Decimallogaritme 1 2. Logaritme

Instruktioner

Skriv det givne ned logaritmisk udtryk. Hvis udtrykket bruger logaritmen 10, forkortes dets notation og ser således ud: lg b er decimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som grundtal, så skriv udtrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er underforstået, at resultatet af enhver er den potens, som basistallet skal hæves til for at opnå tallet b.

Når du finder summen af ​​to funktioner, skal du blot differentiere dem en efter en og tilføje resultaterne: (u+v)" = u"+v";

Når man finder den afledede af produktet af to funktioner, er det nødvendigt at gange den afledede af den første funktion med den anden og tilføje den afledede af den anden funktion ganget med den første funktion: (u*v)" = u"*v +v"*u;

For at finde den afledte af kvotienten af ​​to funktioner, er det nødvendigt at trække produktet af den afledte af divisoren ganget med divisorfunktionen fra produktet af den afledte af divisoren ganget med funktionen af ​​divisoren, og dividere alt dette med divisorfunktionen i anden. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis givet kompleks funktion, så er det nødvendigt at gange den afledte af intern funktion og derivatet af den eksterne. Lad y=u(v(x)), derefter y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved hjælp af resultaterne opnået ovenfor kan du differentiere næsten enhver funktion. Så lad os se på et par eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Der er også problemer med at beregne den afledte værdi på et tidspunkt. Lad funktionen y=e^(x^2+6x+5) være givet, du skal finde værdien af ​​funktionen i punktet x=1.
1) Find den afledede af funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn værdien af ​​funktionen i givet point y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydeligt.

Kilder:

• afledet af en konstant

Så hvad er forskellen mellem en irrationel ligning og en rationel? Hvis den ukendte variabel er under tegnet kvadrat rod, så betragtes ligningen som irrationel.

Instruktioner

Den vigtigste metode til at løse sådanne ligninger er metoden til at konstruere begge sider ligninger ind i en firkant. Imidlertid. dette er naturligt, det første du skal gøre er at slippe af med skiltet. Denne metode er ikke teknisk vanskelig, men nogle gange kan det føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved at kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. At løse en sådan ligning er ikke svært; x=1. Men tallet 1 vil ikke blive givet ligninger. Hvorfor? Erstat en i ligningen i stedet for værdien af ​​x Og højre og venstre side vil indeholde udtryk, der ikke giver mening, dvs. Denne værdi er ikke gyldig for en kvadratrod. Derfor er 1 en uvedkommende rod, og derfor har denne ligning ingen rødder.

Så en irrationel ligning løses ved at bruge metoden til at kvadrere begge dens sider. Og efter at have løst ligningen, er det nødvendigt at afskære uvedkommende rødder. For at gøre dette skal du erstatte de fundne rødder i den oprindelige ligning.

Overvej en anden.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligning løses ved hjælp af den samme ligning som den forrige. Flyt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrod, til højre og brug derefter kvadratmetoden. løse den resulterende rationelle ligning og rødder. Men også en anden, mere elegant. Indtast en ny variabel; vх=y. Derfor vil du modtage en ligning på formen 2y2+y-3=0. Altså det sædvanlige andengradsligning. Find dens rødder; y1=1 og y2=-3/2. Dernæst løses to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den anden ligning har ingen rødder fra den første finder vi, at x=1. Glem ikke at tjekke rødderne.

At løse identiteter er ret simpelt. For at gøre dette er det nødvendigt at udføre identiske transformationer, indtil det fastsatte mål er nået. Altså ved hjælp af de simpleste aritmetiske operationer opgaven bliver løst.

Du får brug for

• - papir;
• - pen.

Instruktioner

Den enkleste af sådanne transformationer er algebraiske forkortede multiplikationer (såsom kvadratet af summen (forskel), kvadratforskellen, sum (forskel), terning af summen (forskel)). Derudover er der mange og trigonometriske formler, som i det væsentlige er de samme identiteter.

