Un campo elettrostatico uniforme è creato da una piastra caricata uniformemente. Calcolo dei campi elettrici utilizzando il teorema di Ostrogradsky-Gauss

Zhidkevich V.I. Campo elettrico di un aereo // Fisica: problemi di calcolo. - 2009. - N. 6. - P. 19-23.

I problemi elettrostatici possono essere divisi in due gruppi: problemi relativi alle cariche puntiformi e problemi relativi ai corpi carichi, le cui dimensioni non possono essere ignorate.

La risoluzione dei problemi di calcolo dei campi elettrici e delle interazioni delle cariche puntiformi si basa sull'applicazione della legge di Coulomb e non causa particolari difficoltà. Più difficile è determinare l'intensità del campo e l'interazione di corpi carichi di dimensioni finite: sfera, cilindro, piano. Quando si calcola l'intensità dei campi elettrostatici di varie configurazioni, l'importanza del principio di sovrapposizione dovrebbe essere enfatizzata e utilizzata quando si considerano i campi creati non solo da cariche puntiformi, ma anche da cariche distribuite sulla superficie e sul volume. Quando si considera l'effetto di un campo su una carica, la formula F=qE nel caso generale vale per corpi con carica puntiforme e solo in campo uniforme è applicabile per corpi di qualsiasi dimensione e forma portatori di carica Q.

Il campo elettrico di un condensatore risulta dalla sovrapposizione di due campi creati da ciascuna piastra.

In un condensatore piatto, una piastra può essere considerata come un corpo caricoq1posto in un campo elettrico di intensità E2, creato da un'altra piastra.

Consideriamo diversi problemi.

1. Il piano infinito è carico di densità superficiale σ >0. Trova l'intensità del campo E e potenziale ϕ su entrambi i lati del piano, considerando il potenziale del piano pari a zero. Costruisci grafici delle dipendenze Ex), ϕ (X). asse x perpendicolare al piano, il punto x=0 giace sul piano.

Soluzione. Il campo elettrico di un piano infinito è uniforme e simmetrico rispetto al piano. Il suo tensione tra l'intensità e la differenza di potenziale tra due punti di un campo elettrostatico uniforme è espressa dalla formula dove x - la distanza tra i punti, misurata lungo la linea del campo. Poi ϕ 2 = ϕ 1 -Ex. A x<0 при х>0 Dipendenze E(x) e ϕ (x) sono presentati nella Figura 1.

2. Due lamine sottili piano parallele situate a breve distanza D l'uno dall'altro, caricati uniformemente con carica di densità superficialeσ1 e σ 2. Trova le intensità di campo nei punti che si trovano tra le piastre e all'esterno. Traccia un grafico della tensione E(x) e potenziale ϕ (x), conteggio ϕ (0)=0. Consideriamo i casi in cui: a)σ1 = -σ2 ; b) σ1 = σ2; c) σ1 =3 σ2 -

Soluzione. Poiché la distanza tra le piastre è piccola, esse possono essere considerate come piani infiniti.

L'intensità del campo di un piano carico positivamente è uguale a e diretto da lei; l'intensità del campo del piano carico negativamente è diretta verso di esso.

Secondo il principio di sovrapposizione, il campo in qualsiasi punto in esame verrà creato separatamente da ciascuna delle cariche.

a) I campi di due piani carichi di cariche di segno uguale e opposto (condensatore piatto) si sommano nella regione compresa tra i piani e si annullano nelle regioni esterne (Fig. 2, UN).

A X<0 E= 0, ϕ =0; a 0 d E= 0, Grafici dipendenza della tensione e del potenziale dalla distanza X sono mostrati nella Figura 2, avanti Cristo.

Se i piani sono di dimensioni finite, il campo tra i piani non sarà strettamente uniforme e il campo esterno ai piani non sarà esattamente zero.

b) Campi di aerei carichi di cariche uguali in grandezza e segno (σ1 = σ2 ), si compensano nello spazio tra i piani e si sommano nelle regioni esterne (Fig. 3, UN). A x<0 при 0D

Utilizzando il grafico Ex) (Fig. 3, b), costruiamo un grafico qualitativo della dipendenza ϕ (x) (Fig. 3, c).

c) Se σ 1 = σ 2, quindi, tenendo conto delle direzioni dei campi e scegliendo come positiva la direzione a destra, troviamo:

La dipendenza della tensione E dalla distanza è mostrata nella Figura 4.

3. Su una delle piastre di un condensatore piatto con capacità CON c'è un addebitoq1=+3Q, e dall'altro q2 =+ Q. Determinare la differenza di potenziale tra le armature del condensatore.

Soluzione. 1° metodo. Lascia che l'area della piastra del condensatore S, e la distanza tra loro D. Il campo all'interno del condensatore è uniforme, quindi la differenza di potenziale (tensione) ai capi del condensatore può essere determinata dalla formula U=E*d, dove E - intensità di campo all'interno del condensatore.

dove E1, E2 - intensità di campo creata dalle piastre del condensatore.

Poi

2° metodo. Aggiungi una carica a ciascun piatto Quindi le piastre vengono condensate Satora avrà delle accuse + Q e -q. I campi di cariche identiche delle piastre all'interno del condensatore si annullano a vicenda. Le cariche aggiunte non hanno modificato il campo tra le piastre, e quindi la differenza di potenziale condensatore. U= .

4. q/C Q Una sottile piastra metallica con carica + viene inserita nello spazio tra le piastre di un condensatore piatto scarico.

