Hvad er den algebraiske metode til løsning. Videolektion "Aritmetisk metode til løsning af ordopgaver

At lære at løse ordproblemer spiller en vigtig rolle i udviklingen af matematisk viden. Ordproblemer giver mange muligheder for at udvikle elevernes tænkning. At lære at løse problemer handler ikke kun om at lære teknikken til at opnå de rigtige svar i nogle typiske situationer, men også om at lære en kreativ tilgang til at finde en løsning, få erfaring med mental aktivitet og demonstrere for eleverne matematikkens evner til at løse en række forskellige af problemer. Men når man løser ordopgaver i 5.-6. klasse, bruges en ligning oftest. Men femteklassernes tankegang er endnu ikke klar til de formelle procedurer, der er involveret i at løse ligninger. Den aritmetiske metode til at løse problemer har en række fordele i forhold til den algebraiske, fordi resultatet af hvert trin af handlingerne er klarere og mere specifikt og ikke går ud over femteklasseelevernes erfaring. Eleverne løser problemer ved at bruge handlinger bedre og hurtigere end ved at bruge ligninger. Børns tænkning er konkret, og den skal udvikles på bestemte objekter og mængder, for derefter gradvist at gå videre til at arbejde med abstrakte billeder.

Arbejdet med opgaven involverer omhyggeligt at læse teksten til tilstanden, forstå betydningen af hvert ord. Jeg vil give eksempler på problemer, der nemt og enkelt kan løses ved hjælp af regning.

Opgave 1. For at lave marmelade skal du tage to dele hindbær og tre dele sukker. Hvor mange kilo sukker skal du tage for 2 kg 600 g hindbær?

Når du løser et problem i "dele", skal du lære at visualisere problemets betingelser, dvs. Det er bedre at stole på tegningen.

2600:2=1300 (g) - står for en del af marmeladen;
1300*3= 3900 (g) - du skal tage sukker.

Opgave 2. Der var 3 gange på første hylde flere bøger end den anden. Der var 120 bøger på de to hylder tilsammen. Hvor mange bøger var der på hver hylde?

1) 1+3=4 (dele) - står for alle bøger;

2) 120:4=30 (bøger) - står for en del (bøger på anden hylde);

3) 30*3=90 (bøger) - stod på første hylde.

Opgave 3. Fasaner og kaniner sidder i et bur. Der er 27 hoveder og 74 ben i alt. Find ud af antallet af fasaner og antallet af kaniner i buret.

Lad os forestille os, at vi sætter en gulerod på låget af buret, hvori fasanerne og kaninerne sidder. Så vil alle kaninerne stå på bagbenene for at nå det. Så:

27*2=54 (ben) - vil stå på gulvet;
74-54=20 (ben) - vil være øverst;
20:2=10 (kaniner);
27-10=17 (fasaner).

Opgave 4. Der er 30 elever i vores klasse. 23 personer tog på udflugt til museet, og 21 gik i biografen, og 5 personer var ikke med på hverken udflugt eller biograf. Hvor mange mennesker tog på både udflugten og biografen?

"Euleriske cirkler" kan bruges til at analysere tilstanden og vælge en løsningsplan.

30-5=25 (personer) – gik enten i biografen eller på udflugt,
25-23=2 (person) – gik kun i biografen;
21-2=19 (person) – gik i biografen og på udflugt.

Opgave 5. Tre ællinger og fire gæslinger vejer 2 kg 500 g, og fire ællinger og tre gæslinger vejer 2 kg 400 g. Hvor meget vejer en gæsling?

2500+2400=2900 (g) – syv ællinger og syv gæslinger vejer;
4900:7=700 (g) – vægten af en ælling og en gæsling;
700*3=2100 (g) – vægt af 3 ællinger og 3 gæslinger;
2500-2100=400 (g) – larvens vægt.

Opgave 6. For børnehave købte 20 pyramider: store og små - 7 og 5 ringe hver. Alle pyramider har 128 ringe. Hvor mange store pyramider var der?

Lad os forestille os, at vi fjernede to ringe fra alle de store pyramider. Så:

1) 20*5=100 (ringe) – venstre;

2) 128-100-28 (ringe) – vi fjernede;

3) 28:2=14 (store pyramider).

Opgave 7. En vandmelon på 20 kg indeholdt 99 % vand. Når det tørrede lidt ud, faldt dets vandindhold til 98%. Bestem massen af vandmelonen.

For nemheds skyld vil løsningen blive ledsaget af en illustration af rektangler.

99% vand	1 % tørstof
98% vand	2 % tørstof

I dette tilfælde er det tilrådeligt at tegne rektanglerne af "tørstof" lige store, fordi massen af "tørstof" i vandmelonen forbliver uændret.

1) 20:100=0,2 (kg) – masse af "tørstof";

2) 0,2:2=0,1 (kg) – står for 1% af tørret vandmelon;

3) 0,1*100=10 (kg) – masse vandmelon.

Opgave 8. Gæsterne spurgte: hvor gammel var hver af de tre søstre? Vera svarede, at hun og Nadya var 28 år sammen, Nadya og Lyuba var 23 år sammen, og alle tre var 38 år. Hvor gamle er hver af søstrene?

38-28=10 (år) – Lyuba;
23-10=13 (år) – Nadya;
28-13=15 (år) – Vera.

Regnemetoden til at løse ordproblemer lærer barnet at handle bevidst, logisk korrekt, for når man løser på denne måde, øges opmærksomheden på spørgsmålet "hvorfor", og der er et stort udviklingspotentiale. Dette bidrager til elevernes udvikling, dannelsen af deres interesse for at løse problemer og i selve matematikvidenskaben.

For at gøre læring mulig, spændende og lærerig, skal du være meget omhyggelig, når du vælger tekstproblemer, overveje forskellige måder at løse dem på, vælge de bedste og udvikle logisk tænkning, som er nødvendig i fremtiden, når du skal løse geometriske problemer.

Elever kan kun lære at løse problemer ved at løse dem. "Hvis du vil lære at svømme, så gå dristigt i vandet, og hvis du vil lære at løse problemer, så løs dem," skriver D. Polya i bogen "Mathematical Discovery."

Aritmetisk måde at løse ordproblemer på

"...mens vi forsøger at forbinde undervisning i matematik med livet, vil det være svært for os at undvære ordproblemer - et traditionelt middel til at undervise i matematik for den russiske metodologi."

A.V.Shevkin

Evnen til at løse ordproblemer er en af hovedindikatorerne for elevernes matematiske udvikling og dybden af deres læring undervisningsmateriale, klarhed i ræsonnementet, forståelse af de logiske aspekter af forskellige problemstillinger.

For de fleste skolebørn er ordproblemer vanskelige og derfor ufavorit undervisningsmateriale. Men i skolens matematikkursus får han stor værdi, da opgaverne bidrager til udviklingen, først og fremmest, af logisk tænkning, rumlig fantasi og praktisk anvendelse af matematisk viden i menneskelig aktivitet.

I processen med at løse problemer får eleverne erfaring med at arbejde med mængder, forstår sammenhængen mellem dem og får erfaring med at anvende matematik til at løse virkelige problemer.Løsning af ordproblemer udvikler logisk kultur, og vækker først interesse for processen med at finde en løsning på problemet og derefter for det emne, der studeres.

Den traditionelle russiske skole har altid været særlig opmærksomlære børn at løse ordproblemer. Historisk set var det nok i lang tid matematisk viden blev overført fra generation til generation i form af ordproblemer med løsninger. Deres betydning lå også i deres anvendte betydning, da der i deres indhold var tale om praktiske opgaver (bankvirksomhed, handel, jordberegninger osv.). I Rusland blev en uddannet person anset for at være en person, der vidste, hvordan man løser disse typiske problemer, som er meget vigtige i hverdagen.

Det skal bemærkes, at det ikke var let at lære at løse praktiske problemer. Memorisering af løsningsmetoden uden bevidst forståelse af tilstanden blev ofte observeret. Det vigtigste er at bestemme typen af problem og finde en regel for at løse det, forståelse var ikke vigtig.

Mod midtenXXårhundrede blev udviklet god teknik træning i problemløsning. Men desværre blev lærere ofte observeret i at coache eleverne til at løse typiske opgaver, huske standardteknikker. Men det er umuligt at lære at løse problemer ved hjælp af et husket mønster.

I slutningen af 1960'erne indebar reformen af skolens matematikundervisning tidlig indførelse af ligninger for at organisere undervisningens problemløsning på en ny måde. Den algebraiske metodes rolle til løsning af ordopgaver i 5-6 klassetrin var dog overdrevet netop pga. skolepensum Aritmetiske metoder er blevet fjernet. Og praksis har vist, at uden tilstrækkelig forberedelse af elevernes tænkning, er det upraktisk at løse problemer ved hjælp af ligninger. Eleven skal kunne ræsonnere og forestille sig handlinger, der sker med genstande.

I klasse 5-6 er det nødvendigt at være opmærksom nok på den aritmetiske metode til at løse ordproblemer og ikke skynde sig at gå videre til den algebraiske metode - løse problemer ved hjælp af en ligning. Når en elev først har lært den algebraiske metode, er det næsten umuligt at vende tilbage til "løsningen ved handlinger." Efter at have udarbejdet en ligning, er det vigtigste at løse den korrekt og undgå en beregningsfejl. Og du behøver slet ikke tænke på, hvilke regneoperationer der udføres under løsningen, og hvad de fører til. Og følger vi løsningen af ligningen trin for trin, vil vi se de samme handlinger som i regnemetoden. Kun eleven tænker næsten ikke over dette.

Meget ofte observerer vi, at et barn ikke er klar til at løse et problem algebraisk, når vi introducerer en abstrakt variabel, og sætningen "lad x..." vises. Hvor dette "X" kom fra, og hvilke ord der skal skrives ved siden af, er ikke klart for eleven på nuværende tidspunkt. Og dette sker, fordi det er nødvendigt at tage hensyn til alderskarakteristika børn, der i dette øjeblik har udviklet visuel-figurativ tænkning. De er endnu ikke i stand til abstrakte modeller.

Hvad mener vi med krav - at løse et problem. Det betyder, at man skal finde en række handlinger, der som et resultat af at analysere tilstanden vil føre til et svar på det spørgsmål, der stilles i problemet. For at komme til svaret skal du gå langt, fra det øjeblik du forstår teksten, være i stand til at fremhæve det vigtigste, "oversætte" problemet til matematikkens sprog, erstatte ordene "hurtigere", " langsommere" med "mindre" eller "mere", opstil en grafisk model eller tabel, der gør det lettere at forstå problemets betingelser, sammenligne værdier, etablerelogiske relationer mellem dataene i henhold til tilstanden og de påkrævede. Og det er meget svært for børn.

