Metode til at studere numeriske udtryk. Metoder til at studere algebraisk materiale i det indledende forløb af matematik

RF'S UDDANNELSES- OG VIDENSKABSMINISTERIET

FORBUNDSORGAN FOR UDDANNELSE

ELETS STATE UNIVERSITY OPKALDT EFTER I.A.BUNINA

METODOLOGI TIL UNDERSØGELSE AF ALGEBRAISK, GEOMETRISK MATERIALE, MÆNGDER OG FRAKTIONER

I PRIMÆRKLASSER

Yelets – 2006

BBK 65

Udarbejdet af Faustova N.P., Dolgosheeva E.V. Metoder til at studere algebraisk, geometrisk materiale, mængder og brøker i folkeskole. - Yelets, 2006. - 46 s.

I denne manual afslører metoden til at studere algebraisk, geometrisk materiale, mængder og brøker i primære karakterer.

Manualen henvender sig til studerende på Det Pædagogiske og Metodiske Fakultet Grundskole dagtimerne og korrespondanceformular uddannelse, kan bruges af lærere primære klasser, lærere fra fakultetet ved PIMNE universiteter og pædagogiske gymnasier.

Manualen er udarbejdet i overensstemmelse med statens standarder og arbejdsprogram med denne hastighed.

Anmeldere:

Kandidat pædagogiske videnskaber, lektor ved Institut for Matematisk Analyse og Elementær Matematik T.A. Poznyak

Førende specialist i afdelingen for offentlig uddannelse i administrationen af Yeletsk-distriktet i Lipetsk-regionen Avdeeva M.V.

METODOLOGI TIL STUDIE AF ALGEBRAISK MATERIALE I FOLMSKOLEKLASSER

1.1. Generelle spørgsmål studiemetoder algebraisk materiale.

1.2. Studiemetodik numeriske udtryk.

1.3. Lære bogstavudtryk.

1.4. Undersøgelse af numeriske ligheder og uligheder.

1.5. Metoder til at studere ligninger.

1.6. Løsning af simple regneopgaver ved at skrive ligninger.

1.1. Generelle problemstillinger om metodologi til at studere algebraisk materiale

Introduktion af algebraisk materiale i indledende kursus Matematik hjælper med at forberede eleverne til at studere de grundlæggende begreber i moderne matematik (variabler, ligninger, lighed, ulighed osv.), bidrager til generaliseringen af aritmetisk viden og dannelsen af funktionel tænkning hos børn.

Folkeskoleelever skal modtage indledende information om matematiske udtryk, numeriske ligheder og uligheder, lære at løse ligninger. læseplan og simple regneopgaver ved at sammensætte en ligning ( teoretisk grundlag at vælge en regneoperation, hvor forbindelsen mellem komponenterne og resultatet af den tilsvarende regneoperation0.

Studiet af algebraisk materiale udføres i tæt forbindelse med aritmetisk materiale.

Metode til at studere numeriske udtryk

I matematik forstås et udtryk konstrueret vha visse regler en sekvens af matematiske symboler, der repræsenterer tal og operationer på dem.

Udtryk som: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - numeriske udtryk; type: 8-a; 30:c; 5+(3+s) - bogstavelige udtryk(udtryk med en variabel).

Mål med at studere emnet

2) Gøre eleverne bekendt med reglerne for fuldbyrdelsesordre aritmetiske operationer.

3) Lær at finde tal udtryks betydninger.

4) Indfør identiske transformationer af udtryk baseret på egenskaberne ved aritmetiske operationer.

Løsningen af de pålagte opgaver udføres gennem alle år af grundskoleundervisningen fra de første dage af barnets skoleophold.

Metoden til at arbejde med numeriske udtryk involverer tre stadier: på det første trin - dannelsen af begreber om de simpleste udtryk (sum, forskel, produkt, kvotient af to tal); på andet trin - om udtryk, der indeholder to eller flere aritmetiske operationer på et niveau; på tredje trin - om udtryk, der indeholder to eller flere aritmetiske operationer på forskellige niveauer.

Eleverne introduceres til de simpleste udtryk - sum og forskel - i 1. klasse (ifølge program 1-4) med produkt og kvotient - i 2. klasse (med begrebet "produkt" - i 2. klasse, med begrebet " kvotient” - i tredje klasse).

Lad os overveje metoden til at studere numeriske udtryk.

Når de udfører operationer på sæt, lærer børn først og fremmest den specifikke betydning af addition og subtraktion, derfor, i registreringer af formen 3 + 2, 7-1, genkendes tegnene på handlinger af dem som en kort betegnelse for ordene "tilføj", "træk fra" (tilføj 2 til 3). I fremtiden bliver handlingsbegreberne dybere: eleverne lærer, at ved at lægge (fratrække) flere enheder, øger (mindsker) vi antallet med det samme antal enheder (læser: 3 øges med 2), hvorefter børn lærer navnet på handlingstegn "plus" (læses: 3 plus 2), "minus".

I emnet "Addition og subtraktion inden for 20" introduceres børn til begreberne "sum" og "forskel" som navnene på matematiske udtryk og som navnet på resultatet af de aritmetiske operationer med addition og subtraktion.

Lad os se på et fragment af lektionen (2. klasse).

Sæt 4 røde og 3 gule cirkler på brættet med vand:

Hvor mange røde cirkler? (Skriv tallet 4 ned.)

Hvor mange gule cirkler? (Skriv tallet 3 ned.)

Hvilken handling skal udføres på de skrevne tal 3 og 4 for at finde ud af, hvor mange røde og hvor mange gule cirkler der er sammen? (posten vises: 4+3).

Fortæl mig, uden at tælle, hvor mange cirkler er der?

Et sådant udtryk i matematik, når der er et "+"-tegn mellem tallene, kaldes en sum (Lad os sammen sige: sum) og læses således: summen af fire og tre.

Lad os nu finde ud af, hvad summen af tallene 4 og 3 er lig med (vi giver det fulde svar).

Ligeledes om forskellen.

Når man lærer addition og subtraktion inden for 10, er udtryk bestående af 3 eller flere tal forbundet med samme og forskellige tegn aritmetiske operationer: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 osv. Ved at afsløre betydningen af sådanne udtryk viser læreren, hvordan man læser dem. Ved at beregne værdierne af disse udtryk mestrer børn praktisk talt reglen om rækkefølgen af aritmetiske operationer i udtryk uden parentes, selvom de ikke formulerer det: 10-3+2=7+2=9. Sådanne indtastninger er det første skridt i at udføre identitetstransformationer.

Metoden til at gøre dig bekendt med udtryk med parentes kan være forskellig (Beskriv et fragment af lektionen i din notesbog, forbered dig til praktiske lektioner).

Evnen til at komponere og finde betydningen af et udtryk bruges af børn, når de løser regneopgaver samtidig med, at der her opstår yderligere beherskelse af begrebet "udtryk", og den specifikke betydning af udtryk i optagelser af opgaveløsning tilegnes; .

Af interesse er den type arbejde, som den lettiske metodolog J.Ya har foreslået. Mencis.

Der gives for eksempel en tekst som denne: "Drengen havde 24 rubler, kagen koster 6 rubler, slik koster 2 rubler," foreslås det:

a) komponer alle typer udtryk baseret på denne tekst og forklar, hvad de viser;

b) forklar hvad udtrykkene viser:

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

I 3. klasse omfatter de sammen med de tidligere omtalte udtryk udtryk, der består af to simple udtryk (37+6)-(42+1), såvel som dem, der består af et tal og produktet eller kvotienten af to tal. For eksempel: 75-50:25+2. Hvor rækkefølgen, som handlingerne udføres i, ikke er sammenfaldende med den rækkefølge, de er skrevet i, anvendes parentes: 16-6:(8-5). Børn skal lære at læse og skrive disse udtryk korrekt og finde deres betydninger.

Begreberne "udtryk" og "udtryksværdi" introduceres uden definitioner. For at gøre det nemmere for børn at læse og finde betydningen af komplekse udtryk anbefaler metodologer at bruge et diagram, der er samlet og bruges ved læsning af udtryk:

1) Jeg bestemmer hvilken handling der udføres sidst.

2) Jeg vil tænke på, hvad tallene hedder, når jeg udfører denne handling.

3) Jeg vil læse, hvordan disse tal kommer til udtryk.

Reglerne for rækkefølgen af handlinger i komplekse udtryk studeres i 3. klasse, men børn bruger praktisk talt nogle af dem i første og anden klasse.

Den første at overveje er reglen om rækkefølgen af operationer i udtryk uden parentes, når tal enten kun er addition og subtraktion, eller multiplikation og division (3. klasse). Målet med arbejdet på dette stadie er baseret på praktiske færdigheder studerende erhvervet tidligere, være opmærksomme på rækkefølgen af udførelsen af handlinger i sådanne udtryk og formulere en regel.

At lede børn til formuleringen af reglen og deres bevidsthed om den kan være anderledes. Den primære afhængighed er på eksisterende erfaring, størst mulig uafhængighed, skabelse af en situation med søgning og opdagelse, beviser.

Kan bruges metodisk teknik Sh.A. Amonashvili "lærerens fejl."

For eksempel. Læreren rapporterer, at da han fandt betydningen af følgende udtryk, fik han svar, som han er sikker på er korrekte (svarene er lukket).

36:2 6=6 osv.

Opfordrer børn til selv at finde betydningen af udtryk og derefter sammenligne svarene med de svar, læreren har modtaget (på dette tidspunkt afsløres resultaterne af aritmetiske operationer). Børn beviser, at læreren lavede fejl, og ud fra at studere bestemte fakta formulerer de en regel (se lærebog i matematik, 3. klasse).

På samme måde kan du introducere de resterende regler for rækkefølgen af handlinger: når udtryk uden parentes indeholder handlinger af 1. og 2. trin, i udtryk med parentes. Det er vigtigt, at børn indser, at ændring af rækkefølgen for at udføre aritmetiske operationer fører til en ændring i resultatet, og derfor besluttede matematikere at blive enige og formulerede regler, der skal følges nøje.

At transformere et udtryk er at erstatte et givet udtryk med et andet med samme numeriske værdi. Eleverne udfører sådanne transformationer af udtryk, idet de stoler på egenskaberne ved aritmetiske operationer og konsekvenserne af dem (s. 249-250).

