando le proprietà fondamentali delle vere cellule nervose, è possibile simulare, come già accennato, modalità di elaborazione molto diverse informazioni. Tuttavia, siamo ancora abbastanza lontani da una chiara comprensione dei principi di base del funzionamento del sistema nervoso e delle sue singole parti e, di conseguenza, dalla creazione di un suo modello soddisfacente *.

* (Se riusciamo a creare un qualche tipo di sistema in grado di risolvere gli stessi problemi di un altro sistema, ciò non significa che entrambi i sistemi funzionino secondo gli stessi principi. Ad esempio, puoi risolvere numericamente un'equazione differenziale su un computer digitale fornendogli il programma appropriato, oppure puoi risolvere la stessa equazione su un computer analogico. Otterremo gli stessi o quasi gli stessi risultati, ma i principi di elaborazione delle informazioni in questi due tipi di macchine sono completamente diversi.)

6. Percezione delle immagini visive. Visione dei colori

La visione è uno dei canali principali attraverso i quali riceviamo informazioni sul mondo esterno. Espressione famosa- è meglio vedere una volta che ascoltare cento volte - questo è vero, tra l'altro, anche da un punto di vista puramente informativo: la quantità di informazioni che percepiamo attraverso la vista è incomparabilmente maggiore di quella percepita dagli altri sensi. Questa importanza del sistema visivo per un organismo vivente, insieme ad altre considerazioni (specificità delle funzioni, possibilità di condurre vari studi senza alcun danno al sistema, ecc.) ha stimolato il suo studio e, in particolare, i tentativi di modellare un approccio alla visione questo problema.

L'occhio è un organo che funge sia da sistema ottico che da dispositivo di elaborazione delle informazioni. Da entrambi i punti di vista, questo sistema ha un certo numero di proprietà sorprendenti. Notevole è la capacità dell'occhio di adattarsi ad una gamma molto ampia di intensità luminose e di percepire correttamente tutti i colori. Ad esempio, un pezzo di gesso in una stanza poco illuminata riflette meno luce di un pezzo di carbone posto in una stanza luminosa. luce solare, tuttavia, in ognuno di questi casi percepiamo correttamente i colori degli oggetti corrispondenti. L'occhio trasmette bene le differenze relative nell'intensità dell'illuminazione e addirittura le “esagera” un po'. Pertanto, una linea grigia su uno sfondo bianco brillante ci sembra più scura di un campo solido della stessa grigio. Questa capacità dell'occhio di enfatizzare i contrasti nell'illuminazione è dovuta al fatto che i neuroni visivi hanno un effetto inibitorio l'uno sull'altro: se il primo dei due neuroni vicini riceve un segnale più forte del secondo, allora ha un intenso effetto inibitorio sull'altro. in secondo luogo, e la differenza nell'output di questi neuroni è che l'intensità è maggiore della differenza nell'intensità dei segnali di input. Modelli costituiti da neuroni formali collegati sia da connessioni eccitatorie che inibitorie hanno attirato l'attenzione sia di fisiologi che di matematici. Ci sono anche risultati interessanti e questioni irrisolte.

Di grande interesse è il meccanismo attraverso il quale l'occhio percepisce i diversi colori. Come sai, tutte le sfumature di colore percepite dai nostri occhi possono essere rappresentate come combinazioni di tre colori primari. Di solito questi colori primari sono rosso, blu e colori gialli, corrispondente alle lunghezze d'onda 700, 540 e 450 Å, ma questa scelta non è univoca.

La natura “tricolore” della nostra visione è dovuta al fatto che l’occhio umano ha tre tipi di recettori, con la massima sensibilità rispettivamente nelle zone gialla, blu e rossa. La domanda è: come distinguiamo tra questi tre recettori? gran numero sfumature di colore, non è molto semplice. Ad esempio, non è ancora abbastanza chiaro cosa sia codificato esattamente questo o quel colore nei nostri occhi: la frequenza degli impulsi nervosi, la localizzazione del neurone che reagisce prevalentemente a una determinata tonalità di colore, o qualcos'altro. Esistono alcune idee modello su questo processo di percezione delle ombre, ma sono ancora del tutto preliminari. Non c'è dubbio, tuttavia, che anche qui i sistemi di neuroni collegati tra loro tramite connessioni sia eccitatorie che inibitorie dovrebbero svolgere un ruolo significativo.