Faktisk er kvadratet af summen af ​​to led lig med kvadratet af det første plus to gange produktet af det første med det andet og plus kvadratet af det andet, det vil sige (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Forenkle begge dele

Generelle principper for løsningen

Gentag i henhold til lærebogen matematisk analyse eller højere matematik, hvad et bestemt integral er. Som bekendt er løsningen bestemt integral der er en funktion, hvis afledede giver en integrand. Denne funktion kaldes antiderivat. Ud fra dette princip konstrueres hovedintegralerne.
Bestem efter typen af ​​integranden, hvilken af ​​tabelintegralerne der er egnet i dette tilfælde. Det er ikke altid muligt at fastslå dette med det samme. Ofte bliver tabelformen først mærkbar efter flere transformationer for at forenkle integranden.

Variabel udskiftningsmetode

Hvis integrand-funktionen er trigonometrisk funktion, hvis argument indeholder et eller andet polynomium, så prøv at bruge variabelerstatningsmetoden. For at gøre dette skal du erstatte polynomiet i integrandens argument med en ny variabel. Baseret på forholdet mellem de nye og gamle variable, bestemme de nye grænser for integration. Ved at differentiere dette udtryk, find den nye differentiale i . Så du får den nye slags af det foregående integral, tæt på eller endda svarende til et hvilket som helst tabelformet.

Løsning af integraler af anden art

Hvis integralet er et integral af den anden slags, en vektorform af integranden, så skal du bruge reglerne for overgangen fra disse integraler til skalære. En sådan regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne lov tillader os at bevæge os fra rotorfluxen af ​​en bestemt vektorfunktion til det tredobbelte integral over divergensen af ​​et givet vektorfelt.

Substitution af integrationsgrænser

Efter at have fundet antiderivatet, er det nødvendigt at erstatte grænserne for integration. Først skal du erstatte værdien af ​​den øvre grænse med udtrykket for antiderivatet. Du får et nummer. Træk derefter fra det resulterende tal et andet tal opnået fra den nedre grænse til antiderivatet. Hvis en af ​​grænserne for integration er uendelighed, så når man erstatter det med antiderivat funktion det er nødvendigt at gå til grænsen og finde, hvad udtrykket stræber efter.
Hvis integralet er todimensionelt eller tredimensionelt, så bliver du nødt til at repræsentere grænserne for integration geometrisk for at forstå, hvordan man vurderer integralet. Faktisk kan grænserne for integration være hele planer, der begrænser det volumen, der integreres.

Styrken af ​​et givet tal er et matematisk udtryk, der blev opfundet for århundreder siden. I geometri og algebra er der to muligheder - decimal og naturlige logaritmer. De beregnes ved hjælp af forskellige formler, og ligninger, der er forskellige i stavemåden, er altid lig med hinanden. Denne identitet karakteriserer de egenskaber, der relaterer sig til funktionens nyttige potentiale.

Funktioner og vigtige tegn

På dette øjeblik skelne ti kendte matematiske kvaliteter. De mest almindelige og populære af dem er:

• Den radikale log divideret med størrelsen af ​​roden er altid den samme som decimallogaritmen √.
• Produktloggen er altid lig med producentens sum.
• Lg = størrelsen af ​​potensen ganget med det tal, der hæves til den.
• Hvis du trækker divisoren fra log over udbyttet, får du log over kvotienten.

Derudover er der en ligning baseret på hovedidentiteten (betragtes som nøglen), en overgang til et opdateret grundlag og flere mindre formler.

Beregning af decimallogaritmen er en ret specialiseret opgave, så integration af egenskaber i en løsning skal behandles omhyggeligt og regelmæssigt kontrolleres dine handlinger og konsistens. Vi må ikke glemme tabellerne, som konstant skal konsulteres, og kun ledes af de data, der findes der.

Varianter af matematiske termer

De vigtigste forskelle mellem et matematisk tal er "gemt" i grundtallet (a). Hvis den har en eksponent på 10, så er den log decimal. I det modsatte tilfælde omdannes "a" til "y" og har transcendentale og irrationelle karakteristika. Det er også værd at bemærke, at naturværdien beregnes ved en speciel ligning, hvor beviset er en teori studeret udenfor skolepensum seniorklasser.

