Cylindrisk kortprojektion. Kortprojektioner og forvrængninger

Brugen af ​​resultaterne af topografisk og geodætisk arbejde forenkles betydeligt, hvis disse resultater er relateret til det enkleste - et rektangulært koordinatsystem på et plan. I et sådant koordinatsystem løses mange geodætiske problemer på små terrænområder og på kort ved at anvende simple formler for analytisk geometri på et plan. Loven om billedet af en overflade på en anden kaldes projektion. Kartografiske projektioner er baseret på dannelsen af ​​en specifik visning af parallellerne af breddegrad og længdegrad af ellipsoiden på en eller anden udjævnet eller udfoldet overflade. I geometrien er som bekendt de enkleste fremkaldelige overflader et plan, en cylinder og en kegle. Dette definerede tre familier af kortprojektioner: azimutal, cylindrisk og konisk . Uanset den valgte transformationstype medfører enhver kortlægning af en buet overflade på et plan fejl og forvrængninger. Til geodætiske fremskrivninger foretrækker de fremskrivninger, der sikrer en langsom stigning i forvrængning af elementerne i geodætiske konstruktioner med en gradvis stigning i området af det projekterede territorium. Særligt vigtigt er kravet om, at fremskrivningen sikrer høj nøjagtighed og let at tage højde for disse forvrængninger ved at bruge de enkleste formler. Fejl i projektionstransformationer opstår baseret på nøjagtigheden af ​​fire karakteristika:

equiangularity - sandheden om formen af ​​ethvert objekt;

lige område – ligestilling af områder;

ækvidistance – sandheden om afstandsmåling;

anvisningernes sandhed.

Ingen af ​​kortprojektionerne kan give nøjagtige visninger på flyet for alle de anførte karakteristika.

Af forvrængnings natur kartografiske projektioner er opdelt i ækvikantede, lige-areal og vilkårlige (i særlige tilfælde ækvidistant).

Ensvinklet (konform) ) projektioner er dem, hvor der ikke er nogen forvrængning i vinklerne og azimutterne af lineære elementer. Disse fremspring bevarer vinkler uden forvrængning (for eksempel skal vinklen mellem nord og øst altid være lige) og formerne på små genstande, men deres længder og områder er kraftigt deformeret. Det skal bemærkes, at vedligehold af hjørner for store områder er vanskeligt at opnå og kun kan opnås på små områder.

Lige i størrelse (lige område) projektioner er projektioner, hvor arealerne af de tilsvarende områder på overfladen af ​​ellipsoiderne og på planet er identisk ens (proportional). I disse projektioner er genstandes vinkler og former forvrænget.

gratis fremskrivninger har forvrængninger af vinkler, arealer og længder, men disse forvrængninger er fordelt over kortet på en sådan måde, at de er minimale i den centrale del og øges i periferien. Et særligt tilfælde af vilkårlige fremskrivninger er ækvidistant (ækvidistant), hvor der ikke er nogen længdeforvrængning i en af ​​retningerne: langs meridianen eller langs parallelen.

Lige langt kaldes fremspring, der bevarer længden langs en af ​​hovedretningerne. Som regel er der tale om projektioner med et ortogonalt kortgitter. I disse tilfælde er hovedretningerne langs meridmanerne og parallellerne. Følgelig bestemmes ækvidistante projektioner langs en af ​​retningerne. Den anden måde at konstruere sådanne projektioner på er at opretholde en enhedsskalafaktor langs alle retninger fra et punkt eller to. Afstande målt fra sådanne punkter svarer nøjagtigt til rigtige, men for andre punkter gælder denne regel ikke. Når du vælger denne type projektion, er valget af punkter meget vigtigt. Typisk foretrækkes punkter, hvorfra det største antal målinger tages.

a) konisk
b) cylindrisk
c) azimuthal

Figur 11. Klasser af fremskrivninger efter konstruktionsmetode

Lige azimut fremskrivninger oftest brugt i navigation, dvs. når den største interesse er at fastholde retninger. I lighed med projektion af samme areal kan sande retninger kun bevares for et eller to specifikke punkter. Lige linjer tegnet kun fra disse punkter vil svare til de sande retninger.

Efter byggemetode(folder en overflade ud på et plan) er der tre store klasser af projektioner: konisk (a), cylindrisk (b) og azimutal (c).

Koniske fremspring dannes baseret på projektionen af ​​jordoverfladen på den laterale overflade af en kegle, orienteret på en bestemt måde i forhold til ellipsoiden. I direkte kegleprojektioner falder akserne for kloden og keglen sammen, og der vælges en sekant- eller tangentkegle. Efter design skæres keglens sideflade langs en af ​​generatricerne og foldes ud til et plan. Afhængigt af størrelsen af ​​det afbildede område i koniske fremspring, vedtages en eller to paralleller, langs hvilke længderne opretholdes uden forvrængning. En parallel (tangens) er vedtaget for en kort breddegrad (sekant) i vid udstrækning for at reducere afvigelser af skalaer fra enhed. Sådanne paralleller kaldes standard. Et særligt træk ved koniske fremspring er, at deres centrale linjer falder sammen med de midterste paralleller. Som følge heraf er keglefremspring praktiske til at afbilde territorier beliggende i mellembreddegrader og betydeligt forlængede i længdegrad. Derfor er der tegnet mange kort over det tidligere Sovjetunionen i disse projektioner.

Cylindriske fremspring dannes på grundlag af at projicere jordoverfladen på sidefladen af ​​en cylinder, orienteret på en bestemt måde i forhold til jordens ellipsoide. I lige cylindriske projektioner er paralleller og meridianer afbildet af to familier af lige parallelle linjer vinkelret på hinanden. Således er et rektangulært gitter af cylindriske fremspring specificeret. Cylindriske fremspring kan betragtes som et særligt tilfælde af koniske, når keglens toppunkt er uendeligt ( = 0). Der er forskellige måder at danne cylindriske fremspring på. Cylinderen kan være tangent til eller sekant til ellipsoiden. I tilfælde af brug af en tangentcylinder opretholdes nøjagtigheden af ​​længdemålingen langs ækvator. Hvis der anvendes en sekantcylinder - langs to standardparalleller, symmetrisk i forhold til ækvator. Lige, skrå og tværgående cylindriske fremspring anvendes, afhængigt af placeringen af ​​det afbildede område. Cylindriske projektioner bruges, når man tegner kort i små og store skalaer.

Azimutale projektioner dannes ved at projicere jordens overflade på et bestemt plan, orienteret på en bestemt måde i forhold til ellipsoiden. I dem er paralleller afbildet som koncentriske cirkler og meridianer som en flok lige linjer, der udgår fra midten af ​​cirklen. Vinklerne mellem projektionernes meridianer er lig med de tilsvarende længdeforskelle. Mellemrummene mellem parallellerne bestemmes af billedets accepterede karakter (envinklet eller andet). Det normale projektionsgitter er ortogonalt. Azimutale projektioner kan betragtes som et særligt tilfælde af keglefremspring, hvor =1.

Der anvendes direkte, skrå og tværgående azimutprojektioner, som bestemmes af breddegraden af ​​projektionens centrale punkt, hvis valg igen afhænger af territoriets placering. Afhængigt af forvrængning er azimutfremspring opdelt i ensvinklede, lige areal og med mellemliggende egenskaber.