Soluzione.. Determinare la differenza di potenziale tra le armature del condensatore. Poiché il condensatore non è carico, il campo elettrico viene creato solo dalla piastra carica (Fig. 5). Questo campo è uniforme, simmetrico rispetto alla piastra e alla sua intensitàLasciamo che sia il potenziale della piastra metallica ϕ . Quindi i potenziali delle piastre UN E IN i condensatori saranno uguali ϕ- ϕ A = ϕ El 1; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Differenza di potenziale tra le piastre del condensatoreSe l'armatura si trova alla stessa distanza dalle armature del condensatore, la differenza di potenziale tra le armature è zero.

5. In un campo elettrico di intensità uniforme E0 una piastra metallica carica è posta perpendicolare alle linee di forza con una densità di carica sulla superficie di ciascun lato della piastra σ (Fig. 6). Determinare l'intensità del campo E" all'interno e all'esterno della piastra e densità di carica superficialeσ1 e σ2 , che apparirà sui lati sinistro e destro della piastra.

Soluzione. Il campo interno alla piastra è zero ed è una sovrapposizione di tre campi: il campo esterno E0, il campo creato dalle cariche sul lato sinistro della piastra e il campo creato dalle cariche sul lato destro della piastra. Quindi,dove σ 1 e σ 2 - densità di carica superficiale sui lati sinistro e destro della piastra, che appare dopo l'introduzione della piastra nel campo E0. La carica totale sulla piastra non cambierà, quindiσ 1 + σ 2 =2 σ, da cui σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ2 = σ+ ε 0 E 0 . Il campo esterno alla piastra è una sovrapposizione del campo E0 e campi di piastre cariche E. A sinistra di piatti A destra del piatto

6. In un condensatore piatto l'intensità del campo è E = 10 4 V/m. Distanza tra le piastre d= 2 cm. A quanto sarà uguale la differenza di potenziale se tra le piastre viene posta una lamiera di spessore parallela ad esse?d0=0,5 cm (Fig. 7)?

Soluzione. Poiché il campo elettrico tra le armature è uniforme, allora U=Ed, U=200 V.

Se si segna una lamiera tra le armature, si ottiene un sistema di due condensatori collegati in serie con una distanza tra le armatured1 e d2. Le capacità di questi condensatoriLa loro capacità totale

Poiché il condensatore è scollegato dalla sorgente di corrente, la carica del condensatore non cambia quando viene aggiunta una lamiera: q"=CU=С"U 1 ; dove è la capacità del condensatore sator prima di aggiungervi una lamiera. Noi abbiamo:

U1= 150 V.

7. Sui piatti UN e C, situati paralleli a distanza d= 8 cm di distanza, potenziali mantenuti φ1= 60 V e ϕ2 =- 60 V rispettivamente. Tra di loro è stata posta una piastra con messa a terra D ad una distanza d 1 = 2 cm dalla piastra A. Quanto è cambiata l'intensità del campo nelle sezioni AD e CD? Costruisci grafici delle dipendenze ϕ (X) ed E(x).

Esempio 1. Un filo sottile e infinitamente lungo è carico uniformemente con una densità di carica lineare λ . Trova l'intensità del campo elettrostatico E(R) ad una distanza arbitraria R dal filo.

Facciamo un disegno:

Analisi:

Perché Il filo non prevede addebito in punti; è applicabile il metodo DI. Selezioniamo un elemento infinitesimo della lunghezza del conduttore dl, che conterrà l'addebito dq=dlλ. Calcoliamo l'intensità del campo creata da ciascun elemento del conduttore in un punto arbitrario A situato a una distanza dal filo UN. Il vettore sarà diretto lungo la retta che collega la carica puntiforme al punto di osservazione. Otteniamo il campo risultante lungo la normale alla filettatura lungo l'asse x. È necessario trovare il valore dEx: dE x =dE cosα. .

A priori:

.

Grandezza dl, R, cambiano in modo coerente quando cambia la posizione dell'elemento dl. Esprimiamoli attraverso il valore α:

Dove dα– incremento infinitesimo dell'angolo α come risultato della rotazione del raggio vettore rispetto al punto A quando ci si sposta lungo il filo di dl. Poi dl=R 2 dα/ a. Durante lo spostamento dl dal punto O l'angolo cambia da 0 0 a π/2.

Quindi .

Controllo dimensionale: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m;

Risposta:.

Metodo 2.

A causa della simmetria assiale della distribuzione della carica, tutti i punti situati ad uguale distanza dalla filettatura sono equivalenti e l'intensità del campo in essi è la stessa, ad es. E(R)=cost, dove R- distanza dal punto di osservazione al filo. Direzione E in questi punti coincide sempre con la direzione della normale al filo. Per il teorema di Gauss; Dove Q-carica coperta dalla superficie – S’ attraverso la quale viene calcolato il flusso, scegliamo la forma di un cilindro di raggio a e una generatrice con un filo. Tenendo conto che è normale alla superficie laterale del cilindro, otteniamo per il flusso:

Perché E=cost.

S lato = SU 2π .

Dall'altro lato E 2πаН=Q/ε 0 ,

Dove λÍ=q.

Risposta:E=λ /4πε 0 UN.

Esempio 2. Calcolare la tensione di un piano infinito carico uniformemente con densità di carica superficiale σ .