Decimallogaritmer opnås bred anvendelse ved beregning af komplekse formler. Hele tabeller er blevet udarbejdet for at lette beregninger og tydeligt vise processen med at løse problemet. I dette tilfælde, før du går direkte til sagen, skal du bygge log til Derudover i hver butik skoleartikler Du kan finde en speciel lineal med en trykt skala, der hjælper dig med at løse en ligning af enhver kompleksitet.

Decimal logaritme Tallet kaldes Briggs nummer, eller Eulers nummer, til ære for den forsker, der først offentliggjorde værdien og opdagede kontrasten mellem de to definitioner.

To typer formler

Alle typer og sorter af problemer til beregning af svaret, som har udtrykket log i tilstanden, har et separat navn og en streng matematisk struktur. Eksponentiel ligning er praktisk talt en nøjagtig kopi logaritmiske beregninger, hvis de ses fra perspektivet om løsningens rigtighed. Det er bare, at den første mulighed inkluderer et specialiseret nummer, der hjælper dig med hurtigt at forstå tilstanden, og den anden erstatter log med en almindelig kraft. I dette tilfælde skal beregninger med den sidste formel indeholde en variabelværdi.

Forskel og terminologi

Begge hovedindikatorer har deres egne karakteristika, der adskiller tallene fra hinanden:

• Decimal logaritme. En vigtig detalje ved nummeret er den obligatoriske tilstedeværelse af en base. Standardversionen af ​​værdien er 10. Den er markeret med rækkefølgen - log x eller log x.
• Naturlig. Hvis dens base er tegnet "e", som er en konstant identisk med en strengt beregnet ligning, hvor n hurtigt bevæger sig mod det uendelige, så er den omtrentlige størrelse af tallet i digital ækvivalent 2,72. Den officielle markering, der anvendes både i skolen og i mere komplekse faglige formler, er ln x.
• Forskellige. Ud over grundlæggende logaritmer er der hexadecimale og binære typer (henholdsvis base 16 og 2). Der er en endnu mere kompleks mulighed med en basisindikator på 64, som falder ind under en systematisk adaptiv typekontrol, der beregner det endelige resultat med geometrisk nøjagtighed.

Terminologien inkluderer følgende mængder inkluderet i det algebraiske problem:

• betyder;
• argument;
• grundlag.

Beregner lognummer

Der er tre måder at hurtigt og verbalt foretage alle de nødvendige beregninger for at finde resultatet af interessen, med det obligatoriske korrekte resultat af løsningen. Til at begynde med bringer vi decimallogaritmen tættere på dens rækkefølge (den videnskabelige notation af et tal til en potens). Hver positiv værdi kan specificeres med en ligning, hvor den er lig med mantissen (et tal fra 1 til 9) ganget med ti i n. grad. Denne beregningsmulighed er baseret på to matematiske fakta:

• produkt- og sumlog har altid den samme eksponent;
• logaritmen taget fra et tal fra et til ti kan ikke overstige en værdi på 1 point.

1. Hvis der alligevel opstår en fejl i beregningen, er den aldrig mindre end én i subtraktionsretningen.
2. Nøjagtigheden øges, hvis du tænker på, at lg med base tre har et slutresultat på fem tiendedele af en. Derfor tilføjer enhver matematisk værdi større end 3 automatisk et point til svaret.
3. Næsten perfekt nøjagtighed opnås, hvis du har et specialiseret bord ved hånden, som nemt kan bruges i dine vurderingsaktiviteter. Med dens hjælp kan du finde ud af, hvad decimallogaritmen er lig med tiendedele af en procent af det oprindelige tal.

Historien om ægte log

Det sekstende århundrede havde hårdt brug for mere kompleks beregning, end videnskaben kendte på det tidspunkt. Dette gjaldt især for at dividere og gange flercifrede tal med stor konsistens, herunder brøker.

I slutningen af ​​anden halvdel af æraen kom flere hjerner straks til konklusionen om at tilføje tal ved hjælp af en tabel, der sammenlignede to og en geometrisk. I dette tilfælde skulle alle grundlæggende beregninger hvile på den sidste værdi. Forskere har integreret subtraktion på samme måde.

