Denne matematik program finder ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(f(x)\) ved et brugerspecificeret punkt \(a\).

Programmet viser ikke kun tangentligningen, men viser også processen med at løse problemet.

Denne online lommeregner kan være nyttig for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier

i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger. På denne måde kan du gennemføre din egen træning og/eller din egen træning. yngre brødre

eller søstre, mens uddannelsesniveauet inden for problemløsningsområdet stiger.

Skal du finde den afledede af en funktion, så har vi til dette opgaven Find den afledede.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af funktioner, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Indtast funktionsudtrykket \(f(x)\) og tallet \(a\)
f(x)=

a=

Find tangentligningen
Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.

I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.
JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.

Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.
Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om et par sekunder vises løsningen nedenfor. Vent venligst

sek... Hvis du bemærket en fejl i løsningen
, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen. Glem det ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad.

indtast i felterne

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Direkte hældning Husk, at grafen for den lineære funktion \(y=kx+b\) er en ret linje. Tallet \(k=tg \alpha \) kaldes hældning af en lige linje

, og vinklen \(\alpha \) er vinklen mellem denne linje og Ox-aksen

Hvis \(k>0\), så \(0 Hvis \(kLigning af tangenten til funktionens graf Hvis punktet M(a; f(a)) hører til grafen for funktionen y = f(x), og hvis det på dette punkt er muligt at tegne en tangent til grafen for funktionen, der ikke er vinkelret på abscisseaksen , derefter fra afledet følger det, at tangentens vinkelkoefficient er lig med f "(a). Dernæst vil vi udvikle en algoritme til at sammensætte tangentens ligning til grafen for enhver funktion.

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M(a; f(a)) være givet på grafen for denne funktion; lad det vide, at f"(a) eksisterer. Lad os lave en ligning for tangenten til grafen givet funktion på et givet tidspunkt. Denne ligning har ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, formen y = kx + b, så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og b.

Alt er klart med vinkelkoefficienten k: det er kendt, at k = f"(a). For at beregne værdien af ​​b bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f(a)) Det betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punktet M i ligningen for en ret linje, får vi den korrekte lighed: \(f(a)=ka+b\), dvs. \(b = f(a) -. ka\).

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne k og b i ligningen for den rette linje:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a)$$

Vi modtog ligning af tangenten til grafen for en funktion\(y = f(x) \) i punktet \(x=a \).

Algoritme til at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(y=f(x)\)
1. Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet \(a\)
2. Beregn \(f(a)\)
3. Find \(f"(x)\) og beregn \(f"(a)\)
4. Erstat de fundne tal \(a, f(a), f"(a) \) i formlen \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Bøger (lærebøger) Resuméer af Unified State Examination og Unified State Examination tests online Spil, puslespil Plotning af grafer over funktioner Staveordbog for det russiske sprog Ordbog over ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over sekundære uddannelsesinstitutioner i Rusland Katalog over russiske universiteter Liste af problemer Finde GCD og LCM Simplificering af et polynomium (multiplikation af polynomier)

Video lektionen "Ligning af en tangent til grafen for en funktion" demonstrerer undervisningsmateriale at mestre emnet. I løbet af videolektionen beskrives det teoretiske materiale, der er nødvendigt for at danne konceptet med ligningen af ​​en tangent til grafen for en funktion i et givet punkt, en algoritme til at finde en sådan tangent og eksempler på problemløsning ved hjælp af det undersøgte teoretiske materiale. .

Videotutorialen bruger metoder, der forbedrer materialets klarhed. Præsentationen indeholder tegninger, diagrammer, vigtige stemmekommentarer, animation, fremhævning og andre værktøjer.

Videolektionen begynder med en præsentation af lektionens emne og et billede af en tangent til grafen for en funktion y=f(x) i punktet M(a;f(a)). Det er kendt, at hældning tangent plottet til grafen i et givet punkt er lig med den afledede af funktionen f΄(a) i et givet punkt. Også fra algebraforløbet kender vi ligningen for den rette linje y=kx+m. Løsningen på problemet med at finde tangentligningen i et punkt præsenteres skematisk, hvilket reducerer til at finde koefficienterne k, m. Ved at kende koordinaterne til et punkt, der hører til funktionens graf, kan vi finde m ved at erstatte koordinatværdien i tangentligningen f(a)=ka+m. Fra den finder vi m=f(a)-ka. Ved at kende værdien af ​​den afledede i et givet punkt og punktets koordinater kan vi således repræsentere tangentligningen på denne måde y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Det følgende er et eksempel på at sammensætte en tangentligning efter diagrammet. Givet funktionen y=x 2, x=-2. Tager vi a=-2, finder vi værdien af ​​funktionen i et givet punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Vi bestemmer den afledede af funktionen f΄(x)=2x. På dette tidspunkt er den afledte lig med f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. For at sammensætte ligningen blev alle koefficienter a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 fundet, så tangentligningen er y=4+(-4)(x+2). Forenklet ligningen får vi y = -4-4x.