Der er en bred vifte af fremspring: pseudocylindriske, polykoniske, pseudoazimutale og andre. Muligheden for optimal løsning af opgaverne afhænger af korrekt valg af kortprojektion. Valget af fremskrivninger er bestemt af mange faktorer, som groft kan grupperes i tre grupper.

Den første gruppe af faktorer karakteriserer genstanden for kortlægning ud fra synspunktet om den geografiske placering af det undersøgte territorium, dets størrelse, konfiguration og betydningen af ​​dets individuelle dele.

Den anden gruppe omfatter faktorer, der er karakteriseret ved, at kortet oprettes. Denne gruppe omfatter indholdet og formålet med kortet som helhed, metoder og betingelser for dets anvendelse til løsning af GIS-problemer og krav til nøjagtigheden af ​​deres løsning.

Den tredje gruppe omfatter faktorer, der karakteriserer den resulterende kortprojektion. Dette er en betingelse for at sikre et minimum af forvrængninger, de tilladte maksimale værdier af forvrængninger, arten af ​​deres fordeling, krumningen af ​​billedet af meridianer og paralleller.

Valget af kortprojektioner foreslås gennemført i to etaper.

På den første fase etableres et sæt fremskrivninger under hensyntagen til faktorerne i den første og anden gruppe. I dette tilfælde er det nødvendigt, at de centrale linjer eller projektionspunkter, i nærheden af ​​hvilke skalaerne ændrer sig lidt, er placeret i midten af ​​det undersøgte territorium, og de centrale linjer falder om muligt sammen med retningen af ​​den største fordeling af disse territorier. På anden fase bestemmes den ønskede projektion.

Lad os overveje valget af forskellige fremskrivninger afhængigt af studieområdets placering. Azimutale projektioner er valgt som regel for at skildre polarområdernes territorier. Cylindriske fremspring er at foretrække for områder placeret tæt på og symmetriske i forhold til ækvator og aflange i længden. Koniske fremspring bør anvendes for de samme områder, men ikke symmetriske i forhold til ækvator eller placeret på mellembreddegrader.

For alle fremskrivninger af den udvalgte population beregnes partielle skalaer og forvrængninger ved hjælp af matematiske kartografiformler. Fortrinsret bør naturligvis gives til den projektion, der har den mindste forvrængning, en enklere form for et kartografisk gitter og, under lige betingelser, et enklere matematisk projektionsapparat. Når du overvejer at bruge lige arealprojektioner, bør du overveje størrelsen af ​​interesseområdet og mængden og fordelingen af ​​vinkelforvrængning Små områder vises med meget mindre vinkelforvrængning, når du bruger lige arealprojektioner, hvilket kan være nyttigt, når området og genstandes former er vigtige. I det tilfælde, hvor problemet med at bestemme de korteste afstande er løst, er det bedre at bruge fremspring, der ikke forvrænger retninger. Valg af en projektion er en af ​​hovedprocesserne i at skabe et GIS.

Ved løsning af kortlægningsproblemer i undergrundsbrug i Rusland anvendes oftest de to fremskrivninger, der er beskrevet nedenfor.

Modificeret enkel polykonisk fremspring brugt som mangefacetteret, dvs. Hvert ark er defineret i sin egen version af projektionen.

Figur 12. Nomenklaturtrapez af plader i skala 1:200000 i polykonisk fremspring

Funktionerne ved den modificerede simple polykoniske projektion og fordelingen af ​​forvrængninger inden for individuelle millionskalaark er som følger:

alle meridianer er afbildet som rette linjer, der er ingen forvrængninger af længder på ekstreme paralleller og på meridianer placeret ±2º fra gennemsnittet,

de yderste paralleller af hvert ark (nord og syd) er buer af cirkler, centrene for disse paralleller er på den midterste meridian, deres længde er ikke forvrænget, de midterste paralleller bestemmes af proportional opdeling i bredden langs lige meridianer,

Jordens overflade, taget som overfladen af ​​en ellipsoide, er opdelt af linjer af meridianer og paralleller i trapezoider. Trapezer er afbildet på separate ark i samme projektion (for et kort i en skala på 1: 1.000.000 i en modificeret simpel polykonisk). Arkene på det internationale verdenskort, skala 1: 1.000.000, har visse dimensioner af trapezoider - 4 grader langs meridianerne, 6 grader langs parallellerne; på en bredde fra 60 til 76 grader er arkene fordoblet, de har parallelle dimensioner på 12; over 76 grader kombineres fire ark, og deres parallelle størrelse er 24 grader.

Brugen af ​​projektion som mangefacetteret er uundgåeligt forbundet med indførelsen af ​​nomenklatur, dvs. systemer til at udpege individuelle ark. For et millionskalakort accepteres betegnelsen af ​​trapezoider langs breddezoner, hvor betegnelsen i retningen fra ækvator til polerne udføres med bogstaver i det latinske alfabet (A, B, C osv.) og langs søjlerne i arabertal, som tælles fra meridianen med længdegrad 180 (ifølge Greenwich) mod uret. Det ark, som byen Jekaterinburg ligger på, har for eksempel nomenklaturen O-41.

Figur 13. Nomenklaturopdeling af Ruslands territorium

Fordelen ved et modificeret simpelt polykonisk fremspring, anvendt som et polyhedralt, er den lille mængde forvrængning. Analyse i kortarket viste, at forvrængninger i længden ikke overstiger 0,10%, areal 0,15%, vinkler 5' og er praktisk talt umærkelige. Ulempen ved denne fremspring er udseendet af huller, når plader forbindes langs meridianer og paralleller.

Konform (konform) pseudocylindrisk Gauss-Kruger projektion. For at bruge en sådan projektion er overfladen af ​​jordens ellipsoide opdelt i zoner indesluttet mellem to meridianer med en længdeforskel på 6 eller 3 grader. Meridianer og paralleller er afbildet som kurver, symmetriske i forhold til den aksiale meridian af zonen og ækvator. De aksiale meridianer for de seks graders zoner falder sammen med de centrale meridianer af kortarkene i en skala på 1: 1.000.000. Serienummeret bestemmes af formlen

hvor N er kolonnenummeret på kortarket i en skala på 1:1.000.000.

D Værdierne af de aksiale meridianer af seks graders zoner bestemmes af formlen

L 0 = 6n – 3, hvor n er zonenummeret.

Rektangulære x- og y-koordinater inden for zonen beregnes i forhold til ækvator og centrale meridian, som er afbildet som rette linjer

Figur 14. Konform pseudocylindrisk Gauss-Kruger projektion

Inden for det tidligere USSRs område er abscissen af ​​Gauss-Kruger-koordinaterne positive; ordinater er positive mod øst, negative mod vest for den aksiale meridian. For at undgå negative ordinatværdier gives aksialmeridianens punkter konventionelt værdien y = 500.000 m med den obligatoriske angivelse af det tilsvarende zonenummer foran. For eksempel, hvis et punkt er placeret i zone nummer 11, 25.075 m øst for den aksiale meridian, skrives værdien af ​​dets ordinat som følger: y = 11.525.075 m: hvis punktet er placeret vest for denne zones aksiale meridian i samme afstand, så er y = 11.474.925 m.