Den første omtale af lg fandt sted i 1614. Dette blev gjort af en amatørmatematiker ved navn Napier. Det er værd at bemærke, at på trods af den enorme popularisering af de opnåede resultater, blev der lavet en fejl i formlen på grund af uvidenhed om nogle definitioner, der dukkede op senere. Det begyndte med det sjette ciffer i indikatoren. Bernoulli-brødrene var tættest på at forstå logaritmen, og debutlegitimeringen fandt sted i det attende århundrede af Euler. Han udvidede også funktionen til uddannelsesområdet.

Historien om kompleks log

Debutforsøg på at integrere lg i den brede offentlighed blev gjort i begyndelsen af ​​det 18. århundrede af Bernoulli og Leibniz. Men de var aldrig i stand til at udarbejde omfattende teoretiske beregninger. Der var en hel diskussion om dette, men præcis definition nummeret blev ikke tildelt. Senere genoptog dialogen, men mellem Euler og d'Alembert.

Sidstnævnte var i princippet enig i mange af de fakta, der blev foreslået af grundlæggeren af ​​værdien, men mente, at positive og negative indikatorer burde være ens. I midten af ​​århundredet blev formlen demonstreret som en endelig version. Desuden offentliggjorde Euler den afledede af decimallogaritmen og kompilerede de første grafer.

Tabeller

Egenskaberne ved tal indikerer, at flercifrede tal ikke kan multipliceres, men deres log kan findes og tilføjes ved hjælp af specialiserede tabeller.

Denne indikator er blevet særligt værdifuld for astronomer, der er tvunget til at arbejde med et stort sæt sekvenser. I sovjetisk tid Decimallogaritmen blev ledt efter i Bradis' samling, udgivet i 1921. Senere, i 1971, udkom Vega-udgaven.

AFSNIT XIII.

LOGARITMAER OG DERES ANVENDELSE.

§ 2. Decimallogaritmer.

Decimallogaritmen for tallet 1 er 0. Decimallogaritmer af positive potenser af 10, dvs. tal 10, 100, 1000,.... i det væsentlige positive tal 1, 2, 3,...., så generelt logaritmen af ​​et tal angivet med en med nuller, lig med tallet nuller. Decimallogaritmer af negative potenser på 10, dvs. brøkerne 0,1, 0,01, 0,001,.... er negative tal -1, -2, -3....., så generelt en logaritme decimal med en tæller på en er lig med det negative antal nuller i nævneren.

Logaritmerne af alle andre kommensurerbare tal er inkommensurable. Sådanne logaritmer beregnes tilnærmelsesvis, normalt med en nøjagtighed på en hundrede tusindedel, og er derfor udtrykt i femcifrede decimalbrøker; for eksempel log 3 = 0,47712.

Når teorien om decimallogaritmer præsenteres, antages alle tal at være sammensat i henhold til decimalsystemet af deres enheder og brøker, og alle logaritmer udtrykkes gennem en decimalbrøk, der indeholder 0 heltal, med en stigning eller et heltal. Brøkdelen af ​​en logaritme kaldes dens mantisse, og hele stigningen eller faldet kaldes dens egenskab. Logaritmer af tal større end et er altid positive og har derfor en positiv karakteristik; logaritmer af tal mindre end 1 er altid negative, men de er repræsenteret på en sådan måde, at deres mantisse viser sig at være positiv, og en karakteristik er negativ: for eksempel log 500 = 0,69897 + 2 eller kortere 2,69897, og log 0,05 = 0, 69897-2, som for kortheds skyld betegnes som 2.69897, idet karakteristikken sættes i stedet for heltal, men med et tegn over sig. Således repræsenterer logaritmen af ​​et tal større end én den aritmetiske sum af et positivt heltal og en positiv brøk, og logaritmen af ​​et tal mindre end én repræsenterer den algebraiske sum af et negativt heltal med en positiv brøk.

