Heltal: generel repræsentation. Forstå heltal

Udtrykket " nummersæt"er ret almindeligt i matematik lærebøger. Der kan du ofte finde sætninger som denne:

"Blah blah blah, hvor hører til sættet af naturlige tal."

I stedet for slutningen af ​​en sætning kan du ofte se noget som dette. Det betyder det samme som teksten lidt over - et tal hører til mængden af ​​naturlige tal. Mange mennesker er ofte ikke opmærksomme på, hvilket sæt denne eller hin variabel er defineret i. Som følge heraf bruges helt forkerte metoder, når man løser et problem eller beviser en teorem. Dette sker, fordi egenskaberne for tal, der tilhører forskellige sæt, kan være forskellige.

Der er ikke så mange numeriske sæt. Nedenfor kan du se definitionerne af forskellige talsæt.

Sættet af naturlige tal inkluderer alle heltal større end nul - positive heltal.

For eksempel: 1, 3, 20, 3057. Sættet indeholder ikke tallet 0.

I det nummersæt omfatter alle heltal større og mindre end nul, og også nul.

For eksempel: -15, 0, 139.

Rationelle tal er generelt set et sæt af brøker, der ikke kan annulleres (hvis en brøk annulleres, vil den allerede være et heltal, og i dette tilfælde er der ikke behov for at indføre et andet talsæt).

Et eksempel på tal inkluderet i det rationelle sæt: 3/5, 9/7, 1/2.

,

hvor er en endelig sekvens af cifre i den heltallige del af et tal, der tilhører mængden af ​​reelle tal. Denne rækkefølge er endelig, det vil sige, at antallet af cifre i den heltallige del af et reelt tal er endeligt.

– en uendelig række af tal, der er i brøkdelen af ​​et reelt tal. Det viser sig, at brøkdelen indeholder et uendeligt antal tal.

Sådanne tal kan ikke repræsenteres som en brøk. Ellers kunne et sådant tal klassificeres som et sæt rationelle tal.

Eksempler på reelle tal:

Lad os se nærmere på betydningen af ​​roden af ​​to. Heltalsdelen indeholder kun et ciffer - 1, så vi kan skrive:

I brøkdelen (efter prikken) vises tallene 4, 1, 4, 2 og så videre sekventielt. Derfor kan vi for de første fire cifre skrive:

Jeg tør håbe, at nu er definitionen af ​​mængden af ​​reelle tal blevet klarere.

Konklusion

Det skal huskes, at den samme funktion kan udvise fuldstændigt forskellige egenskaber afhængig af hvilket sæt variablen tilhører. Så husk det grundlæggende - de vil være nyttige.

Visninger af indlæg: 5.198

Hvad betyder et helt tal?

Så lad os se på, hvilke tal der kaldes heltal.

Således vil følgende tal blive betegnet med heltal: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ osv.

Mængden af ​​naturlige tal er en delmængde af mængden af ​​heltal, dvs. Ethvert naturligt tal vil være et heltal, men ikke alle heltal er et naturligt tal.

Positive heltal og negative heltal

Definition 2

plus.

Tallene $3, 78, 569, $10450 er positive heltal.

Definition 3

er signerede heltal minus.

Tallene $−3, −78, −569, -10450$ er negative heltal.

Note 1

Tallet nul er hverken et positivt eller et negativt heltal.

Positive heltal er heltal større end nul.

Negative heltal er heltal mindre end nul.

Mængden af ​​naturlige heltal er mængden af ​​alle positive heltal, og mængden af ​​alle modsatte naturlige tal er mængden af ​​alle heltal. negative tal.

Ikke-positive og ikke-negative heltal

Alle positive heltal og nul kaldes ikke-negative heltal.

Ikke-positive heltal er alle negative heltal og tallet $0$.

Note 2

Dermed, ikke-negativt heltal er heltal større end nul eller lig med nul, og ikke-positivt heltal– heltal mindre end nul eller lig med nul.