I en konform projektion er vinklerne på trianguleringstrekanterne ikke forvrænget, dvs. forblive den samme som på overfladen af ​​jordens ellipsoide. Skalaen af ​​billedet af lineære elementer på planet er konstant i et givet punkt og afhænger ikke af disse elementers azimut: lineære forvrængninger på den aksiale meridian er nul og stiger gradvist med afstanden fra den: ved kanten af ​​de seks -gradszone når de deres maksimale værdi.

I lande på den vestlige halvkugle bruges Universal Transverse Mercator (UTM) projektionen til at kompilere topografiske kort i seks graders zoner. Denne projektion er tæt i sine egenskaber og fordeling af forvrængninger til Gauss-Kruger projektionen, men på den aksiale meridian af hver zone er skalaen m=0,9996, ikke enhed. UTM-projektionen opnås ved dobbeltprojektion - en ellipsoide på en kugle og derefter en kugle på et plan i Mercator-projektionen.

Figur 15. Koordinatkonvertering i geografiske informationssystemer

Tilstedeværelsen af ​​software i GIS, der udfører projektionstransformationer, gør det nemt at overføre data fra en projektion til en anden. Dette kan være nødvendigt, hvis de modtagne kildedata findes i en projektion, der ikke er sammenfaldende med den, der er valgt i dit projekt, eller hvis du skal ændre projektionen af ​​projektdataene for at løse et specifikt problem. Overgangen fra en projektion til en anden kaldes projektionstransformationer. Det er muligt at oversætte koordinaterne for digitale data, der oprindeligt er indtastet i de konventionelle koordinater for digitaliserings- eller rastersubstratet ved hjælp af plantransformationer.

Hvert rumligt objekt har udover den rumlige reference en eller anden meningsfuld essens, og i næste kapitel vil vi overveje mulighederne for at beskrive det.

Dato: 24.10.2015

Kortprojektion- en matematisk metode til at afbilde kloden (ellipsoide) på et fly.

Til projicere en sfærisk overflade på et plan brug hjælpeoverflader.

Af udseende hjælpekartografiske overfladeprojektioner er opdelt i:

Cylindrisk 1(hjælpefladen er cylinderens sideflade), konisk 2(sideflade af keglen), azimut 3(flyet kaldet billedplanet).

Også udmærket polykonisk

pseudocylindrisk betinget

og andre fremskrivninger.

Ved orientering hjælpefigurprojektioner er opdelt i:

• normal(hvor cylinderens eller keglens akse falder sammen med jordmodellens akse, og billedplanet er vinkelret på det);
• tværgående(hvor cylinderens eller keglens akse er vinkelret på jordmodellens akse, og billedplanet er eller parallelt med det);
• skrå, hvor hjælpefigurens akse er i en mellemposition mellem polen og ækvator.

Kartografiske forvrængninger- dette er en krænkelse af de geometriske egenskaber af objekter på jordens overflade (længder af linjer, vinkler, former og områder), når de er afbildet på et kort.

Jo mindre kortskalaen er, jo mere signifikant er forvrængningen. På kort i stor skala er forvrængning ubetydelig.

Der er fire typer forvrængninger på kort: længder, områder, hjørner Og formularer genstande. Hver projektion har sine egne forvrængninger.

Baseret på arten af ​​forvrængning er kartografiske projektioner opdelt i:

• ligekantede, som lagrer genstandes vinkler og former, men forvrænger længder og områder;

• lige store, hvor områder er lagret, men vinkler og former for objekter er væsentligt ændret;

• vilkårlig, hvor længder, områder og vinkler er forvrænget, men de er fordelt jævnt på kortet. Blandt dem skelnes især alignment projektioner, hvor der ikke er nogen forvrængning af længder hverken langs paralleller eller langs meridianer.

Nul forvrængning linjer og punkter- linjer langs hvilke og punkter, hvor der ikke er nogen forvrængning, da her, når en sfærisk overflade projiceres på et plan, var hjælpefladen (cylinder, kegle eller billedplan) tangenter til bolden.

vægt angivet på kortene, kun bevaret på linjer og på punkter med nul forvrængning. Det kaldes den vigtigste.

I alle andre dele af kortet adskiller målestokken sig fra den primære og kaldes delvis. For at bestemme det kræves specielle beregninger.

For at bestemme arten og størrelsen af ​​forvrængninger på kortet skal du sammenligne kortets og klodens gradgitter.

På kloden alle paralleller er i samme afstand fra hinanden, Alle meridianer er lig med hinanden og skærer med paralleller i rette vinkler. Derfor har alle celler i gradgitteret mellem tilstødende paralleller samme størrelse og form, og cellerne mellem meridianerne udvider sig og øges fra polerne til ækvator.

For at bestemme størrelsen af ​​forvrængning analyseres også forvrængningsellipser - ellipsoide figurer dannet som følge af forvrængning i en bestemt projektion af cirkler tegnet på en globus i samme skala som kortet.

I konform projektion Forvrængningsellipser har form som en cirkel, hvis størrelse øges afhængigt af afstanden fra punkterne og linjerne med nul forvrængning.

I lige arealprojektion Forvrængningsellipser har form som ellipser, hvis arealer er de samme (længden af ​​den ene akse øges, og den anden aftager).

I ækvidistant projektion Forvrængningsellipser har form som ellipser med samme længde af en af ​​akserne.

De vigtigste tegn på forvrængning på kortet

1. Hvis afstandene mellem parallellerne er de samme, så indikerer dette, at afstandene langs meridianerne (lige langt langs meridianerne) ikke er forvrænget.
2. Afstande forvrænges ikke af paralleller, hvis radierne af parallellerne på kortet svarer til radierne af parallellerne på kloden.
3. Områder forvrænges ikke, hvis cellerne skabt af meridianerne og parallellerne ved ækvator er firkanter, og deres diagonaler skærer hinanden i rette vinkler.
4. Længder langs paralleller forvrænges, hvis længder langs meridianer ikke forvrænges.
   
5. Længder langs meridianer forvrænges, hvis længder langs paralleller ikke forvrænges.

Karakteren af ​​forvrængninger i hovedgrupperne af kortprojektioner

Kortprojektioner	Forvrængninger
Konform	De bevarer vinkler og forvrænger områder og længder af linjer.
Lige størrelse	De bevarer områder og forvrænger vinkler og former.
Lige langt	I den ene retning har de en konstant længdeskala, forvrængningerne af vinkler og områder er i ligevægt.
gratis	De forvrænger vinkler og områder.
Cylindrisk	Der er ingen forvrængninger langs ækvatorlinjen, men de øges, når du nærmer dig polerne.
Konisk	Der er ingen forvrængninger langs kontaktparallellen mellem keglen og kloden.
Azimuthal	Der er ingen forvrængninger i den centrale del af kortet.

Kortprojektioner

kortlægning af hele overfladen af ​​Jordens ellipsoide (Se Jordens ellipsoide) eller en hvilken som helst del af den på et plan, opnået hovedsageligt med det formål at konstruere et kort.