Infine, l'occhio è molto interessante anche come sistema cinematico. Una serie di esperimenti ingegnosi (molti dei quali sono stati condotti nel laboratorio di fisiologia della vista dell'Istituto per i problemi di trasmissione delle informazioni di Mosca) hanno stabilito a prima vista quanto segue fatto inaspettato: se un'immagine è immobile rispetto all'occhio, l'occhio non la percepisce. Il nostro occhio, esaminando un oggetto, lo “sente” letteralmente (questi movimenti oculari possono essere registrati con precisione utilizzando apposite apparecchiature). Lo studio dell'apparato motorio dell'occhio e lo sviluppo delle corrispondenti rappresentazioni modello sono piuttosto interessanti sia di per sé che in connessione con altre proprietà (ottiche, informative, ecc.) del nostro sistema visivo.

Riassumendo, possiamo dire che siamo ancora lontani dalla creazione di modelli del sistema visivo completamente soddisfacenti che descrivano bene tutte le sue proprietà di base. Tuttavia, alcuni aspetti e principi importanti del suo funzionamento sono già abbastanza chiari e possono essere modellati sotto forma di programmi per computer o anche sotto forma di dispositivi tecnici.

7. Modello medio attivo. Diffusione dell'eccitazione

Uno di questi proprietà caratteristiche di molti tessuti viventi, soprattutto il tessuto nervoso, è la loro capacità di eccitare e trasferire l'eccitazione da un'area all'altra. Circa una volta al secondo, un’ondata di eccitazione attraversa il nostro muscolo cardiaco, facendolo contrarre e spingendo il sangue in tutto il corpo. L'eccitazione lungo le fibre nervose, diffondendosi dalla periferia (organi sensoriali) al midollo spinale e al cervello, ci informa del mondo esterno, e nella direzione opposta ci sono comandi di eccitazione che prescrivono determinate azioni ai muscoli.

L'eccitazione in una cellula nervosa può avvenire da sola (come si suol dire, "spontaneamente"), sotto l'influenza di una cellula vicina eccitata o sotto l'influenza di qualche segnale esterno, ad esempio, la stimolazione elettrica proveniente da una fonte di corrente. Dopo essere passata in uno stato eccitato, la cellula vi rimane per un po 'di tempo, quindi l'eccitazione scompare, dopodiché inizia un certo periodo di immunità cellulare ai nuovi stimoli, il cosiddetto periodo refrattario. Durante questo periodo, la cellula non risponde ai segnali da essa ricevuti. Quindi la cellula ritorna al suo stato originale, dal quale è possibile il passaggio allo stato di eccitazione. Pertanto, l'eccitazione delle cellule nervose ha una serie di proprietà chiaramente definite, a partire dalle quali è possibile costruire un modello assiomatico di questo fenomeno. Inoltre, per studiare questo modello, puro metodi matematici.

Le idee su un tale modello sono state sviluppate diversi anni fa nei lavori di I.M. Gelfand e M.L Tsetlin, che sono state poi continuate da numerosi altri autori. Formuliamo una descrizione assiomatica del modello in questione.

Per “mezzo eccitabile” intendiamo un certo insieme X elementi (“celle”) con le seguenti proprietà:

1.Ogni elemento può trovarsi in uno dei tre stati: riposo, eccitazione e refrattarietà;

2. Da ciascun elemento eccitato l'eccitazione si diffonde attraverso molti elementi a riposo con una certa velocità v;

3.Se l'articolo X non è stato eccitato per un periodo specifico T(x), poi trascorso questo tempo entra spontaneamente in uno stato eccitato. Tempo T(x) chiamato il periodo di attività spontanea dell'elemento X. Ciò non esclude il caso in cui T(x)= ∞, cioè quando l'attività spontanea è di fatto assente;

4. Lo stato di eccitazione dura per qualche tempo τ (che può dipendere da X), quindi l'elemento si sposta per un po' R(x) in uno stato refrattario, dopo il quale subentra uno stato di riposo.

Modelli matematici simili si trovano in ambiti completamente diversi, ad esempio nella teoria della combustione o nei problemi della propagazione della luce in un mezzo disomogeneo. Tuttavia, la presenza di un “periodo refrattario” è una caratteristica dei processi biologici.

Il modello descritto può essere studiato sia con metodi analitici sia implementandolo su un computer. In quest'ultimo caso siamo, ovviamente, costretti a presumere che set X(mezzo eccitabile) è costituito da un certo numero finito di elementi (in conformità con le capacità della tecnologia informatica esistente - nell'ordine di diverse migliaia). Per la ricerca analitica è naturale supporre X una certa varietà continua (ad esempio, consideralo X- questo è un pezzo di aereo). Il caso più semplice di un tale modello si ottiene se prendiamo X un segmento (un prototipo di fibra nervosa) e presuppongono che il tempo durante il quale ciascun elemento si trova in uno stato eccitato sia molto breve. Quindi il processo di propagazione sequenziale degli impulsi lungo tale "fibra nervosa" può essere descritto da una catena di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Già in questo modello semplificato vengono riprodotte alcune caratteristiche del processo di propagazione che si riscontrano anche negli esperimenti biologici reali.

