Den reciproke af decimallogaritmen. Definition af logaritmen og dens egenskaber: teori og problemløsning

I forhold

opgaven med at finde et hvilket som helst af de tre tal fra de to andre givne kan indstilles. Hvis a og derefter N er givet, findes de ved eksponentiering. Hvis N og derefter a er givet ved at tage roden af graden x (eller hæve den til potensen). Overvej nu tilfældet, når vi givet a og N skal finde x.

Lad tallet N være positivt: tallet a være positivt og ikke lig med en:.

Definition. Logaritmen af tallet N til grundtallet a er den eksponent, som a skal hæves til for at opnå tallet N; logaritme er angivet med

I lighed (26.1) findes eksponenten således som logaritmen af N til grundtal a. Indlæg

har samme betydning. Ligestilling (26.1) kaldes undertiden logaritme-teoriens hovedidentitet; i virkeligheden udtrykker det definitionen af begrebet logaritme. Ved denne definition Grundlaget for logaritmen a er altid positiv og forskellig fra enhed; det logaritmiske tal N er positivt. Negative tal og nul har ingen logaritmer. Det kan bevises, at ethvert tal med en given base har en veldefineret logaritme. Derfor medfører ligestilling. Bemærk, at betingelsen er væsentlig her, ellers ville konklusionen ikke være berettiget, da ligheden er sand for alle værdier af x og y.

Eksempel 1. Find

Løsning. For at opnå et tal skal du hæve grundtallet 2 til potensen Derfor.

Du kan lave noter, når du løser sådanne eksempler i følgende form:

Eksempel 2. Find .

Løsning. Det har vi

I eksempel 1 og 2 fandt vi let den ønskede logaritme ved at repræsentere logaritmetallet som en potens af grundtallet med en rationel eksponent. I det generelle tilfælde, for eksempel for osv., kan dette ikke lade sig gøre, da logaritmen har en irrationel værdi. Lad os være opmærksomme på et spørgsmål relateret til denne erklæring. I afsnit 12 gav vi begrebet muligheden for at bestemme enhver reel grad af en given given positivt tal. Dette var nødvendigt for indførelsen af logaritmer, som generelt set kan være irrationelle tal.

Lad os se på nogle egenskaber ved logaritmer.

Egenskab 1. Hvis tallet og grundtallet er ens, så er logaritmen lig med én, og omvendt, hvis logaritmen er lig med én, så er tallet og grundtallet lig.

Bevis. Lad Ved definitionen af en logaritme har vi og hvorfra

Omvendt, lad derefter per definition

Egenskab 2. Logaritmen af et til enhver grundtal er lig med nul.

Bevis. Ved definition af en logaritme (nulpotensen af enhver positiv base er lig med én, se (10.1)). Herfra

Q.E.D.

Det omvendte udsagn er også sandt: hvis , så N = 1. Vi har faktisk .

Før vi formulerer den næste egenskab ved logaritmer, lad os blive enige om at sige, at to tal a og b ligger på samme side af det tredje tal c, hvis de begge er større end c eller mindre end c. Hvis et af disse tal er større end c, og det andet er mindre end c, så vil vi sige, at de ligger langs forskellige sider fra landsbyen

Egenskab 3. Hvis tallet og grundtallet ligger på samme side af en, så er logaritmen positiv; Hvis tallet og grundtallet ligger på hver sin side af en, så er logaritmen negativ.

Beviset for egenskab 3 er baseret på, at potensen af a er større end én, hvis grundtallet er større end én, og eksponenten er positiv, eller grundfladen er mindre end én, og eksponenten er negativ. En potens er mindre end én, hvis grundtallet er større end én, og eksponenten er negativ, eller basen er mindre end én, og eksponenten er positiv.

Der er fire sager at overveje:

Vi vil begrænse os til at analysere den første af dem, læseren vil overveje resten på egen hånd.

Lad så i lighed eksponenten hverken være negativ eller lig med nul, derfor er den positiv, dvs. som det kræves for at blive bevist.

Eksempel 3. Find ud af, hvilke af logaritmerne nedenfor der er positive og hvilke der er negative:

Løsning, a) da tallet 15 og basen 12 er placeret på samme side af en;

b) da 1000 og 2 er placeret på den ene side af enheden; i dette tilfælde er det ikke vigtigt, at grundtallet er større end det logaritmiske tal;

c) da 3.1 og 0.8 ligger på modsatte sider af enhed;

G); Hvorfor?

d); Hvorfor?

Følgende egenskaber 4-6 kaldes ofte reglerne for logaritmation: de tillader, ved at kende logaritmerne for nogle tal, at finde logaritmerne for deres produkt, kvotient og potens af hver af dem.

Egenskab 4 (produktlogaritmeregel). Logaritme af produktet af flere positive tal til en given base lig med summen logaritmer af disse tal til samme grundtal.

Bevis. Lad de givne tal være positive.

