Find antiderivative eksempler. Antiderivat af funktion og generelt udseende

Jobtype: 7
Emne: Antiderivat af funktion

Tilstand

Figuren viser en graf over funktionen y=f(x) (som er en brudt linje, der består af tre lige segmenter). Beregn ved hjælp af figuren F(9)-F(5), hvor F(x) er en af antiderivaterne af funktionen f(x).

Vis løsning

Løsning

Ifølge Newton-Leibniz-formlen er forskellen F(9)-F(5), hvor F(x) er en af antiderivaterne af funktionen f(x), lig med arealet af den krumlinjede trapez-begrænsede ved grafen for funktionen y=f(x), rette linjer y=0 , x=9 og x=5. Fra grafen bestemmer vi, at det angivne buede trapez er et trapez med baser lig med 4 og 3 og højde 3.

Dens areal er lige stor \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Svar

Jobtype: 7
Emne: Antiderivat af funktion

Tilstand

Figuren viser en graf over funktionen y=F(x) - en af antiderivaterne af en eller anden funktion f(x) defineret på intervallet (-5; 5). Bestem ved hjælp af figuren antallet af løsninger til ligningen f(x)=0 på segmentet [-3; 4].

Vis løsning

Løsning

Ifølge definitionen af et antiderivat gælder ligheden: F"(x)=f(x). Derfor kan ligningen f(x)=0 skrives som F"(x)=0. Da figuren viser grafen for funktionen y=F(x), skal vi finde disse punkter i intervallet [-3; 4], hvor den afledede af funktionen F(x) er lig nul. Det fremgår tydeligt af figuren, at disse vil være abscissen af yderpunkterne (maksimum eller minimum) af F(x) grafen. Der er nøjagtig 7 af dem i det angivne interval (fire minimumspoint og tre maksimumpoint).

Svar

Kilde: “Matematik. Forberedelse til Unified State-eksamen 2017. Profilniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtype: 7
Emne: Antiderivat af funktion

Tilstand

Figuren viser en graf over funktionen y=f(x) (som er en brudt linje, der består af tre lige segmenter). Ved hjælp af figuren beregnes F(5)-F(0), hvor F(x) er en af antiderivaterne af funktionen f(x).

Vis løsning

Løsning

Ifølge Newton-Leibniz-formlen er forskellen F(5)-F(0), hvor F(x) er en af antiderivaterne af funktionen f(x), lig med arealet af den krumlinede trapez-begrænsede ved grafen for funktionen y=f(x), rette linjer y=0 , x=5 og x=0. Fra grafen bestemmer vi, at det angivne buede trapez er et trapez med baser lig med 5 og 3 og højde 3.

Dens areal er lige stor \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Svar

Kilde: “Matematik. Forberedelse til Unified State-eksamen 2017. Profilniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtype: 7
Emne: Antiderivat af funktion

Tilstand

Figuren viser en graf over funktionen y=F(x) - en af antiderivaterne af en eller anden funktion f(x), defineret på intervallet (-5; 4). Bestem ved hjælp af figuren antallet af løsninger til ligningen f (x) = 0 på segmentet (-3; 3].

Vis løsning

Løsning

Det fremgår tydeligt af figuren, at disse vil være abscissen af yderpunkterne (maksimum eller minimum) af F(x) grafen. Der er præcis 5 af dem i det angivne interval (to minimumspoint og tre maksimumspoint).

Svar

Kilde: “Matematik. Forberedelse til Unified State-eksamen 2017. Profilniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtype: 7
Emne: Antiderivat af funktion

Tilstand

Figuren viser en graf for en eller anden funktion y=f(x). Funktionen F(x)=-x^3+4,5x^2-7 er en af antiderivaterne af funktionen f(x).

Find området af den skraverede figur.

Vis løsning

Løsning

Den skraverede figur er buet trapez, afgrænset ovenfra af grafen for funktionen y=f(x), af de rette linjer y=0, x=1 og x=3. Ifølge Newton-Leibniz formlen er dens areal S lig med forskellen F(3)-F(1), hvor F(x) er antiderivatet af funktionen f(x) specificeret i betingelsen. Derfor S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Svar

Kilde: “Matematik. Forberedelse til Unified State-eksamen 2017. Profilniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtype: 7
Emne: Antiderivat af funktion

Tilstand

Figuren viser en graf for en eller anden funktion y=f(x). Funktionen F(x)=x^3+6x^2+13x-5 er en af antiderivaterne af funktionen f(x). Find området af den skraverede figur.

Mål:

Dannelse af begrebet antiderivat.
Forberedelse til opfattelsen af integralet.
Dannelse af computerfærdigheder.
At dyrke en følelse af skønhed (evnen til at se skønhed i det usædvanlige).