Le linee di tensione sono perpendicolari e dirette in entrambe le direzioni dal piano. Come superficie chiusa scegliamo la superficie di un cilindro, le cui basi sono parallele al piano e l'asse del cilindro è perpendicolare al piano. Perché le generatrici del cilindro sono parallele alle linee di tensione (α=0, cos α=1 ), quindi il flusso del vettore tensione attraverso la superficie laterale è zero e il flusso totale attraverso una superficie cilindrica chiusa è uguale alla somma dei flussi attraverso la sua base. La carica contenuta all'interno di una superficie chiusa è pari a σ S di base , Poi:

F E =2 ES principale o Ô E = = , quindi E = =

Risposta: E =, non dipende dalla lunghezza del cilindro ed è uguale in valore assoluto a qualsiasi distanza dal piano. Il campo di un piano uniformemente carico è uniforme.

Esempio 3. Calcolare il campo di due piani infinitamente carichi, con densità superficiali rispettivamente +σ e –σ.

E = E = 0 ; mi = mi + + mi - = .

Risposta: L'intensità del campo risultante nell'area tra i piani è uguale a E =, e all'esterno del volume limitato dai piani è uguale a zero.

Esempio 4. Calcolare l'intensità del campo di una superficie sferica di raggio caricata uniformemente con densità di carica superficiale +σ R.

Quello, e,

se r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Risposta:.

Esempio 5. Calcolare l'intensità della carica volumetrica con la densità del volume ρ , raggi della palla R.

Prendiamo una sfera come superficie chiusa.

Se R ≥R, allora = 4πr 2 E; E=

se r< R , то сфера радиусом R, copre una carica q" uguale a q"= (poiché le cariche sono correlate come volumi e i volumi come cubi di raggio)

Quindi secondo il punto di Gauss

Risposta:; all'interno di una palla carica uniformemente la tensione aumenta linearmente con la distanza R dal suo centro e all'esterno - diminuisce in proporzione inversa R 2 .

Esempio n.6. Calcolare l'intensità del campo di un cilindro circolare infinito caricato con densità di carica lineare λ , raggio R.

Il flusso del vettore tensione attraverso le estremità del cilindro è 0 e attraverso la superficie laterale:

Perché , O ,

Poi (se r > R)

se λ > 0, E > 0, il vettore Ē è diretto lontano dal cilindro,

se λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

Se r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

Risposta:(r > R); E = 0 (R>r). All'interno di un cilindro rotondo infinito, caricato uniformemente sulla superficie, non esiste alcun campo.

Esempio 7. Il campo elettrico è creato da due piani paralleli infinitamente lunghi con piani di carica superficiale di 2 nC/m 2 e 4 nC/m 2 . Determinare l'intensità del campo nelle regioni I, II, III. Costruisci un grafico delle dipendenze Ē (R) .

Gli aerei dividono lo spazio in 3 aree

La direzione Ē del campo risultante è verso uno più grande.

In proiezione su R:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

Programma Ē (R)

Selezione della scala: E 2 =2 E 1

E1 = 1; E2=2

Risposta:E I = –345 V/m; EÆ I = –172 V/m; E I II = 345 V/m.

Esempio n.8. Sfera in ebano massiccio con raggio R= 5 cm trasporta una carica uniformemente distribuita con densità di volume ρ =10 nC/m3. Determinare l'intensità del campo elettrico nei punti: 1) a distanza R 1 = 3 cm dal centro della sfera; 2) sulla superficie della sfera; 3) a distanza R 2 = 10 cm dal centro della sfera.

Un piano infinito carico con una densità di carica superficiale: per calcolare l'intensità del campo elettrico creato da un piano infinito, selezioniamo un cilindro nello spazio, il cui asse è perpendicolare al piano carico, e le basi sono parallele ad esso, e uno delle basi passa attraverso il punto di campo che ci interessa. Secondo il teorema di Gauss, il flusso del vettore intensità del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è pari a:

Ф=, d'altra parte è anche: Ф=E

Uguagliamo i lati destri delle equazioni:

Esprimiamo = - attraverso la densità di carica superficiale e troviamo l'intensità del campo elettrico:

Troviamo l'intensità del campo elettrico tra piastre di carica opposta con la stessa densità superficiale:

(3)

Troviamo il campo esterno alle piastre:

; ; (4)

Intensità del campo di una sfera carica

(1)

Ф= (2) Punto gaussiano

per r< R

; , Perché (non ci sono cariche all'interno della sfera)

Per r = R

( ; ; )

Per r > R

Intensità del campo creata da una palla caricata uniformemente in tutto il suo volume

Densità di carica in volume,

distribuito sulla palla:

Per r< R

( ; Ô= )

Per r = R

Per r > R

LAVORO DEL CAMPO ELETTROSTATICO PER SPOSTARE UNA CARICA

Campo elettrostatico- e-mail campo di una carica stazionaria.
Fel, agendo sulla carica, la muove, eseguendo il lavoro.
In un campo elettrico uniforme Fel = qE è un valore costante

Campo di lavoro (forza elettrica) non dipende sulla forma della traiettoria e su una traiettoria chiusa = zero.

