Gensidige primtal. Coprime tal
Definition 1. Heltal a 1,a 2,…,a k kaldes co-prime hvis (a 1 ,a 2 ,...,a k) =1
Definition 2. Heltal a 1,a 2,…,a k kaldes parvise coprime hvis i,s (i, s = 1, 2, .. , k, is, (a i, a s) =1) .
Hvis tallene opfylder definition 2, så opfylder de definition 1. Det omvendte udsagn er generelt falsk, for eksempel: (15, 21, 19) = 1, men (15, 21) = 3
Sætning (kriterium for gensidig enkelhed)
(a, b) = 1<=> x, y Z: ax + by = 1
Bevis:
Lad os bevise nødvendigheden. Lad (a, b) = 1. Ovenfor viste vi, at hvis d = (a, b), så x, y Z: d = ax + by.
Fordi i dette tilfælde d =1, så vil der være x, y Z (bestemt ud fra den euklidiske algoritme): 1 = ax + by.
Tilstrækkelighed. Lad (*) ax + by = 1, lad os bevise, at (a, b) = 1. Antag, at (a, b) = d, så på venstre side af lighed (*)
(en / d ) & ( b/d ) => (ah + by) /d => (1/d) => (d=l) => (a, b) = 1.
§4. Nok af heltal og dets egenskaber.
Definition 1. Det fælles multiplum af et endeligt sæt af heltal a 1,a 2,...,a k, forskelligt fra nul, er et heltal m, der er deleligt med alle tal a i (i=l, 2,..., k)
Definition 2. Et heltal (m) kaldes det mindste fælles multiplum af tallene a 1, a 2,..., a k, forskellig fra nul, hvis:
1 m - er deres fælles multiplum;
2 (m) dividerer ethvert andet fælles multiplum af disse tal.
Betegnelse: m = LCM (a 1,a 2,...,a k) eller m = [a 1,a 2,...,a k]
Eksempel. Tallene er givet: 2, 3, 4, 6, 12.
Tallene 12, 24. 48. 96 er fælles multipla af tallene 2, 3, 4, 6, 12. Det mindste fælles multiplum er tallet 12. dvs.
LCM bestemmes entydigt op til rækkefølgen af faktorerne. Faktisk, hvis vi antager, at m 1 = [a, b] &m 2 = (m 1 / m 2) & (m 2 / m 1) => [(m 1 = m 2) v (m 1 = - m 2)]. Der er en sammenhæng mellem det mindste fælles multiplum og den største fælles divisor af to heltal, som er udtrykt ved formlen: [a, b] = ab/(a, b) (udled det selv)
Denne forbindelse giver os mulighed for at angive, at for ethvert par af heltal bortset fra nul, er der deres mindste fælles multiplum. Faktisk kan (a, b) altid entydigt udledes fra den euklidiske algoritme og per definition (a, b) 0, så vil brøken ab/(a, b) 0 være entydigt bestemt.
LCM for to heltal beregnes nemmest i det tilfælde, hvor (a, b) = 1, så [a, b] = ab/1 = a b
For eksempel = 215/1 = 105, fordi (21, 5) = 1.
§5. Primtal og deres egenskaber.
Definition 1. Et naturligt tal (p) kaldes primtal, hvis p > 1 og ikke har et positivt tal. andre divisorer end 1 og p.
Definition 2. Et naturligt tal a > 1, der har andre positive divisorer udover 1 og i sig selv kaldes sammensat.
Af disse definitioner følger det, at mængden af naturlige tal kan opdeles i tre klasser:
a) sammensatte tal;
b) Primtal;
c) enhed.