Det følgende eksempel foreslår at konstruere en ligning for tangenten ved origo til grafen for funktionen y=tgx. Ved et givet punkt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Så tangentligningen ser ud som y=x.

Som en generalisering er processen med at sammensætte en ligning, der tangerer grafen for en funktion på et bestemt punkt, formaliseret i form af en algoritme bestående af 4 trin:

• Indtast betegnelsen a for tangentpunktets abscisse;
• f(a) beregnes;
• f΄(x) bestemmes, og f΄(a) beregnes. De fundne værdier af a, f(a), f΄(a) er substitueret i tangentligningens formel y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Eksempel 1 overvejer at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y=1/x i punktet x=1. For at løse problemet bruger vi en algoritme. For en given funktion i punktet a=1 er værdien af ​​funktionen f(a)=-1. Afledt af funktionen f΄(x)=1/x 2. I punktet a=1 er den afledte f΄(a)= f΄(1)=1. Ved hjælp af de opnåede data tegnes tangentligningen y=-1+(x-1), eller y=x-2.

I eksempel 2 er det nødvendigt at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hovedbetingelsen er paralleliteten af ​​tangenten og den rette linje y=-2x+1. Først finder vi tangentens vinkelkoefficient, lig med vinkelkoefficienten for den rette linje y=-2x+1. Da f΄(a)=-2 for en given linje, så er k=-2 for den ønskede tangent. Vi finder den afledede af funktionen (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Ved at f΄(a)=-2 finder vi koordinaterne for punkt 3a 2 +6a-2=-2. Når vi har løst ligningen, får vi en 1 =0, og 2 =-2. Ved hjælp af de fundne koordinater kan du finde tangentligningen ved hjælp af en velkendt algoritme. Vi finder værdien af ​​funktionen i punkterne f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Værdien af ​​den afledte i punktet f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ved at erstatte de fundne værdier i tangentligningen får vi for det første punkt a 1 =0 y=-2x-2, og for det andet punkt a 2 =-2 tangentligningen y=-2x-22.

Eksempel 3 beskriver sammensætningen af ​​tangentligningen for at tegne den i punktet (0;3) til grafen for funktionen y=√x. Løsningen er lavet ved hjælp af en velkendt algoritme. Tangentpunktet har koordinater x=a, hvor a>0. Værdien af ​​funktionen i punktet f(a)=√x. Den afledede af funktionen f΄(х)=1/2√х, derfor i et givet punkt f΄(а)=1/2√а. Ved at erstatte alle de opnåede værdier i tangentligningen får vi y = √a + (x-a)/2√a. Ved at transformere ligningen får vi y=x/2√а+√а/2. Når vi ved, at tangenten går gennem punktet (0;3), finder vi værdien af ​​a. Vi finder a fra 3=√a/2. Derfor √a=6, a=36. Vi finder tangentligningen y=x/12+3. Figuren viser grafen for den pågældende funktion og den konstruerede ønskede tangent.

Eleverne bliver mindet om de omtrentlige ligheder Δy=≈f΄(x)Δx og f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Tager vi x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, får vi f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deraf f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

I eksempel 4 er det nødvendigt at finde den omtrentlige værdi af udtrykket 2,003 6. Da det er nødvendigt at finde værdien af ​​funktionen f(x)=x 6 i punktet x=2,003, kan vi bruge den velkendte formel, idet vi tager f(x)=x 6, a=2, f(a) )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Afledt i punktet f΄(2)=192. Derfor 2,003 6 ≈65-192·0,003. Efter at have beregnet udtrykket får vi 2.003 6 ≈64.576.

Video lektionen "Ligning af en tangent til grafen for en funktion" anbefales til brug i en traditionel matematiktime på skolen. For en lærer, der underviser på afstand, vil videomateriale hjælpe med at forklare emnet mere klart. Videoen kan anbefales til eleverne at gennemgå selvstændigt, hvis det er nødvendigt for at uddybe deres forståelse af emnet.

TEKSTAFKODNING:

Vi ved, at hvis et punkt M (a; f(a)) (em med koordinaterne a og ef fra a) hører til grafen for funktionen y = f (x), og hvis det på dette punkt er muligt at tegne en tangent til grafen for den funktion, der ikke er vinkelret på aksen abscissen, så er vinkelkoefficienten for tangenten lig med f"(a) (eff primtal fra a).