Matematisk analyse er et sæt grene af matematik, der er viet til studiet af funktioner og deres generaliseringer ved metoder til differential- og integralregning.

Indtil nu har vi studeret en gren af matematisk analyse kaldet differentialregning, hvis essens er studiet af en funktion i det "små".

De der. undersøgelse af en funktion i tilstrækkeligt små kvarterer af hvert definitionspunkt. En af differentieringsoperationerne er at finde den afledede (differentiel) og anvende den til studiet af funktioner.

Det omvendte problem er ikke mindre vigtigt. Hvis adfærden af en funktion i nærheden af hvert punkt i dens definition er kendt, hvordan kan man så rekonstruere funktionen som helhed, dvs. gennem hele dens definition. Dette problem er genstand for undersøgelse af den såkaldte integralregning.

Integration er den omvendte handling af differentiering. Eller gendannelse af funktionen f(x) fra en given afledt f`(x). latinske ord"Integro" betyder restaurering.

Eksempel nr. 1.

Lad (x)`=3x2.
Lad os finde f(x).

Løsning:

Ud fra differentieringsreglen er det ikke svært at gætte, at f(x) = x 3, fordi (x 3)` = 3x 2
Du kan dog nemt bemærke, at f(x) ikke findes entydigt.
Som f(x) kan vi tage
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 osv.

Fordi den afledede af hver af dem er lig med 3x2. (Den afledte af en konstant er 0). Alle disse funktioner adskiller sig fra hinanden ved et konstant led. Derfor fælles beslutning opgaven kan skrives på formen f(x)= x 3 +C, hvor C er et hvilket som helst konstant reelt tal.

Enhver af de fundne funktioner f(x) kaldes PRIMODIUM for funktionen F`(x)= 3x 2

Definition. En funktion F(x) kaldes antiderivat for en funktion f(x) på et givet interval J hvis for alle x fra dette interval F`(x)= f(x). Så funktionen F(x)=x 3 er antiderivativ for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞).
Da for alle x ~R er ligheden sand: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Som vi allerede har bemærket, har denne funktion et uendeligt antal antiderivater (se eksempel nr. 1).

Eksempel nr. 2. Funktionen F(x)=x er antiafledt for alle f(x)= 1/x i intervallet (0; +), fordi for alle x fra dette interval gælder lighed.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Eksempel nr. 3. Funktionen F(x)=tg3x er en antiderivat for f(x)=3/cos3x i intervallet (-n/ 2; P/ 2),
fordi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Eksempel nr. 4. Funktionen F(x)=3sin4x+1/x-2 er antiderivativ for f(x)=12cos4x-1/x 2 i intervallet (0;∞)
fordi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Foredrag 2.

Emne: Antiderivat. Hovedegenskaben ved en antiderivatfunktion.

Når vi studerer antiderivatet, vil vi stole på følgende erklæring. Tegn for en funktions konstantitet: Hvis på intervallet J den afledede Ψ(x) af funktionen er lig med 0, så er funktionen Ψ(x) konstant på dette interval.

Dette udsagn kan demonstreres geometrisk.

Det er kendt, at Ψ`(x)=tgα, γde α er hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen Ψ(x) i punktet med abscisse x 0. Hvis Ψ`(υ)=0 på et hvilket som helst punkt i intervallet J, så tanα=0 δfor enhver tangent til grafen for funktionen Ψ(x). Det betyder, at tangenten til funktionens graf i ethvert punkt er parallel med abscisseaksen. Derfor falder grafen for funktionen Ψ(x) på det angivne interval sammen med det rette linjestykke y=C.

Så funktionen f(x)=c er konstant på intervallet J, hvis f`(x)=0 på dette interval.

Faktisk, for en vilkårlig x 1 og x 2 fra intervallet J, ved at bruge sætningen om middelværdien af en funktion, kan vi skrive:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), fordi f`(c)=0, derefter f(x 2)= f(x 1)

Sætning: (Hovedegenskaben ved den antiderivative funktion)

Hvis F(x) er en af antiderivaterne for funktionen f(x) på intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.

Bevis:

Lad F`(x) = f (x), derefter (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), for x Є J.
Antag, at der findes Φ(x) - en anden antiderivat for f (x) på intervallet J, dvs. Φ`(x) = f (x),
derefter (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, for x Є J.
Det betyder, at Φ(x) - F(x) er konstant på intervallet J.
Derfor er Φ(x) - F(x) = C.
Fra hvor Φ(x)= F(x)+C.
Det betyder, at hvis F(x) er en antiafledning for en funktion f (x) i intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.
Følgelig adskiller to antiderivater af en given funktion sig fra hinanden med et konstant led.

Eksempel: Find mængden af antiderivater af funktionen f (x) = cos x. Tegn grafer over de første tre.

Løsning: Sin x er en af antiderivaterne for funktionen f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – mængden af alle antiderivater.

