Tangent er en ret linje, der går gennem et punkt på kurven og falder sammen med det på dette punkt op til første orden (fig. 1).

En anden definition: dette er begrænsningspositionen for sekanten ved Δ x→0.

Forklaring: Tag en lige linje, der skærer kurven i to punkter: EN Og b(se billedet). Dette er en sekant. Vi vil rotere den med uret, indtil den kun finder ét fælles punkt med kurven. Dette vil give os en tangent.

Strenge definition af tangent:

Tangent til grafen for en funktion f, differentierbar på punktet xO, er en ret linje, der går gennem punktet ( xO; f(xO)) og har en hældning f′( xO).

Skråningen har en lige linje af formen y =kx +b. Koefficient k og er hældning denne lige linje.

Hældningsfaktor lig med tangent spids vinkel, dannet af denne rette linje med abscisseaksen:

k = tan α

Her er vinkel α vinklen mellem den rette linje y =kx +b og positiv (det vil sige mod uret) retning af x-aksen. Det hedder hældningsvinkel for en ret linje(fig. 1 og 2).

Hvis hældningsvinklen er lige y =kx +b akut, så er hældningen positivt tal. Grafen er stigende (fig. 1).

Hvis hældningsvinklen er lige y =kx +b er stump, så er hældningen et negativt tal. Grafen er faldende (fig. 2).

Hvis den rette linje er parallel med x-aksen, så er hældningsvinklen på den rette linje nul. I dette tilfælde er linjens hældning også nul (da tangenten til nul er nul). Ligningen for den rette linje vil se ud som y = b (fig. 3).

Hvis hældningsvinklen for en ret linje er 90º (π/2), dvs. den er vinkelret på abscisseaksen, så er den rette linje givet af ligheden x =c, Hvor c– et reelt tal (fig. 4).

Ligning for tangenten til grafen for en funktiony = f(x) på et tidspunkt xO:

Eksempel: Find ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 på punktet med abscisse 2.

Løsning.

Vi følger algoritmen.

1) Berøringspunkt xO er lig med 2. Beregn f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Find f′( x). For at gøre dette anvender vi differentieringsformlerne skitseret i det foregående afsnit. Ifølge disse formler, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Betyder:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Brug nu den resulterende værdi f′( x), beregne f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Så vi har alle de nødvendige data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Indsæt disse tal i tangentligningen og find den endelige løsning:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Svar: y = 4x – 7.

Instruktioner

Vi bestemmer vinkelkoefficienten for tangenten til kurven i punktet M.
Kurven, der repræsenterer grafen for funktionen y = f(x) er kontinuert i et bestemt område af punktet M (inklusive selve punktet M).

Hvis værdien f'(x0) ikke eksisterer, er der enten ingen tangent, eller også løber den lodret. I lyset af dette skyldes tilstedeværelsen af ​​en afledet af funktionen i punktet x0 eksistensen af ​​en ikke-lodret tangent til funktionens graf i punktet (x0, f(x0)). I dette tilfælde vil tangentens vinkelkoefficient være lig med f "(x0). Således bliver det klart geometrisk betydning afledet – beregning af tangentens hældning.

Find abscisseværdien af ​​tangentpunktet, som er angivet med bogstavet "a". Hvis det falder sammen med et givet tangentpunkt, så vil "a" være dets x-koordinat. Bestem værdien funktioner f(a) ved at substituere i ligningen funktioner abscisse værdi.

Bestem den første afledede af ligningen funktioner f'(x) og indsæt værdien af ​​punkt "a" i det.

Tage generel ligning tangent, som er defineret som y = f(a) = f (a)(x – a), og erstatte de fundne værdier af a, f(a), f "(a) i den. Som et resultat, løsningen til grafen og tangenten vil blive fundet.

Løs opgaven på en anden måde, hvis det givne tangentpunkt ikke falder sammen med tangentpunktet. I dette tilfælde er det nødvendigt at erstatte "a" i stedet for tal i tangentligningen. Derefter erstatter du værdien af ​​koordinaterne for det givne punkt i stedet for bogstaverne "x" og "y". Løs den resulterende ligning, hvor "a" er det ukendte. Sæt den resulterende værdi ind i tangentligningen.

