Tangent til grafen for en funktion i et punkt. Tangentligning

Video lektionen "Ligning af en tangent til grafen for en funktion" demonstrerer undervisningsmateriale at mestre emnet. I løbet af videolektionen beskrives det teoretiske materiale, der er nødvendigt for at danne konceptet med ligningen af ​​en tangent til grafen for en funktion i et givet punkt, en algoritme til at finde en sådan tangent og eksempler på problemløsning ved hjælp af det undersøgte teoretiske materiale. .

Videotutorialen bruger metoder, der forbedrer materialets klarhed. Præsentationen indeholder tegninger, diagrammer, vigtige stemmekommentarer, animation, fremhævning og andre værktøjer.

Videolektionen begynder med en præsentation af lektionens emne og et billede af en tangent til grafen for en funktion y=f(x) i punktet M(a;f(a)). Det er kendt, at hældning tangent plottet til grafen i et givet punkt er lig med den afledede af funktionen f΄(a) i et givet punkt. Også fra algebraforløbet kender vi ligningen for den rette linje y=kx+m. Løsningen på problemet med at finde tangentligningen i et punkt præsenteres skematisk, hvilket reducerer til at finde koefficienterne k, m. Ved at kende koordinaterne til et punkt, der hører til funktionens graf, kan vi finde m ved at erstatte koordinatværdien i tangentligningen f(a)=ka+m. Fra den finder vi m=f(a)-ka. Ved at kende værdien af ​​den afledede i et givet punkt og punktets koordinater kan vi således repræsentere tangentligningen på denne måde y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Det følgende er et eksempel på at sammensætte en tangentligning efter diagrammet. Givet funktionen y=x 2, x=-2. Tager vi a=-2, finder vi værdien af ​​funktionen i et givet punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Vi bestemmer den afledede af funktionen f΄(x)=2x. På dette tidspunkt er den afledte lig med f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. For at sammensætte ligningen blev alle koefficienter a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 fundet, så tangentligningen er y=4+(-4)(x+2). Forenklet ligningen får vi y = -4-4x.

Det følgende eksempel foreslår at konstruere en ligning for tangenten ved origo til grafen for funktionen y=tgx. Ved et givet punkt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Så tangentligningen ser ud som y=x.

Som en generalisering er processen med at sammensætte en ligning, der tangerer grafen for en funktion på et bestemt punkt, formaliseret i form af en algoritme bestående af 4 trin:

• Indtast betegnelsen a for abscissen af ​​tangentpunktet;
• f(a) beregnes;
• f΄(x) bestemmes, og f΄(a) beregnes. De fundne værdier af a, f(a), f΄(a) er substitueret i tangentligningens formel y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Eksempel 1 overvejer at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y=1/x i punktet x=1. For at løse problemet bruger vi en algoritme. For en given funktion i punktet a=1 er værdien af ​​funktionen f(a)=-1. Afledt af funktionen f΄(x)=1/x 2. Ved punkt a=1 er den afledte f΄(a)= f΄(1)=1. Ved hjælp af de opnåede data tegnes tangentligningen y=-1+(x-1), eller y=x-2.

I eksempel 2 er det nødvendigt at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hovedbetingelsen er paralleliteten af ​​tangenten og den rette linje y=-2x+1. Først finder vi tangentens vinkelkoefficient, lig med vinkelkoefficienten for den rette linje y=-2x+1. Da f΄(a)=-2 for en given linje, så er k=-2 for den ønskede tangent. Vi finder den afledede af funktionen (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Ved at f΄(a)=-2 finder vi koordinaterne for punkt 3a 2 +6a-2=-2. Når vi har løst ligningen, får vi en 1 =0, og 2 =-2. Ved hjælp af de fundne koordinater kan du finde tangentligningen ved hjælp af en velkendt algoritme. Vi finder værdien af ​​funktionen i punkterne f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Værdien af ​​den afledede i punktet f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ved at erstatte de fundne værdier i tangentligningen får vi for det første punkt a 1 =0 y=-2x-2, og for det andet punkt a 2 =-2 tangentligningen y=-2x-22.

