Det mindste fælles multiplum af to tal er direkte relateret til den største fælles divisor af disse tal. Det her forbindelse mellem GCD og NOC er bestemt af følgende sætning.

Sætning.

Det mindste fælles multiplum af to positive heltal a og b er lig med produktet af a og b divideret med den største fælles divisor af a og b, dvs. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bevis.

Lade M er et eller andet multiplum af tallene a og b. Det vil sige, M er delelig med a, og ved definitionen af ​​delelighed er der et heltal k, således at ligheden M=a·k er sand. Men M er også deleligt med b, så er a·k deleligt med b.

Lad os betegne gcd(a, b) som d. Så kan vi skrive lighederne a=a 1 ·d og b=b 1 ·d, og a 1 =a:d og b 1 =b:d vil være relativt primtal. Følgelig kan betingelsen opnået i det foregående afsnit, at a · k er delelig med b, omformuleres som følger: a 1 · d · k divideres med b 1 · d , og dette, på grund af delelighedsegenskaber, svarer til betingelsen at a 1 · k er deleligt med b 1 .

Du skal også nedskrive to vigtige konsekvenser fra den betragtede sætning.

De fælles multipla af to tal er de samme som multipla af deres mindste fælles multiplum.

Dette er faktisk tilfældet, da ethvert fælles multiplum af M af tallene a og b er bestemt af ligheden M=LMK(a, b)·t for en eller anden heltalværdi t.

Mindste fælles multiplum af coprime positive tal a og b er lig med deres produkt.

Begrundelsen for dette faktum er ret indlysende. Da a og b er relativt primtal, så gcd(a, b)=1, derfor, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Mindste fælles multiplum af tre eller flere tal

At finde det mindste fælles multiplum af tre eller flere tal kan reduceres til sekventielt at finde LCM af to tal. Hvordan dette gøres er angivet i følgende sætning a 1 , a 2 , …, a k falder sammen med de fælles multipla af tallene m k-1 og a k falder derfor sammen med de fælles multipla af tallet m k . Og da det mindste positive multiplum af tallet m k er tallet m k selv, så er det mindste fælles multiplum af tallene a 1, a 2, ..., a k m k.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebog for almene uddannelsesinstitutioner.
• Vinogradov I.M. Grundlæggende om talteori.
• Mikhelovich Sh.H. Talteori.
• Kulikov L.Ya. og andre Indsamling af problemer i algebra og talteori: Tutorial for studerende i fysik og matematik. pædagogiske institutters specialer.

Sådan finder du LCM (mindst fælles multiplum)

Et fælles multiplum af to heltal er et heltal, der er deleligt med begge givne tal uden at efterlade en rest.

Det mindste fælles multiplum af to heltal er det mindste af alle heltal, der er deleligt med begge givne tal uden at efterlade en rest.

Metode 1. Du kan til gengæld finde LCM for hvert af de givne tal, ved at skrive alle de tal, der opnås ved at gange dem med 1, 2, 3, 4, og så videre i stigende rækkefølge.

Eksempel for nummer 6 og 9.
Vi ganger tallet 6 sekventielt med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 6, 12, 18 , 24, 30
Vi multiplicerer tallet 9 sekventielt med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 9, 18 , 27, 36, 45
Som du kan se, vil LCM for nummer 6 og 9 være lig med 18.

Denne metode er praktisk, når begge tal er små, og det er nemt at gange dem med en sekvens af heltal. Der er dog tidspunkter, hvor du skal finde LCM for tocifret eller trecifrede tal, og også når der er tre eller endnu flere begyndelsestal.

Metode 2. Du kan finde LCM ved at faktorisere de oprindelige tal i primfaktorer.
Efter nedbrydning er det nødvendigt at overstrege identiske tal fra den resulterende række af primfaktorer. De resterende tal i det første tal vil være en multiplikator for det andet, og de resterende tal i det andet vil være en multiplikator for det første.

Eksempel for nummer 75 og 60.
Det mindste fælles multiplum af tallene 75 og 60 kan findes uden at nedskrive multipla af disse tal i en række. For at gøre dette, lad os faktor 75 og 60 til simple faktorer:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Som du kan se, vises faktor 3 og 5 i begge rækker. Vi "streger" mentalt over dem.
Lad os nedskrive de resterende faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af ​​hvert af disse tal. Når vi dekomponerer tallet 75, står vi tilbage med tallet 5, og når vi dekomponerer tallet 60, står vi tilbage med 2 * 2
Dette betyder, at for at bestemme LCM for tallene 75 og 60, skal vi gange de resterende tal fra udvidelsen af ​​75 (dette er 5) med 60 og gange de resterende tal fra udvidelsen af ​​60 (dette er 2) * 2) med 75. Det vil sige, for at lette forståelsen siger vi, at vi multiplicerer "på tværs".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Sådan fandt vi LCM for tallene 60 og 75. Dette er tallet 300.

