Hvilke tal kaldes primtal? Primtal: hverdagen i en uløst gåde

primtal

et naturligt tal større end én og uden andre divisorer end sig selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Antallet af primtal er uendeligt.

Primtal

hel positivt tal, større end én, uden andre divisorer end sig selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Begrebet et tal er grundlæggende i studiet af deleligheden af naturlige (positive heltal) tal; Hovedsætningen i delelighedsteorien fastslår nemlig, at hvert positivt heltal, undtagen 1, er entydigt dekomponeret i produktet af et antal tal (faktorernes rækkefølge tages ikke i betragtning). Der er uendeligt mange primtal (denne påstand var kendt af oldgræske matematikere; dets bevis er tilgængeligt i den 9. bog af Euklids elementer). Spørgsmål om naturlige tals delelighed, og derfor spørgsmål relateret til primtal, er vigtige i studiet af grupper; især er strukturen af en gruppe med et endeligt antal elementer tæt forbundet med den måde, hvorpå dette antal elementer (rækkefølgen af gruppen) er dekomponeret i primfaktorer. Teorien om algebraiske tal beskæftiger sig med spørgsmålene om delelighed af algebraiske heltal; Begrebet et partielt tal viste sig at være utilstrækkeligt til at konstruere en teori om delelighed, hvilket førte til skabelsen af et ideal. P. G. L. Dirichlet konstaterede i 1837, at den aritmetiske progression a + bx for x = 1, 2,... med coprime-heltal a og b indeholder uendeligt mange primtal Det er meget vanskeligt at bestemme fordelingen af primtal i den naturlige talrække problem i talteori. Det er formuleret som en undersøgelse af den asymptotiske adfærd af funktionen p(x), som angiver antallet af partielle tal, der ikke overstiger et positivt tal x. De første resultater i denne retning tilhører P.L. Chebyshev, som i 1850 beviste, at der er to konstanter a og A, således at ═.< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

Efterfølgende blev betydelige anstrengelser fra matematikere rettet mod at afklare den asymptotiske lov om fordelingen af P.-tallet. Spørgsmål om fordelingen af P.-tallet studeres og elementære metoder og metoder matematisk analyse. Særligt frugtbar er metoden baseret på brugen af identiteten

(produktet strækker sig til alle P. h. p = 2, 3,...), først angivet af L. Euler; denne identitet er gyldig for alle komplekse s med en reel del større end enhed. På baggrund af denne identitet ledes spørgsmål om fordelingen af P.-tal til studiet af en speciel funktion ≈ zetafunktion x(s), bestemt for Res > 1 af serien

Denne funktion blev brugt i spørgsmål om fordelingen af primtal for reelle s af Chebyshev; B. Riemann påpegede vigtigheden af at studere x(s) for komplekse værdier af s. Riemann antog, at alle rødder af ligningen x(s) = 0, der ligger i højre halvplan, har en reel del lig med 1/

Denne hypotese er ikke blevet bevist til dato (1975); dets bevis ville gøre meget for at løse problemet med fordelingen af primtal Spørgsmål om fordelingen af primtal er tæt forbundet med Goldbachs problem, det stadig uløste problem med "tvillinger" og andre problemer med analytisk talteori. Problemet med "tvillingerne" er at finde ud af, om antallet af P.-tal, der adskiller sig med 2 (som f.eks. 11 og 13) er endeligt eller uendeligt. Tabeller med P.-tal, der ligger inden for de første 11 millioner naturlige tal, viser tilstedeværelsen af meget store "tvillinger" (f.eks. 10006427 og 10006429), men dette er ikke et bevis på uendeligheden af deres antal. Uden for de kompilerede tabeller kendes individuelle P.-tal, der tillader et simpelt aritmetisk udtryk [for eksempel blev det fastslået (1965), at 211213 ≈1 er et P.-tal; den har 3376 cifre].

Lit.: Vinogradov I.M., Fundamentals of Number Theory, 8. udgave, M., 1972; Hasse G., Forelæsninger om talteori, trans. fra German, M., 1953; Ingham A. E., Fordeling af primtal, trans. fra engelsk, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Fordeling af primtal, trans. fra German, M., 1967; Trost E., Primtal, oversættelse, fra tysk, M., 1959.

