Hvad er grundlaget for den naturlige logaritme. Forståelse af den naturlige logaritme

De vigtigste egenskaber er angivet naturlig logaritme, graf, definitionsdomæne, værdisæt, grundlæggende formler, afledt, integral, potensrækkeudvidelse og repræsentation af funktionen ln x ved hjælp af komplekse tal.

Definition

Naturlig logaritme er funktionen y = ln x, den inverse af eksponentialet, x = e y, og er logaritmen til grundtallet af tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritme er meget brugt i matematik, fordi dens afledte har den enkleste form: (ln x)′ = 1/ x.

Baseret på definitioner, basen af ​​den naturlige logaritme er tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funktionen y = ln x.

Graf over naturlig logaritme (funktioner y = ln x) fås fra den eksponentielle graf ved spejlrefleksion i forhold til den rette linje y = x.

Den naturlige logaritme er defineret ved positive værdier variabel x.

Den øges monotont i sit definitionsdomæne. 0 Ved x →

grænsen for den naturlige logaritme er minus uendelig (-∞). Som x → + ∞ er grænsen for den naturlige logaritme plus uendelig (+ ∞). For stort x stiger logaritmen ret langsomt. Enhver power funktion

x a med en positiv eksponent a vokser hurtigere end logaritmen.

Egenskaber for den naturlige logaritme

Definitionsdomæne, værdisæt, ekstrema, stigning, fald

Den naturlige logaritme er en monotont stigende funktion, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskaberne for den naturlige logaritme er præsenteret i tabellen.

ln x værdier

ln 1 = 0

Grundlæggende formler for naturlige logaritmer

Formler, der følger af definitionen af ​​den inverse funktion:

Hovedegenskaben ved logaritmer og dens konsekvenser

Formel for basisudskiftning

Enhver logaritme kan udtrykkes i form af naturlige logaritmer ved hjælp af basissubstitutionsformlen:

Beviser for disse formler er præsenteret i afsnittet "Logaritme".

Omvendt funktion

Det omvendte af den naturlige logaritme er eksponenten.

Hvis, så

Hvis altså.

Afledt ln x
.
Afledt af den naturlige logaritme:
.
Afledt af den naturlige logaritme af modul x:
.
Afledt af n. orden:

Udledning af formler > > >

Integral
.
Integralet beregnes ved integration af dele:

Så,

Udtryk ved hjælp af komplekse tal
.
Overvej funktionen af ​​den komplekse variabel z: Lad os udtrykke den komplekse variabel z via modul r φ :
.
og argumentation
.
Ved at bruge logaritmens egenskaber har vi:
.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Hvis du sætter
, hvor n er et heltal,
det vil være det samme tal for forskellige n.

Derfor er den naturlige logaritme, som funktion af en kompleks variabel, ikke en funktion med en enkelt værdi.

Power serie udvidelse

Når udvidelsen finder sted:

Brugt litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.

Naturlig logaritme

Graf over den naturlige logaritmefunktion. Funktionen nærmer sig langsomt den positive uendelighed, efterhånden som den øges x og nærmer sig hurtigt negativ uendelighed når x har en tendens til 0 ("langsom" og "hurtig" sammenlignet med enhver effektfunktion af x).

Naturlig logaritme er logaritmen til grundtallet , Hvor e- en irrationel konstant lig med cirka 2,718281 828. Den naturlige logaritme skrives normalt som ln( x), log e (x) eller nogle gange bare logge( x), hvis basen e underforstået.

Naturlig logaritme af et tal x(skrevet som ln(x)) er den eksponent, som tallet skal hæves til e at få x. f.eks. ln(7.389...) er lig med 2 fordi e 2 =7,389... . Naturlig logaritme af selve tallet e (ln(e)) er lig med 1 fordi e 1 = e, og den naturlige logaritme er 1 ( ln(1)) er lig med 0 fordi e 0 = 1.

Den naturlige logaritme kan defineres for ethvert positivt reelt tal -en som arealet under kurven y = 1/x fra 1 til -en. Enkelheden af ​​denne definition, som er i overensstemmelse med mange andre formler, der bruger den naturlige logaritme, førte til navnet "naturlig". Denne definition kan udvides til komplekse tal, som diskuteret nedenfor.

Hvis vi betragter den naturlige logaritme som en reel funktion af en reel variabel, så er det den inverse funktion af den eksponentielle funktion, der fører til identiteterne:

Som alle logaritmer kortlægger den naturlige logaritme multiplikation til addition:

Den logaritmiske funktion er således en isomorfi af gruppen af ​​positive reelle tal med hensyn til multiplikation med gruppen af ​​reelle tal med hensyn til addition, som kan repræsenteres som en funktion:

Logaritmen kan defineres for enhver anden positiv base end 1, ikke kun e, men logaritmer for andre baser adskiller sig kun fra den naturlige logaritme med en konstant faktor, og er normalt defineret ud fra den naturlige logaritme. Logaritmer er nyttige til at løse ligninger, der involverer ukendte som eksponenter. For eksempel bruges logaritmer til at finde henfaldskonstanten for en kendt halveringstid eller til at finde henfaldstiden ved løsning af radioaktivitetsproblemer. De spiller en vigtig rolle inden for mange områder af matematik og anvendte videnskaber og bruges i finansiering til at løse mange problemer, herunder at finde renters rente.