Skriv en ligning for en tangent med bogstavet "a", hvis problemformuleringen specificerer ligningen funktioner og ligning parallel linje i forhold til den ønskede tangent. Efter dette har vi brug for den afledte funktioner, til koordinaten i punkt "a". Indsæt den passende værdi i tangentligningen og løs funktionen.

I denne artikel vil vi analysere alle typer problemer for at finde

Lad os huske geometrisk betydning af afledt: hvis en tangent tegnes til grafen for en funktion i et punkt, så er hældningskoefficienten for tangenten (lig med tangenten af ​​vinklen mellem tangenten og den positive retning af aksen) lig med den afledede af funktionen på punktet.

Lad os tage et vilkårligt punkt på tangenten med koordinater:

Og overveje retvinklet trekant :

I denne trekant

Herfra

Dette er ligningen for tangenten tegnet til grafen for funktionen i punktet.

For at skrive tangentligningen behøver vi kun at kende funktionens ligning og det punkt, hvor tangenten er tegnet. Så kan vi finde og .

Der er tre hovedtyper af tangentligningsproblemer.

1. Givet et kontaktpunkt

2. Tangenthældningskoefficienten er givet, det vil sige værdien af ​​den afledede af funktionen i punktet.

3. Givet er koordinaterne for det punkt, som tangenten trækkes igennem, men som ikke er tangenspunktet.

Lad os se på hver type opgave.

1. Skriv ligningen for tangenten til grafen for funktionen på punktet .

.

b) Find værdien af ​​den afledte i punkt . Lad os først finde den afledede af funktionen

Lad os erstatte de fundne værdier i tangentligningen:

Lad os åbne parenteserne i højre side af ligningen. Vi får:

Svar: .

2. Find abscissen af ​​de punkter, hvor funktionerne tangerer grafen parallelt med x-aksen.

Hvis tangenten er parallel med x-aksen, derfor er vinklen mellem tangenten og den positive retning af aksen nul, derfor er tangenten til tangentvinklen nul. Det betyder, at værdien af ​​den afledede af funktionen ved tangenspunkterne er nul.

a) Find den afledede af funktionen.

b) Lad os sidestille den afledede til nul og finde de værdier, hvor tangenten er parallel med aksen:

Ved at sidestille hver faktor med nul får vi:

Svar: 0;3;5

3. Skriv ligninger for tangenter til grafen for en funktion , parallel direkte .

En tangent er parallel med en linje. Hældningen af ​​denne linje er -1. Da tangenten er parallel med denne linje, er hældningen af ​​tangenten derfor også -1. Det vil sige vi kender tangentens hældning, og dermed afledt værdi ved tangenspunktet.

Dette er den anden type problem for at finde tangentligningen.

Så vi får givet funktionen og værdien af ​​den afledte på tangenspunktet.

a) Find de punkter, hvor den afledede af funktionen er lig med -1.

Lad os først finde den afledede ligning.

Lad os sidestille den afledede med tallet -1.

Lad os finde værdien af ​​funktionen ved punktet.

(efter tilstand)

.

b) Find ligningen for tangenten til grafen for funktionen i punktet .

Lad os finde værdien af ​​funktionen ved punktet.

(efter betingelse).

Lad os erstatte disse værdier i tangentligningen:

.

Svar:

4. Skriv ligningen for tangenten til kurven , passerer gennem et punkt

Lad os først kontrollere, om punktet er et tangentpunkt. Hvis et punkt er et tangentpunkt, så hører det til funktionens graf, og dets koordinater skal opfylde funktionens ligning. Lad os erstatte punktets koordinater i funktionens ligning.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negativt tal, ligheden er ikke sand, og punktet hører ikke til grafen for funktionen og er ikke et kontaktpunkt.

Dette er den sidste type opgave til at finde tangentligningen. Først og fremmest vi skal finde abscissen af ​​tangentpunktet.

Lad os finde værdien.

Lad være kontaktpunktet. Punktet hører til tangenten til funktionens graf. Hvis vi erstatter koordinaterne for dette punkt i tangentligningen, får vi den korrekte lighed:

.