Det er vigtigt at bemærke, at opgaveteksten skal være sammensat på en sådan måde, at barnet forstår og forestiller sig, hvad vi taler om. Inden man begynder at løse et problem, bruges der ofte meget tid på at analysere tilstanden, når eleverne skal forklare, hvad et støbejernsemne er, hvordan det adskiller sig fra en del, samt en armeret betonstøtte, en automatisk maskine, opholdsareal osv. Opgavens tekst skal svare til niveauet af hans opfattelse. Problemets tekst skal naturligvis bringes nærmere det virkelige liv så du kan se praktisk anvendelse denne model.

Når man begynder at løse et problem, er det nødvendigt ikke kun at forestille sig den pågældende situation, men også at skildre det i en tegning, diagram eller tabel. Det er umuligt at løse et problem kvalitativt uden at lave en kort registrering af tilstanden. Det er den skematiske opstilling af tilstanden, der gør det muligt, når man diskuterer en løsning, at identificere alle de handlinger, der skal udføres for at besvare spørgsmålet om problemet.

Lad os se på nogle eksempler på løsning af ordproblemer

Bevægelsesopgaver

Denne type problemer er udbredt i skolens matematikkurser. De henvender sig forskellige typer bevægelser: mod, ind modsatte retninger, i den ene retning (den ene indhenter den anden).

For at forstå disse opgaver er det praktisk at tegne et diagram. Men hvis en elev laver et bord, er der ingen grund til at overbevise ham om det denne metode Den korte beskrivelse af forholdene er ikke særlig god. Vi opfatter information forskelligt. Måske "ser" barnet opgaven bedre i denne visning.

Eksempel 1. To cyklister kørte samtidig mod hinanden fra to landsbyer og mødtes 3 timer senere. Den første cyklist kørte med en hastighed på 12 km/t, og den anden kørte med 14 km/t. Hvor langt væk er landsbyerne?

Lad os tegne et diagram for problemet, der tilstrækkeligt fuldt ud afspejler tilstanden (bevægelsesretninger, cyklisters hastigheder, rejsetid til mødet er angivet, spørgsmålet er klart):

Lad os overveje to måder at løse dette problem på:

1 vej:

Traditionelt vil vi gerne løse disse problemer ved at introducere begrebet "lukkehastighed", og finde det som summen (eller forskellen) af hastighederne for deltagerne i bevægelsen. Når vi bevæger os mod hinanden, lægger vi hastighederne sammen:

1)12 + 14 = 26 (km/t) – indflyvningshastighed

Ved at bevægelsestiden er den samme, tillader den anden handling at bruge stiformlen (S = vt) beregn den nødvendige afstand og besvar spørgsmålet stillet i opgaven.

2) 26 3 = 78 (km)

Lad os komme med et udtryk:

3(12 + 14) = 78(km)

Svar : 78 km.

Men det er ikke alle børn, der forstår, hvad denne abstrakte størrelse er - tilgangens hastighed. Hvorfor er det muligt at addere og i andre tilfælde trække hastighederne fra to forskellige deltagere bevægelser, kombinere dem almindeligt navn. Hvis dine elever løser dette problem på en anden måde, så prøv ikke at vinde dem over på din side. For nogle er tiden endnu ikke kommet til at forstå dette, og for andre vil den første metode slet ikke være tilgængelig.

Metode 2:

1)12 3 = 36 (km) – den første cyklists vej til mødet

2)14 3 = 42 (km) – afstanden fra den anden cyklist til mødet

3)36 + 42 = 78 (km) – afstand mellem landsbyer

Lad os komme med et udtryk:

12 3 + 14 3 = 78 (km)

Svar : 78 km.

Gradvist, når barnet lærer at forstå sådanne opgaver, sammenligne numeriske udtryk, kan vi vise, at begge metoder er indbyrdes forbundne, og samtidig genkalde multiplikationens fordelingsegenskab:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Eksempel 2. Der var 54 notesbøger i to pakker. Når 10 notesbøger blev fjernet fra den første pakke, og 14 notesbøger fra den anden, så var der lige mange notesbøger i begge pakker. Hvor mange notesbøger var der i hver pakke oprindeligt?

Hvordan kan jeg vise en betingelse?

1. Lav en tabel:

var

Fjernet

Det blev

1 pakke - ? 54 tet.

2 pakker – ?

10 tet.

14 tet.

ligeligt

2. Lav en tegning

De tog 14 stk.

De tog 10 stk.

Ligeså

I alt 54 stk.

Lad os analysere løsningen på problemet og være opmærksom på, hvilke spørgsmål vi besvarer, når vi udfører hver aritmetisk operation:

1) Hvor mange notesbøger blev fjernet fra begge pakker?

10 + 14 = 24 (stykker);

2) Hvor mange notesbøger er der i to pakker?

– 24 = 30 (stykker);

3) Hvor mange er der i hver pakke notesbøger?

30:2 = 15 (stk);

4) Hvor mange notesbøger var der i den første pakke oprindeligt?

10 = 25 (stykker);

5) Hvor mange notesbøger var der i den anden pakke oprindeligt?

54 – 25 = 29 (stk).

I 5. klasse vil eleven højst sandsynligt vælge netop denne metode til at løse problemet. Bed ham om at løse dette problem i 6. eller 7. klasse. Måske vil situationen ændre sig, og eleven vil løse det ved hjælp af en ligning. Ved at udføre de samme handlinger vil han ikke tænke på mange spørgsmål. Ved at vælge en ligning som middel til at løse et problem, vil du meget hurtigt komme frem til det samme svar.

Hvordan ville løsningen så se ud?

Lad der være x notesbøger i hver pakke efter omarrangering,

derefter (x + 10) notesbøger var oprindeligt i den første pakke, og

(x + 14) notesbøger var oprindeligt i den anden pakke.

Ved at vide, at der var 54 notesbøger i to pakker, kan vi lave ligningen:

x + 10 + x + 14 = 54

Ligningen sporer alle de samme handlinger, der udføres i den aritmetiske metode til at løse problemet.

x + x + (10 + 14) = 54; (1 operation af den aritmetiske metode)

2x = 54 – 24; (handling 2)

x = 30:2; (handling 3)

15 + 10 = 25 (stk.) (4 handlinger)

15 + 14 = 29 (stk.) (5 handling)

Svar: 25 notesbøger, 29 notesbøger.

Men ingen stiller spørgsmål om, hvad vi finder, når vi gennemfører hvert trin.

Jeg viser altid mine elever, at opgaveteksten for 5. eller 9. klasser ofte har samme betydning. Og praksis viser, at femteklasseelever er i stand til at finde ud af tilstanden ud fra opgavebogen for 9. klasse og endda lave en ligning. Selvfølgelig er der stadig ikke viden nok til at løse sådan en ligning. Men samtidig er det ikke hver niende klasse, der formår at løse en opgave for 5. klasse ved hjælp af en regnemetode.

Skolebørn vælger normalt den algebraiske metode til at løse ordproblemer, de vender næsten aldrig tilbage til regnestykket. De holder simpelthen op med at se denne metode, bliver revet med ved at introducere variabler og sammensætte ligninger.

Hvorfor værdsætter vi den aritmetiske metode til at løse ordproblemer? Den første og vigtigste ting er, at eleven, når han udfører hver aritmetisk operation, tænker på spørgsmålet: "Hvad fandt jeg som et resultat?" Han forestiller sig, hvad problemet handler om, da hver handling har en klar og specifik fortolkning. Som et resultat er det aktivt i udvikling logisk tænkning. I processen med beregninger, målinger og søgning efter løsninger på problemer udvikler den studerende kognitiv universel læringsaktiviteter, hvis dannelse erden vigtigste opgave moderne system almen grunduddannelse.

Ordproblemer studeres hele vejen igennem skoleforløb matematik. Men det er nødvendigt at undervise i at forstå problemer, analysere forhold, ræsonnere og finde rationelle løsninger i 5.-6. klasse, mens deres kompleksitetsniveau er lavt, og selve problemet er en af de vigtigste kategorier. Det svære kan forstås med det lette.

Brugen af aritmetiske metoder til at løse problemer udvikler opfindsomhed og intelligens, evnen til at stille spørgsmål og besvare dem, dvs. naturligt sprog, forbereder skolebørn til videre uddannelse.

Aritmetiske metoder til løsning af ordproblemer giver dig mulighed for at opbygge en løsningsplan under hensyntagen til forholdet mellem kendte og ukendte mængder (under hensyntagen til typen af problem), fortolke resultatet af hver handling inden for rammerne af problemforholdene, kontrollere rigtigheden af løsningen ved at tegne og løse det omvendte problem, det vil sige danne og udvikle vigtige almene pædagogiske færdigheder.

Hvis en elev håndterer ordproblemer i matematiktimerne, det vil sige, han kan spore og forklare den logiske kæde af sin løsning, give en beskrivelse af alle størrelser, så kan han også med succes løse problemer i fysik og kemi, han kan sammenligne og analysere , transformere oplysninger om alle akademiske fag skoleforløb.

Den store D. Polya sagde: "Hvis du vil lære at svømme, så gå dristigt ind i vandet, og hvis du vil lære at løse problemer, så løs dem."Hvis vi lærer børn at løse problemer, vil vi ikke kun øge interessen for selve faget, vi vil have en betydelig indflydelse på dannelsen af deres matematiske tænkning, hvilket bidrager til en vellykket udvikling af ny viden på andre områder.

At analysere disse problemer, observere, hvad problemerne har til fælles fra et matematisk synspunkt, hvad er forskellene, finde en ekstraordinær måde at løse problemer på, skabe en sparegris med problemløsningsteknikker, lære at løse et problem på forskellige måder.En simulator af opgaver grupperet under samme tema "Aritmetiske metoder til problemløsning", opgaver til arbejde i gruppe og til individuelt arbejde.

"opgaver til simulatormanualen"

Træner: "Aritmetiske metoder til at løse problemer"

"Sammenligning af tal efter sum og forskel."

Der er 80 boletussvampe i to kurve. Den første kurv indeholder 10 mindre boletus end den anden. Hvor mange boletussvampe er der i hver kurv?

Systuen fik 480 m denim og drapering. Denimstof blev leveret 140 m mere end draperi. Hvor mange meter denim modtog studiet?