La questione delle condizioni per la comparsa della cosiddetta fibrillazione in un mezzo attivo così modello è molto interessante sia dal punto di vista medico teorico che applicato. Questo fenomeno, osservato sperimentalmente, ad esempio nel muscolo cardiaco, consiste nel fatto che invece di contrazioni ritmiche coordinate, nel cuore compaiono eccitazioni locali casuali, prive di periodicità e che ne interrompono il funzionamento. Il primo studio teorico di questo problema fu intrapreso negli anni '50 grazie al lavoro di N. Wiener e A. Rosenbluth. Attualmente, il lavoro in questa direzione viene svolto intensamente nel nostro Paese e ha già prodotto una serie di risultati interessanti.

Il libro consiste in lezioni sulla modellazione matematica dei processi biologici ed è scritto sulla base del materiale dei corsi tenuti presso la Facoltà di Biologia dell'Università Statale di Mosca. MV Lomonosov.
24 lezioni delineano la classificazione e le caratteristiche della modellazione dei sistemi viventi, le basi dell'apparato matematico utilizzato per costruire modelli dinamici in biologia, modelli di base di crescita della popolazione e interazione delle specie, modelli di processi multistazionari, oscillatori e quasi stocastici in biologia. Vengono considerati metodi per studiare il comportamento spaziotemporale dei sistemi biologici, modelli di reazioni biochimiche di autowave, propagazione di un impulso nervoso, modelli di colorazione della pelle di animali e altri. Particolare attenzione è rivolta al concetto di gerarchia dei tempi, importante per la modellazione in biologia, e ai concetti moderni di frattali e caos dinamico. Le ultime lezioni sono dedicate metodi moderni modellazione matematica e informatica dei processi di fotosintesi. Le lezioni sono destinate a studenti universitari, laureati e specialisti che desiderano acquisire familiarità con i fondamenti moderni della modellistica matematica in biologia.

Dinamica molecolare.
Nel corso della storia della scienza occidentale, la domanda è stata se, conoscendo le coordinate di tutti gli atomi e le leggi della loro interazione, sia possibile descrivere tutti i processi che si verificano nell'Universo. La domanda non ha trovato la sua risposta univoca. La meccanica quantistica ha stabilito il concetto di incertezza a livello micro. Nelle lezioni 10-12 vedremo che l'esistenza di tipi di comportamento quasi stocastici nei sistemi deterministici rende quasi impossibile prevedere il comportamento di alcuni sistemi deterministici a livello macro.

Corollario della prima questione è la seconda: la questione della “riducibilità”. È possibile, conoscendo le leggi della fisica, cioè le leggi del movimento di tutti gli atomi che compongono i sistemi biologici, e le leggi della loro interazione, descrivere il comportamento dei sistemi viventi. In linea di principio, è possibile rispondere a questa domanda utilizzando un modello di simulazione, che contiene le coordinate e le velocità di movimento di tutti gli atomi di qualsiasi sistema vivente e le leggi della loro interazione. Per qualsiasi sistema vivente, tale modello deve contenere un numero enorme di variabili e parametri. Tentativi di modellizzare con questo approccio il funzionamento degli elementi dei sistemi viventi - le biomacromolecole - sono stati fatti dagli anni '70.