Hvis a er sammensat, så er a = nq, hvor 1 Opgave 1. Bevis, at hvis aZ og p er et primtal, så er (a, p) = 1 v (a / p) Bevis. Lad d = (a, p) =>
(a /d) & (p /d), fordi p er et primtal, så har det to divisorer 1 og p. Hvis (a, p) = 1, så er a og p coprime; hvis (a, p) = p, så er (a/p). Opgave 2. Hvis produktet af flere faktorer er deleligt med p, så er mindst én af faktorerne deleligt med p. Løsning. Lad produktet (en 1, en 2, ...,
og k)/р, hvis alle a i ikke er delelige med p, så vil produktet være coprime med p, derfor er en eller anden faktor delelig med p. Opgave 3. Bevis, at den mindste ikke-1 divisor af et heltal a>1 er et primtal. Bevis. Lad aZ og a være et sammensat tal (hvis a = p, så er udsagnet bevist), så er a = a 1 q. Lad q være den mindste divisor, lad os vise, at det vil være et primtal. Hvis vi antager, at q er et sammensat tal, så er q = q 1 k og a = a 1 q 1 k, fordi q 1 Opgave 4. Bevis, at den mindste primtalsdivisor (p) af et naturligt tal (n) ikke overstiger n. Bevis. Lad n = pn 1, og p< n 1
и р - простое. Тогда n
р 2
=>R<n
. Af dette udsagn følger det, at hvis et naturligt tal (n) ikke er deleligt med noget primtal p n, så er n primtal, ellers vil det være sammensat. Eksempel 1. Find ud af, om 137 er et primtal? elleve<137
<12. Vi nedskriver primfaktorer, der ikke overstiger 137: 2, 3, 5, 7, 11. Vi tjekker, at 137 ikke er deleligt med 2, 3, 5, 7, 11. Derfor er tallet 137 primtal. Euklids sætning. Sættet af primtal er uendeligt. Bevis. Lad os antage det modsatte, lad p 1 , p 2 , ...,
p k er alle primtal, hvor p 1 = 2 og p k er det største primtal. Lad os sammensætte et naturligt tal = p 1 p 2 ...
p til +1, fordi p i, så skal den være sammensat, så vil dens mindste divisor være primtal (se opgave 3). er dog ikke deleligt med hverken p 1, eller p 2,... eller p k, fordi 1 er ikke deleligt med nogen p I. Derfor var vores antagelse om, at sættet af primtal er endeligt, forkert. Der er dog en sætning, der siger, at primtal kun udgør en lille del af de naturlige tal. Intervalsætning. I den naturlige række er der vilkårligt lange intervaller, der ikke indeholder et enkelt primtal. Bevis. Lad os tage et vilkårligt naturligt tal (n) og skabe en sekvens af naturlige tal (n+1)!+2, n+1)!+3,...,(n+1)!+(n+1). I denne sekvens er hvert efterfølgende tal 1 større end det foregående, alle disse tal er sammensatte, fordi hver har mere end to divisorer (f.eks. er det første tal deleligt med 1, med 2 og med sig selv). Som n→∞ får vi et vilkårligt langt interval, der kun består af sammensatte tal. Euklids sætning og intervalsætningen angiver den komplekse karakter af fordelingen af primtal i den naturlige række. Aritmetikkens grundlæggende sætning Ethvert naturligt tal n>1 kan repræsenteres på en unik måde som et produkt af primtal, op til rækkefølgen af faktorerne. Bevis. Lad os bevise muligheden for repræsentation: Lad nN og n>1, hvis n er et primtal, så er n = p og sætningen er bevist. Hvis n er sammensat, vil dens mindste divisor være et primtal og n = p 1 n 1, hvor n 1 Dernæst argumenterer vi på samme måde. Hvis n 1 er et primtal, så er sætningen bevist, hvis n 1 er et sammensat tal, så er n 1 = p 2 n 2, hvor n 2< n 1
и тогда n
= p 1 p 2 n 2
. На каком-то шаге получим n
= p 1 p 2
…p n
, где все p i