Historie

Den første omtale af den naturlige logaritme blev lavet af Nicholas Mercator i hans arbejde Logaritmoteknik, udgivet i 1668, selvom matematiklæreren John Spidell kompilerede en tabel over naturlige logaritmer tilbage i 1619. Den blev tidligere kaldt den hyperbolske logaritme, fordi den svarer til arealet under hyperbelen. Det kaldes nogle gange Napier-logaritmen, selvom den oprindelige betydning af dette udtryk var noget anderledes.

Udpegningskonventioner

Den naturlige logaritme betegnes normalt med "ln( x)", logaritme til base 10 - via "lg( x)", og andre årsager er normalt angivet eksplicit med symbolet "log".

I mange værker om diskret matematik, kybernetik og datalogi bruger forfattere notationen "log( x)" for logaritmer til base 2, men denne konvention er ikke generelt accepteret og kræver afklaring enten i listen over anvendte notationer eller (i mangel af en sådan liste) med en fodnote eller kommentar, når den bruges første gang.

Parenteser omkring logaritmerargumentet (hvis dette ikke fører til en fejlagtig læsning af formlen) udelades normalt, og når man hæver en logaritme til en potens, tildeles eksponenten direkte til logaritmens fortegn: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

angloamerikansk system

Matematikere, statistikere og nogle ingeniører bruger normalt til at betegne den naturlige logaritme eller "log( x)" eller "ln( x)", og for at betegne logaritmen på basis 10 - "log 10 ( x)».

Nogle ingeniører, biologer og andre specialister skriver altid "ln( x)" (eller lejlighedsvis "log e ( x)"), når de betyder den naturlige logaritme, og skriver "log( x)" de betyder log 10 ( x).

log e er en "naturlig" logaritme, fordi den opstår automatisk og optræder meget ofte i matematik. Overvej for eksempel problemet med den afledede af en logaritmisk funktion:

Hvis basen b lig med e, så er den afledte simpelthen 1/ x, og hvornår x= 1 denne afledte er lig med 1. En anden grund til grunden e Det mest naturlige ved logaritmen er, at den ganske enkelt kan defineres i form af et simpelt integral eller Taylor-rækker, hvilket ikke kan siges om andre logaritmer.

Yderligere begrundelser for naturlighed er ikke relateret til notation. For eksempel er der flere simple serier med naturlige logaritmer. Pietro Mengoli og Nicholas Mercator kaldte dem logarithmus naturalis flere årtier indtil Newton og Leibniz udviklede differential- og integralregning.

Definition

Formelt ln( -en) kan defineres som arealet under kurven på grafen 1/ x fra 1 til -en, dvs. som et integral:

Det er i sandhed en logaritme, fordi den opfylder logaritmens grundlæggende egenskab:

Dette kan påvises ved at antage som følger:

Numerisk værdi

For at beregne den numeriske værdi af den naturlige logaritme af et tal, kan du bruge dens Taylor-serieudvidelse i form:

At få bedre hastighed konvergens, kan vi bruge følgende identitet:

forudsat at y = (x−1)/(x+1) og x > 0.

For ln( x), Hvor x> 1, jo tættere er værdien x til 1, så hurtigere hastighed konvergens. Identiteterne forbundet med logaritmen kan bruges til at nå målet:

Disse metoder blev brugt selv før fremkomsten af ​​lommeregnere, hvor der blev brugt numeriske tabeller, og manipulationer svarende til dem, der er beskrevet ovenfor, blev udført.

Høj nøjagtighed

At beregne den naturlige logaritme med et stort antal nøjagtighedstal, er Taylor-serien ikke effektiv, fordi dens konvergens er langsom. Et alternativ er at bruge Newtons metode til at invertere til en eksponentiel funktion, hvis serie konvergerer hurtigere.

Et alternativ til meget høj beregningsnøjagtighed er formlen:

Hvor M angiver det aritmetisk-geometriske gennemsnit af 1 og 4/s, og

m valgt således s præg af nøjagtighed opnås. (I de fleste tilfælde er en værdi på 8 for m tilstrækkelig.) Faktisk, hvis denne metode bruges, kan Newtons inverse af den naturlige logaritme anvendes til effektivt at beregne eksponentialfunktionen. (Konstanterne ln 2 og pi kan forudberegnes til den ønskede nøjagtighed ved hjælp af en hvilken som helst af de kendte hurtigt konvergerende serier.)

Beregningsmæssig kompleksitet

Beregningskompleksiteten af ​​naturlige logaritmer (ved brug af det aritmetisk-geometriske middel) er O( M(n) ln n). Her n er antallet af præcisionscifre, for hvilke den naturlige logaritme skal evalueres, og M(n) er den beregningsmæssige kompleksitet ved at gange to n-cifrede tal.