For eksempel, ikke-positive heltal: $−32, −123, 0, −5$ og ikke-negative heltal: $54, 123, 0, 856.342.$

Beskriv ændringer i mængder ved hjælp af heltal

Heltal bruges til at beskrive ændringer i antallet af objekter.

Lad os se på eksempler.

Eksempel 1

Lad en butik sælge et bestemt antal produkter. Når butikken modtager $520$ af varer, vil antallet af varer i butikken stige, og tallet $520$ viser ændringen i antallet i positive side. Når butikken sælger $50$ af produktvarer, vil antallet af produktvarer i butikken falde, og tallet $50$ vil udtrykke ændringen i antallet i negativ side. Hvis butikken hverken leverer eller sælger varer, så vil antallet af varer forblive uændret (dvs. vi kan tale om en nulændring i antallet).

I ovenstående eksempel er ændringen i antallet af varer beskrevet ved hjælp af henholdsvis hele tallene $520$, $−50$ og $0$. Positiv værdi hele tallet $520$ angiver en ændring i tallet i positiv retning. En negativ værdi af hele tallet $−50$ indikerer en negativ ændring i tallet. Heltallet $0$ indikerer, at tallet er uforanderligt.

Heltal er praktiske at bruge, fordi... der er ikke behov for en eksplicit indikation af en stigning eller et fald i tallet - tegnet for hele tallet angiver retningen af ​​ændringen, og værdien angiver den kvantitative ændring.

Ved at bruge heltal kan du ikke kun udtrykke en ændring i mængde, men også en ændring i enhver mængde.

Lad os overveje et eksempel på en ændring i prisen på et produkt.

Eksempel 2

En stigning i værdi, for eksempel med $20$ rubler, udtrykkes ved hjælp af et positivt heltal $20$. Et fald i prisen, for eksempel med $5$ rubler, beskrives ved hjælp af et negativt heltal $−5$. Hvis der ikke er nogen ændring i værdi, så bestemmes en sådan ændring ved hjælp af hele tallet $0$.

Lad os separat betragte betydningen af ​​negative heltal som mængden af ​​gæld.

Eksempel 3

For eksempel har en person $5.000$ rubler. Så ved at bruge det positive heltal $5.000$, kan du vise antallet af rubler, han har. En person skal betale husleje på $7.000$ rubler, men han har ikke den slags penge, i hvilket tilfælde en sådan situation beskrives med et negativt heltal $−7.000$. I dette tilfælde har personen $−7.000$ rubler, hvor "-" angiver gæld, og tallet $7.000$ angiver gældsbeløbet.

Algebraiske egenskaber

Links

Wikimedia Foundation. 2010.

• Kyssende politifolk
• Hele ting

Se, hvad "heltal" er i andre ordbøger:

Gaussiske heltal- (Gaussiske tal, heltal komplekse tal) er komplekse tal, hvor både den reelle og den imaginære del er heltal. Introduceret af Gauss i 1825. Indhold 1 Definition og operationer 2 Delbarhedsteori ... Wikipedia

FYLDNINGSNUMRE- i kvantemekanik og kvantestatistik, tal, der angiver graden af ​​belægning af et kvante. menneskers tilstande kvantemekaniske. systemer med mange identiske partikler. For systemer hc med halvt heltals spin (fermioner) h.z. kan kun have to betydninger... Fysisk encyklopædi

Zuckerman-numre- Zuckermans tal er sådan her heltal, som er delelige med produktet af deres cifre. Eksempel 212 er Zuckermans nummer, da og. Sekvens Alle heltal fra 1 til 9 er Zuckerman-tal. Alle tal inklusive nul er ikke... ... Wikipedia

Algebraiske heltal- Algebraiske heltal er de komplekse (og især reelle) rødder af polynomier med heltalskoefficienter og med en ledende koefficient lig med én. I forhold til addition og multiplikation af komplekse tal, algebraiske heltal ... ... Wikipedia

Komplekse heltal- Gaussiske tal, tal på formen a + bi, hvor a og b er heltal (f.eks. 4 7i). Geometrisk repræsenteret ved punkter i det komplekse plan med heltalskoordinater. C.C.H. blev introduceret af K. Gauss i 1831 i forbindelse med forskning i teorien... ...