Enhver negativ logaritme kan reduceres til den angivne kunstige form. For eksempel har vi log 3 / 5 = log 3 - log 5 = 0,47712-0,69897 = -0,22185. For at konvertere denne sande logaritme til en kunstig form tilføjer vi 1 til den, og efter algebraisk addition angiver vi subtraktionen af ​​en til korrektion.

Vi får log 3 / 5 = log 0,6 = (1-0,22185)-1 = 0,77815-1. Det viser sig, at mantissen 0,77815 er den samme, der svarer til tælleren 6 af dette tal, repræsenteret i decimalsystemet i form af brøken 0,6.

I den angivne repræsentation af decimallogaritmer har deres mantisse og karakteristika vigtige egenskaber i forbindelse med betegnelsen af ​​de tal, der svarer til dem i decimalsystemet. For at forklare disse egenskaber bemærker vi følgende. Lad os tage et eller andet vilkårligt tal indeholdt mellem 1 og 10 som hovedtype af tal, og, udtrykke det i decimalsystemet, præsentere det i formen a,b,c,d,e,f ...., Hvor EN der er en af signifikante tal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og decimaler, b, c, d, e, f ....... er alle tal, mellem hvilke der kan være nuller. På grund af det faktum, at det optagne tal er indeholdt mellem 1 og 10, er dets logaritme indeholdt mellem 0 og 1, og derfor består denne logaritme af en mantisse uden karakteristik eller med karakteristik 0. Lad os betegne denne logaritme i formen 0 ,α β γ δ ε ...., Hvor α, β ,γ ,δ, ε essensen af ​​nogle tal. Lad os nu gange dette tal på den ene side med tallene 10, 100, 1000,.... og på den anden side med tallene 0,1, 0,01, 0,001,... og anvende sætningerne på produktets logaritmer og kvotienten. Så får vi en række tal større end én og en række tal mindre end én med deres logaritmer:

lg EN ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg ab, cde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....lg 0, abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg abc,de f ....= 2 ,α β γ δ ε ....lg 0,0 abcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg abcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε ....lg 0,00 abcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

Når man overvejer disse ligheder, afsløres følgende egenskaber ved mantissen og karakteristika:

Mantissa ejendom. Mantissen afhænger af placeringen og typen af ​​tallets gabende cifre, men afhænger slet ikke af kommaets plads i betegnelsen af ​​dette nummer. Mantisser af logaritmer af tal med et decimalforhold, dvs. dem, hvis multiple forhold er lig med enhver positiv eller negativ grad ti er ens.

Karakteristisk egenskab. Karakteristikken afhænger af rangeringen af ​​de højeste enheder eller decimalbrøker af et tal, men afhænger slet ikke af typen af ​​cifre i betegnelsen af ​​dette tal.

Hvis vi navngiver tallene EN ,bcde f ...., ab, cde f ...., abc,de f .... antal positive cifre - første, anden, tredje osv., ciffer i nummer 0, abcde f .... vi vil overveje nul, og cifrene i tal 0,0 abcde f ...., 0,00 abcde f ...., 0.000 abcde f .... hvis vi udtrykker i negative tal minus en, minus to, minus tre osv., så kan vi generelt sige, at karakteristikken for logaritmen af ​​evt. decimaltal pr. enhed mindre antal, der angiver rangen