Tv-tårnmodellen består af to blokke. Den nederste blok er 130 cm kortere end den øverste. Hvad er højden på den øverste og nederste blok, hvis tårnets højde er 4 m 70 cm?

To æsker indeholder 16 kg småkager. Find massen af småkager i hver æske, hvis en af dem indeholder 4 kg småkager mere.

Opgave fra "Aritmetik" af L. N. Tolstoj.

a) To mænd har 35 får. Den ene har 9 får mere end den anden. Hvor mange får har hver person?

b) To mænd har 40 får, og den ene har 6 får færre end den anden. Hvor mange får har hver mand?

Der stod 23 biler og motorcykler med sidevogne i garagen. Biler og motorcykler har 87 hjul. Hvor mange motorcykler er der i garagen, hvis hver sidevogn har et reservehjul?

"Euleriske cirkler".

Huset har 120 beboere, hvoraf nogle har hunde og katte. Der er en cirkel på billedet MED skildrer beboere med hunde, cirkel TIL – beboere med katte. Hvor mange lejere har både hunde og katte? Hvor mange lejere har kun hunde? Hvor mange lejere har kun katte? Hvor mange lejere har hverken hunde eller katte?

Af de 52 skolebørn spiller 23 volleyball og 35 basketball, og 16 spiller både volleyball og basketball. Resten dyrker ikke nogen af disse sportsgrene. Hvor mange skolebørn dyrker ikke nogen af disse sportsgrene?

Der er en cirkel på billedet EN skildrer alle universitetsansatte, der kender engelsk sprog, cirkel N – der kan tysk og kreds F - Fransk. Hvor mange universitetsansatte kender: a) 3 sprog; b) engelsk og tysk; c) Fransk? Hvor mange universitetsansatte er der? Hvor mange af dem taler ikke fransk?

I international konference 120 personer deltog. Af disse taler 60 russisk, 48 taler engelsk, 32 taler tysk, 21 taler russisk og tysk, 19 taler engelsk og tysk, 15 taler russisk og engelsk, og 10 personer talte alle tre sprog. Hvor mange konferencedeltagere taler ikke nogen af disse sprog?

82 elever synger i koret og øver sig i dans. rytmisk gymnastik Der er 32 elever, og 78 elever synger i koret og dyrker rytmisk gymnastik. Hvor mange elever synger i et kor, danser og dyrker rytmisk gymnastik hver for sig, hvis man ved, at hver elev kun laver én ting?

Hver familie, der bor i vores hus, abonnerer på enten en avis eller et blad, eller begge dele. 75 familier abonnerer på en avis, og 27 familier abonnerer på et magasin, og kun 13 familier abonnerer på både et magasin og en avis. Hvor mange familier bor i vores hus?

"Metode til datajustering".

Der er 29 blomster i 3 små og 4 store buketter, og 35 blomster i 5 små og 4 store buketter. Hvor mange blomster er der i hver buket individuelt?

Massen af 2 chokoladebarer - store og små - er 120 g, og 3 store og 2 små - 320 g. Hvad er massen af hver bar?

5 æbler og 3 pærer vejer 810 g, og 3 æbler og 5 pærer vejer 870 g. Hvor meget vejer et æble? En pære?

Fire ællinger og fem gæslinger vejer 4 kg 100 g, fem ællinger og fire gæslinger vejer 4 kg. Hvor meget vejer en ælling?

For en hest og to køer gives 34 kg hø dagligt, og for to heste og en ko - 35 kg hø. Hvor meget hø gives til en hest og hvor meget til en ko?

3 røde terninger og 6 blå terninger koster 165 tenge rubler. Desuden er fem røde 95 tenge dyrere end to blå. Hvor meget koster hver terning?

2 skitsebøger og 3 frimærkealbum koster sammen 160 rubler, og 3 skitsebøger koster 45 rubler. dyrere end to frimærkealbum.

"Tæller".

Seryozha besluttede at give sin mor en buket blomster (roser, tulipaner eller nelliker) til hendes fødselsdag og lægge dem enten i en vase eller i en kande. På hvor mange måder kan han gøre dette?

Hvor mange trecifrede tal kan du lave 0, 1, 3, 5 ud af tallene, hvis tallene i tallet ikke gentages?

Onsdag i 5. klasse er der fem lektioner: matematik, idræt, historie, russisk og naturfag. Hvor mange forskellige muligheder Kan du lave en tidsplan for onsdag?

"En gammel måde at løse problemer, der involverer blanding af stoffer."

Hvordan blander man olier? En bestemt person havde to typer olie til salg: den ene til en pris på 10 Hryvnia pr. spand, den anden til 6 Hryvnia pr. spand. Han ønskede at lave olie af disse to olier, blande dem, hvilket kostede 7 Hryvnia pr. spand. Hvilke dele af disse to olier skal du tage for at få en spand olie til en værdi af 7 Hryvnia?

Hvor meget karamel skal du tage til en pris på 260 tenge pr. 1 kg og til en pris på 190 tenge pr. 1 kg for at lave 21 kg af blandingen til en pris på 210 tenge pr. kg?

Nogen har tre varianter af te - Ceylon for 5 Hryvnia pr. pund, indisk for 8 Hryvnia pr. pund og kinesisk for 12 Hryvnia pr. pund. I hvilke proportioner skal disse tre varianter blandes for at få te til en værdi af 6 Hryvnia pr. pund?

Nogen har sølv af forskellige standarder: en er 12. standard, en anden er 10. standard, den tredje er 6. standard. Hvor meget sølv skal du tage for at få 1 pund 9. standard sølv?

Købmanden købte 138 arshins af sort og blå klud for 540 rubler. Spørgsmålet er, hvor mange arshins købte han for begge, hvis den blå kostede 5 rubler? for en arshin og sort - 3 rubler?

Forskellige opgaver.

Til nytårsgaver købte vi 87 kg frugt, og der var 17 kg flere æbler end appelsiner. Hvor mange æbler og hvor mange appelsiner købte du?

Ved nytårstræet var der 3 gange flere snefnug til børn i karnevalskostumer end i persillekostumer. Hvor mange børn var der i persillekostumer, hvis der var 12 færre af dem?

Masha modtog 2 gange færre nytårshilsener end Kolya. Hvor mange lykønskninger modtog hver person, hvis der var 27 i alt (9 og 18).

Der blev indkøbt 28 kg slik til nytårspræmier. Slik "Swallow" bestod af 2 dele, "Muse" - 3 dele, "Romashka" - 2 dele. Hvor mange slik af hver type købte du (8, 8, 12).

Der er 2004 kg mel på lageret. Kan det puttes i poser, der vejer 9 kg og vejer 18 kg?

Der er 5 forskellige kopper og 3 forskellige underkopper i butikken "Alt til te" På hvor mange måder kan du købe en kop og underkop?

En hest spiser en høstak på 2 dage, en ko på 3, et får på 6. Hvor mange dage vil det tage dem at spise høstakken, hvis de spiser den sammen?

Se dokumentets indhold
"lektionsoversigt arif sp"

"Aritmetiske metoder til løsning af ordproblemer."

For en matematikstuderende er det ofte mere nyttigt at løse det samme problem på tre forskellige måder end at løse tre eller fire forskellige problemer. Ved at løse et problem på forskellige måder kan du ved sammenligning finde ud af, hvilken der er kortere og mere effektiv. Sådan udvikles erfaring.

W.W. Sawyer

Formålet med lektionen: brug den viden, der er erhvervet i tidligere lektioner, vis fantasi, intuition, fantasi og opfindsomhed til at løse testproblemer på forskellige måder.

Lektionens mål: pædagogisk: ved at analysere disse problemer, observere, hvad problemerne har til fælles fra en matematikers synspunkt, hvad er forskellene, finde en ekstraordinær måde at løse problemer på, skabe en sparegris af teknikker til at løse problemer, lære at løse et problem på forskellige måder.

Udviklingsmæssige: føler behov for selvrealisering, når du befinder dig i en bestemt rollesituation.

Uddannelsesmæssigt: udvikle personlige egenskaber, danne en kommunikativ kultur.

Læringsværktøjer: en simulator af opgaver grupperet under samme tema "Aritmetiske metoder til problemløsning", opgaver til arbejde i gruppe og til individuelt arbejde.

UDVIKLING AF LEKTIONEN.

JEG. Organisatorisk øjeblik

Hej gutter. Sæt dig ned. I dag har vi en lektion om emnet "Aritmetiske metoder til løsning af ordproblemer."

II. Opdatering af viden.

Matematik er en af de gamle og vigtige videnskaber. Folk brugte meget matematisk viden i oldtiden – for tusinder af år siden. De var nødvendige for købmænd og bygherrer, krigere og landinspektører, præster og rejsende.

Og nu om dage er der ikke et eneste menneske, der kan klare sig i livet uden et godt kendskab til matematik. Grundlaget for en god matematikforståelse er evnen til at tælle, tænke, ræsonnere og finde vellykkede løsninger på problemer.

I dag vil vi se på aritmetiske metoder til løsning af ordproblemer, vi vil analysere gamle problemer, der er kommet ned til os fra forskellige lande og tider, opgaver om udligning, sammenligning med sum og forskel og andre.

Formålet med lektionen er at involvere dig i fantastiske verden skønhed, rigdom og mangfoldighed – en verden af interessante udfordringer. Og derfor præsentere dig for nogle regnemetoder, der fører til meget elegante og lærerige løsninger.

En opgave er næsten altid en søgning, opdagelsen af nogle egenskaber og sammenhænge, og midlerne til at løse den er intuition og formodninger, lærdom og beherskelse af matematiske metoder.

De vigtigste i matematik er aritmetiske og algebraiske metoder til at løse problemer.

At løse et problem ved hjælp af den aritmetiske metode betyder at finde svaret på problemets krav ved at udføre aritmetiske operationer over tallene.

Med den algebraiske metode findes svaret på spørgsmålet om problemet som et resultat af at sammensætte og løse ligningen.

Det er ingen hemmelighed, at en person, der ejer forskellige værktøjer og bruger dem afhængigt af arten af det arbejde, der udføres, opnår væsentligt bedre resultater end en person, der kun ejer ét universelt værktøj.

Der er mange aritmetiske metoder og ikke-standardteknikker til at løse problemer. I dag vil jeg præsentere dig for nogle af dem.