Cullen-numre- I matematik er Cullen-tal naturlige tal på formen n 2n + 1 (skrevet Cn). Cullen-tal blev først undersøgt af James Cullen i 1905. Cullen-tal er særlig slags Prota tal. Egenskaber I 1976, Christopher Hooley (Christopher... ... Wikipedia

Faste punktnumre- Fixed point number er et format til at repræsentere et reelt tal i computerens hukommelse som et heltal. I dette tilfælde er selve tallet x og dets heltalsrepræsentation x′ forbundet med formlen, hvor z er prisen på det laveste ciffer. Det enkleste eksempel på aritmetik med... ... Wikipedia

Udfyld tal- i kvantemekanik og kvantestatistik, tal, der angiver graden af ​​fyldning af kvantetilstande med kvantepartikler mekanisk system mange identiske partikler (Se Identiske partikler). For et system af partikler med et halvt heltals spin... ... Store sovjetiske encyklopædi

Leyland-numre- Et Leyland-tal er et naturligt tal, der kan repræsenteres som xy + yx, hvor x og y er heltal større end 1. De første 15 Leyland-tal er: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 sekvens A076980 i OEIS.... ... Wikipedia

Algebraiske heltal- tal, der er rødder af ligninger af formen xn + a1xn ​​1 +... + an = 0, hvor a1,..., an er heltal rationelle tal. For eksempel, x1 = 2 + C. a. h., da x12 4x1 + 1 = 0. Teori for C. a. h. opstod i 30 40 x år. 19. århundrede i forbindelse med K.s forskning … … Store sovjetiske encyklopædi

Bøger

• Aritmetik: Heltal. Om tals delelighed. Måling af mængder. Metrisk system af foranstaltninger. Almindelig, Kiselev, Andrey Petrovich. Vi præsenterer for læsernes opmærksomhed en bog af den fremragende russiske lærer og matematiker A.P. Kiselev (1852-1940), der indeholder et systematisk kursus i aritmetik. Bogen indeholder seks afsnit...

Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. Hvordan du gør dette i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du mest være opmærksom på vores navigator nyttig ressource Til

For at gøre dit liv MEGET nemmere, når du skal beregne noget, for at få værdifuld tid på Unified State-eksamenen eller Unified State-eksamenen, for at lave færre dumme fejl - læs dette afsnit!

Her er, hvad du vil lære:

• hvordan man tæller hurtigere, nemmere og mere præcist ved brugnummergrupperingnår man lægger til og trækker fra,
• hvordan man hurtigt gange og dividere uden fejl ved hjælp af regler for multiplikation og delelighedstegn,
• hvordan man markant fremskynder beregningerne vha mindste fælles multiplum(NOK) og største fælles divisor(NIKKE).

Beherskelse af teknikkerne i dette afsnit kan vælte vægten i den ene eller anden retning ... uanset om du kommer ind på dit drømmeuniversitet eller ej, vil du eller dine forældre skulle betale en masse penge for uddannelse, eller du vil tilmelde dig på et budget .

Lad os dykke direkte ind... (Lad os gå!)

P.S. SIDSTE VÆRDISKE RÅD...

En masse heltal består af 3 dele:

1. heltal(vi vil se på dem mere detaljeret nedenfor);
2. tal modsat naturlige tal(alt falder på plads, så snart du ved, hvad naturlige tal er);
3. nul -" " (hvor ville vi være uden ham?)

bogstav Z.

Heltal

"Gud skabte naturlige tal, alt andet er menneskehænders værk" (c) den tyske matematiker Kronecker.