For logaritmen af deres produkt skriver vi ligheden (26.1), der definerer logaritmen:

Herfra finder vi

Ved at sammenligne eksponenterne for det første og det sidste udtryk opnår vi den nødvendige lighed:

Bemærk, at betingelsen er væsentlig; logaritme af produktet af to negative tal giver mening, men i dette tilfælde får vi

Generelt, hvis produktet af flere faktorer er positivt, er dets logaritme lig med summen af logaritmerne af de absolutte værdier af disse faktorer.

Egenskab 5 (regel for at tage logaritmer af kvotienter). Logaritmen af en kvotient af positive tal er lig med forskellen mellem logaritmerne af udbyttet og divisoren taget til samme grundtal. Bevis. Vi finder konsekvent

Q.E.D.

Egenskab 6 (potenslogaritmeregel). Logaritme af styrken af et positivt tal lig med logaritmen dette tal ganget med eksponenten.

Bevis. Lad os igen skrive hovedidentiteten (26.1) for nummeret:

Q.E.D.

Følge. Logaritmen af en rod af et positivt tal er lig med logaritmen af radikalet divideret med eksponenten af roden:

Gyldigheden af denne konsekvens kan bevises ved at forestille sig hvordan og bruge egenskab 6.

Eksempel 4. Tag logaritmen til at basere a:

a) (det antages, at alle værdier b, c, d, e er positive);

b) (det antages, at ).

Løsning, a) Det er praktisk at gå til brøkpotenser i dette udtryk:

Baseret på ligheder (26.5)-(26.7) kan vi nu skrive:

Vi bemærker, at der udføres enklere operationer på tals logaritmer end på selve tallene: når man multiplicerer tal, tilføjes deres logaritmer, når de divideres, trækkes de fra osv.

Det er derfor, der bruges logaritmer i beregningspraksis (se afsnit 29).

Den omvendte handling af logaritmen kaldes potentiering, nemlig: potensering er den handling, hvorved selve tallet findes ud fra en given logaritme af et tal. I bund og grund er potensering det ikke særlig handling: det kommer ned til at hæve basen til en magt ( lig med logaritmen tal). Udtrykket "potentiering" kan betragtes som synonymt med udtrykket "eksponentiering".

Når man potentierer, skal man bruge reglerne omvendt til logaritmeringens regler: Erstat summen af logaritmer med logaritmen af produktet, forskellen af logaritmer med logaritmen af kvotienten osv. Især hvis der er en faktor foran af logaritmens fortegn, så skal den under potensering overføres til eksponentgraderne under logaritmens fortegn.

Eksempel 5. Find N, hvis det vides, at

Løsning. I forbindelse med den netop nævnte potentieringsregel vil vi overføre faktorerne 2/3 og 1/3, der står foran logaritmernes fortegn på højre side af denne lighed til eksponenter under disse logaritmers fortegn; vi får

Nu erstatter vi forskellen af logaritmer med logaritmen af kvotienten:

for at opnå den sidste brøk i denne kæde af ligheder, befriede vi den foregående brøk fra irrationalitet i nævneren (afsnit 25).

Ejendom 7. Hvis basen er større end én, så større antal har en større logaritme (og et mindre tal har en mindre), hvis grundtallet er mindre end én, så har det større tal en mindre logaritme (og det mindre tal har en større).

Denne egenskab er også formuleret som en regel til at tage logaritmer af uligheder, hvis begge sider er positive:

Når logaritmer af uligheder tages til en grundtal større end én, bevares tegnet for ulighed, og når man logaritmer til en grundtal mindre end én, ændres fortegnet for ulighed til det modsatte (se også afsnit 80).

Beviset er baseret på egenskaberne 5 og 3. Overvej det tilfælde, hvor If , then og ved at tage logaritmer får vi

(a og N/M ligger på samme side af enhed). Herfra

Tilfælde a følger, vil læseren selv finde ud af det.

Så vi har to beføjelser. Hvis du tager tallet fra bundlinjen, kan du nemt finde den magt, som du skal hæve to til for at få dette tal. For eksempel, for at få 16, skal du hæve to til den fjerde potens. Og for at få 64 skal du hæve to til den sjette potens. Dette kan ses af tabellen.

Og nu - faktisk definitionen af logaritmen:

Grundlaget a logaritmen af x er den potens, som a skal hæves til for at få x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grundtallet, x er argumentet, b er hvad logaritmen faktisk er lig med.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grundtallet 2-logaritmen af 8 er tre, fordi 2 3 = 8). Med samme succeslog 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Operationen med at finde logaritmen af et tal til en given base kaldes logaritmisering. Så lad os tilføje en ny linje til vores tabel:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Desværre er det ikke alle logaritmer, der beregnes så let. Prøv for eksempel at finde log 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsiger, at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 22< 5 < 2 3 , а чем mere grad toere, jo større tal.