1. Metode til at løse ordproblemer "Sammenligning af tal ved sum og forskel."

Opgave : Bedstemor om efteråret med sommerhus samlet 51 kg gulerødder og kål. Der var 15 kg mere kål end gulerødder. Hvor mange kilo gulerødder og hvor mange kilo kål samlede bedstemor?

Spørgsmål, der svarer til punkterne i algoritmen til løsning af problemer i denne klasse.

1. Find ud af, hvilke mængder der diskuteres i opgaven

Om antallet af gulerødder og kål, som bedstemor samlede, sammen og hver for sig.

2. Angiv værdierne af, hvilke mængder der skal findes i opgaven.

Hvor mange kilo gulerødder og hvor mange kilo kål samlede bedstemor?

3. Nævn sammenhængen mellem mængderne i opgaven.

Opgaven taler om summen og forskellen af mængder.

4. Navngiv summen og forskellen af værdierne af mængder.

Sum – 51 kg, forskel – 15 kg.

5. Ved at udligne mængderne, find den dobbelte værdi af den mindre mængde (træk forskellen af mængderne fra summen af mængderne).

51 – 15 = 36 (kg) – fordoble mængden af gulerødder.

6. Kend den fordoblede værdi, find den mindste værdi (divider den fordoblede værdi med to).

36: 2 = 18 (kg) – gulerødder.

7. Brug forskellen mellem mængderne og værdien af den mindre mængde, find værdien af den større mængde.

18 + 15 = 33 (kg) – kål. Svar: 18 kg, 33 kg. Opgave.Der er fasaner og kaniner i buret. I alt 6 hoveder og 20 ben. Hvor mange kaniner og hvor mange fasaner er der i et bur ?
Metode 1. Udvælgelsesmetode:
2 fasaner, 4 kaniner.
Tjek: 2 + 4 = 6 (mål); 4 4 + 2 2 = 20 (fod).
Dette er udvælgelsesmetoden (fra ordet "at vælge"). Fordele og ulemper ved denne løsningsmetode (svært at vælge, hvis tallene er store) Der er således et incitament til at søge efter mere bekvemme løsningsmetoder.
Diskussionsresultater: udvælgelsesmetoden er praktisk, når man arbejder med små tal, når værdierne stiger, bliver den irrationel og arbejdskrævende.
Metode 2. Gennemfør søgning af muligheder.

En tabel er udarbejdet:

Svar: 4 kaniner, 2 fasaner.
Navnet på denne metode er "fuld". Diskussionsresultater: den udtømmende søgemetode er praktisk, men for store værdier er den ret arbejdskrævende.
Metode 3. Gættemetode.

Lad os tage et gammelt kinesisk problem:

Buret indeholder et ukendt antal fasaner og kaniner. Det er kendt, at hele cellen indeholder 35 hoveder og 94 ben. Find ud af antallet af fasaner og antallet af kaniner.(Opgave fra den kinesiske matematiske bog "Kiu-Chang", kompileret 2600 f.Kr.).

Her er en dialog fundet i de gamle mestre i matematik. - Lad os forestille os, at vi sætter en gulerod på buret, som fasanerne og kaninerne sidder i. Alle kaniner vil stå på bagbenene for at nå guleroden. Hvor mange fødder vil være på jorden i dette øjeblik?

Men i problemformuleringen er der givet 94 ben, hvor er resten?

De resterende ben tælles ikke med - det er kaninernes forben.

Hvor mange er der?

24 (94 – 70 = 24)

Hvor mange kaniner er der?

12 (24: 2 = 12)

Hvad med fasaner?

23 (35- 12 = 23)

Navnet på denne metode er "mangelgættemetode." Prøv selv at forklare dette navn (dem, der sidder i et bur, har 2 eller 4 ben, og vi antog, at alle har det mindste af disse tal - 2 ben).

En anden måde at løse det samme problem på. - Lad os prøve at løse dette problem ved hjælp af "overskudsantagelsesmetoden": Lad os forestille os, at fasaner nu har to ben mere, så vil der være alle ben 35 × 4 = 140.

Men ifølge problemets betingelser er der kun 94 ben, dvs. 140 – 94= 46 ekstra ben, hvis er de? Det er fasanernes ben, det har de ekstra par ben Betyder, fasaner vilje 46: 2 = 23, derefter kaniner 35 -23 = 12.
Diskussionsresultater: antagelsesmetoden har to muligheder- Af mangel og overskud; Sammenlignet med tidligere metoder er det mere bekvemt, fordi det er mindre arbejdskrævende.
Opgave. En karavane af kameler går langsomt gennem ørkenen, der er 40 af dem i alt Hvis du tæller alle puklerne på disse kameler, får du 57 pukler. Hvor mange er der i denne campingvogn dromedar kameler? 1 vej. Løs ved hjælp af ligning.

Antal pukler pr. person Antal kameler Samlet pukler

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

Metode 2.

- Hvor mange pukler kan kameler have?

(der kan være to eller en)

Lad os sætte en blomst på hver kamels pukkel.

- Hvor mange blomster skal du bruge? (40 kameler – 40 blomster)

- Hvor mange pukler bliver der tilbage uden blomster?

(Der vil være sådan 57-40=17 . Denne anden pukler Baktriske kameler).

Hvor mange Bakteriske kameler? (17)

Hvor mange dromedar kameler? (40-17=23)

Hvad er svaret på problemet? ( 17 og 23 kameler).

Opgave.I garagen var der biler og motorcykler med sidevogne, 18 af dem tilsammen Bilerne og motorcyklerne havde 65 hjul. Hvor mange motorcykler med sidevogn var der i garagen, hvis biler har 4 hjul og motorcykler har 3 hjul?

1 vej. Brug af ligningen:

Antal hjul til 1 Antal hjul i alt

Mash. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

Lad os omformulere problemet : Røverne, der kom til garagen, hvor 18 biler og motorcykler med sidevogne holdt, fjernede tre hjul fra hver bil og motorcykel og tog dem væk. Hvor mange hjul er der tilbage i garagen, hvis der var 65 af dem? Tilhører de en bil eller en motorcykel?

3×18=54 – det er hvor mange hjul røverne tog væk,

65- 54 = 11 – så mange hjul tilbage (biler i garagen),

18 - 11 = 7 motorcykler.

Svar: 7 motorcykler.

På egen hånd:

Der stod 23 biler og motorcykler med sidevogne i garagen. Biler og motorcykler har 87 hjul. Hvor mange motorcykler er der i garagen, hvis hver sidevogn har et reservehjul?

- Hvor mange hjul har biler og motorcykler tilsammen? (4×23=92)

- Hvor mange reservehjul satte du i hver klapvogn? (92 - 87= 5)

- Hvor mange biler er der i garagen? (23 - 5=18).

Opgave.I vores klasse kan du læse engelsk eller franske sprog(valgfri). Det er kendt, at 20 skolebørn læser engelsk, og 17 læser fransk I alt er der 32 elever i klassen. Hvor mange studerende læser både engelsk og fransk?

Lad os tegne to cirkler. I den ene vil vi registrere antallet af skolebørn, der studerer engelsk, i den anden - skolebørn, der studerer fransk. Siden i henhold til betingelserne for problemet der er studerende, der studererbegge sprog: engelsk og fransk, så vil cirklerne have en fælles del. Betingelserne for dette problem er ikke så lette at forstå. Lægger man 20 og 17 sammen, får man mere end 32. Det forklares med, at vi har talt nogle skolebørn her to gange - nemlig dem, der læser begge sprog: engelsk og fransk. Så (20 + 17) – 32 = 5 Eleverne lærer begge sprog: engelsk og fransk.

engelsk Fran.

20 lektioner 17 skole

(20 + 17) – 32 = 5 (elever).

Skemaer, der ligner den, vi brugte til at løse problemet, kaldes i matematik Euler-cirkler (eller diagrammer). Leonhard Euler (1736) født i Schweiz. Men i mange år boede og arbejdede i Rusland.

Opgave.Hver familie, der bor i vores hus, abonnerer på enten en avis eller et blad, eller begge dele. 75 familier abonnerer på en avis, og 27 familier abonnerer på et magasin, og kun 13 familier abonnerer på både et magasin og en avis. Hvor mange familier bor i vores hus?

Aviser Magasiner

Billedet viser, at der bor 89 familier i huset.

Opgave.120 personer deltog i den internationale konference. Af disse taler 60 russisk, 48 taler engelsk, 32 taler tysk, 21 taler russisk og tysk, 19 taler engelsk og tysk, 15 taler russisk og engelsk, og 10 personer talte alle tre sprog. Hvor mange konferencedeltagere taler ikke nogen af disse sprog?

Russisk 15 engelsk

21 10 19

tysk

Løsning: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (personer).

Opgave. Tre killinger og to hvalpe vejer 2 kg 600 g, og to killinger og tre hvalpe vejer 2 kg 900 g. Hvor meget vejer hvalpen?

3 killinger og 2 hvalpe – 2 kg 600 g

2 killinger og 3 hvalpe – 2 kg 900 g.

Det følger af betingelsen, at 5 killinger og 5 hvalpe vejer 5 kg 500 g. Det betyder, at 1 killing og 1 hvalp vejer 1 kg 100 g

2 katte og 2 hvalpe. vejer 2 kg 200 g

Lad os sammenligne betingelserne -

2 killinger + 3 hvalpe = 2 kg 900 g

2 killinger + 2 hvalpe = 2 kg 200 g, vi ser at hvalpen vejer 700 g.

Opgave.For en hest og to køer gives 34 kg hø dagligt, og for to heste og en ko - 35 kg hø. Hvor meget hø gives til en hest og hvor meget til en ko?

Lad os skrive en kort redegørelse for problemet:

1 hest og 2 køer -34kg.

2 heste og 1 ko -35kg.

Er det muligt at vide, hvor meget hø der skal bruges til 3 heste og 3 køer?

(til 3 heste og 3 køer – 34+35=69 kg)

Er det muligt at finde ud af, hvor meget hø der skal bruges til en hest og en ko? (69: 3 – 23 kg)

Hvor meget hø har en hest brug for? (35-23=12 kg)

Hvor meget hø har en ko brug for? (23 -13 =11 kg)

Svar: 12 kg og 11 kg.

Opgave.Madina besluttede at spise morgenmad i skolens cafeteria. Studer menuen og svar, på hvor mange måder kan hun vælge en drink og en konfekturevare?