Naturlige tal er tal, som vi bruger til at tælle objekter, og det er det, deres oprindelseshistorie er baseret på - behovet for at tælle pile, skind osv.

1, 2, 3, 4...n

bogstavet N.

Derfor inkluderer denne definition ikke (kan du ikke tælle noget, der ikke er der?) og, endnu mere, inkluderer ikke negative værdier(er der et æble?).

Derudover er alle brøktal ikke inkluderet (vi kan heller ikke sige "Jeg har en bærbar" eller "Jeg har solgt biler")

Nogen naturligt tal kan skrives med 10 cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Så 14 er ikke et tal. Dette er nummeret. Hvilke tal består den af? Det er rigtigt, ud fra tal og...

Tilføjelse. Gruppering ved tilføjelse for at tælle hurtigere og lave færre fejl

Hvilke interessante ting kan du sige om denne procedure? Selvfølgelig vil du nu svare "værdien af ​​summen ændres ikke ved at omarrangere vilkårene." Det ser ud til, at dette er en primitiv regel, kendt fra første klasse, men når man løser store eksempler glemt med det samme!

Glem ham ikke -bruge gruppering, for at gøre optællingsprocessen nemmere for dig selv og reducere sandsynligheden for fejl, fordi du ikke har en lommeregner ved Unified State Examination.

Se selv, hvilket udtryk der er nemmere at sammensætte?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Selvfølgelig den anden! Selvom resultatet er det samme. Men! I betragtning af den anden metode har du færre chancer for at lave fejl, og du vil gøre alt hurtigere!

Så i dit hoved tænker du sådan her:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Subtraktion. Gruppering, når du trækker fra for at tælle hurtigere og lave færre fejl

Når vi trækker fra, kan vi også gruppere de tal, vi trækker fra, for eksempel:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Hvad hvis subtraktion veksler med addition i eksemplet? Du kan også gruppere, du svarer, og det er korrekt. Bare glem ikke tegnene før tallene, for eksempel: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Husk: forkert placerede skilte vil føre til et forkert resultat.

Multiplikation. Sådan formerer du dig i dit hoved

Det er klart, at ændring af placeringerne af faktorerne heller ikke ændrer produktets værdi:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Jeg vil ikke fortælle dig "brug dette, når du løser eksempler" (du har selv tippet, ikke sandt?), men jeg vil snarere fortælle dig, hvordan du hurtigt gange nogle tal i dit hoved. Så kig grundigt på tabellen:

Og lidt mere om multiplikation. Selvfølgelig husker du to specielle lejligheder...Kan du gætte, hvad jeg mener? Her er om det:

Åh ja, lad os se på det igen tegn på delelighed. Der er 7 regler i alt baseret på delelighedskriterier, hvoraf du allerede kender de 3 første!

Men resten er slet ikke svære at huske.

7 tegn på delelighed af tal, der vil hjælpe dig med hurtigt at tælle i dit hoved!

• Du kender selvfølgelig de tre første regler.
• Den fjerde og femte er lette at huske - når vi dividerer med, og vi ser efter om summen af ​​de cifre, der udgør tallet, er delelig med dette.
• Når vi dividerer med, ser vi på de to sidste cifre i et tal – er det tal, de gør deleligt med?
• Når man dividerer med, skal et tal være deleligt med og med på samme tid. Det er al visdommen.

Tænker du nu, "hvorfor har jeg brug for alt det her"?

For det første finder Unified State Examen sted uden lommeregner og disse regler hjælper dig med at navigere i eksemplerne.

Og for det andet har du hørt problemerne om GCD Og NOC? Er dette akronym kendt? Lad os begynde at huske og forstå.

Greatest Common Divisor (GCD) - nødvendig for at reducere brøker og lave hurtige beregninger

Lad os sige, at du har to tal: og. For hvad største antal Er begge tal delelige? Du vil svare uden tøven, fordi du ved, at:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Hvad er de almindelige tal i udvidelsen? Det er rigtigt, 2 * 2 = 4. Det var dit svar. Med dette enkle eksempel i tankerne, vil du ikke glemme algoritmen om, hvordan du finder GCD. Prøv at "bygge" det i dit hoved. sket?