Se nel campo elettrostatico di una carica puntiforme Q un'altra carica puntiforme Q 0 si muove dal punto 1 al punto 2 lungo qualsiasi traiettoria (Fig. 1), allora la forza applicata alla carica fa del lavoro. Il lavoro compiuto dalla forza F su uno spostamento elementare dl è pari a Poiché d l/cosα=dr, allora Il lavoro quando si sposta una carica Q 0 dal punto 1 al punto 2 (1) non dipende dalla traiettoria del movimento, ma è determinato solo dalle posizioni del 1° punto iniziale e dei 2 punti finali. Ciò significa che il campo elettrostatico di una carica puntiforme è potenziale e le forze elettrostatiche sono conservative. Dalla formula (1) è chiaro che il lavoro compiuto quando una carica elettrica si muove in un campo elettrostatico esterno lungo un percorso chiuso arbitrario L. è uguale a zero, cioè (2) Se consideriamo una carica positiva puntiforme come una carica che si muove in un campo elettrostatico, allora il lavoro elementare delle forze di campo lungo il percorso dl è uguale a Edl = E l D l, dove E l= Ecosα - proiezione del vettore E sulla direzione dello spostamento elementare. Quindi la formula (2) può essere rappresentata come (3) Integrale è detta circolazione del vettore tensione. Ciò significa che la circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico lungo qualsiasi contorno chiuso è zero. Un campo di forza che ha la proprietà (3) è chiamato potenziale. Dal fatto che la circolazione del vettore E è uguale a zero, ne consegue che le linee di intensità del campo elettrostatico non possono essere chiuse necessariamente iniziano e finiscono su cariche (positive o negative) o vanno all'infinito; La formula (3) è valida solo per il campo elettrostatico. Successivamente si dimostrerà che nel caso di un campo di cariche in movimento la condizione (3) non è vera (per esso la circolazione del vettore intensità è diversa da zero).

Teorema della circolazione per il campo elettrostatico.

Poiché il campo elettrostatico è centrale, le forze che agiscono sulla carica in tale campo sono conservative. Poiché rappresenta il lavoro elementare che le forze di campo producono su una carica unitaria, il lavoro delle forze conservative su un circuito chiuso è pari a

Potenziale

Il sistema "carica - campo elettrostatico" o "carica - carica" ​​ha energia potenziale, così come il sistema "campo gravitazionale - corpo" ha energia potenziale.

Viene detta una grandezza fisica scalare che caratterizza lo stato energetico del campo potenziale un dato punto del campo. Una carica q è posta in un campo, ha energia potenziale W. Il potenziale è una caratteristica di un campo elettrostatico.

Ricordiamo l'energia potenziale in meccanica. L'energia potenziale è zero quando il corpo è a terra. E quando un corpo viene sollevato ad una certa altezza, si dice che il corpo abbia energia potenziale.

Per quanto riguarda l'energia potenziale nell'elettricità, non esiste un livello zero di energia potenziale. Viene scelto in modo casuale. Pertanto, il potenziale è una quantità fisica relativa.

L'energia potenziale del campo è il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica quando si sposta una carica da un dato punto del campo a un punto con potenziale zero.

Consideriamo un caso speciale in cui un campo elettrostatico viene creato da una carica elettrica Q. Per studiare il potenziale di un tale campo, non è necessario introdurre una carica q in esso. Puoi calcolare il potenziale di qualsiasi punto in tale campo situato a una distanza r dalla carica Q.

La costante dielettrica del mezzo ha un valore noto (tabellare) e caratterizza il mezzo in cui esiste il campo. Per l'aria è uguale all'unità.

Differenza di potenziale

Il lavoro compiuto da un campo per spostare una carica da un punto a un altro si chiama differenza di potenziale

Questa formula può essere presentata in un'altra forma

Principio di sovrapposizione

Il potenziale di un campo creato da più cariche è uguale alla somma algebrica (tenendo conto del segno del potenziale) dei potenziali dei campi di ciascun campo separatamente

Questa è l'energia di un sistema di cariche puntiformi stazionarie, l'energia di un conduttore carico solitario e l'energia di un condensatore carico.

Se esiste un sistema di due conduttori carichi (condensatore), l'energia totale del sistema è uguale alla somma delle energie potenziali dei conduttori e dell'energia della loro interazione:

Energia del campo elettrostatico sistema di tariffe puntuali è pari a:

Piano uniformemente carico.
L'intensità del campo elettrico creato da un piano infinito carico con una densità di carica superficiale può essere calcolata utilizzando il teorema di Gauss.

Dalle condizioni di simmetria segue che il vettore E ovunque perpendicolare al piano. Inoltre, nei punti simmetrici rispetto al piano, il vettore E saranno uguali in dimensioni e opposti in direzione.
Come superficie chiusa, scegliamo un cilindro il cui asse è perpendicolare al piano e le cui basi si trovano simmetricamente rispetto al piano, come mostrato in figura.
Poiché le linee di tensione sono parallele alle generatrici della superficie laterale del cilindro, il flusso attraverso la superficie laterale è nullo. Pertanto il flusso vettoriale E attraverso la superficie del cilindro

,

dove è l'area della base del cilindro. Il cilindro stacca una carica dall'aereo. Se l'aereo si trova in un mezzo isotropo omogeneo con costante dielettrica relativa, allora

Quando l'intensità del campo non dipende dalla distanza tra i piani, tale campo è detto uniforme. Grafico delle dipendenze E (X) per un aereo.

Differenza di potenziale tra due punti lontani R 1 e R 2 dal piano carico è uguale a

Esempio 2. Due aerei caricati uniformemente.
Calcoliamo l'intensità del campo elettrico creato da due piani infiniti. La carica elettrica è distribuita uniformemente con densità superficiali e . Troviamo l'intensità del campo come sovrapposizione delle intensità del campo di ciascuno dei piani. Il campo elettrico è diverso da zero solo nello spazio tra i piani ed è uguale a .