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M (a; f(a)) være givet, og det er også kendt, at f´(a) eksisterer. Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for en given funktion i et givet punkt. Denne ligning, ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, har formen y = kx+m (y er lig med ka x plus em), så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og m (ka og em)

Vinkelkoefficient k= f"(a). For at beregne værdien af ​​m bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f (a)). Det betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punkt M ind i ligningen for den rette linje, får vi den rigtige lighed : f(a) = ka+m, hvorfra vi finder, at m = f(a) - ka.

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne ki og m i ligningen for den rette linje:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en). ( y er lig med ef fra et plus ef primtal fra a, ganget med x minus a).

Vi har fået ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet x=a.

Hvis f.eks. y = x 2 og x = -2 (dvs. a = -2), så er f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, hvilket betyder f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (så er ef af a lig med fire, ef af primtal af x er lig med to x, hvilket betyder ef primtal fra a er lig minus fire)

Ved at erstatte de fundne værdier a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 i ligningen får vi: y = 4+(-4)(x+2), dvs. y = -4x -4.

(E er lig med minus fire x minus fire)

Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = tgx(græsk lig med tangent x) ved oprindelsen. Vi har: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , hvilket betyder f"(0) = l. Ved at erstatte de fundne værdier a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 i ligningen får vi: y=x.

Lad os opsummere vores trin til at finde ligningen for tangenten til grafen for en funktion i punktet x ved hjælp af en algoritme.

ALGORIME TIL UDVIKLING AF EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKTIONEN y = f(x):

1) Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet a.

2) Beregn f(a).

3) Find f´(x) og beregn f´(a).

4) Erstat de fundne tal a, f(a), f´(a) i formlen y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en).

Eksempel 1. Lav en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = - in

punkt x = 1.

Løsning. Lad os bruge algoritmen under hensyntagen til det i i dette eksempel

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Erstat de tre fundne tal: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 i formlen. Vi får: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Svar: y = x-2.

Eksempel 2. Givet funktionen y = x 3 +3x 2 -2x-2. Skriv ned ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x), parallelt med den rette linje y = -2x +1.

Ved at bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen tager vi højde for, at i dette eksempel f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, men tangentpunktets abscisse er ikke angivet her.

Lad os begynde at tænke sådan her. Den ønskede tangent skal være parallel med den rette linje y = -2x+1. Og parallelle linjer har lige store vinkelkoefficienter. Det betyder, at tangentens vinkelkoefficient er lig med vinkelkoefficienten for den givne rette linie: k tangent. = -2. Hok cas. = f"(a). Således kan vi finde værdien af ​​a ud fra ligningen f ´(a) = -2.

Lad os finde den afledede af funktionen y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a2 +6a-2.

Fra ligningen f"(a) = -2, dvs. 3a2 +6a-2=-2 finder vi a 1 =0, a 2 =-2. Det betyder, at der er to tangenter, der opfylder problemets betingelser: en i punktet med abscisse 0, den anden i punktet med abscisse -2.

Nu kan du følge algoritmen.

1) a 1 = 0 og 2 = -2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·02 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Ved at erstatte værdierne a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 i formlen, får vi:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ved at erstatte værdierne a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 i formlen, får vi:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Svar: y=-2x-2, y=-2x+2.

Eksempel 3. Fra punkt (0; 3) tegnes en tangent til grafen for funktionen y = . Løsning. Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel f(x) = . Bemærk, at her, som i eksempel 2, er abscissen af ​​tangentpunktet ikke eksplicit angivet. Ikke desto mindre følger vi algoritmen.

1) Lad x = a være abscissen af ​​tangenspunktet; det er klart, at en >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Substitution af værdierne af a, f(a) = , f"(a) = i formlen

y=f (a) +f "(a) (x-a), vi får:

Ved betingelse passerer tangenten gennem punktet (0; 3). Ved at erstatte værdierne x = 0, y = 3 i ligningen får vi: 3 = , og derefter =6, a =36.

Som du kan se, i dette eksempel, lykkedes det kun på det fjerde trin af algoritmen at finde abscissen af ​​tangentpunktet. Ved at indsætte værdien a =36 i ligningen får vi: y=+3

I fig. Figur 1 viser en geometrisk illustration af det betragtede eksempel: en graf for funktionen y = er konstrueret, en ret linje tegnes y = +3.

Svar: y = +3.

Vi ved, at for en funktion y = f(x), som har en afledet i punktet x, er den omtrentlige lighed gyldig: Δyf´(x)Δx (delta y er omtrent lig med ef-primtallet af x ganget med delta x)

eller mere detaljeret f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff fra x plus delta x minus ef fra x er omtrent lig med eff primtal fra x ved delta x).

For at lette yderligere diskussion, lad os ændre notationen:

i stedet for x skriver vi EN,

i stedet for x+Δx skriver vi x

I stedet for Δx skriver vi x-a.