Fi (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F3 (x) = Sin x+1

Geometrisk illustration: Grafen for ethvert antiderivat F(x)+C kan fås fra grafen for antiderivatet F(x) under anvendelse af parallel overførsel af r (0;c).

Eksempel: For funktionen f (x) = 2x, find en antiderivativ, hvis graf går gennem t.M (1;4)

Løsning: F(x)=x 2 +C – mængden af alle antiderivater, F(1)=4 – i henhold til problemets betingelser.
Derfor er 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivat.

Antiderivatet er let at forstå med et eksempel.

Lad os tage funktionen y = x 3. Som vi ved fra de foregående afsnit, er den afledte af x 3 er 3 x 2:

(x 3)" = 3x 2 .

Derfor fra funktionen y = x 3 får vi ny funktion: på = 3x 2 .
Billedligt talt funktionen på = x 3 produceret funktion på = 3x 2 og er dens "forælder". I matematik er der ikke noget ord "forælder", men der er et beslægtet begreb: antiderivativ.

Altså: funktion y = x 3 er et antiderivat af funktionen på = 3x 2 .

Definition af antiderivat:

I vores eksempel ( x 3)" = 3x 2 derfor y = x 3 – antiderivat til på = 3x 2 .

Integration.

Som bekendt er processen med at finde derivatet mhp givet funktion kaldes differentiering. Og den omvendte operation kaldes integration.

Eksempel-forklaring:

på = 3x 2 + synd x.

Løsning :

Vi ved, at antiderivatet for 3 x 2 er x 3 .

Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi tilføjer to antiderivater og får antiderivatet for den givne funktion:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 - cos x.

Svar :
til funktion på = 3x 2 + synd x y = x 3 - cos x.

Eksempel-forklaring:

Lad os finde et antiderivat for funktionen på= 2 synd x.

Løsning :

Vi bemærker, at k = 2. Antiderivatet for synd x er –cos x.

Derfor for funktionen på= 2 synd x antiderivatet er funktionen på= –2cos x.
Koefficient 2 i funktionen y = 2 sin x svarer til koefficienten for det antiderivat, hvorfra denne funktion blev dannet.

Eksempel-forklaring:

Lad os finde et antiderivat for funktionen y= synd 2 x.

Løsning :

Det bemærker vi k= 2. Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi anvender vores formel til at finde funktionens antiderivat y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

for 2 x
y = – ----
2

for 2 x
Svar: for en funktion y= synd 2 x antiderivatet er funktionen y = – ----
2

(4)

Eksempel-forklaring.

Lad os tage funktionen fra det forrige eksempel: y= synd 2 x.

Til denne funktion har alle antiderivater formen:

for 2 x
y = – ---- + C.
2

Forklaring.

Lad os tage den første linje. Det lyder sådan her: hvis funktionen y = f( x) er 0, så er dens antiderivat 1. Hvorfor? Fordi den afledede af enhed er nul: 1" = 0.

De resterende linjer læses i samme rækkefølge.

Hvordan skriver man data fra en tabel? Lad os tage linje otte:

(-cos x)" = synd x

Vi skriver anden del med afledt fortegn, derefter lighedstegnet og afledt.

Vi læser: antiderivat for funktioner synd x er -cos-funktionen x.

Eller: funktion -cos x er antiderivat for funktionen sin x.

Tidligere, givet en given funktion, styret af forskellige formler og regler, fandt vi dens afledte. Afledten har adskillige anvendelser: det er bevægelseshastigheden (eller mere generelt hastigheden af enhver proces); hældning tangent til grafen for en funktion; ved hjælp af den afledede kan du undersøge en funktion for monotonicitet og ekstrema; det hjælper med at løse optimeringsproblemer.

Men sammen med problemet med at finde hastigheden efter en kendt bevægelseslov, er der også et omvendt problem - problemet med at genoprette bevægelsesloven i henhold til en kendt hastighed. Lad os overveje et af disse problemer.

Eksempel 1. Bevæger sig i en lige linje materiale punkt, hastigheden af dens bevægelse på tidspunktet t er givet ved formlen v=gt. Find bevægelsesloven.
Løsning. Lad s = s(t) være den ønskede bevægelseslov. Det er kendt, at s"(t) = v(t). Det betyder, at man for at løse problemet skal vælge en funktion s = s(t), hvis afledte er lig med gt. Det er ikke svært at gætte at $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \venstre(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Svar: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Lad os straks bemærke, at eksemplet er løst korrekt, men ufuldstændigt. Vi fik $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Faktisk har problemet uendeligt mange løsninger: enhver funktion af formen $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, hvor C er en vilkårlig konstant, kan tjene som en lov for bevægelse, da $\venstre (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

For at gøre problemet mere specifikt var vi nødt til at rette op på startsituationen: Angiv koordinaten for et bevægende punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t = 0. Hvis f.eks. s(0) = s 0, så fra lighed s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs. C = s 0. Nu er bevægelsesloven entydigt defineret: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

I matematik tildeles gensidige operationer forskellige navne, kom med specielle notationer, for eksempel: kvadrering (x 2) og udtrækning kvadrat rod($\sqrt(x) $), sinus (sin x) og arcsine (arcsin x) osv. Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes differentiering, og den omvendte operation, altså processen med at finde en funktion fra en given afledet, er integration.