- простые числа. Lad os bevise det unikke ved nedbrydningen: Lad os antage, at der er to forskellige repræsentationer for tallet (n): n = p 1 p 2 …p k, n = q 1 q 2 …q n og n>k. Så får vi at p 1 p 2 …p k = q 1 q 2 …q n (1). Venstre side af lighed (1) er delelig med p 1 , derefter skal, med egenskaben af primtal (se opgave 2), mindst en af faktorerne på højre side være delelig med p 1 . Lad (q 1 /p 1) => (q 1 = p 1). Ved at dividere begge sider af lighed (1) med p 1, får vi ligheden p 2 p 3 …p k = q 2 q 3 …q n. Ved at gentage det foregående ræsonnement en anden (k-1) gange får vi ligheden 1 = q k +1 q k +2 …q n , fordi alle q i >1, så er denne lighed umulig. Følgelig er antallet af faktorer det samme i begge udvidelser (k=n), og selve faktorerne er de samme. Kommentar. Når et tal (n) dekomponeres i simple faktorer, kan nogle af dem gentages. Ved at angive med bogstaverne 1 , 2 ,…, k multipliciteten af deres forekomst i (n), opnår vi den såkaldte kanoniske udvidelse af tallet (n): Eksempel 2. Kanonisk udvidelse af tallet 588000 = 2 5 35 3 7 2 Konsekvens 1. Hvis Eksempel 3. Alle divisorer af tallet 720 = 2 4 3 2 5 fås hvis i udtrykket De nødvendige divisorer vil være lig med: 1; 2; 4; 8; 16; 3; 6; 12; 24; 48; 9; 18; 36; 72; 144; 5; 10; 20; 40; 80; 15; tredive; 60; 120; 240; 45; 90; 180; 360; 720. Konsekvens 2. Hvis P 1 1 p 2 2 …p k k, hvor i = max( I , i). Eksempel 4. Find GCD(a, b) og LCM(a, b) ved hjælp af kanonisk ekspansion if (24,
42) = 23
= 6 Oplysningerne i denne artikel dækker emnet " coprimtal" Først gives definitionen af to coprimtal samt definitionen af tre eller flere coprimtal. Herefter gives eksempler på coprimtal, og det vises, hvordan man beviser, at givne tal er coprime. Følgende lister og beviser de grundlæggende egenskaber ved coprimtal. Til sidst nævnes parvise primtal, fordi de er tæt beslægtede med coprimtal. Sidenavigation. Der er ofte opgaver, hvor du skal bevise, at givne heltal er relativt prime. Beviset går ud på at beregne den største fælles divisor af de givne tal og kontrollere gcd'en for at se, om den er lig med en. Det er også nyttigt at se på primtalstabellen, før gcd beregnes: hvad nu hvis de oprindelige heltal er primtal, og vi ved, at den største fælles divisor primtal er lig med en. Lad os se på eksempelløsningen. Eksempel. Bevis, at tallene 84 og 275 er relativt primtal. Løsning. Det er klart, at disse tal ikke er primtal, så vi kan ikke umiddelbart tale om den relative primehed af tallene 84 og 275, og vi bliver nødt til at beregne gcd. Vi bruger den euklidiske algoritme til at finde GCD: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1, derfor gcd(84, 275)=1. Dette beviser, at tallene 84 og 275 er relativt primtal. Definitionen af coprime tal kan udvides til tre og mere tal. Definition. Heltal a 1 , a 2 , …, a k , k>2 kaldes gensidigt prime, hvis den største fælles divisor af disse tal er lig med én. Af den angivne definition følger det, at hvis et bestemt sæt af heltal har en anden positiv fælles divisor end én, så er disse heltal ikke coprime. Lad os give eksempler. Tre heltal -99, 17 og -27 er relativt primtal. Enhver samling af primtal udgør et sæt af primtal, for eksempel er 2, 3, 11, 19, 151, 293 og 677 bi-primtal. Og de fire tal 12, −9, 900 og −72 er ikke coprime, fordi de har en positiv fælles divisor 3 ud over 1. Tallene 17, 85 og 187 er heller ikke relativt primtal, da hver af dem er delelig med 17. Det er normalt langt fra indlysende, at nogle tal er relativt prime, og dette faktum skal bevises. For at finde ud af, om givne tal er coprime, skal du finde den største fælles divisor af disse tal og drage en konklusion baseret på definitionen af coprime tal. Eksempel. Er tallene 331, 463 og 733 relativt primtal? Løsning. Ser vi på tabellen med primtal, vil vi opdage, at hvert af tallene 331, 463 og 733 er primtal. Derfor har de en enkelt positiv fælles divisor - en. De tre tal 331, 463 og 733 er således relativt primtal. Svar: Ja. Eksempel. Bevis at tallene −14 , 105 , −2 107 og −91 ikke er coprime. Løsning. For at bevise, at disse tal ikke er relativt primtal, kan du finde deres gcd og sikre dig, at den ikke er lig med én. Det er, hvad vi vil gøre. Siden heltalsdelere negative tal falder sammen med divisorerne af den tilsvarende , så GCD(−14; 105; 2 107; −91)= GCD(14, 105, 2 107, 91) . Når vi ser på materialet i artiklen, der finder den