Værdien af ​​funktionen i et punkt er .

Lad os finde værdien af ​​den afledede af funktionen i punktet.

Lad os først finde den afledede af funktionen. Dette .

Den afledte i et punkt er lig med .

Lad os erstatte udtrykkene med og ind i tangentligningen. Vi får ligningen for:

Lad os løse denne ligning.

Reducer brøkens tæller og nævner med 2:

Lad os bringe den rigtige side af ligningen til en fællesnævner. Vi får:

Lad os forenkle brøkens tæller og gange begge sider med - dette udtryk er strengt taget større end nul.

Vi får ligningen

Lad os løse det. For at gøre dette, lad os firkante begge dele og gå videre til systemet.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Lad os løse den første ligning.

Lad os bestemme andengradsligning, får vi

Den anden rod opfylder ikke betingelsen title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Lad os skrive ligningen for tangenten til kurven i punktet. For at gøre dette skal du erstatte værdien i ligningen - Vi har allerede optaget det.

Svar:
.

På moderne scene udvikling af uddannelse, en af ​​dens hovedopgaver er dannelsen af ​​en kreativt tænkende personlighed. Evnen til kreativitet hos eleverne kan kun udvikles, hvis de systematisk er involveret i det grundlæggende i forskningsaktiviteter. Grundlaget for, at eleverne kan bruge deres kreative kræfter, evner og talenter, er dannet fuldgyldig viden og færdigheder. I denne henseende er problemet med at danne et system grundlæggende viden og færdigheder for hvert emne skoleforløb matematik er af ikke ringe betydning. Samtidig bør fuldgyldige færdigheder ikke være det didaktiske mål for individuelle opgaver, men for et nøje gennemtænkt system af dem. I bredeste forstand forstås et system som et sæt af indbyrdes forbundne interagerende elementer med integritet og en stabil struktur.

Lad os overveje en teknik til at lære eleverne at skrive en ligning for en tangent til grafen for en funktion. I det væsentlige kommer alle problemer med at finde tangentligningen ned på behovet for at vælge fra et sæt (bundt, familie) af linjer dem, der opfylder et bestemt krav - de tangerer grafen for en bestemt funktion. I dette tilfælde kan det sæt af linjer, hvorfra valget udføres, specificeres på to måder:

a) et punkt, der ligger på xOy-planet (central blyant af linjer);
b) vinkelkoefficient (parallel stråle af rette linjer).

I denne henseende, når vi studerede emnet "Tangent til grafen for en funktion" for at isolere elementerne i systemet, identificerede vi to typer problemer:

1) tangentproblemer, givet af punktet, hvorigennem den passerer;
2) problemer på en tangent givet ved dens hældning.

Træning i at løse tangentproblemer blev udført ved hjælp af algoritmen foreslået af A.G. Mordkovich. Hans grundlæggende forskel fra de allerede kendte er, at tangenspunktets abscisse er angivet med bogstavet a (i stedet for x0), og derfor har tangentens ligning formen

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(sammenlign med y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Dette metodisk teknik, efter vores mening, giver eleverne mulighed for hurtigt og nemt at forstå, hvor i den generelle tangentligning koordinaterne for det aktuelle punkt er skrevet, og hvor tangentpunkterne er.

Algoritme til at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y = f(x)

1. Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet a.
2. Find f(a).
3. Find f "(x) og f "(a).
4. Erstat de fundne tal a, f(a), f "(a) i den generelle tangentligning y = f(a) = f "(a)(x – a).

Denne algoritme kan kompileres på grundlag af elevernes uafhængige identifikation af operationer og rækkefølgen af ​​deres implementering.

Praksis har vist, at den sekventielle løsning af hvert af nøgleproblemerne ved hjælp af en algoritme giver dig mulighed for at udvikle færdighederne til at skrive ligningen for en tangent til grafen for en funktion i etaper, og trinene i algoritmen tjener som referencepunkter for handlinger . Denne tilgang er i overensstemmelse med teorien gradvis dannelse mentale handlinger, udviklet af P.Ya. Galperin og N.F. Talyzina.