Fortsat brøker

Selvom der ikke er nogen simple fortsatte brøker til at repræsentere en logaritme, kan flere generaliserede fortsatte brøker bruges, herunder:

Komplekse logaritmer

Den eksponentielle funktion kan udvides til en funktion, der giver et komplekst tal af formen e x for ethvert vilkårligt komplekst tal x, i dette tilfælde en uendelig serie med kompleks x. Denne eksponentielle funktion kan inverteres for at danne en kompleks logaritme, som vil have de fleste egenskaber ved almindelige logaritmer. Der er dog to vanskeligheder: der er ingen x, for hvilket e x= 0, og det viser sig at e 2πi = 1 = e 0 . Da multiplikativitetsegenskaben er gyldig for en kompleks eksponentiel funktion, så e Lad os udtrykke den komplekse variabel = e Lad os udtrykke den komplekse variabel+2nπi for alle komplekse Lad os udtrykke den komplekse variabel og hel n.

Logaritmen kan ikke defineres over hele det komplekse plan, og alligevel er den multiværdi - enhver kompleks logaritme kan erstattes af en "ækvivalent" logaritme ved at tilføje et hvilket som helst heltalsmultipel af 2 πi. Den komplekse logaritme kan kun være en enkelt værdi på et udsnit af det komplekse plan. For eksempel, ln jeg = 1/2 πi eller 5/2 πi eller -3/2 πi osv., og selvom jeg 4 = 1,4 log jeg kan defineres som 2 πi eller 10 πi eller -6 πi, og så videre.

Se også

• John Napier - opfinder af logaritmer

Noter

1. Matematik for fysisk kemi. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Uddrag af side 9
2. JJ O"Connor og EF Robertson Tallet e. MacTutor History of Mathematics-arkivet (september 2001). Arkiveret
3. Cajori Florian A History of Mathematics, 5. udg. - AMS Boghandel, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Estimering af integraler ved hjælp af polynomier. Arkiveret fra originalen den 12. februar 2012.

tager ofte et nummer e = 2,718281828 . Logaritmer baseret på denne base kaldes naturlig. Når man udfører beregninger med naturlige logaritmer, er det almindeligt at operere med tegnet ln, ikke log; mens nummeret 2,718281828 , der definerer grundlaget, er ikke angivet.

Med andre ord vil formuleringen se sådan ud: naturlig logaritme tal X- dette er en eksponent, som et tal skal hæves til e at få x.

Så, ln(7.389...)= 2, siden e 2 =7,389... . Naturlig logaritme af selve tallet e= 1 fordi e 1 =e, og den naturlige logaritme af enhed er nul, da e 0 = 1.

Selve nummeret e definerer grænsen for en monotont afgrænset sekvens

regnet det ud e = 2,7182818284... .

For at rette et nummer i hukommelsen er cifrene i det nødvendige nummer ofte forbundet med en udestående dato. Hurtigheden af ​​at huske de første ni cifre i et tal e efter decimaltegnet vil stige, hvis du bemærker, at 1828 er Leo Tolstojs fødselsår!

I dag er der nok fulde borde naturlige logaritmer.

Naturlig logaritme graf(funktioner y=ln x) er en konsekvens af, at eksponentgrafen er et spejlbillede af den rette linje y = x og har formen:

Den naturlige logaritme kan findes for hvert positivt reelt tal -en som arealet under kurven y = 1/x fra 1 til -en.

Den elementære karakter af denne formulering, som er i overensstemmelse med mange andre formler, hvori den naturlige logaritme er involveret, var årsagen til dannelsen af ​​navnet "naturlig".

Hvis du analyserer naturlig logaritme, som en reel funktion af en reel variabel, så virker den omvendt funktion til en eksponentiel funktion, som reducerer til identiteterne:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

I analogi med alle logaritmer konverterer den naturlige logaritme multiplikation til addition, division til subtraktion:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmen kan findes for hver positiv base, der ikke er lig med én, ikke kun for e, men logaritmer for andre baser adskiller sig kun fra den naturlige logaritme med en konstant faktor, og er normalt defineret ud fra den naturlige logaritme.

Efter at have analyseret naturlig logaritme graf, vi finder, at det eksisterer for positive værdier af variablen x. Den øges monotont i sit definitionsdomæne.

På x → 0 grænsen for den naturlige logaritme er minus uendelig ( -∞ ).På x → +∞ grænsen for den naturlige logaritme er plus uendelig ( + ∞ ). I det store hele x Logaritmen stiger ret langsomt. Enhver strømfunktion xa med en positiv eksponent -en stiger hurtigere end logaritmen. Den naturlige logaritme er en monotont stigende funktion, så den har ingen ekstrema.