Når man studerer hver egenskab, bliver eleverne overbevist om, at i udtryk af en bestemt type kan handlinger udføres på forskellige måder, men betydningen af udtrykket ændres ikke. Eleverne bruger i fremtiden viden om handlingers egenskaber til at transformere givne udtryk til identiske udtryk. For eksempel tilbydes opgaver som denne: Fortsæt optagelsen, så tegnet "=" bevares:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Når de udfører den første opgave, ræsonnerer eleverne således: til venstre fra 76 trækkes summen af tallene 20 og 4 fra , til højre trækkes 20 fra 76; for at få samme mængde til højre som til venstre, skal du også trække 4 fra højre. Andre udtryk transformeres på samme måde, dvs. efter at have læst udtrykket, husker eleven den tilsvarende regel. Og ved at udføre handlinger i henhold til reglen modtager den et transformeret udtryk. For at sikre, at transformationen er korrekt, beregner børn værdierne af de givne og transformerede udtryk og sammenligner dem.

Ved at bruge viden om egenskaberne af handlinger til at retfærdiggøre beregningsmetoder udfører elever i klasse I-IV transformationer af udtryk af formen:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18·30= 18·(3·10) = (18·3) 10=540

Her er det også nødvendigt, at eleverne ikke blot forklarer, på hvilket grundlag de udleder hvert efterfølgende udtryk, men også forstår, at alle disse udtryk er forbundet med tegnet "=", fordi de har samme betydning. For at gøre dette bør børn lejlighedsvis blive bedt om at beregne betydningen af udtryk og sammenligne dem. Dette forhindrer fejl af formen: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Elever i klasse II-IV transformerer udtryk ikke kun på grundlag af handlingens egenskaber, men også på grundlag af deres specifikke betydning. For eksempel erstattes summen af identiske udtryk med produktet: (6 + 6 + 6 = 6 3, og omvendt: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Også baseret på betydningen af multiplikationshandlingen transformeres mere komplekse udtryk: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

På baggrund af beregninger og analyse af særligt udvalgte udtryk føres elever i fjerde klasse til den konklusion, at hvis parenteserne i udtryk med parentes ikke påvirker rækkefølgen af handlinger, så kan de undlades. Efterfølgende øver eleverne sig ved hjælp af de indlærte egenskaber ved handlinger og regler for handlingsrækkefølgen i at transformere udtryk med parentes til identiske udtryk uden parentes. For eksempel foreslås det at skrive disse udtryk uden parentes, så deres værdier ikke ændres:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Børn erstatter således det første af de givne udtryk med udtrykkene: 65 + 30-20, 65-20 + 30, hvilket forklarer rækkefølgen for at udføre handlinger i dem. På denne måde er eleverne overbevist om, at betydningen af et udtryk ikke ændres, når man ændrer rækkefølgen af handlinger, kun hvis egenskaberne af handlingerne anvendes.

2. Matematisk udtryk og dets betydning.

3. Løsning af opgaver ud fra opstilling af en ligning.

Algebra erstatter numeriske værdier af kvantitative karakteristika for sæt eller mængder med bogstavsymboler. Generelt erstatter algebra også tegnene for specifikke operationer (addition, multiplikation osv.) med generaliserede symboler for algebraiske operationer og tager ikke hensyn til de specifikke resultater af disse operationer (svar), men deres egenskaber.

Metodisk antages det, at algebraelementernes hovedrolle i et matematikkursus i grundskolen er at bidrage til dannelsen af børns generaliserede ideer om begrebet "kvantitet" og betydningen af aritmetiske operationer.

I dag er der to radikalt modsatrettede tendenser i at bestemme mængden af indhold af algebraisk materiale i et matematikkursus folkeskole. En tendens er forbundet med den tidlige algebraisering af folkeskolens matematikforløb, med dens mætning med algebraisk materiale allerede fra første klasse; En anden tendens er forbundet med introduktionen af algebraisk materiale i matematikforløbet for folkeskolen på det afsluttende trin, i slutningen af 4. klasse. Repræsentanter for den første trend kan betragtes som forfattere af alternative lærebøger i L.V. Zankova (I.I. Arginskaya), systemer V.V. Davydov (E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina, etc.), "School 2100"-systemet (L.G. Peterson), "School of the 21st Century"-systemet (V.N. Rudnitskaya). Forfatteren til den alternative lærebog i "Harmony"-systemet, N.B., kan betragtes som en repræsentant for den anden tendens. Istomin.

Lærebogen fra den traditionelle skole kan betragtes som en repræsentant for "midterste" synspunkter - den indeholder ret meget algebraisk materiale, da den er fokuseret på brugen af matematiklærebogen af N.Ya. Vilenkina i klasse 5-6 i gymnasiet, men introducerer børn til algebraiske begreber fra 2. klasse, fordeler materialet over tre år, og har i løbet af de sidste 20 år praktisk talt ikke udvidet listen over algebraiske begreber.

Det obligatoriske minimumsindhold af undervisning i matematik for grundtrinnet (sidste udgave 2001) indeholder ikke algebraisk materiale. De nævner ikke grundskoleuddannedes evne til at arbejde med algebraiske begreber og kravene til deres forberedelsesniveau efter endt grundskoleuddannelse.

Matematisk udtryk og dets betydning

En sekvens af bogstaver og tal forbundet med handlingstegn kaldes et matematisk udtryk.

Det er nødvendigt at skelne et matematisk udtryk fra lighed og ulighed, som bruger ligheds- og ulighedstegn på skrift.

For eksempel:

3 + 2 - matematisk udtryk;

7-5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - matematiske udtryk;

a + b; 7 - s; 23 - og 4 - matematiske udtryk.

Notation som 3 + 4 = 7 er ikke et matematisk udtryk, det er en lighed.

Rekordtype 5< 6 или 3 + а >7 - er ikke matematiske udtryk, de er uligheder.

Numeriske udtryk

Matematiske udtryk, der kun indeholder tal og handlingssymboler, kaldes numeriske udtryk.

I 1. klasse bruger den pågældende lærebog ikke disse begreber. Børn introduceres til eksplicitte numeriske udtryk (med navne) i 2. klasse.

De enkleste numeriske udtryk indeholder kun additions- og subtraktionstegn, f.eks.: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1 osv. Efter at have gennemført de angivne handlinger, opnår vi værdien af udtrykket. For eksempel: 30 - 5 + 7 = 32, hvor 32 er værdien af udtrykket.

Nogle udtryk, som børn lærer i folkeskolens matematikkurser, har deres egne navne: 4 + 5 - sum;

6 - 5 - forskel;

7 6 - produkt; 63:7 - kvotient.

Disse udtryk har navne for hver komponent: komponenter af summen - addends; komponenter af forskellen - minuend og subtrahend; komponenter i produktet er faktorer; Komponenterne i division er udbytte og divisor. Navnene på værdierne af disse udtryk falder sammen med navnet på udtrykket, for eksempel: værdien af beløbet kaldes "sum"; betydningen af en kvotient kaldes "kvotient" osv.

Den næste type numeriske udtryk er udtryk, der indeholder operationer i første trin (addition og subtraktion) og parenteser. Børn stifter bekendtskab med dem i 1. klasse. Forbundet med denne type udtryk er reglen for rækkefølgen for udførelse af handlinger i udtryk med parentes: handlingerne i parentes udføres først.

Dette efterfølges af numeriske udtryk, der indeholder to-trins operationer uden parentes (addition, subtraktion, multiplikation og division). Forbundet med denne type udtryk er reglen for rækkefølgen af operationer i udtryk, der indeholder alle aritmetiske operationer uden parentes: operationerne multiplikation og division udføres før addition og subtraktion.

Den sidste type numeriske udtryk er udtryk, der indeholder to-trins operationer med parenteser. Forbundet med denne type udtryk er reglen for rækkefølgen af operationer i udtryk, der indeholder alle aritmetiske operationer og parenteser: handlingerne i parentes udføres først, derefter udføres operationerne multiplikation og division, derefter operationerne med addition og subtraktion.

1.1.

Generelle spørgsmål om metoder til at studere algebraisk materiale.

1.2.

Metode til at studere numeriske udtryk.

1.3.

1.6.

Løsning af simple regneopgaver ved at skrive ligninger.

1.1. Generelle problemstillinger om metodologi til at studere algebraisk materiale

Introduktionen af algebraisk materiale i matematikkens indledende kursus gør det muligt at forberede eleverne til at studere de grundlæggende begreber i moderne matematik (variabler, ligninger, lighed, ulighed osv.), bidrager til generalisering af aritmetisk viden og dannelse af funktionel tænkning hos børn.

Folkeskoleelever skal modtage indledende informationer om matematiske udtryk, numeriske ligheder og uligheder, lære at løse ligninger givet af læseplanen og simple regneopgaver ved at sammensætte en ligning (det teoretiske grundlag for at vælge en regneoperation, hvor sammenhængen mellem komponenterne og resultatet af den tilsvarende aritmetiske operation0.

Studiet af algebraisk materiale udføres i tæt forbindelse med aritmetisk materiale.

1.2. Metode til at studere numeriske udtryk

I matematik forstås et udtryk som en sekvens af matematiske symboler konstrueret efter bestemte regler, der angiver tal og operationer på dem.

Udtryk som: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - numeriske udtryk;

type: 8-a; 30:c; 5+(3+c) - bogstavelige udtryk (udtryk med en variabel).

Mål med at studere emnet 2) Gør eleverne bekendt med reglerne for rækkefølgen af udførelse af regneoperationer. 3) Lær at finde

numeriske værdier

udtryk.

4) Indfør identiske transformationer af udtryk baseret på egenskaberne ved aritmetiske operationer.

Løsningen af de pålagte opgaver udføres gennem alle år af grundskoleundervisningen fra de første dage af barnets skoleophold.

Når de udfører operationer på sæt, lærer børn først og fremmest den specifikke betydning af addition og subtraktion, derfor, i indtastninger af formen 3 + 2, 7-1, genkendes tegnene på handlinger af dem som en kort betegnelse for ordene "tilføj", "træk fra" (tilføj 2 til 3). I fremtiden bliver handlingsbegreberne dybere: eleverne lærer, at ved at lægge (fratrække) flere enheder, øger (mindsker) vi antallet med det samme antal enheder (læser: 3 øges med 2), hvorefter børn lærer navnet på handlingstegn "plus" (læses: 3 plus 2), "minus".