Differenza potenziale tra piani , Dove D- distanza tra i piani.
I risultati ottenuti possono essere utilizzati per un calcolo approssimativo dei campi creati da lastre piane di dimensioni finite se le distanze tra loro sono molto inferiori alle loro dimensioni lineari. Errori notevoli in tali calcoli compaiono quando si considerano i campi vicino ai bordi delle piastre. Grafico delle dipendenze E (X) per due aerei.

Esempio 3. Barra sottile carica.
Per calcolare l'intensità del campo elettrico creato da un'asta molto lunga caricata con una densità di carica lineare, utilizziamo il teorema di Gauss.
A distanze sufficientemente grandi dalle estremità dell'asta, le linee di intensità del campo elettrico sono dirette radialmente dall'asse dell'asta e giacciono su piani perpendicolari a questo asse. In tutti i punti equidistanti dall'asse della barra, i valori numerici della tensione sono gli stessi se la barra si trova in un mezzo isotropo omogeneo con relativo dielettrico
permeabilità

Per calcolare l'intensità del campo in un punto arbitrario situato a distanza R dall'asse dell'asta, tracciare una superficie cilindrica attraverso questo punto
(Guarda l'immagine). Il raggio di questo cilindro è R e la sua altezza H.
I flussi del vettore tensione attraverso le basi superiore ed inferiore del cilindro saranno uguali a zero, poiché le linee di forza non hanno componenti normali alle superfici di queste basi. In tutti i punti della superficie laterale del cilindro
E= cost.
Pertanto, il flusso totale del vettore E attraverso la superficie del cilindro sarà uguale a

,

Secondo il teorema di Gauss, il flusso del vettore E pari alla somma algebrica delle cariche elettriche situate all'interno della superficie (in questo caso un cilindro) divisa per il prodotto della costante elettrica e della relativa costante dielettrica del mezzo

dov'è la carica della parte dell'asta che si trova all'interno del cilindro. Pertanto, l'intensità del campo elettrico

Differenza di potenziale del campo elettrico tra due punti lontani R 1 e R 2 dall'asse dell'asta, troviamo utilizzando la relazione tra l'intensità e il potenziale del campo elettrico. Poiché l'intensità del campo cambia solo nella direzione radiale, allora

Esempio 4. Superficie sferica carica.
Il campo elettrico creato da una superficie sferica su cui è distribuita uniformemente una carica elettrica con densità superficiale ha un carattere centralmente simmetrico.

Le linee di tensione sono dirette lungo i raggi dal centro della sfera e dalla grandezza del vettore E dipende solo dalla distanza R dal centro della sfera. Per calcolare il campo, selezioniamo una superficie sferica chiusa di raggio R.
Quando r o E = 0.
L'intensità del campo è zero poiché all'interno della sfera non vi è alcuna carica.
Per r > R (fuori dalla sfera), secondo il teorema di Gauss

,

dove è la costante dielettrica relativa del mezzo che circonda la sfera.

.

L'intensità diminuisce secondo la stessa legge dell'intensità del campo di una carica puntiforme, cioè secondo la legge.
Quando r o .
Per r > R (fuori dalla sfera) .
Grafico delle dipendenze E (R) per una sfera.

Esempio 5. Una palla dielettrica carica di volume.
Se la palla ha raggio R costituito da un dielettrico isotropo omogeneo con relativa permeabilità è uniformemente carico in tutto il volume con densità , quindi anche il campo elettrico che crea è centralmente simmetrico.
Come nel caso precedente, scegliamo una superficie chiusa per calcolare il flusso vettoriale E sotto forma di una sfera concentrica, il cui raggio R può variare da 0 a .
A R < R flusso vettoriale E attraverso questa superficie sarà determinata dalla carica

COSÌ

A R < R(dentro la palla) .
All'interno della palla, la tensione aumenta in modo direttamente proporzionale alla distanza dal centro della palla. Fuori palla (at R > R) in un mezzo con costante dielettrica, vettore di flusso E attraverso la superficie sarà determinata dalla carica.
Quando r o >R o (fuori dalla palla) .
Al confine “palla-ambiente”, l'intensità del campo elettrico cambia bruscamente, la cui entità dipende dal rapporto tra le costanti dielettriche della palla e dell'ambiente. Grafico delle dipendenze E (R) per palla ().

Fuori dalla palla ( R > R) il potenziale del campo elettrico cambia secondo la legge

.

All'interno della palla ( R < R) il potenziale è descritto dall'espressione

In conclusione, presentiamo le espressioni per il calcolo delle intensità di campo di corpi carichi di varie forme

Differenza di potenziale
Voltaggio- la differenza dei valori potenziali nei punti iniziale e finale della traiettoria. Voltaggioè numericamente uguale al lavoro del campo elettrostatico quando una carica positiva unitaria si muove lungo le linee di forza di questo campo. La differenza di potenziale (tensione) è indipendente dalla selezione sistemi di coordinate!
Unità di differenza potenziale La tensione è 1 V se, spostando una carica positiva di 1 C lungo le linee di forza, il campo compie 1 J di lavoro.

Conduttore- questo è un corpo solido in cui ci sono "elettroni liberi" che si muovono all'interno del corpo.

I conduttori metallici sono generalmente neutri: contengono quantità uguali di cariche negative e positive. Caricati positivamente sono gli ioni nei nodi del reticolo cristallino, negativi sono gli elettroni che si muovono liberamente lungo il conduttore. Quando a un conduttore viene fornita una quantità eccessiva di elettroni, si carica negativamente, ma se un certo numero di elettroni viene “preso” dal conduttore, si carica positivamente.

