Quale insieme è un'unione di insiemi. “Teoria dei sistemi e analisi dei sistemi

Un'operazione sugli insiemi è una regola per effetto della quale da insiemi dati si ottiene univocamente un nuovo insieme.

Indichiamo un'operazione arbitraria con *. Insieme ottenuto da insiemi dati A e B, scritto nel modulo A*B. L'insieme risultante e l'operazione stessa vengono solitamente chiamati un termine.

Commento. Per le operazioni numeriche di base vengono utilizzati due termini: uno denota l'operazione stessa come azione, l'altro denota il numero ottenuto dopo aver eseguito l'azione. Ad esempio, l'operazione indicata con + è chiamata addizione e il numero risultante dall'addizione è chiamato somma di numeri. Allo stesso modo, il segno dell'operazione di moltiplicazione e il risultato un b- prodotto di numeri aeb. Tuttavia, meno spesso questa differenza non viene presa in considerazione e si dice "Considera la somma dei numeri", intendendo non un risultato specifico, ma l'operazione stessa.

Operazione di intersezione.L'intersezione degli insiemi A e B AglV, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali appartiene a entrambi gli insiemi UN E IN contemporaneamente.

In altre parole, AsV-è l'insieme di all.g tale che heA E heV:

Operazione di unione.Unione degli insiemi A e Bè chiamato insieme indicato con A" e B, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali appartiene ad almeno un insieme UN O IN.

L'operazione di unione è talvolta indicata con il segno + ed è chiamata addizione di insiemi.

Operazioni sulle differenze.La differenza tra gli insiemi A e Bè chiamato insieme indicato con AB, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali si trova in UN, ma non mente IN.

Espressione ApV Leggere "UN in intersezione con IN», AkjB- “E in associazione con B", AB-"A senza IN".

Esempio 7.1.1. Permettere UN = {1, 3,4, 5, 8,9}, IN = {2,4, 6, 8}.

Poi AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YAL = (2.6).”

Sulla base di queste operazioni si possono individuare altre due operazioni importanti.

Operazione di addizione. Permettere AqS. Poi la differenza SA chiamato addizione dell'insieme A a S ed è designato COME.

Sia ogni insieme in esame un sottoinsieme di un insieme U. Aggiunta a un insieme così fisso (nel contesto della risoluzione di un particolare problema). U semplicemente significare UN. Viene utilizzata anche la notazione SA, Con AA."

Esempio 7.1.2. Il complemento dell'insieme (1, 3,4, 5, 8, 9) all'insieme di tutte le cifre decimali è (0, 2, 6, 7).

Complementare l'insieme Q all'insieme R c'è un set di 1.

Il complemento di un insieme di quadrati a un insieme di rettangoli è l'insieme di tutti i rettangoli aventi lati adiacenti disuguali.

Vediamo che le operazioni di unione, intersezione e complemento di insiemi corrispondono alle operazioni logiche di disgiunzione, congiunzione e negazione.

Operazione di differenza simmetrica.La differenza simmetrica degli insiemi A e Bè chiamato insieme indicato con A®B, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali appartiene esattamente a uno degli insiemi A e B:

È facile vedere che la differenza simmetrica è l'unione di due insiemi AB E VA. Lo stesso set può essere ottenuto se prima combiniamo i set UN E IN, e poi rimuoverlo dal set elementi comuni.

Esempio 7.1.3. Diamo i numeri reali a Allora per i corrispondenti intervalli numerici abbiamo:

Si noti che dal segmento [UN; B] contiene un numero c> e l'intervallo (CD) punto Con non contiene il numero Con sta nella differenza [UN; B] senza [con; cfr. Ma la differenza, ad esempio, (2;5), non contiene il numero 3, poiché si trova nel segmento. Abbiamo (2;5)=(2;3).

Siano dati insiemi disgiunti UN E IN. Poiché n è il segno dell'operazione di intersezione, allora l'entrata A(bb errato. È anche errato dire che gli insiemi non hanno intersezione. C'è sempre un'intersezione; è definita per qualsiasi insieme. Il fatto che gli insiemi non si intersechino significa che la loro intersezione è vuota (ovvero, eseguendo l'operazione indicata, otteniamo un insieme vuoto). Se gli insiemi si intersecano, la loro intersezione non è vuota. Concludiamo:

Generalizziamo le operazioni di unione intersezione al caso in cui ci sono più di due insiemi.