Wikipedia

Primtal

Primtal- et naturligt tal, der har præcis to forskellige naturlige divisorer - og sig selv. Med andre ord antallet x er primtal, hvis det er større end 1 og er deleligt uden rest kun med 1 og x. For eksempel er 5 et primtal, og 6 er et sammensat tal, da det ud over 1 og 6 også er deleligt med 2 og 3.

Naturlige tal, der er større end et og ikke er primtal, kaldes sammensatte tal. Altså alt naturlige tal er opdelt i tre klasser: enhed. Talteori studerer primtals egenskaber. I ringteori svarer primtal til irreducerbare elementer.

Rækkefølgen af primtal starter således:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

Tal er forskellige: naturlige, rationelle, rationelle, heltal og brøker, positive og negative, komplekse og primtal, ulige og lige, reelle osv. Fra denne artikel kan du finde ud af, hvad primtal er.

Hvilke tal kaldes "simple" på engelsk?

Meget ofte ved skolebørn ikke, hvordan man besvarer et af de enkleste spørgsmål i matematik ved første øjekast, om hvad et primtal er. De forveksler ofte primtal med naturlige tal (det vil sige de tal, som folk bruger, når de tæller objekter, mens de i nogle kilder begynder med nul, og i andre med et). Men det er to helt forskellige begreber. Primtal er naturlige tal, det vil sige heltal og positive tal, der er større end et, og som kun har 2 naturlige divisorer. Desuden er en af disse divisorer det givne tal, og den anden er en. For eksempel er tre et primtal, fordi det ikke kan divideres uden en rest med et andet tal end sig selv og en.

Sammensatte tal

Det modsatte af primtal er sammensatte tal. De er også naturlige, også større end én, men har ikke to, men mere skillevægge. Altså f.eks. tallene 4, 6, 8, 9 osv. er naturlige, sammensatte, men ikke primtal. Som du kan se, er disse for det meste lige tal, men ikke alle. Men "to" er et lige tal og det "første tal" i en række af primtal.

Efterfølgende

For at konstruere en række primtal er det nødvendigt at vælge fra alle naturlige tal under hensyntagen til deres definition, det vil sige, at du skal handle ved selvmodsigelse. Det er nødvendigt at undersøge hvert af de positive naturlige tal for at se, om det har mere end to divisorer. Lad os prøve at bygge en række (sekvens), der består af primtal. Listen starter med to, efterfulgt af tre, da den kun er delelig med sig selv og en. Overvej tallet fire. Har den andre divisorer end fire og en? Ja, det tal er 2. Så fire er ikke et primtal. Fem er også primtal (det er ikke deleligt med noget andet tal, undtagen 1 og 5), men seks er deleligt. Og generelt, hvis du følger alle de lige tal, vil du bemærke, at bortset fra "to", er ingen af dem prime. Ud fra dette konkluderer vi, at lige tal, undtagen to, ikke er primtal. En anden opdagelse: alle tal, der er delelige med tre, undtagen de tre selv, uanset om de er lige eller ulige, er heller ikke primtal (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 osv.). Det samme gælder for tal, der er delelige med fem og syv. Hele deres mangfoldighed er heller ikke enkel. Lad os opsummere. Så simple enkeltcifrede tal inkluderer alle ulige tal undtagen et og ni, og lige "to" er lige tal. Tierne i sig selv (10, 20,... 40 osv.) er ikke simple. Tocifrede, trecifrede osv. primtal kan bestemmes ud fra ovenstående principper: hvis de ikke har andre divisorer end dem selv og en.

Teorier om primtals egenskaber

Der er en videnskab, der studerer egenskaberne af heltal, herunder primtal. Dette er en gren af matematik kaldet højere. Udover heltals egenskaber beskæftiger hun sig også med algebraiske og transcendentale tal, samt funktioner af forskellig oprindelse relateret til aritmetikken af disse tal. I disse undersøgelser anvendes der udover elementære og algebraiske metoder også analytiske og geometriske. Konkret beskæftiger "Talteori" sig med studiet af primtal.