Vægt. Kontrolstationer er bygget i en bestemt skala. Mentalt reducerer jordens ellipsoide til M gange, for eksempel 10.000.000 gange, får vi dens geometriske model - Globe, hvis billede i naturlig størrelse på et fly giver et kort over overfladen af ​​denne ellipsoide. Værdi 1: M(i eksempel 1: 10.000.000) bestemmer kortets hoved- eller generelle skala. Da overfladerne af en ellipsoide og en kugle ikke kan udvikles på et plan uden brud og folder (de hører ikke til klassen af ​​fremkaldelige overflader (se fremkaldelige overflader)), er enhver sammensat overflade iboende i forvrængning i længden af ​​linjer, vinkler osv., der er karakteristiske for ethvert kort. Hovedkarakteristikken for et rumsystem på ethvert punkt er den partielle skala μ. Dette er den gensidige af forholdet mellem det infinitesimale segment ds på jordens ellipsoide til dens billede dσ på planet: μ min ≤ μ ≤ μ max, og lighed her er kun mulig på enkelte punkter eller langs nogle linjer på kortet. Kortets hovedskala karakteriserer det således kun i generelle vendinger, i en eller anden gennemsnitsform. Holdning μ/M kaldet relativ skala eller stigning i længden, forskellen M = 1.

Generel information. Teori om K. p. - Matematisk kartografi - Dens mål er at studere alle typer forvrængninger ved kortlægning af jordens ellipsoide på et plan og at udvikle metoder til at konstruere projektioner, hvor forvrængningerne enten vil have de mindste (i enhver forstand) værdier eller en forudbestemt fordeling.

Ud fra kartografiens behov (Se kartografi) overvejes i kartografiteorien kortlægninger af overfladen af ​​jordens ellipsoide på et plan. Fordi jordens ellipsoide har en lav kompression, og dens overflade afviger lidt fra kuglen, og også på grund af det faktum, at elliptiske elementer er nødvendige for at tegne kort i mellem og små skalaer ( M> 1.000.000), så er de ofte begrænset til at overveje afbildninger på planet af en kugle med en vis radius R, hvis afvigelser fra ellipsoiden kan negligeres eller tages i betragtning på en eller anden måde. Derfor mener vi nedenfor kortlægninger på flyet xOy sfære, refereret til geografiske koordinater φ (breddegrad) og λ (længdegrad).

Ligningerne for enhver QP har formen

x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ), (1)

Hvor f 1 og f 2 - funktioner, der opfylder nogle generelle betingelser. Meridian billeder λ = konst og paralleller φ = konst i et givet kort danner de et kartografisk gitter. K.p. kan også bestemmes af to ligninger, hvori ikke-rektangulære koordinater optræder x,på fly, men alle andre. Nogle projektioner [f.eks. perspektivprojektioner (især ortografiske, ris. 2 ) perspektiv-cylindrisk ( ris. 7 ) osv.] kan bestemmes ved geometriske konstruktioner. En projektion er også bestemt af reglen for konstruktion af det tilsvarende kartografiske gitter eller af dets karakteristiske egenskaber, hvorfra der kan opnås ligninger af formen (1), som fuldstændigt bestemmer projektionen.

Kort historisk information. Udviklingen af ​​teorien om kartografi, såvel som al kartografi, er tæt forbundet med udviklingen af ​​geodæsi, astronomi, geografi og matematik. Det videnskabelige grundlag for kartografi blev lagt i det antikke Grækenland (6.-1. århundrede f.Kr.). Den gnomoniske projektion, brugt af Thales fra Milet til at konstruere kort over stjernehimlen, anses for at være den ældste CG. Efter etableringen i det 3. århundrede. f.Kr e. jordens sfæriske form C. begyndte at blive opfundet og brugt i kompileringen af ​​geografiske kort (Hipparchus, Ptolemæus osv.). Den betydelige stigning i kartografien i det 16. århundrede, forårsaget af de store geografiske opdagelser, førte til skabelsen af ​​en række nye projektioner; en af ​​dem, foreslået af G. Mercator, Det bruges stadig i dag (se Mercator projektion). I det 17. og 18. århundrede, da den brede organisation af topografiske undersøgelser begyndte at levere pålideligt materiale til at udarbejde kort over et stort område, blev kort udviklet som grundlag for topografiske kort (fransk kartograf R. Bonn, J. D. Cassini). og også undersøgelser blev udført på individuelle vigtigste grupper af kvantefelter (I. Lambert, L. Euler, J. Lagrange og osv.). Udviklingen af ​​militær kartografi og den yderligere stigning i mængden af ​​topografisk arbejde i det 19. århundrede. krævede tilvejebringelse af et matematisk grundlag for storskalakort og indførelse af et system af rektangulære koordinater på et grundlag, der var mere egnet til geometriske beregninger. Dette førte K. Gauss til udviklingen af ​​en fundamental geodætisk projektion (Se Geodætiske projektioner). Endelig i midten af ​​1800-tallet. A. Tissot (Frankrig) gav en generel teori om forvrængning af CP. Udviklingen af ​​teorien om CP i Rusland var tæt forbundet med behovene i praksis og gav mange originale resultater (L. Euler, F. I. Schubert, P. L. Chebyshev, D. A. Grave, etc.). I værker af sovjetiske kartografer V. V. Kavraisky (Se Kavraisky), N. A. Urmaev og andre blev der udviklet nye grupper af kort, deres individuelle varianter (op til praktisk brug) og vigtige spørgsmål om den generelle teori om kort. deres klassifikationer mv.

Forvrængningsteori. Forvrængninger i et uendeligt lille område omkring et hvilket som helst projektionspunkt overholder visse generelle love. På ethvert punkt på kortet i en projektion, der ikke er konform (se nedenfor), er der to sådanne indbyrdes vinkelrette retninger, som også svarer til indbyrdes vinkelrette retninger på den viste overflade, det er de såkaldte hovedvisningsretninger. Skalaerne i disse retninger (hovedskalaer) har ekstreme værdier: μ max = a Og μ min = b. Hvis meridianerne og parallellerne på kortet i en projektion skærer hinanden i rette vinkler, så er deres retninger de vigtigste for denne projektion. Længdeforvrængningen ved et givet projektionspunkt repræsenterer visuelt en ellipse af forvrængning, svarende til og placeret på samme måde som billedet af en uendelig lille cirkel omkranset omkring det tilsvarende punkt på den viste overflade. Halvdiametrene af denne ellipse er numerisk lig med de partielle skalaer på et givet punkt i de tilsvarende retninger, halvakserne af ellipsen er lig med de ekstreme skalaer, og deres retninger er de vigtigste.

Forbindelsen mellem elementerne i forvrængningsellipsen, forvrængningerne af QP og de partielle afledninger af funktioner (1) er etableret af de grundlæggende formler for forvrængningsteorien.

Klassificering af kortprojektioner i henhold til positionen af ​​polen for de anvendte sfæriske koordinater. Kuglens poler er specielle punkter for geografisk koordination, selvom kuglen på disse punkter ikke har nogen egenskaber. Det betyder, at når man kortlægger områder, der indeholder geografiske poler, er det nogle gange ønskeligt ikke at bruge geografiske koordinater, men andre, hvor polerne viser sig at være almindelige koordinationspunkter. Derfor bruges sfæriske koordinater på kuglen, hvis koordinatlinjer, de såkaldte vertikaler (betinget længdegrad på dem a = konst) og almucantarater (hvor polære afstande z = konst), svarende til geografiske meridianer og paralleller, men deres pol Z 0 falder ikke sammen med den geografiske pol P0 (ris. 1 ). Overgang fra geografiske koordinater φ , λ ethvert punkt på kuglen til dets sfæriske koordinater z, -en ved en given pole position Z 0 (φ 0 , λ 0) udføres ved hjælp af formlerne for sfærisk trigonometri. Enhver QP givet ved ligning (1) kaldes normal eller direkte ( φ 0 = π/2). Hvis den samme projektion af en kugle beregnes ved hjælp af de samme formler (1), hvor i stedet for φ , λ komme til syne z, -en, så kaldes denne projektion tværgående hvornår φ 0 = 0, λ 0 og skrå hvis 0 . Brugen af ​​skrå og tværgående projektioner fører til en reduktion af forvrængning. På ris. 2 viser normale (a), tværgående (b) og skrå (c) ortografiske projektioner (Se Ortografisk projektion) af en kugle (overflade af en kugle).

