Hvad er et rationelt tal? Hvad er rationelle tal? Hvilke andre er der?

Kvarter

Ordenhed. -en Og b der er en regel, der giver dig mulighed for unikt at identificere en og kun en af tre forhold mellem dem: "< », « >" eller " = ". Denne regel kaldes bestillingsregel og er formuleret som følger: to ikke-negative tal og er relateret af samme relation som to heltal og ; to ikke-positive tal -en Og b er beslægtet med samme relation som to ikke-negative tal og ; hvis pludselig -en ikke-negativ, men b- negativ altså -en > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Tilføjelse af brøker
Tilføjelsesoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt summeringsregel c. Samtidig med selve nummeret c hedder beløb tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes summering. Summeringsreglen har næste visning: .
Multiplikationsoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt multiplikationsreglen, som tildeler dem et eller andet rationelt tal c. Samtidig med selve nummeret c hedder arbejde tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes også multiplikation. Multiplikationsreglen ser således ud: .
Transitivitet af ordrerelationen. For enhver tredobbelt af rationelle tal -en , b Og c Hvis -en mindre b Og b mindre c, At -en mindre c, og hvis -en lige med b Og b lige med c, At -en lige med c. 6435">Kommutativitet af addition. Ændring af placeringen af rationelle udtryk ændrer ikke summen.
Associativitet af addition. Rækkefølgen, hvori tre rationale tal tilføjes, påvirker ikke resultatet.
Tilstedeværelse af nul. Der er et rationelt tal 0, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det tilføjes.
Tilstedeværelsen af modsatte tal. Ethvert rationelt tal har et modsat rationelt tal, som når det lægges til giver 0.
Kommutativitet af multiplikation.Ændring af steder for rationelle faktorer ændrer ikke produktet.
Associativitet af multiplikation. Rækkefølgen, hvori tre rationelle tal ganges, påvirker ikke resultatet.
Enhedens tilgængelighed. Der er et rationelt tal 1, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det ganges.
Tilstedeværelse af gensidige tal. Ethvert rationelt tal har et omvendt rationelt tal, som når ganget med giver 1.
Fordeling af multiplikation i forhold til addition. Multiplikationsoperationen koordineres med additionsoperationen gennem fordelingsloven:
Forbindelse af ordrerelationen med driften af addition. Det samme rationelle tal kan tilføjes til venstre og højre side af en rationel ulighed. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arkimedes aksiom. Uanset det rationelle tal -en, kan du tage så mange enheder, at deres sum overstiger -en. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Yderligere ejendomme

Alle andre egenskaber, der er iboende i rationelle tal, skelnes ikke som grundlæggende, fordi de generelt set ikke længere er baseret direkte på egenskaberne af heltal, men kan bevises baseret på de givne grundlæggende egenskaber eller direkte ved definitionen af et matematisk objekt . Der er mange sådanne yderligere egenskaber. Det giver mening kun at nævne nogle få af dem her.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Tællelighed af et sæt

Nummerering af rationelle tal

For at estimere antallet af rationelle tal skal du finde kardinaliteten af deres sæt. Det er let at bevise, at mængden af rationelle tal kan tælles. For at gøre dette er det nok at give en algoritme, der opregner rationelle tal, dvs. etablerer en bijektion mellem sættene af rationelle og naturlige tal.

Den enkleste af disse algoritmer ser sådan ud. Et endeløst bord er skabt almindelige brøker, på hver jeg-te linje i hver j den søjle, hvoraf fraktionen er placeret. For nøjagtighedens skyld antages det, at rækkerne og kolonnerne i denne tabel er nummereret fra én. Tabelceller er angivet med , hvor jeg- nummeret på tabelrækken, hvori cellen er placeret, og j- kolonnenummer.

Den resulterende tabel gennemløbes ved hjælp af en "slange" i henhold til følgende formelle algoritme.

Disse regler søges fra top til bund, og den næste position vælges baseret på det første match.

I processen med en sådan traversering er hvert nyt rationelt tal forbundet med et andet naturligt tal. Det vil sige, at brøken 1/1 tildeles tallet 1, brøken 2/1 til tallet 2 osv. Det skal bemærkes, at kun irreducerbare brøker er nummereret. Formelt tegn irreducibility er ligheden mellem den største fælles divisor af tælleren og nævneren af brøken til en.