101. Når du ved, at log 2 = 0,30103, skal du finde logaritmerne for tallene 20,2000, 0,2 og 0,00002.

101. Ved at log 3=0,47712, find logaritmerne af tallene 300, 3000, 0,03 og 0,0003.

102. Når du ved, at log 5 = 0,69897, skal du finde logaritmerne for tallene 2,5, 500, 0,25 og 0,005.

102. Ved at log 7 = 0,84510, find logaritmerne af tallene 0,7, 4,9, 0,049 og 0,0007.

103. Ved at kende log 3=0,47712 og log 7=0,84510, find logaritmerne for tallene 210, 0,021, 3/7, 7/9 og 3/49.

103. Ved at kende log 2=0,30103 og log 7=0,84510, find logaritmerne af tallene 140, 0,14, 2/7, 7/8 og 2/49.

104. Ved at kende log 3 = 0,47712 og log 5 = O.69897, find logaritmerne for tallene 1,5, 3/5, 0,12, 5/9 og 0,36.

104. Ved at kende log 5 = 0,69897 og log 7 = 0,84510, find logaritmerne af tallene 3,5, 5/7, 0,28, 5/49 og 1,96.

Decimallogaritmer af tal udtrykt med højst fire cifre findes direkte fra tabellerne, og fra tabellerne findes mantissen for den ønskede logaritme, og karakteristikken er sat i overensstemmelse med rangeringen af ​​det givne tal.

Hvis tallet indeholder mere end fire cifre, ledsages det at finde logaritmen af ​​en ekstra beregning. Reglen er: for at finde logaritmen af ​​et tal, der indeholder mere end fire cifre, skal du i tabellerne finde det tal, der er angivet med de første fire cifre, og skrive mantissen, der svarer til disse fire cifre; multiplicer derefter mantissens tabelforskelle med tallet, der består af de kasserede cifre, i produktet, kasser lige så mange cifre fra højre, som der blev kasseret i det givne tal, og læg resultatet til de sidste cifre i den fundne mantisse; sæt karakteristikken i overensstemmelse med rangeringen af ​​det givne tal.

Når der søges efter et tal ved hjælp af en given logaritme, og denne logaritme er indeholdt i tabeller, så findes cifrene i det søgte tal direkte fra tabellerne, og rangeringen af ​​tallet bestemmes i overensstemmelse med egenskaberne for den givne logaritme.

Hvis denne logaritme ikke er indeholdt i tabellerne, er søgningen efter tallet ledsaget af en ekstra beregning. Reglen er: for at finde det tal, der svarer til en given logaritme, hvis mantisse ikke er indeholdt i tabellerne, skal du finde den nærmeste mindre mantisse og nedskrive cifrene i det tal, der svarer til den; multiplicer derefter forskellen mellem den givne mantisse og den fundne med 10 og divider produktet med den tabulerede forskel; tilføj det resulterende ciffer af kvotienten til højre til de skrevne cifre i tallet, hvorfor du får det ønskede sæt cifre; Tallets rang skal bestemmes i overensstemmelse med karakteristikaene for den givne logaritme.

105. Find logaritmerne for tallene 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1000, 0.

105. Find logaritmikken for tallene 15,154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,042070, 7.

106. Find logaritmerne for tallene 2174.6, 1445.7, 2169.5, 8437.2, 46.472, 6.2853, 0.7893B, 0.054294, 631.074, 2.79546, 7.408.

106. Find logaritmerne for tallene 2578.4, 1323.6, 8170.5, 6245.3, 437.65, 87.268, 0.059372, 0.84938, 62.5475, 702.05, 1306.

107. Find de tal, der svarer til logaritmerne 3.16227, 3.59207, 2.93318, 0.41078, 1.60065, 2.756.86, 3.23528, 1.79692. 4,87800 5,14613.

107. Find de tal, der svarer til logaritmerne 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1,31952, 4,30814, 3,00087, 2,69949, 8,69579.

108. Find det tal, der svarer til logaritmerne 3.57686, 3.16340, 2.40359, 1.09817, 4.49823, 2.83882, 1.50060, 3.30056, 1.17112, 04.2510.

108. Find de tal, der svarer til logaritmerne 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1,41509, 2,32649, 4,14631, 3,01290, 3,01290, 3,01290, 3,01390.

Positive logaritmer af tal større end et er aritmetiske summer deres egenskaber og mantisser. Derfor udføres operationer med dem efter almindelige regneregler.

Negative logaritmer af tal mindre end én er algebraiske summer negativ karakteristik og positiv mantisse. Derfor udføres operationer med dem i henhold til algebraiske regler, som er suppleret med særlige instruktioner vedrørende reduktion af negative logaritmer til deres normale form. Normal form En negativ logaritme er en, hvor karakteristikken er et negativt heltal, og mantissen er en positiv egenbrøk.