	Konfekture
	Ostekage

Lad os antage, at Madina vælger te som drink. Hvilket konfektureprodukt kan hun vælge til te? (te - cheesecake, te - småkager, te - bolle)

Hvor mange måder? (3)

Hvad hvis det er kompot? (også 3)

Hvordan ved du, hvor mange måder Madina kan bruge til at vælge sin frokost? (3+3+3=9)

Ja, du har ret. Men for at gøre det lettere for os at løse dette problem, vil vi bruge grafer. Ordet "graf" betyder i matematik et billede med flere punkter tegnet, hvoraf nogle er forbundet med linjer. Lad os betegne drinks og konfektureprodukter med prikker og forbinde parrene af de retter, som Madina vælger.

te mælkekompot

cheesecake cookies bolle

Lad os nu tælle antallet af linjer. Der er 9 af dem. Det betyder, at der er 9 måder at vælge retter på.

Opgave.Seryozha besluttede at give sin mor en buket blomster (roser, tulipaner eller nelliker) til hendes fødselsdag og lægge dem enten i en vase eller i en kande. På hvor mange måder kan han gøre dette?

Hvor mange måder tror du? (3)

Hvorfor? (3 farver)

Ja. Men der er også forskellige slags fade: enten en vase eller en kande. Lad os prøve at fuldføre opgaven grafisk.

vasekande

roser tulipaner nelliker

Tæl linjerne. Hvor mange er der? (6)

Så hvor mange måder skal Seryozha vælge? (6)

Lektionsopsummering.

I dag har vi løst en række problemer. Men arbejdet er ikke afsluttet, der er et ønske om at fortsætte det, og jeg håber, at dette vil hjælpe dig med at løse ordproblemer med succes.

Det er kendt, at problemløsning er praktisk kunst, svarende til svømning eller klaverspil. Du kan kun lære det ved at efterligne gode eksempler, øver sig konstant.

Disse er kun de enkleste af komplekse problemer, der forbliver et emne til fremtidig undersøgelse. Men der er stadig mange flere af dem, end vi kunne løse. Og hvis du i slutningen af lektionen kan løse problemer "bag siderne i undervisningsmaterialet", så kan vi overveje, at jeg har fuldført min opgave.

Kendskab til matematik hjælper med at løse visse livsproblem. I livet bliver du nødt til regelmæssigt at løse visse problemer, for dette skal du udvikle dig intellektuelle evner, takket være hvilket internt potentiale udvikler sig, udvikles evnen til at forudse situationen, lave forudsigelser og træffe ikke-standardiserede beslutninger.

Jeg vil slutte lektionen af med ordene: ”Hver godt løst matematisk problem giver mental nydelse." (G. Hesse).

Er du enig i dette?

Lektier .

Følgende opgave vil blive givet hjemme: ved at bruge teksterne til løste problemer som et eksempel, løse opgave nr. 8, 17, 26 ved hjælp af de metoder, vi har studeret.

Generelle noter om løsning af problemer ved hjælp af den aritmetiske metode.

Problemer med at finde ubekendte baseret på resultaterne af handlinger.

Problemer med proportionaldeling.

Problemer, der involverer procenter og dele.

Problemer løst omvendt.

1. Regnemetoden er den vigtigste metode til at løse ordopgaver i folkeskolen. Det finder også sin anvendelse i mellemledelsen. gymnasiet. Denne metode giver dig mulighed for bedre at forstå og værdsætte vigtigheden og betydningen af hvert trin i arbejdet med en opgave.

I nogle tilfælde er det meget enklere at løse et problem ved hjælp af den aritmetiske metode end at bruge andre metoder.

Selvom den fængslende med sin enkelhed og tilgængelighed, er regnemetoden samtidig ret kompleks, og at mestre teknikkerne til at løse problemer ved hjælp af denne metode kræver seriøst og omhyggeligt arbejde. De mange forskellige typer problemer tillader os ikke at danne en universel tilgang til at analysere problemer og finde måder at løse dem på: problemer, selv kombineret i én gruppe, har helt andre måder at løse dem på.

2 . Til opgaverne på finde ukendte ved deres forskel og forhold Disse inkluderer problemer, hvor det ved hjælp af den kendte forskel og kvotient af to værdier af en bestemt mængde er påkrævet at finde disse værdier.

Algebraisk model:

Svaret findes ved hjælp af formlerne: X= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

Eksempel. I hurtigtogets reserverede sædevogne er der 432 flere passagerer end i kupévognene. Hvor mange passagerer er der i reserverede sæde- og kupévogne separat, hvis der er 4 gange færre passagerer i kupévogne end i reserverede sædevogne?

Løsning. En grafisk model af problemet er vist i fig. 4.

Ris. 4

Vi vil tage antallet af passagerer i kupébiler som 1 del. Så kan du finde ud af, hvor mange dele, der er pr. antal passagerer i biler med reserveret sæde, og så hvor mange dele, der er pr. 432 passagerer. Herefter kan du bestemme antallet af passagerer, der udgør 1 del (placeret i kupébiler). Ved at vide, at der er 4 gange flere passagerer i reserverede sædevogne, kan vi finde deres antal.

1  4 = 4 (timer) – regnskab for passagerer i vogne med reserveret sæde;

4 – 1 = 3 (h.) – tegner sig for forskellen mellem antallet af passagerer i reserverede sæde- og kupévogne;

432: 3 = 144 (s.) – i kupébiler;

144  4 = 576 (s.) – i reserverede sædevogne.

Dette problem kan verificeres ved at løse det på en anden måde, nemlig:

1  4 = 4(h);

4 - 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (s.);

144 + 432 = 576 (s.).

Svar: der er 144 passagerer i kupévogne og 576 i reserverede sædevogne.

Til opgaverne på finde ukendte fra to rester eller to forskelle, omfatter problemer, hvor to direkte eller omvendt proportionale mængder betragtes, således at to værdier af en mængde og forskellen mellem de tilsvarende værdier af en anden mængde er kendt, og det er påkrævet at finde værdierne af denne mængde selv.

Algebraisk model:

Svarene findes ved hjælp af formlerne:

Eksempel. To tog kørte med samme hastighed - det ene 837 km, det andet 248 km, og det første var på vejen 19 timer længere end det andet. Hvor mange timer kørte hvert tog?

Løsning. En grafisk model af problemet er vist i figur 5.

Ris. 5

For at besvare spørgsmålet om problemet, hvor mange timer var dette eller det tog på vej, skal du kende afstanden, det rejste og hastigheden. Afstanden er angivet i tilstanden. For at finde ud af hastigheden skal du kende afstanden og den tid, hvor denne distance blev tilbagelagt. Betingelsen siger, at det første tog tog 19 timer længere, og afstanden det kørte i løbet af denne tid kan findes. Han gik i 19 timer ekstra - naturligvis tilbagelagde han i denne tid også en ekstra distance.

837 – 248 = 589 (km) – det første tog kørte så mange kilometer mere;

589: 19 = 31 (km/t) – det første togs hastighed;

837: 31 = 27 (timer) – det første tog var på vej;

4) 248: 31 = 8 (timer) – det andet tog var på vej.

Lad os tjekke løsningen på problemet ved at etablere en overensstemmelse mellem dataene og de tal, der blev opnået ved løsning af problemet.

Efter at have fundet ud af, hvor længe hvert tog var på vejen, vil vi finde ud af, hvor mange timer mere det første tog var på vejen end det andet: 27 – 8 = 19 (timer). Dette nummer svarer til det i tilstanden. Derfor blev problemet løst korrekt.

Dette problem kan verificeres ved at løse det på en anden måde. Alle fire spørgsmål og de første tre handlinger forbliver de samme.

4) 27 –19 = 8 (timer).

Svar: det første tog tog 31 timer at køre, det andet tog tog 8 timer.

Problemer med at finde tre ukendte fra tre summer af disse ukendte, taget i par:

Algebraisk model:

Svaret findes ved hjælp af formlerne:

x =(A -b + c)/2, y = (a +b – c)/2, z = (b + med --en)/ 2.

Eksempel. engelsk og tyske sprog 116 skolebørn læser tysk og spanske sprog 46 studerende studerer, og 90 studerende studerer engelsk og spansk. Hvor mange studerende studerer engelsk, tysk og spansk separat, hvis det er kendt, at hver elev kun studerer ét sprog?

Løsning. En grafisk model af problemet er vist i figur 6.

Hvor mange elever studerer hvert sprog?

Den grafiske model af problemet viser: Hvis vi lægger antallet af skolebørn sammen i betingelsen (116 + 90 + 46), får vi det dobbelte af antallet af skolebørn, der studerer engelsk, tysk og spansk. At dividere det med to, finder vi samlet antal skolebørn. For at finde antallet af skolebørn, der studerer engelsk, er det nok at trække antallet af skolebørn, der studerer tysk og spansk, fra dette tal. På samme måde finder vi de resterende nødvendige tal.

Lad os nedskrive beslutningen om handlinger med forklaringer:

116 + 90 + 46 = 252 (skolebørn) – dobbelt så mange skolebørn, der studerer sprog;

252: 2 = 126 (skole) – studere sprog;

126 – 46 = 80 (skole) – læs engelsk;

126 – 90 = 36 (skole) – læs tysk;

126 – 116 = 10 (skole) – lær spansk.

Dette problem kan verificeres ved at løse det på en anden måde.

116 – 46 = 70 (skolebørn) – så mange flere skolebørn læser engelsk end spansk;

90 + 70 = 160 (skolebørn) – dobbelt så mange skolebørn, der studerer engelsk;

160: 2 = 80 (skole) – lær engelsk;

90 – 80 = 10 (skole) – lær spansk;

116 – 80 = 36 (skole) – læs tysk.

Svar: 80 skolebørn studerer engelsk, 36 skolebørn studerer tysk, og 10 skolebørn studerer spansk.

3. Proportionaldelingsproblemer omfatter problemer, hvor en given værdi af en bestemt mængde skal opdeles i dele, der er proportionale med givne tal. I nogle af dem præsenteres delene eksplicit, mens disse dele i andre skal skelnes ved at tage en af værdierne af denne mængde som én del og bestemme, hvor mange sådanne dele, der står for dens andre værdier.

Der er fem typer af proportional divisionsproblemer.

1) Problemer, der involverer direkte opdeling af et tal i deleproportional med en række af hele eller brøktal

Problemer af denne type omfatter opgaver, hvor antallet EN X 1, X 2 , x 3, ..., X n direkte proportional med tallene EN 1 , A 2 , A 3 , ..., A n .