Lasciamo che il sistema sia dato A imposta. L'intersezione degli insiemi di un dato sistema è l'insieme di tutti gli elementi, ciascuno dei quali si trova in tutti i loro insiemi A.

L'unione degli insiemi di un dato sistema è l'insieme di tutti gli elementi, ciascuno dei quali rientra in almeno un insieme di essi A.

Consideriamo gli insiemi del sistema A numerato da elementi di qualche famiglia di indici /. Quindi qualsiasi insieme di A può essere designato UN,-, Dove iel. Se l'insieme è finito, l'insieme dei primi viene utilizzato come / numeri naturali(1,2,...,e). In generale, / può essere infinito.

Quindi nel caso generale l'unione di insiemi UN per tutti iel denotare (J UN( , e l'intersezione - f]A i .

Lasciamo la totalità A finale, quindi K= In questo caso

scrivere AyjA 2 v...KjA„ E AG4 2 (^---G4p-

Esempio 7.1.4. Consideriamo gli intervalli della linea numerica А| = [-oo;2], L2 =H°; 3], L3 = ?

Soluzione.

Costruiamo immagini geometriche degli insiemi di numeri A e B:

I punti di confine degli insiemi dati dividono la linea numerica nei seguenti insiemi: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

È facile vedere che l'insieme numerico A può essere “assemblato” dagli insiemi appena scritti combinando (−2) , (1, 3) , (3) e (3, 5) . Per trovare l'intersezione degli insiemi A e B è sufficiente verificare se questi ultimi insiemi sono compresi nell'insieme B. Quelli inclusi in B costituiranno l'intersezione desiderata. Eseguiamo il controllo opportuno.

Ovviamente (−2) è compreso nell'insieme B (poiché il punto di coordinata −2 è un punto interno al segmento [−4, 3]). Anche l'intervallo (1, 3) è compreso in B (sopra c'è un tratteggio). Anche l'insieme (3) è compreso in B (il punto con coordinata 3 è un punto di confine e non perforato dell'insieme B). E l'intervallo (3, 5) non è compreso nell'insieme numerico B (non c'è alcuna ombreggiatura sopra di esso). Dopo aver segnato le conclusioni tratte sul disegno, assumerà questa forma

Pertanto, l'intersezione desiderata di due insiemi numerici originali A e B è l'unione dei seguenti insiemi (−2) , (1, 3) , (3) , che può essere scritta come (−2)∪(1, 3] .

Risposta:

{−2}∪(1, 3] .

Non resta che discutere su come trovare l'intersezione e l'unione di tre e Di più insiemi di numeri. Questo problema può essere ridotto a trovare in sequenza l'intersezione e l'unione di due insiemi: prima il primo con il secondo, poi il risultato ottenuto con il terzo, poi il risultato ottenuto con il quarto e così via. Oppure si può utilizzare un algoritmo simile a quello già annunciato. La sua unica differenza è che il controllo della presenza di intervalli e serie costituite da singoli numeri deve essere effettuato non da due, ma da tutte le serie iniziali. Consideriamo un esempio di ricerca dell'intersezione e dell'unione di tre insiemi.

Esempio.

Trova l'intersezione e l'unione di tre insiemi di numeri A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Soluzione.

Per prima cosa, come al solito, descriviamo insiemi di numeri sulle linee di coordinate, e alla loro sinistra posizioniamo una parentesi graffa che indica l'intersezione e una parentesi quadra per l'unione, e sotto rappresentiamo le linee di coordinate con i punti di confine degli insiemi numerici contrassegnati da tratti:

Quindi la linea delle coordinate risulta essere rappresentata da insiemi numerici (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40 ), (40), (40, ∞) .

Iniziamo la ricerca delle intersezioni; per fare ciò, guardiamo a turno se gli insiemi scritti sono compresi in ciascuno degli insiemi A, B e D. Tutti e tre gli insiemi numerici iniziali includono l'intervallo (−3, 12) e l'insieme (12). Costituiscono l'intersezione desiderata degli insiemi A, B e D. Abbiamo A∩B∩D=(−3, 12] .