Klassificering af kortprojektioner efter arten af ​​forvrængninger. I ligekantede (konforme) punkter afhænger skalaen kun af punktets position og afhænger ikke af retningen. Forvrængning ellipser degenererer til cirkler. Eksempler - Mercator-projektion, Stereografisk projektion.

I lige store (ækvivalente) rum bevares områderne; mere præcist er arealerne af figurer på kort, der er kompileret i sådanne projektioner, proportionale med arealerne af de tilsvarende figurer i naturen, og proportionalitetskoefficienten er den gensidige af kvadratet af kortets hovedskala. Forvrængningsellipser har altid det samme område, der adskiller sig i form og orientering.

Vilkårlige kompositter er hverken ensvinklede eller lige i areal. Af disse skelnes ækvidistante, hvor en af ​​hovedskalaerne er lig med enhed, og ortodromiske, hvori boldens storcirkler (ortodromer) er afbildet som lige.

Når man afbilder en kugle på et plan, er egenskaberne ækvikantet, ækvilateralitet, ækvidistance og ortodromicitet uforenelige. For at vise forvrængninger forskellige steder i det afbildede område skal du bruge: a) forvrængningsellipser konstrueret forskellige steder i gitteret eller kortskitsen ( ris. 3 ); b) isocolaer, dvs. linjer med samme forvrængningsværdi (på ris. 8v se isokoler af den største forvrængning af vinkler с og isokoler af arealskalaen R); c) billeder nogle steder af kortet af nogle sfæriske linjer, sædvanligvis ortodromer (O) og loxodromer (L), se. ris. 3a ,3b og osv.

Klassificering af normale kortprojektioner efter typen af ​​billeder af meridianer og paralleller, som er resultatet af den historiske udvikling af teorien om CP, omfatter de fleste af de kendte projektioner. Det bevarer navnene forbundet med den geometriske metode til at opnå projektioner, men de grupper, der overvejes, er nu defineret analytisk.

Cylindriske fremspring ( ris. 3 ) - projektioner, hvor meridianerne er afbildet som ækvidistante parallelle linjer, og parallellerne er afbildet som rette linjer vinkelret på billederne af meridianerne. Fordelagtig til at skildre territorier strakt langs ækvator eller eventuelle paralleller. Navigation bruger Mercator projektion - en konform cylindrisk projektion. Gauss-Kruger-projektionen er en konform tværgående cylindrisk projektion - brugt til kompilering af topografiske kort og behandling af trianguleringer.

Azimutale fremskrivninger ( ris. 5 ) - projektioner, hvor parallellerne er koncentriske cirkler, meridianerne er deres radier, og vinklerne mellem sidstnævnte er lig med de tilsvarende længdeforskelle. Et særligt tilfælde af azimutprojektioner er perspektivprojektioner.

Pseudokoniske projektioner ( ris. 6 ) - projektioner, hvor paralleller er afbildet som koncentriske cirkler, den midterste meridian som en ret linje, og de resterende meridianer som kurver. Bonns pseudokoniske projektion med lige areal bruges ofte; Siden 1847 har den udarbejdet et kort med tre vers (1: 126.000) over den europæiske del af Rusland.

Pseudocylindriske fremspring ( ris. 8 ) - projektioner, hvor paralleller er afbildet som parallelle rette linjer, den midterste meridian som en ret linje vinkelret på disse rette linjer og er projektionernes symmetriakse, de resterende meridianer som kurver.

Polykoniske fremspring ( ris. 9 ) - projektioner, hvor paralleller er afbildet som cirkler med centre placeret på den samme rette linje, der repræsenterer den midterste meridian. Ved konstruktion af specifikke polykoniske fremspring pålægges yderligere betingelser. En af de polykoniske projektioner anbefales til det internationale (1:1.000.000) kort.

Der er mange fremskrivninger, der ikke hører til disse typer. Cylindriske, kegleformede og azimutale projektioner, kaldet de enkleste, klassificeres ofte som cirkulære projektioner i bred forstand, og skelner fra dem cirkulære projektioner i snæver forstand - projektioner, hvor alle meridianer og paralleller er afbildet som cirkler, for eksempel Lagrange konforme projektioner, Grinten projektion mv.

Brug og valg af kortprojektioner afhænge hovedsageligt af formålet med kortet og dets skala, som ofte bestemmer karakteren af ​​de tilladte forvrængninger i den valgte metriske kort, der er beregnet til at løse metriske problemer, er normalt udarbejdet i konforme projektioner, og i lille skala. kort, der bruges til generelle undersøgelser og bestemme forholdet mellem områderne i ethvert territorium - i lige store områder. I dette tilfælde er en vis overtrædelse af de definerende betingelser for disse fremskrivninger mulig ( ω ≡ 0 eller p ≡ 1), hvilket ikke fører til mærkbare fejl, dvs. vi tillader valget af vilkårlige projektioner, hvoraf projektioner med samme afstand langs meridianerne oftere bruges. Sidstnævnte bruges også, når formålet med kortet slet ikke sørger for bevarelse af vinkler eller områder. Når du vælger projektioner, starter de med de enkleste, for derefter at gå videre til mere komplekse projektioner, endda muligvis modificere dem. Hvis ingen af ​​de kendte CP'er opfylder kravene til det kort, der kompileres med hensyn til dets formål, så søges en ny, bedst egnet CP, der forsøger (så vidt muligt) at reducere forvrængninger i det. Problemet med at konstruere de mest fordelagtige CP'er, hvor forvrængninger på nogen måde er reduceret til et minimum, er endnu ikke fuldstændig løst.

C. punkter bruges også i navigation, astronomi, krystallografi osv.; de søges med det formål at kortlægge Månen, planeter og andre himmellegemer.

Transformation af projektioner. I betragtning af to QP'er defineret af de tilsvarende ligningssystemer: x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ) Og X = g 1 (φ, λ), Y = g 2 (φ, λ), er det muligt, undtagen φ og λ fra disse ligninger, at etablere overgangen fra den ene af dem til den anden:

X = F 1 (x, y), Y = F 2 (x, y).

Disse formler, når du angiver typen af ​​funktioner F 1 ,F 2, for det første en generel metode til at opnå såkaldte afledte fremskrivninger; for det andet danner de det teoretiske grundlag for alle mulige metoder til tekniske metoder til at tegne kort (se Geografiske kort). For eksempel udføres affine og fraktionerede lineære transformationer ved hjælp af kartografiske transformere (se kartografiske transformatorer). Mere generelle transformationer kræver dog brug af ny, især elektronisk teknologi. Opgaven med at skabe perfekte CP-transformere er et presserende problem med moderne kartografi.