Sådanne tal kaldes irrationelle: tallene efter decimaltegnet kan skrives i det uendelige, og de gentages aldrig. Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, er det bedre at lade det være sådan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er vigtigt at forstå, at en logaritme er et udtryk med to variable (grundlaget og argumentet). I starten forvirrer mange mennesker, hvor grundlaget er, og hvor argumentet er. For at undgå irriterende misforståelser skal du blot se på billedet:

Foran os er intet andet end definitionen af en logaritme. Huske: logaritme er en potens, som basen skal indbygges i for at få et argument. Det er basen, der er hævet til en magt – den er fremhævet med rødt på billedet. Det viser sig, at basen altid er i bunden! Jeg fortæller mine elever denne vidunderlige regel i den allerførste lektion – og der opstår ingen forvirring.

Vi har fundet ud af definitionen - det eneste, der er tilbage, er at lære at tælle logaritmer, dvs. slippe af med "log"-tegnet. Til at begynde med bemærker vi, at to vigtige fakta følger af definitionen:

Argumentet og grundtallet skal altid være større end nul. Dette følger af definitionen af en grad ved en rationel eksponent, hvortil definitionen af en logaritme er reduceret.
Basen skal være forskellig fra en, da en i nogen grad stadig forbliver en. På grund af dette er spørgsmålet "til hvilken magt skal man hæves for at få to" meningsløst. Der er ingen sådan grad!

Sådanne begrænsninger kaldes område acceptable værdier (ODZ). Det viser sig, at ODZ for logaritmen ser sådan ud: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Bemærk, at der ikke er nogen begrænsninger på tallet b (værdien af logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nu overvejer vi kun numeriske udtryk, hvor det ikke er nødvendigt at kende VA af logaritmen. Alle begrænsninger er allerede blevet taget i betragtning af forfatterne af problemerne. Men når logaritmiske ligninger og uligheder kommer i spil, bliver DL-krav obligatoriske. Grundlaget og argumentationen kan jo indeholde meget stærke konstruktioner, der ikke nødvendigvis svarer til ovenstående begrænsninger.

Lad os nu se på det generelle skema til beregning af logaritmer. Den består af tre trin:

Udtryk grundtallet a og argumentet x som en potens med mindst mulig grundtal større end én. Undervejs er det bedre at slippe af med decimaler;
Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
Det resulterende tal b vil være svaret.

Det er det! Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, vil denne være synlig allerede i første trin. Kravet om, at grundlaget skal være større end én, er meget vigtigt: Dette reducerer sandsynligheden for fejl og forenkler beregningerne i høj grad. Det er det samme med decimalbrøker: Hvis du straks konverterer dem til almindelige, vil der være mange færre fejl.

Lad os se, hvordan denne ordning fungerer ved hjælp af specifikke eksempler:

Opgave. Beregn logaritmen: log 5 25

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lad os skabe og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Vi fik svaret: 2.

Opgave. Beregn logaritmen:

Opgave. Beregn logaritmen: log 4 64

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Lad os skabe og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Vi fik svaret: 3.

Opgave. Beregn logaritmen: log 16 1

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Lad os skabe og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Vi fik svaret: 0.

Opgave. Beregn logaritmen: log 7 14

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke repræsenteres som en potens af syv, da 7 1< 14 < 7 2 ;
Af det foregående afsnit følger, at logaritmen ikke tæller;
Svaret er ingen ændring: log 7 14.

En lille bemærkning til det sidste eksempel. Hvordan kan du være sikker på, at et tal ikke er en nøjagtig potens af et andet tal? Det er meget enkelt - tag det bare ind i hovedfaktorer. Hvis udvidelsen har mindst to forskellige faktorer, er tallet ikke en nøjagtig potens.

Opgave. Find ud af, om tallene er nøjagtige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - nøjagtig grad, fordi der er kun én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en nøjagtig potens, da der er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - nøjagtig grad;
35 = 7 · 5 - igen ikke en nøjagtig potens;
14 = 7 · 2 - igen ikke en nøjagtig grad;

Lad os også bemærke, at vi selv primtal er altid nøjagtige grader af sig selv.

Decimal logaritme

Nogle logaritmer er så almindelige, at de har et særligt navn og symbol.

Decimallogaritmen af x er logaritmen til grundtal 10, dvs. Den potens, som tallet 10 skal hæves til for at opnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; Ig 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nu af, når en sætning som "Find lg 0.01" vises i en lærebog, skal du vide, at dette ikke er en tastefejl. Dette er en decimallogaritme. Men hvis du ikke er bekendt med denne notation, kan du altid omskrive den:
log x = log 10 x

Alt, hvad der er sandt for almindelige logaritmer, gælder også for decimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Der er en anden logaritme, der har sin egen betegnelse. På nogle måder er det endnu vigtigere end decimal. Det handler om om den naturlige logaritme.

Den naturlige logaritme af x er logaritmen til basis e, dvs. den potens, hvortil tallet e skal hæves for at opnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørge: hvad er tallet e? Dette er et irrationelt tal, dets nøjagtige værdi umuligt at finde og registrere. Jeg vil kun give de første tal:
e = 2,718281828459...