Ved at følge denne algoritme kan vi opregne alle positive rationelle tal. Dette betyder, at sættet af positive rationale tal kan tælles. Det er let at etablere en bijektion mellem sættene af positive og negative rationelle tal ved blot at tildele hvert rationelle tal dets modsætning. At. sættet af negative rationale tal kan også tælles. Deres forening kan også tælles ved egenskaben af tællelige sæt. Sættet af rationelle tal kan også tælles som foreningen af et tælleligt sæt med et endeligt.

Udsagnet om tælleligheden af mængden af rationelle tal kan forårsage en vis forvirring, da det ved første øjekast ser ud til, at det er meget mere omfattende end mængden af naturlige tal. Faktisk er dette ikke tilfældet, og der er nok naturlige tal til at opregne alle rationelle.

Mangel på rationelle tal

Hypotenusen af en sådan trekant kan ikke udtrykkes med noget rationelt tal

Rationale tal på formen 1 / n i det store hele n vilkårligt små mængder kan måles. Dette faktum skaber det misvisende indtryk, at rationelle tal kan bruges til at måle alle geometriske afstande. Det er nemt at vise, at det ikke er sandt.

Noter

Litteratur

I. Kushnir. Håndbog i matematik for skolebørn. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Introduktion til mængdelære og generel topologi. - M.: kapitel. udg. fysik og matematik tændt. udg. "Science", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduktion til teorien om algebraiske systemer

Links

Wikimedia Foundation. 2010.

Nummer- et vigtigt matematisk begreb, der har ændret sig gennem århundreder.

De første ideer om tal opstod ved at tælle mennesker, dyr, frugter, forskellige produkter osv. Resultatet er naturlige tal: 1, 2, 3, 4, ...

Historisk set er den første udvidelse af talbegrebet tilføjelsen af brøktal til det naturlige tal.

Brøk en del (andel) af en enhed eller flere lige store dele kaldes.

Udpeget af: , hvor m, n- hele tal;

Brøker med nævner 10 n, Hvor n- et helt tal, kaldet decimal: .

Blandt decimaler særligt sted besætte periodiske brøker: - ren periodisk fraktion, - blandet periodisk fraktion.

Yderligere udvidelse af talbegrebet er forårsaget af udviklingen af selve matematikken (algebra). Descartes i det 17. århundrede. introducerer konceptet negativt tal.

Tallene heltal (positive og negative), brøker (positive og negative) og nul kaldes rationelle tal. Ethvert rationelt tal kan skrives som en endelig og periodisk brøk.

For at studere konstant skiftende variable størrelser, viste det sig, at en ny udvidelse af talbegrebet var nødvendig - introduktionen af reelle (reelle) tal - ved at tilføje irrationelle tal til rationelle tal: irrationelle tal er uendelige decimaler, ikke-periodiske brøker.

Irrationelle tal dukkede op ved måling af inkommensurable segmenter (siden og diagonalen af et kvadrat), i algebra - når man udtrækker rødder, er et eksempel på et transcendentalt, irrationelt tal π, e .

Tal naturlig(1, 2, 3,...), hel(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rationel(repræsenteres som en brøkdel) og irrationel(ikke repræsenteret som en brøkdel ) danne et sæt ægte (rigtig) tal.

Komplekse tal skelnes separat i matematik.

Komplekse tal opstå i forbindelse med problemet med at løse kvadrater til sagen D< 0 (здесь D– diskriminant af en andengradsligning). I lang tid fandt disse tal ikke fysisk anvendelse, hvorfor de blev kaldt "imaginære" tal. Men nu er de meget udbredt inden for forskellige områder af fysik og teknologi: elektroteknik, hydro- og aerodynamik, elasticitetsteori osv.

Komplekse tal skrives på formen: z= -en+ bi. Her -en Og b – reelle tal, A jeg – imaginær enhed, dvs.e. jeg 2 = -1. Nummer -en hedder abscisse, a b –ordinere komplekst tal -en+ bi. To komplekse tal -en+ bi Og a–bi hedder konjugat komplekse tal.

Ejendomme:

1. Reelt tal EN kan også skrives i kompleks talform: -en+ 0jeg eller en – 0jeg. For eksempel 5 + 0 jeg og 5-0 jeg betyder det samme tal 5.