I den første type opgaver blev to nøgleopgaver identificeret:

• tangenten passerer gennem et punkt, der ligger på kurven (opgave 1);
• tangenten går gennem et punkt, der ikke ligger på kurven (opgave 2).

Opgave 1. Skriv en ligning for tangenten til funktionens graf ved punkt M(3; – 2).

Løsning. Punkt M(3; – 2) er et tangentpunkt, da

1. a = 3 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentligning.

Opgave 2. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = – x 2 – 4x + 2, der går gennem punktet M(– 3; 6).

Løsning. Punkt M(– 3; 6) er ikke et tangentpunkt, da f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangentligning.

Tangenten passerer gennem punktet M(– 3; 6), derfor opfylder dens koordinater tangentligningen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Hvis a = – 4, så er tangentligningen y = 4x + 18.

Hvis a = – 2, så har tangentligningen formen y = 6.

I den anden type vil nøgleopgaverne være følgende:

• tangenten er parallel med en linje (opgave 3);
• tangenten passerer i en bestemt vinkel til den givne linje (opgave 4).

Opgave 3. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = x 3 – 3x 2 + 3, parallelt med linjen y = 9x + 1.

1. a – abscisse af tangentpunktet.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Men på den anden side er f "(a) = 9 (parallelismebetingelse). Det betyder, at vi skal løse ligningen 3a 2 – 6a = 9. Dens rødder er a = – 1, a = 3 (fig. 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – tangentligning;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangentligning.

Opgave 4. Skriv tangentens ligning til grafen for funktionen y = 0,5x 2 – 3x + 1, idet den passerer i en vinkel på 45° til den rette linje y = 0 (fig. 4).

Løsning. Fra betingelsen f "(a) = tan 45° finder vi a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangentligning.

Det er nemt at vise, at løsningen på ethvert andet problem kommer ned til at løse et eller flere nøgleproblemer. Betragt følgende to problemer som et eksempel.

1. Skriv ligningerne for tangenterne til parablen y = 2x 2 – 5x – 2, hvis tangenterne skærer hinanden vinkelret og en af ​​dem rører parablen i punktet med abscisse 3 (fig. 5).

Løsning. Da tangenspunktets abscisse er givet, er den første del af løsningen reduceret til nøgleproblem 1.

1. a = 3 – abscisse af tangenspunktet på en af ​​siderne ret vinkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ligning for den første tangent.

Lad a være hældningsvinklen for den første tangent. Da tangenterne er vinkelrette, så er hældningsvinklen for den anden tangent. Fra ligningen y = 7x – 20 af den første tangent har vi tg a = 7. Lad os finde

Det betyder, at hældningen af ​​den anden tangent er lig med .

Den videre løsning kommer ned til nøgleopgave 3.

Lad så B(c; f(c)) være tangenspunktet for den anden linje

1. – abscisse af det andet tangenspunkt.
2.
3.
4.
– ligning for den anden tangent.

Note. Tangens vinkelkoefficient kan lettere findes, hvis eleverne kender forholdet mellem koefficienterne for vinkelrette linjer k 1 k 2 = – 1.

2. Skriv ligningerne for alle fælles tangenter til graferne for funktioner

Løsning. Problemet kommer ned til at finde abscissen af ​​tangenspunkterne for almindelige tangenter, det vil sige at løse nøgleproblem 1 i generel opfattelse, opstilling af et ligningssystem og dets efterfølgende løsning (fig. 6).

1. Lad a være abscissen af ​​det tangentpunkt, der ligger på grafen for funktionen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.

1. Lad c være abscissen af ​​tangentpunktet, der ligger på grafen for funktionen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da tangenter er generelle, altså

Så y = x + 1 og y = – 3x – 3 er almindelige tangenter.

Hovedmålet med de overvejede opgaver er at forberede eleverne til selvstændigt at genkende typen af ​​nøgleproblem, når de løser mere komplekse problemer, der kræver visse forskningsfærdigheder (evnen til at analysere, sammenligne, generalisere, fremsætte en hypotese osv.). Sådanne opgaver omfatter enhver opgave, hvori nøgleopgaven indgår som en komponent. Lad os som eksempel betragte problemet (omvendt til opgave 1) med at finde en funktion fra familien af ​​dens tangenter.