Vi vil ikke gå i detaljer om, hvad dette nummer er, og hvorfor det er nødvendigt. Bare husk, at e er basis for den naturlige logaritme:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den anden side er ln 2 et irrationelt tal. Generelt er den naturlige logaritme af evt rationelt tal irrationel. Bortset naturligvis fra én: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle de regler, der er sande for almindelige logaritmer, gyldige.

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem kan løses uden dem. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: log -en x og log -en y. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

log -en x+log -en y= log -en (x · y);
log -en x− log -en y= log -en (x : y).

Så summen af logaritmer er lig med logaritmen af produktet, og forskellen er lig med logaritmen af kvotienten. Bemærk venligst: nøglepunkt Her - identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne logaritmisk udtryk selv når dens individuelle dele ikke tælles (se lektion "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Log 6 4 + log 6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 2 48 − log 2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange er bygget på dette faktum tests. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ for logaritmen overholdes: -en > 0, -en ≠ 1, x> 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt, dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 7 49 6 .

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af udtrykket:
[Billedtekst til billedet]

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Billedtekst til billedet]

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 forbliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad det være givet logaritme log -en x. Så for et hvilket som helst nummer c sådan at c> 0 og c≠ 1, ligheden er sand:
[Billedtekst til billedet]
Især hvis vi sætter c = x, vi får:
[Billedtekst til billedet]

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i konventionelle numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 5 16 log 2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

[Billedtekst til billedet]

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to, og beskæftigede os derefter med logaritmer.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

[Billedtekst til billedet]

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

[Billedtekst til billedet]

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde nummeret n bliver en indikator for graden stående i argumentationen. Antal n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det er det, det hedder: den grundlæggende logaritmiske identitet.

Faktisk, hvad vil der ske, hvis antallet b hæve til en sådan styrke, at tallet b til denne potens giver tallet -en? Det er rigtigt: du får det samme nummer -en. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af udtrykket:
[Billedtekst til billedet]

Bemærk at log 25 64 = log 5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

[Billedtekst til billedet]

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

log -en -en= 1 er en logaritmisk enhed. Husk én gang for alle: logaritme til enhver base -en fra netop denne base er lig med en.
log -en 1 = 0 er logaritmisk nul. Grundlag -en kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi -en 0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af lektionen, print det ud og løs problemerne.

Logaritmiske udtryk, løsningseksempler. I denne artikel vil vi se på problemer relateret til løsning af logaritmer. Opgaverne stiller spørgsmålet om at finde meningen med et udtryk. Det skal bemærkes, at begrebet logaritme bruges i mange opgaver, og at forstå dets betydning er ekstremt vigtigt. Hvad angår Unified State Exam, bruges logaritmen ved løsning af ligninger, i anvendte problemer og også i opgaver relateret til undersøgelse af funktioner.

Lad os give eksempler for at forstå selve betydningen af logaritmen:

Grundlæggende logaritmisk identitet:

Egenskaber for logaritmer, der altid skal huskes:

*Produktets logaritme er lig med summen af faktorernes logaritmer.

* * *

*Logaritmen af en kvotient (brøk) er lig med forskellen mellem faktorernes logaritmer.

* * *

*Logarithme af grad lig med produktet eksponent ved logaritmen af dens base.

* * *

*Overgang til ny fond

* * *

Flere egenskaber:

* * *

Beregningen af logaritmer er tæt forbundet med brugen af egenskaber ved eksponenter.

Lad os liste nogle af dem:

Essensen af denne ejendom ligger i, at når man overfører tælleren til nævneren og omvendt, ændres eksponentens fortegn til det modsatte. For eksempel:

En konsekvens af denne ejendom:

* * *

Når man hæver en potens til en potens, forbliver basen den samme, men eksponenterne ganges.

* * *

Som du har set, er begrebet en logaritme i sig selv enkelt. Det vigtigste er, at du har brug for god øvelse, som giver dig en vis færdighed. Der kræves naturligvis kendskab til formler. Hvis færdigheden i at konvertere elementære logaritmer ikke er blevet udviklet, kan du nemt lave en fejl, når du løser simple opgaver.

Øv dig, løs først de enkleste eksempler fra matematikkurset, og gå derefter videre til mere komplekse. I fremtiden vil jeg helt sikkert vise, hvordan "grimme" logaritmer er løst, der vil ikke være nogen af disse på Unified State Exam, men de er af interesse, gå ikke glip af det!

Det er alt! Held og lykke til dig!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.

Definition af logaritme

Logaritmen af b til grundtal a er den eksponent, som a skal hæves til for at få b.

Nummer e i matematik er det sædvanligt at betegne den grænse, som et udtryk stræber efter

Nummer e er irrationelt tal- et tal, der ikke kan sammenlignes med et, kan det ikke udtrykkes nøjagtigt som hverken et heltal eller en brøk rationel antal.

Bogstav e- første bogstav latinske ord exponere- at vise sig frem, deraf navnet i matematik eksponentiel- eksponentiel funktion.

Antal e meget brugt i matematik, og i alle videnskaber, der på den ene eller anden måde bruger matematiske beregninger til deres behov.