Lit.: Vitkovsky V., Kartografi. (Teori om kortprojektioner), St. Petersborg. 1907; Kavraisky V.V., Matematisk kartografi, M. - L., 1934; hans, Izbr. værker, bind 2, århundrede. 1-3, [M.], 1958-60; Urmaev N. A., Matematisk kartografi, M., 1941; ham, Metoder til at finde nye kartografiske projektioner, M., 1947; Graur A.V., Matematisk kartografi, 2. udgave, Leningrad, 1956; Ginzburg G. A., Kartografiske projektioner, M., 1951; Meshcheryakov G. A., Teoretisk grundlag for matematisk kartografi, M., 1968.

G. A. Meshcheryakov.

2. Bolden og dens ortografiske projektioner.

3a. Cylindriske fremspring. Mercator ensvinklet.

3b. Cylindriske fremspring. Equidistant (rektangulær).

3c. Cylindriske fremspring. Lige-areal (isocylindrisk).

4a. Koniske fremspring. Ensvinklet.

4b. Koniske fremspring. Lige langt.

4c. Koniske fremspring. Lige størrelse.

Ris. 5a. Azimutale projektioner. Konform (stereografisk) til venstre - tværgående, til højre - skrå.

Ris. 5 B. Azimutale projektioner. Ligeså mellemliggende (til venstre - tværgående, til højre - skrå).

Ris. 5. århundrede Azimutale projektioner. Lige stor (til venstre - tværgående, til højre - skrå).

Ris. 8a. Pseudocylindriske fremspring. Mollweide lige areal projektion.

Ris. 8b. Pseudocylindriske fremspring. Sinusformet projektion med lige areal af V. V. Kavraisky.

Ris. 8. århundrede Pseudocylindriske fremspring. Vilkårlig projektion af TsNIIGAiK.

Ris. 8g. Pseudocylindriske fremspring. BSAM projektion.

Ris. 9a. Polykoniske fremspring. Enkel.

Ris. 9b. Polykoniske fremspring. Vilkårlig projektion af G. A. Ginzburg.

Store sovjetiske encyklopædi. - M.: Sovjetisk encyklopædi. 1969-1978 .

Se, hvad "Kortprojektioner" er i andre ordbøger:

Matematiske metoder til at afbilde overfladen af ​​jordens ellipsoide eller kugle på et plan. Kortprojektioner bestemmer forholdet mellem koordinaterne af punkter på overfladen af ​​jordens ellipsoide og på planet. På grund af manglende evne til at udvide... ... Stor encyklopædisk ordbog

KORTPROJEKTIONER, systematiske metoder til at tegne jordens meridianer og paralleller på en flad overflade. Kun på en jordklode kan territorier og former repræsenteres pålideligt. På flade kort over store områder er forvrængning uundgåelig. Fremskrivninger er... Videnskabelig og teknisk encyklopædisk ordbog

Verdens- og skærmkoordinater

Fremskrivninger

Når du bruger grafikenheder, bruges projektioner normalt. Projektion angiver den måde, objekter vises på en grafikenhed. Vi vil kun overveje projektioner på flyet.

Projektion er kortlægningen af ​​punkter specificeret i et koordinatsystem med dimension N til punkter i et system med lavere dimension.

Projektorer (fremspringende stråler) er lige segmenter, der løber fra midten af ​​projektionen gennem hvert punkt på objektet, indtil de skærer med projektionsplanet (billedplan).

Når du viser rumlige objekter på en skærm eller på et ark papir ved hjælp af en printer, skal du kende objekternes koordinater. Vi vil overveje to koordinatsystemer. Først - verdenskoordinater, som beskriver objekters sande position i rummet med en given nøjagtighed. Det andet er displayenhedens koordinatsystem, hvor billeder af objekter vises i en given projektion. Lad os kalde koordinatsystemet for den grafiske enhed skærmkoordinater(selvom denne enhed ikke behøver at være som en computerskærm).

Lad verdenskoordinaterne være rektangulære 3D-koordinater. Hvor centrum af koordinaterne skal placeres, og hvad måleenhederne langs hver akse vil være, er ikke særlig vigtigt for os nu. Det vigtige er, at vi til visning kender alle numeriske værdier af koordinaterne for de viste objekter.

For at få et billede i en bestemt projektion er det nødvendigt at beregne projektionskoordinaterne. For at syntetisere et billede på et skærmplan eller papir bruger vi et todimensionalt koordinatsystem. Hovedopgaven er at specificere transformationer af koordinater fra verdenskoordinater til skærmkoordinater.

Billedet af objekter på et plan (displayskærm) er forbundet med designs geometriske funktion. Der er flere typer design, der bruges i computergrafik, men der er to hovedtyper: parallel og central.

Den fremspringende stråle af stråler ledes gennem objektet til billedplanet, hvorpå koordinaterne for skæringen af ​​strålerne (eller rette linjer) med dette plan efterfølgende findes.

Ris. 2.14. Hovedtyper af fremskrivninger

Med centralt design alle linjer starter fra et punkt.

Med parallel- det anses for, at centrum af strålerne (lige linjer) er uendeligt fjernt, og de rette linjer er parallelle.

Hver af disse hovedklasser er opdelt i flere underklasser afhængigt af billedplanets og koordinataksernes relative position.

Enkeltpunktsprojektion

Ris. 2.15. Klassificering af planprojektioner

For parallelle projektioner er midten af ​​projektionen placeret uendeligt fra projektionsplanet:

• ortografisk (ortogonal),
• aksonometrisk (rektangulær aksonometrisk) - projektorer er vinkelrette på projektionsplanet placeret i en vinkel til hovedaksen,
• skrå (skrå aksonometrisk) - projektionsplanet er vinkelret på hovedaksen, projektorerne er placeret i en vinkel til projektionsplanet.

For centrale projektioner er centrum af projektionen i en endelig afstand fra projektionsplanet. Der er såkaldte perspektivforvrængninger.

Ortogonale projektioner (hovedvisninger)

Ris. 2.16. Ortogonale projektioner

1. Set forfra, hovedbillede, frontal projektion, (på bagsiden af ​​V),
2. Set ovenfra, plan, vandret projektion, (på den nederste kant af H),
3. Venstre visning, profilprojektion, (på højre side af W),
4. Set fra højre (på venstre side),
5. Set fra neden (øverste kant),
6. Set bagfra (forside).

Den ortogonale projektionsmatrix på YZ-planet langs X-aksen har formen:

Hvis planet er parallel, så skal denne matrix ganges med forskydningsmatricen, så:

hvor p er skiftet langs X-aksen;

For ZX-planet langs Y-aksen

hvor q er forskydningen langs Y-aksen;

For XY-planet langs Z-aksen:

hvor R er forskydningen langs Z-aksen.

Ved aksonometrisk projektion er de projicerende linjer vinkelrette på billedplanet.

Isometrisk- alle tre vinkler mellem billednormalen og koordinatakserne er ens.

Dimetria - to vinkler mellem billednormalen og koordinatakserne er ens.

Trimetri - billedplanets normalvektor danner forskellige vinkler med koordinatakserne.

Hver af de tre typer af disse fremspring opnås ved en kombination af rotationer efterfulgt af en parallel projektion.