3. For hvilke b og c tangerer linjerne y = x og y = – 2x grafen for funktionen y = x 2 + bx + c?

Lad t være abscissen af ​​tangenspunktet for den rette linje y = x med parablen y = x 2 + bx + c; p er abscissen af ​​tangenspunktet for den rette linje y = – 2x med parablen y = x 2 + bx + c. Så vil tangentligningen y = x have formen y = (2t + b)x + c – t 2 , og tangentligningen y = – 2x vil have formen y = (2p + b)x + c – p 2 .

Lad os sammensætte og løse et ligningssystem

Svar:

Indgangsniveau

Ligning for en tangent til grafen for en funktion. Omfattende guide (2019)

Ved du allerede, hvad et derivat er? Hvis ikke, så læs emnet først. Så du siger, at du kender derivatet. Lad os tjekke det nu. Find stigningen af ​​funktionen, når stigningen af ​​argumentet er lig med. Klarede du dig? Det burde virke. Find nu den afledede af funktionen i et punkt. Svar:. Virkede det? Hvis du har problemer med nogle af disse eksempler, anbefaler jeg kraftigt, at du vender tilbage til emnet og studerer det igen. Jeg ved godt, at emnet er meget stort, men ellers nytter det ikke at gå videre. Overvej grafen for en funktion:

Lad os vælge et bestemt punkt på graflinjen. Lad dens abscisse, så er ordinaten lig. Derefter vælger vi et punkt med en abscisse tæt på punktet; dens ordinat er:

Lad os tegne en lige linje gennem disse punkter. Det kaldes en sekant (ligesom i geometri). Lad os betegne hældningsvinklen af ​​den lige linje til aksen som. Som i trigonometri måles denne vinkel fra x-aksens positive retning mod uret. Hvilke værdier kan vinklen tage? Uanset hvordan du vipper denne lige linje, vil den ene halvdel stadig stikke op. Derfor er den maksimalt mulige vinkel , og den mindst mulige vinkel er . Betyder,. Vinklen er ikke inkluderet, da positionen af ​​den lige linje i dette tilfælde er nøjagtigt sammenfaldende med, og det er mere logisk at vælge en mindre vinkel. Lad os tage et punkt i figuren, således at den rette linje er parallel med abscisseaksen og a er ordinataksen:

Af figuren kan det ses, at en. Så er forholdet mellem stigningerne:

(da den er rektangulær).

Lad os reducere det nu. Så vil punktet nærme sig punktet. Når det bliver infinitesimalt, bliver forholdet lig med den afledede af funktionen i punktet. Hvad vil der ske med sekanten? Punktet vil være uendeligt tæt på punktet, så de kan betragtes som det samme punkt. Men en lige linje, der kun har ét fælles punkt med en kurve, er ikke andet end tangent(i dette tilfælde er denne betingelse kun opfyldt i et lille område - nær punktet, men det er nok). De siger, at i dette tilfælde tager sekanten grænseposition.

Lad os kalde sekantens hældningsvinkel til aksen. Så viser det sig, at den afledte

altså den afledede er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen af ​​tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt.

Da en tangent er en linje, lad os nu huske ligningen for en linje:

Hvad er koefficienten ansvarlig for? For hældningen af ​​den lige linje. Dette er hvad det hedder: hældning. Hvad betyder det? Og det faktum, at det er lig med tangenten af ​​vinklen mellem den rette linje og aksen! Så dette er hvad der sker:

Men vi fik denne regel ved at overveje en stigende funktion. Hvad vil ændre sig, hvis funktionen er faldende? Lad os se:
Nu er vinklerne stumpe. Og stigningen af ​​funktionen er negativ. Lad os overveje igen:. På den anden side. Vi får: , det vil sige alt er det samme som sidste gang. Lad os igen rette punktet til punktet, og sekanten vil tage en begrænsende position, det vil sige, at den bliver til en tangent til funktionens graf i punktet. Så lad os formulere den sidste regel:
Den afledede af en funktion i et givet punkt er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen af ​​tangenten til grafen for funktionen i dette punkt, eller (som er den samme) hældningen af ​​denne tangent:

Dette er det geometrisk betydning af afledt. Okay, alt dette er interessant, men hvorfor har vi brug for det? Her eksempel:
Figuren viser en graf for en funktion og en tangent til den i abscissepunktet. Find værdien af ​​den afledede af funktionen i punktet.
Løsning.
Som vi for nylig fandt ud af, er værdien af ​​den afledede ved tangenspunktet lig med hældningen af ​​tangenten, som igen er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen for denne tangent til abscisseaksen: . Det betyder, at for at finde værdien af ​​den afledede, skal vi finde tangenten til tangentvinklen. På figuren har vi markeret to punkter, der ligger på tangenten, hvis koordinater er kendt for os. Så lad os færdiggøre konstruktionen af ​​en retvinklet trekant, der går gennem disse punkter og finde tangenten til tangentvinklen!

Hældningsvinklen for tangenten til aksen er. Lad os finde tangenten til denne vinkel: . Således er den afledede af funktionen i et punkt lig med.
Svar:. Prøv det nu selv:

Svar:

At vide geometrisk betydning af afledt, kan vi meget enkelt forklare reglen om, at den afledede ved punktet for et lokalt maksimum eller minimum er lig med nul. Faktisk er tangenten til grafen i disse punkter "vandret", det vil sige parallel med x-aksen:

Hvad er vinklen mellem parallelle linjer? Selvfølgelig nul! Og tangens af nul er også nul. Så den afledte er lig med nul:

Læs mere om dette i emnet "Monotonicitet af funktioner. Ekstrempunkter."

Lad os nu fokusere på vilkårlige tangenter. Lad os sige, at vi har en funktion, for eksempel . Vi har tegnet dens graf og ønsker at tegne en tangent til den på et tidspunkt. For eksempel på et tidspunkt. Vi tager en lineal, fastgør den til grafen og tegner:

Hvad ved vi om denne linje? Hvad er det vigtigste at vide om direkte til koordinatplan? Da en ret linje er et billede af en lineær funktion, ville det være meget praktisk at kende dens ligning. Det vil sige koefficienterne i ligningen

Men vi ved det allerede! Dette er hældningen af ​​tangenten, som er lig med den afledede af funktionen på det punkt:

I vores eksempel vil det være sådan her:

Nu er der kun tilbage at finde den. Det er så simpelt som at beskyde pærer: trods alt - værdien af. Grafisk er dette koordinaten for skæringen af ​​den rette linje med ordinataksen (trods alt på alle punkter på aksen):

Lad os tegne det (så det er rektangulært). Derefter (til samme vinkel mellem tangenten og x-aksen). Hvad er og lig med? Figuren viser tydeligt, at en. Så får vi:

Vi kombinerer alle de opnåede formler i ligningen for en ret linje:

Bestem nu selv:

1. Finde tangentligning til en funktion på et punkt.
2. Tangenten til en parabel skærer aksen i en vinkel. Find ligningen for denne tangent.
3. Linjen er parallel med tangenten til funktionens graf. Find abscissen af ​​tangentpunktet.
4. Linjen er parallel med tangenten til funktionens graf. Find abscissen af ​​tangentpunktet.

Løsninger og svar:

LIGNING AF EN TANGENT TIL GRAFEN FOR EN FUNKTION. KORT BESKRIVELSE OG BASISFORMLER

Den afledede af en funktion i et bestemt punkt er lig med tangenten af ​​tangenten til grafen for funktionen i dette punkt, eller hældningen af ​​denne tangent:

Ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt:

Algoritme til at finde tangentligningen:

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For succes bestå Unified State-eksamenen, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du skal bruge løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 gnid.
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - 999 gnid.

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

I det andet tilfælde vi vil give dig simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, på alle niveauer af kompleksitet." Det vil helt sikkert være nok til at få dine hænder på at løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette meget mere end blot en simulator – et helt træningsprogram. Hvis det er nødvendigt, kan du også bruge det GRATIS.

Adgang til alle tekster og programmer er givet i HELE perioden af ​​sidens eksistens.

Og afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!