A sua volta, l’unione desiderata sarà costituita dagli insiemi (−∞, −3) (compreso in A), (−3) (compreso in A), (−3, 12) (compreso in A), (12) ( compreso in A ), (12, 25) (compreso in B ), (25) (compreso in B ) e (40) (compreso in D ). Pertanto, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Risposta:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

In conclusione, si noti che l'intersezione degli insiemi di numeri è spesso l'insieme vuoto. Ciò corrisponde ai casi in cui gli insiemi originali non hanno elementi che appartengono contemporaneamente a tutti loro.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Nessuno degli insiemi scritti è incluso contemporaneamente nei quattro insiemi originali, il che significa che l'intersezione degli insiemi A, B, D ed E è l'insieme vuoto.

Risposta:

A∩B∩D∩E=∅.

Bibliografia.

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Mordkovich A.G. Algebra. 9° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13a edizione, cancellata. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

In matematica, il concetto di insieme è uno dei principali e fondamentali, ma non esiste un'unica definizione di insieme. Una delle definizioni più consolidate di insieme è la seguente: un insieme è qualsiasi insieme di oggetti definiti e distinti che possono essere pensati come un unico insieme. Il creatore della teoria degli insiemi, il matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918), disse questo: “Un insieme è l’insieme di molte cose che consideriamo come un tutto”.

Gli insiemi come tipo di dati si sono rivelati molto convenienti per programmare situazioni di vita complesse, poiché possono essere utilizzati per modellare accuratamente oggetti del mondo reale e visualizzare in modo compatto relazioni logiche complesse. I set vengono utilizzati nel linguaggio di programmazione Pascal e di seguito esamineremo un esempio di soluzione. Inoltre, sulla base della teoria degli insiemi, è stato creato il concetto di database relazionali e, sulla base delle operazioni sugli insiemi, Algebra relazionale e sue operazioni- utilizzato nei linguaggi di interrogazione dei database, in particolare SQL.

Esempio 0 (Pascal). C'è una selezione di prodotti venduti in diversi negozi della città. Determinare: quali prodotti sono disponibili in tutti i negozi della città; gamma completa di prodotti in città.

Soluzione. Definiamo un tipo di dati di base Food (prodotti), può assumere valori corrispondenti ai nomi dei prodotti (ad esempio hleb). Dichiariamo un tipo di insieme; esso definisce tutti i sottoinsiemi costituiti da combinazioni di valori del tipo base, ovvero Food. E formiamo sottoinsiemi: negozi “Solnyshko”, “Veterok”, “Ogonyok”, nonché sottoinsiemi derivati: MinFood (prodotti disponibili in tutti i negozi), MaxFood (una gamma completa di prodotti in città). Successivamente, prescriviamo le operazioni per ottenere sottoinsiemi derivati. Il sottoinsieme MinFood è ottenuto come risultato dell'intersezione dei sottoinsiemi Solnyshko, Veterok e Ogonyok e comprende quelli e solo quegli elementi di questi sottoinsiemi che sono inclusi in ciascuno di questi sottoinsiemi (in Pascal, l'operazione dell'intersezione degli insiemi è denotata con un asterisco: A * B * C, la designazione matematica dell'intersezione degli insiemi è riportata di seguito). Il sottoinsieme MaxFood si ottiene combinando gli stessi sottoinsiemi e include elementi inclusi in tutti i sottoinsiemi (in Pascal, l'operazione di combinazione degli insiemi è indicata dal segno più: A + B + C, la designazione matematica per la combinazione degli insiemi è fornita di seguito ).

Codice PASCAL

Negozi di programmi;

tipo Cibo=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sugar, maslo, ryba);

Negozio = insieme di Cibo;

var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Negozio;

Inizia Solnyshko:=;

Veterok:=;

Ok:=;

... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok;

MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; FINE. Un insieme che non è finito si dice infinito. Ad esempio, l’insieme di tutti i numeri naturali è un insieme infinito.

Se M- molto, e UN- il suo elemento, quindi scrivono: UN∈M, che significa " UN appartiene al set M".

Dal primo (zero) esempio in Pascal con prodotti disponibili in alcuni negozi:

hleb∈VETEROK ,

ciò significa: l'elemento "hleb" appartiene a molti prodotti disponibili nel negozio "VETEROK".

Esistono due modi principali per definire gli insiemi: enumerazione e descrizione.

Un insieme può essere definito elencando tutti i suoi elementi, ad esempio:

VETEROK = {hleb, signore, burro} ,

UN = {7 , 14 , 28 } .