Brug naturlige logaritmer meget rationelt, når man består højere matematik. Brug af logaritmen er således praktisk til at finde svaret på ligninger, hvor ubekendte optræder som eksponenter. Brugen af ​​naturlige logaritmer i beregninger gør det muligt i høj grad at forenkle stort antal matematiske formler. Logaritmer til basen e er til stede i at løse et betydeligt antal fysiske problemer og naturligt indgår i den matematiske beskrivelse af individuelle kemiske, biologiske og andre processer. Således bruges logaritmer til at beregne henfaldskonstanten for en kendt halveringstid eller til at beregne henfaldstiden ved løsning af problemer med radioaktivitet. De optræder i ledende rolle i mange grene af matematik og praktiske videnskaber, er de tyet til inden for økonomi for at løse stort antal opgaver, herunder beregning af renters rente.

Logaritme af et givet tal kaldes eksponenten, hvortil et andet tal skal hæves, kaldet basis logaritme for at få dette tal. For eksempel er grundtallet 10-logaritmen af ​​100 2. Med andre ord skal 10 kvadreres for at få 100 (10 2 = 100). Hvis n– et givet tal, b– base og l– logaritme altså b l = n. Antal n også kaldet base antilogaritme b tal l. For eksempel er antilogaritmen af ​​2 til grundtal 10 lig med 100. Dette kan skrives i form af relationsloggen b n = l og antilog b l = n.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer:

Ethvert andet positivt tal end et kan tjene som basis for logaritmer, men det viser sig desværre, at hvis b Og n er rationelle tal, så er der i sjældne tilfælde et sådant rationelt tal l, Hvad b l = n. Det er dog muligt at definere et irrationelt tal l for eksempel sådan, at 10 l= 2; dette er et irrationelt tal l kan tilnærmes med enhver påkrævet nøjagtighed rationelle tal. Det viser sig, at i ovenstående eksempel l er omtrent lig med 0,3010, og denne tilnærmelse af basis 10-logaritmen på 2 kan findes i fircifrede tabeller med decimallogaritmer. Base 10 logaritmer (eller base 10 logaritmer) er så almindeligt brugt i beregninger, at de kaldes almindelig logaritmer og skrevet som log2 = 0,3010 eller log2 = 0,3010, idet den eksplicitte angivelse af logaritmebasen udelades. Logaritmer til basen e, et transcendentalt tal omtrent lig med 2,71828, kaldes naturlig logaritmer. De findes hovedsageligt i arbejder på matematisk analyse og dets anvendelser til forskellige videnskaber. Naturlige logaritmer skrives også uden eksplicit at angive grundtallet, men med den specielle notation ln: f.eks. ln2 = 0,6931, fordi e 0,6931 = 2.

Brug af tabeller med almindelige logaritmer.

Den regulære logaritme af et tal er en eksponent, hvortil 10 skal hæves for at opnå det givne tal. Da 10 0 = 1, 10 1 = 10 og 10 2 = 100, får vi straks, at log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 osv. for stigende heltalspotenser 10. Ligeledes er 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 og derfor log0,1 = –1, log0,01 = –2 osv. for alle heltal negative kræfter 10. De sædvanlige logaritmer for de resterende tal er indeholdt mellem logaritmerne af de nærmeste heltalspotenser af tallet 10; log2 skal være mellem 0 og 1, log20 skal være mellem 1 og 2, og log0.2 skal være mellem -1 og 0. Logaritmen består således af to dele, et heltal og decimal, indesluttet mellem 0 og 1. Heltalsdelen kaldes karakteristisk logaritme og bestemmes af selve tallet, kaldes brøkdelen mantisse og kan findes fra tabeller. Også log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmen af ​​2 er 0,3010, så log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Tilsvarende er log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Efter subtraktion får vi log0,2 = – 0,6990. Det er dog mere bekvemt at repræsentere log0.2 som 0,3010 – 1 eller som 9,3010 – 10; kan formuleres og almindelig regel: alle tal opnået fra et givet tal ved multiplikation med en potens af 10 har samme mantisse, lig med mantissen af ​​det givne tal. De fleste tabeller viser mantisser af tal i området fra 1 til 10, da mantisser for alle andre tal kan fås fra dem, der er angivet i tabellen.

De fleste tabeller giver logaritmer med fire eller fem decimaler, selvom der er syvcifrede tabeller og tabeller med endnu flere decimaler. Den nemmeste måde at lære at bruge sådanne tabeller på er med eksempler. For at finde log3.59 bemærker vi først og fremmest, at tallet 3.59 er indeholdt mellem 10 0 og 10 1, så dets karakteristik er 0. Vi finder tallet 35 (til venstre) i tabellen og bevæger os langs rækken til kolonnen, der har tallet 9 øverst; skæringspunktet mellem denne kolonne og række 35 er 5551, så log3.59 = 0.5551. At finde mantissen af ​​et tal med fire væsentlige tal, er det nødvendigt at ty til interpolation. I nogle tabeller er interpolation lettet af proportionerne i de sidste ni kolonner på højre side af hver side af tabellerne. Lad os nu finde log736.4; tallet 736,4 ligger mellem 10 2 og 10 3, derfor er karakteristikken for dens logaritme 2. I tabellen finder vi en række til venstre for hvilken der er 73 og kolonne 6. I skæringspunktet mellem denne række og denne kolonne er der tallet 8669. Blandt de lineære dele finder vi kolonne 4 I skæringspunktet mellem række 73 og kolonne 4 er der tallet 2. Ved at lægge 2 til 8669 får vi mantissen - den er lig med 8671. Altså log736.4. = 2,8671.