Lad os se på et fragment af lektionen (2. klasse).

Sæt 4 røde og 3 gule cirkler på brættet med vand:

OOO OOO

Hvor mange røde cirkler? (Skriv tallet 4 ned.)

Hvor mange gule cirkler? (Skriv tallet 3 ned.)

Hvilken handling skal udføres på de skrevne tal 3 og 4 for at finde ud af, hvor mange røde og hvor mange gule cirkler der er sammen? (posten vises: 4+3).

Fortæl mig, uden at tælle, hvor mange cirkler er der?

Et sådant udtryk i matematik, når der er et "+"-tegn mellem tallene, kaldes en sum (Lad os sammen sige: sum) og læses således: summen af fire og tre.

Lad os nu finde ud af, hvad summen af tallene 4 og 3 er lig med (vi giver det fulde svar).

Ligeledes om forskellen.

Når man studerer addition og subtraktion inden for 10, inkluderes udtryk bestående af 3 eller flere tal forbundet med de samme og forskellige fortegn for regneoperationer: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 osv. Ved at afsløre betydningen af sådanne udtryk viser læreren, hvordan man læser dem. Ved at beregne værdierne af disse udtryk mestrer børn praktisk talt reglen om rækkefølgen af aritmetiske operationer i udtryk uden parentes, selvom de ikke formulerer det: 10-3+2=7+2=9. Sådanne indtastninger er det første skridt i at udføre identitetstransformationer.

Metoden til at gøre dig bekendt med udtryk med parentes kan være forskellig (Beskriv et fragment af lektionen i din notesbog, forbered dig til praktiske lektioner).

Af interesse er den type arbejde, som den lettiske metodolog J.Ya har foreslået. Mencis.

Der gives for eksempel en tekst som denne: "Drengen havde 24 rubler, kagen koster 6 rubler, slik koster 2 rubler," foreslås det:

a) opstil alle typer udtryk baseret på denne tekst og forklar, hvad de viser;

b) forklar hvad udtrykkene viser:

2 klasser 3 karakterer

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

1) Jeg bestemmer hvilken handling der udføres sidst.

2) Jeg vil tænke på, hvad tallene hedder, når jeg udfører denne handling.

3) Jeg vil læse, hvordan disse tal kommer til udtryk.

Reglerne for rækkefølgen af handlinger i komplekse udtryk studeres i 3. klasse, men børn bruger praktisk talt nogle af dem i første og anden klasse.

Den første at overveje er reglen om rækkefølgen af operationer i udtryk uden parentes, når tal enten kun er addition og subtraktion, eller multiplikation og division (3. klasse). Målet med arbejdet på dette stadium er at stole på de praktiske færdigheder hos elever, der er erhvervet tidligere, at være opmærksomme på rækkefølgen af udførelsen af handlinger i sådanne udtryk og at formulere en regel.

Du kan bruge den metodiske teknik fra Sh.A.

Amonashvili "lærerens fejl."

For eksempel. Læreren rapporterer, at da han fandt betydningen af følgende udtryk, fik han svar, som han er sikker på er korrekte (svarene er lukket).

36:2 6=6 osv.

På samme måde kan du introducere de resterende regler for rækkefølgen af handlinger: når udtryk uden parentes indeholder handlinger af 1. og 2. trin, i udtryk med parentes.

Det er vigtigt, at børn indser, at ændring af rækkefølgen for at udføre aritmetiske operationer fører til en ændring i resultatet, og derfor besluttede matematikere at blive enige og formulerede regler, der skal følges nøje. At transformere et udtryk er at erstatte et givet udtryk med et andet med samme numeriske værdi.

Eleverne udfører sådanne transformationer af udtryk, idet de stoler på egenskaberne ved aritmetiske operationer og konsekvenserne af dem (s. 249-250). Når man studerer hver egenskab, bliver eleverne overbevist om, at i udtryk af en bestemt type kan handlinger udføres på forskellige måder, men meningen med udtrykket er

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

ændres ikke. Eleverne bruger i fremtiden viden om handlingers egenskaber til at transformere givne udtryk til identiske udtryk. For eksempel tilbydes opgaver som denne: Fortsæt optagelsen, så tegnet "=" bevares: , Når de udfører den første opgave, ræsonnerer eleverne således: til venstre fra 76 trækkes summen af tallene 20 og 4 fra

til højre trækkes 20 fra 76; for at få samme mængde til højre som til venstre, skal du også trække 4 fra højre. Andre udtryk transformeres på samme måde, dvs. efter at have læst udtrykket, husker eleven den tilsvarende regel. Og ved at udføre handlinger i henhold til reglen modtager den et transformeret udtryk.

For at sikre, at transformationen er korrekt, beregner børn værdierne af de givne og transformerede udtryk og sammenligner dem.

Ved at bruge viden om egenskaberne af handlinger til at retfærdiggøre beregningsteknikker udfører elever i klasse I-IV transformationer af udtryk af formen:

Også baseret på betydningen af multiplikationshandlingen transformeres mere komplekse udtryk: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Hovedmålene med at studere algebraisk materiale i de elementære klasser er, at folkeskolebørn får indledende information om ligheder og uligheder, om en variabel, om ligheder og uligheder med en variabel, om matematiske udtryk (numeriske og alfabetiske), om beregning af deres værdier, om simple ligninger og uligheder, træning af skolebørn i måder at løse dem på, samt løsning af problemer algebraisk. Studiet af algebraisk materiale i folkeskolen bidrager til generalisering af begreber om tal, aritmetiske operationer og deres egenskaber og er en forberedelse til algebrastudiet i gymnasiet.

Ligningen behandles som en lighed med en variabel. At løse en ligning betyder at vælge en værdi af en variabel, så den, når den erstattes i ligningen, bliver til en korrekt numerisk lighed. Dette er grundlaget for metoden til at løse ligninger ved selektion. I de elementære karakterer løses ligninger også ud fra forholdet mellem komponenterne og resultaterne af aritmetiske operationer, ud fra anvendelsen af lighedernes grundlæggende egenskaber (L.V. Zankovs system), samt ved hjælp af grafer (UMK "Primary School of the 21st Century"). Løsningen på uligheder er begrænset af udvælgelsesmetoden. Ligninger og uligheder bruges dog til at løse problemer, algebraisk metode problemløsning er begrænset til niveauet af fortrolighed i de elementære klasser.

Begreber om de simpleste udtryk dannes i forbindelse med studiet af regneoperationer, derefter introduceres komplekse udtryk og udtryk med en variabel. Yngre elever lærer at beregne værdierne af komplekse numeriske udtryk ved hjælp af ordensregler. De lærer også at finde betydningen af udtryk med en variabel givet bogstavernes værdier.

Bogstavsymboler bruges til at generalisere registreringen af love og egenskaber for aritmetiske operationer, samt formler til beregning af arealer af rektangler, trekanter, polygoner, volumener, hastigheder osv.

I øjeblikket er der to radikalt modsatte tendenser til at bestemme mængden af algebraisk materiale i et matematikkursus i grundskolen. En tendens er forbundet med den tidlige algebraisering af grundskolens matematikkurser. Repræsentanter for denne tendens er I.I. Arginskaya, L.G. Peterson, V.N. Rudnitskaya og andre. Den traditionelle skoles lærebog (M.I. Moro og andre) er en repræsentant for "midterste" synspunkter.

Send dit gode arbejde i videnbasen er enkel. Brug formularen nedenfor

Studerende, kandidatstuderende, unge forskere, der bruger videnbasen i deres studier og arbejde, vil være dig meget taknemmelig.

Udgivet på http://www.allbest.ru/

INTRODUKTION

KONKLUSION

BIBLIOGRAFI

Introduktion

Ved enhver moderne system I almen uddannelse indtager matematik et af de centrale steder, hvilket utvivlsomt taler om det unikke ved dette vidensfelt.

Hvad er moderne matematik? Hvorfor er det nødvendigt? Disse og lignende spørgsmål bliver ofte stillet af børn til lærere. Og hver gang vil svaret være anderledes afhængigt af barnets udviklingsniveau og dets uddannelsesbehov.

Det siges ofte, at matematik er sproget i moderne videnskab. Der ser dog ud til at være en væsentlig fejl i denne erklæring. Matematikkens sprog er så udbredt og så ofte effektivt, netop fordi matematik ikke kan reduceres til det.

Fremragende indenlandsk matematiker A.N. Kolmogorov skrev: "Matematik er ikke bare et sprog plus ræsonnement, det er ligesom sprog og logik er et værktøj til at tænke. Det koncentrerer mange menneskers nøjagtige tænkning forbinde et ræsonnement med et andet Naturens åbenlyse kompleksitet med dens mærkelige love og regler, som hver især giver mulighed for en meget forskellig detaljeret forklaring, er faktisk nært beslægtede. Men hvis du ikke ønsker at bruge matematik, så vil du i denne enorme variation af fakta ikke se, at logik tillader dig at flytte fra den ene til den anden."

Således giver matematik os mulighed for at danne visse former for tænkning, der er nødvendige for at studere verden omkring os.

Hvilken indflydelse har matematik i almindelighed og skolematematik i særdeleshed på uddannelse? kreativ personlighed? At undervise i kunsten at løse problemer i matematiktimerne giver os en yderst gunstig mulighed for at udvikle en bestemt tankegang hos eleverne. Behovet for forskningsaktiviteter udvikler interesse for mønstre og lærer os at se skønheden og harmonien i den menneskelige tanke. Alt dette er efter vores mening det vigtigste element i den almene kultur. Matematikforløbet har en vigtig indflydelse på dannelsen forskellige former tænkning: logisk, rumlig-geometrisk, algoritmisk. Nogen kreativ proces begynder med formuleringen af en hypotese. Matematik, med den passende tilrettelæggelse af uddannelse, er en god skole til at konstruere og teste hypoteser, lærer dig at sammenligne forskellige hypoteser, finde den bedste løsning, stille nye problemer og lede efter måder at løse dem på. Hun udvikler blandt andet også vanen med metodisk arbejde, uden hvilket ingen kreativ proces er tænkelig. Ved at maksimere mulighederne for menneskelig tænkning er matematik dens højeste præstation. Det hjælper en person til at forstå sig selv og forme sin karakter. Dette er en lille liste over grunde til, hvorfor matematisk viden bør blive en integreret del af den almene kultur og et obligatorisk element i opdragelsen og uddannelsen af et barn. Matematikkurset (uden geometri) i vores 10-årige skole er faktisk opdelt i tre hoveddele: aritmetik (karakterer I - V), algebra (VI - V III klasse s) og analyseelementer (grad IX - X). Hvad er grundlaget for en sådan opdeling? Selvfølgelig har hver af disse dele sin egen specielle "teknologi".