Når der roteres med en vinkel β i forhold til Y-aksen (ordinater), med en vinkel α omkring X-aksen (abscisse) og efterfølgende projektion af Z-aksen (applikat), fremkommer en matrix

Isometrisk projektion

Ris. 2.17. Isometriske projektioner

Dimetrisk projektion

Ris. 2.18. Dimetriske projektioner

Skrå projektioner

Et klassisk eksempel på en parallel skrå projektion er skabsprojektion(Fig. 2. 26). Denne projektion bruges ofte i matematisk litteratur til at tegne solide former. Akse på afbildet vippet i en vinkel på 45 grader. Langs aksen på skala 0,5, langs andre akser - skala 1. Lad os nedskrive formlerne til beregning af koordinaterne for projektionsplanet

Her som før aksen Υ pr rettet nedad.

For skrå parallelle projektioner er projektionsstrålerne ikke vinkelrette på projektionsplanet.

Ris. 2.19. Skrå projektioner

Nu vedrørende den centrale projektion. Da projektionsstrålerne for det ikke er parallelle, vil vi antage normal sådan central projektion, hvis hovedakse er vinkelret på planet projektion. Til central skrå projektion hovedaksen er ikke vinkelret på projektionsplanet.

Lad os overveje et eksempel på en central skrå projektion, som viser alle de lodrette linjer af de afbildede objekter som parallelle linjer. Lad os placere projektionsplanet lodret, indstille visningsvinklen med vinklerne a, β og placeringen af ​​forsvindingspunktet (fig. 2. 21).

Fig.2.20. Skabsprojektion

Ris. 2.21. Lodret central skrå projektion: a – placering af projektionsplanet, b – set fra venstre ende af projektionsplanet

Vi vil antage, at aksen Ζ visningskoordinater er placeret vinkelret på projektionsplanet. Centrum af visningskoordinaterne er ved punktet ( xc, os, zc). Lad os skrive den tilsvarende typetransformation ned:

Hvad angår den normale centrale projektion, er forsvindingspunktet for projektionsstrålerne placeret på Z-aksen i en afstand Ζk fra midten af ​​visningskoordinaterne. Det er nødvendigt at tage højde for hældningen af ​​hovedaksen for den skrå projektion. For at gøre dette er det nok at trække fra Υ pr længden af ​​segmentet er 0-0" (fig. 2.21). Denne længde er lig med ( Ζ k - Ζ pl) ctgβ. Lad os nu skrive resultatet ned - formler til beregning af koordinaterne for en skrå lodret projektion

Hvor Pyha Og Pu er projektionsfunktionerne for normal projektion.

Det skal bemærkes, at for en sådan projektion er det umuligt at lave en topvisning (β = 0), da her сtgP = ∞.

Egenskaben ved den betragtede lodrette skrå projektion, som består i at opretholde paralleliteten af ​​lodrette linjer, er nogle gange nyttig, for eksempel ved afbildning af huse i arkitektoniske computersystemer. Sammenlign fig. 2. 22 (øverst) og fig. 2,22 (nederst). På det nederste billede er vertikaler afbildet som vertikaler - husene "falder ikke fra hinanden".

Ris. 2.21. Sammenligning af fremskrivninger

Kabinetprojektion (aksonometrisk skrå frontal dimetrisk projektion)

Ris. 2.23.Kabinetsprojektion

Fri projektion (aksonometrisk skrå horisontal isometrisk projektion)

Ris. 2.24.Fri projektion

Central projektion

Centrale projektioner af parallelle linjer, der ikke er parallelle med projektionsplanet, konvergerer kl forsvindingspunkt.

Afhængigt af antallet af koordinatakser, som projektionsplanet skærer, skelnes der mellem en, to og trepunkts centrale projektioner.

Ris. 2,25. Central projektion

Lad os betragte et eksempel på en perspektivisk (central) projektion for en lodret kameraposition, når α = β = 0. En sådan projektion kan forestilles som et billede på glas, hvorigennem en observatør placeret ovenover ved punkt ( x, y, z) = (0, 0, zk). Her er projektionsplanet parallelt med planet (x 0 y), som vist i fig. 2,26.

For et vilkårligt punkt i rummet (P), baseret på trekanters lighed, skriver vi følgende proportioner:

X pr /(z k – z pl) = x/(z k – z)

Y pr /(z k – z pl) = y/(z k – z)

Lad os finde koordinaterne for projektionen, også under hensyntagen til koordinaten Ζpr:

Lad os skrive sådanne koordinattransformationer i funktionel form

Hvor Π - funktion af perspektivtransformation af koordinater.

Ris. 2.26 Perspektivprojektion

I matrixform kan koordinattransformationen skrives som følger:

Bemærk venligst, at her afhænger matrixkoefficienterne af z-koordinaten (i brøkens nævner). Dette betyder, at koordinattransformationen er ikke-lineær (mere præcist, brøk-lineær), det tilhører klassen projektiv transformationer.

Vi har fået formler til beregning af projektionskoordinater for det tilfælde, hvor strålernes forsvindingspunkt er på aksen z. Lad os nu overveje den generelle sag. Lad os introducere et visningskoordinatsystem (X, Υ,Ζ), vilkårligt placeret i tredimensionelt rum (x, y, z). Lad forsvindingspunktet være på aksen Ζ se koordinatsystem, og synsretningen er langs aksen Ζ modsat dens retning. Vi vil antage, at transformationen til at se koordinater er beskrevet af en tredimensionel affin transformation

Efter beregning af koordinaterne ( X, Y, Z) du kan beregne koordinaterne i projektionsplanet i overensstemmelse med de formler, vi allerede har diskuteret tidligere. Da forsvindingspunktet er på Z-aksen af ​​visningskoordinaterne, så

Sekvensen af ​​koordinattransformation kan beskrives som følger:

Denne koordinattransformation giver dig mulighed for at simulere kameraplaceringer på ethvert punkt i rummet og vise alle objekter, der ser på, i midten af ​​projektionsplanet.

Ris. 2,27. Central projektion af punktet P 0 i planet Z = d

Kapitel 3. Rastergrafik. Grundlæggende rasteralgoritmer

Af forvrængnings natur projektioner er opdelt i konforme, lige-areal og arbitrære.

Konform(eller konform) fremskrivninger bevare størrelsen af ​​vinkler og former for infinitesimale figurer. Længdeskalaen i hvert punkt er konstant i alle retninger (hvilket sikres ved en naturlig forøgelse af afstandene mellem tilstødende paralleller langs meridianen) og afhænger kun af punktets position. Forvrængningsellipser udtrykkes som cirkler med forskellige radier.

For hvert punkt i konforme projektioner er følgende afhængigheder gyldige:

/ L i= a = b = m = n; a>= 0°; 0 = 90°; k = 1 Og a 0 =0°(eller ±90°).

Sådanne fremskrivninger især nyttig til at bestemme retninger og udlægning af ruter langs en given azimut (for eksempel ved løsning af navigationsproblemer).

Lige størrelse(eller tilsvarende) fremskrivninger forvræng ikke området. I disse fremskrivninger arealerne af forvrængningellipserne er lige store. En stigning i længdeskalaen langs den ene akse af forvrængningellipsen kompenseres af et fald i længdeskalaen langs den anden akse, hvilket forårsager et naturligt fald i afstandene mellem tilstødende paralleller langs meridianen og som en konsekvens heraf en kraftig forvrængning af former.

Sådan fremspring er praktiske til at måle områder objekter (som f.eks. er afgørende for nogle økonomiske eller morfometriske kort).