La carica in eccesso è distribuita solo sulla superficie esterna del conduttore.

1 . L'intensità del campo in qualsiasi punto all'interno del conduttore è zero.

2 . Il vettore sulla superficie del conduttore è diretto perpendicolarmente a ciascun punto sulla superficie del conduttore.

Dal fatto che la superficie del conduttore è equipotenziale ne consegue che direttamente su questa superficie il campo è diretto perpendicolarmente ad essa in ogni punto (condizione 2 ). Se così non fosse, sotto l'azione della componente tangenziale le cariche inizierebbero a muoversi lungo la superficie del conduttore. quelli. l’equilibrio delle cariche su un conduttore sarebbe impossibile.

Da 1 ne consegue che da allora

Non ci sono cariche in eccesso all'interno del conduttore.

Le cariche sono distribuite solo sulla superficie del conduttore con una certa densità S e si trovano in uno strato superficiale molto sottile (il suo spessore è di circa una o due distanze interatomiche).

Densità di carica- è la quantità di carica per unità di lunghezza, area o volume, determinando così le densità di carica lineare, superficiale e volumetrica, che si misurano nel sistema SI: in Coulomb per metro [C/m], in Coulomb per metro quadrato [ C/m² ] e in Coulomb per metro cubo [C/m³], rispettivamente. A differenza della densità della materia, la densità di carica può avere valori sia positivi che negativi, questo è dovuto al fatto che esistono cariche positive e negative.

Problema generale di elettrostatica

Vettore di tensione,

dal teorema di Gauss

- Equazione di Poisson.

Nel caso in cui non vi siano cariche tra i conduttori, otteniamo

- L'equazione di Laplace.

Siano note le condizioni al contorno sulle superfici dei conduttori: valori ; allora questo problema ha una soluzione unica secondo teorema di unicità.

Quando si risolve il problema, si determina il valore e quindi il campo tra i conduttori viene determinato dalla distribuzione delle cariche sui conduttori (secondo il vettore di tensione sulla superficie).

Diamo un'occhiata a un esempio. Troviamo la tensione nella cavità vuota del conduttore.

Il potenziale nella cavità soddisfa l'equazione di Laplace;

potenziale sulle pareti del conduttore.

La soluzione dell'equazione di Laplace in questo caso è banale e per il teorema di unicità non ci sono altre soluzioni

, cioè. non c'è campo nella cavità del conduttore.

Equazione di Poissonè un'equazione differenziale parziale ellittica che, tra le altre cose, descrive

campo elettrostatico

· campo di temperatura stazionario,

· campo di pressione,

· Campo potenziale di velocità in idrodinamica.

Prende il nome dal famoso fisico e matematico francese Simeon Denis Poisson.

Questa equazione assomiglia a:

dove è l'operatore di Laplace o Laplaciano, ed è una funzione reale o complessa su alcune varietà.

In un sistema di coordinate cartesiane tridimensionale, l'equazione assume la forma:

Nel sistema di coordinate cartesiane, l'operatore di Laplace è scritto nella forma e l'equazione di Poisson assume la forma:

Se F tende a zero, allora l'equazione di Poisson si trasforma nell'equazione di Laplace (l'equazione di Laplace è un caso speciale dell'equazione di Poisson):

L'equazione di Poisson può essere risolta utilizzando la funzione di Green; si veda, ad esempio, l'articolo Equazione di Poisson schermata. Esistono vari metodi per ottenere soluzioni numeriche. Ad esempio, viene utilizzato un algoritmo iterativo: il "metodo di rilassamento".

Considereremo un conduttore solitario, cioè un conduttore significativamente lontano da altri conduttori, corpi e cariche. Il suo potenziale, come è noto, è direttamente proporzionale alla carica del conduttore. È noto per esperienza che conduttori diversi, sebbene ugualmente carichi, hanno potenziali diversi. Pertanto, per un conduttore solitario possiamo scrivere La Quantità (1) è detta capacità elettrica (o semplicemente capacità) di un conduttore solitario. La capacità di un conduttore isolato è determinata dalla carica, la cui comunicazione al conduttore cambia il suo potenziale di uno. La capacità di un conduttore solitario dipende dalla sua dimensione e forma, ma non dipende dal materiale, dalla forma e dalla dimensione delle cavità all'interno del conduttore, nonché dal suo stato di aggregazione. La ragione di ciò è che le cariche in eccesso sono distribuite sulla superficie esterna del conduttore. Inoltre la capacità non dipende dalla carica del conduttore o dal suo potenziale. L'unità di capacità elettrica è il farad (F): 1 F è la capacità di un conduttore isolato il cui potenziale cambia di 1 V quando gli viene impartita una carica di 1 C. Secondo la formula del potenziale di una carica puntiforme, il potenziale di una sfera solitaria di raggio R, che si trova in un mezzo omogeneo con costante dielettrica ε, è uguale a Applicando la formula (1), otteniamo che la capacità della palla (2) Da ciò segue che una palla solitaria avrebbe una capacità di 1 F, situata nel vuoto e avente un raggio R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, che è circa 1400 volte maggiore della raggio della Terra (capacità elettrica della Terra C≈0,7 mF). Di conseguenza, un farad è un valore piuttosto grande, quindi in pratica vengono utilizzate unità sottomultiple: millifarad (mF), microfarad (μF), nanofarad (nF), picofarad (pF). Dalla formula (2) segue anche che l'unità della costante elettrica ε 0 è farad per metro (F/m) (vedi (78.3)).