2. Kompleks tal 0 + bi hedder rent imaginært nummer. Optage bi betyder det samme som 0 + bi.

3. To komplekse tal -en+ bi Og c+ di anses for lige hvis -en= c Og b= d. Ellers komplekse tal ikke lige.

Handlinger:

Tilføjelse. Summen af komplekse tal -en+ bi Og c+ di kaldes et komplekst tal ( -en+ c) + (b+ d)jeg. Dermed, Når komplekse tal tilføjes, tilføjes deres abscisser og ordinater separat.

Subtraktion. Forskellen mellem to komplekse tal -en+ bi(formindsket) og c+ di(subtrahend) kaldes et komplekst tal ( a–c) + (b-d)jeg. Dermed, Når du trækker to komplekse tal fra, trækkes deres abscisse og ordinater fra hver for sig.

Multiplikation. Produkt af komplekse tal -en+ bi Og c+ di kaldes et komplekst tal:

(ac–bd) + (annonce+ f.Kr)jeg. Denne definition følger af to krav:

1) tal -en+ bi Og c+ di skal multipliceres som algebraiske binomialer,

2) nummer jeg har hovedegenskaben: jeg 2 = –1.

EKSEMPEL ( a+ bi)(a–bi)=a 2 +b 2 . Derfor, arbejdeaf to konjugerede komplekse tal er lig med et positivt reelt tal.

Division. Divider et komplekst tal -en+ bi(deles) med en anden c+ di (deler) - betyder at finde det tredje tal e+ f i(chat), som når ganget med en divisor c+ di, resulterer i udbytte -en+ bi. Hvis divisor ikke er nul, er division altid muligt.

EKSEMPEL Find (8+ jeg) : (2 – 3jeg) .

Løsning Lad os omskrive dette forhold som en brøk:

Multiplicer dens tæller og nævner med 2 + 3 jeg og efter at have udført alle transformationerne får vi:

Opgave 1: Addere, subtrahere, gange og dividere z 1 på z 2

Udtræk kvadratroden: Løs ligningen x 2 = -en. For at løse denne ligning vi er tvunget til at bruge tal af en ny type - imaginære tal . Dermed, imaginært nummeret ringes op hvis anden potens er et negativt tal. Ifølge denne definition af imaginære tal kan vi definere og imaginært enhed:

Så til ligningen x 2 = – 25 får vi to imaginært rod:

Opgave 2: Løs ligningen:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrisk repræsentation af komplekse tal. Reelle tal er repræsenteret ved punkter på tallinjen:

Her er pointen EN betyder tallet –3, prik B–nummer 2, og O-nul. I modsætning hertil er komplekse tal repræsenteret af punkter på koordinatplanet. Til dette formål vælger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skalaer på begge akser. Derefter det komplekse tal -en+ bi vil blive repræsenteret med en prik P med abscisseEN og ordinereb. Dette koordinatsystem kaldes komplekst plan .

modul komplekst tal er længden af vektoren OP, der repræsenterer et komplekst tal på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus af et komplekst tal -en+ bi betegnet | -en+ bi| eller) brev r og er lig med:

Konjugerede komplekse tal har samme modul.

Reglerne for at tegne en tegning er næsten de samme som for en tegning i et kartesisk koordinatsystem Langs akserne skal du indstille dimensionen, bemærk:

e
enhed langs den reelle akse; Rez

imaginær enhed langs den imaginære akse. Jeg er z

Opgave 3. Konstruer følgende komplekse tal på den komplekse plan: , , , , , , ,

1. Tallene er nøjagtige og omtrentlige. De tal, vi møder i praksis, er af to slags. Nogle giver den sande værdi af mængden, andre kun omtrentlige. Den første kaldes eksakt, den anden - omtrentlig. Oftest er det praktisk at bruge et omtrentligt tal i stedet for et nøjagtigt, især da det i mange tilfælde nøjagtige antal umuligt at finde overhovedet.

Så hvis de siger, at der er 29 elever i en klasse, så er tallet 29 korrekt. Hvis de siger, at afstanden fra Moskva til Kiev er 960 km, så er tallet 960 her omtrentlig, da vores måleinstrumenter på den ene side ikke er absolut nøjagtige, på den anden side har byerne selv en vis udstrækning.

Resultatet af handlinger med omtrentlige tal er også et omtrentligt tal. Ved at udføre nogle operationer på nøjagtige tal (division, rodudvinding), kan du også opnå omtrentlige tal.