Eksempel. Bestem LCM for tallene 12, 16, 24
I dette tilfælde vil vores handlinger være noget mere komplicerede. Men lad os først, som altid, faktorisere alle tallene
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
For at bestemme LCM korrekt vælger vi det mindste af alle tal (dette er tallet 12) og gennemgår sekventielt dets faktorer og krydser dem ud, hvis vi i mindst en af ​​de andre rækker af tal støder på den samme faktor, som endnu ikke har blevet streget over.

Trin 1 . Vi ser, at 2 * 2 forekommer i alle talrækker. Lad os strege dem ud.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Trin 2. I primfaktorerne for tallet 12 er der kun 3-tallet tilbage, men det er til stede i primfaktorerne for tallet 24. Vi overstreger tallet 3 fra begge rækker, mens der ikke forventes handlinger for tallet 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Som du kan se, når vi dekomponerede tallet 12, "stregede" vi alle tallene ud. Det betyder, at fundet af LOC er afsluttet. Tilbage er blot at beregne dens værdi.
For tallet 12 skal du tage de resterende faktorer af tallet 16 (næste i stigende rækkefølge)
12 * 2 * 2 = 48
Dette er NOC

Som du kan se, var det i dette tilfælde noget sværere at finde LCM, men når du skal finde det for tre eller flere numre, denne metode giver dig mulighed for at gøre det hurtigere. Begge metoder til at finde LCM er imidlertid korrekte.

Lad os se på tre måder at finde det mindste fælles multiplum på.

Fund ved faktorisering

Den første metode er at finde det mindste fælles multiplum ved at faktorisere de givne tal i primfaktorer.

Lad os sige, at vi skal finde LCM for tallene: 99, 30 og 28. For at gøre dette, lad os indregne hvert af disse tal i primfaktorer:

For at det ønskede tal er deleligt med 99, 30 og 28, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det inkluderer alle primfaktorerne for disse divisorer. For at gøre dette skal vi tage alle primfaktorerne af disse tal til den størst mulige styrke og gange dem sammen:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Således er LCM (99, 30, 28) = 13.860 Intet andet tal mindre end 13.860 er deleligt med 99, 30 eller 28.

For at finde det mindste fælles multiplum af givne tal, indregner du dem i deres primfaktorer, tager derefter hver primfaktor med den største eksponent, den optræder i, og multiplicerer disse faktorer sammen.

Da relativt primtal ikke har fælles primfaktorer, er deres mindste fælles multiplum lig med produktet af disse tal. For eksempel er tre tal: 20, 49 og 33 relativt primtal. Derfor

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Det samme skal gøres, når man finder det mindste fælles multiplum af forskellige Primtal. For eksempel LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Find ved valg

Den anden metode er at finde det mindste fælles multiplum ved udvælgelse.

Eksempel 1. Når det største af de givne tal divideres med et andet givet tal, så er LCM for disse tal lig med det største af dem. For eksempel givet fire tal: 60, 30, 10 og 6. Hver af dem er delelig med 60, derfor:

LCM(60; 30; 10; 6) = 60

I andre tilfælde bruges følgende procedure for at finde det mindste fælles multiplum:

1. Bestem det største tal ud fra de givne tal.
2. Dernæst finder vi de tal, der er multipla af det største tal, ved at gange det med heltal i stigende rækkefølge og kontrollere, om de resterende tal er delelige med det resulterende produkt.

Eksempel 2. Givet tre tal 24, 3 og 18. Vi bestemmer det største af dem - dette er tallet 24. Dernæst finder vi tallene, der er multipla af 24, og kontrollerer, om hver af dem er delelig med 18 og 3:

24 · 1 = 24 - deleligt med 3, men ikke deleligt med 18.

24 · 2 = 48 - deleligt med 3, men ikke deleligt med 18.

24 · 3 = 72 - deleligt med 3 og 18.

Således er LCM (24, 3, 18) = 72.

Find ved sekventielt at finde LCM

Den tredje metode er at finde det mindste fælles multiplum ved sekventielt at finde LCM.

LCM af to givne tal er lig med produktet af disse tal divideret med deres største fælles divisor.

Eksempel 1. Find LCM for to givne tal: 12 og 8. Bestem deres største fælles divisor: GCD (12, 8) = 4. Gang disse tal:

Vi dividerer produktet med deres gcd:

Således er LCM (12, 8) = 24.