For at konvertere den sande reflekterende logaritme til dens normale kunstige form, skal du øge absolut værdi dens hele sigt ad en og gør resultatet til en negativ karakteristik; læg derefter alle cifrene i brøkleddet til 9, og det sidste til 10 og gør resultatet til en positiv mantisse. For eksempel -2,57928 = 3,42072.

At konvertere den kunstige normalform af en logaritme til dens sande form negativ betydning, skal du reducere den negative karakteristik med én og gøre resultatet til et heltal af den negative sum; læg derefter alle cifrene i mantissen til 9, og den sidste til 10 og gør resultatet til et brøkled af den samme negative sum. For eksempel: 4,57406= -3,42594.

109. Konverter logaritmer til kunstig form -2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Konverter logaritmer til kunstig form -3.21729, -1.73273, -5.42936, -0.51395, -2.43780, -4.22990.

110. Find de sande værdier af logaritmer 1,33278, 3,52793, 2,95426, 4,32725, 1,39420, 5,67990.

110. Find de sande værdier af logaritmer 2,45438, 1,73977, 3,91243, 5,12912, 2,83770, 4,28990.

Reglerne for algebraiske operationer med negative logaritmer er udtrykt som følger:

For at anvende en negativ logaritme i sin kunstige form skal du anvende mantissen og trække den absolutte værdi af karakteristikken fra. Hvis tilføjelsen af ​​mantisser giver et heltal positivt tal, så skal du tilskrive det karakteristikken af ​​resultatet og foretage en passende ændring af det. For eksempel,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

For at trække en negativ logaritme fra i dens kunstige form skal du trække mantissen fra og tilføje den absolutte værdi af karakteristikken. Hvis den subtraherede mantisse er stor, skal du foretage en justering i minuendens karakteristik for at adskille en positiv enhed fra minuenden. For eksempel,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

For at gange en negativ logaritme med et positivt heltal, skal du gange dens karakteristik og mantisse separat. Hvis, når man multiplicerer mantissen, identificeres et helt positivt tal, skal du tilskrive det til karakteristikken for resultatet og foretage en passende ændring af det. For eksempel,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

Når du multiplicerer en negativ logaritme med en negativ størrelse, skal du erstatte multiplikanten med dens sande værdi.

For at dividere en negativ logaritme med et positivt heltal, skal du adskille dens karakteristik og mantisse separat. Hvis karakteristikken for udbyttet ikke nøjagtigt kan divideres med divisoren, skal du lave en ændring af den for at inkludere flere positive enheder i mantissen og gøre karakteristikken til et multiplum af divisoren. For eksempel,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

Når du dividerer en negativ logaritme med en negativ mængde, skal du erstatte dividenden med dens sande værdi.

Udfør følgende beregninger ved hjælp af logaritmiske tabeller og kontroller resultaterne i de enkleste tilfælde ved hjælp af almindelige metoder:

174. Bestem rumfanget af en kegle, hvis generatrix er 0,9134 fod, og hvis basisradius er 0,04278 fod.

175. Beregn det 15. led af en multipel progression, hvis første led er 2 3 / 5 og nævneren er 1,75.

175. Beregn det første led i en multipel progression, hvis 11. led er lig med 649,5 og nævneren er 1,58.

176. Bestem antallet af faktorer EN , EN 3 , EN 5 R . Find noget som dette EN , hvor produktet af 10 faktorer er lig med 100.

176. Bestem antallet af faktorer. EN 2 , EN 6 , EN 10 ,.... så deres produkt er lig med det givne antal R . Find noget som dette EN , hvor produktet af 5 faktorer er lig med 10.

177. Nævneren af ​​den multiple progression er 1,075, summen af ​​dens 10 led er 2017.8. Find den første term.

177. Nævneren af ​​den multiple progression er 1,029, summen af ​​dens 20 led er 8743,7. Find det tyvende led.

178 . Udtryk antallet af led i en multipel progression givet det første led EN , sidste og nævner q , og derefter tilfældigt at vælge numeriske værdier -en Og u , Saml op q så det P

178. Udtryk antallet af led i en multipel progression givet den første term EN , sidst Og og nævner q Og Og q , Saml op EN så det P var et eller andet heltal.