Naturlige logaritmer.

Tabellerne og egenskaberne for naturlige logaritmer ligner tabellerne og egenskaberne for almindelige logaritmer. Hovedforskellen mellem begge er, at den heltallige del af den naturlige logaritme ikke er signifikant til at bestemme decimaltegnets position, og derfor spiller forskellen mellem mantissen og karakteristikken ikke en særlig rolle. Naturlige logaritmer af tal 5.432; 54,32 og 543,2 er lig med henholdsvis 1,6923; 3,9949 og 6,2975. Forholdet mellem disse logaritmer vil blive tydeligt, hvis vi betragter forskellene mellem dem: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; sidste nummer er intet andet end den naturlige logaritme af tallet 10 (skrevet sådan: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; det sidste tal er 2ln10. Men 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Altså ved den naturlige logaritme af et givet tal -en du kan finde naturlige logaritmer af tal, lig med produkterne tal -en for enhver grad n numrene 10 hvis til ln -en add ln10 ganget med n, dvs. ln( -enґ10n) = log -en + n ln10 = ln -en + 2,3026n. For eksempel ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Derfor indeholder tabeller med naturlige logaritmer, ligesom tabeller med almindelige logaritmer, normalt kun logaritmer af tal fra 1 til 10. I systemet med naturlige logaritmer kan man tale om antilogaritmer, men oftere taler de om en eksponentiel funktion eller en eksponent. Hvis x= log y, Det y = e x, Og y kaldet eksponent for x(for typografisk bekvemmelighed skriver de ofte y= eksp x). Eksponenten spiller rollen som antilogaritmen af ​​tallet x.

Ved at bruge tabeller med decimaler og naturlige logaritmer kan du oprette tabeller med logaritmer i enhver anden base end 10 og e. Hvis log b a = x, Det b x = -en, og log derfor c b x= log c a eller x log c b= log c a, eller x= log c a/log c b= log b a. Brug derfor denne inversionsformel fra basislogaritmetabellen c du kan bygge tabeller med logaritmer i enhver anden base b. Multiplikator 1/log c b ringede overgangsmodul fra basen c til basen b. Intet forhindrer for eksempel at bruge inversionsformlen eller overgangen fra et system af logaritmer til et andet, finde naturlige logaritmer fra tabellen over almindelige logaritmer eller foretage den omvendte overgang. For eksempel log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Tallet 0,4343, som den naturlige logaritme af et givet tal skal ganges med for at opnå en almindelig logaritme, er modulet for overgangen til systemet af almindelige logaritmer.

Særlige borde.

Logaritmer blev oprindeligt opfundet, så de ved hjælp af deres egenskaber log ab= log -en+ log b og log -en/b= log -en-log b, gør produkter til summer og kvotienter til forskelle. Med andre ord, hvis log -en og log b er kendt, så kan vi ved hjælp af addition og subtraktion nemt finde logaritmen af ​​produktet og kvotienten. I astronomi, dog ofte givet værdier af log -en og log b skal finde log( -en + b) eller log( -en – b). Selvfølgelig kunne man først finde fra tabeller over logaritmer -en Og b, udfør derefter den angivne addition eller subtraktion og, igen med henvisning til tabellerne, find de nødvendige logaritmer, men en sådan procedure ville kræve, at der henvises til tabellerne tre gange. Z. Leonelli udgav tabeller over de såkaldte i 1802. Gaussiske logaritmer– logaritmer til at tilføje summer og forskelle – som gjorde det muligt at begrænse sig til én adgang til tabeller.

I 1624 foreslog I. Kepler tabeller med proportionelle logaritmer, dvs. logaritmer af tal -en/x, Hvor -en– en positiv konstant værdi. Disse tabeller bruges primært af astronomer og navigatører.

Proportionale logaritmer kl -en= 1 kaldes ved logaritmer og bruges i beregninger, når man skal forholde sig til produkter og kvotienter. Kologaritme af et tal n lig med logaritmen gensidigt nummer; dem. colog n= log1/ n= – log n. Hvis log2 = 0,3010, så er colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Fordelen ved at bruge kologaritmer er, at når man beregner værdien af ​​logaritmen af ​​udtryk som f.eks. pq/via modul tredobbelt sum af positive decimaler log s+ log q+colog via modul er nemmere at finde end den blandede sum- og differenslog s+ log q-log via modul.

Historie.