Contenuto
Prefazione alla seconda edizione
Prefazione alla prima edizione
Lezione 1. Introduzione. Modelli matematici in biologia
Lezione 2. Modelli di sistemi biologici descritti da un'unica equazione differenziale del primo ordine
Lezione 3. Modelli di crescita della popolazione
Lezione 4. Modelli descritti da sistemi di due equazioni differenziali autonome
Lezione 5. Studio della stabilità degli stati stazionari di sistemi non lineari del secondo ordine
Lezione 6. Il problema delle variabili veloci e lente. Il teorema di Tikhonov. Tipi di biforcazioni. Disastri
Lezione 7. Sistemi multistazionari
Lezione 8. Oscillazioni nei sistemi biologici
Lezione 9. Modelli di interazione di due tipi
Lezione 10. Caos dinamico. Modelli di comunità biologica
Esempi di insiemi frattali
Lezione 11. Modellazione delle popolazioni microbiche
Lezione 12. Modello dell'influenza dei deboli campo elettrico su un sistema non lineare di trasporto ionico transmembrana
Lezione 13. Sistemi biologici distribuiti. Equazione di reazione-diffusione
Lezione 14. Risoluzione dell'equazione di diffusione. Stabilità degli stati stazionari omogenei
Lezione 15. Propagazione di un'onda di concentrazione in sistemi con diffusione
Lezione 16. Stabilità di soluzioni stazionarie omogenee di un sistema di due equazioni del tipo reazione-diffusione. Strutture dissipative
Lezione 17. Reazione di Belousov-Zhabotinsky
Lezione 18. Modelli di propagazione degli impulsi nervosi. Processi di autowave e aritmie cardiache
Lezione 19. Trigger distribuiti e morfogenesi. Modelli di colorazione della pelle degli animali
Lezione 20. Modelli spaziotemporali di interazione tra specie
Lezione 21. Oscillazioni e distribuzioni spaziali periodiche del valore del pH e del potenziale elettrico membrana cellulare alga gigante Chara corallina
Lezione 22. Modelli di trasporto degli elettroni fotosintetici. Trasferimento di elettroni in un complesso multienzimatico
Lezione 23. Modelli cinetici dei processi di trasporto degli elettroni fotosintetici
Lezione 24. Diretta modelli informatici processi nella membrana fotosintetica
Pensiero scientifico naturale non lineare e coscienza ambientale
Stadi di evoluzione dei sistemi complessi.

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Funzionamento di un sistema biologico complesso, incluso sistema cardiovascolare, è il risultato dell'interazione dei suoi elementi costitutivi e dei processi che si verificano in esso. Va tenuto presente che secondo il principio generale di una gerarchia ascendente dei tipi di movimento (meccanico - fisico - chimico - biologico - sociale), la forma biologica del movimento non può essere completamente ridotta alla forma meccanica, fisica o chimica del movimento. movimento e i sistemi biologici non possono essere completamente descritti dal punto di vista di nessuna di queste forme di movimento. Queste forme di movimento possono servire da modello forma biologica movimento, cioè le sue immagini semplificate.

È possibile scoprire i principi di base della regolazione dei processi di un sistema biologico complesso costruendo prima un modello meccanico, fisico o chimico del sistema, e poi costruendo i loro modelli matematici, cioè trovando le funzioni matematiche che descrivono questi modelli , comprese le equazioni (creazione di modelli matematici). Più basso è il livello gerarchico, più modello più semplice, tanto più fattori del sistema reale vengono esclusi dalla considerazione.

La modellazione è un metodo in cui lo studio di un oggetto complesso (processo, fenomeno) viene sostituito dallo studio del suo analogo semplificato: un modello. In biofisica, biologia e medicina sono ampiamente utilizzati modelli fisici, chimici, biologici e matematici. Ad esempio, il flusso del sangue attraverso i vasi è modellato dal movimento del fluido attraverso i tubi (modello fisico). Un modello biologico è costituito da semplici oggetti biologici, utili per la ricerca sperimentale, sui quali vengono studiate le proprietà di sistemi biologici reali e più complessi. Ad esempio, i modelli di comparsa e propagazione dei potenziali d'azione lungo le fibre nervose sono stati studiati utilizzando un modello biologico: l'assone del calamaro gigante.

Un modello matematico è un insieme di oggetti matematici e le relazioni tra loro, che riflettono le proprietà e le caratteristiche di un oggetto reale che interessano il ricercatore. Un modello matematico adeguato può essere costruito solo utilizzando dati e idee specifici sui meccanismi di processi complessi. Dopo la costruzione, il modello matematico “vive” secondo le sue leggi interne, la cui conoscenza ci permette di identificarlo tratti caratteristici il sistema in esame (vedi diagramma in Fig. 1.1.). I risultati della simulazione costituiscono la base per la gestione di processi di qualsiasi natura.

I sistemi biologici, infatti, sono unità strutturali e funzionali estremamente complesse.

Molto spesso, i modelli matematici dei processi biologici sono specificati sotto forma di equazioni differenziali o alle differenze, ma sono possibili anche altri tipi di rappresentazioni del modello. Dopo che il modello è stato costruito, il compito si riduce allo studio delle sue proprietà utilizzando metodi di deduzione matematica o attraverso la modellazione automatica.