Logaritmer. Egenskaber for logaritmer

Definition: Logaritmen af et positivt tal b til dets grundtal er eksponenten for c, hvortil tallet a skal hæves for at opnå tallet b.

Grundlæggende logaritmisk identitet:

7) Formel for at flytte til en ny base:

lna = log e a, e ≈ 2,718...

Problemer og test om emnet "Logarithms. Egenskaber for logaritmer"

Logaritmer - Vigtige emner for at gentage Unified State Examination i matematik

For at udføre opgaver om dette emne med succes skal du kende definitionen af en logaritme, logaritmers egenskaber, den grundlæggende logaritmiske identitet, definitionerne af decimale og naturlige logaritmer. Hovedtyperne af problemer om dette emne er problemer, der involverer beregning og transformation af logaritmiske udtryk. Lad os overveje deres løsning ved hjælp af følgende eksempler.

Løsning: Ved at bruge logaritmers egenskaber får vi

Løsning: Ved at bruge gradernes egenskaber får vi

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Egenskaber for logaritmer, formuleringer og beviser.

Logaritmer har et antal karakteristiske egenskaber. I denne artikel vil vi se på det vigtigste egenskaber ved logaritmer. Her vil vi give deres formuleringer, skrive logaritmers egenskaber i form af formler, vise eksempler på deres anvendelse og også give bevis for logaritmers egenskaber.

Sidenavigation.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer, formler

For at lette at huske og bruge, lad os forestille os logaritmers grundlæggende egenskaber i form af en liste over formler. I næste punkt Vi vil give deres formuleringer, beviser, eksempler på brug og nødvendige forklaringer.

Egenskab for enhedslogaritmen: log a 1=0 for enhver a>0, a≠1.

Logaritme af et tal lig med grundtallet: log a a=1 for a>0, a≠1.

Egenskab for logaritmen af grundens potens: log a a p =p, hvor a>0, a≠1 og p er et hvilket som helst reelt tal.

Logaritme af produktet af to positive tal: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
og egenskaben for logaritmen af produktet af n positive tal: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0.

Egenskab for logaritmen af en kvotient:

hvor a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritme af potensen af et tal: log a b p =p·log a |b| , hvor a>0, a≠1, b og p er tal, således at graden b p giver mening og b p >0.

Følge:

, hvor a>0, a≠1, n – naturligt tal, større end én, b>0.

Konsekvens 1:

, a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Konsekvens 2:

, a>0 , a≠1 , b>0 , p og q er reelle tal, q≠0 , især for b=a har vi

Formuleringer og beviser for egenskaber

Vi går videre til formuleringen og beviset for logaritmers skriftlige egenskaber. Alle logaritmers egenskaber bevises ud fra definitionen af logaritmen og den grundlæggende logaritmiske identitet, der følger af den, samt gradens egenskaber.

Lad os starte med egenskaber ved logaritmen af en. Dens formulering er som følger: logaritmen af enhed er lig med nul, dvs. log a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke svært: da a 0 =1 for enhver a, der opfylder ovenstående betingelser a>0 og a≠1, så følger lighedslog a 1=0, der skal bevises, umiddelbart af definitionen af logaritmen.

Lad os give eksempler på anvendelsen af den betragtede egenskab: log 3 1=0, log1=0 og .

Lad os gå videre til næste ejendom: logaritmen af et tal lig med grundtallet er lig med en, dvs. log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, da a 1 =a for ethvert a, så logaritmen logaritmen log a a = 1.

Eksempler på brugen af denne egenskab ved logaritmer er lighederne log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

Logaritmen af en potens af et tal, der er lig med logaritmens basis, er lig med eksponenten. Denne egenskab for logaritmen svarer til formlens formel log a a p =p, hvor a>0, a≠1 og p – et hvilket som helst reelt tal. Denne egenskab følger direkte af definitionen af logaritmen. Bemærk, at det giver dig mulighed for straks at angive værdien af logaritmen, hvis det er muligt at repræsentere tallet under logaritmetegnet som en potens af basen, vil vi tale mere om dette i artiklen, der beregner logaritmer.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme af produktet af to positive tal x og y er lig med produktet af logaritmerne af disse tal: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Lad os bevise egenskaben for logaritmen af et produkt. På grund af gradens egenskaber a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og da ved den logaritmiske hovedidentitet a log a x =x og en log a y =y, så a log a x ·a log a y =x·y. Altså en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definitionen af en logaritme, følger den lighed, der bevises.

Lad os vise eksempler på brug af egenskaben for logaritmen af et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskaben ved et produkts logaritme kan generaliseres til produktet af et endeligt tal n af positive tal x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Denne lighed kan bevises uden problemer ved at bruge metoden til matematisk induktion.

For eksempel kan produktets naturlige logaritme erstattes af summen af tre naturlige logaritmer af tallene 4, e og.

Logaritme af kvotienten af to positive tal x og y er lig med forskellen mellem logaritmerne af disse tal. Egenskaben for kvotientens logaritme svarer til en formel for formen , hvor a>0, a≠1, x og y er nogle positive tal. Gyldigheden af denne formel er bevist såvel som formlen for logaritmen af et produkt: siden , så per definition af logaritmen .