Condensatore(dal lat. condensare- “compatto”, “addensato”) - una rete a due terminali con un certo valore di capacità e bassa conduttività ohmica; un dispositivo per accumulare carica ed energia di un campo elettrico. Un condensatore è un componente elettronico passivo. Tipicamente è costituito da due elettrodi a forma di piastra (chiamati rivestimenti), separati da un dielettrico il cui spessore è piccolo rispetto alla dimensione delle piastre.

Capacità

La caratteristica principale di un condensatore è la sua capacità, che caratterizza la capacità del condensatore di accumulare carica elettrica. La designazione di un condensatore indica il valore della capacità nominale, mentre la capacità effettiva può variare in modo significativo a seconda di molti fattori. La capacità effettiva di un condensatore determina le sue proprietà elettriche. Pertanto, secondo la definizione di capacità, la carica sulla piastra è proporzionale alla tensione tra le piastre ( q = CU). I valori tipici di capacità vanno da unità di picofarad a migliaia di microfarad. Tuttavia, esistono condensatori (ionistori) con una capacità fino a decine di farad.

La capacità di un condensatore a piastre parallele costituito da due piastre metalliche parallele con un'area S ciascuno situato a distanza D l'una dall'altra, nel sistema SI è espressa dalla formula: , dove è la costante dielettrica relativa del mezzo che riempie lo spazio tra le piastre (nel vuoto pari all'unità), è la costante elettrica, numericamente pari a 8,854187817·10 −12 F/m. Questa formula è valida solo quando D molto più piccole delle dimensioni lineari delle piastre.

Per ottenere grandi capacità i condensatori vengono collegati in parallelo. In questo caso la tensione tra le armature di tutti i condensatori è la stessa. Capacità totale della batteria parallelo di condensatori collegati è pari alla somma delle capacità di tutti i condensatori inclusi nella batteria.

Se tutti i condensatori collegati in parallelo hanno la stessa distanza tra le piastre e le stesse proprietà dielettriche, allora questi condensatori possono essere rappresentati come un grande condensatore, diviso in frammenti di un'area più piccola.

Quando i condensatori sono collegati in serie, le cariche di tutti i condensatori sono le stesse, poiché vengono fornite dalla fonte di alimentazione solo agli elettrodi esterni e sugli elettrodi interni si ottengono solo grazie alla separazione delle cariche che precedentemente si neutralizzavano a vicenda . Capacità totale della batteria in sequenza condensatori collegati è uguale a

O

Questa capacità è sempre inferiore alla capacità minima del condensatore incluso nella batteria. Tuttavia, con un collegamento in serie, la possibilità di guasto dei condensatori è ridotta, poiché ciascun condensatore rappresenta solo una parte della differenza di potenziale della sorgente di tensione.

Se l'area delle piastre di tutti i condensatori collegati in serie è la stessa, allora questi condensatori possono essere rappresentati come un grande condensatore, tra le cui piastre è presente una pila di piastre dielettriche di tutti i condensatori che lo compongono.

[modifica]Capacità specifica

I condensatori sono anche caratterizzati da una capacità specifica, il rapporto tra capacità e volume (o massa) del dielettrico. Il valore massimo della capacità specifica si ottiene con uno spessore minimo del dielettrico, ma allo stesso tempo diminuisce la sua tensione di rottura.

Vengono utilizzati vari tipi di circuiti elettrici metodi di collegamento dei condensatori. Collegamento dei condensatori può essere prodotto: in sequenza, parallelo E serie-parallelo(quest'ultimo è talvolta chiamato collegamento misto di condensatori). I tipi esistenti di collegamenti dei condensatori sono mostrati nella Figura 1.

Figura 1. Metodi per collegare i condensatori.

8. Un campo elettrostatico è creato da un piano infinito carico uniformemente. Mostrare che questo campo è omogeneo.

Sia s la densità di carica superficiale. È ovvio che il vettore E può essere solo perpendicolare al piano carico. Inoltre è ovvio che nei punti simmetrici rispetto a questo piano il vettore E è uguale in grandezza e opposto in direzione. Questa configurazione di campo suggerisce che come superficie chiusa dovrebbe essere scelto un cilindro rettilineo, dove si assume che s sia maggiore di zero. Il flusso attraverso la superficie laterale di questo cilindro è zero, quindi il flusso totale attraverso l'intera superficie del cilindro sarà uguale a 2*E*DS, dove DS è l'area di ciascuna estremità. Secondo il teorema di Gauss

dove s*DS è la carica contenuta all'interno del cilindro.

Più precisamente, questa espressione dovrebbe essere scritta come segue:

dove En è la proiezione del vettore E sulla normale n al piano carico, e il vettore n è diretto da questo piano.

Il fatto che E sia indipendente dalla distanza dal piano significa che il campo elettrico corrispondente è uniforme.

9. Un quarto di cerchio di raggio 56 cm è costituito da un filo di rame. Lungo il filo è distribuita uniformemente una carica con una densità lineare di 0,36 nC/m. Trova il potenziale al centro del cerchio.

Poiché la carica è distribuita linearmente lungo il filo, per trovare il potenziale al centro utilizziamo la formula:

Dove s è la densità di carica lineare, dL è l'elemento del filo.