Primtal er "byggestenene" af naturlige tal

I aritmetik er der en sætning kaldet grundsætningen. Ifølge den kan ethvert naturligt tal, undtagen ét, repræsenteres som et produkt, hvis faktorer er primtal, og rækkefølgen af faktorerne er unik, hvilket betyder, at fremstillingsmetoden er unik. Det kaldes at faktorisere et naturligt tal i primfaktorer. Der er et andet navn for denne proces - faktorisering af tal. Ud fra dette kan primtal kaldes " byggemateriale”, “blokke” til at konstruere naturlige tal.

Søg efter primtal. Enkelthedstest

Mange videnskabsmænd fra forskellige tider forsøgte at finde nogle principper (systemer) til at finde en liste over primtal. Videnskaben kender til systemer kaldet Atkin-sien, Sundartham-sien og Eratosthenes-sien. De giver dog ingen signifikante resultater, og en simpel test bruges til at finde primtallene. Matematikere skabte også algoritmer. De kaldes normalt primalitetstest. For eksempel er der en test udviklet af Rabin og Miller. Det bruges af kryptografer. Der er også Kayal-Agrawal-Sasquena-testen. På trods af tilstrækkelig nøjagtighed er det dog meget vanskeligt at beregne, hvilket reducerer dens praktiske betydning.

Har sættet af primtal en grænse?

Den antikke græske videnskabsmand Euclid skrev i sin bog "Elementer", at sættet af primtal er uendeligt. Han sagde dette: "Lad os et øjeblik forestille os, at primtal har en grænse. Lad os derefter gange dem med hinanden og tilføje én til produktet. Tallet opnået som et resultat af disse simple handlinger kan ikke divideres med nogen af rækken af primtal, fordi resten altid vil være ét. Det betyder, at der er et andet tal, som endnu ikke er med på listen over primtal. Derfor er vores antagelse ikke sand, og dette sæt kan ikke have en grænse. Udover Euklids bevis er der en mere moderne formel givet af den schweiziske matematiker Leonhard Euler fra det attende århundrede. Ifølge den vokser den gensidige sum af summen af de første n tal ubegrænset, når tallet n stiger. Og her er formlen for sætningen vedrørende fordelingen af primtal: (n) vokser som n/ln (n).

Hvad er det største primtal?

Den samme Leonard Euler var i stand til at finde det største primtal i sin tid. Dette er 2 31 - 1 = 2147483647. Men i 2013 blev en anden mest nøjagtig største på listen over primtal beregnet - 2 57885161 - 1. Det kaldes Mersenne-tallet. Den indeholder omkring 17 millioner decimaler. Som du kan se, er antallet fundet af en videnskabsmand fra det attende århundrede flere gange mindre end dette. Det burde det have været, for Euler foretog denne beregning manuelt, mens vores samtidige nok blev hjulpet af en computer. Desuden er dette nummer opnået på det matematiske fakultet i et af de amerikanske afdelinger. Tal opkaldt efter denne videnskabsmand består Luc-Lemaire-primalitetstesten. Videnskaben ønsker dog ikke at stoppe der. Electronic Frontier Foundation, som blev grundlagt i 1990 i USA (EFF), har tilbudt en pengebelønning for at finde store primtal. Og hvis prisen indtil 2013 blev tildelt de videnskabsmænd, der ville finde dem blandt 1 og 10 mio. decimaltal, så er dette tal i dag nået fra 100 mio. til 1 mia. Præmierne spænder fra 150 til 250 tusinde amerikanske dollars.

Navne på særlige primtal

De tal, der blev fundet takket være algoritmer skabt af visse videnskabsmænd og bestod enkelhedstesten, kaldes specielle. Her er nogle af dem:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Enkelheden af disse tal, opkaldt efter ovennævnte videnskabsmænd, fastslås ved hjælp af følgende tests:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge og andre.

Moderne videnskab stopper ikke der, og sandsynligvis vil verden i den nærmeste fremtid lære navnene på dem, der var i stand til at modtage prisen på $250.000 ved at finde det største primtal.

Optælling af divisorer. Per definition tal n er kun prime, hvis det ikke er ligeligt deleligt med 2 og andre heltal undtagen 1 og sig selv. Ovenstående formel fjerner unødvendige trin og sparer tid: for eksempel, efter at have kontrolleret, om et tal er deleligt med 3, er det ikke nødvendigt at kontrollere, om det er deleligt med 9.