Således forbindes det i aritmetik for eksempel med beregninger udført på flercifrede tal, i algebra - med identiske transformationer, logaritmisering, i analyse - med differentiering mv. Men hvad er de dybere årsager forbundet med det konceptuelle indhold af hver del? Det næste spørgsmål vedrører grundlaget for at skelne mellem skoleregning og algebra (dvs. første og anden del af kurset). Aritmetik omfatter studiet af naturlige tal (positive heltal) og brøker (primtal og decimal). En særlig analyse viser dog, at det er ulovligt at kombinere disse typer tal i ét skolefag.

Faktum er, at disse tal har forskellige funktioner: den første er forbundet med at tælle objekter, den anden med at måle mængder. Denne omstændighed er meget vigtig for at forstå det faktum, at brøktal (rationelle) kun er et specialtilfælde af reelle tal.

Ud fra et synspunkt om måling af mængder, som bemærket af A.N. Kolmogorov, "der er ingen sådan dyb forskel mellem rationelle og irrationelle reelle tal Af pædagogiske årsager dvæler de i lang tid ved rationelle tal, da de dog er lette at skrive i form af brøker dem skulle lige fra begyndelsen umiddelbart føre til reelle tal i deres helhed."

A.N. Kolmogorov betragtes som berettiget både fra et synspunkt om historien om udviklingen af matematik og i det væsentlige forslaget fra A. Lebesgue til at flytte i undervisningen efter naturlige tal direkte til oprindelsen og logiske karakter af reelle tal. Samtidig, som bemærket af A.N. Kolmogorov, "tilgangen til konstruktionen af rationelle og reelle tal fra synspunktet om måling af mængder er ikke mindre videnskabelig end for eksempel indførelsen af rationelle tal i form af "par For skolen har den en utvivlsom fordel" (.

Der er således en reel mulighed for, på basis af naturlige (heltal) tal, umiddelbart at danne "det mest generelle talbegreb" (i A. Lebesgues terminologi), begrebet et reelt tal. Men fra et programkonstruktionssynspunkt betyder dette hverken mere eller mindre end eliminering af brøkregning i sin skolefortolkning. Overgangen fra heltal til reelle tal er en overgang fra aritmetik til "algebra", til skabelsen af et grundlag for analyse. Disse ideer, der blev udtrykt for mere end 20 år siden, er stadig relevante i dag.

1. Generelle teoretiske aspekter ved at studere algebraisk materiale i folkeskolen

algebraisk skolesammenligningsmatematik

1.1 Erfaring med at indføre algebraelementer i folkeskolen

Indholdet af et akademisk fag afhænger som bekendt af mange faktorer - af livets krav til elevernes viden, på niveauet af relevante videnskaber, af børns mentale og fysiske aldersevner mv. Korrekt overvejelse af disse faktorer er en væsentlig betingelse for de fleste effektiv læring skolebørn, udvide deres kognitive evner. Men nogle gange er denne betingelse ikke opfyldt af en eller anden grund. I dette tilfælde giver undervisning ikke den ønskede effekt både med hensyn til børns tilegnelse af rækken af nødvendig viden og med hensyn til udvikling af deres intelligens.

Det ser ud til, at undervisningsprogrammerne for nogle akademiske fag, især matematik, på nuværende tidspunkt ikke lever op til de nye livskrav og udviklingsniveauet. moderne videnskaber(for eksempel matematik) og nye data udviklingspsykologi og logik. Denne omstændighed dikterer behovet for omfattende teoretiske og eksperimentelle tests mulige projekter nyt indhold i pædagogiske fag.

Grundlaget for matematisk viden lægges i folkeskolen. Men desværre er både matematikere selv og metodologer og psykologer meget lidt opmærksomme på indholdet af elementær matematik. Det er tilstrækkeligt at sige, at matematikpensum i folkeskolen (klasse I - IV) i sine hovedtræk blev dannet for 50 - 60 år siden og naturligvis afspejler datidens matematiske, metodiske og psykologiske idésystem.

Lad os overveje egenskaber statsstandard for matematik i folkeskolen. Dens hovedindhold er heltal og operationer på dem, studeret i en bestemt rækkefølge. Først studeres fire operationer i grænsen på 10 og 20, derefter - mundtlige beregninger i grænsen på 100, mundtlige og skriftlige beregninger i grænsen på 1000, og endelig i grænsen på millioner og milliarder. I klasse IV studeres nogle sammenhænge mellem data og resultaterne af aritmetiske operationer samt simple brøker. Sammen med dette involverer programmet studiet af metriske mål og tidsmål, mestring af evnen til at bruge dem til måling, kendskab til nogle elementer af visuel geometri - tegning af et rektangel og kvadrat, måling af segmenter, arealer af et rektangel og kvadrat, beregning mængder.

Eleverne skal anvende den opnåede viden og færdigheder til at løse problemer og udføre simple beregninger. Gennem hele forløbet udføres problemløsning sideløbende med undersøgelse af tal og operationer - der afsættes halvdelen af passende tid til dette. At løse problemer hjælper eleverne med at forstå den specifikke betydning af handlinger, forstå forskellige tilfælde af deres anvendelse, etablere relationer mellem mængder og tilegne sig grundlæggende færdigheder inden for analyse og syntese.

Fra klasse I til IV løser børn følgende hovedtyper af problemer (enkle og sammensatte): finde summen og resten, produkt og kvotient, øge og mindske givne tal, forskel og multiple sammenligning, simpel tredobbelt regel, proportional division, finde en ukendt med to forskelle, beregning af det aritmetiske middelværdi og nogle andre typer problemer.

MED forskellige typer børn støder på afhængigheder af mængder, når de løser problemer. Men det er meget typisk, at elever begynder med problemer efter og mens de studerer tal; det vigtigste, der kræves ved løsning, er at finde et numerisk svar. Børn har meget svært ved at identificere egenskaberne ved kvantitative relationer i specifikke, særlige situationer, som normalt betragtes som regneproblemer. Praksis viser, at manipulation af tal ofte erstatter den faktiske analyse af problemets betingelser set ud fra afhængigheden af reelle mængder. Desuden repræsenterer problemerne introduceret i lærebøger ikke et system, hvor mere "komplekse" situationer ville være forbundet med "dybere" lag af kvantitative relationer. Problemer med samme sværhedsgrad kan findes både i begyndelsen og i slutningen af lærebogen. De skifter fra sektion til sektion og fra klasse til klasse i henhold til plottets kompleksitet (antallet af handlinger stiger), i henhold til rækkefølgen af numre (fra ti til en milliard), alt efter kompleksitet fysiske afhængigheder(fra fordelingsproblemer til bevægelsesproblemer) og i henhold til andre parametre. Kun én parameter - uddybning i selve systemet af matematiske love - manifesteres svagt og utydeligt i dem. Derfor er det meget vanskeligt at opstille et kriterium for den matematiske sværhedsgrad af et bestemt problem. Hvorfor er problemer med at finde en ukendt ud fra to forskelle og finde ud af det aritmetiske middelværdi (III-grad) sværere end problemer med forskel og multipel sammenligning (II-grad)? Metoden giver ikke et overbevisende og logisk svar på dette spørgsmål.

Folkeskoleelever får således ikke fyldestgørende, fuldstændig viden om afhængigheder af mængder og generelle egenskaber ah mængder hverken når man studerer elementerne i talteori, fordi de i skoleforløbet primært er forbundet med beregningsteknikken, eller når man løser problemer, fordi sidstnævnte ikke har den tilsvarende form og ikke har det nødvendige system. Metodologers forsøg på at forbedre undervisningsmetoderne, selvom de fører til delvis succes, ændrer sig ikke generel holdning tilfælde, da de på forhånd er begrænset af rammerne for det accepterede indhold.

Det fremgår, at grundlaget kritisk analyse Det vedtagne regneprogram skal indeholde følgende bestemmelser:

Begrebet antal er ikke identisk med begrebet om genstandes kvantitative egenskaber;

Tal er ikke den oprindelige form for kvantitative relationer.

Lad os give begrundelsen for disse bestemmelser. Det er velkendt, at moderne matematik (især algebra) studerer aspekter af kvantitative relationer, der ikke har en numerisk skal. Det er også velkendt, at nogle kvantitative sammenhænge er ret udtrykkelige uden tal og før tal, for eksempel i segmenter, volumener osv. (forhold "mere", "mindre", "lige"). Præsentationen af de originale generelle matematiske begreber i moderne manualer udføres i en sådan symbolik, der ikke nødvendigvis indebærer udtryk for objekter med tal. Så i bogen af E.G. Gonins "teoretiske aritmetik" er de grundlæggende matematiske objekter betegnet med bogstaver og specielle tegn lige fra begyndelsen.

Det er karakteristisk, at visse typer af tal og numeriske afhængigheder kun gives som eksempler, illustrationer af mængders egenskaber, og ikke som deres eneste mulige og eneste eksisterende udtryksform. Yderligere er det bemærkelsesværdigt, at mange illustrationer af individuelle matematiske definitioner er givet i grafisk form gennem forholdet mellem segmenter, områder. Alle grundlæggende egenskaber ved mængder og mængder kan udledes og begrundes uden at involvere numeriske systemer; Desuden modtager sidstnævnte selv begrundelse ud fra generelle matematiske begreber.