Så vil den omtrentlige lighed skrevet ovenfor have formen:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff fra x er omtrent lig med ef fra et plus ef primtal fra a, ganget med forskellen mellem x og a).

Eksempel 4: Find en omtrentlig værdi numerisk udtryk 2,003 6 .

Løsning. Det handler om om at finde værdien af ​​funktionen y = x 6 i punktet x = 2,003. Lad os bruge formlen f(x)f(a)+f´(a)(x-a), idet vi tager højde for, at i dette eksempel f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 og derfor f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Som et resultat får vi:

2,003 6 64+192· 0,003, dvs. 2,003 6 = 64,576.

Hvis vi bruger en lommeregner, får vi:

2,003 6 = 64,5781643...

Som du kan se, er tilnærmelsesnøjagtigheden ganske acceptabel.

Overvej følgende figur:

Den afbilder en bestemt funktion y = f(x), som er differentierbar i punkt a. Punkt M med koordinater (a; f(a)) er markeret. En sekant MR tegnes gennem et vilkårligt punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) på grafen.

Hvis nu punktet P forskydes langs grafen til punktet M, så vil den lige linje MR rotere omkring punktet M. I dette tilfælde vil ∆x vende mod nul. Herfra kan vi formulere definitionen af ​​en tangent til grafen for en funktion.

Tangent til grafen for en funktion

Tangenten til grafen for en funktion er sekantens grænseposition, da stigningen af ​​argumentet har en tendens til nul. Det skal forstås, at eksistensen af ​​den afledede af funktionen f i punktet x0 betyder, at der på dette punkt på grafen er tangent til ham.

I dette tilfælde vil tangentens vinkelkoefficient være lig med den afledede af denne funktion på dette punkt f'(x0). Dette er den geometriske betydning af derivatet. Tangenten til grafen for en funktion f, der kan differentieres i punktet x0, er en bestemt ret linje, der går gennem punktet (x0;f(x0)) og har en vinkelkoefficient f'(x0).

Tangentligning

Lad os prøve at få ligningen for tangenten til grafen for en funktion f i punktet A(x0; f(x0)). Ligningen for en ret linje med hældning k har næste visning:

Da vores hældningskoefficient er lig med den afledte f'(x0), så vil ligningen have følgende form: y = f'(x0)*x + b.

Lad os nu beregne værdien af ​​b. For at gøre dette bruger vi det faktum, at funktionen går gennem punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, herfra udtrykker vi b og får b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Vi erstatter den resulterende værdi i tangentligningen:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Overvej følgende eksempel: find ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 i punktet x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Erstat de opnåede værdier i tangentformlen, vi får: y = 1 + 4*(x - 2). Ved at åbne parenteserne og bringe lignende udtryk får vi: y = 4*x - 7.

Svar: y = 4*x - 7.

Generelt skema til at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y = f(x):

1. Bestem x0.

2. Beregn f(x0).

3. Beregn f'(x)

Artiklen giver en detaljeret forklaring af definitionerne, den geometriske betydning af derivatet med grafiske notationer. Ligningen for en tangentlinje vil blive betragtet med eksempler, ligningerne for en tangent til 2. ordens kurver vil blive fundet.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Hældningsvinklen på den rette linje y = k x + b kaldes vinkel α, som måles fra x-aksens positive retning til den rette linje y = k x + b i positiv retning.

På figuren er x-retningen angivet med en grøn pil og en grøn bue, og hældningsvinklen med en rød bue. Den blå linje refererer til den lige linje.

Definition 2

Hældningen af ​​den rette linje y = k x + b kaldes den numeriske koefficient k.

Vinkelkoefficienten er lig med tangenten til den rette linje, med andre ord k = t g α.

• Hældningsvinklen på en ret linje er kun lig med 0, hvis den er parallel omkring x og hældningen er lig nul, fordi tangenten til nul er lig med 0. Det betyder, at formen af ​​ligningen vil være y = b.
• Hvis hældningsvinklen på den rette linie y = k x + b er spids, så er betingelserne 0 opfyldt< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается positivt tal, fordi tangentværdien opfylder betingelsen t g α > 0, og der er en stigning i grafen.
• Hvis α = π 2, så er linjens placering vinkelret på x. Lighed er angivet ved x = c, hvor værdien c er et reelt tal.
• Hvis hældningsvinklen på den rette linje y = k x + b er stump, svarer den til betingelserne π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negativ værdi, og grafen er faldende.

Definition 3

En sekant er en linje, der går gennem 2 punkter i funktionen f (x). Med andre ord er en sekant en ret linje, der trækkes gennem to vilkårlige punkter på grafen for en given funktion.

Figuren viser, at A B er en sekant, og f (x) er en sort kurve, α er en rød bue, der angiver sekantens hældningsvinkel.