Quando si studia un fenomeno complesso, vengono solitamente proposti diversi modelli alternativi. Viene verificata la corrispondenza qualitativa di questi modelli con l'oggetto. Ad esempio, stabiliscono la presenza di stati stazionari stabili nel modello e l’esistenza di modi oscillatori. Modello, nel miglior modo possibile corrispondente al sistema in studio viene scelto come principale. Il modello selezionato viene specificato in relazione allo specifico sistema oggetto di studio. I valori numerici dei parametri sono impostati sulla base di dati sperimentali.

Il processo di ricerca di un modello matematico di un fenomeno complesso può essere suddiviso in fasi, la cui sequenza e interconnessione si riflettono nel diagramma di Fig. 1.2.

La fase 1 corrisponde alla raccolta dei dati disponibili all'inizio dello studio sull'oggetto studiato.

Nella fase 2, un modello base (sistema di equazioni) viene selezionato tra possibili modelli alternativi in ​​base a caratteristiche qualitative.

Nella fase 3, i parametri del modello vengono identificati dai dati sperimentali.

Nella fase 4, il comportamento del modello viene verificato utilizzando dati sperimentali indipendenti. Per fare ciò, spesso è necessario effettuare ulteriori esperimenti.

Se i dati sperimentali raccolti per verificare il modello “non si adattano” al modello, è necessario analizzare la situazione e proporre altri modelli, studiare le proprietà di questi nuovi modelli e quindi condurre esperimenti che permettano di concludere che si di essi è preferibile (passaggio 5).

La fase di costruzione di un modello matematico (fase 2, Fig. 1.2) è la fase più importante nella modellazione matematica. Le idee sui meccanismi e sulle leggi che operano nel sistema e che sono integrate nel modello matematico determinano la struttura dei risultati della modellazione. Pertanto, modellando il funzionamento del sistema cardiovascolare sulla base di idee sul lavoro del cuore dal punto di vista della meccanica, possiamo costruire un modello meccanico-matematico.

Quando parliamo di modellizzazione matematica della dinamica di un sistema biologico complesso basato su leggi fisiche, entriamo nel campo della biofisica matematica dei sistemi complessi. È stato all'incrocio di tre scienze: matematica, fisica e biologia che negli ultimi cinque decenni si è verificato un salto di qualità nella descrizione matematica del comportamento di qualsiasi sistema (fisico, biologico, economico).

È pratica comune misurare le quantità fisiologiche in funzione del tempo. Per caratterizzare tali dipendenze dal tempo, esistono quattro concetti matematici di base: stati stazionari, oscillazioni, caos e rumore. Lo stato stazionario in matematica può essere correlato al concetto di omeostasi in fisiologia, ad esempio, media pressione sanguigna si mantiene costante nell’uomo. Durante l'attività fisica, la pressione aumenta e, dopo la cessazione dell'attività fisica, la pressione ritorna al livello stazionario entro pochi minuti. Esempi di processi oscillatori nel corpo umano includono: ritmi del battito cardiaco, respirazione e riproduzione cellulare, cicli di sonno e veglia, secrezione di insulina, onde peristaltiche nell'intestino e nell'uretere, attività elettrica della corteccia cerebrale e del sistema nervoso autonomo, ecc. È noto che anche la misurazione attenta di una grandezza fisica o fisiologica non produce mai una relazione temporale assolutamente stazionaria o strettamente periodica. Ci saranno sempre fluttuazioni (deviazioni) attorno ad un livello fisso o periodo di oscillazione. Inoltre, ci sono sistemi così irregolari che è difficile trovare un processo stazionario o periodico sottostante. Tali processi sono considerati in matematica come rumore (relativo alle fluttuazioni) o caos (il "grado più alto" di ordine, l'irregolarità osservata in un sistema deterministico). Il caos può essere osservato anche in completa assenza di rumore nell'ambiente.

La base del modello matematico è un sistema di equazioni matematiche (formula 1.1). Un modello matematico dinamico caratterizza il comportamento di un sistema nel tempo, che può essere descritto utilizzando concetti fisici come velocità e accelerazione. I modelli dinamici sono descritti da sistemi di equazioni differenziali, che sono soggetti a restrizioni derivanti dal significato fisico o fisiologico delle quantità accettate:

dove f 1 ,…, f n - alcune funzioni , x 1 ,…, x n– variabili indipendenti, P - dimensione dello spazio delle fasi, a,…, e, ecc. - parametri delle equazioni differenziali.

Gli stati stazionari stabili corrispondono a soluzioni costanti delle equazioni del sistema 1.1 (Fig. 1.3, A). Vibrazioni stazionarie di origine biologica o quantità fisiche corrispondono a soluzioni periodiche del sistema di equazioni (Fig. 1.3, B). Le soluzioni temporali irregolari (aperiodiche) delle equazioni corrispondono al rumore o al caos (Figura 1.3, B).