Un'enumerazione può definire solo un insieme finito. Anche se puoi farlo con una descrizione. Ma gli insiemi infiniti possono essere definiti solo mediante descrizione.

Per descrivere gli insiemi viene utilizzato il metodo seguente. Permettere P(X) - qualche istruzione che descrive le proprietà di una variabile X, il cui intervallo è l'insieme M. Poi attraverso M = {X | P(X)} denota l'insieme costituito da tutti quelli e solo quegli elementi per i quali l'enunciato P(X) è vero. Questa espressione suona così: "Molti M, composto da tutto questo X, Che cosa P(X) ".

Ad esempio, registra

M = {X | X²-3 X + 2 = 0}

Esempio 6. Secondo un sondaggio condotto su 100 acquirenti di mercato che hanno acquistato agrumi, le arance sono state acquistate da 29 acquirenti, i limoni - 30 acquirenti, i mandarini - 9, solo i mandarini - 1, arance e limoni - 10, limoni e mandarini - 4, tutti e tre i tipi di frutta - 3 acquirenti. Quanti clienti non hanno acquistato nessuno degli agrumi qui elencati? Quanti clienti hanno acquistato solo limoni?

Operazione del prodotto cartesiano di insiemi

Per definire un'altra importante operazione sugli insiemi: Prodotto cartesiano di insiemi Introduciamo il concetto di insieme ordinato di lunghezze N.

La lunghezza del set è il numero N la sua componente. Si denota un insieme composto da elementi presi esattamente in questo ordine . In cui io Il componente i () impostato è .

Ora seguirà una definizione rigorosa, che potrebbe non essere immediatamente chiara, ma dopo questa definizione ci sarà un quadro da cui diventerà chiaro come ottenere il prodotto cartesiano degli insiemi.

Prodotto cartesiano (diretto) di insiemiè chiamato insieme indicato con e costituito da tutti quelli e solo da quegli insiemi di lunghezza N, io-esimo componente di cui fa parte .

Ad esempio, se , , ,

- (somma di insiemi) concetto di teoria degli insiemi; unione di insiemi è un insieme formato da tutti quegli elementi ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno degli insiemi dati. L'unione degli insiemi A e B si indica con AUB o A+B...

- (somma di insiemi), concetto di teoria degli insiemi; Unione di insiemi è un insieme formato da quegli elementi ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno degli insiemi dati. L'unione degli insiemi A e B si denota con A + B. * * * UNIONE D'INSIEME... ... Dizionario enciclopedico

- (somma di insiemi), concetto di teoria degli insiemi; O. m. un insieme costituito da quegli elementi, ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno degli insiemi dati. O. m. A e B stanno per A UB o A + B... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Unione di A e B L'unione di insiemi (anche somma o connessione) nella teoria degli insiemi è un insieme contenente tutti gli elementi degli insiemi originari. L'unione di due insiemi A e B viene solitamente indicata, ma a volte è possibile trovarla scritta nella forma... ... Wikipedia

Ramo della matematica in cui studiano proprietà generali insiemi, per lo più infiniti. il concetto di insieme è il concetto matematico più semplice, non viene definito, ma solo spiegato con l'aiuto di esempi: tanti libri su uno scaffale, tanti punti... Grande dizionario enciclopedico

Branca della matematica che studia le proprietà generali degli insiemi, soprattutto di quelli infiniti. Il concetto di insieme è il concetto matematico più semplice; non viene definito, ma solo spiegato con l'aiuto di esempi: tanti libri su uno scaffale, tanti... ... Dizionario enciclopedico

Una teoria matematica che studia il problema dell'infinito con mezzi precisi. Oggetto M. l. proprietà degli insiemi (collezioni, classi, insiemi), cap. arr. infinito. Un insieme A è qualsiasi raccolta di oggetti definiti e distinguibili... Dizionario dei termini logici

Associazione: Wikizionario ha un articolo "associazione" L'associazione è un tipo di organizzazione... Wikipedia

La teoria degli insiemi è una branca della matematica che studia le proprietà generali degli insiemi. La teoria degli insiemi è alla base della maggior parte delle discipline matematiche; ha avuto una profonda influenza sulla comprensione della materia stessa della matematica. Indice 1 Teoria ... ... Wikipedia

L'associazione è un termine polisemantico che fa parte di termini complessi. Wikizionario ha una voce per "associazione". Un'associazione nome comune grandi formazioni militari ... Wikipedia

Libri

Contare fino a 20. Quaderno di esercizi per bambini dai 6 ai 7 anni. Standard educativo statale federale dell'istruzione, Shevelev Konstantin Valerievich. Cartella di lavoro Progettato per funzionare con bambini di 6-7 anni. Contribuisce al raggiungimento degli obiettivi del Blocco cognitivo formando elementare rappresentazioni matematiche. Metodologico...