Her er et eksempel på brug af denne egenskab for logaritmen: .

Lad os gå videre til egenskaben for potensens logaritme. Logaritmen af en grad er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af modulet af basis af denne grad. Lad os skrive denne egenskab af en potenss logaritme som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tal, således at graden b p giver mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskab for positiv b. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , så er b p =(a log a b) p , og det resulterende udtryk, på grund af magtegenskaben, er lig med en p·log a b . Så vi kommer til ligheden b p =a p·log a b, hvorfra vi ved definitionen af en logaritme konkluderer, at log a b p =p·log a b.

Det er tilbage at bevise denne egenskab for negativ b. Her bemærker vi, at udtrykket log a b p for negativ b kun giver mening for lige eksponenter p (da værdien af graden b p skal være større end nul, ellers vil logaritmen ikke give mening), og i dette tilfælde b p =|b| s. Derefter b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , hvorfra log a b p =p·log a |b| .

f.eks. og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger af den tidligere ejendom egenskaben for logaritmen fra roden: logaritmen af den n. rod er lig med produktet af brøken 1/n ved logaritmen af det radikale udtryk, dvs. hvor a>0, a≠1, n er et naturligt tal større end en, b>0 .

Beviset er baseret på ligheden (se definition af eksponent med en brøkeksponent), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskaben for eksponentens logaritme: .

Her er et eksempel på brug af denne egenskab: .

Lad os nu bevise formel for at flytte til en ny logaritmebase slags . For at gøre dette er det nok at bevise gyldigheden af lighedsloggen c b=log a b·log c a. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , derefter log c b=log c a log a b . Det er tilbage at bruge egenskaben for gradens logaritme: log c a log a b =log a b·log c a . Dette beviser lighedslog c b=log a b·log c a , hvilket betyder, at formlen for overgang til en ny logaritmebasis også er bevist .

Lad os vise et par eksempler på brug af denne egenskab ved logaritmer: og .

Formlen for at flytte til en ny base giver dig mulighed for at gå videre til at arbejde med logaritmer, der har en "praktisk" base. For eksempel kan den bruges til at skifte til naturlige eller decimale logaritmer, så du kan beregne værdien af en logaritme ud fra en tabel med logaritmer. Formlen for at flytte til en ny logaritmebase giver også i nogle tilfælde mulighed for at finde værdien af en given logaritme, når værdierne af nogle logaritmer med andre baser er kendt.

Ofte brugt særligt tilfælde formler for overgang til en ny basis af logaritmen med formens c=b. Dette viser, at log a b og log b a er gensidigt omvendte tal. f.eks. .

Formlen bruges også ofte, hvilket er praktisk til at finde værdierne af logaritmer. For at bekræfte vores ord, vil vi vise, hvordan det kan bruges til at beregne værdien af en logaritme af formen. Det har vi . For at bevise formlen er det nok at bruge formlen til at flytte til en ny base af logaritmen a: .

Det er tilbage at bevise egenskaberne ved sammenligning af logaritmer.

Lad os bruge den modsatte metode. Antag, at for a 1 >1, a 2 >1 og a 1 2 og for 0 1 er log a 1 b≤log a 2 b sand. Baseret på logaritmers egenskaber kan disse uligheder omskrives som Og hhv., og af dem følger, at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Derefter skal lighederne b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 ifølge egenskaberne for potenser med samme basis holde, det vil sige a 1 ≥a 2 . Så vi kom til en modsætning til betingelsen a 1 2. Dette fuldender beviset.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Materiale til lektionen
Download alle formler

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med samme grundtal: log a x og log a y. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

Så summen af logaritmer er lig med logaritmen af produktet, og forskellen er lig med logaritmen af kvotienten. Bemærk venligst: det vigtigste her er identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 6 4 + log 6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 2 48 − log 2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

log a x n = n · log a x ;

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 7 49 6 .

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af udtrykket:

[Billedtekst til billedet]

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Billedtekst til billedet]

Overgang til en ny fond

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen log a x gives. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

[Billedtekst til billedet]

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

[Billedtekst til billedet]

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 5 16 log 2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

[Billedtekst til billedet]

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to, og beskæftigede os derefter med logaritmer.

Opgave. Find værdien af udtrykket: log 9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

[Billedtekst til billedet]

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

[Billedtekst til billedet]

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

n = log a a n
I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det er det, det hedder: den grundlæggende logaritmiske identitet.

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: Resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

[Billedtekst til billedet]

Bemærk at log 25 64 = log 5 8 - vi tog simpelthen kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

[Billedtekst til billedet]

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.
1. log a a = 1 er en logaritmisk enhed. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst grundtal a af selve basen er lig med én.
2. log a 1 = 0 er logaritmisk nul. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi et 0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.
Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af lektionen, print det ud og løs problemerne.

Logaritme. Egenskaber for logaritmen (addition og subtraktion).