Per alcuni valori dei parametri è possibile ottenere più soluzioni, ovvero il sistema può trovarsi in più stati stazionari (ad esempio in due stati). La transizione di un sistema, a seguito della quale esso può trovarsi in uno dei possibili stati, si chiama biforcazione. In genere, alcuni stati sono stabili, altri sono instabili. Se sono possibili due stati stabili, il sistema può saltare da uno stato all'altro con una leggera influenza esterna, comprese le fluttuazioni. Questo fenomeno è chiamato bistabilità.

Come esempio di costruzione di un modello di un processo biologico periodico, consideriamo il modello matematico “predatore-preda” di Volterra.

Il modello di Voltaire

Lascia che lepri e linci vivano in qualche area chiusa. Le lepri mangiano cibi vegetali, che sono sempre disponibili in quantità sufficienti. Le linci (predatori) si nutrono solo di lepri (prede). Indichiamo il numero di lepri in quest'area con N 1 e il numero di linci con N 2. N 1 e N 2 sono funzioni del tempo.

Poiché la quantità di cibo per le lepri non è limitata, possiamo supporre che in assenza di predatori, il loro numero aumenterebbe nel tempo t in modo direttamente proporzionale al numero di individui disponibili:

Dove un io– coefficiente di proporzionalità.

Se in questa zona vivessero solo le linci, si estinguerebbero per mancanza di cibo.

Negli ultimi decenni si sono registrati notevoli progressi in materia descrizione quantitativa (matematica). funzioni di vari biosistemi a vari livelli di organizzazione della vita: molecolare, cellulare, organo, organismo, popolazione, biogeocenologico (ecosistema). La vita è determinata da molte diverse caratteristiche di questi biosistemi e processi che si verificano ai livelli appropriati di organizzazione del sistema e integrati in un unico insieme durante il funzionamento del sistema. I modelli basati su postulati essenziali sui principi del funzionamento del sistema, che descrivono e spiegano un'ampia gamma di fenomeni ed esprimono la conoscenza in una forma compatta e formalizzata, possono essere definiti come teorie del biosistema. Costruzione di modelli matematici(teorie) dei sistemi biologici sono diventate possibili grazie al lavoro analitico eccezionalmente intenso degli sperimentatori: morfologi, biochimici, fisiologi, specialisti in biologia molecolare ecc. In seguito a questo lavoro si sono cristallizzati i diagrammi morfofunzionali di varie cellule, all'interno delle quali vari processi fisico-chimici e biochimici si verificano in modo ordinato nello spazio e nel tempo, formando intrecci molto complessi.

La seconda circostanza molto importante, che contribuisce al coinvolgimento dell'apparato matematico in biologia, è l'attenta determinazione sperimentale delle costanti di velocità di numerose reazioni intracellulari che determinano le funzioni della cellula e del corrispondente biosistema. Senza la conoscenza di tali costanti, una descrizione matematica formale dei processi intracellulari è impossibile.

E infine, terza condizione Ciò che ha determinato il successo della modellazione matematica in biologia è stato lo sviluppo di potenti strumenti informatici sotto forma di personal computer, supercomputer e tecnologie dell'informazione. Ciò è dovuto al fatto che solitamente i processi che controllano l'una o l'altra funzione delle cellule o degli organi sono numerosi, coperti da cicli di azione diretta e feedback e sono quindi descritti sistemi complessi equazioni non lineari con un gran numero di incognite. Tali equazioni non possono essere risolte analiticamente, ma possono essere risolte numericamente utilizzando un computer.

Esperimenti numerici su modelli in grado di riprodurre un'ampia classe di fenomeni nelle cellule, negli organi e nel corpo permettono di valutare la correttezza delle ipotesi fatte durante la costruzione dei modelli. Sebbene i fatti sperimentali siano usati come postulati modello, la necessità di alcune ipotesi e ipotesiè una componente teorica importante della modellizzazione. Queste ipotesi e ipotesi sono ipotesi, che può essere sottoposto a verifica sperimentale. Così, i modelli diventano fonti di ipotesi, peraltro verificabile sperimentalmente. Un esperimento volto a verificare una determinata ipotesi può confutarla o confermarla e quindi aiutare a perfezionare il modello.