Når vinkelkoefficienten for en ret linje er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen, er det klart, at tangenten af ​​en retvinklet trekant A B C kan findes ved forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende.

Definition 4

Vi får en formel til at finde en sekant af formen:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, hvor abscissen af ​​punkterne A og B er værdierne x A, x B og f (x A), f (x B) er værdifunktionerne på disse punkter.

Det er klart, at sekantens vinkelkoefficient bestemmes ved hjælp af ligheden k = f (x B) - f (x A) x B - x A eller k = f (x A) - f (x B) x A - x B , og ligningen skal skrives som y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) eller
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanten opdeler grafen visuelt i 3 dele: til venstre for punkt A, fra A til B, til højre for B. Figuren nedenfor viser, at der er tre sekanter, der anses for at være sammenfaldende, det vil sige, at de er sat vha. en lignende ligning.

Per definition er det klart, at den lige linje og dens sekant i dette tilfælde er sammenfaldende.

En sekant kan skære grafen for en given funktion flere gange. Hvis der er en ligning på formen y = 0 for en sekant, så er antallet af skæringspunkter med sinusoidet uendeligt.

Definition 5

Tangent til grafen for funktionen f (x) i punktet x 0 ; f (x 0) er en ret linje, der går gennem et givet punkt x 0; f (x 0), med tilstedeværelsen af ​​et segment, der har mange x-værdier tæt på x 0.

Eksempel 1

Lad os se nærmere på eksemplet nedenfor. Så er det klart, at linjen defineret af funktionen y = x + 1 betragtes som tangent til y = 2 x i punktet med koordinaterne (1; 2). For klarhedens skyld er det nødvendigt at overveje grafer med værdier tæt på (1; 2). Funktionen y = 2 x er vist med sort, den blå linje er tangentlinjen, og den røde prik er skæringspunktet.

Det er klart, at y = 2 x smelter sammen med linjen y = x + 1.

For at bestemme tangenten bør vi overveje opførselen af ​​tangenten A B, når punkt B nærmer sig punkt A uendeligt. For klarhedens skyld præsenterer vi en tegning.

Sekanten A B, angivet med den blå linje, tenderer mod selve tangentens position, og hældningsvinklen for sekanten α vil begynde at vende mod hældningsvinklen for selve tangenten α x.

Definition 6

Tangenten til grafen for funktionen y = f (x) i punkt A anses for at være grænsepositionen for sekanten A B, da B tenderer mod A, det vil sige B → A.

Lad os nu gå videre til at overveje den geometriske betydning af den afledte funktion af en funktion i et punkt.

Lad os gå videre til at betragte sekanten A B for funktionen f (x), hvor A og B med koordinaterne x 0, f (x 0) og x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), og ∆ x er betegnet som stigningen i argumentet. Nu vil funktionen have formen ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . For klarhedens skyld, lad os give et eksempel på en tegning.

Lad os overveje resultatet retvinklet trekant A B C. Vi bruger definitionen af ​​tangent til at løse, det vil sige, at vi får relationen ∆ y ∆ x = t g α . Af definitionen af ​​en tangent følger det, at lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Ifølge reglen for den afledede i et punkt har vi, at den afledede f (x) i punktet x 0 kaldes grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og argumentets stigning, hvor ∆ x → 0 , så betegner vi det som f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Det følger heraf, at f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, hvor k x er angivet som tangentens hældning.

Det vil sige, vi får, at f ' (x) kan eksistere i punktet x 0 og ligesom tangenten til givet tidsplan funktion ved tangenspunktet lig med x 0, f 0 (x 0), hvor værdien af ​​hældningen af ​​tangenten i punktet er lig med den afledede i punktet x 0. Så får vi at k x = f " (x 0) .

Den geometriske betydning af den afledte funktion af en funktion i et punkt er, at begrebet eksistensen af ​​en tangent til grafen i samme punkt er givet.

For at skrive ligningen for enhver ret linje på et plan er det nødvendigt at have en vinkelkoefficient med det punkt, hvorigennem den passerer. Dens notation antages at være x 0 ved skæringspunktet.

Tangentligningen til grafen for funktionen y = f (x) i punktet x 0, f 0 (x 0) har formen y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Det betyder, at den endelige værdi af den afledte f "(x 0) kan bestemme tangentens position, det vil sige lodret, forudsat lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ og lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ eller fravær overhovedet under betingelsen lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Placeringen af ​​tangenten afhænger af værdien af ​​dens vinkelkoefficient k x = f "(x 0). Når den er parallel med o x-aksen, får vi, at k k = 0, når den er parallel med o y - k x = ∞, og formen af tangentligning x = x 0 stiger med k x > 0, aftager som k x< 0 .