største fælles divisor af tre eller flere tal, finder vi ud af, at GCD(14, 105, 2 107, 91) = 7. Derfor er den største fælles divisor af de oprindelige tal syv, så disse tal er ikke coprime. Coprimtal har en række egenskaber. Lad os se på det vigtigste egenskaber ved coprimtal. Tallene opnået ved at dividere de heltal a og b med deres største fælles divisor er coprime, dvs. a:GCD(a, b) og b:GCD(a,b) er coprime. Vi beviste denne egenskab, da vi undersøgte egenskaberne af GCD. Den betragtede egenskab ved coprimtal giver os mulighed for at finde par af coprimtal. For at gøre dette er det nok at tage to heltal og dividere dem med den største fælles divisor, de resulterende tal vil være relativt prime. For at heltal a og b skal være relativt primtal, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at der eksisterer heltal u 0 og v 0, således at a·u 0 +b·v 0 =1. Lad os først bevise nødvendigheden. Lad tallene a og b være relativt primtal. Derefter, ifølge definitionen af coprimtal, gcd(a, b)=1. Og fra egenskaberne for GCD ved vi, at for heltal a og b er Bezout-relationen a·u 0 +b·v 0 =GCD(a, b) sand. Derfor er a·u 0 +b·v 0 =1. Det er tilbage at bevise tilstrækkeligheden. Lad ligheden a·u 0 +b·v 0 =1 være sand. Da GCD(a, b) deler både a og b, så skal GCD(a, b), på grund af delelighedens egenskaber, dividere summen a·u 0 +b·v 0, og derfor enhed. Og dette er kun muligt, når GCD(a, b)=1. Derfor er a og b relativt primtal. Den næste egenskab ved coprimtal er denne: hvis tallene a og b er coprime, og produktet a·c er deleligt med b, så er c deleligt med b. Faktisk, da a og b er relativt primtal, så har vi fra den forrige egenskab ligheden a·u 0 +b·v 0 =1. Hvis vi multiplicerer begge sider af denne lighed med c, har vi a·c·u 0 +b·c·v 0 =c. Det første led af summen a·c·u 0 +b·c·v 0 divideres med b, da a·c divideres med b ifølge betingelsen, divideres det andet led i denne sum også med b, da en af faktorerne er lig med b, derfor divideres hele summen med b. Og da summen a·c·u 0 +b·c·v 0 er lig med c, så er c delelig med b. Hvis tallene a og b er relativt primtal, så er gcd(a c, b) = gcd(c, b) . Lad os for det første vise, at gcd(a c, b) deler gcd(c, b), og for det andet, at gcd(c, b) deler gcd(a c, b), dette vil bevise ligheden GCD(a c, b) =GCD(c, b) . GCD(a c, b) deler både a c og b, og da gcd(a c, b) deler b, deler den også b c. Det vil sige, at gcd(a c, b) deler både a c og b c, derfor deler den på grund af egenskaberne for den største fælles divisor også gcd(a c, b c), som ifølge gcds egenskaber er lig med c GCD(a, b)=c. Således deler gcd(a c, b) både b og c, derfor deler gcd(c, b) også. På den anden side deler GCD(c, b) både c og b, og da den deler c, deler den også a·c. Således deler gcd(c, b) både a c og b, derfor deler den også gcd(a c, b). Så vi viste, at gcd(a c, b) og gcd(c, b) indbyrdes deler hinanden, hvilket betyder, at de er lige store. Hvis hvert af tallene a 1 , a 2 , …, a k er coprime med hvert af tallene b 1 , b 2 , …, b m (hvor k og m er nogle naturlige tal), så er produkterne a 1 · a 2 · … · a k og b 1 · b 2 ·…·b m er coprimtal, især hvis a 1 =a 2 =…=a k =a og b 1 =b 2 =…=b m =b, så er a k og b m coprimtal. Den tidligere egenskab af coprimtal tillader os at skrive en række ligheder i formen GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)= GCD(a 2 ·…·a k , b m)=…=GCD(a k , b m)=1, hvor den sidste overgang er mulig, da a k og b m er indbyrdes primtal efter betingelse. Så, GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)=1. Nu, der betegner a 1 ·a 2 ·…·a k =A, har vi Dette afslutter vores gennemgang af de grundlæggende egenskaber ved coprimtal. Gennem coprimtal er det givet identificere par af primtal. Definition. Heltal a 1, a 2, …, a k, som hver er relativt primtal i forhold til alle de andre, kaldes parvise primtal.