Algebraisk model:

Svaret findes ved hjælp af formlerne:

Eksempel. Rejseselskabet har fire fritidscentre, som har bygninger med samme kapacitet. På det 1. rekreationscenters område er der 6 bygninger, 2. - 4 bygninger, 3. - 5 bygninger, 4. - 7 bygninger. Hvor mange campister kan hver base rumme, hvis alle 4 baser kan rumme 2.112 personer?

Løsning. En oversigt over opgaven er vist i figur 7.

Ris. 7

For at besvare spørgsmålet om problemet, hvor mange feriegæster der kan indkvarteres på hver base, skal du vide, hvor mange feriegæster der kan indkvarteres i en bygning, og hvor mange bygninger der er placeret på hver bases territorium. Antallet af bygninger på hver base er angivet i tilstanden. For at finde ud af, hvor mange feriegæster, der kan indkvarteres i en bygning, skal du vide, hvor mange feriegæster, der kan indkvarteres på alle 4 baser (dette er angivet i tilstanden), og hvor mange bygninger der er placeret på alle 4 basers territorium. Sidstnævnte kan bestemmes ved at vide ud fra betingelsen, hvor mange bygninger der er placeret på hver bases territorium.

Lad os nedskrive beslutningen om handlinger med forklaringer:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (k.) - beliggende på 4 basers territorium;

2112: 22 = 96 (timer) – kan placeres i én bygning;

96  6 = 576 (h) – kan placeres på første base;

96  4 = 384 (h) – kan placeres på anden base;

96  5 = 480 (h) – kan placeres på tredje base;

96  7 = 672 (h) – kan placeres på fjerde base.

Undersøgelse. Vi beregner, hvor mange feriegæster, der kan indkvarteres på 4 baser: 576 + 384 + 480 + 672 = 2.112 (timer). Der er ingen uoverensstemmelse med opgavebetingelserne. Problemet blev løst korrekt.

Svar: den første base kan rumme 576 feriegæster, den anden - 384 feriegæster, den tredje - 480 feriegæster, den fjerde - 672 feriegæster.

2) Problemer, der involverer opdeling af et tal i dele omvendt proportional med en række heltal eller brøker

Disse omfatter opgaver, hvor nummeret EN(værdien af en vis mængde) skal opdeles i dele x 1 jeg , x 2 , x 3 jeg , ..., X" omvendt proportional med tal EN 1b EN 2 , A 3 ,..., A n .

Algebraisk model:

eller

x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = -en 2 -en 3 ...EN n :EN 1 EN 3 ...EN n :EN 1 EN 2 EN 4 ...EN n :...:EN 1 EN 2 ...EN n -1

Svaret findes ved hjælp af formlerne:

Hvor S = EN 2 EN 3 ...a„ +-en l -en jeg ... -en n + a ] EN 2 EN 4 ...EN n + ... + a 1 EN 2 ...EN n -1.

Eksempel. I fire måneder udgjorde pelsfarmens indtægter fra salg af pelse 1.925.000 rubler, og efter måned blev de modtagne penge fordelt i omvendt forhold til tallene 2, 3, 5, 4. Hvad er gårdens indkomst i hver måned for sig?

Løsning. For at bestemme den i betingelsen nævnte indkomst angives den samlede indkomst for fire måneder, det vil sige summen af de fire påkrævede tal, samt forholdet mellem de påkrævede tal. Den nødvendige indkomst er omvendt proportional med tallene 2, 3, 5, 4.

Lad os betegne de nødvendige indkomster henholdsvis gennem x, X 2 , X 3 , X 4 . Derefter kan problemet kort skrives som vist i figur 8.

Ris. 8

Ved at kende antallet af dele pr. hvert af de nødvendige tal, vil vi finde antallet af dele indeholdt i deres sum. Baseret på den givne samlede indkomst i fire måneder, det vil sige baseret på summen af de nødvendige tal og antallet af dele indeholdt i dette beløb, finder vi ud af værdien af en del og derefter den nødvendige indkomst.

Lad os nedskrive beslutningen om handlinger med forklaringer:

1. De krævede indkomster er omvendt proportionale med tallene 2, 3, 5, 4, hvilket betyder, at de er direkte proportionale med tallene omvendt til dataene, det vil sige, at der er relationer . Lad os erstatte disse forhold i brøktal med forhold mellem heltal:

2. At vide det X indeholder 30 lige dele, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, lad os finde ud af, hvor mange dele der er indeholdt i deres sum:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (timer).

3. Hvor mange rubler er der for en del?

1.925.000: 77 = 25.000 (r.).

4. Hvad er gårdens indkomst i den første måned?

25.000 30 = 750.000 (r.).

5. Hvad er landbrugets indkomst i den anden måned?

25.000 20 = 500.000 (r.).

6. Hvad er landbrugets indkomst i den tredje måned?

25.000–12 = 300.000 (r.).

7. Hvad er landbrugets indkomst i den fjerde måned?

25.000–15 = 375.000 (r.).

Svar: i den første måned var gårdens indkomst 750.000 rubler, i den anden - 500.000 rubler, i den tredje - 300.000 rubler, i den fjerde - 375.000 rubler.

3) Problemer med at opdele et tal i dele, når separate forhold er givet for hvert par nødvendige tal

Problemer af denne type omfatter de opgaver, hvor antallet EN(værdien af en vis mængde) skal opdeles i dele x 1, X 2 , x 3, ..., X", når en række af relationer er givet for de nødvendige tal, taget i par. Algebraisk model:

x 1: X 2 = a 1 : b 1, X 2 : X 3 = a 2 : b 2, x 3 : X 4 = a 3 : b 3 , ..., X n-1 : X n = a n -1 : b n-1 .

n = 4. Algebraisk model:

X X :X 2 = a 1 : b 1, X 2 :X 3= EN 2 : b 2, X 3 : X 4 = en 3: b 3 .

Så, X 1: X 2 : x 3: X 4 = EN 1 EN 2 EN 3 : b 1 EN 2 EN 3 : b 1 b 2 EN 3 : b 1 b 2 b 3 .

Hvor S = EN 1 EN 2 EN 3 + b 1 EN G EN 3 + b 1 b 2 EN 3 + b 1 b 2 b 3

Eksempel. De tre byer har 168.000 indbyggere. Antallet af indbyggere i den første og anden by er i forholdet , og den anden og tredje by – i forhold til . Hvor mange indbyggere er der i hver by?

Løsning. Lad os angive de nødvendige befolkningstal tilsvarende med X 1 , X 2 , X 3 . Derefter kan problemet kort skrives som vist i figur 9.

Ris. 9

For at bestemme antallet af indbyggere angives antallet af indbyggere i tre byer, det vil sige summen af de tre nødvendige tal, samt individuelle forhold mellem de nødvendige tal. Ved at erstatte disse relationer med en række relationer udtrykker vi antallet af indbyggere i de tre byer i lige dele. Ved at kende antallet af dele pr. hvert af de nødvendige tal, vil vi finde antallet af dele indeholdt i deres sum. Fra det givne samlede antal indbyggere i tre byer, det vil sige fra summen af de krævede tal og fra antallet af dele indeholdt i denne sum, finder vi ud af størrelsen på en del og derefter det nødvendige antal indbyggere.

Lad os nedskrive beslutningen om handlingerne med forklaringer.

1. Erstat forholdet mellem brøktal med forholdet mellem heltal:

Vi matcher antallet af indbyggere i den anden by med tallet 15 (det mindste fælles multiplum af tallene 3 og 5).

Vi ændrer de resulterende relationer i overensstemmelse hermed:

X 1: X 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

Ud fra individuelle relationer skaber vi en række relationer:

X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) – tallet 168.000 svarer til så mange lige store dele;

3. 168.000: 56 = 3.000 (f.) – pr. del;

4. 3.000 20 = 60.000 (f.) – i den første by;

5. 3.000 15 = 45.000 (f.) – i den anden by;

3.000 21 = 63.000 (f.) - i den tredje by.

Svar: 60.000 indbyggere; 45.000 indbyggere; 63.000 indbyggere.

4) Problemer med at dele et tal i dele proportionalt med to, tre osv. rækker af tal

Problemer af denne type omfatter problemer, hvor nummeret EN(værdien af en vis mængde) skal opdeles i dele X 1, X 2 , X 3 ,..., X n proportional med to, tre, ..., N rækker af tal.

På grund af besværligheden af formlerne til at løse problemet i generel opfattelse Lad os overveje et særligt tilfælde, hvornår n = 3 og N = 2. Lade X 1 X 2 , X 3 direkte proportional med tal EN 1 , EN 2 , EN 3 og omvendt proportional med tallene b 1 , b 2 , b 3 .

Algebraisk model:

(se stk. 1 i dette stykke),

Eksempel. To arbejdere modtog 1.800 rubler. Den ene arbejdede 3 dage i 8 timer, den anden 6 dage i 6 timer. Hvor meget tjente de hver især, hvis de fik lige meget for 1 times arbejde?

Løsning. En oversigt over opgaven er vist i figur 10.

Ris.10

For at finde ud af, hvor meget hver arbejder modtog, skal du vide, hvor mange rubler de betalte for 1 times arbejde, og hvor mange timer hver arbejder arbejdede. For at finde ud af, hvor mange rubler de betalte for 1 times arbejde, skal du vide, hvor meget de betalte for hele arbejdet (givet i tilstanden) og hvor mange timer begge arbejdere arbejdede sammen. For at finde ud af det samlede antal arbejdstimer, skal du vide, hvor mange timer hver person har arbejdet, og hertil skal du vide, hvor mange dage hver person har arbejdet og hvor mange timer om dagen. Disse data er inkluderet i betingelsen.

Lad os nedskrive beslutningen om handlinger med forklaringer:

8  3 = 24 (timer) – den første arbejder arbejdede;

6  6 = 36 (timer) – den anden arbejder arbejdede;

24 + 36 = 60 (timer) – begge arbejdere arbejdede sammen;

1800: 60 = 30 (r.) – arbejdere modtaget for 1 times arbejde;

30  24 = 720 (r.) – tjent af den første arbejder;

30  36 = 1080 (r.) - tjent af den anden arbejder.

Svar: 720 rub.; 1080 rub.5) Problemer med at finde flere numre

Eksempel. i henhold til deres relationer og summen eller forskellen (summen eller forskellen af nogle af dem)

Løsning Skolens administration brugte 49.000 rubler på udstyr til legepladsen, drivhuset og gymnastiksalen. At udstyre en legeplads koster halvt så meget som drivhuse, og drivhuse koster 3 gange mindre end et fitnesscenter og en legeplads tilsammen. Hvor mange penge blev der brugt på udstyr til hver af disse faciliteter?