Teorien om omtrentlige beregninger tillader:

1) at kende graden af nøjagtighed af dataene, evaluere graden af nøjagtighed af resultaterne;

2) tage data med en passende grad af nøjagtighed, der er tilstrækkelig til at sikre den nødvendige nøjagtighed af resultatet;

3) rationalisere beregningsprocessen, frigør den fra de beregninger, der ikke vil påvirke nøjagtigheden af resultatet.

2. Afrunding. En kilde til at opnå omtrentlige tal er afrunding. Både omtrentlige og nøjagtige tal er afrundet.

At afrunde et givet tal til et bestemt ciffer kaldes at erstatte det med et nyt tal, som fås fra det givne ved at kassere alle dets cifre skrevet til højre for cifferet i dette ciffer, eller ved at erstatte dem med nuller. Disse nuller er normalt understreget eller skrevet mindre. For at sikre, at det afrundede tal er så tæt som muligt på det, der afrundes, bør du bruge følgende regler: for at afrunde et tal til et af et bestemt ciffer, skal du kassere alle cifrene efter cifferet i dette ciffer, og erstatte dem med nuller i hele tallet. Følgende tages i betragtning:

1) hvis det første (til venstre) af de kasserede cifre er mindre end 5, så ændres det sidste resterende ciffer ikke (afrunding nedad);

2) hvis det første ciffer, der skal kasseres, er større end 5 eller lig med 5, så øges det sidste ciffer tilbage med én (afrunding med overskydende).

Lad os vise dette med eksempler. Rund:

a) op til tiendedele 12.34;

b) til hundrededele 3,2465; 1038,785;

c) op til tusindedele 3,4335.

d) op til tusind 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolutte og relative fejl. Forskellen mellem det nøjagtige tal og dets omtrentlige værdi kaldes den absolutte fejl af det omtrentlige tal. For eksempel, hvis det nøjagtige tal 1,214 afrundes til nærmeste tiendedel, får vi et omtrentligt tal på 1,2. I dette tilfælde absolut fejl det omtrentlige tal 1,2 er lig med 1,214 - 1,2, dvs. 0,014.

Men i de fleste tilfælde præcise værdi den pågældende mængde er ukendt, men kun omtrentlig. Så er den absolutte fejl ukendt. I disse tilfælde skal du angive den grænse, som den ikke overskrider. Dette tal kaldes den begrænsende absolutte fejl. De siger, at den nøjagtige værdi af et tal er lig med dets omtrentlige værdi med en fejl mindre end den marginale fejl. For eksempel er tallet 23,71 en omtrentlig værdi af tallet 23,7125 med en nøjagtighed på 0,01, da den absolutte fejl i tilnærmelsen er 0,0025 og mindre end 0,01. Her er den begrænsende absolutte fejl 0,01 *.

Grænse absolut fejl af det omtrentlige tal EN angivet med symbolet Δ -en. Optage

x≈-en(±Δ -en)

skal forstås som følger: den nøjagtige værdi af mængden x er mellem tallene EN– Δ -en Og EN+ Δ EN, som kaldes henholdsvis nedre og øvre grænser x og betegne NG x VG x.

For eksempel hvis x≈ 2,3 (±0,1), derefter 2,2<x< 2,4.

Omvendt, hvis 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). Den absolutte eller marginale absolutte fejl karakteriserer ikke kvaliteten af den udførte måling. Den samme absolutte fejl kan betragtes som væsentlig og ubetydelig afhængig af det tal, som den målte værdi er udtrykt med. For eksempel, hvis vi måler afstanden mellem to byer med en nøjagtighed på en kilometer, så er en sådan nøjagtighed ganske tilstrækkelig til denne ændring, men på samme tid, når man måler afstanden mellem to huse på samme gade, vil en sådan nøjagtighed være uacceptabelt. Som følge heraf afhænger nøjagtigheden af den omtrentlige værdi af en mængde ikke kun af størrelsen af den absolutte fejl, men også af værdien af den målte mængde. Derfor er målet for nøjagtighed den relative fejl.

Relativ fejl er forholdet mellem den absolutte fejl og værdien af det omtrentlige tal. Forholdet mellem den begrænsende absolutte fejl og det omtrentlige antal kaldes den begrænsende relative fejl; de betegner det sådan: . Relative og marginale relative fejl udtrykkes normalt som procenter. For eksempel hvis målinger viste, at afstanden x mellem to punkter er mere end 12,3 km, men mindre end 12,7 km, så tages den aritmetiske middelværdi af disse to tal som dens omtrentlige værdi, dvs. deres halvsum, så er den marginale absolutte fejl lig med halvforskellen af disse tal. I dette tilfælde x≈ 12,5 (±0,2). Her er den begrænsende absolutte fejl 0,2 km, og den begrænsende relativ

) er tal med et positivt eller negativt fortegn (heltal og brøker) og nul. Et mere præcist begreb om rationelle tal lyder sådan her:

Rationelt tal- et tal, der er repræsenteret som en almindelig brøk m/n, hvor tælleren m er heltal og nævneren n- heltal, for eksempel 2/3.