Til gengæld viser talrige observationer fra psykologer og lærere, at kvantitative ideer opstår hos børn længe før de tilegner sig viden om tal og hvordan de skal betjenes. Sandt nok er der en tendens til at klassificere disse ideer som "førmatematiske formationer" (hvilket er ret naturligt for traditionelle metoder, der identificerer kvantitative egenskaber objekt med et tal), ændrer dette dog ikke deres væsentlige funktion i barnets generelle orientering i tingenes egenskaber. Og nogle gange sker det, at dybden af disse angiveligt "præmatematiske formationer" er mere betydningsfuld for udviklingen af et barns egen matematiske tænkning end viden om computerteknologiens forviklinger og evnen til at finde rent numeriske afhængigheder. Det er bemærkelsesværdigt, at akademiker A.N. Kolmogorov, der karakteriserer træk ved matematisk kreativitet, bemærker specielt følgende omstændighed: "Grundlaget for de fleste matematiske opdagelser er en simpel idé: en visuel geometrisk konstruktion, en ny elementær ulighed osv. Du skal bare anvende dette korrekt. simpel idé at løse et problem, der ved første øjekast virker utilgængeligt."

I øjeblikket er en række ideer vedrørende strukturen og konstruktionsmetoderne passende. nyt program. Det er nødvendigt at inddrage matematikere, psykologer, logikere og metodologer i arbejdet med dets konstruktion. Men i alle dens specifikke varianter ser den ud til at skulle opfylde følgende grundlæggende krav:

Overvinde den eksisterende kløft mellem indholdet af matematik i grundskoler og gymnasier;

At give et system af viden om de grundlæggende love for kvantitative relationer i den objektive verden; i dette tilfælde bør egenskaberne ved tal, som en særlig form for at udtrykke mængde, blive en speciel, men ikke hovedafsnittet af programmet;

Indgyd børn metoderne til matematisk tænkning, og ikke kun beregningsevner: dette involverer opbygning af et system af problemer baseret på at dykke ned i sfæren af afhængigheder af reelle størrelser (matematikkens forbindelse med fysik, kemi, biologi og andre videnskaber, der studerer specifikke mængder);

Beslutsomt forenkle alle beregningsteknikker og minimere det arbejde, der ikke kan udføres uden passende tabeller, opslagsværker og andre hjælpemidler (især elektroniske).

Betydningen af disse krav er klar: i folkeskolen er det ganske muligt at undervise i matematik som en videnskab om lovene for kvantitative sammenhænge, om mængdernes afhængighed; regneteknikker og elementer af talteori bør blive en særlig og privat del af programmet.

Erfaringerne med at konstruere et nyt uddannelsesprogram i matematik og dets eksperimentelle afprøvning, udført siden slutningen af 1960'erne, giver os nu mulighed for at tale om muligheden for at indføre et systematisk matematikkursus i skolen fra første klasse, der giver viden om kvantitative sammenhænge og afhængigheder af mængder i algebraisk form.

1.2 Problemet med oprindelsen af algebraiske begreber og dets betydning for opbygningen af et uddannelsesfag

Adskillelse skoleforløb matematik for algebra og aritmetik, selvfølgelig betinget. Overgangen fra den ene til den anden sker gradvist. I skolens praksis er betydningen af denne overgang maskeret af, at studiet af brøker faktisk foregår uden omfattende støtte til måling af mængder - brøker er angivet som forhold mellem talpar (selvom formelt betydningen af at måle mængder i metodiske manualer indrømmet). En omfattende introduktion af brøktal baseret på måling af mængder fører uundgåeligt til begrebet et reelt tal. Men det sidste sker normalt ikke, da eleverne bliver ved med at arbejde med rationelle tal i lang tid, og derved forsinkes deres overgang til "algebra".

Skolealgebra begynder med andre ord netop, når betingelserne skabes for overgangen fra heltal til reelle tal, til at udtrykke resultatet af en måling som en brøk (simpel og decimal - endelig, og så uendelig). Desuden kan det indledende trin være fortrolighed med måleoperationen, opnåelse af den endelige decimaler og studere handlinger på dem. Hvis eleverne allerede kender denne form for at skrive resultatet af en måling, så tjener dette som en forudsætning for at "opgive" tanken om, at et tal også kan udtrykkes som en uendelig brøk. Og det er tilrådeligt at skabe denne forudsætning allerede inden for folkeskolen.

Hvis begrebet et brøktal (rationelt) fjernes fra kompetencen inden for skoleregning, vil grænsen mellem det og "algebra" passere langs forskellen mellem heltal og reelle tal. Det er dette, der "skærer" matematikkurset i to dele. Dette er ikke en simpel forskel, men en grundlæggende "dualisme" af kilder - optælling og måling.

Efter Lebesgues ideer vedrørende " generelt koncept tal", er det muligt at sikre fuldstændig enhed i undervisningen i matematik, men kun fra det øjeblik og efter at have gjort børn bekendt med tælle og heltal (naturlige) tal. Selvfølgelig kan tidspunktet for denne foreløbige bekendtgørelse være anderledes (i traditionelle programmer for folkeskoler er de tydeligt forsinkede), i kurset I elementær aritmetik kan du endda introducere elementer af praktiske målinger (hvilket er tilfældet i programmet), men alt dette eliminerer ikke forskellene i grundlaget for aritmetik og "algebra". ” som pædagogiske emner “Dualisme” af udgangspunkter forhindrer også en i virkelig at forstå aritmetiske sektioner relateret til måling af mængder og overgangen til reelle brøker “slagte rod.” Forfatterne af programmerne og metodologerne stræber efter at opretholde stabiliteten "renhed" af aritmetik som skolefag Denne forskel i kilder er hovedårsagen til at undervise i matematik i henhold til skemaet - først aritmetik (heltal), derefter "algebra" (reelt tal).

Denne ordning virker ganske naturlig og urokkelig, desuden er den begrundet i mange års praksis i matematikundervisning. Men der er omstændigheder, der ud fra et logisk og psykologisk synspunkt kræver en mere grundig analyse af lovligheden af denne rigide undervisningsordning.

Faktum er, at på trods af alle forskellene mellem disse typer af tal, så refererer de specifikt til tal, dvs. til en særlig form for at vise kvantitative sammenhænge. Det faktum, at heltal og reelle tal hører til "tal", tjener som grundlag for antagelsen om de genetiske afledte af selve forskellene mellem tælling og måling: De har en speciel og enkelt kilde, der svarer til selve tallets form.

Kendskab til funktionerne i dette forenede grundlag for optælling og måling vil gøre det muligt mere klart at forestille sig betingelserne for deres oprindelse på den ene side og forholdet på den anden side.

Hvad skal vi vende os til for at finde den fælles rod i det forgrenede taltræ? Det ser ud til, at det først og fremmest er nødvendigt at analysere indholdet af kvantitetsbegrebet. Sandt nok er dette udtryk umiddelbart forbundet med en anden en - dimension. Imidlertid udelukker legitimiteten af en sådan forbindelse ikke en vis uafhængighed af betydningen af "størrelse". Overvejelse af dette aspekt giver os mulighed for at drage konklusioner, der samler på den ene side måling og optælling og på den anden side driften af tal med visse generelle matematiske sammenhænge og mønstre.

Så hvad er "kvantitet", og hvilken interesse er det i at konstruere de indledende sektioner af skolematematik? I almindelig brug er udtrykket "størrelse" forbundet med begreberne "lige", "mere", "mindre", som beskriver en række kvaliteter (længde og tæthed, temperatur og hvidhed). V.F. Kagan rejser spørgsmålet om, hvilke fælles egenskaber disse begreber har. Det viser, at de vedrører aggregater - sæt af homogene objekter, hvis sammenligning af elementer giver os mulighed for at anvende udtrykkene "mere", "lige", "mindre" (for eksempel til aggregater af alle lige linjesegmenter, vægte, hastigheder osv.).

Et sæt objekter omdannes kun til størrelse, når der er etableret kriterier, der gør det muligt med hensyn til et hvilket som helst af dets elementer A og B at fastslå, om A vil være lig med B, større end B eller mindre end B. to vilkårlige elementer A og B, én og kun én af forhold: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan identificerer følgende otte grundlæggende egenskaber ved begreberne "lige", "større", "mindre": .

1) Mindst en af relationerne gælder: A=B, A>B, A<В.

2) Hvis relationen A = B holder, så holder relationen A ikke<В.

3) Hvis relationen A=B holder, så holder relationen A>B ikke.

4) Hvis A=B og B=C, så A=C.

5) Hvis A>B og B>C, så A>C.

6) Hvis A<В и В<С, то А<С.

7) Lighed er en reversibel relation: fra relationen A=B følger altid relationen B=A.

8) Ligestilling er en gensidig relation: uanset elementet A i det betragtede sæt, A = A.

De første tre sætninger karakteriserer disjunktionen af de grundlæggende relationer "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

tre elementer A, B og C. De følgende sætninger 7 - 8 karakteriserer kun lighed - dens reversibilitet og gentagelse (eller refleksivitet). V.F Kagan kalder disse otte grundlæggende bestemmelser for sammenligningspostulater, på grundlag af hvilke en række andre kvantitetsegenskaber kan udledes.

Disse inferentielle egenskaber af V.F. Kagan beskriver i form af otte sætninger:

I. Forholdet A>B udelukker forholdet B>A (A<В исключает В<А).

II. Hvis A>B, så B<А (если А<В, то В>EN).

III. Hvis A>B holder, så holder A ikke.

IV. Hvis A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, så er A1=An.

V. Hvis A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, så A1>An.

VI. Hvis A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Hvis A=C og B=C, så A=B.

VIII. Hvis der er lighed eller ulighed A=B, eller A>B eller A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B og A=C, derefter C>B osv.).

Sammenligningspostulater og teoremer, påpeger V.F. Kagan, "alle de egenskaber ved begreberne "lige", "mere" og "mindre" er udtømte, som i matematik er forbundet med dem og finder anvendelse uanset de individuelle egenskaber i mængden, hvis elementer vi anvender dem i forskellige særlige tilfælde.”

Egenskaberne specificeret i postulater og sætninger kan karakterisere ikke kun de umiddelbare træk ved objekter, som vi er vant til at forbinde med "lige", "mere", "mindre", men også med mange andre træk (for eksempel kan de karakterisere forholdet "forfader - efterkommer"). Dette giver os mulighed for at anlægge et generelt synspunkt, når vi beskriver dem og overveje, for eksempel fra synspunktet af disse postulater og sætninger, alle tre typer relationer "alfa", "beta", "gamma" (i dette tilfælde er det er muligt at fastslå, om disse relationer opfylder postulater og sætninger og under hvilke betingelser).