Egenskaber for logaritmen følge af dens definition. Og så logaritmen af tallet b baseret på EN er defineret som den eksponent, som et tal skal hæves til -en for at få nummeret b(logaritme findes kun for positive tal).

Af denne formulering følger, at beregningen x=log a b, svarer til at løse ligningen a x =b. f.eks. log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen af logaritmen gør det muligt at begrunde, at if b=a c, derefter logaritmen af tallet b baseret på -en lig med Med. Det er også klart, at emnet logaritmer er tæt forbundet med emnet potenser.

Med logaritmer, som med alle tal, kan du gøre operationer med addition, subtraktion og transformere på alle mulige måder. Men på grund af at logaritmer ikke er helt almindelige tal, gælder deres egne særlige regler her, som kaldes hovedejendomme.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer.

Lad os tage to logaritmer med de samme baser: log et x Og log et y. Så er det muligt at udføre additions- og subtraktionsoperationer:

Som vi ser, summen af logaritmer er lig med logaritmen af produktet, og forskel logaritmer- logaritme af kvotienten. Desuden er dette sandt, hvis tallene EN, X Og på positiv og a ≠ 1.

Det er vigtigt at bemærke, at hovedaspektet i disse formler er de samme baser. Hvis begrundelsen er anderledes, gælder disse regler ikke!

Reglerne for at addere og trække logaritmer med de samme baser læses ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt. Som et resultat har vi sætningerne for produktets logaritme og kvotientens logaritme.

Logaritme af produktet to positive tal er lig med summen af deres logaritmer ; ved at omformulere denne sætning får vi følgende hvis tallene EN, x Og på positiv og a ≠ 1, Det:

Logaritme af kvotienten to positive tal er lig med forskellen mellem logaritmerne af udbyttet og divisoren. For at sige det på en anden måde, hvis tallene EN, X Og på positiv og a ≠ 1, Det:

Lad os anvende ovenstående sætninger til at løse eksempler:

Hvis tallene x Og på er altså negative produktlogaritmeformel bliver meningsløst. Det er derfor forbudt at skrive:

da udtrykkene log 2 (-8) og log 2 (-4) slet ikke er defineret (logaritmisk funktion på= log 2 X kun defineret for positive værdier argument X).

Produktsætning gælder ikke kun for to, men også for et ubegrænset antal faktorer. Det betyder, at for enhver naturlig k og eventuelle positive tal x 1 , x 2 , . . . ,x n der er en identitet:

Fra logaritmekvotientsætning Endnu en egenskab for logaritmen kan opnås. Det er almindelig kendt, at log -en 1= 0, derfor

Det betyder, at der er en lighed:

Logaritmer af to indbyrdes gensidige tal af samme grund vil adskille sig fra hinanden udelukkende ved tegn. Så:

Logaritme. Egenskaber for logaritmer

Logaritme. Egenskaber for logaritmer

Lad os overveje ligestilling. Fortæl os værdierne af og og vi ønsker at finde værdien af .

Det vil sige, at vi leder efter den eksponent, som vi skal spænde den for at få .

Lade en variabel kan antage en hvilken som helst reel værdi, så er følgende begrænsninger pålagt variablerne: o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />

Hvis vi kender værdierne af og , og vi står over for opgaven med at finde det ukendte, så introduceres til dette formål en matematisk operation, som kaldes logaritme.

For at finde den værdi, vi tager logaritme af et tal Ved basis :

Logaritmen af et tal til dets base er den eksponent, som det skal hæves til for at få .

Det vil sige grundlæggende logaritmisk identitet:

o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

er i bund og grund en matematisk notation definitioner af logaritme.

Den matematiske operation af logaritmen er den inverse af operationen af eksponentiering, så egenskaber ved logaritmer er tæt forbundet med gradens egenskaber.

Lad os liste de vigtigste egenskaber ved logaritmer:

(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

4.

5.

Følgende gruppe af egenskaber giver dig mulighed for at repræsentere eksponenten af et udtryk under logaritmetegnet eller i bunden af logaritmen som en koefficient foran logaritmetegnet:

6.

7.

8.

9.

Den næste gruppe af formler giver dig mulighed for at flytte fra en logaritme med en given grundtal til en logaritme med en vilkårlig basis, og kaldes formler for at flytte til en ny base:

10.

12. (følge fra ejendom 11)

De følgende tre egenskaber er ikke velkendte, men de bruges ofte ved løsning af logaritmiske ligninger eller ved forenkling af udtryk, der indeholder logaritmer:

13.

14.

15.

Særlige tilfælde:

— decimallogaritme

— naturlig logaritme

Ved forenkling af udtryk, der indeholder logaritmer, anvendes en generel tilgang:

1. Introduktion decimaler i form af almindelige.

2. Blandede tal repræsenteret som uægte brøker.

3. Vi opdeler tallene i bunden af logaritmen og under logaritmens fortegn i simple faktorer.

4. Vi forsøger at reducere alle logaritmer til samme base.

5. Anvend egenskaberne for logaritmer.

Lad os se på eksempler på forenkling af udtryk, der indeholder logaritmer.