179. Bestem antallet af faktorer, så deres produkt er lig med R . Hvordan det skal være R for at EN =0,5 og b =0,9 antallet af faktorer var 10.

179. Bestem antallet af faktorer så deres produkt er lige R . Hvordan det skal være R for at EN =0,2 og b =2 antallet af faktorer var 10.

180. Udtryk antallet af led i en multipel progression givet det første led EN , jeg følger med Og og alle medlemmers produkt R , og derefter vælge vilkårligt numeriske værdier EN Og R , Saml op Og og så nævneren q så det Og var et eller andet heltal.

160. Udtryk antallet af led i en multipel progression givet den første term EN , det sidste og og produktet af alle udtryk R , og derefter tilfældigt valg af numeriske værdier Og Og R , Saml op EN og så nævneren q så det P var et eller andet heltal.

Løs følgende ligninger, hvor det er muligt - uden hjælp fra tabeller, og hvor ikke, med tabeller:

De tager ofte tallet ti. Logaritmer af tal baseret på basis ti kaldes decimal. Når man udfører beregninger med decimallogaritmen, er det almindeligt at operere med tegnet lg, men ikke log; i dette tilfælde er tallet ti, som definerer basen, ikke angivet. Ja, lad os erstatte log 10 105 til forenklet lg105; EN log 10 2 på lg2.

Til decimallogaritmer de samme egenskaber, som logaritmer har med en base større end én, er typiske. Decimallogaritmer karakteriseres nemlig udelukkende for positive tal. Decimallogaritmerne for tal større end 1 er positive, og tal mindre end 1 er negative; af to ikke-negative tal, svarer det største til den større decimallogaritme osv. Derudover har decimallogaritmer Karakteristiske træk og ejendommelige træk, der forklarer, hvorfor det er behageligt at foretrække tallet ti som basis for logaritmer.

Før vi undersøger disse egenskaber, lad os gøre os bekendt med følgende formuleringer.

Heltalsdel af decimallogaritmen af ​​et tal EN Hedder egenskab, og den brøkdel er mantisse denne logaritme.

Karakteristika for decimallogaritmen af ​​et tal EN er angivet som , og mantissen som (lg EN}.

Lad os f.eks. tage log 2 ≈ 0,3010. Følgelig = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Ligeledes for log 543.1 ≈2.7349. Følgelig = 2, (log 543,1) ≈ 0,7349.

Beregningen af ​​decimallogaritmer af positive tal fra tabeller er meget brugt.

Karakteristiske træk ved decimallogaritmer.

Det første tegn på decimallogaritmen. ikke en helhed negativt tal, repræsenteret af en efterfulgt af nuller, er et positivt heltal lig med antallet af nuller i indtastningen af ​​det valgte tal .

Lad os tage log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Generelt set, hvis

At EN= 10n , hvorfra vi får

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Andet tegn. Ti-logaritmen af ​​en positiv decimal, vist som en en med indledende nuller, er - P, Hvor P- antallet af nuller i repræsentationen af ​​dette tal under hensyntagen til nul heltal.

Lad os overveje , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

Generelt set, hvis

,

At -en= 10-n og det viser sig

lga= lg 10n =-n log 10 =-n

Tredje tegn. Karakteristikken for decimallogaritmen af ​​et ikke-negativt tal større end 1 er lig med antallet af cifre i hele taldelen af ​​dette tal undtagen et.

Lad os analysere denne funktion: 1) Karakteristikken for logaritmen lg 75.631 er lig med 1.

Faktisk 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Dette indebærer,

log 75.631 = 1 +b,

At flytte et decimaltegn i en decimalbrøk til højre eller venstre svarer til operationen med at gange denne brøk med ti potens med en heltalseksponent P(positiv eller negativ). Og derfor, når decimaltegnet i en positiv decimalbrøk flyttes til venstre eller højre, ændres mantissen for decimallogaritmen for denne brøk ikke.

Så, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).