Etage(x)-funktionen afrunder x til det nærmeste heltal, der er mindre end eller lig med x.

Lær om modulær aritmetik. Operationen er "x mod y" (mod er en forkortelse for latinske ord"modulo" betyder "divider x med y og find resten." Med andre ord, i modulær aritmetik, ved at nå en vis værdi, som kaldes modul, "vender" tallene til nul igen. For eksempel holder et ur tid med et modul på 12: det viser klokken 10, 11 og 12 og vender derefter tilbage til 1.

Mange lommeregnere har en mod-nøgle. Slutningen af dette afsnit viser, hvordan man manuelt beregner denne funktion for store tal.

Lær om faldgruberne i Fermats lille sætning. Alle tal, for hvilke testbetingelserne ikke er opfyldt, er sammensatte, men de resterende tal er kun sandsynligt klassificeres som simple. Hvis du vil undgå forkerte resultater, så kig efter n på listen over "Carmichael-numre" (sammensatte tal, der opfylder denne test) og "pseudo-prime Fermat-tal" (disse tal svarer kun til testbetingelserne for nogle værdier -en).

Hvis det er praktisk, brug Miller-Rabin-testen. Selvom denne metode er ret besværlig at beregne manuelt, bruges den ofte i computerprogrammer. Det giver acceptabel hastighed og giver færre fejl end Fermats metode. Et sammensat tal vil ikke blive accepteret som et primtal, hvis der foretages beregninger for mere end ¼ af værdierne -en. Hvis du vælger tilfældigt forskellige betydninger -en og for dem alle vil testen give et positivt resultat, vi kan med ret høj grad af tillid antage, at n er et primtal.

For store tal, brug modulær aritmetik. Hvis du ikke har en lommeregner med mod ved hånden, eller din lommeregner ikke er designet til at håndtere så store tal, skal du bruge egenskaberne for potenser og modulær aritmetik til at gøre beregningerne nemmere. Nedenfor er et eksempel på 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

Omskriv udtrykket i en mere bekvem form: mod 50. Når du laver manuelle beregninger, kan yderligere forenklinger være nødvendige.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Her tog vi hensyn til egenskaben ved modulær multiplikation.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
= 49 (\displaystyle =49).

Oversættelse

Primtals egenskaber blev først undersøgt af matematikere Oldtidens Grækenland. Matematikere fra den pythagoræiske skole (500 - 300 f.Kr.) var primært interesserede i de mystiske og numerologiske egenskaber ved primtal. De var de første, der kom med ideer om perfekte og venlige tal.

Et perfekt tal har en sum af sine egne divisorer lig med sig selv. For eksempel er de rigtige divisorer for tallet 6 1, 2 og 3. 1 + 2 + 3 = 6. Divisorerne for tallet 28 er 1, 2, 4, 7 og 14. Desuden er 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Tal kaldes venlige, hvis summen af de rigtige divisorer af et tal er lig med et andet, og omvendt - for eksempel 220 og 284. Vi kan sige, at et perfekt tal er venligt over for sig selv.

På tidspunktet for Euklids elementer i 300 f.Kr. flere er allerede blevet bevist vigtige fakta om primtal. I Elementernes Bog IX beviste Euklid, at der er et uendeligt antal primtal. Dette er i øvrigt et af de første eksempler på at bruge bevis ved modsigelse. Han beviser også aritmetikkens grundlæggende sætning - hvert heltal kan repræsenteres unikt som et produkt af primtal.

Han viste også, at hvis tallet 2 n -1 er primtal, så vil tallet 2 n-1 * (2 n -1) være perfekt. En anden matematiker, Euler, var i stand til at vise i 1747, at alle lige perfekte tal kan skrives i denne form. Den dag i dag er det uvist, om der findes ulige perfekte tal.

I år 200 f.Kr. Den græske Eratosthenes kom op med en algoritme til at finde primtal kaldet "Eratosthenes Si".

Og så skete det stort gennembrud i historien om studiet af primtal, forbundet med middelalderen.