Obiettivi della lezione:

educativo: sviluppare la capacità di identificare insiemi e sottoinsiemi; sviluppare capacità nel trovare l'area di intersezione e unione di insiemi nelle immagini e nominare elementi da quest'area, risolvendo problemi;
sviluppo: sviluppo interesse cognitivo studenti; sviluppo della sfera intellettuale dell'individuo, sviluppo delle capacità di confrontare e generalizzare.
educativo: coltivare l'accuratezza e l'attenzione nel prendere decisioni.

Durante le lezioni.

1. Momento organizzativo.

2. L'insegnante annuncia l'argomento della lezione e, insieme agli studenti, formula scopi e obiettivi.

3. L'insegnante, insieme agli studenti, ricorda il materiale studiato sull'argomento “Insiemi” in 7a elementare, introduce nuovi concetti e definizioni, formule per risolvere i problemi.

“Molteplici sono molte cose che consideriamo come una” (fondatore della teoria degli insiemi - Georg Cantor). Georg CANTOR (1845-1918) - matematico, logico, teologo tedesco, creatore della teoria degli insiemi transfiniti (infiniti), che ha avuto un'influenza decisiva sullo sviluppo delle scienze matematiche a cavallo tra il XIX e il XX secolo.

L'insieme è uno dei concetti base della matematica moderna, utilizzato in quasi tutte le sue branche.

Sfortunatamente, non è possibile dare una definizione rigorosa al concetto base della teoria, il concetto di insieme. Certo, possiamo dire che un insieme è un “insieme”, “collezione”, “insieme”, “collezione”, “famiglia”, “sistema”, “classe”, ecc., ma tutto ciò non sarebbe un calcolo matematico definizione, ma piuttosto l’abuso della ricchezza lessicale della lingua russa.

Per definire qualsiasi concetto, è necessario, prima di tutto, indicare quale caso particolare è maggiore concetto generale, è vero, per il concetto di insieme questo è impossibile, perché in matematica non esiste concetto più generale di quello di insieme.

Spesso dobbiamo parlare di più cose accomunate da qualche caratteristica. Quindi possiamo parlare dell'insieme di tutte le sedie nella stanza, dell'insieme di tutte le celle corpo umano, sull'insieme di tutte le patate in un dato sacchetto, sull'insieme di tutti i pesci nell'oceano, sull'insieme di tutti i quadrati su un piano, sull'insieme di tutti i punti su un dato cerchio, ecc.

Gli oggetti che compongono un dato insieme sono detti suoi elementi.

Ad esempio, molti giorni della settimana sono costituiti dagli elementi: lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica.

Molti mesi - dagli elementi: gennaio, febbraio, marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre.

Un mucchio di operazioni aritmetiche- dagli elementi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.

Ad esempio, se A indica l'insieme di tutti i numeri naturali, allora 6 appartiene ad A, ma 3 non appartiene ad A.

Se A è l'insieme di tutti i mesi dell'anno, allora maggio appartiene ad A, ma mercoledì non appartiene ad A.

Se un insieme contiene un numero finito di elementi si dice finito, se ha infiniti elementi si dice infinito. Quindi l’insieme degli alberi in una foresta è finito, ma l’insieme dei punti su un cerchio è infinito.

Paradosso nella logica- questa è una contraddizione che ha lo status di conclusione logicamente corretta e, allo stesso tempo, rappresenta un ragionamento che porta a conclusioni reciprocamente esclusive.