Brug følgende procedure for at finde LCM for tre eller flere tal:

1. Find først LCM for to af disse tal.
2. Derefter LCM af det fundne mindste fælles multiplum og det tredje givne tal.
3. Derefter vil LCM for det resulterende mindste fælles multiplum og det fjerde tal osv.
4. Søgningen efter LCM fortsætter således, så længe der er tal.

Eksempel 2. Lad os finde LCM for tre givne tal: 12, 8 og 9. Vi fandt allerede LCM for tallene 12 og 8 i det foregående eksempel (dette er tallet 24). Det er tilbage at finde det mindste fælles multiplum af tallet 24 og det tredje givne tal - 9. Bestem deres største fælles divisor: GCD (24, 9) = 3. Multiplicer LCM med tallet 9:

Vi dividerer produktet med deres gcd:

Således er LCM (12, 8, 9) = 72.

Emnet "Multiples" studeres i 5. klasse folkeskole. Dens mål er at forbedre skriftlige og mundtlige matematiske beregningsfærdigheder. I denne lektion introduceres nye begreber - "flere tal" og "divisorer", teknikken til at finde divisorer og multipla af et naturligt tal, og evnen til at finde LCM på forskellige måder.

Dette emne er meget vigtigt. Viden om det kan anvendes ved løsning af eksempler med brøker. For at gøre dette skal du finde fællesnævneren ved at beregne det mindste fælles multiplum (LCM).

Et multiplum af A er et heltal, der er deleligt med A uden en rest.

Hvert naturligt tal har et uendeligt antal multipla af det. Det betragtes i sig selv som det mindste. Multiplet kan ikke være mindre end selve tallet.

Du skal bevise, at tallet 125 er et multiplum af 5. For at gøre dette skal du dividere det første tal med det andet. Hvis 125 er deleligt med 5 uden en rest, så er svaret ja.

Denne metode er anvendelig for små tal.

Der er særlige tilfælde ved beregning af LOC.

1. Hvis du skal finde et fælles multiplum af 2 tal (f.eks. 80 og 20), hvor det ene af dem (80) er deleligt med det andet (20), så er dette tal (80) det mindste multiplum af disse to numre.

LCM(80; 20) = 80.

2. Hvis to ikke har en fælles divisor, så kan vi sige, at deres LCM er produktet af disse to tal.

LCM(6, 7) = 42.

Lad os se på det sidste eksempel. 6 og 7 i forhold til 42 er divisorer. De dividerer et multiplum af et tal uden en rest.

I dette eksempel er 6 og 7 parrede faktorer. Deres produkt er lig med det mest multiple tal (42).

Et tal kaldes primtal, hvis det kun er deleligt med sig selv eller med 1 (3:1=3; 3:3=1). Resten kaldes komposit.

Et andet eksempel involverer at bestemme, om 9 er en divisor af 42.

42:9=4 (resten 6)

Svar: 9 er ikke en divisor af 42, fordi svaret har en rest.

En divisor adskiller sig fra et multiplum ved, at divisor er det tal, som naturlige tal divideres med, og selve multiplumet er deleligt med dette tal.

Største fælles divisor af tal -en Og b, ganget med deres mindste multiplum, vil give produktet af selve tallene -en Og b.

Nemlig: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Fælles multipla for mere komplekse tal findes på følgende måde.

Find f.eks. LCM for 168, 180, 3024.

Vi indregner disse tal i simple faktorer og skriver dem som et produkt af potenser:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.

Matematiske udtryk og problemer kræver en masse yderligere viden. NOC er en af ​​de vigtigste, især ofte brugt i Emnet studeres i gymnasiet, og det er ikke specielt svært at forstå materiale, der er fortrolig med potenser, og gangetabellen vil ikke have svært ved at identificere de nødvendige tal og opdage; resultat.

Definition

Et fælles multiplum er et tal, der kan opdeles fuldstændigt i to tal på samme tid (a og b). Oftest fås dette tal ved at gange de oprindelige tal a og b. Tallet skal være deleligt med begge tal på én gang, uden afvigelser.

NOC er den accepterede betegnelse kort navn, samlet fra de første bogstaver.

Måder at få et nummer på

Metoden til at multiplicere tal er ikke altid egnet til at finde LCM, den er meget bedre egnet til simple enkeltcifrede eller tocifrede tal. Det er sædvanligt at opdele i faktorer, jo større antal, jo flere faktorer vil der være.