Questa interazione tra modellizzazione ed esperimento avviene continuamente, portando ad una comprensione sempre più profonda e accurata del fenomeno:

• l'esperimento perfeziona il modello,
• il nuovo modello avanza nuove ipotesi,
• l'esperimento chiarisce nuovo modello ecc.

Attualmente campo della modellizzazione matematica dei sistemi viventi unisce una serie di discipline diverse e già consolidate, tradizionali e più moderne, i cui nomi suonano abbastanza generali, tanto che è difficile delimitare rigorosamente le aree del loro utilizzo specifico. Attualmente, aree specializzate di applicazione della modellizzazione matematica dei sistemi viventi si stanno sviluppando in modo particolarmente rapido: fisiologia matematica, immunologia matematica, epidemiologia matematica, volte a sviluppare teorie matematiche e modelli informatici di sistemi e processi rilevanti.

Come ogni disciplina scientifica, la biologia matematica (teorica) ha la propria materia, metodi, metodi e procedure di ricerca. COME oggetto di ricerca sono modelli matematici (informatici) di processi biologici, che allo stesso tempo rappresentano sia un oggetto di ricerca che uno strumento per studiare gli oggetti biologici stessi. In connessione con questa duplice essenza dei modelli biomatematici, essi implicano utilizzo di metodi esistenti e sviluppo di nuovi per l'analisi dei sistemi matematici(teorie e metodi delle branche rilevanti della matematica) al fine di studiare le proprietà del modello stesso come oggetto matematico, nonché l'uso del modello per riprodurre e analizzare i dati sperimentali ottenuti in esperimenti biologici. Allo stesso tempo, uno degli scopi più importanti dei modelli matematici (e della biologia teorica in generale) è la capacità di prevedere fenomeni biologici e scenari per il comportamento di un biosistema in determinate condizioni e la loro giustificazione teorica prima di condurre i corrispondenti esperimenti biologici.

Il principale metodo di ricerca e l'uso di modelli complessi di sistemi biologici lo è esperimento informatico computazionale, che richiede l'uso di metodi di calcolo adeguati per i corrispondenti sistemi matematici, algoritmi di calcolo, tecnologie di sviluppo e implementazione programmi informatici, archiviazione ed elaborazione dei risultati della modellazione computerizzata.

Infine, in connessione con l'obiettivo principale di utilizzare modelli biomatematici per comprendere le leggi del funzionamento dei sistemi biologici, tutte le fasi dello sviluppo e dell'uso dei modelli matematici richiedono il ricorso obbligatorio a teoria e pratica scienza biologica e soprattutto sui risultati di esperimenti su vasta scala.

Un metodo per descrivere i sistemi biologici utilizzando un apparato matematico adeguato. Definizione di matematica. un apparato che rifletta adeguatamente il funzionamento dei sistemi biologici è un compito difficile associato alla loro classificazione. La classificazione dei sistemi biologici per complessità (logaritmo del numero di stati) può essere effettuata utilizzando, ad esempio, una scala su cui sistemi semplici I sistemi fino a mille stati sono classificati come complessi - da mille a un milione e molto complessi - oltre un milione di stati. Secondo la caratteristica più importante Il sistema biologico è un modello espresso dalla legge della distribuzione di probabilità degli stati. Secondo questa legge è possibile determinare l'incertezza del suo lavoro secondo K. Shannon e una valutazione della relativa organizzazione. Quindi, biol. i sistemi possono essere classificati in base alla complessità (massima diversità o massima incertezza possibile) e alla relativa organizzazione, cioè al grado di organizzazione (vedi Organizzazione dei sistemi biologici).

Schema di classificazione dei biosistemi:

Sistemi semplici;

Sistemi complessi;

Sistemi molto complessi;

Sistemi probabilistici;

Sistemi probabilistico-deterministici;

Sistemi deterministici.