Fra dette synspunkt kan man for eksempel betragte en sådan egenskab ved ting som hårdhed (hårdere, blødere, lige hårdhed), hændelsesforløbet i tid (efterfølgende, forudgående, samtidige) osv. I alle disse tilfælde får forholdene "alfa", "beta", "gamma" deres egen specifikke fortolkning. Opgaven forbundet med udvælgelsen af et sådant sæt af organer, der ville have disse relationer, såvel som identifikation af tegn, som man kunne karakterisere "alfa", "beta", "gamma" - dette er opgaven med at bestemme sammenligningskriterier i et givet sæt af organer (i praksis er det i nogle tilfælde ikke let at løse). "Ved at etablere sammenligningskriterier forvandler vi mangfoldighed til størrelse," skrev V.F. Kagan. Virkelige objekter kan ses fra forskellige kriteriers perspektiv. Således kan en gruppe mennesker betragtes i henhold til et sådant kriterium som rækkefølgen af fødslen af hvert af dets medlemmer. Et andet kriterium er den relative position, som disse menneskers hoveder vil indtage, hvis de placeres side om side i samme vandrette plan. I hvert tilfælde vil gruppen blive omdannet til en mængde, der har et tilsvarende navn - alder, højde. I praksis betegner en mængde normalt ikke selve sættet af elementer, men et nyt koncept, der er introduceret for at skelne mellem sammenligningskriterier (navnet på mængden). Sådan opstår begreberne "volumen", "vægt", "elektrisk spænding" osv. "Samtidig er værdien for en matematiker fuldstændig defineret, når mange elementer og sammenligningskriterier er angivet," bemærkede V.F. Kagan.

Denne forfatter betragter den naturlige række af tal som det vigtigste eksempel på en matematisk størrelse. Set ud fra et sådant sammenligningskriterium som den position, som tal i en serie indtager (de indtager samme plads, følger efter ..., går forud), opfylder denne serie postulaterne og repræsenterer derfor en størrelse. Ifølge de tilsvarende sammenligningskriterier omregnes et sæt brøker også til en mængde. Det er ifølge V.F. Kagan, indholdet af teorien om kvantitet, som spiller en afgørende rolle i grundlaget for al matematik.

Når du arbejder med mængder (det er tilrådeligt at registrere deres individuelle værdier med bogstaver), kan du udføre et komplekst system af transformationer, etablere afhængighederne af deres egenskaber, gå fra lighed til ulighed, udføre addition (og subtraktion), og når du tilføjer du kan blive styret af kommutative og associative egenskaber. Så hvis relationen A = B er givet, kan du, når du "løser" problemer, blive styret af relationen B = A. I et andet tilfælde, hvis der er relationer A>B, B=C, kan vi konkludere, at A>C. Da der for a>b er en c sådan, at a=b+c, så kan vi finde forskellen mellem a og b (a-b=c), osv.

Alle disse transformationer kan udføres på fysiske kroppe og andre objekter, etablering af sammenligningskriterier og overholdelse af de udvalgte relationer med sammenligningspostulater.

Ovenstående materialer giver os mulighed for at konkludere, at både naturlige og reelle tal er lige stærkt forbundet med mængder og nogle af deres væsentlige træk. Er det muligt at gøre disse og andre egenskaber til genstand for særlig undersøgelse for barnet, allerede før den numeriske form for beskrivelse af mængdeforholdet er indført? De kan tjene som forudsætninger for den efterfølgende detaljerede introduktion af nummeret og dets forskellige typer, især for propædeutik af brøker, koordinatbegreber, funktioner og andre begreber allerede i ungdomsklasserne.

Hvad kunne indholdet af dette indledende afsnit være? Dette er et bekendtskab med fysiske objekter, kriterier for deres sammenligning, fremhævelse af en mængde som et emne for matematisk overvejelse, kendskab til sammenligningsmetoder og symbolske midler til at registrere dets resultater, med teknikker til at analysere de generelle egenskaber af mængder. Dette indhold skal udvikles til et relativt detaljeret undervisningsprogram og, vigtigst af alt, knyttes til de handlinger af barnet, hvorigennem det kan mestre dette indhold (naturligvis i den passende form). Samtidig er det nødvendigt eksperimentelt at fastslå, om 7-årige børn kan mestre dette program, og hvad er gennemførligheden af dets introduktion til efterfølgende matematikundervisning i de primære klasser i retning af at bringe aritmetik og primær algebra tættere på. sammen.

Indtil nu har vores ræsonnement været af teoretisk karakter og rettet mod at klarlægge de matematiske forudsætninger for at konstruere et sådant indledende afsnit af kurset, der ville introducere børn til grundlæggende algebraiske begreber (før den særlige introduktion af tal). De vigtigste egenskaber, der karakteriserer mængder, er beskrevet ovenfor. Det giver naturligvis ingen mening for 7-årige børn at holde "foredrag" om disse egenskaber.

Det var nødvendigt at finde sådan en arbejdsform til børn med didaktisk stof, hvorigennem de på den ene side kunne identificere disse egenskaber i tingene omkring dem, på den anden side ville de lære at fiksere dem med en vis symbolik og udføre elementære matematisk analyse tildelte relationer.

I denne henseende bør programmet for det første indeholde en indikation af de egenskaber ved faget, der skal mestres, for det andet en beskrivelse af didaktiske materialer, for det tredje - og det er det vigtigste fra et psykologisk synspunkt - egenskaberne af de handlinger, hvorigennem barnet identificerer bestemte egenskaber ved et objekt og mestrer dem. Disse "komponenter" udgør undervisningsprogrammet i ordets rette betydning. Det giver mening at præsentere de specifikke træk ved dette hypotetiske program og dets "komponenter", når man beskriver selve læreprocessen og dens resultater.

Her er oversigten over dette program og dets nøgleemner.

Emne I. Nivellering og færdiggørelse af objekter (efter længde, volumen, vægt, sammensætning af dele og andre parametre).

Praktiske opgaver om nivellering og anskaffelse. Identifikation af karakteristika (kriterier), hvorved de samme objekter kan udlignes eller fuldføres. Verbal betegnelse af disse egenskaber ("efter længde", efter vægt osv.).

Disse opgaver løses i processen med at arbejde med didaktisk materiale (stænger, vægte osv.) af:

Ved at vælge det "samme" element,

Gengivelse (konstruktion) af det "samme" objekt i henhold til en valgt (specificeret) parameter.

Emne II. Sammenligning af objekter og fiksering af dets resultater ved hjælp af ligheds-ulighedsformlen.

1. Opgaver om at sammenligne objekter og symbolsk udpege resultaterne af denne handling.

2. Verbal registrering af sammenligningsresultater (udtryk "mere", "mindre", "lige"). Skrevne tegn ">", "<", "=".

3. Angivelse af sammenligningsresultatet med en tegning ("kopiering" og derefter "abstrakt" - linjer).

4. Betegnelse af sammenlignede objekter med bogstaver. Registrering af sammenligningsresultatet ved hjælp af formlerne: A=B; EN<Б, А>B. Et bogstav som et tegn, der fikserer en direkte given, bestemt værdi af et objekt i henhold til en valgt parameter (efter vægt, efter volumen osv.).

5. Umuligt at fastsætte sammenligningsresultatet ved hjælp af forskellige formler. Valg af en specifik formel for et givet resultat (komplet disjunktion af relationerne større - mindre - lige).

Emne III. Egenskaber ved lighed og ulighed.

1. Reversibilitet og refleksivitet af lighed (hvis A=B, så B=A; A=A).

2. Forbindelsen mellem relationerne "mere" og "mindre" i uligheder under "permutationer" af de sammenlignede parter (hvis A>B, så B<А и т.п.).

3. Transitivitet som en egenskab ved lighed og ulighed:

hvis A=B, hvis A>B, hvis A<Б,

a B=B, en B>B, en B<В,

derefter A=B; derefter A>B; derefter A<В.

4. Overgang fra at arbejde med fagdidaktisk stof til at vurdere egenskaberne ved lighed og ulighed i nærværelse af kun bogstavelige formler. Løsning af forskellige problemer, der kræver kendskab til disse egenskaber (for eksempel løsning af problemer relateret til sammenhængen af relationer af typen: givet at A>B, og B=C; find ud af sammenhængen mellem A og C).

Emne IV. Addition (subtraktion) operation.

1. Observationer af ændringer i objekter i henhold til en eller anden parameter (efter volumen, efter vægt, efter varighed osv.). Illustration af stigende og faldende med "+" og "-" (plus og minus) tegn.

2. Krænkelse af tidligere etableret ligestilling med tilsvarende ændring i en eller anden af dens sider. Overgangen fra lighed til ulighed. At skrive formler som:

hvis A=B, hvis A=B,

derefter A+K>B; derefter A-K<Б.

3. Metoder til overgang til ny lighed (dets "genoprettelse" efter princippet:

at tilføje "lige" til "lige" giver "lige").

Arbejde med formler som:

derefter A+K>B, men A+K=B+K.

4. Løsning af forskellige problemer, der kræver brug af addition (subtraktion), når man går fra lighed til ulighed og tilbage.

Emne V. Overgang fra type A ulighed<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Opgaver, der kræver en sådan overgang. Behovet for at bestemme værdien af den mængde, som de sammenlignede objekter adskiller sig med. Evnen til at skrive lighed, når den specifikke værdi af denne mængde er ukendt. Metode til at bruge x (x).

At skrive formler som:

hvis en<Б, если А>B,

derefter A+x=B; så A-x=B.

2. Bestemmelse af værdien af x. Sætter denne værdi ind i formlen (introduktion til parenteser). Skriv formler

3. Løsning af problemer (herunder "plot-tekstuelle"), der kræver udførelse af de specificerede operationer.

Tema Vl. Addition-subtraktion af ligheder-uligheder. Substitution.

1. Addition-subtraktion af ligheder-uligheder:

hvis A=B hvis A>B hvis A>B

og M=D, og K>E, og B=G, derefter A+M=B+D; derefter A+K>B+E; derefter A+-B>C+-G.

2. Evnen til at repræsentere værdien af en mængde som summen af flere værdier. Type erstatning:

3. Løsning af forskellige problemer, der kræver, at der tages hensyn til egenskaberne ved relationer, som børn blev fortrolige med under arbejdet (mange opgaver kræver samtidig overvejelse af flere egenskaber, intelligens i vurdering af betydningen af formler; beskrivelser af problemer og løsninger er givet nedenfor ).