. Et resumé af opgaven er vist i figur 11.

Ris. 11

Lad os nedskrive beslutningen om handlingerne med forklaringer.

For at finde ud af mængden af penge, der er brugt på udstyret til hver genstand, skal du vide, hvor mange dele af alle pengene, der blev brugt på udstyret til hver genstand, og hvor mange rubler der var for hver del. Antallet af dele af penge, der bruges på udstyret til hvert objekt, bestemmes ud fra problemets betingelser. Efter at have bestemt antallet af dele til udstyret til hvert objekt separat, og derefter finde deres sum, beregner vi værdien af en del (i rubler).

Vi tager som 1 del beløbet brugt på udstyr til legepladsen. Ifølge betingelsen blev der brugt 2 gange mere på drivhusudstyr, det vil sige 1  2 = 2 (h); Der blev brugt 3 gange mere på udstyr til legeplads og idrætshal end til drivhus, det vil sige 2  3 = 6 (timer), derfor blev der brugt 6 – 1 = 5 (timer) på udstyr til idrætshallen.

Der blev brugt 1 del på udstyr til legepladsen, 2 dele til drivhuse, og 5 dele til fitnesscenteret.

Hele strømningshastigheden var 1 + 2 + + 5 = 8 (h).

8 dele svarer til 49.000 rubler, en del er 8 gange mindre end dette beløb: 49.000: 8 = 6.125 (rubler). Derfor blev der brugt 6.125 rubler på udstyr til legepladsen.

Der blev brugt dobbelt så meget på drivhusudstyr: 6.125  2 = 12.250 (r.).

Der blev brugt 5 dele på udstyr til fitnesscentret: 6.125  5 = 30.625 (r.).

Svar: 6.125 rubler; RUB 12.250; 30.625 RUB

Svaret findes ved hjælp af formlerne:

Disse problemer løses ved metoden til at udligne data, metoden til at udligne data og de nødvendige, metoden til at erstatte data samt den såkaldte "antagelse" metode.

Eksempel. På en beklædningsfabrik brugte 24 frakker og 45 jakkesæt 204 m stof, og 24 frakker og 30 jakkesæt brugte 162 m. Hvor meget stof bruges til en dragt og hvor meget til en frakke?

Løsning. Lad os løse problemet ved hjælp af datajusteringsmetoden. Kort beskrivelse af opgaven.

Baseret på ligheden i matematisk betydning og udskifteligheden af forskellige løsningsmetoder, kan alle regnemetoder kombineres i følgende grupper:

1) metode til reduktion til enhed, reduktion til en generel foranstaltning, omvendt reduktion til enhed, metode for relationer;
2) en måde at løse problemer fra "enden";
3) en metode til at eliminere ukendte (erstatning af en ukendt med en anden, sammenligning af ukendte, sammenligning af data, sammenligning af to betingelser ved subtraktion, kombination af to betingelser til én); måde at gætte på;
4) proportional opdeling, lighed eller konstatering af dele;
5) en metode til at transformere et problem til et andet (dekomponere et komplekst problem til enkle, forberedende; bringe ukendte til sådanne værdier, som deres forhold bliver kendt for; metoden til at bestemme et vilkårligt tal for en af de ukendte mængder).

Ud over de ovennævnte metoder er det tilrådeligt også at overveje den aritmetiske middelmetode, overskudsmetoden, metoden til at omarrangere det kendte og det ukendte og metoden med "falske" regler.

Da det normalt er umuligt på forhånd at afgøre, hvilken af metoderne der er rationelle, at forudse, hvilken af dem der vil føre til den enkleste og mest forståelige løsning for eleven, bør eleverne introduceres til på forskellige måder og give dem mulighed for at vælge, hvilken de vil bruge, når de skal løse et specifikt problem.

Metode til at ekskludere ukendte

Denne metode bruges, når der er flere ubekendte i problemet. Dette problem kan løses ved hjælp af en af fem teknikker: 1) at erstatte en ukendt med en anden; 2) sammenligning af ukendte; 3) sammenligning af to betingelser ved subtraktion; 4) sammenligning af data; 5) at kombinere flere forhold til én.

Som et resultat af at bruge en af de nævnte teknikker i stedet for flere ukendte, er der kun én, der kan findes. Efter at have beregnet det, bruger de dataene i afhængighedstilstanden til at finde andre ukendte.

Lad os se nærmere på nogle af teknikkerne.

1. Udskiftning af en ukendt med en anden

Navnet på teknikken afslører dens idé: baseret på afhængighederne (flere eller forskelle), der er givet i henhold til betingelserne for problemet, er det nødvendigt at udtrykke alle de ukendte gennem en af dem.

Opgave. Sergei og Andrey har kun 126 frimærker. Sergei har 14 mark mere end Andrey. Hvor mange frimærker havde hver dreng?

Kort beskrivelse af tilstanden:

Sergey -- ? mark, 14 mark mere

Andrey -- ? frimærker

I alt -- 126 frimærker

Løsning 1.

(erstatter en større ukendt med en mindre)
1) Lad Sergei have lige så mange frimærker som Andrey. Så samlet mængde der ville være 126 mark - 14 = 112 (mark).
2) Da drengene nu har samme antal mærker, vil vi finde, hvor mange mærker Andrej havde i begyndelsen: 112: 2 = 56 (stempler).
3) I betragtning af at Sergei har 14 mark mere end Andrey, får vi: 56 + 14 = 70 (marker).

Løsning 2.

(erstatter en mindre ukendt med en større)
1) Lad Andrei have samme antal frimærker som Sergei. Så ville det samlede antal frimærker være 126 + 14 = 140 (frimærker).
2) Da drengene nu har det samme antal mark, lad os finde ud af, hvor mange mark Sergei havde i starten: 140: 2 = 70 (mark).
3) I betragtning af at Andrey havde 14 mark mindre end Sergei, får vi: 70 - 14 = 56 (mark).

Svar: Sergei havde 70 mark, og Andrey havde 56 mark.

For den bedste assimilering af eleverne af metoden til at erstatte en mindre ukendt med en større, før man overvejer den, er det nødvendigt at afklare med eleverne følgende kendsgerning: hvis tallet A flere tal B med C-enheder, og for at sammenligne tallene A og B skal du:

a) subtraher nummer C fra nummer A (så er begge tal lig med nummer B);
b) læg nummer C til nummer B (så er begge tal lig med nummer A).

Elevernes evne til at erstatte en større ukendt med en mindre, og omvendt, bidrager yderligere til udviklingen af evnen til at vælge en ukendt og udtrykke andre størrelser derigennem, når de sammensætter en ligning.

2. Sammenligning af ukendte

Opgave. Der var 188 bøger på fire hylder. På den anden hylde var der 16 færre bøger end på den første, på den tredje - 8 flere end på den anden, og på den fjerde - 12 færre end på den tredje hylde. Hvor mange bøger er der på hver hylde?

Opgaveanalyse

For bedre at forstå afhængighederne mellem fire ukendte mængder (antallet af bøger på hver hylde), bruger vi følgende diagram:

JEG_________________________________

II__________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Ved at sammenligne de segmenter, der skematisk viser antallet af bøger på hver hylde, kommer vi til følgende konklusioner: der er 16 flere bøger på den første hylde end på den anden; på den tredje er der 8 flere end på den anden; på den fjerde - 12 - 8 = 4 (bøger) mindre end på den anden. Derfor kan problemet løses ved at sammenligne antallet af bøger på hver hylde. For at gøre dette skal du fjerne 16 bøger fra den første hylde, 8 bøger fra den tredje og lægge 4 bøger på den fjerde hylde. Så vil der være det samme antal bøger på alle hylder, nemlig som der var på den anden i starten.

1) Hvor mange bøger er der på alle hylder efter operationerne beskrevet i problemanalysen?
188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (bøger)
2) Hvor mange bøger var der på anden hylde?
168: 4 = 42 (bøger)
3) Hvor mange bøger var der på den første hylde?
42 + 16 = 58 (bøger)
4) Hvor mange bøger var der på tredje hylde?
42 + 8 = 50 (bøger)
5) Hvor mange bøger var der på fjerde hylde?
50 -- 12 = 38 (bøger)

Svar: Der var 58, 42, 50 og 38 bøger på hver af de fire hylder.

Kommentar. Du kan invitere eleverne til at løse dette problem på andre måder ved at sammenligne det ukendte antal bøger, der var på den første, eller på den anden eller på den fjerde hylde.

3. Sammenligning af to forhold ved subtraktion

Plottet af problemet, der løses ved denne teknik, inkluderer ofte to proportionale mængder (mængden af varer og dens omkostninger, antallet af arbejdere og det arbejde, de udførte osv.). Betingelsen giver to værdier af en mængde og forskellen på to proportional med dem numeriske værdier af en anden størrelse.

Opgave. For 4 kg appelsiner og 5 kg bananer betalte de 620 rubler, og næste gang for 4 kg appelsiner og 3 kg bananer købt til samme priser betalte de 500 rubler. Hvor meget koster 1 kg appelsiner og 1 kg bananer?

Kort beskrivelse af tilstanden:

4 kg ca. og 5 kg forbud. - 620 rubler,
4 kg ca. og 3 kg forbud. - 500 rub.

1) Lad os sammenligne prisen på to køb. Både første og anden gang købte de samme antal appelsiner til samme pris. Første gang betalte vi mere, fordi vi købte flere bananer. Lad os finde ud af, hvor mange flere kilo bananer, der blev købt første gang: 5 -- 3 = 2 (kg).
2) Lad os finde ud af, hvor meget mere vi betalte første gang end anden gang (det vil sige, vi finder ud af, hvor meget 2 kg bananer koster): 620 - 500 = 120 (gnid.).
3) Find prisen på 1 kg bananer: 120:2 = 60 (gnid.).
4) Ved at kende prisen på det første og andet køb kan vi finde prisen på 1 kg appelsiner. For at gøre dette finder vi først prisen på købte bananer, derefter prisen på appelsiner og derefter prisen på 1 kg. Vi har: (620 -- 60*5): 4 = 80 (gnid).

Svar: prisen på 1 kg appelsiner er 80 rubler, og prisen på 1 kg bananer er 60 rubler.

4. Datasammenligning

Brugen af denne teknik gør det muligt at sammenligne data og anvende subtraktionsmetoden. Du kan sammenligne dataværdier:

1) at bruge multiplikation (sammenligne dem med det mindste fælles multiplum);
2) ved at bruge division (sammenligne dem med de største fælles divisor).