Eksempel 1.

Beregne:

Lad os forenkle alle eksponenter: Vores opgave er at reducere dem til logaritmer, hvis basis er det samme tal som basis for eksponenten.

==(ved egenskab 7)=(ved egenskab 6) =

Lad os erstatte de indikatorer, vi fik i det oprindelige udtryk. Vi får:

Svar: 5,25

Eksempel 2. Beregn:

Lad os reducere alle logaritmer til grundtal 6 (i dette tilfælde vil logaritmerne fra nævneren af brøken "migrere" til tælleren):

Lad os opdele tallene under logaritmetegnet i simple faktorer:

Lad os anvende egenskab 4 og 6:

Lad os introducere erstatningen

Vi får:

Svar: 1

Logaritme . Grundlæggende logaritmisk identitet.

Egenskaber for logaritmer. Decimal logaritme. Naturlig logaritme.

Logaritme positivt tal N til base (b > 0, b 1) er eksponenten x, som b skal hæves til for at få N .

Denne post svarer til følgende: b x = N .

Eksempler: log 3 81 = 4, da 3 4 = 81;

log 1/3 27 = – 3, da (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Ovenstående definition af logaritme kan skrives som en identitet:

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer.

2) log 1 = 0, siden b 0 = 1 .

3) Produktets logaritme er lig med summen af logaritmerne af faktorerne:

4) Logaritmen af kvotienten er lig med forskellen mellem logaritmerne af dividenden og divisoren:

5) Logaritmen af en potens er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af dens grundtal:

Konsekvensen af denne ejendom er følgende: logaritme af roden lig med logaritmen af det radikale tal divideret med magten af roden:

6) Hvis basen af logaritmen er en grad, så værdien det omvendte af eksponenten kan tages ud som et log rim:

De sidste to ejendomme kan kombineres til én:

7) Overgangsmodulformel (dvs. overgang fra en logaritmebase til en anden base):

I det særlige tilfælde hvornår N=a vi har:

Decimal logaritme ringede grundlogaritme 10. Det betegnes lg, dvs. log 10 N= log N. Logaritmer af tallene 10, 100, 1000, . p er henholdsvis 1, 2, 3, …, dvs. har så mange positive

enheder, hvor mange nuller er der i et logaritmisk tal efter et. Logaritmer af tal 0,1, 0,01, 0,001, . p er henholdsvis –1, –2, –3, …, dvs. har lige så mange negative som der er nuller i det logaritmiske tal før et (inklusive nul heltal). Logaritmerne af andre tal har en brøkdel kaldet mantisse. Hele delen logaritmen kaldes karakteristisk. Til praktisk brug er decimallogaritmer mest bekvemme.

Naturlig logaritme ringede grundlogaritme e. Det er betegnet med ln, dvs. log e N= log N. Antal e er irrationel, dens omtrentlige værdi er 2,718281828. Det er grænsen, som tallet har tendens til (1 + 1 / n) n med ubegrænset stigning n(cm. først vidunderlig grænse på siden "Nummersekvensgrænser").
Hvor mærkeligt det end kan virke, viste naturlige logaritmer sig at være meget praktiske, når de udføres forskellige slags operationer relateret til funktionsanalyse. Beregning af logaritmer til base e udføres meget hurtigere end af nogen anden grund.

Hvad skal der i dag til for at adoptere et barn i Rusland? Adoption i Rusland, foruden en ansvarlig personlig beslutning, involverer en række procedurer for statslig verifikation af kandidater. Hårdt udvalg til forberedende fase bidrager til mere […]
Gratis information om TIN eller OGRN fra skatteregistret i hele Rusland - online Information om statsregistrering kan fås på Unified Tax Services Portal juridiske enheder, individuelle iværksættere, […]
Straf for kørsel uden dokumenter ( kørekort, forsikring, STS) Nogle gange, på grund af glemsomhed, sætter bilister sig bag rattet uden kørekort og får en bøde for at køre uden dokumenter. Vi vil gerne minde dig om, at en bilentusiast skal have […]
Blomster til mænd. Hvilke blomster kan du give en mand? Hvilke blomster kan du give en mand? Der er ikke mange "mandlige" blomster, men der er nogle, der gives til mænd. En lille blomsterliste foran dig: Krysantemum.
Roser. Nelliker.[…] Et notat er speciel form dokument, der bruges i indre miljø
virksomheder og tjener for
hurtig løsning aktuelle produktionsproblemer. Typisk er dette dokument udarbejdet med det formål at introducere nogle […] Hvornår og hvordan modtager du den finansierede del af din pension fra Sberbank? Sberbank er en partnerbank i statens pensionsfond. På baggrund heraf kunne borgere, der tilmeldte sig en fondspension, overføre den finansierede del […]
Børneydelser i Ulyanovsk og Ulyanovsk-regionen i 2018 Derudover er programmer godkendt af føderal lovgivning . Lad os se på, hvem der kan regne med hvilke fordele. Hvordan regionale myndigheder […] Detaljeret vejledning