Dette er et program designet til 3,5 - 4 måneder. første halvdel af året. Som erfaringen med eksperimentel undervisning viser, med korrekt planlægning af lektioner, forbedring af undervisningsmetoder og et vellykket valg af didaktiske hjælpemidler, kan alt det materiale, der præsenteres i programmet, absorberes fuldt ud af børn på kortere tid (på 3 måneder) . Hvordan går vores program fremad? Først og fremmest bliver børn fortrolige med metoden til at opnå et tal, der udtrykker forholdet mellem et objekt som helhed (den samme mængde repræsenteret af et kontinuerligt eller diskret objekt) til sin del. Dette forhold i sig selv og dets specifikke værdi er afbildet med formlen A/K = n, hvor n er et hvilket som helst heltal, der oftest udtrykker forholdet til nærmeste "enhed" (kun med et særligt udvalg af materiale eller ved kun at tælle "kvalitativt" individuelle ting kan man få helt nøjagtige heltal). Helt fra begyndelsen er børn "tvunget" til at huske på, at når de måler eller tæller, kan der opstå en rest, hvis tilstedeværelse skal være specielt fastsat. Dette er det første skridt til at arbejde videre med fraktioner. Med denne form for at opnå et tal er det ikke svært at få børn til at beskrive et objekt med en formel som A = 5k (hvis forholdet var lig med "5"). Sammen med den første formel åbner den op for muligheder for en særlig undersøgelse af afhængighederne mellem objektet, basen (mål) og resultatet af tælling (måling), som også fungerer som en propædeutik for overgangen til brøktal (især , for at forstå den grundlæggende egenskab ved en brøk). En anden linje i programudvikling, implementeret allerede i første klasse, er overførslen til tal (heltal) af de grundlæggende egenskaber for kvantitet (disjunktion af lighed-ulighed, transitivitet, invertibilitet) og driften af addition (kommutativitet, associativitet, monotonitet, mulighed for subtraktion). Især ved at arbejde på tallinjen kan børn hurtigt omdanne en talsekvens til en værdi (for eksempel klart vurdere deres transitivitet ved at lave type 3 notationer<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Kendskab til nogle af de såkaldte "strukturelle" træk ved ligestilling gør det muligt for børn at gribe sammenhængen mellem addition og subtraktion anderledes an. Når man bevæger sig fra ulighed til lighed, udføres følgende transformationer: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; find forholdet mellem venstre og højre side af formlen for 8+1-4...6+3-2; i tilfælde af ulighed, bring dette udtryk til lighed (først skal du sætte et "mindre end"-tegn og derefter tilføje et "to" til venstre side).

At behandle en talserie som en størrelse giver dig således mulighed for at formulere færdighederne til addition og subtraktion (og derefter multiplikation og division) på en ny måde.

2.1 Undervisning i folkeskolen i forhold til folkeskolens behov

Når man læser matematik i 5. klasse, går en væsentlig del af tiden som bekendt til at gentage, hvad børn skulle have lært i folkeskolen. Denne gentagelse i næsten alle eksisterende lærebøger tager 1,5 akademiske kvartaler. Denne situation opstod ikke tilfældigt. Dens årsag er utilfredshed blandt gymnasielærere i matematik med forberedelsen af grundskolekandidater. Hvad er årsagen til denne situation? Til dette formål blev de fem mest kendte folkeskolelærebøger i matematik i dag analyseret. Det er M.I.s lærebøger. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson, , , .

En analyse af disse lærebøger afslørede adskillige negative aspekter, der i større eller mindre grad er til stede i hver af dem og påvirker videre læring negativt. Først og fremmest er assimileringen af materiale i dem i høj grad baseret på memorering. Et tydeligt eksempel på dette er at huske multiplikationstabellen. I folkeskolen bliver der brugt mange kræfter og tid på at lære det udenad. Men i sommerferien glemmer børnene hende. Årsagen til så hurtig glemsel er udenadslære. Forskning af L.S. Vygotsky viste, at meningsfuld memorering er meget mere effektiv end mekanisk memorering, og efterfølgende eksperimenter beviser overbevisende, at materiale kun kommer ind i langtidshukommelsen, hvis det huskes som et resultat af arbejde, der svarer til dette materiale.

En metode til effektivt at mestre multiplikationstabellen blev fundet tilbage i 50'erne. Det består i at organisere et bestemt system af øvelser, ved at udføre hvilke børn selv konstruerer en multiplikationstabel. Denne metode er dog ikke implementeret i nogen af de gennemgåede lærebøger.

En anden negativ pointe, der påvirker videreuddannelse, er, at præsentationen af materiale i folkeskolens matematiklærebøger i mange tilfælde er struktureret på en sådan måde, at børn i fremtiden skal omskoles, og det er som bekendt meget sværere. end undervisning. I forhold til studiet af algebraisk materiale ville et eksempel være løsning af ligninger i folkeskolen. I alle lærebøger er ligningsløsning baseret på reglerne for at finde ukendte komponenter af handlinger.

Dette gøres kun noget anderledes i lærebogen af L.G. Peterson, hvor fx løsning af multiplikations- og divisionsligninger er baseret på at korrelere ligningens komponenter med siderne og arealet af et rektangel og i sidste ende også kommer ned til regler, men det er regler for at finde siden eller arealet af et rektangel. I mellemtiden bliver børn fra 6. klasse undervist i et helt andet princip for at løse ligninger, baseret på brug af identiske transformationer. Dette behov for genlæring fører til, at løsning af ligninger er en ret vanskelig opgave for de fleste børn.

Ved at analysere lærebøger stødte vi også på det faktum, at når der præsenteres materiale i dem, er der ofte en forvrængning af begreberne. For eksempel er formuleringen af mange definitioner givet i form af implikationer, mens man fra matematisk logik ved, at enhver definition er en ækvivalens. Som en illustration kan vi citere definitionen af multiplikation fra I.I.s lærebog. Arginskaya: "Hvis alle led i summen er lig med hinanden, kan addition erstattes af en anden handling - multiplikation." (Alle led i summen er lig med hinanden. Derfor kan addition erstattes af multiplikation.) Som du kan se, er dette en implikation i sin rene form. Denne formulering er ikke kun analfabet fra et matematiksynspunkt, den danner ikke kun forkert hos børn en idé om, hvad en definition er, men den er også meget skadelig, fordi den i fremtiden f.eks. en multiplikationstabel bruger lærebogsforfattere udskiftning af produktet med summen af identiske udtryk , hvilket den præsenterede formulering ikke tillader. Sådant forkert arbejde med udsagn skrevet i form af implikationer danner en forkert stereotype hos børn, som vil blive overvundet med stor besvær i geometritimerne, når børn ikke vil mærke forskel på en direkte og omvendt udsagn, mellem et tegn på en figur og sin ejendom. Fejlen med at bruge den omvendte sætning, når man løser problemer, mens kun den direkte sætning er blevet bevist, er meget almindelig.

Et andet eksempel på forkert begrebsdannelse er arbejdet med den bogstavelige lighedsrelation. For eksempel er reglerne for at gange et tal med et og et tal med nul i alle lærebøger givet på bogstavform: a x 1 = a, a x 0 = 0. Lighedsrelationen er som bekendt symmetrisk, og derfor er f.eks. en notation sørger ikke kun for, at når multipliceret med 1 opnås det samme tal, men også at et hvilket som helst tal kan repræsenteres som produktet af dette tal og et. Den verbale formulering, der foreslås i lærebøgerne efter brevindførslen, taler dog kun om den første mulighed.

Øvelser om dette emne er også kun rettet mod at øve dig i at erstatte produktet af et tal og et med dette nummer. Alt dette fører ikke kun til det faktum, at et meget vigtigt punkt ikke bliver genstand for børns bevidsthed: ethvert tal kan skrives i form af et produkt, hvilket i algebra vil forårsage tilsvarende vanskeligheder, når man arbejder med polynomier, men også til kendsgerning, at børn i princippet ikke ved, hvordan man korrekt arbejder med ligestillingsrelationen. For eksempel, når man arbejder med formel for forskellen mellem kvadrater, klarer børn som regel opgaven med at faktorisere forskellen på kvadrater. De opgaver, hvor den modsatte handling er påkrævet, volder imidlertid i mange tilfælde vanskeligheder. En anden slående illustration af denne idé er arbejdet med den distributive lov om multiplikation i forhold til addition. Også her træner både dens verbale formulering og øvelsessystemet trods lovens bogstavskrivning kun evnen til at åbne parentes. Som følge heraf vil det give betydelige vanskeligheder i fremtiden at sætte den fælles faktor ud af parentes.

Ganske ofte i folkeskolen, selv når en definition eller regel er formuleret korrekt, stimuleres læring ved ikke at stole på dem, men på noget helt andet. Når man for eksempel studerer multiplikationstabellen med 2, viser alle de gennemgåede lærebøger, hvordan man konstruerer den. I lærebogen M.I. Moro gjorde det sådan her:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Med denne arbejdsmetode vil børn meget hurtigt bemærke mønsteret af den resulterende talserie.

Efter 3-4 ligheder stopper de med at tilføje toere og begynder at skrive resultatet ned baseret på det observerede mønster. Således vil metoden til at konstruere multiplikationstabellen ikke blive genstand for deres bevidsthed, hvilket vil resultere i dens skrøbelige assimilering.

Når man studerer materiale i folkeskolen, lægges der vægt på objektive handlinger og illustrativ klarhed, hvilket fører til dannelsen af empirisk tænkning. Det er selvfølgelig næppe muligt at undvære en sådan synlighed i folkeskolen. Men det bør kun tjene som en illustration af dette eller hint faktum, og ikke som grundlag for dannelsen af et koncept.

Brugen af illustrativ klarhed og indholdsmæssige handlinger i lærebøger fører ofte til, at selve konceptet bliver "sløret". For eksempel i matematikmetoder for klasse 1-3 M.I. Moreau siger, at børn skal lave opdeling ved at arrangere genstande i bunker eller lave en tegning i 30 lektioner. Sådanne handlinger mister essensen af divisionsoperationen som den omvendte handling af multiplikation. Som følge heraf læres division med det største besvær og er meget værre end andre regneoperationer.