Følgende opdagelser blev gjort allerede i begyndelsen af det 17. århundrede af matematikeren Fermat. Han beviste Albert Girards formodning om, at ethvert primtal af formen 4n+1 kan skrives entydigt som summen af to kvadrater, og formulerede også sætningen om, at ethvert tal kan skrives som summen af fire kvadrater.

Han udviklede sig ny metode faktorisering af store tal, og demonstrerede det på tallet 2027651281 = 44021 × 46061. Han beviste også Fermats lille sætning: hvis p er et primtal, så vil det for ethvert heltal a være sandt, at a p = a modulo p.

Dette udsagn beviser halvdelen af det, der var kendt som den "kinesiske formodning" og går tilbage 2000 år tidligere: Heltallet n er primtal, hvis og kun hvis 2 n -2 er deleligt med n. Den anden del af hypotesen viste sig at være falsk - for eksempel er 2.341 - 2 deleligt med 341, selvom tallet 341 er sammensat: 341 = 31 × 11.

Fermats lille sætning tjente som grundlag for mange andre resultater inden for talteori og metoder til at teste om tal er primtal – hvoraf mange stadig bruges i dag.

Fermat korresponderede meget med sine samtidige, især med en munk ved navn Maren Mersenne. I et af sine breve antog han, at tal på formen 2 n +1 altid vil være primtal, hvis n er en potens af to. Han testede dette for n = 1, 2, 4, 8 og 16 og var overbevist om, at i det tilfælde, hvor n ikke var en potens af to, var tallet ikke nødvendigvis primtal. Disse tal kaldes Fermats tal, og kun 100 år senere viste Euler, at det næste tal, 2 32 + 1 = 4294967297, er deleligt med 641, og derfor ikke er primtal.

Tal på formen 2 n - 1 har også været genstand for forskning, da det er let at vise, at hvis n er sammensat, så er selve tallet også sammensat. Disse tal kaldes Mersenne-numre, fordi han studerede dem indgående.

Men ikke alle tal på formen 2 n - 1, hvor n er primtal, er primtal. For eksempel, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dette blev først opdaget i 1536.

I mange år har tal af denne art givet matematikere de største kendte primtal. At M 19 blev bevist af Cataldi i 1588, og i 200 år var det største kendte primtal, indtil Euler beviste, at M 31 også var primtal. Denne rekord stod i yderligere hundrede år, og så viste Lucas, at M 127 er prime (og dette er allerede et tal på 39 cifre), og derefter fortsatte forskningen med computernes fremkomst.

I 1952 blev primiteten af tallene M 521, M 607, M 1279, M 2203 og M 2281 bevist.

I 2005 var der fundet 42 Mersenne-primtal. Den største af dem, M 25964951, består af 7816230 cifre.

Eulers arbejde havde en enorm indflydelse på teorien om tal, herunder primtal. Han udvidede Fermats lille sætning og introducerede φ-funktionen. Faktoriseret den 5. Fermat nummer 2 32 +1, fundet 60 par venlige tal, og formulerede (men kunne ikke bevise) den kvadratiske reciprocitetslov.

Han var den første til at introducere metoder til matematisk analyse og udvikle analytisk talteori. Han beviste, at ikke kun den harmoniske række ∑ (1/n), men også en række af formen

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Resultatet opnået ved summen af de reciproke primtal afviger også. Summen af n led af den harmoniske række vokser omtrent som log(n), og den anden række divergerer langsommere som log[ log(n) ]. Det betyder, at f.eks. beløbet gensidige til alle primtal fundet til dato vil kun give 4, selvom rækken stadig divergerer.

Ved første øjekast ser det ud til, at primtal er fordelt ret tilfældigt blandt heltal. For eksempel er der blandt de 100 tal umiddelbart før 10000000 9 primtal, og blandt de 100 tal umiddelbart efter denne værdi er der kun 2. Men over store segmenter er primtallene fordelt ret ligeligt. Legendre og Gauss beskæftigede sig med spørgsmål om deres distribution. Gauss fortalte engang en ven, at han i alle frie 15 minutter altid tæller antallet af primtal i de næste 1000 tal. Ved slutningen af sit liv havde han talt alle primtal op til 3 millioner. Legendre og Gauss beregnede ligeledes, at for store n er primtætheden 1/log(n). Legendre estimerede antallet af primtal i området fra 1 til n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Og Gauss er som et logaritmisk integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Med et integrationsinterval fra 2 til n.