Uendelige ikke-periodiske brøker er IKKE inkluderet i sættet af rationelle tal.

a/b, Hvor -en∈ Z (-en hører til heltal), b∈ N (b hører til naturlige tal).

Brug af rationelle tal i det virkelige liv.

I det virkelige liv bruges sættet af rationelle tal til at tælle delene af nogle heltal delelige objekter, For eksempel, kager eller andre fødevarer, der skæres i stykker før indtagelse, eller til groft estimering af de rumlige forhold af udvidede objekter.

Egenskaber for rationelle tal.

Grundlæggende egenskaber ved rationelle tal.

1. Ordenhed -en Og b der er en regel, der giver dig mulighed for utvetydigt at identificere 1 og kun en af 3 relationer mellem dem: "<», «>" eller "=". Denne regel er - bestillingsregel og formulere det sådan:

2 positive tal a=m a /n a Og b=mb/nb er relateret af samme forhold som 2 heltal m a⋅ n b Og m b⋅ n a;
2 negative tal -en Og b er forbundet med samme forhold som 2 positive tal |b| Og |a|;
Hvornår -en positiv og b- negativ altså a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Tilføjelsesoperation. For alle rationelle tal -en Og b Der er summeringsregel, som forbinder dem med et bestemt rationelt tal c. Desuden selve nummeret c- Det her sum tal -en Og b og det er betegnet som (a+b) summering.

Summationsregel ser sådan ud:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Multiplikationsoperation. For alle rationelle tal -en Og b Der er multiplikationsreglen, det forbinder dem med et bestemt rationelt tal c. Tallet c kaldes arbejde tal -en Og b og betegne (a⋅b), og processen med at finde dette nummer kaldes multiplikation.

Multiplikationsregel ser sådan ud: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivitet af ordrerelationen. For alle tre rationelle tal -en, b Og c Hvis -en mindre b Og b mindre c, At -en mindre c, og hvis -en lige med b Og b lige med c, At -en lige med c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ -en ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Kommutativitet af tilføjelse. Ændring af placeringen af de rationelle udtryk ændrer ikke summen.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Tilføjelse associativitet. Rækkefølgen, hvori 3 rationale tal tilføjes, påvirker ikke resultatet.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Tilstedeværelse af nul. Der er et rationelt tal 0, det bevarer hvert andet rationelt tal, når det tilføjes.

∃ 0 ∈ Q∀ -en∈ Q a+0=a

8. Tilstedeværelse af modsatte tal. Ethvert rationelt tal har et modsat rationelt tal, og når de lægges sammen, er resultatet 0.

∀ -en∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Kommutativitet af multiplikation. Ændring af steder for rationelle faktorer ændrer ikke produktet.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ -en

10. Associativitet af multiplikation. Den rækkefølge, hvori 3 rationale tal ganges, har ingen indflydelse på resultatet.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Enhedens tilgængelighed. Der er et rationelt tal 1, det bevarer hvert andet rationelt tal i multiplikationsprocessen.

∃ 1 ∈ Q∀ -en∈ Qa⋅ 1=a

12. Tilgængelighed gensidige tal . Hvert andet rationelt tal end nul har et omvendt rationelt tal, multipliceret med hvilket vi får 1 .

∀ -en∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Fordeling af multiplikation i forhold til addition. Multiplikationsoperationen er relateret til addition ved hjælp af den distributive lov:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Forholdet mellem ordrerelationen og additionsoperationen. Det samme rationelle tal tilføjes til venstre og højre side af en rationel ulighed.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Sammenhæng mellem ordensrelationen og multiplikationsoperationen. Venstre og højre side af en rationel ulighed kan ganges med det samme ikke-negative rationelle tal.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ -en ⇒ -en⋅ c ⋅ c

16. Arkimedes aksiom. Uanset det rationelle tal -en, er det nemt at tage så mange enheder, at deres sum bliver større -en.

