Den naturlige logaritme af x er lig med. Naturlig logaritme, funktion ln x

Graf over en funktion naturlig logaritme. Funktionen nærmer sig langsomt den positive uendelighed, efterhånden som du øger x og nærmer sig hurtigt negativ uendelighed når x har en tendens til 0 ("langsom" og "hurtig" sammenlignet med enhver effektfunktion af x).

Naturlig logaritme er logaritmen til grundtallet , Hvor e (\displaystyle e)- en irrationel konstant lig med ca. 2,72. Det er betegnet som ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) eller nogle gange bare log ⁡ x (\displaystyle \log x), hvis basen e (\displaystyle e) underforstået. Med andre ord, den naturlige logaritme af et tal x- dette er en eksponent, som et tal skal hæves til e, At opnå x. Denne definition kan udvides til komplekse tal.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), fordi e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), fordi e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Den naturlige logaritme kan også defineres geometrisk for ethvert positivt reelt tal -en som arealet under kurven y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) ind i mellem [1; a ] (\displaystyle). Enkelheden af ​​denne definition, som er i overensstemmelse med mange andre formler, der bruger denne logaritme, forklarer oprindelsen af ​​navnet "naturlig".

Hvis vi betragter den naturlige logaritme som en reel funktion af en reel variabel, så er det den inverse funktion af den eksponentielle funktion, der fører til identiteterne:

e ln ⁡ a = a (a > 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Som alle logaritmer kortlægger den naturlige logaritme multiplikation til addition:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Lektion og oplæg om emnerne: "Naturlige logaritmer. Grundlaget for den naturlige logaritme. Logaritmen af ​​et naturligt tal"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual til klasse 10-11 "Logarithms"

Hvad er naturlig logaritme

Gutter, i den sidste lektion lærte vi et nyt, specielt nummer - f.eks. I dag vil vi fortsætte med at arbejde med dette nummer.
Vi har undersøgt logaritmer, og vi ved, at grundtallet for en logaritme kan være mange tal, der er større end 0. I dag vil vi også se på en logaritme, hvis grundtal er tallet e. Sådan en logaritme kaldes normalt den naturlige logaritme. Den har sin egen notation: $\ln(n)$ er den naturlige logaritme. Denne post svarer til posten: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentielle og logaritmiske funktioner er inverse, så er den naturlige logaritme den inverse af funktionen: $y=e^x$.
Inverse funktioner er symmetriske i forhold til den rette linie $y=x$.
Lad os plotte den naturlige logaritme ved at plotte den eksponentielle funktion med hensyn til den lige linje $y=x$.

Det er værd at bemærke, at hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen $y=e^x$ i punktet (0;1) er 45°. Så vil hældningsvinklen for tangenten til grafen for den naturlige logaritme ved punktet (1;0) også være lig med 45°. Begge disse tangenter vil være parallelle med linjen $y=x$. Lad os diagramme tangenterne:

Egenskaber for funktionen $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Er hverken lige eller ulige.
3. Stigning gennem hele definitionsdomænet.
4. Ikke begrænset fra oven, ikke begrænset nedefra.
5. Største værdi Ingen, laveste værdi Ingen.
6. Kontinuerlig.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveks opad.
9. Differentierbar overalt.

I løbet af højere matematik er det bevist, at den afledede af en invers funktion er den inverse af den afledede af en given funktion.
Der er ingen grund til at dykke ned i beviserne giver meget mening, lad os bare skrive formlen: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Eksempel.
Beregn værdien af ​​den afledede af funktionen: $y=\ln(2x-7)$ i punktet $x=4$.
Løsning.
Generelt er vores funktion repræsenteret af funktionen $y=f(kx+m)$ vi kan beregne afledte af sådanne funktioner.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Lad os beregne værdien af ​​den afledte på det krævede punkt: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Svar: 2.

Eksempel.
Tegn en tangent til grafen for funktionen $y=ln(x)$ i punktet $х=е$.
Løsning.
Vi husker godt ligningen for tangenten til grafen for en funktion i punktet $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Vi beregner sekventielt de nødvendige værdier.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentligningen i punktet $x=e$ er funktionen $y=\frac(x)(e)$.
Lad os plotte den naturlige logaritme og tangentlinjen.

Eksempel.
Undersøg funktionen for monotoni og ekstrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Løsning.
Definitionsdomænet for funktionen $D(y)=(0;+∞)$.
Lad os finde den afledede af den givne funktion:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Den afledte eksisterer for alle x fra definitionsdomænet, så er der ingen kritiske punkter. Lad os finde stationære punkter:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punktet $х=-1$ hører ikke til definitionsdomænet. Så har vi et stationært punkt $x=1$. Lad os finde intervallerne for stigende og faldende:

Punkt $x=1$ er minimumpunktet, derefter $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Svar: Funktionen falder på segmentet (0;1), funktionen øges på strålen $)