Den naturlige logaritme af 0 er. Hvad er en logaritme

Lektion og oplæg om emnerne: "Naturlige logaritmer. Grundlaget for den naturlige logaritme. Logaritmen af ​​et naturligt tal"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10-11 "Logarithms"

Hvad er naturlig logaritme

Gutter, i den sidste lektion lærte vi et nyt, specielt nummer - f.eks. I dag vil vi fortsætte med at arbejde med dette nummer.
Vi har undersøgt logaritmer, og vi ved, at grundtallet for en logaritme kan være mange tal, der er større end 0. I dag vil vi også se på en logaritme, hvis grundtal er tallet e. Sådan en logaritme kaldes normalt den naturlige logaritme. Den har sin egen notation: $\ln(n)$ er den naturlige logaritme. Denne post svarer til posten: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentielle og logaritmiske funktioner er inverse, så er den naturlige logaritme den inverse af funktionen: $y=e^x$.
Inverse funktioner er symmetriske i forhold til den rette linie $y=x$.
Lad os plotte den naturlige logaritme ved at plotte den eksponentielle funktion med hensyn til den lige linje $y=x$.

Det er værd at bemærke, at hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen $y=e^x$ i punktet (0;1) er 45°. Så vil hældningsvinklen for tangenten til grafen for den naturlige logaritme ved punktet (1;0) også være lig med 45°. Begge disse tangenter vil være parallelle med linjen $y=x$. Lad os diagramme tangenterne:

Egenskaber for funktionen $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Er hverken lige eller ulige.
3. Stigning gennem hele definitionsdomænet.
4. Ikke begrænset fra oven, ikke begrænset nedefra.
5. Største værdi Ingen, laveste værdi Ingen.
6. Kontinuerlig.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveks opad.
9. Differentierbar overalt.

I løbet af højere matematik er det bevist, at den afledede af en invers funktion er den inverse af den afledede af en given funktion.
Der er ingen grund til at dykke ned i beviserne giver meget mening, lad os bare skrive formlen: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Eksempel.
Beregn værdien af ​​den afledede af funktionen: $y=\ln(2x-7)$ i punktet $x=4$.
Løsning.
Generelt er vores funktion repræsenteret af funktionen $y=f(kx+m)$ vi kan beregne afledte af sådanne funktioner.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Lad os beregne værdien af ​​den afledte på det krævede punkt: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Svar: 2.

Eksempel.
Tegn en tangent til grafen for funktionen $y=ln(x)$ i punktet $х=е$.
Løsning.
Vi husker godt ligningen for tangenten til grafen for en funktion i punktet $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Vi beregner sekventielt de nødvendige værdier.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentligningen i punktet $x=e$ er funktionen $y=\frac(x)(e)$.
Lad os plotte den naturlige logaritme og tangentlinjen.

Eksempel.
Undersøg funktionen for monotoni og ekstrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Løsning.
Definitionsdomænet for funktionen $D(y)=(0;+∞)$.
Lad os finde den afledede af den givne funktion:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Den afledte eksisterer for alle x fra definitionsdomænet, så er der ingen kritiske punkter. Lad os finde stationære punkter:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punktet $x=-1$ hører ikke til definitionsdomænet. Så har vi et stationært punkt $x=1$. Lad os finde intervallerne for stigende og faldende:

Punkt $x=1$ er minimumpunktet, derefter $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Svar: Funktionen falder på segmentet (0;1), funktionen øges på strålen $)