Come già accennato, il concetto di insieme è al centro della matematica. Usando gli insiemi più semplici e varie costruzioni matematiche, puoi costruire quasi tutti gli oggetti matematici. L'idea di costruire tutta la matematica sulla base della teoria degli insiemi è stata attivamente promossa da G. Cantor. Tuttavia, nonostante tutta la sua semplicità, il concetto di insieme è irto del pericolo di contraddizioni o, come si dice, di paradossi. L'emergere dei paradossi è dovuto al fatto che non tutte le costruzioni e non tutti gli insiemi possono essere considerati.

Il più semplice dei paradossi è " paradosso del barbiere".

A un soldato fu ordinato di radersi solo quei soldati del suo plotone che non si radevano da soli. La mancata obbedienza agli ordini nell'esercito, come è noto, un crimine atroce. Tuttavia, è sorta la domanda se questo soldato dovesse radersi. Se si rade, dovrebbe essere classificato tra i tanti soldati che si radono da soli e non ha il diritto di radersi queste persone. Se non si rade, finirà tra tanti soldati che non si radono, e secondo l'ordine è obbligato a radersi tali soldati. Paradosso.

Sugli insiemi, come su molti altri oggetti matematici, è possibile eseguire varie operazioni, talvolta chiamate operazioni di teoria degli insiemi o operazioni sugli insiemi. Come risultato delle operazioni, si ottengono nuovi set dai set originali. Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole con lettere latine e i loro elementi sono minuscoli. Documentazione UN R significa che l'elemento UN appartiene al set R, questo è UN R. Altrimenti, quando UN non appartiene al set R, loro scrivono UN R .

Due set UN E IN sono chiamati pari (UN =IN), se sono costituiti dagli stessi elementi, cioè da ciascun elemento dell'insieme UNè un elemento dell'insieme IN e viceversa, ogni elemento dell'insieme INè un elemento dell'insieme UN .

Confronto di insiemi.

Un insieme A è contenuto in un insieme B (un insieme B include un insieme A) se ogni elemento di A è un elemento di B:

Dicono che ce ne siano molti UN contenuto in molti IN o molti UNÈ sottoinsieme imposta IN(in questo caso scrivono UN IN), se ogni elemento dell'insieme UNè allo stesso tempo un elemento dell'insieme IN. Questa dipendenza tra insiemi si chiama accendere . Per qualsiasi set UN si verificano inclusioni: Ø UN E UN UN

In questo caso UN chiamato sottoinsieme B, B - superinsieme R. Se, allora UN chiamato proprio sottoinsieme IN. notare che ,

A priori,

I due insiemi vengono chiamati pari, se sono sottoinsiemi l'uno dell'altro

Imposta operazioni

Intersezione.

Un'associazione.

Proprietà.

1. L'operazione di combinare insiemi è commutativa

2. L'operazione di combinare insiemi è transitiva

3. L'insieme vuoto X è un elemento neutro dell'operazione di unione degli insiemi

1. Sia A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Poi

2. A = (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Troviamo l'unione e l'intersezione di questi insiemi:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. L'insieme dei bambini è un sottoinsieme dell'intera popolazione

4. L'intersezione di un insieme di numeri interi con un insieme numeri positiviè l'insieme dei numeri naturali.

5. Combinando il set numeri razionali con l'insieme dei numeri irrazionali è l'insieme dei numeri positivi.

6. Zero è il complemento dell'insieme dei numeri naturali rispetto all'insieme degli interi non negativi.

Diagrammi di Venn(Diagrammi di Venn) - il nome generale di una serie di metodi di visualizzazione e di illustrazione grafica, ampiamente utilizzati in vari campi della scienza e della matematica: teoria degli insiemi, in realtà "Diagramma di Venn" mostra tutte le possibili relazioni tra set o eventi di una determinata famiglia; varietà diagramma di Venn servire: diagrammi di Eulero,

Diagramma di Venn di quattro insiemi.

In realtà "Diagramma di Venn" mostra tutte le possibili relazioni tra insiemi o eventi di una determinata famiglia. Un tipico diagramma di Venn ha tre insiemi. Lo stesso Venn ha cercato di trovare modo elegante con forme simmetriche, che rappresenta nel diagramma numero maggiore serie, ma è stato in grado di farlo solo per quattro serie (vedi figura a destra) utilizzando i puntini di sospensione.

Diagrammi di Eulero

I diagrammi di Eulero sono simili ai diagrammi di Venn. I diagrammi di Eulero possono essere utilizzati per valutare la plausibilità delle identità teoriche degli insiemi.