Når man underviser i matematik i folkeskolen, er der ikke tale om at bevise nogle udsagn. I mellemtiden, når du husker, hvor svært det vil være at undervise i bevis i gymnasiet, skal du begynde at forberede dig på dette allerede i grundskolen. Desuden kan dette gøres på materiale, der er ret tilgængeligt for folkeskolebørn. Sådant materiale kan for eksempel være reglerne for at dividere et tal med 1, nul med et tal og et tal for sig selv. Børn er ganske i stand til at bevise dem ved hjælp af definitionen af division og de tilsvarende multiplikationsregler.

Folkeskolematerialet giver også mulighed for algebrapropædeutik - arbejde med bogstaver og bogstavudtryk. De fleste lærebøger undgår at bruge bogstaver. Det betyder, at børn næsten udelukkende arbejder med tal i fire år, hvorefter det selvfølgelig er meget svært at vænne dem til at arbejde med bogstaver.

Det er dog muligt at give propædeutik til sådant arbejde, at lære børn at erstatte et tal i stedet for et bogstav i et bogstavudtryk allerede i folkeskolen. Det gjorde man fx i lærebogen af L.G. Peterson.

Når vi taler om manglerne ved at undervise i matematik i folkeskolen, som forstyrrer den videre læring, er det nødvendigt især at understrege, at materialet i lærebøger ofte præsenteres uden at se på, hvordan det vil fungere i fremtiden. Et meget slående eksempel på dette er organiseringen af læringsmultiplikation med 10, 100, 1000 osv. I alle de gennemgåede lærebøger er præsentationen af dette materiale struktureret på en sådan måde, at det uundgåeligt fører til dannelsen i børns hoveder af reglen: "For at gange et tal med 10, 100, 1000 osv., skal du bruge at tilføje lige så mange nuller til højre side, som der er i 10, 100, 1000 osv." Denne regel er en af dem, der læres meget godt i folkeskolen. Og dette fører til et stort antal fejl, når decimalbrøker ganges med hele cifferenheder. Selv efter at have husket en ny regel, tilføjer børn ofte automatisk nul til højre side af decimalen, når de ganges med 10.

Derudover skal det bemærkes, at når man multiplicerer et naturligt tal og når man multiplicerer en decimalbrøk med hele cifferenheder, sker der i det væsentlige det samme: hvert ciffer i tallet forskydes til højre med det tilsvarende antal cifre. Derfor nytter det ikke noget at lære børn to separate og helt formelle regler. Det er meget mere nyttigt at lære dem en generel måde at gå frem på, når de løser lignende problemer.

2.2 Sammenligning (kontrast) af begreber i matematiktimerne

Det nuværende program giver mulighed for studiet i første klasse af kun to operationer på det første niveau - addition og subtraktion. At begrænse det første studieår til kun to operationer er i bund og grund en afvigelse fra, hvad der allerede var opnået i de lærebøger, der gik forud for de nuværende: ikke en eneste lærer har dengang nogensinde klaget over, at multiplikation og division, f.eks. inden for 20, var længere end evnerne hos elever i første klasse. Det er også værd at bemærke, at i skoler i andre lande, hvor uddannelsen begynder i 6-årsalderen, omfatter det første skoleår indledende bekendtskab med alle fire regneoperationer.

Matematik bygger først og fremmest på fire handlinger, og jo hurtigere de indgår i elevens tænkningspraksis, jo mere stabil og pålidelig vil den efterfølgende udvikling af matematikkurset være.

For at være retfærdig skal det bemærkes, at i de første versioner af M.I.Moros lærebøger for klasse I, blev multiplikation og division leveret. En ulykke kom dog i vejen: Forfatterne af de nye programmer klamrede sig konstant til én "ny ting" - dækning i første klasse af alle tilfælde af addition og subtraktion inden for 100 (37+58 og 95-58 osv.) . Men da der ikke var tid nok til at studere en sådan udvidet mængde information, blev det besluttet at flytte multiplikation og division helt til det næste studieår.

Så fascinationen af programmets linearitet, dvs. en rent kvantitativ udvidelse af viden (de samme handlinger, men med større antal), optog den tid, der tidligere var allokeret til den kvalitative uddybning af viden (studie af alle fire handlinger inden for to dusin). At studere multiplikation og division allerede i første klasse betyder et kvalitativt spring i tænkningen, da det giver dig mulighed for at mestre fortættede tankeprocesser.

Ifølge traditionen var studiet af addition og subtraktion inden for 20 et særligt emne. Behovet for denne tilgang til systematisering af viden er synligt selv fra den logiske analyse af spørgsmålet: faktum er, at den komplette tabel til tilføjelse af et-cifret. tal udvikles inden for to tiere (0+1= 1, ...,9+9=18). Således danner tal inden for 20 et komplet system af relationer i deres interne forbindelser; derfor er det hensigtsmæssigt at bevare "De tyve" som et andet integreret tema (det første af disse tema er handlinger inden for de første ti).

Det tilfælde, der diskuteres, er netop et tilfælde, hvor koncentricitet (bevarelse af den anden ti som et særligt tema) viser sig at være mere gavnlig end linearitet ("opløse" de anden ti i "Hundrede"-temaet).

I lærebogen af M. I. Moro er undersøgelsen af de første ti opdelt i to isolerede sektioner: Først studeres sammensætningen af tallene for de første ti, og i det næste emne overvejes handlinger inden for 10. I den eksperimentelle lærebog af P.M. Erdnieva udførte i modsætning til dette en fælles undersøgelse af nummerering, sammensætningen af tal og operationer (addition og subtraktion) inden for 10 på én gang i et afsnit. Med denne tilgang anvendes en monografisk undersøgelse af tal, nemlig: inden for det tal, der er under overvejelse (f.eks. 3), er al "kontantmatematik" umiddelbart forstået: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1.

Hvis der ifølge de nuværende programmer blev afsat 70 timer til at studere de første ti, så blev alt dette materiale studeret på 50 timer i tilfælde af eksperimentel træning (og ud over programmet blev der overvejet nogle yderligere koncepter, som ikke var i staldlærebogen, men var strukturelt relateret til hovedmaterialet).

Spørgsmålet om klassificering af opgaver og navnene på deres typer kræver særlig opmærksomhed i metoden til indledende træning. Generationer af metodologer arbejdede på at strømline systemet med skoleopgaver, for at skabe deres effektive typer og varianter, helt ned til udvælgelsen af vellykkede termer for navnene på opgaver beregnet til studier i skolen. Det er kendt, at mindst halvdelen af undervisningstiden i matematiktimerne er afsat til at løse dem. Skolens opgaver trænger bestemt til systematisering og klassificering. Hvilken type (type) opgaver der skal studeres, hvornår der skal studeres, hvilken type problemer der skal studeres i forbindelse med passagen af et bestemt afsnit er et legitimt studieobjekt af metoderne og det centrale indhold af programmerne. Betydningen af denne omstændighed fremgår klart af matematikmetodens historie.

Konklusion

I øjeblikket er der opstået ganske gunstige betingelser for en radikal forbedring af organiseringen af matematikundervisningen i grundskolen:

1) folkeskolen blev omdannet fra en treårig til en fireårig skole;

Lignende dokumenter

Funktioner ved dannelsen af midlertidige repræsentationer i matematiktimer i folkeskolen. Karakteristika for mængder undersøgt i folkeskolen. Bekendtskab med metoden til dannelse af midlertidige repræsentationer i det indledende matematikkursus i uddannelseskomplekset "Ruslands Skole".

afhandling, tilføjet 16-12-2011

Integration af datalogi og matematik som hovedretningen for at øge effektiviteten af læring. Metode til at anvende software til interaktive lektioner. Udvalg af undervisningsmateriale til e-læring matematik og datalogi i gymnasiet.

afhandling, tilføjet 04/08/2013

En idé om aktive læringsmetoder, funktioner i deres anvendelse i folkeskolen. Klassificering af aktive metoder til undervisning i matematik i folkeskolen på forskellige grundlag. Interaktive metoder til undervisning i matematik og deres fordele.

kursusarbejde, tilføjet 02/12/2015

Metode til at studere den probabilistisk-statistiske (stokastiske) linje i et matematikkursus på en grundskole. Analyse af elevernes opfattelse af materialet: grad af interesse; tilgængelighedsniveau; vanskeligheder med at studere dette materiale; kvaliteten af assimilering.

afhandling, tilføjet 28-05-2008

Essensen og målene for interaktiv læring i folkeskolen. Implementering af et sæt metoder og teknikker til interaktiv undervisning af yngre skolebørn i matematiktimerne. Identifikation af dynamikken i niveauet for dannelse af universelle pædagogiske handlinger af skolebørn.

afhandling, tilføjet 17.02.2015

Processen med at arbejde med en opgave. Typer af problemer, færdigheder og niveauer af evne til at løse dem. Metode til undervisning i problemtransformation Stadier af arbejdet med en opgave. Begrebet opgavetransformation. Metoder til undervisning og transformation af problemer i matematiktimerne i folkeskolen.

afhandling, tilføjet 06/11/2008

Metoder til at bruge forskningsopgaver i matematiktimerne som et middel til at udvikle den mentale aktivitet hos yngre skolebørn; systematisering og test af udviklingsøvelser, anbefalinger til deres anvendelse i folkeskolen.

kursusarbejde, tilføjet 15.02.2013

Funktioner ved at studere matematik i grundskolen i henhold til Federal State Educational Standard for Primary General Education. Kursusindhold. Analyse af grundlæggende matematiske begreber. Essensen af en individuel tilgang i didaktikken.

kursusarbejde, tilføjet 29/09/2016

Matematik er en af de mest abstrakte videnskaber, der studeres i folkeskolen. Kendskab til det særlige ved at bruge historisk stof i matematiktimerne i 4. klasse. Analyse af de vigtigste problemer i udviklingen af kognitiv aktivitet hos skolebørn.

afhandling, tilføjet 07/10/2015

Overvejelse af det psykologiske og pædagogiske grundlag for at studere logiske problemer i folkeskolen. Funktioner af udviklingen af logisk tænkning i matematiktimer i grundskolen fra perspektivet af kravene i Federal State Educational Standard.