Udsagnet om primtætheden 1/log(n) er kendt som Prime Distribution Theorem. De forsøgte at bevise det gennem det 19. århundrede, og fremskridt blev opnået af Chebyshev og Riemann. De forbandt det med Riemann-hypotesen, en stadig ubevist hypotese om fordelingen af nuller af Riemann zeta-funktionen. Tætheden af primtal blev samtidigt bevist af Hadamard og Vallée-Poussin i 1896.

Der er stadig mange uløste spørgsmål i primtalsteorien, hvoraf nogle er hundreder af år gamle:

Tvillingprimhypotesen handler om et uendeligt antal par af primtal, der adskiller sig fra hinanden med 2
Goldbachs hypotese: enhver lige tal, begyndende med 4, kan repræsenteres som summen af to primtal
Er der et uendeligt antal primtal på formen n 2 + 1?
Er det altid muligt at finde et primtal mellem n 2 og (n + 1) 2? (det faktum, at der altid er et primtal mellem n og 2n blev bevist af Chebyshev)
Er antallet af Fermat-primtal uendeligt? Er der nogen Fermat-primtal efter 4?
findes det aritmetisk progression af på hinanden følgende primtal for en given længde? for eksempel for længde 4: 251, 257, 263, 269. Den maksimale fundet længde er 26.
Er der et uendeligt antal sæt af tre på hinanden følgende primtal i en aritmetisk progression?
n 2 - n + 41 er et primtal for 0 ≤ n ≤ 40. Er der et uendeligt antal af sådanne primtal? Det samme spørgsmål for formlen n 2 - 79 n + 1601. Disse tal er primtal for 0 ≤ n ≤ 79.
Er der et uendeligt antal primtal på formen n# + 1? (n# er resultatet af at gange alle primtal mindre end n)
Er der et uendeligt antal primtal på formen n# -1?
Er der et uendeligt antal primtal på formen n? + 1?
Er der et uendeligt antal primtal på formen n? – 1?
hvis p er primtal, indeholder 2 p -1 så ikke primtals kvadrater blandt sine faktorer?
indeholder Fibonacci-sekvensen et uendeligt antal primtal?

De største tvillingeprimtal er 2003663613 × 2 195000 ± 1. De består af 58711 cifre og blev opdaget i 2007.

Det største faktorielle primtal (af typen n! ± 1) er 147855! - 1. Den består af 142891 cifre og blev fundet i 2002.

Det største primtal (et tal på formen n# ± 1) er 1098133# + 1.

Primtal er et naturligt (positivt heltal) tal, der er deleligt uden rest med kun to naturlige tal: af og af sig selv. Med andre ord har et primtal præcis to naturlige divisorer: og selve tallet.

Per definition er mængden af alle divisorer af et primtal to-element, dvs. repræsenterer et sæt.

Mættet af alle primtal er angivet med symbolet. På grund af definitionen af sættet af primtal kan vi altså skrive:.

Rækkefølgen af primtal ser således ud:

Aritmetikkens grundlæggende sætning

Aritmetikkens grundlæggende sætning angiver, at hvert naturligt tal større end et kan repræsenteres som et produkt af primtal, og på en unik måde, op til rækkefølgen af faktorerne. Primtal er således de elementære "byggesten" i mængden af naturlige tal.

Naturlig taludvidelse title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonisk:

hvor er et primtal, og . For eksempel ser den kanoniske udvidelse af et naturligt tal således ud: .

Repræsentation af et naturligt tal som et produkt af primtal kaldes også faktorisering af et tal.

Primtals egenskaber

Sigte af Eratosthenes

En af de mest berømte algoritmer til at søge og genkende primtal er sigte af Eratosthenes. Så denne algoritme blev opkaldt efter den græske matematiker Eratosthenes fra Cyrene, som anses for at være forfatteren til algoritmen.