Eksempel 3 beskriver sammensætningen af ​​tangentligningen for at tegne den i punktet (0;3) til grafen for funktionen y=√x. Løsningen er lavet ved hjælp af en velkendt algoritme. Tangentpunktet har koordinater x=a, hvor a>0. Værdien af ​​funktionen i punktet f(a)=√x. Den afledede af funktionen f΄(х)=1/2√х, derfor i et givet punkt f΄(а)=1/2√а. Ved at erstatte alle de opnåede værdier i tangentligningen får vi y = √a + (x-a)/2√a. Ved at transformere ligningen får vi y=x/2√а+√а/2. Når vi ved, at tangenten går gennem punktet (0;3), finder vi værdien af ​​a. Vi finder a fra 3=√a/2. Derfor √a=6, a=36. Vi finder tangentligningen y=x/12+3. Figuren viser grafen for den pågældende funktion og den konstruerede ønskede tangent.

Eleverne bliver mindet om de omtrentlige ligheder Δy=≈f΄(x)Δx og f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Tager vi x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, får vi f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deraf f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

I eksempel 4 er det nødvendigt at finde den omtrentlige værdi af udtrykket 2,003 6. Da det er nødvendigt at finde værdien af ​​funktionen f(x)=x 6 i punktet x=2,003, kan vi bruge den velkendte formel, idet vi tager f(x)=x 6, a=2, f(a) )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Afledt i punktet f΄(2)=192. Derfor 2,003 6 ≈65-192·0,003. Efter at have beregnet udtrykket får vi 2.003 6 ≈64.576.

Video lektionen "Ligning af en tangent til grafen for en funktion" anbefales til brug i en traditionel matematiktime på skolen. For en lærer, der underviser på afstand, vil videomateriale hjælpe med at forklare emnet mere klart. Videoen kan anbefales til eleverne at gennemgå selvstændigt, hvis det er nødvendigt for at uddybe deres forståelse af emnet.

TEKSTAFKODNING:

Vi ved, at hvis et punkt M (a; f(a)) (em med koordinaterne a og ef fra a) hører til grafen for funktionen y = f (x), og hvis det på dette punkt er muligt at tegne en tangent til grafen for den funktion, der ikke er vinkelret på aksen abscissen, så er vinkelkoefficienten for tangenten lig med f"(a) (eff primtal fra a).

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M (a; f(a)) være givet, og det er også kendt, at f´(a) eksisterer. Lad os lave en ligning for tangenten til grafen givet funktion V givet point. Denne ligning har, ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, formen y = kx+m (y'et er lig med ka x plus em), så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og m (ka og em).

Vinkelkoefficient k= f"(a). For at beregne værdien af ​​m bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f (a)). Det betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punkt M ind i ligningen for den rette linje, får vi den rigtige lighed : f(a) = ka+m, hvorfra vi finder, at m = f(a) - ka.

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne ki og m i ligningen for den rette linje:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en). ( y er lig med ef fra et plus ef primtal fra a, ganget med x minus a).

Vi har fået ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet x=a.

Hvis f.eks. y = x 2 og x = -2 (dvs. a = -2), så er f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, hvilket betyder f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (så er ef af a lig med fire, ef af primtal af x er lig med to x, hvilket betyder ef primtal fra a er lig minus fire)

Ved at erstatte de fundne værdier a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 i ligningen får vi: y = 4+(-4)(x+2), dvs. y = -4x -4.

(E er lig med minus fire x minus fire)

Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = tanx (y er lig med tangenten x) ved origo. Vi har: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , hvilket betyder f"(0) = l. Ved at erstatte de fundne værdier a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 i ligningen får vi: y=x.

Lad os opsummere vores trin til at finde ligningen for tangenten til grafen for en funktion i punktet x ved hjælp af en algoritme.

ALGORIME TIL UDVIKLING AF EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKTIONEN y = f(x):

1) Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet a.

2) Beregn f(a).

3) Find f´(x) og beregn f´(a).

4) Erstat de fundne tal a, f(a), f´(a) i formlen y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en).

Eksempel 1. Lav en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = - in

punkt x = 1.

Løsning. Lad os bruge algoritmen under hensyntagen til det i i dette eksempel

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Erstat de tre fundne tal: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 i formlen. Vi får: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Svar: y = x-2.

Eksempel 2. Givet funktionen y = x 3 +3x 2 -2x-2. Skriv ned ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x), parallelt med den rette linje y = -2x +1.

Ved at bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen tager vi højde for, at i dette eksempel f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, men tangentpunktets abscisse er ikke angivet her.