Selve udtrykket "afledt" kan retfærdiggøres "i dagligdags termer": funktionen y = f(x) "føder" en ny funktion y" = f"(x). Funktionen y = f(x) fungerer som en "forælder", men matematikere kalder den naturligvis ikke en "forælder" eller "producent", de siger, at den er, i forhold til funktionen y" = f"(; x) , primært billede eller primitivt.

Definition. Funktionen y = F(x) kaldes antiderivat for funktionen y = f(x) på intervallet X, hvis ligheden F"(x) = f(x) gælder for $x \i X$

I praksis er intervallet X normalt ikke specificeret, men underforstået (som det naturlige definitionsdomæne for funktionen).

Lad os give eksempler.
1) Funktionen y = x 2 er antiafledt for funktionen y = 2x, da for enhver x er ligheden (x 2)" = 2x sand
2) Funktionen y = x 3 er antiafledt for funktionen y = 3x 2, da for enhver x er ligheden (x 3)" = 3x 2 sand
3) Funktionen y = sin(x) er antiafledt for funktionen y = cos(x), da for enhver x er ligheden (sin(x))" = cos(x) sand

Når man finder antiderivater, såvel som derivater, bruges ikke kun formler, men også nogle regler. De er direkte relateret til de tilsvarende regler for beregning af derivater.

Vi ved, at den afledte sum er lig med summen af dens afledte. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af antiderivaterne.

Vi ved, at konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 2. Hvis F(x) er et antiderivat for f(x), så er kF(x) et antiderivat for kf(x).

Sætning 1. Hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så er den antiafledede for funktionen y = f(kx + m) funktionen $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Sætning 2. Hvis y = F(x) er en antiafledning for funktionen y = f(x) på intervallet X, så har funktionen y = f(x) uendeligt mange antiderivater, og de har alle formen y = F(x) + C.

Integrationsmetoder

Variabel erstatningsmetode (substitutionsmetode)

Metoden til integration ved substitution involverer at indføre en ny integrationsvariabel (det vil sige substitution). I dette tilfælde reduceres det givne integral til et nyt integral, som er tabelformet eller kan reduceres til det. Der er ingen generelle metoder til at vælge substitutioner. Evnen til korrekt at bestemme substitution opnås gennem praksis.
Lad det være nødvendigt at beregne integralet $\tekststil \int F(x)dx $. Lad os lave substitutionen $x= \varphi(t) $ hvor $\varphi(t) $ er en funktion, der har en kontinuert afledet.
Derefter $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ og baseret på invariansegenskaben for integrationsformlen for det ubestemte integral, får vi integrationsformlen ved substitution:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Integration af udtryk af formen $\tekststil \int \sin^n x \cos^m x dx $

Hvis m er ulige, m > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen sin x = t.
Hvis n er ulige, n > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen cos x = t.
Hvis n og m er lige, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen tg x = t.

Integration af dele

Integration af dele - anvendelse af følgende formel for integration:
$\tekststil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
eller:
$\tekststil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Tabel over ubestemte integraler (antiderivater) af nogle funktioner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$ Dokument

Nogle interval X. Hvis Til enhver xХ F"(x) = f(x), så fungere F hedderantiderivatTilfunktioner f i intervallet X. AntiderivatTilfunktioner du kan prøve at finde...

Antiderivat for funktion

Dokument

... . Fungere F(x) hedderantiderivatTilfunktioner f(x) på intervallet (a;b), if Til alle x(a;b) gælder ligheden F(x) = f(x). For eksempel, Tilfunktioner x2 antiderivat vilje fungere x3...

Fundamentals of Integral Calculus Study Guide

Tutorial

... ; 5. Find integralet. ; B); C); D); 6. Fungerehedderantiderivat Til funktioner på et sæt hvis: Til alle sammen; på et tidspunkt; Til alle sammen; med et eller andet interval. Definition 1. FungerehedderantiderivatTilfunktioner på mange...

Antiderivat Ubestemt integral

Dokument

Integration. Antiderivat. Sammenhængende fungere F(x) hedderantiderivatTilfunktioner f (x) på intervallet X if Til hver F' (x) = f (x). EKSEMPEL Fungere F(x) = x 3 er antiderivatTilfunktioner f(x) = 3x...