Følg disse trin for at finde alle primtal mindre end et givet tal ved at følge Eratosthenes' metode:

Trin 1. Skriv alle de naturlige tal fra to til , dvs. .
Trin 2. Tildel variablen værdien , det vil sige værdien lig med det mindste primtal.
Trin 3. Overstrege i listen alle tal fra til, der er multipla af , det vil sige tallene: .
Trin 4. Find det første ukrydsede tal på listen større end , og tildel værdien af dette tal til en variabel.
Trin 5. Gentag trin 3 og 4, indtil nummeret er nået.

Processen med at anvende algoritmen vil se sådan ud:

Alle resterende ukrydsede tal på listen i slutningen af processen med at anvende algoritmen vil være sættet af primtal fra til .

Goldbach formodning

Omslag til bogen "Onkel Petros og Goldbach-hypotesen"

På trods af at primtal er blevet undersøgt af matematikere i ret lang tid, forbliver mange relaterede problemer uløste i dag. Et af de mest berømte uløste problemer er Goldbachs hypotese, som er formuleret således:

Er det rigtigt, at hvert lige tal større end to kan repræsenteres som summen af to primtal (Goldbachs binære hypotese)?
Er det rigtigt, at hver ulige tal, større end 5, kan repræsenteres som en sum tre enkle tal (ternær Goldbach-hypotese)?

Det skal siges, at den ternære Goldbach-hypotese er et specialtilfælde af den binære Goldbach-hypotese, eller som matematikere siger, den ternære Goldbach-hypotese er svagere end den binære Goldbach-hypotese.

Goldbachs formodning blev almindeligt kendt uden for det matematiske samfund i 2000 takket være et salgsfremmende marketingstunt fra forlagsselskaberne Bloomsbury USA (USA) og Faber and Faber (UK). Disse udgivere, der har udgivet bogen "Onkel Petros og Goldbachs formodning", lovede at betale en præmie på 1 million amerikanske dollars til enhver, der beviser Goldbachs hypotese inden for 2 år fra datoen for udgivelsen af bogen. Nogle gange forveksles den nævnte pris fra udgivere med præmier for at løse Millennium-prisproblemerne. Tag ikke fejl, Goldbachs hypotese er ikke klassificeret af Clay Institute som en "millennium challenge", selvom den er tæt forbundet med Riemanns hypotese- en af "millennium-udfordringerne".

Bogen ”Primtal. Lang vej til det uendelige"

Omslag til bogen "Matematikkens verden. Primtal. Lang vej til det uendelige"

Derudover anbefaler jeg at læse en fascinerende populærvidenskabelig bog, hvortil der står: "Søgen efter primtal er et af de mest paradoksale problemer i matematik. Forskere har forsøgt at løse det i flere årtusinder, men i takt med nye versioner og hypoteser er dette mysterium stadig uløst. Fremkomsten af primtal er ikke underlagt noget system: de optræder spontant i rækken af naturlige tal og ignorerer alle matematikeres forsøg på at identificere mønstre i deres rækkefølge. Denne bog vil give læseren mulighed for at spore udviklingen videnskabelige ideer fra oldtiden til i dag og vil introducere dig til de mest interessante teorier om at søge efter primtal."

Derudover vil jeg citere begyndelsen af det andet kapitel i denne bog: "Primtal er et af de vigtige emner, som vender os tilbage til selve matematikkens oprindelse og derefter, ad en vej med stigende kompleksitet, fører til forkant moderne videnskab. Derfor ville det være meget nyttigt at spore primtalsteoriens fascinerende og komplekse historie: præcis hvordan den udviklede sig, præcis hvordan de fakta og sandheder, der nu er almindeligt accepteret, blev indsamlet. I dette kapitel vil vi se, hvordan generationer af matematikere omhyggeligt studerede de naturlige tal i jagten på en regel, der forudsagde fremkomsten af primtal – en regel, der blev mere og mere uhåndgribelig, efterhånden som søgningen skred frem. Vi vil også se nærmere på den historiske kontekst: under hvilke forhold matematikere arbejdede, og i hvilket omfang deres arbejde involverede mystiske og semi-religiøse praksisser, som slet ikke ligner videnskabelige metoder, bruges i dag. Ikke desto mindre blev jorden langsomt og med besvær forberedt for nye synspunkter, der inspirerede Fermat og Euler i det 17. og 18. århundrede.”