Lad os begynde at tænke sådan her. Den ønskede tangent skal være parallel med den rette linje y = -2x+1. Og parallelle linjer har lige store vinkelkoefficienter. Det betyder, at tangentens vinkelkoefficient er lig med vinkelkoefficienten for den givne rette linie: k tangent. = -2. Hok cas. = f"(a). Således kan vi finde værdien af ​​a ud fra ligningen f ´(a) = -2.

Lad os finde den afledede af funktionen y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a2 +6a-2.

Fra ligningen f"(a) = -2, dvs. 3a2 +6a-2=-2 finder vi a 1 =0, a 2 =-2. Det betyder, at der er to tangenter, der opfylder problemets betingelser: en i punktet med abscisse 0, den anden i punktet med abscisse -2.

Nu kan du følge algoritmen.

1) a 1 = 0 og 2 = -2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·02 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Ved at erstatte værdierne a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 i formlen, får vi:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ved at erstatte værdierne a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 i formlen, får vi:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Svar: y=-2x-2, y=-2x+2.

Eksempel 3. Fra punkt (0; 3) tegnes en tangent til grafen for funktionen y = . Løsning. Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel f(x) = . Bemærk, at her, som i eksempel 2, er abscissen af ​​tangentpunktet ikke eksplicit angivet. Ikke desto mindre følger vi algoritmen.

1) Lad x = a være abscissen af ​​tangenspunktet; det er klart, at en >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Substitution af værdierne af a, f(a) = , f"(a) = i formlen

y=f (a) +f "(a) (x-a), vi får:

Ved betingelse passerer tangenten gennem punktet (0; 3). Ved at erstatte værdierne x = 0, y = 3 i ligningen får vi: 3 = , og derefter =6, a =36.

Som du kan se, i dette eksempel, lykkedes det kun på det fjerde trin af algoritmen at finde abscissen af ​​tangentpunktet. Ved at indsætte værdien a =36 i ligningen får vi: y=+3

I fig. Figur 1 viser en geometrisk illustration af det betragtede eksempel: en graf for funktionen y = er konstrueret, en ret linje tegnes y = +3.

Svar: y = +3.

Vi ved, at for en funktion y = f(x), som har en afledet i punktet x, er den omtrentlige lighed gyldig: Δyf´(x)Δx (delta y er omtrent lig med eff-primtallet af x ganget med delta x)

eller mere detaljeret f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff fra x plus delta x minus ef fra x er omtrent lig med eff primtal fra x ved delta x).

For at lette yderligere diskussion, lad os ændre notationen:

i stedet for x skriver vi EN,

i stedet for x+Δx skriver vi x

I stedet for Δx skriver vi x-a.

Så vil den omtrentlige lighed skrevet ovenfor have formen:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff fra x er omtrent lig med ef fra et plus ef primtal fra a, ganget med forskellen mellem x og a).

Eksempel 4: Find en omtrentlig værdi numerisk udtryk 2,003 6 .

Løsning. Det handler om om at finde værdien af ​​funktionen y = x 6 i punktet x = 2,003. Lad os bruge formlen f(x)f(a)+f´(a)(x-a), idet vi tager højde for, at i dette eksempel f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 og derfor f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Som et resultat får vi:

2,003 6 64+192· 0,003, dvs. 2,003 6 = 64,576.

Hvis vi bruger en lommeregner, får vi:

2,003 6 = 64,5781643...

Som du kan se, er tilnærmelsesnøjagtigheden ganske acceptabel.

Emnet "En tangents vinkelkoefficient som tangens af hældningsvinklen" i certificeringseksamen får flere opgaver på én gang. Afhængigt af deres tilstand kan kandidaten blive bedt om at give enten et fuldt svar eller et kort svar. Som forberedelse til bestå Unified State-eksamenen I matematik skal eleven bestemt gentage opgaver, hvor det er nødvendigt at beregne vinkelkoefficienten for en tangent.

Det vil hjælpe dig med at gøre dette uddannelsesportal"Shkolkovo". Vores specialister udarbejdede og præsenterede teoretisk og praktisk materiale på den mest tilgængelige måde. Efter at være blevet bekendt med det, vil kandidater med ethvert træningsniveau være i stand til med succes at løse problemer relateret til derivater, hvor det er nødvendigt at finde tangenten til tangentvinklen.