For at finde en GCD skal du:

1. Opdel tal i primfaktorer (de tal, der ikke kan divideres med noget andet end dem selv eller med f.eks. 3, 7, 11, 13 osv.).
2. Multiplicer dem.

Forstår du, hvorfor vi havde brug for tegn på delelighed? Så du ser på tallet og kan begynde at dividere uden en rest.

Lad os f.eks. finde gcd'en for tallene 290 og 485

Første nummer -.

Når du ser på det, kan du straks se, at det er deleligt med, lad os skrive det ned:

Det er umuligt at opdele i noget andet, men du kan - og vi får:

290 = 29 * 5 * 2

Lad os tage et andet nummer - 485.

Ifølge kriterierne for delelighed skal det være deleligt med uden rest, da det ender med. Dele:

Lad os analysere det oprindelige nummer.

• Det kan ikke divideres med (det sidste ciffer er ulige),
• - er ikke deleligt med, hvilket betyder, at tallet heller ikke er deleligt med,
• med og med er heller ikke deleligt (summen af ​​cifrene i et tal er ikke deleligt med og med)
• er heller ikke deleligt med, da det ikke er deleligt med og,
• er heller ikke deleligt med, da det ikke er deleligt med og.
• kan ikke opdeles helt

Det betyder, at tallet kun kan dekomponeres i og.

Lad os nu finde GCD disse tal. Hvilket nummer er dette? Højre, .

Skal vi øve os?

Opgave nr. 1. Find gcd'en for tallene 6240 og 6800

1) Jeg dividerer med med det samme, da begge tal er 100% delelige med:

Opgave nr. 2. Find gcd'en for tallene 345 og 324

Jeg kan ikke hurtigt finde en her fælles divisor, så jeg indregner det bare i primfaktorer (så små som muligt):

Mindste fælles multiplum (LCM) - sparer tid, hjælper med at løse problemer på en ikke-standard måde

Lad os sige, at du har to tal - og. Hvad er det mindste tal, der kan divideres med uden spor(det vil sige helt)? Svært at forestille sig? Her er et visuelt tip til dig:

Kan du huske, hvad bogstavet står for? Det er rigtigt, bare hele tal. Og hvad så mindste antal passer på plads x? :

I dette tilfælde.

Fra dette simpelt eksempel Flere regler følger.

Regler for hurtigt at finde NOC'er

Regel 1: Hvis et af to naturlige tal er deleligt med et andet tal, så er det største af de to tal deres mindste fælles multiplum.

Find følgende tal:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Selvfølgelig klarede du denne opgave uden besvær, og du fik svarene - , og.

Bemærk venligst, at i reglen taler vi om TO tal, hvis der er flere tal, så virker reglen ikke.

For eksempel er LCM (7;14;21) ikke lig med 21, da det ikke er deleligt med.

Regel 2. Hvis to (eller flere end to) tal er coprime, så er det mindste fælles multiplum lig med deres produkt.

Find NOC følgende tal:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Har du talt? Her er svarene - , ; .

Som du forstår, er det ikke altid muligt at opfange det samme x så let, så for lidt mere komplekse tal er der følgende algoritme:

Skal vi øve os?

Lad os finde det mindste fælles multiplum - LCM (345; 234)

Find det mindste fælles multiplum (LCM) selv

Hvilke svar fik du?

Her er hvad jeg fik:

Hvor meget tid brugte du på at finde NOC? Min tid er 2 minutter, jeg ved det godt et trick, som jeg foreslår, at du åbner lige nu!

Hvis du er meget opmærksom, så har du sikkert bemærket, at vi allerede har søgt efter de givne numre GCD og du kunne tage faktoriseringen af ​​disse tal fra det eksempel og derved forenkle din opgave, men det er ikke alt.