Lad os vise dette med et eksempel.

Opgave. For 4 kg appelsiner og 5 kg bananer betalte de 620 rubler, og næste gang for 6 kg appelsiner og 3 kg bananer købt til samme priser betalte de 660 rubler. Hvor meget koster 1 kg appelsiner og 1 kg bananer?

Kort beskrivelse af tilstanden:

4 kg ca. og 5 kg forbud. - 620 rubler,
6 kg ca. og 3 kg forbud. - 660 rub.

Lad os udligne antallet af appelsiner og bananer ved at sammenligne dem med det mindste fælles multiplum: LCM(4;6) = 12.

Løsning 1.

1) Lad os øge antallet af købte frugter og deres omkostninger i det første tilfælde med 3 gange, og i det andet - med 2 gange. Vi får følgende korte redegørelse for tilstanden:
12 kg ca. og 15 kg forbud. - 1860 rubler,
12 kg ca. og 6 kg forbud. - 1320 rub.
2) Find ud af, hvor mange flere bananer du købte første gang: 15-6 = 9 (kg).
3) Hvor meget koster 9 kg bananer? 1860 -- 1320 = 540 (gnidning).
4) Find prisen på 1 kg bananer: 540: 9 = 60 (gnid).
5) Find prisen på 3 kg bananer: 60 * 3 = 180 (gnid).
6) Find prisen på 6 kg appelsiner: 660 -- 180 = 480 (gnid).
7) Find prisen på 1 kg appelsiner: 480: 6 = 80 (gnid).

Løsning 2.

Lad os udligne antallet af appelsiner og bananer ved at sammenligne dem med den største fælles divisor: GCD (4; 6) = 2.

1) For at udligne antallet af appelsiner købt første gang og anden gang reducerer vi mængden af det købte produkt og dets omkostninger i det første tilfælde med 2 gange, i det andet - med 3 gange. Lad os få et problem, der har følgende korte form for tilstand:
2 kg ca. og 2,5 kg forbud. - 310 rubler,
2 kg ca. og 1 kg forbud. - 220 rub.
2) Hvor mange flere bananer køber de nu: 2,5 -- 1 = 1,5 (kg).
3) Lad os finde ud af, hvor meget 1,5 kg bananer koster: 310 -- 220 = 90 (gnid).
4) Find prisen på 1 kg bananer: 90: 1,5 = 60 (gnid).
5) Find prisen på 1 kg appelsiner: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (gnid).

Svar: prisen på 1 kg appelsiner er 80 rubler, 1 kg bananer er 60 rubler.

Når du løser problemer ved hjælp af teknikken til at sammenligne data, kan du ikke lave sådanne detaljerede analyser og optagelser, men kun registrere de ændringer, der blev foretaget til sammenligning, og skrive dem ned i form af en tabel.

5. At kombinere flere forhold til én

Nogle gange kan du slippe af med unødvendige ubekendte ved at kombinere flere forhold til én.

Opgave. Turisterne forlod lejren og gik først i 4 timer, og cyklede derefter i yderligere 4 timer med en vis konstant hastighed og bevægede sig 60 km væk fra lejren. Anden gang forlod de lejren og cyklede først med samme hastighed i 7 timer, og vendte så i den modsatte retning og befandt sig, når de gik i 4 timer, i en afstand af 50 km fra lejren. Hvor hurtigt kørte turisterne på deres cykler?

Der er to ubekendte i problemet: hastigheden, hvormed turisterne kørte på deres cykler, og hastigheden, hvormed de gik. For at udelukke en af dem kan du kombinere to betingelser til én. Så er den distance, som turister tilbagelægger på 4 timer, når de bevæger sig fremad til fods første gang, lig med den distance, de tilbagelagde på 4 timer, når de bevæger sig tilbage anden gang. Derfor er vi ikke opmærksomme på disse afstande. Det betyder, at den distance, som turister tilbagelægger på 4 + 7 = 11 (timer) på cykler, vil være lig med 50 + 60 = 110 (km).

Så er hastigheden for turister på cykel: 110: 11 = 10 (km/t).

Svar: Cyklers hastighed er 10 km/t.

6. Antagelsesmetode

At bruge antagelsesmetoden, når man løser problemer, volder ikke vanskeligheder for de fleste elever. For at undgå, at eleverne mekanisk husker diagrammet over trin i denne metode og misforstår essensen af de handlinger, der udføres på hver af dem, bør eleverne først blive vist prøvemetoden ("falsk regel" og "regel for de gamle babyloniere").

Ved brug af prøveudtagningsmetoden, især den "falske regel", gives en af de ukendte mængder ("tilladt") en vis værdi. Så ved at bruge alle betingelserne finder de værdien af en anden mængde. Den resulterende værdi kontrolleres mod den, der er angivet i betingelsen. Hvis den resulterende værdi er forskellig fra den, der er angivet i betingelsen, er den første angivne værdi ikke korrekt, og den skal øges eller formindskes med 1, og værdien af en anden værdi skal findes igen. Dette skal gøres, indtil vi opnår værdien af en anden mængde som i problemformuleringen.

Opgave. Kassereren har 50 mønter á 50 kopek og 10 kopek, i alt 21 rubler. Find, hvor mange separate 50.000 mønter kassereren havde. og 10k hver.

Løsning 1. (prøveudtagningsmetode)

Lad os bruge de "gamle" babylonieres styre. Lad os antage, at kassereren har lige mange mønter af hver pålydende værdi, det vil sige 25 stykker hver. Så vil pengebeløbet være 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), eller 15 rubler. Men i tilstanden 21 rubler, det vil sige 21 UAH mere end modtaget - 15 rubler = 6 rubler. Det betyder, at det er nødvendigt at øge antallet af 50-kopek-mønter og reducere antallet af 10-kopek-mønter, indtil vi får i alt 21 rubler. Vi vil registrere ændringen i antallet af mønter og det samlede beløb i tabellen.

Antal mønter	Antal mønter	Mængde penge	Mængde penge	Samlet beløb	Mindre eller mere end i tilstanden

					Mindre med 6 rubler.
					Mindre med 5rub60k

					Som i stand

Som det fremgår af tabellen, havde kassereren 40 mønter á 50 kopek og 10 mønter á 10 kopek.

Som det viste sig i løsning 1, hvis kassereren havde lige mange 50.000 mønter. og 10k hver, så havde han i alt 15 rubler penge. Det er let at se, at hver mønterstatning er 10k. pr mønt 50k. øger det samlede beløb med 40k. Det betyder, at vi skal finde ud af, hvor mange sådanne udskiftninger, der skal foretages. For at gøre dette, lad os først finde ud af, hvor mange penge vi skal bruge for at øge det samlede beløb med:

21 rubler - 15 rubler. = 6 gnidninger. = 600 k.

Lad os finde ud af, hvor mange gange en sådan udskiftning skal foretages: 600 k : 40 k.

Så vil 50 kopek være 25 +15 = 40 (mønter), og 10 kopek vil forblive 25 -- 15 = 10.

Checken bekræfter, at det samlede beløb i dette tilfælde er 21 rubler.

Svar: Kassereren havde 40 mønter á 50 kopek og 10 mønter á 10 kopek.

Ved at bede eleverne om at vælge selv forskellige betydninger antal mønter på 50 kopek, er det nødvendigt at bringe dem til ideen om, at det bedste ud fra et rationelt synspunkt er antagelsen om, at kassereren kun havde mønter af en pålydende værdi (for eksempel alle 50 mønter på 50 kopek eller alle 50 mønter á 10 kopek hver). På grund af dette udelukkes en af de ukendte og erstattes af en anden ukendt.

7. Restmetode

Denne metode har nogle ligheder med tænkning, når man løser problemer ved hjælp af prøve- og gættemetoder. Vi bruger metoden med rester, når vi løser problemer, der involverer bevægelse i én retning, nemlig når det er nødvendigt at finde den tid, hvor det første objekt, som bevæger sig bagud med højere hastighed, vil indhente det andet objekt, som har en lavere hastighed. På 1 time nærmer det første objekt sig det andet i en afstand, der er lig med forskellen i deres hastigheder, det vil sige lig med "resten" af den hastighed, den har i sammenligning med den andens hastighed. For at finde den tid, det tager for det første objekt at tilbagelægge afstanden, der var mellem det og det andet i begyndelsen af bevægelsen, bør du bestemme, hvor mange gange "resten" placeres i denne afstand.

Hvis vi abstraherer fra plottet og kun overvejer den matematiske struktur af problemet, så taler det om to faktorer (bevægelseshastigheden af begge objekter) eller forskellen mellem disse faktorer og to produkter (de afstande, de rejser) eller deres forskel. De ukendte faktorer (tid) er de samme og skal findes. Fra et matematisk synspunkt viser den ukendte faktor, hvor mange gange forskellen mellem de kendte faktorer er indeholdt i forskellen mellem produkterne. Derfor kaldes problemer, der løses ved hjælp af metoden med rester, problemer med at finde tal med to forskelle.

Opgave. Eleverne besluttede at indsætte billeder fra ferien i et album. Hvis de sætter 4 billeder på hver side, vil der ikke være plads nok i albummet til 20 billeder. Hvis du indsætter 6 billeder på hver side, forbliver 5 sider gratis. Hvor mange billeder skal eleverne lægge i albummet?

Opgaveanalyse

Antallet af fotos forbliver det samme for den første og anden limning. Ifølge forholdene for problemet er det ukendt, men det kan findes, hvis antallet af fotografier, der er placeret på én side, og antallet af sider i albummet er kendt.

Antallet af fotografier, der er indsat på én side, er kendt (den første multiplikator). Antallet af sider i albummet er ukendt og forbliver uændret (anden multiplikator). Da det er kendt, at 5 sider af albummet er ledige for anden gang, kan du finde ud af, hvor mange flere fotografier der kan indsættes i albummet: 6 * 5 = 30 (fotos).

Det betyder, at ved at øge antallet af billeder på én side med 6 - 4 = 2, øges antallet af indsatte billeder med 20 + 30 = 50.

Siden de anden gang klistrede yderligere to fotografier på hver side og i alt klistrede de 50 fotografier mere, vil vi finde antallet af sider i albummet: 50: 2 = 25 (sider).

Derfor var der 4*25 + 20 = 120 (billeder) i alt.

Svar: Albummet havde 25 sider og 120 fotografier.