Nella fig. un diagramma di classificazione dei biosistemi è mostrato sugli assi della massima incertezza possibile che caratterizza il numero di stati del sistema e determinato dal logaritmo del numero di stati e dal livello di organizzazione relativa - che caratterizza il grado di organizzazione del sistema. Il diagramma fornisce i nomi delle bande corrispondenti in modo che, ad esempio, l’area sotto il numero 8 significhi “biosistemi molto complessi determinati probabilisticamente”. L'esperienza nello studio dei biosistemi mostra che se , calcolato dall'istogramma della distribuzione delle deviazioni dell'indicatore studiato dalla sua aspettativa matematica, è compreso tra 1,0 e 0,3, allora possiamo considerare che si tratta di un biosistema deterministico. Tali sistemi includono sistemi di controllo interno. organi, principalmente sistemi di controllo ormonale (umorale). Neurone, organi interni sfere, i sistemi metabolici secondo determinati parametri possono anche essere classificati come biosistemi deterministici. Matematica. i modelli di tali sistemi sono costruiti sulla base fisico-chimica. relazioni tra elementi o organi del sistema. In questo caso, la dinamica dei cambiamenti negli indicatori di input, intermedi e di output è soggetta a modellizzazione. Si tratta, ad esempio, di modelli biofisici delle cellule nervose, del sistema cardiovascolare, del sistema di controllo dello zucchero nel sangue e altri. Matematica. l'apparato che descrive adeguatamente il comportamento di tali biosistemi deterministici è la teoria delle diff. ed equazioni integrali. Basato sulla matematica. modelli di biosistemi, è possibile, utilizzando metodi di teoria del controllo automatico, risolvere con successo problemi differenziali. ottimizzazione della diagnosi e del trattamento. Il campo della modellizzazione dei biosistemi deterministici è quello più sviluppato.

Se l'organizzazione dei biosistemi in relazione all'indicatore studiato (o al sistema di indicatori) è compresa tra 0,3 e 0,1, allora i sistemi possono essere considerati determinati probabilisticamente. Questi includono i sistemi di controllo interno. organi con una componente chiaramente espressa di regolazione nervosa (ad esempio, il sistema di controllo della frequenza cardiaca), nonché sistemi di regolazione ormonale in caso di patologia. Come matematica adeguata. Il dispositivo può servire come rappresentazione della dinamica dei cambiamenti negli indicatori di differenza. equazioni con coefficienti che obbediscono a determinate leggi di distribuzione. La modellizzazione di tali biosistemi è relativamente poco sviluppata, sebbene sia di notevole interesse ai fini della cibernetica medica.

I biosistemi probabilistici sono caratterizzati da un valore di organizzazione R compreso tra 0,1 e 0. Questi includono sistemi che determinano l'interazione di analizzatori e reazioni comportamentali, inclusi processi di apprendimento durante semplici atti riflessi condizionati e relazioni complesse tra segnali ambiente e reazioni del corpo. Matematica adeguata. apparato

per modellare tali biosistemi c'è la teoria degli automi deterministici e casuali che interagiscono con ambienti deterministici e casuali, la teoria dei processi casuali.

Matematica. la modellazione dei biosistemi comprende l'elaborazione statistica preliminare dei risultati sperimentali (vedi Ricerca biologica, metodi matematici), studio della complessità e organizzazione dei biosistemi, selezione della matematica adeguata. modelli e definizione valori numerici matematica dei parametri. modelli basati su dati sperimentali (vedi Cibernetica biologica). L'ultimo problema è generalmente molto difficile. Per i sistemi biologici deterministici, i cui modelli possono essere rappresentati da diff lineari. equazioni, la determinazione dei migliori parametri del modello (coefficiente dell'equazione differenziale) può essere effettuata mediante il metodo della discesa (vedi metodo del gradiente) nello spazio dei parametri del modello, stimato dall'integrale dell'errore quadrato. In questo caso è necessario applicare la procedura di discesa dei parametri per minimizzare la funzionalità

dove T è il periodo, il tempo caratteristico dell'indicatore, y è la curva sperimentale dei cambiamenti nell'indicatore del biosistema, y ​​è la soluzione dei calcoli. modelli. Se è necessario ottenere la migliore approssimazione matematica (nel senso dell'integrale dell'errore quadrato). modelli per il funzionamento di un biosistema secondo diversi indicatori per vari stati interni del biosistema o per varie caratteristiche influenze esterne, allora è possibile, utilizzando il metodo della discesa nello spazio dei parametri del modello, minimizzare la somma dei funzionali parziali . Quando si utilizza questa procedura per selezionare i parametri, math. modello, è possibile aumentare la probabilità di ottenere un unico insieme di coefficienti. modelli che corrispondono alla struttura adottata. Con l'aiuto di B. s. m.m. è desiderabile ricevere non solo caratteristiche quantitative il lavoro dei biosistemi, i suoi elementi e le caratteristiche della relazione degli elementi, ma anche identificare i criteri per il funzionamento dei biosistemi, stabilire alcuni principi generali il loro funzionamento. Lett.: Glushkov V. M. Introduzione alla cibernetica. K., 1964 [bibliogr. Con. 319-322]; Modellistica in biologia e medicina, in. 1-3. K., 1965-68; Bush R., Mosteller F. Modelli stocastici della capacità di apprendimento. Per. dall'inglese M., 1962. Yu. G. Antononov.