Eksempel 2

Sammenstil en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 i punktet med koordinaterne (1; 3) og bestem hældningsvinklen.

Løsning

Ved betingelse har vi, at funktionen er defineret for alle reelle tal. Vi finder, at punktet med koordinater angivet af betingelsen, (1; 3) er et tangenspunkt, så x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Det er nødvendigt at finde den afledte på punktet med værdien - 1. Det forstår vi

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Værdien af ​​f' (x) ved tangenspunktet er tangentens hældning, som er lig med hældningens tangent.

Så k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Det følger heraf, at α x = a r c t g 3 3 = π 6

Svar: tangentligningen tager formen

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

For klarhedens skyld giver vi et eksempel i en grafisk illustration.

Sort farve bruges til grafen for den oprindelige funktion, blå– billede af en tangent, rød prik – tangenspunkt. Figuren til højre viser et forstørret billede.

Eksempel 3

Bestem eksistensen af ​​en tangent til grafen for en given funktion
y = 3 · x - 1 5 + 1 i punktet med koordinaterne (1 ; 1) . Skriv en ligning og bestem hældningsvinklen.

Løsning

Ved betingelse har vi, at definitionsdomænet for en given funktion anses for at være mængden af ​​alle reelle tal.

Lad os gå videre til at finde den afledte

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Hvis x 0 = 1, så er f' (x) udefineret, men grænserne skrives som lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ og lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, hvilket betyder eksistens lodret tangent ved punkt (1; 1).

Svar: ligningen vil have formen x = 1, hvor hældningsvinklen vil være lig med π 2.

For klarhedens skyld, lad os afbilde det grafisk.

Eksempel 4

Find punkterne på grafen for funktionen y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, hvor

1. Der er ingen tangent;
2. Tangenten er parallel med x;
3. Tangenten er parallel med linjen y = 8 5 x + 4.

Løsning

Det er nødvendigt at være opmærksom på definitionens omfang. Ved betingelse har vi, at funktionen er defineret på mængden af ​​alle reelle tal. Vi udvider modulet og løser systemet med intervaller x ∈ - ∞ ; 2 og [-2; + ∞). Det forstår vi

y = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Det er nødvendigt at differentiere funktionen. Det har vi

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Når x = - 2, så eksisterer den afledede ikke, fordi de ensidede grænser ikke er ens på det tidspunkt:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vi beregner værdien af ​​funktionen i punktet x = - 2, hvor vi får det

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, dvs. tangenten i punktet ( - 2; - 2) vil ikke eksistere.
2. Tangenten er parallel med x, når hældningen er nul. Så k x = t g α x = f "(x 0). Det vil sige, det er nødvendigt at finde værdierne af sådan x, når den afledede af funktionen vender den til nul. Det vil sige værdierne af f ' (x) vil være tangenspunkterne, hvor tangenten er parallel med x .

Når x ∈ - ∞ ; - 2, så - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, og for x ∈ (- 2; + ∞) får vi 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Beregn de tilsvarende funktionsværdier

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Derfor - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 anses for at være de nødvendige punkter i funktionsgrafen.

Lad os se på en grafisk fremstilling af løsningen.

Den sorte linje er grafen for funktionen, de røde prikker er tangenspunkterne.

1. Når linjerne er parallelle, er vinkelkoefficienterne ens. Så er det nødvendigt at søge efter punkter på funktionsgrafen, hvor hældningen vil være lig med værdien 8 5. For at gøre dette skal du løse en ligning på formen y "(x) = 8 5. Så, hvis x ∈ - ∞; - 2, får vi det - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, og hvis x ∈ ( - 2 ; + ∞), så er 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Den første ligning har ingen rødder, da diskriminanten er mindre end nul. Lad os skrive det ned

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

En anden ligning har altså to reelle rødder

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Lad os gå videre til at finde værdierne for funktionen. Det forstår vi

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Point med værdier - 1; 4 15, 5; 8 3 er de punkter, hvor tangenterne er parallelle med linjen y = 8 5 x + 4.

Svar: sort linje – graf for funktionen, rød linje – graf af y = 8 5 x + 4, blå linje – tangenter i punkter - 1; 4 15, 5; 8 3.

Der kan være et uendeligt antal tangenter for givne funktioner.

Eksempel 5

Skriv ligningerne for alle tilgængelige tangenter til funktionen y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, som er placeret vinkelret på den rette linje y = - 2 x + 1 2.