Lad os give et eksempel på parvise primtal. Tallene 14, 9, 17 og -25 er parvise primtal, da parrene af tallene 14 og 9, 14 og 17, 14 og -25, 9 og 17, 9 og -25, 17 og -25 er coprimtal. Her bemærker vi, at parvise primtal altid er coprime. På den anden side er relativt primtal ikke altid parvise primtal, som det følgende eksempel bekræfter. Tallene 8, 16, 5 og 15 er ikke parvise primtal, da tallene 8 og 16 ikke er coprime. Tallene 8, 16, 5 og 15 er dog relativt primtal. Således er 8, 16, 5 og 15 relativt primtal, men ikke parvise primtal. Vi bør især fremhæve samlingen af et vist antal primtal. Disse tal er altid både relativt primtal og parvise primtal. For eksempel er 71, 443, 857, 991 både parvise primtal og coprimtal. Det er også klart, at hvornår vi taler om omkring to heltal, så for dem falder begreberne "parvis primtal" og "gensidigt primtal" sammen. Bibliografi. Hvad er coprimtal? Definition af coprimtal: Coprimtal er heltal, der ikke har andre fælles faktorer end én. Eksempel på coprimtal: 2 og 3 har ingen andre fælles divisorer end én. Et andet eksempel på coprimtal: 3 og 7 har ingen andre fælles faktorer end én. Et andet eksempel på coprimtal: 11 og 13 har ingen andre fælles faktorer end én. Nu kan vi besvare spørgsmålet om, hvad coprimtal betyder. Hvad betyder coprimtal? Disse er heltal, der ikke har andre fælles divisorer end én. Hvert af disse par er to relativt primtal. 11 og 15 De fælles divisorer af coprime tal er kun én, som følger af definitionen af coprime tal. Den største fælles divisor af coprime tal er én, som følger af definitionen af coprime tal. Er tallene 3 og 13 coprime? Ja, for de har ingen fælles divisorer undtagen én. Er tallene 3 og 12 coprime? Nej, fordi deres fælles divisor er 1 og 3. Og ifølge definitionen af coprime tal, bør fælles divisor kun være en. Er tallene 3 og 108 coprime? Nej, fordi deres fælles divisor er 1 og 3. Og ifølge definitionen af coprime tal, bør fælles divisor kun være en. Er tallene 108 og 5 coprime? Ja, for de har ingen fælles divisorer undtagen én. $p$ kaldes et primtal, hvis det kun har $2$ divisorer: $1$ og sig selv. Afdeler naturligt tal$a$ er et naturligt tal, hvormed det oprindelige tal $a$ er deleligt uden en rest. Eksempel 1 Find divisorerne for tallet $6$. Løsning: Vi skal finde alle de tal, som det givne tal $6$ er deleligt med uden en rest. Disse vil være tallene: $1,2,3, 6$. Så divisoren for tallet $6$ vil være tallene $1,2,3,6.$ Svar: $1,2,3,6$. Det betyder, at for at finde divisorerne for et tal, skal du finde alle de naturlige tal, som det givne tal er deleligt i uden en rest. Det er let at se, at tallet $1$ vil være en divisor af ethvert naturligt tal. Definition 2 Sammensatte De kalder et nummer, der har andre divisorer udover en og sig selv. Et eksempel på et primtal ville være tallet $13$, et eksempel på et sammensat tal ville være $14.$ Note 1 Tallet $1$ har kun én divisor - selve tallet, så det er hverken primtal eller sammensat. Definition 3 Indbyrdes primtal de er dem, hvis gcd er lig med $1$. Dette betyder, at for at finde ud af, om tallene er relativt primtal, skal du finde deres gcd og sammenligne den med $1$. Definition 4 Hvis to i et sæt tal er coprime, kaldes sådanne tal parvis coprime. For to tal falder begreberne "coprime" og "parvis coprime" sammen. Eksempel 2 $8, $15 - ikke simpelt, men relativt simpelt. $6, 8, 9$ er coprime tal, men ikke parvise coprime tal. $8, 15, 49$ er parvist relativt gode. Som vi ser, for at afgøre, om tal er relativt prime, skal vi først indregne dem i prime faktorer. Lad os være opmærksomme på, hvordan man gør dette korrekt. Lad os for eksempel faktorisere tallet $180$ til primfaktorer: $180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$ Lad os bruge magtens egenskab, så får vi, $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ Denne notation af nedbrydning til primfaktorer kaldes kanonisk, dvs. for at faktorisere et tal i kanonisk form, er det nødvendigt at bruge egenskaben potenser og repræsentere tallet som et produkt af potenser med af forskellige årsager Kanonisk udvidelse af et naturligt