Se på billedet, måske dukker nogle andre tanker op:

Godt? Jeg vil give dig et tip: prøv at gange NOC Og GCD indbyrdes og nedskriv alle de faktorer, der vil fremkomme ved multiplikation. Klarede du dig? Du bør ende med en kæde som denne:

Se nærmere på det: sammenlign multiplikatorerne med hvordan og er lagt ud.

Hvilken konklusion kan du drage af dette? Højre! Hvis vi multiplicerer værdierne NOC Og GCD indbyrdes, så får vi produktet af disse tal.

Derfor har tal og betydning GCD(eller NOC), kan vi finde NOC(eller GCD) ifølge denne ordning:

1. Find produktet af tal:

2. Opdel det resulterende produkt med vores GCD (6240; 6800) = 80:

Det er alt.

Lad os skrive reglen i generel form:

Prøve at finde GCD, hvis det vides, at:

Klarede du dig? .

Negative tal er "falske tal" og deres anerkendelse af menneskeheden.

Som du allerede forstår, er disse tal modsat de naturlige, det vil sige:

Negative tal kan lægges til, trækkes fra, ganges og divideres – ligesom i naturlige tal. Det ser ud til, hvad er så specielt ved dem? Men faktum er, at negative tal "vandt" deres retmæssige plads i matematik helt op til det 19. århundrede (indtil det øjeblik var der en enorm mængde polemik om, hvorvidt de eksisterer eller ej).

Selve det negative tal opstod på grund af en sådan operation med naturlige tal som "subtraktion". Faktisk, træk fra det, og du får et negativt tal. Derfor kaldes sættet af negative tal ofte for "sættets forlængelse naturlige tal».

Negative tal blev ikke genkendt af folk i lang tid. Så, Det gamle Egypten, Babylon og Det gamle Grækenland- deres tids armaturer, genkendte ikke negative tal, og i tilfælde af at opnå negative rødder i en ligning (for eksempel som vores), blev rødderne afvist som umulige.

Negative tal fik først deres ret til at eksistere i Kina, og derefter i det 7. århundrede i Indien. Hvad tror du er årsagen til denne anerkendelse? Det er rigtigt, negative tal begyndte at betegne gæld (ellers mangel). Det blev antaget, at negative tal er en midlertidig værdi, som som et resultat vil ændre sig til positiv (det vil sige, at pengene stadig vil blive returneret til långiveren). Den indiske matematiker Brahmagupta betragtede dog allerede negative tal på lige fod med positive.

I Europa blev nytten af ​​negative tal, såvel som det faktum, at de kan betegne gæld, opdaget meget senere, måske et årtusinde. Den første omtale blev bemærket i 1202 i "Book of the Abacus" af Leonard af Pisa (jeg vil straks sige, at forfatteren af ​​bogen ikke har noget at gøre med det skæve tårn i Pisa, men Fibonacci-tallene er hans arbejde (Kælenavnet på Leonardo af Pisa er Fibonacci)). Yderligere kom europæerne til den konklusion, at negative tal ikke kun kan betyde gæld, men også mangel på noget, selvom ikke alle erkendte dette.

Så i det 17. århundrede troede Pascal på det. Hvordan tror du, han retfærdiggjorde dette? Det er sandt, "intet kan være mindre end INTET." Et ekko af disse tider forbliver det faktum, at et negativt tal og subtraktionsoperationen er angivet med det samme symbol - minus "-". Og sandheden:. Er tallet " " positivt, som trækkes fra, eller negativt, som summeres til?... Noget fra serien "hvad kommer først: hønen eller ægget?" Dette er sådan en ejendommelig matematisk filosofi.

Negative tal sikrede deres ret til at eksistere med fremkomsten af ​​analytisk geometri, med andre ord, da matematikere introducerede et sådant begreb som talaksen.

Det var fra dette øjeblik, at ligestillingen kom. Der var dog stadig flere spørgsmål end svar, for eksempel:

del

Denne andel kaldes "Arnauds paradoks". Tænk over det, hvad er tvivlsomt ved det?