Højdepunkter

For at finde den korrekte og rationelle løsning på sådanne opgaver i Unified State Exam, er det nødvendigt at huske den grundlæggende definition: den afledte repræsenterer ændringshastigheden af ​​en funktion; den er lig med tangenten af ​​tangentvinklen tegnet til grafen for funktionen i et bestemt punkt. Det er lige så vigtigt at færdiggøre tegningen. Det vil give dig mulighed for at finde den rigtige beslutning Unified State Examination problemer på den afledede, hvor det er nødvendigt at beregne tangenten til tangentvinklen. For klarhedens skyld er det bedst at plotte grafen på OXY-planet.

Hvis du allerede har sat dig ind i grundmaterialet om emnet afledte og er klar til at begynde at løse problemer med at beregne tangentens tangens, som f.eks. Unified State Exam-opgaver, kan du gøre dette online. For hver opgave, for eksempel problemer om emnet "Forholdet mellem et derivat og en krops hastighed og acceleration", skrev vi det korrekte svar og løsningsalgoritme ned. Samtidig kan eleverne øve sig i at udføre opgaver af varierende kompleksitetsniveau. Øvelsen kan eventuelt gemmes i afsnittet "Favoritter", så du senere kan diskutere løsningen med læreren.

Lad en funktion f være givet, som på et tidspunkt x 0 har en endelig afledt f (x 0). Så kaldes den rette linje, der går gennem punktet (x 0 ; f (x 0)), med en vinkelkoefficient f ’(x 0), en tangent.

Hvad sker der, hvis den afledede ikke eksisterer i punktet x 0? Der er to muligheder:

1. Der er heller ingen tangent til grafen. Et klassisk eksempel er funktionen y = |x | ved punkt (0; 0).
2. Tangenten bliver lodret. Dette gælder for eksempel for funktionen y = arcsin x i punktet (1; π /2).

Tangentligning

Enhver ikke-lodret ret linje er givet ved en ligning på formen y = kx + b, hvor k er hældningen. Tangenten er ingen undtagelse, og for at skabe dens ligning på et tidspunkt x 0, er det nok at kende værdien af ​​funktionen og den afledede på dette tidspunkt.

Så lad en funktion y = f (x) være givet, som har en afledt y = f ’(x) på segmentet. Derefter kan der ved ethvert punkt x 0 ∈ (a ; b) trækkes en tangent til grafen for denne funktion, som er givet af ligningen:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Her er f ’(x 0) værdien af ​​den afledede i punktet x 0, og f (x 0) er værdien af ​​selve funktionen.

Opgave. Givet funktionen y = x 3 . Skriv en ligning for tangenten til grafen for denne funktion i punktet x 0 = 2.

Tangentligning: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punktet x 0 = 2 er givet til os, men værdierne f (x 0) og f '(x 0) skal beregnes.

Lad os først finde værdien af ​​funktionen. Alt er nemt her: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Lad os nu finde den afledede: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Vi erstatter x 0 = 2 i den afledede: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
I alt får vi: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dette er tangentligningen.

Opgave. Skriv en ligning for tangenten til grafen for funktionen f (x) = 2sin x + 5 i punktet x 0 = π /2.

Denne gang vil vi ikke beskrive hver handling i detaljer - vi vil kun angive de vigtigste trin. Vi har:

f (x 0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentligning:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

I sidstnævnte tilfælde viste den lige linje sig at være vandret, fordi dens vinkelkoefficient k = 0. Der er ikke noget galt med dette - vi faldt lige over et ekstremum.

Y = f(x) og hvis der på dette punkt kan trækkes en tangent til grafen for funktionen, som ikke er vinkelret på abscisseaksen, så er tangentens vinkelkoefficient lig med f"(a). Vi har allerede brugt dette flere gange For eksempel blev det i § 33 fastslået, at grafen for funktionen y = sin x (sinusformet) ved origo danner en vinkel på 45° med x-aksen (mere præcist, tangenten til den. graf ved origo danner en vinkel på 45° med x-aksens positive retning), og i eksempel 5 blev § 33 punkter fundet på skema givet funktioner, hvor tangenten er parallel med x-aksen. I eksempel 2 i § 33 blev der udarbejdet en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = x 2 i punktet x = 1 (mere præcist i punktet (1; 1), men oftere er det kun abscisseværdien, der er angivet, idet man mener, at hvis abscisseværdien er kendt, så kan ordinatværdien findes ud fra ligningen y = f(x)). I dette afsnit vil vi udvikle en algoritme til at sammensætte en tangentligning til grafen for enhver funktion.