I teorien om matematisk kartografi er det bevist, at nej, og der kan ikke være en projektion, der ville være både ensvinklet og ens i areal. Generelt, jo større forvrængning af hjørner, jo mindre forvrængning af områder og omvendt

gratis fremskrivninger forvrænge både vinkler og områder. Når de konstruerer dem, stræber de efter at finde den mest fordelagtige fordeling af forvrængninger for hvert enkelt tilfælde, og når så at sige et kompromis. Denne gruppe af projektioner bruges i tilfælde, hvor overdreven forvrængning af hjørner og områder er lige så uønsket. Ifølge deres egenskaber, vilkårlige fremskrivninger ligge mellem ensvinklet og lige-areal. Blandt dem kan vi fremhæve lige langt(eller lige langt) fremspring, på alle punkter, hvor skalaen langs en af ​​hovedretningerne er konstant og lig med hovedretningen.

Klassificering af kortprojektioner efter type af geometrisk hjælpeflade .

Baseret på typen af ​​hjælpegeometrisk overflade skelnes fremspring: cylindriske, azimutale og koniske.

Cylindrisk kaldes projektioner, hvor et netværk af meridianer og paralleller fra overfladen af ​​ellipsoiden overføres til sidefladen af ​​en tangent (eller sekant) cylinder, og derefter skæres cylinderen langs generatricen og foldes ud til et plan (fig. 6) ).

Fig.6. Normal cylindrisk fremspring

Forvrængning er fraværende på tangency-linjen og er minimal i nærheden af ​​den. Hvis cylinderen er sekant, så er der to tangenslinjer, hvilket betyder 2 LNI. Forvrængning mellem LNI'er er minimal.

Afhængigt af cylinderens orientering i forhold til aksen af ​​jordens ellipsoide skelnes projektioner:

- normal, når cylinderens akse falder sammen med den lille akse af jordens ellipsoide; meridianer i dette tilfælde er lige langt parallelle linjer, og paralleller er lige linjer vinkelret på dem;

– tværgående, når cylinderaksen ligger i ækvatorialplanet; gittertype: den midterste meridian og ækvator er indbyrdes vinkelrette rette linjer, de resterende meridianer og paralleller er buede linjer (fig. c).

– skrå, når cylinderens akse danner en spids vinkel med ellipsoidens akse; i skrå cylindriske fremspring er meridianer og paralleller buede linjer.

Azimuthal kaldes projektioner, hvor netværket af meridianer og paralleller overføres fra ellipsoidens overflade til tangent- (eller sekantplanet) (fig. 7).

Ris. 7. Normal azimutal projektion

Billedet nær tangenspunktet (eller snitlinjen) af planet af jordens ellipsoide er næsten ikke forvrænget overhovedet. Tangentpunktet er punktet med nul forvrængning.

Afhængigt af positionen af ​​planets tangenspunkt på overfladen af ​​jordens ellipsoide skelnes der mellem azimutale projektioner:

– normal eller polær, når flyet rører jorden ved en af ​​polerne; type gitter: meridianer - lige linjer, der divergerer radialt fra polen, paralleller - koncentriske cirkler med centre ved polen (fig. 7);

– tværgående eller ækvatorial, når flyet berører ellipsoiden ved et af ækvatorpunkterne; gittertype: den midterste meridian og ækvator er indbyrdes vinkelrette rette linjer, de resterende meridianer og paralleller er buede linjer (i nogle tilfælde er paralleller afbildet som rette linjer;

– skrå eller vandret, når flyet berører ellipsoiden på et tidspunkt, der ligger mellem polen og ækvator. I skrå projektioner er kun den midterste meridian, som tangentpunktet er placeret på, en ret linje, de resterende meridianer og paralleller er buede linjer.

Konisk kaldes projektioner, hvor netværket af meridianer og paralleller fra overfladen af ​​ellipsoiden overføres til den laterale overflade af tangenten (eller sekant)keglen (fig. 8).

Ris. 8. Normal konisk fremspring

Forvrængninger er lidt mærkbare langs tangenslinjen eller to tværsnitslinjer af keglen af ​​jordens ellipsoide, som er linje(r) med nul forvrængning af LNI. Ligesom cylindriske koniske fremspring er de opdelt i:

- normal, når keglens akse falder sammen med den lille akse af jordens ellipsoide; Meridianer i disse projektioner er repræsenteret af lige linjer, der divergerer fra keglens spids, og paralleller af buer af koncentriske cirkler.

– tværgående, når keglens akse ligger i ækvatorplanet; gittertype: den midterste meridian og tangens parallel er indbyrdes vinkelrette rette linjer, de resterende meridianer og paralleller er buede linjer;

– skrå, når keglens akse danner en spids vinkel med ellipsoidens akse; i skrå koniske projektioner er meridianer og paralleller buede linjer.

I normale cylindriske, azimutale og koniske projektioner er kortgitteret ortogonalt - meridianer og paralleller skærer hinanden i rette vinkler, hvilket er et af de vigtige diagnostiske træk ved disse projektioner.

Hvis der ved opnåelse af cylindriske, azimutale og koniske projektioner anvendes en geometrisk metode (lineær projektion af en hjælpeflade på et plan), så kaldes sådanne projektioner henholdsvis perspektivcylindrisk, perspektivazimutalt (almindeligt perspektiv) og perspektivkonisk. .

Polykonisk kaldes projektioner, hvor et netværk af meridianer og paralleller fra overfladen af ​​en ellipsoide overføres til laterale overflader af flere kegler, som hver skæres langs en generatrix og foldes ud til et plan. I polykoniske projektioner er paralleller afbildet som buer af excentriske cirkler, den centrale meridian er en lige linje, alle andre meridianer er buede linjer symmetriske i forhold til den centrale.

Betinget kaldes fremspring, hvis konstruktion ikke tyer til brugen af ​​hjælpegeometriske overflader. Et netværk af meridianer og paralleller er bygget i henhold til en forudbestemt tilstand. Blandt de betingede fremskrivninger kan vi skelne pseudocylindrisk, pseudo-azimuth Og pseudokonisk fremspring, der bevarer udseendet af paralleller fra de oprindelige cylindriske, azimutale og koniske fremspring. I disse fremskrivninger den midterste meridian er en ret linje, de resterende meridianer er buede linjer.

Til betinget fremskrivninger omfatter også polyedriske fremspring , som opnås ved at projicere et polyeder på overfladen, der berører eller skærer jordens ellipsoide. Hver flade er en ligesidet trapez (mindre almindeligt, sekskanter, firkanter, romber). En række polyedriske fremspring er flersporede projektioner , og strimlerne kan skæres langs både meridianer og paralleller. Sådanne projektioner er fordelagtige ved, at forvrængningen inden for hver flade eller stribe er meget lille, så de bruges altid til kort med flere ark. Den største ulempe ved polyedriske fremspring er umuligheden af ​​at kombinere en blok af kortark til fælles rammer uden pauser.

I praksis er opdelingen efter territorial dækning værdifuld. Ved territorial dækning kortprojektioner er afsat til kort over verden, halvkugler, kontinenter og oceaner, kort over individuelle stater og deres dele. Efter dette princip Tabeller-determinanter for kartografiske projektioner blev konstrueret. Udover, sidste gang Der gøres forsøg på at udvikle genetiske klassifikationer af kortprojektioner baseret på formen af ​​differentialligninger, der beskriver dem. Disse klassifikationer dækker hele det mulige sæt af fremskrivninger, men er ekstremt uklare, pga er ikke relateret til typen af ​​gitter af meridianer og paralleller.