Lad os argumentere sammen "" er mere end "" ikke? Ifølge logikken skulle den venstre side af proportionen altså være større end den højre, men de er lige store... Dette er paradokset.

Som et resultat var matematikere enige om, at Karl Gauss (ja, ja, det er den samme, der beregnede summen (eller) tallene) satte en stopper for det i 1831 - han sagde, at negative tal har samme rettigheder som positive dem, og det, at de ikke gælder alle ting, betyder ikke noget, da brøker heller ikke gælder for mange ting (det sker ikke, at en graver graver et hul, du kan ikke købe en biografbillet osv. .).

Matematikere faldt først til ro i det 19. århundrede, da teorien om negative tal blev skabt af William Hamilton og Hermann Grassmann.

De er så kontroversielle, disse negative tal.

Fremkomsten af ​​"tomhed" eller biografien om nul.

I matematik er det et særligt tal. Ved første øjekast er dette ingenting: Tilføj eller subtraher - intet vil ændre sig, men du skal bare tilføje det til højre til " ", og det resulterende tal vil være flere gange større end det oprindelige. Ved at gange med nul forvandler vi alt til ingenting, men at dividere med "intet", det vil sige, det kan vi ikke. Med et ord, det magiske tal)

Historien om nul er lang og kompliceret. Et spor af nul blev fundet i kinesernes skrifter i det 2. årtusinde e.Kr. og endnu tidligere blandt mayaerne. Den første brug af nul-symbolet, som det er i dag, blev set blandt græske astronomer.

Der er mange versioner af, hvorfor denne betegnelse "intet" blev valgt. Nogle historikere er tilbøjelige til at tro, at dette er en omicron, dvs. Det første bogstav i det græske ord for ingenting er ouden. Ifølge en anden version gav ordet "obol" (en mønt næsten uden værdi) liv til symbolet på nul.

Nul (eller nul) som et matematisk symbol dukker først op blandt indianerne (bemærk, at negative tal begyndte at "udvikle sig" der). Det første pålidelige bevis på registreringen af ​​nul går tilbage til 876, og i dem er " " en del af tallet.

Zero kom også sent til Europa - først i 1600, og ligesom negative tal stødte den på modstand (hvad kan man gøre, sådan er de, europæere).

"Nul er ofte blevet hadet, længe frygtet eller endda forbudt," skriver den amerikanske matematiker Charles Safe. Så, tyrkisk sultan Abdul Hamid II i slutningen af ​​det 19. århundrede. beordrede sine censorer til at slette formlen for vand H2O fra alle lærebøger i kemi, idet han tog bogstavet "O" for nul og ville ikke have, at hans initialer skulle miskrediteres af nærhed til det foragtede nul."

På internettet kan du finde sætningen: "Nul er den mest magtfulde kraft i universet, han kan gøre alt! Nul skaber orden i matematik, og det introducerer også kaos i det." Helt korrekt pointe :)

Sammenfatning af afsnittet og grundlæggende formler

Sættet af heltal består af 3 dele:

• naturlige tal (vi ser på dem mere detaljeret nedenfor);
• tal modsat naturlige tal;
• nul - " "

Sættet af heltal er angivet bogstav Z.

1. Naturlige tal

Naturlige tal er tal, som vi bruger til at tælle objekter.

Sættet af naturlige tal er angivet bogstavet N.

I operationer med heltal har du brug for evnen til at finde GCD og LCM.

Største fælles deler (GCD)

For at finde en GCD skal du:

1. Dekomponer tal i primfaktorer (de tal, der ikke kan divideres med noget andet end dem selv eller med f.eks. osv.).
2. Skriv ned de faktorer, der er en del af begge tal.
3. Multiplicer dem.