Lad funktionen y = f(x) og punktet M (a; f(a)) være givet, og det er også kendt, at f"(a) eksisterer. Lad os sammensætte en ligning for tangenten til grafen for en givet funktion i et givet punkt Denne ligning er ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, har formen y = kx+m, så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og m.

Der er ingen problemer med vinkelkoefficienten k: vi ved, at k = f "(a). For at beregne værdien af ​​m bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f (a)) Det betyder, at hvis vi erstatter koordinatpunktet M i ligningen for den rette linje, får vi den rigtige lighed: f(a) = ka+m, hvorfra vi finder, at m = f(a) - ka.
Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af kitkoefficienterne i ligning direkte:

Vi har fået ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet x=a.
Hvis f.eks.
Ved at erstatte de fundne værdier a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 i ligning (1), får vi: y = 1+2(x-f), dvs. y = 2x-1.
Sammenlign dette resultat med det opnåede i eksempel 2 fra § 33. Naturligvis skete det samme.
Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = tan x ved origo. Vi har: dette betyder cos x f"(0) = 1. Ved at erstatte de fundne værdier a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 i ligning (1), får vi: y = x.
Derfor tegnede vi tangentoiden i § 15 (se fig. 62) gennem koordinaternes begyndelse i en vinkel på 45° i forhold til abscisseaksen.
Løser disse nok simple eksempler, brugte vi faktisk en bestemt algoritme, som er indeholdt i formel (1). Lad os gøre denne algoritme eksplicit.

ALGORIME TIL UDVIKLING AF EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKTIONEN y = f(x)

1) Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet a.
2) Beregn 1 (a).
3) Find f"(x) og beregn f"(a).
4) Erstat de fundne tal a, f(a), (a) med formel (1).

Eksempel 1. Skriv en ligning for tangenten til grafen for funktionen i punktet x = 1.
Lad os bruge algoritmen, idet vi tager højde for det i dette eksempel

I fig. 126 er en hyperbel afbildet, en ret linje y = 2 er konstrueret.
Tegningen bekræfter ovenstående beregninger: ja, linjen y = 2 rører hyperbelen ved punktet (1; 1).

Svar: y = 2-x.
Eksempel 2. Tegn en tangent til grafen for funktionen, så den er parallel med linjen y = 4x - 5.
Lad os afklare problemformuleringen. Kravet om at "tegne en tangent" betyder normalt "at danne en ligning for tangenten." Dette er logisk, for hvis en person var i stand til at skabe en ligning for en tangent, så vil han næppe have svært ved at konstruere på koordinatplan lige linje ifølge hendes ligning.
Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel, Men i modsætning til det foregående eksempel er der tvetydighed her: abscissen af ​​tangentpunktet er ikke eksplicit angivet.
Lad os begynde at tænke sådan her. Den ønskede tangent skal være parallel med den rette linje y = 4x-5. To linjer er parallelle, hvis og kun hvis deres hældninger er lige store. Det betyder, at tangentens vinkelkoefficient skal være lig med vinkelkoefficienten for den givne rette linie: Således kan vi finde værdien af ​​a ud fra ligningen f"(a) = 4.
Vi har:
Ud fra ligningen Det betyder, at der er to tangenter, der opfylder problemets betingelser: den ene i punktet med abscisse 2, den anden i punktet med abscisse -2.
Nu kan du følge algoritmen.

Eksempel 3. Fra punkt (0; 1) tegnes en tangent til grafen for funktionen
Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager i betragtning, at i dette eksempel, Bemærk, at her, som i eksempel 2, er abscissen af ​​tangentpunktet ikke eksplicit angivet. Ikke desto mindre følger vi algoritmen.