Eksempel #1

For det enkleste eksempel bruger skoler normalt primtal, enkelt- eller tocifrede tal. For eksempel skal du løse følgende opgave, finde det mindste fælles multiplum af tallene 7 og 3, løsningen er ret enkel, bare gange dem. Som et resultat er der et tal 21, der er simpelthen ikke noget mindre tal.

Eksempel nr. 2

Den anden version af opgaven er meget vanskeligere. Numrene 300 og 1260 er givet, det er obligatorisk at finde LOC. For at løse problemet antages følgende handlinger:

Dekomponering af det første og andet tal i simple faktorer. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Første etape er afsluttet.

Den anden fase involverer at arbejde med allerede indhentede data. Hvert af de modtagne tal skal deltage i beregningen af ​​det endelige resultat. For hver multiplikator, det meste stort antal forekomster. NOC er samlet antal, derfor skal faktorerne fra tallene gentages i den, hver enkelt, også dem, der findes i ét eksemplar. Begge indledende tal indeholder tallene 2, 3 og 5, in forskellige grader, 7 er kun til stede i ét tilfælde.

For at beregne det endelige resultat skal du tage hvert tal i den største af potenserne repræsenteret i ligningen. Det eneste, der er tilbage, er at gange og få svaret, hvis det er udfyldt korrekt, passer opgaven ind i to trin uden forklaring:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Det er hele problemet, hvis du prøver at beregne det krævede tal ved multiplikation, vil svaret bestemt ikke være korrekt, da 300 * 1260 = 378.000.

Undersøgelse:

6300 / 300 = 21 - korrekt;

6300 / 1260 = 5 - korrekt.

Korrektheden af ​​det opnåede resultat bestemmes ved at kontrollere - at dividere LCM med begge indledende tal, hvis tallet er et heltal i begge tilfælde, så er svaret korrekt.

Hvad betyder NOC i matematik?

Som du ved, er der ikke en eneste ubrugelig funktion i matematik, denne er ingen undtagelse. Det mest almindelige formål med dette tal er at reducere brøker til en fællesnævner. Hvad man normalt studerer i 5.-6 Gymnasium. Det er desuden en fælles divisor for alle multipla, hvis sådanne forhold er til stede i problemet. Et sådant udtryk kan finde multipla ikke kun af to tal, men også af mange mere- tre, fem og så videre. Hvordan flere tal- jo flere handlinger er der i opgaven, men kompleksiteten øges ikke.

For eksempel, givet tallene 250, 600 og 1500, skal du finde deres fælles LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - dette eksempel beskriver faktorisering i detaljer uden reduktion.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

For at komponere et udtryk er det nødvendigt at nævne alle faktorerne, i dette tilfælde er 2, 5, 3 givet - for alle disse tal er det nødvendigt at bestemme den maksimale grad.

Bemærk: alle faktorer skal bringes til fuld forenkling, hvis det er muligt, dekomponeret til et-cifret niveau.

Undersøgelse:

1) 3000 / 250 = 12 - korrekt;

2) 3000 / 600 = 5 - sandt;

3) 3000 / 1500 = 2 - korrekt.

Denne metode kræver ingen tricks eller geniale niveauevner, alt er enkelt og klart.

Anden måde

I matematik hænger mange ting sammen, mange ting kan løses på to eller flere måder, det samme gælder for at finde det mindste fælles multiplum, LCM. Følgende metode kan bruges i tilfælde af simple tocifrede og enkeltcifrede tal. Der kompileres en tabel, hvor multiplikatoren indtastes lodret, multiplikatoren vandret, og produktet er angivet i de krydsende celler i kolonnen. Du kan afspejle tabellen ved hjælp af en linje, tage et tal og skrive ned resultaterne af at gange dette tal med heltal, fra 1 til uendeligt, nogle gange er 3-5 point nok, det andet og efterfølgende tal gennemgår den samme beregningsproces. Alt sker indtil et fælles multiplum er fundet.

Givet tallene 30, 35, 42, skal du finde den LCM, der forbinder alle numrene:

1) Multipler af 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 osv.

2) Multipler af 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 osv.

3) Multipler af 42: 84, 126, 168, 210, 252 osv.

Det er bemærkelsesværdigt, at alle tallene er ret forskellige, det eneste almindelige tal blandt dem er 210, så det bliver NOC. Blandt de processer, der er involveret i denne beregning, er der også den største fælles divisor, som er beregnet efter lignende principper og ofte støder på i tilstødende problemer. Forskellen er lille, men ret betydelig, LCM involverer beregning af et tal, der er divideret med alle givne begyndelsesværdier, og GCD involverer beregning højeste værdi som de oprindelige tal divideres med.