Princippet bag ethvert logaritmesystem har været kendt i meget lang tid og kan spores tilbage til gammel babylonsk matematik (ca. 2000 f.Kr.). I disse dage blev interpolation mellem tabelværdier af positive heltalspotenser af heltal brugt til at beregne renters rente. Meget senere brugte Arkimedes (287-212 f.Kr.) potenserne 108 til at finde en øvre grænse for antallet af sandkorn, der kræves for fuldstændigt at fylde det dengang kendte univers. Arkimedes henledte opmærksomheden på den egenskab ved eksponenter, der ligger til grund for effektiviteten af ​​logaritmer: produktet af potenser svarer til summen af ​​eksponenterne. I slutningen af ​​middelalderen og begyndelsen af ​​den moderne æra begyndte matematikere i stigende grad at vende sig mod forholdet mellem geometriske og aritmetiske progressioner. M. Stiefel i sit essay Heltals aritmetik(1544) gav en tabel over positive og negative potenser af tallet 2:

Stiefel bemærkede, at summen af ​​de to tal i den første række (eksponentrækken) er lig med eksponenten af ​​to svarende til produktet af de to tilsvarende tal i den nederste række (eksponentrækken). I forbindelse med denne tabel formulerede Stiefel fire regler svarende til de fire moderne regler for operationer på eksponenter eller de fire regler for operationer på logaritmer: Summen på den øverste linje svarer til produktet på den nederste linje; subtraktion på den øverste linje svarer til division på den nederste linje; multiplikation på den øverste linje svarer til eksponentiering på den nederste linje; division på den øverste linje svarer til at rode på den nederste linje.

Tilsyneladende fik regler svarende til Stiefels regler J. Naper til formelt at introducere det første logaritmesystem i sit arbejde Beskrivelse af den fantastiske tabel over logaritmer, udgivet i 1614. Men Napiers tanker var optaget af problemet med at omsætte produkter til summer lige siden, mere end ti år før udgivelsen af ​​hans værk, modtog Napier nyheder fra Danmark om, at hans assistenter på Tycho Brahe Observatoriet havde en metode, der gjorde det muligt at omregne produkter til summer. Metoden nævnt i meddelelsen Napier modtog var baseret på brugen trigonometriske formler type

derfor bestod Napers tabeller hovedsageligt af logaritmer trigonometriske funktioner. Selvom begrebet base ikke var eksplicit inkluderet i definitionen foreslået af Napier, blev den rolle, der svarer til basen af ​​logaritmesystemet i hans system, spillet af tallet (1 – 10 –7)ґ10 7, omtrent lig med 1/ e.

Uafhængigt af Naper og næsten samtidigt med ham, blev et system af logaritmer, ganske ens i typen, opfundet og udgivet af J. Bürgi i Prag, udgivet i 1620 Aritmetiske og geometriske progressionstabeller. Disse var tabeller med antilogaritmer til grundtallet (1 + 10 –4) ґ10 4, en ret god tilnærmelse af tallet e.

I Naper-systemet blev logaritmen af ​​tallet 10 7 taget til at være nul, og efterhånden som tallene faldt, steg logaritmerne. Da G. Briggs (1561-1631) besøgte Napier, var begge enige om, at det ville være mere bekvemt at bruge tallet 10 som basis og betragte logaritmen af ​​et som nul. Så, efterhånden som tallene steg, ville deres logaritmer stige. Så fik vi moderne system decimallogaritmer, en tabel, som Briggs offentliggjorde i sit arbejde Logaritmisk aritmetik(1620). Logaritmer til basen e, selvom det ikke ligefrem er dem, der blev introduceret af Naper, kaldes de ofte for Naper's. Udtrykkene "karakteristisk" og "mantisse" blev foreslået af Briggs.

Første logaritmer i kraft historiske årsager brugte tilnærmelser til tallene 1/ e Og e. Noget senere begyndte ideen om naturlige logaritmer at blive forbundet med studiet af områder under en hyperbel xy= 1 (fig. 1). I det 17. århundrede det blev vist, at området afgrænset af denne kurve, aksen x og ordinater x= 1 og x = -en(i fig. 1 er dette område dækket med tykkere og sparsomme prikker) stiger i aritmetisk progression, Hvornår -en stiger eksponentielt. Det er netop denne afhængighed, der opstår i reglerne for operationer med eksponenter og logaritmer. Dette gav anledning til at kalde naperiske logaritmer for "hyperbolske logaritmer."

Logaritmisk funktion.

Der var en tid, hvor logaritmer udelukkende blev betragtet som et middel til beregning, men i det 18. århundrede, hovedsageligt takket være Eulers arbejde, blev begrebet en logaritmisk funktion dannet. Graf over en sådan funktion y= log x, hvis ordinater øges i en aritmetisk progression, mens abscissen øges i en geometrisk progression, er præsenteret i fig. 2, EN. Graf over en invers eller eksponentiel funktion y = e x, hvis ordinater stiger i geometrisk progression, og abscisser - i aritmetisk progression, præsenteres henholdsvis i fig. 2, b. (Kurver y= log x Og y = 10x i form ligner kurver y= log x Og y = e x.) Alternative definitioner af den logaritmiske funktion er også blevet foreslået, f.eks.

kpi ; og på samme måde er de naturlige logaritmer af tallet -1 komplekse tal typer (2 k + 1)pi, Hvor k– et heltal. Lignende udsagn gælder for generelle logaritmer eller andre logaritmesystemer. Derudover kan definitionen af ​​logaritmer generaliseres ved hjælp af Eulers identiteter til at inkludere komplekse logaritmer af komplekse tal.