Compito 1. Ci sono 30 persone nella classe, ognuna delle quali canta o balla. È noto che 17 persone cantano e 19 persone sanno ballare. Quante persone cantano e ballano allo stesso tempo?

Soluzione: Innanzitutto notiamo che su 30 persone, 30 - 17 = 13 persone non sanno cantare.

Sanno tutti ballare, perché... A seconda delle condizioni, ogni studente della classe canta o balla. In totale possono ballare 19 persone, 13 di loro non sanno cantare, il che significa che 19-13 = 6 persone possono ballare e cantare contemporaneamente.

Problemi di intersezione e unione di insiemi.

Dati gli insiemi A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Trova i set AU B,
Componi almeno sette parole le cui lettere formano sottoinsiemi dell'insieme
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Sia A l'insieme dei numeri naturali divisibili per 2 e B l'insieme dei numeri naturali divisibili per 4. Quale conclusione si può trarre riguardo a questi insiemi?
L'azienda impiega 67 persone. Di questi, 47 lo sanno lingua inglese, 35 sono tedeschi e 23 sono entrambe le lingue. Quante persone in azienda non conoscono né l'inglese né Lingue tedesche?
Dei 40 studenti della nostra classe, a 32 piace il latte, a 21 la limonata e a 15 piace sia il latte che la limonata. A quanti bambini della nostra classe non piace il latte o la limonata?
A 12 dei miei compagni di classe piace leggere romanzi polizieschi, 18 amano la fantascienza, a tre piace leggerli entrambi e uno non legge proprio niente. Quanti studenti ci sono nella nostra classe?
Dei 18 miei compagni di classe a cui piace guardare i thriller, solo 12 non sono contrari a guardare i cartoni animati. Quanti dei miei compagni di classe guardano solo "cartoni animati", se nella nostra classe ci sono 25 studenti in totale, a ognuno dei quali piace guardare thriller, cartoni animati o entrambi?
Dei 29 ragazzi del nostro cortile, solo due non praticano sport, mentre gli altri frequentano le sezioni di calcio o tennis, o addirittura entrambe. 17 ragazzi giocano a calcio e 19 ragazzi giocano a tennis Quanti giocatori di calcio giocano a tennis? Quanti tennisti giocano a calcio?
Il 65% dei conigli della nonna ama le carote, il 10% ama sia le carote che i cavoli. Quale percentuale di conigli vorrebbe mangiare cavoli?
Ci sono 25 studenti in una classe. Di questi, 7 amano le pere, 11 amano le ciliegie. Due amano le pere e le ciliegie; 6 - pere e mele; 5 - mele e ciliegie. Ma ci sono due studenti nella classe che amano tutto e quattro a cui non piace affatto la frutta. A quanti studenti di questa classe piacciono le mele?
Al concorso di bellezza hanno preso parte 22 ragazze. Di questi, 10 erano belli, 12 intelligenti e 9 gentili. Solo 2 ragazze erano belle e intelligenti; Le 6 ragazze erano intelligenti e gentili allo stesso tempo. Determina quante ragazze belle e allo stesso tempo gentili c'erano se ti dico che tra i partecipanti non ce n'era una sola intelligente, gentile e allo stesso tempo bella ragazza?
Nella nostra classe ci sono 35 studenti. Durante il primo trimestre, 14 studenti hanno ottenuto il massimo dei voti in russo; in matematica - 12; nella storia - 23. In russo e matematica - 4; in matematica e storia - 9; in lingua e storia russa - 5. Quanti studenti hanno A in tutte e tre le materie se non c'è uno studente nella classe che non ha A in almeno una di queste materie?
Su 100 persone, 85 conoscono l'inglese, 80 lo spagnolo, 75 il tedesco. Tutti parlano almeno una lingua straniera. Tra loro non c'è chi conosce due lingue straniere, ma c'è chi parla tre lingue. Quante di queste 100 persone parlano tre lingue?
Dei dipendenti dell'azienda, 16 hanno visitato la Francia, 10 l'Italia, 6 l'Inghilterra; in Inghilterra e Italia - 5; in Inghilterra e Francia - 6; in tutti e tre i paesi: 5 dipendenti. Quante persone hanno visitato sia l'Italia che la Francia, se in azienda lavorano complessivamente 19 persone e ognuna di loro ha visitato almeno uno dei paesi citati?