Løsning

For at kompilere tangentligningen er det nødvendigt at finde koefficienten og koordinaterne for tangentpunktet, baseret på betingelsen om vinkelret på linjerne. Definitionen er som følger: produktet af vinkelkoefficienter, der er vinkelrette på rette linjer, er lig med - 1, det vil sige skrevet som k x · k ⊥ = - 1. Ud fra betingelsen har vi, at vinkelkoefficienten er placeret vinkelret på linjen og er lig k ⊥ = - 2, så k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Nu skal du finde koordinaterne for berøringspunkterne. Du skal finde x og derefter dens værdi for en given funktion. Bemærk, at fra den geometriske betydning af den afledte på punktet
x 0 får vi at k x = y "(x 0). Ud fra denne lighed finder vi værdierne af x for kontaktpunkterne.

Det forstår vi

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Denne trigonometrisk ligning vil blive brugt til at beregne ordinaterne for tangentpunkterne.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk eller 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk eller 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk eller x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z er et sæt af heltal.

x kontaktpunkter er fundet. Nu skal du gå videre til at søge efter værdierne af y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 eller y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 eller y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 eller y 0 = - 4 5 + 1 3

Heraf får vi, at 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 er tangenspunkterne.

Svar: de nødvendige ligninger vil blive skrevet som

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

For en visuel repræsentation skal du overveje en funktion og en tangent på en koordinatlinje.

Figuren viser, at funktionen er placeret på intervallet [-10; 10 ], hvor den sorte linje er grafen for funktionen, er de blå linjer tangenterne, som er placeret vinkelret på den givne linje på formen y = - 2 x + 1 2. Røde prikker er berøringspunkter.

De kanoniske ligninger af 2. ordens kurver er ikke funktioner med en enkelt værdi. Tangentligninger for dem kompileres efter kendte skemaer.

Tangent til en cirkel

At definere en cirkel med centrum i punktet x c e n t e r ; y c e n t e r og radius R, anvend formlen x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Denne lighed kan skrives som en forening af to funktioner:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Den første funktion er placeret øverst, og den anden i bunden, som vist på figuren.

At kompilere ligningen for en cirkel i punktet x 0; y 0 , som er placeret i den øvre eller nedre halvcirkel, skal du finde ligningen for grafen for en funktion af formen y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r eller y = - R 2 - x - x c e n t e . y c e n t e r på det angivne punkt.

Når i punkter x c e n t e r; y c e n t e r + R og x c e n t e r ; y c e n t e r - R-tangenser kan gives ved ligningerne y = y c e n t e r + R og y = y c e n t e r - R , og i punkterne x c ​​e n t e r + R ; y c e n t e r og
x c e n t e r - R; y c e n t e r vil være parallel med o y, så får vi ligninger på formen x = x c e n t e r + R og x = x c e n t e r - R .

Tangent til en ellipse

Når ellipsen har et centrum ved x c e n t e r; y c e n t e r med halvakser a og b, så kan det specificeres ved hjælp af ligningen x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

En ellipse og en cirkel kan betegnes ved at kombinere to funktioner, nemlig den øvre og nedre halvellipse. Så får vi det

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Hvis tangenterne er placeret ved ellipsens hjørner, så er de parallelle omkring x eller omkring y. Nedenfor, for klarhedens skyld, overvej figuren.

Eksempel 6

Skriv ligningen for tangenten til ellipsen x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 i punkter med værdier af x lig med x = 2.

Løsning

Det er nødvendigt at finde de tangentpunkter, der svarer til værdien x = 2. Vi erstatter den eksisterende ellipseligning og finder det

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Så 2; 5 3 2 + 5 og 2; - 5 3 2 + 5 er de tangentpunkter, der hører til den øvre og nedre halvellipse.

Lad os gå videre til at finde og løse ellipsens ligning med hensyn til y. Det forstår vi

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Det er klart, at den øvre halvellipse er specificeret ved hjælp af en funktion af formen y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, og den nederste halvellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Lad os anvende en standardalgoritme til at skabe en ligning for en tangent til grafen for en funktion i et punkt. Lad os skrive, at ligningen for den første tangent i punkt 2; 5 3 2 + 5 vil se ud

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Vi finder, at ligningen for den anden tangent med en værdi i punktet
2; - 5 3 2 + 5 har formen

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisk betegnes tangenter som følger:

Tangent til hyperbole

Når en hyperbel har et centrum ved x c e n t e r; y c e n t e r og hjørner x c e n t e r + α ; y c e n t e r og x c e n t e r - α ; y c e n t e r finder uligheden x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 sted, hvis med toppunkter x c e n t e r ; y c e n t e r + b og x c e n t e r ; y c e n t e r - b , så specificeres ved hjælp af uligheden x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

En hyperbel kan repræsenteres som to kombinerede funktioner af formen

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r eller y = b a · (x - n t e n) t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

I det første tilfælde har vi, at tangenterne er parallelle med y, og i det andet tilfælde er de parallelle med x.