En alternativ definition af en logaritmisk funktion er tilvejebragt ved funktionel analyse. Hvis f(x) – kontinuert funktion af et reelt tal x, der har følgende tre egenskaber: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Det f(x) er defineret som logaritmen af ​​tallet x baseret på b. Denne definition har en række fordele i forhold til definitionen i begyndelsen af ​​denne artikel.

Ansøgninger.

Logaritmer blev oprindeligt udelukkende brugt til at forenkle beregninger, og denne applikation er stadig en af ​​deres vigtigste. Beregningen af ​​produkter, kvotienter, potenser og rødder lettes ikke kun af den brede tilgængelighed af offentliggjorte tabeller over logaritmer, men også af brugen af ​​såkaldte. slide rule - et beregningsværktøj, hvis driftsprincip er baseret på logaritmers egenskaber. Linealen er udstyret med logaritmiske skalaer, dvs. afstand fra nummer 1 til et hvilket som helst tal x valgt til at være lig med log x; Ved at flytte en skala i forhold til en anden er det muligt at plotte summen eller forskellene af logaritmer, hvilket gør det muligt direkte fra skalaen at aflæse produkterne eller kvotienterne af de tilsvarende tal. Du kan også drage fordel af fordelene ved at repræsentere tal i logaritmisk form. logaritmisk papir til plotning af grafer (papir med logaritmiske skalaer trykt på begge koordinatakser). Hvis en funktion opfylder en potenslov af formen y = kxn, så ligner dens logaritmiske graf en lige linje, fordi log y= log k + n log x– ligning lineær med hensyn til log y og log x. Tværtimod, hvis den logaritmiske graf for en eller anden funktionel afhængighed ligner en ret linje, så er denne afhængighed en potenslov. Semi-logaritmisk papir (hvor y-aksen har en logaritmisk skala, og abscisse-aksen har en ensartet skala) er praktisk i tilfælde, hvor du skal identificere eksponentielle funktioner. Formens ligninger y = kb rx opstår, når en mængde, såsom en befolkning, en mængde radioaktivt materiale eller en banksaldo, falder eller stiger med en hastighed, der er proportional med den tilgængelige i øjeblikket antal beboere, radioaktivt stof eller penge. Hvis en sådan afhængighed er plottet på semi-logaritmisk papir, vil grafen se ud som en ret linje.

Den logaritmiske funktion opstår i forbindelse med en lang række naturformer. Blomster i solsikkeblomsterstande er arrangeret i logaritmiske spiraler, og bløddyrskaller er snoede. Nautilus, horn bjergfår og papegøjenæb. Alle disse naturlige former kan tjene som eksempler på en kurve kendt som en logaritmisk spiral, fordi dens ligning i et polært koordinatsystem er r = ae bq, eller ln via modul= log -en + bq. En sådan kurve er beskrevet af et bevægende punkt, hvis afstand fra polen stiger i geometrisk progression, og vinklen beskrevet af dens radiusvektor stiger i aritmetisk progression. Allestedsnærværelsen af ​​en sådan kurve, og derfor af den logaritmiske funktion, illustreres godt af, at den forekommer i så fjerne og helt forskellige områder som konturen af ​​en excentrisk knast og banen af ​​nogle insekter, der flyver mod lyset.

Logaritmen af ​​et tal b til at basere a er den eksponent, som tallet a skal hæves til for at opnå tallet b.

Hvis, så

Logaritme - ekstrem vigtig matematisk størrelse, da logaritmisk beregning tillader ikke kun at løse eksponentielle ligninger, men også operere med indikatorer, differentiere eksponentielle og logaritmiske funktioner, integrere dem og føre til en mere acceptabel form, der skal beregnes.

Alle logaritmers egenskaber er direkte relateret til egenskaberne eksponentielle funktioner. For eksempel det faktum, at betyder at:

Det skal bemærkes, at ved løsning af specifikke problemer kan logaritmernes egenskaber vise sig at være vigtigere og nyttige end reglerne for at arbejde med potenser.

Lad os præsentere nogle identiteter:

Her er de grundlæggende algebraiske udtryk:

;

.

Opmærksomhed! kan kun eksistere for x>0, x≠1, y>0.

Lad os prøve at forstå spørgsmålet om, hvad naturlige logaritmer er. Særlig interesse for matematik repræsentere to typer- den første har tallet "10" i bunden og kaldes " decimallogaritme" Den anden kaldes naturlig. Grundlaget for den naturlige logaritme er tallet "e". Dette er, hvad vi vil tale om i detaljer i denne artikel.