Mindste fælles multiplum (LCM)

For at finde NOC'en skal du bruge:

1. Opdel tal i primfaktorer (du ved allerede, hvordan du gør dette meget godt).
2. Skriv ned de faktorer, der indgår i udvidelsen af ​​et af tallene (det er bedre at tage den længste kæde).
3. Tilføj til dem de manglende faktorer fra udvidelserne af de resterende tal.
4. Find produktet af de resulterende faktorer.

2. Negative tal

Disse er tal modsat naturlige tal, det vil sige:

Nu vil jeg høre dig...

Jeg håber, at du satte pris på de supernyttige "tricks" i dette afsnit og forstod, hvordan de vil hjælpe dig i eksamen.

Og endnu vigtigere - i livet. Jeg taler ikke om det, men tro mig, det her er sandt. Evnen til at tælle hurtigt og uden fejl redder dig i mange livssituationer.

Nu er det din tur!

Skriv, vil du bruge grupperingsmetoder, delelighedstest, GCD og LCM i beregninger?

Måske har du brugt dem før? Hvor og hvordan?

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne, hvordan du synes om artiklen.

Og held og lykke med dine eksamener!

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For succes bestå Unified State-eksamenen, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 499 RUR

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Tilføjer vi tallet 0 til venstre for en række naturlige tal, får vi serie af positive heltal:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negative heltal

Lad os se på et lille eksempel. Billedet til venstre viser et termometer, der viser en temperatur på 7°C. Hvis temperaturen falder med 4°, vil termometeret vise 3° varme. Et fald i temperaturen svarer til virkningen af ​​subtraktion:

Hvis temperaturen falder med 7°, vil termometeret vise 0°. Et fald i temperaturen svarer til virkningen af ​​subtraktion:

Hvis temperaturen falder med 8°, vil termometeret vise -1° (1° under nul). Men resultatet af at trække 7 - 8 fra kan ikke skrives ved hjælp af naturlige tal og nul.

Lad os illustrere subtraktion ved hjælp af en række positive heltal:

1) Fra tallet 7, tæl 4 tal til venstre og få 3:

2) Fra tallet 7, tæl 7 tal til venstre og få 0:

Det er umuligt at tælle 8 tal fra tallet 7 til venstre i en række positive heltal. For at gøre handling 7 - 8 mulig, udvider vi rækken af ​​positive heltal. For at gøre dette, til venstre for nul, skriver vi (fra højre til venstre) i rækkefølgen af ​​alle de naturlige tal, og tilføjer til hver af dem tegnet - , hvilket indikerer, at dette tal er til venstre for nul.

Indtastningerne -1, -2, -3, ... læser minus 1, minus 2, minus 3 osv.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Den resulterende talrække kaldes række af heltal. Prikkerne til venstre og højre i denne post betyder, at serien kan fortsættes i det uendelige til højre og venstre.

Til højre for tallet 0 i denne række er numre kaldet naturlig eller positive heltal(kort - positiv).

Til venstre for tallet 0 i denne række er numre kaldet heltal negativt(kort - negativ).

Tallet 0 er et heltal, men er hverken et positivt eller negativt tal. Den adskiller positive og negative tal.

Derfor, rækken af ​​heltal består af negative heltal, nul og positive heltal.

Heltals sammenligning

Sammenlign to heltal- betyder at finde ud af, hvilken der er størst, hvilken der er mindre, eller at bestemme, at tallene er ens.

Du kan sammenligne heltal ved at bruge en række af heltal, da tallene i den er arrangeret fra mindste til største, hvis du bevæger dig langs rækken fra venstre mod højre. Derfor kan du i en række heltal erstatte kommaer med et mindre end-tegn:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Derfor, af to heltal, jo større er det tal, der er til højre i serien, og jo mindre er det, der er til venstre, Midler:

1) Enhver positivt tal større end nul og større end ethvert negativt tal:

1 > 0; 15 > -16

2) Ethvert negativt tal mindre end nul:

7 < 0; -357 < 0

3) Af to negative tal er det, der er til højre i rækken af ​​heltal, større.