Ved betingelse passerer tangenten gennem punktet (0; 1). Ved at erstatte værdierne x = 0, y = 1 i ligning (2), får vi:
Som du kan se, i dette eksempel, lykkedes det kun på det fjerde trin af algoritmen at finde abscissen af ​​tangentpunktet. Ved at erstatte værdien a =4 i ligning (2), får vi:

I fig. 127 præsenterer en geometrisk illustration af det betragtede eksempel: en graf over funktionen er plottet

I § ​​32 bemærkede vi, at for en funktion y = f(x), som har en afledt i et fast punkt x, er den omtrentlige lighed gyldig:

For at gøre det nemmere for yderligere ræsonnement, lad os ændre notationen: i stedet for x skriver vi a, i stedet for vil vi skrive x og følgelig i stedet for vil vi skrive x-a. Så vil den omtrentlige lighed skrevet ovenfor have formen:

Se nu på fig. 128. Der tegnes en tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punktet M (a; f (a)). Punkt x er markeret på x-aksen tæt på a. Det er tydeligt, at f(x) er ordinaten til grafen for funktionen i angivet punkt X. Hvad er f(a) + f"(a) (x-a)? Dette er ordinaten af ​​tangenten svarende til det samme punkt x - se formel (1). Hvad er meningen med den omtrentlige lighed (3)? Faktum at For at beregne den omtrentlige værdi af funktionen, tag ordinatværdien af ​​tangenten.

Eksempel 4. Find den omtrentlige værdi af det numeriske udtryk 1,02 7.
Vi taler om at finde værdien af ​​funktionen y = x 7 i punktet x = 1,02. Lad os bruge formel (3), idet vi tager højde for det i dette eksempel
Som et resultat får vi:

Hvis vi bruger en lommeregner, får vi: 1,02 7 = 1,148685667...
Som du kan se, er tilnærmelsesnøjagtigheden ganske acceptabel.
Svar: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10 klasse

Kalendertematisk planlægning i matematik, video i matematik online, Matematik i skolen download

Lektionens indhold lektionsnotater understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Praksis opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests lektier diskussion spørgsmål retoriske spørgsmål fra elever Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og yderligere ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan for året metodiske anbefalinger diskussionsprogrammer Integrerede lektioner

Tangent er en ret linje, der går gennem et punkt på kurven og falder sammen med det på dette punkt op til første orden (fig. 1).

En anden definition: dette er begrænsningspositionen for sekanten ved Δ x→0.

Forklaring: Tag en lige linje, der skærer kurven i to punkter: EN Og b(se billedet). Dette er en sekant. Vi vil rotere den med uret, indtil den kun finder ét fælles punkt med kurven. Dette vil give os en tangent.

Strenge definition af tangent:

Tangent til grafen for en funktion f, differentierbar på punktet xO, er en ret linje, der går gennem punktet ( xO; f(xO)) og har en hældning f′( xO).

Skråningen har en lige linje af formen y =kx +b. Koefficient k og er hældning denne lige linje.

Hældningsfaktor lig med tangent spids vinkel, dannet af denne rette linje med abscisseaksen:

k = tan α

Her er vinkel α vinklen mellem den rette linje y =kx +b og positiv (det vil sige mod uret) retning af x-aksen. Det hedder hældningsvinkel for en ret linje(fig. 1 og 2).

Hvis hældningsvinklen er lige y =kx +b akut, så er hældningen positivt tal. Grafen er stigende (fig. 1).

Hvis hældningsvinklen er lige y =kx +b er stump, så er hældningen negativt tal. Grafen er faldende (fig. 2).

Hvis den rette linje er parallel med x-aksen, så er hældningsvinklen på den rette linje nul. I dette tilfælde er linjens hældning også nul (da tangenten af ​​nul er nul). Ligningen for den rette linje vil se ud som y = b (fig. 3).

Hvis hældningsvinklen for en ret linje er 90º (π/2), dvs. den er vinkelret på abscisseaksen, så er den rette linje givet af ligheden x =c, Hvor c– et reelt tal (fig. 4).

Ligning for tangenten til grafen for en funktiony = f(x) på et tidspunkt xO:

Eksempel: Find ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 på punktet med abscisse 2.

Løsning.

Vi følger algoritmen.

1) Berøringspunkt xO er lig med 2. Beregn f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Find f′( x). For at gøre dette anvender vi differentieringsformlerne skitseret i det foregående afsnit. Ifølge disse formler, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Betyder:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Brug nu den resulterende værdi f′( x), beregne f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Så vi har alle de nødvendige data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Indsæt disse tal i tangentligningen og find den endelige løsning:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Svar: y = 4x – 7.