Betegnelser:

• lg x - decimal;
• ln x - naturlig.

Ved hjælp af identiteten kan vi se, at ln e = 1, samt det faktum, at lg 10=1.

Naturlig logaritme graf

Lad os konstruere en graf over den naturlige logaritme ved at bruge den klassiske standardmetode punkt for punkt. Hvis du ønsker det, kan du tjekke, om vi opbygger funktionen korrekt, ved at undersøge funktionen. Det giver dog mening at lære at bygge det "manuelt" for at vide, hvordan man korrekt beregner logaritmen.

Funktion: y = ln x. Lad os nedskrive en tabel med punkter, som grafen vil passere igennem:

Lad os forklare, hvorfor vi valgte disse særlige værdier af argumentet x. Det handler om identitet: . For den naturlige logaritme vil denne identitet se sådan ud:

For nemheds skyld kan vi tage fem referencepunkter:

;

;

.

;

.

Derfor er det en ret simpel opgave at beregne naturlige logaritmer, og det forenkler beregninger af operationer med potenser og gør dem til almindelig multiplikation.

Ved at plotte en graf punkt for punkt får vi en omtrentlig graf:

Definitionsdomænet for den naturlige logaritme (dvs. alle gyldige værdier argument X) - alle tal er større end nul.

Opmærksomhed! Definitionsdomænet for den naturlige logaritme omfatter kun positive tal! Definitionsomfanget omfatter ikke x=0. Dette er umuligt baseret på betingelserne for eksistensen af ​​logaritmen.

Værdiintervallet (dvs. alle gyldige værdier af funktionen y = ln x) er alle tal i intervallet.

Naturlig log grænse

Ved at studere grafen opstår spørgsmålet - hvordan opfører funktionen sig ved y<0.

Det er klart, at grafen for funktionen har en tendens til at krydse y-aksen, men vil ikke være i stand til at gøre dette, da den naturlige logaritme ved x<0 не существует.

Grænse af naturlig log kan skrives på denne måde:

Formel til at erstatte bunden af ​​en logaritme

At håndtere en naturlig logaritme er meget lettere end at håndtere en logaritme, der har en vilkårlig base. Derfor vil vi forsøge at lære at reducere enhver logaritme til en naturlig, eller udtrykke den til en vilkårlig base gennem naturlige logaritmer.

Lad os starte med den logaritmiske identitet:

Så kan ethvert tal eller variabel y repræsenteres som:

hvor x er et hvilket som helst tal (positivt ifølge logaritmens egenskaber).

Dette udtryk kan tages logaritmisk på begge sider. Lad os gøre dette ved at bruge en vilkårlig base z:

Lad os bruge egenskaben (kun i stedet for "c" har vi udtrykket):

Herfra får vi den universelle formel:

.

Især hvis z=e, så:

.

Vi var i stand til at repræsentere en logaritme til en vilkårlig base gennem forholdet mellem to naturlige logaritmer.

Vi løser problemer

For bedre at forstå naturlige logaritmer, lad os se på eksempler på flere problemer.

Opgave 1. Det er nødvendigt at løse ligningen ln x = 3.

Løsning: Ved at bruge definitionen af ​​en logaritme: hvis , så får vi:

Opgave 2. Løs ligningen (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Løsning: Ved hjælp af definitionen af ​​logaritmen: hvis , så får vi:

.

Lad os bruge definitionen af ​​en logaritme igen:

.

Således:

.

Du kan cirka beregne svaret, eller du kan lade det stå i denne formular.

Opgave 3. Løs ligningen.

Løsning: Lad os lave en substitution: t = ln x. Så vil ligningen have følgende form:

.

Vi har en andengradsligning. Lad os finde dens diskriminerende:

Første rod af ligningen:

.

Anden rod af ligningen:

.

Når vi husker, at vi lavede substitutionen t = ln x, får vi:

I statistik og sandsynlighedsteori findes logaritmiske størrelser meget ofte. Dette er ikke overraskende, fordi tallet e ofte afspejler vækstraten for eksponentielle størrelser.

I datalogi, programmering og computerteori findes logaritmer ret ofte, for eksempel for at gemme N bits i hukommelsen.

I teorierne om fraktaler og dimensioner bruges logaritmer konstant, da dimensionerne af fraktaler kun bestemmes med deres hjælp.

I mekanik og fysik Der er ingen sektion, hvor logaritmer ikke blev brugt. Barometrisk fordeling, alle principperne for statistisk termodynamik, Tsiolkovsky-ligningen osv. er processer, der kun kan beskrives matematisk ved hjælp af logaritmer.

I kemi bruges logaritmer i Nernst-ligninger og beskrivelser af redoxprocesser.

Forbløffende nok, selv i musik, for at finde ud af antallet af dele af en oktav, bruges logaritmer.

Naturlig logaritme Funktion y=ln x dens egenskaber

Bevis for den naturlige logaritmes hovedegenskab