Det følger heraf, at for at finde ligningen for tangenten til en hyperbel, er det nødvendigt at finde ud af, hvilken funktion tangenspunktet tilhører. For at bestemme dette er det nødvendigt at erstatte i ligningerne og kontrollere for identitet.

Eksempel 7

Skriv en ligning for tangenten til hyperbelen x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 i punkt 7; - 3 3 - 3 .

Løsning

Det er nødvendigt at transformere løsningsposten for at finde en hyperbel ved hjælp af 2 funktioner. Det forstår vi

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 og y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Det er nødvendigt at identificere, hvilken funktion et givet punkt med koordinaterne 7 tilhører; - 3 3 - 3 .

For at kontrollere den første funktion er det naturligvis nødvendigt y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, så hører punktet ikke til grafen, da ligestillingen ikke holder.

For den anden funktion har vi, at y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, hvilket betyder, at punktet hører til den givne graf. Herfra bør du finde skråningen.

Det forstår vi

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Svar: tangentligningen kan repræsenteres som

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Det er tydeligt afbildet sådan:

Tangent til en parabel

For at lave en ligning for tangenten til parablen y = a x 2 + b x + c i punktet x 0, y (x 0), skal du bruge en standardalgoritme, så vil ligningen have formen y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) en sådan tangent ved toppunktet er parallel med x.

Du bør definere parablen x = a y 2 + b y + c som foreningen af ​​to funktioner. Derfor skal vi løse ligningen for y. Det forstår vi

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafisk afbildet som:

For at finde ud af, om et punkt x 0, y (x 0) hører til en funktion, skal du fortsætte forsigtigt i henhold til standardalgoritmen. En sådan tangent vil være parallel med o y i forhold til parablen.

Eksempel 8

Skriv tangentens ligning til grafen x - 2 y 2 - 5 y + 3, når vi har en tangentvinkel på 150°.

Løsning

Vi begynder løsningen med at repræsentere parablen som to funktioner. Det forstår vi

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Værdien af ​​hældningen er lig med værdien af ​​den afledede i punktet x 0 af denne funktion og er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen.

Vi får:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Herfra bestemmer vi x-værdien for kontaktpunkterne.

Den første funktion vil blive skrevet som

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Der er naturligvis ingen reelle rødder, da vi fik en negativ værdi. Vi konkluderer, at der ikke er nogen tangent med en vinkel på 150° for en sådan funktion.

Den anden funktion vil blive skrevet som

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Vi har, at kontaktpunkterne er 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Svar: tangentligningen tager formen

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Lad os afbilde det grafisk på denne måde:

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Lad en funktion f være givet, som på et tidspunkt x 0 har en endelig afledt f (x 0). Så kaldes den rette linje, der går gennem punktet (x 0 ; f (x 0)), med en vinkelkoefficient f ’(x 0), en tangent.

Hvad sker der, hvis den afledede ikke eksisterer i punktet x 0? Der er to muligheder:

1. Der er heller ingen tangent til grafen. Et klassisk eksempel er funktionen y = |x | ved punkt (0; 0).
2. Tangenten bliver lodret. Dette gælder for eksempel for funktionen y = arcsin x i punktet (1; π /2).

Tangentligning

Enhver ikke-lodret ret linje er givet ved en ligning på formen y = kx + b, hvor k er hældningen. Tangenten er ingen undtagelse, og for at skabe dens ligning på et tidspunkt x 0, er det nok at kende værdien af ​​funktionen og den afledede på dette tidspunkt.

Så lad en funktion y = f (x) være givet, som har en afledt y = f ’(x) på segmentet. Derefter kan der ved ethvert punkt x 0 ∈ (a; b) trækkes en tangent til grafen for denne funktion, som er givet ved ligningen:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Her er f ’(x 0) værdien af ​​den afledede i punktet x 0, og f (x 0) er værdien af ​​selve funktionen.

Opgave. Givet funktionen y = x 3 . Skriv en ligning for tangenten til grafen for denne funktion i punktet x 0 = 2.

Tangentligning: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punktet x 0 = 2 er givet til os, men værdierne f (x 0) og f '(x 0) skal beregnes.

Lad os først finde værdien af ​​funktionen. Alt er nemt her: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Lad os nu finde den afledede: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Vi erstatter x 0 = 2 i den afledede: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
I alt får vi: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dette er tangentligningen.

Opgave. Skriv en ligning for tangenten til grafen for funktionen f (x) = 2sin x + 5 i punktet x 0 = π /2.

Denne gang vil vi ikke beskrive hver handling i detaljer - vi vil kun angive de vigtigste trin. Vi har:

f (x 0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentligning:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

I sidstnævnte tilfælde viste den lige linje sig at være vandret, fordi dens vinkelkoefficient k = 0. Der er ikke noget galt med dette - vi faldt lige over et ekstremum.