10. In un campo elettrico creato da una carica puntiforme Q, una carica negativa -q si muove lungo una linea di forza da un punto situato a una distanza r 1 dalla carica Q a un punto situato a una distanza r 2 . Trova l'incremento dell'energia potenziale della carica -q su questo spostamento.

Per definizione, il potenziale è una quantità numericamente uguale all'energia potenziale di una carica positiva unitaria in un dato punto del campo. Pertanto l’energia potenziale della carica q 2:

11. Due elementi identici con emf. 1,2 V e una resistenza interna di 0,5 Ohm sono collegati in parallelo. La batteria risultante è chiusa a una resistenza esterna di 3,5 ohm. Trova la corrente nel circuito esterno.

Secondo la legge di Ohm per l'intero circuito, l'intensità della corrente nel circuito esterno è:

Dove E` è la fem della batteria di elementi,

r` è la resistenza interna della batteria, che è pari a:

La fem della batteria è uguale alla somma della fem di tre elementi collegati in serie:

Quindi:

12 Un circuito elettrico contiene fili di rame e di acciaio di uguale lunghezza e diametro posti in serie. Trova il rapporto tra le quantità di calore rilasciato in questi fili.

Consideriamo un filo di lunghezza L e diametro d, costituito da un materiale con resistività p. La resistenza del filo R può essere trovata utilizzando la formula

Dove s= è l'area della sezione trasversale del filo. All'intensità di corrente I, durante il tempo t, la quantità di calore Q viene rilasciata nel conduttore:

In questo caso la caduta di tensione sul filo è pari a:

Resistività del rame:

p1=0,017 μOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m

resistività dell'acciaio:

p2=10 -7Ohm*m

poiché i fili sono collegati in serie, le intensità di corrente al loro interno sono le stesse e durante il tempo t vengono rilasciate quantità di calore Q1 e Q2:

12. Esiste una bobina circolare con corrente in un campo magnetico uniforme. Il piano della bobina è perpendicolare alle linee del campo. Dimostrare che le forze risultanti che agiscono sul circuito dal campo magnetico sono zero.

Poiché la bobina circolare con corrente si trova in un campo magnetico uniforme, su di essa agisce la forza Ampere. Secondo la formula dF=I, la forza amperometrica risultante che agisce su una bobina trasportata da corrente è determinata da:

Dove l'integrazione viene eseguita lungo un dato circuito con corrente I. Poiché il campo magnetico è uniforme, il vettore B può essere estratto da sotto l'integrale e il compito si ridurrà al calcolo dell'integrale vettoriale. Questo integrale rappresenta una catena chiusa di vettori elementari dL, quindi è uguale a zero. Ciò significa F=0, cioè la forza Ampere risultante è zero in un campo magnetico uniforme.

13. Una bobina corta contenente 90 spire con un diametro di 3 cm trasporta una corrente. L'intensità del campo magnetico creato dalla corrente sull'asse della bobina a una distanza di 3 cm da essa è di 40 A/m. Determinare la corrente nella bobina.

Considerando che l'induzione magnetica nel punto A è una sovrapposizione di induzioni magnetiche create separatamente da ciascuna spira della bobina:

Per trovare la svolta B utilizziamo la legge di Biot-Savart-Laplace.

Dove dBturn è l'induzione magnetica del campo creato dall'elemento corrente IDL nel punto determinato dal raggio vettore r. Selezioniamo alla fine l'elemento dL e tracciamo il raggio vettore r da esso al punto A. Dirigeremo il vettore dBturn secondo la regola del succhiello.

Secondo il principio di sovrapposizione:

Dove l'integrazione viene effettuata su tutti gli elementi del dLturn. Scomponiamo dBturn in due componenti dBturn(II) - parallelo al piano dell'anello e dBturn(I) - perpendicolare al piano dell'anello. Poi

Notandolo per ragioni di simmetria e perché i vettori dBturn(I) sono codirezionali, sostituiamo l'integrazione vettoriale con una scalare:

Dove dBturn(I) =dBturn*cosb e

Poiché dl è perpendicolare a r

Riduciamo di 2p e sostituiamo cosb con R/r1

Esprimiamo I da qui, sapendo che R=D/2

secondo la formula che collega l'induzione magnetica e l'intensità del campo magnetico:

quindi secondo il teorema di Pitagora dal disegno:

14. Un elettrone vola in un campo magnetico uniforme in una direzione perpendicolare alle linee di forza con una velocità di 10010 6 m/s e si muove lungo un arco circolare con un raggio di 2,1 cm. Trova l'induzione del campo magnetico.

Un elettrone che si muove in un campo magnetico uniforme subirà una forza di Lorentz perpendicolare alla velocità dell'elettrone e quindi diretta verso il centro del cerchio:

Poiché l'angolo tra v e I è 90 0:

Poiché la forza Fl è diretta verso il centro del cerchio e l'elettrone si muove attorno al cerchio sotto l'influenza di questa forza, allora

Esprimiamo l'induzione magnetica:

15. Una cornice quadrata di lato di 12 cm, realizzata in filo di rame, è posta in un campo magnetico, la cui induzione magnetica varia secondo la legge B = B 0 · Sin (ωt), dove B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T e T=0,02 s. Il piano del telaio è perpendicolare alla direzione del campo magnetico. Trova il valore fem più grande. induzione che avviene nel fotogramma.

Area della cornice quadrata S=a 2. Variazione del flusso magnetico dj, quando il piano del telaio è perpendicolare dj=SdB

Viene determinata la fem indotta

E sarà massimo a cos(wt)=1