tal i generel opfattelse har formen: $m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$ hvor $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ er primtal, og eksponenter er naturlige tal. At repræsentere et tal som en kanonisk nedbrydning i primmængder gør det lettere at finde den største fælles divisor af tal og fungerer som en konsekvens af beviset eller definitionen af coprimtal. Eksempel 3 Find den største fælles divisor af tallene $180$ og $240$. Løsning: Lad os dekomponere tal i simple mængder ved hjælp af kanonisk dekomponering $180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, derefter $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ $240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, derefter $240=2^4\cdot 3\cdot 5$ Lad os nu finde gcd af disse tal, for dette vælger vi potenser med samme grundtal og med den mindste eksponent, så $GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$ Lad os komponere algoritme til at finde GCD under hensyntagen til kanonisk faktorisering til primfaktorer. For at finde den største fælles divisor af to tal ved hjælp af kanonisk ekspansion, skal du: Eksempel 4 Bestem, om tallene $195$ og $336$ er primtal, coprime tal. $195=3\cdot 5\cdot 13$ $336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$ $GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$ Vi ser, at disse tals gcd er forskellig fra $1$, hvilket betyder, at tallene ikke er relativt primtal. Vi ser også, at hvert af tallene inkluderer faktorer, udover $1$ og selve tallet, hvilket betyder, at tallene ikke bliver primtal, men vil være sammensatte. Eksempel 5 Bestem, om tallene $39$ og $112$ er primtal, coprimtal. Løsning: Lad os bruge den kanoniske faktorisering til at faktorisere: $112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$ $GCD\(39;112)=1$ Vi ser, at gcd af disse tal er lig med $1$, hvilket betyder, at tallene er relativt primtal. Vi ser også, at hvert af tallene inkluderer faktorer, ud over $1$ og selve tallet, hvilket betyder, at tallene ikke vil være primtal, men vil være sammensatte. Eksempel 6 Bestem, om tallene $883$ og $997$ er primtal, coprimtal. Løsning: Lad os bruge den kanoniske faktorisering til at faktorisere: $883=1\cdot 883$ $997=1\cdot 997$ $GCD\(883;997)=1$ Vi ser, at gcd af disse tal er lig med $1$, hvilket betyder, at tallene er relativt primtal. Vi ser også, at hvert tal kun inkluderer faktorer svarende til $1$ og selve tallet, hvilket betyder, at tallene vil være primtal.
så har alle divisorer af tallet (n) formen: 
hvor 0 i i (i = 1, 2,...,k).
i stedet for 1, 2, 3, uafhængigt af hinanden, vil vi erstatte følgende værdier: 1 =0, 1, 2, 3, 4, 2 =0, 1, 2, 3 = 0, 1.
Og 
derefter (a, b) = p 1 1 p 2 2 …p k k , hvor fii = min( I , i)
Egenskaber for coprimtal
GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)= GCD(b 1 · b 2 ·…·b m , A)=
=GCD(b 2 ·…·b m , A)=... =GCD(b m , A)=1
(den sidste overgang er gyldig, grundet den sidste lighed fra forrige afsnit). Sådan fik vi ligestilling GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)=1, hvilket beviser, at produkterne a 1 ·a 2 ·…·a k og b 1 ·b 2 ·…·b m er coprimtal.Parvise primtal - definitioner og eksempler
Definition af coprime tal
Eksempler på primtal
To coprimtal
15 og 16
16 og 23Fælles divisorer af coprimtal
Største fælles divisor af coprimtal
Er tal coprime?
Coprime tal
Parvis coprime
Primfaktorisering
Kanonisk udvidelse af et naturligt tal i generel form
Lignende artikler
De bedste amuletter mod det onde øje og skader Amulet mod det onde øje med hænder til børn
Hvordan man læser Salteren korrekt
Lækre retter med pølser
Et glimt af Bella. Romantisk kronik. Et glimt af genialitet. Messerer om Akhmadulina Boris Messerer glimt af Bella romantiske krønike
Jeg drømte, at jeg sejlede på en båd på floden
Sådan tilberedes okse-entrecote i en stegepande
Om virksomheden Kurser i fremmedsprog ved Moscow State University
Hvilken by og hvorfor blev den vigtigste i det gamle Mesopotamien?
Hvorfor Bukhsoft Online er bedre end et almindeligt regnskabsprogram!
Hvilket år er et skudår, og hvordan beregnes det