Rationelle tal

Kvarter

Ordenhed. -en Og b der er en regel, der tillader en unikt at identificere én og kun én af de tre mellem dem relationer : « < », « >" eller " = ". Denne regel kaldes bestillingsregel og er formuleret som følger: to ikke-negative tal og er relateret af samme relation som to heltal og ; to ikke-positive tal -en Og b er beslægtet med samme relation som to ikke-negative tal og ; hvis pludselig -en ikke-negativ, men b- negativ altså -en > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Tilføjelse af brøker
Tilføjelsesoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt summeringsregel c. Samtidig med selve nummeret c hedder beløb tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes summering. Summeringsreglen har følgende form: .
Multiplikationsoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt multiplikationsreglen, som tildeler dem et eller andet rationelt tal c. Samtidig med selve nummeret c hedder arbejde tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes også multiplikation. Multiplikationsreglen ser således ud: .
Transitivitet ordrerelationer. For enhver tredobbelt af rationelle tal -en , b Og c Hvis -en mindre b Og b mindre c, At -en mindre c, og hvis -en lige med b Og b lige med c, At -en lige med c. 6435">Kommutativitet af addition. Ændring af placeringen af rationelle udtryk ændrer ikke summen.
Associativitet tilføjelse. Rækkefølgen, hvori tre rationale tal tilføjes, påvirker ikke resultatet.
Tilgængelighed nul. Der er et rationelt tal 0, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det tilføjes.
Tilstedeværelsen af modsatte tal. Ethvert rationelt tal har et modsat rationelt tal, som når det lægges til giver 0.
Kommutativitet af multiplikation.Ændring af steder for rationelle faktorer ændrer ikke produktet.
Associativitet af multiplikation. Rækkefølgen, hvori tre rationelle tal ganges, påvirker ikke resultatet.
Tilgængelighed enheder. Der er et rationelt tal 1, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det ganges.
Tilgængelighed gensidige tal. Ethvert rationelt tal har et omvendt rationelt tal, som når ganget med giver 1.
Distributivitet multiplikation i forhold til addition. Multiplikationsoperationen koordineres med additionsoperationen gennem fordelingsloven:
Forbindelse af ordrerelationen med driften af addition. Det samme rationelle tal kan tilføjes til venstre og højre side af en rationel ulighed. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arkimedes aksiom. Uanset det rationelle tal -en, kan du tage så mange enheder, at deres sum overstiger -en. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Yderligere ejendomme

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Tællelighed af et sæt

Nummerering af rationelle tal

For at estimere antallet af rationelle tal, skal du finde strøm der er mange af dem. Det er let at bevise, at mængden af rationelle tal tælleligt. For at gøre dette er det nok at give en algoritme, der tæller rationelle tal, dvs. bijektion mellem mængderne af rationelle og naturlige tal.

Den enkleste af disse algoritmer ser sådan ud. En endeløs tabel med almindelige brøker er kompileret på hver jeg-te linje i hver j den søjle, hvoraf fraktionen er placeret. For nøjagtighedens skyld antages det, at rækkerne og kolonnerne i denne tabel er nummereret fra én. Tabelceller er angivet med , hvor jeg- nummeret på tabelrækken, hvori cellen er placeret, og j- kolonnenummer.

Den resulterende tabel gennemløbes ved hjælp af en "slange" i henhold til følgende formelle algoritme.

Disse regler søges fra top til bund, og den næste position vælges baseret på det første match.

I processen med en sådan traversering er hvert nyt rationelt tal forbundet med et andet naturligt tal. Det vil sige, at brøken 1/1 tildeles tallet 1, brøken 2/1 til tallet 2 osv. Det skal bemærkes, at kun irreducerbare brøker er nummereret. Et formelt tegn på irreducerbarhed er lighed med én største fælles divisor tæller og nævner af brøken.

Mangel på rationelle tal

Hypotenusen af en sådan trekant kan ikke udtrykkes med noget rationelt tal

Rationale tal på formen 1 / n i det store hele n kan måles vilkårligt små mængder. Dette faktum skaber det misvisende indtryk, at rationelle tal kan måle enhver geometriske afstande. Det er nemt at vise, at det ikke er sandt.

Noter

Litteratur

I. Kushnir. Håndbog i matematik for skolebørn. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Introduktion til mængdelære og generel topologi. - M.: kapitel. udg. fysik og matematik tændt. udg. "Science", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduktion til teorien om algebraiske systemer