Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller baseret på offentlige henvendelser eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

På moderne scene udvikling af uddannelse, en af ​​dens hovedopgaver er dannelsen af ​​en kreativt tænkende personlighed. Evnen til kreativitet hos eleverne kan kun udvikles, hvis de systematisk er involveret i det grundlæggende i forskningsaktiviteter. Grundlaget for, at eleverne kan bruge deres kreative kræfter, evner og talenter, er dannet fuldgyldig viden og færdigheder. I denne henseende er problemet med at danne et system basis viden og færdigheder for hvert emne skoleforløb matematik er af ikke ringe betydning. Samtidig bør fuldgyldige færdigheder ikke være det didaktiske mål for individuelle opgaver, men for et nøje gennemtænkt system af dem. I bredeste forstand forstås et system som et sæt af indbyrdes forbundne interagerende elementer med integritet og en stabil struktur.

Lad os overveje en teknik til at lære eleverne at skrive en ligning for en tangent til grafen for en funktion. I det væsentlige kommer alle problemer med at finde tangentligningen ned på behovet for at vælge fra et sæt (bundt, familie) af linjer dem, der opfylder et bestemt krav - de tangerer grafen for en bestemt funktion. I dette tilfælde kan det sæt af linjer, hvorfra valget udføres, specificeres på to måder:

a) et punkt, der ligger på xOy-planet (central blyant af linjer);
b) vinkelkoefficient (parallel stråle af rette linjer).

I denne henseende identificerede vi to typer problemer, da vi studerede emnet "Tangent til grafen for en funktion" for at isolere systemets elementer:

1) problemer på en tangent givet af det punkt, den passerer igennem;
2) problemer på en tangent givet ved dens hældning.

Træning i at løse tangentproblemer blev udført ved hjælp af algoritmen foreslået af A.G. Mordkovich. Hans grundlæggende forskel fra de allerede kendte er, at tangenspunktets abscisse er angivet med bogstavet a (i stedet for x0), og derfor har tangentens ligning formen

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(sammenlign med y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Dette metodisk teknik, efter vores mening, giver eleverne mulighed for hurtigt og nemt at forstå, hvor i den generelle tangentligning koordinaterne for det aktuelle punkt er skrevet, og hvor tangentpunkterne er.

Algoritme til at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y = f(x)

1. Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet a.
2. Find f(a).
3. Find f "(x) og f "(a).
4. Erstat de fundne tal a, f(a), f "(a) i generel ligning tangent y = f(a) = f "(a)(x – a).

Denne algoritme kan kompileres på grundlag af elevernes uafhængige identifikation af operationer og rækkefølgen af ​​deres implementering.

Praksis har vist, at den sekventielle løsning af hvert af nøgleproblemerne ved hjælp af en algoritme giver dig mulighed for at udvikle færdighederne til at skrive ligningen for en tangent til grafen for en funktion i etaper, og trinene i algoritmen tjener som referencepunkter for handlinger . Denne tilgang er i overensstemmelse med teorien gradvis dannelse mentale handlinger, udviklet af P.Ya. Galperin og N.F. Talyzina.

I den første type opgaver blev to nøgleopgaver identificeret:

• tangenten passerer gennem et punkt, der ligger på kurven (opgave 1);
• tangenten går gennem et punkt, der ikke ligger på kurven (opgave 2).

Opgave 1. Skriv en ligning for tangenten til funktionens graf ved punkt M(3; – 2).

Løsning. Punkt M(3; – 2) er et tangentpunkt, da

1. a = 3 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentligning.

Opgave 2. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = – x 2 – 4x + 2, der går gennem punktet M(– 3; 6).

Løsning. Punkt M(– 3; 6) er ikke et tangenspunkt, da f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangentligning.

Tangenten passerer gennem punktet M(– 3; 6), derfor opfylder dens koordinater tangentligningen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Hvis a = – 4, så er tangentligningen y = 4x + 18.

Hvis a = – 2, så har tangentligningen formen y = 6.

I den anden type vil nøgleopgaverne være følgende:

• tangenten er parallel med en linje (opgave 3);
• tangenten passerer i en bestemt vinkel til den givne linje (opgave 4).

Opgave 3. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = x 3 – 3x 2 + 3, parallelt med linjen y = 9x + 1.

1. a – abscisse af tangentpunktet.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Men på den anden side er f "(a) = 9 (parallelismebetingelse). Det betyder, at vi skal løse ligningen 3a 2 – 6a = 9. Dens rødder er a = – 1, a = 3 (fig. 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – tangentligning;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangentligning.

Opgave 4. Skriv tangentens ligning til grafen for funktionen y = 0,5x 2 – 3x + 1, idet den passerer i en vinkel på 45° til den rette linje y = 0 (fig. 4).

Løsning. Fra betingelsen f "(a) = tan 45° finder vi a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangentligning.

Det er let at vise, at løsningen på ethvert andet problem kommer ned til at løse et eller flere nøgleproblemer. Betragt følgende to problemer som et eksempel.

1. Skriv ligningerne for tangenterne til parablen y = 2x 2 – 5x – 2, hvis tangenterne skærer hinanden vinkelret og en af ​​dem rører parablen i punktet med abscisse 3 (fig. 5).

Løsning. Da tangentpunktets abscisse er givet, reduceres den første del af løsningen til nøgleopgave 1.

1. a = 3 – abscisse af tangenspunktet på en af ​​siderne ret vinkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ligning for den første tangent.

Lad a være hældningsvinklen for den første tangent. Da tangenterne er vinkelrette, så er hældningsvinklen for den anden tangent. Fra ligningen y = 7x – 20 af den første tangent har vi tg a = 7. Lad os finde

Det betyder, at hældningen af ​​den anden tangent er lig med .

Den videre løsning kommer ned til nøgleopgave 3.

Lad B(c; f(c)) være tangenspunktet for den anden linje, så

1. – abscisse af det andet tangenspunkt.
2.
3.
4.
– ligning for den anden tangent.

Bemærk. Tangensens vinkelkoefficient kan lettere findes, hvis eleverne kender forholdet mellem koefficienterne for vinkelrette linjer k 1 k 2 = – 1.

2. Skriv ligningerne for alle fælles tangenter til graferne for funktioner

Løsning. Problemet kommer ned til at finde abscissen af ​​tangenspunkterne for almindelige tangenter, det vil sige at løse nøgleproblem 1 i generel opfattelse, opstilling af et ligningssystem og dets efterfølgende løsning (fig. 6).

1. Lad a være abscissen af ​​tangentpunktet, der ligger på grafen for funktionen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.

1. Lad c være abscissen af ​​tangentpunktet, der ligger på grafen for funktionen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da tangenter er generelle, altså

Så y = x + 1 og y = – 3x – 3 er almindelige tangenter.

Hovedmålet med de overvejede opgaver er at forberede eleverne til selvstændigt at genkende typen af ​​nøgleproblem, når de løser mere komplekse problemer, der kræver visse forskningsfærdigheder (evnen til at analysere, sammenligne, generalisere, fremsætte en hypotese osv.). Sådanne opgaver omfatter enhver opgave, hvori nøgleopgaven indgår som en komponent. Lad os som eksempel betragte problemet (omvendt til opgave 1) med at finde en funktion fra familien af ​​dens tangenter.

3. For hvilke b og c tangerer linjerne y = x og y = – 2x grafen for funktionen y = x 2 + bx + c?

Lad t være abscissen af ​​tangenspunktet for den rette linje y = x med parablen y = x 2 + bx + c; p er abscissen af ​​tangenspunktet for den rette linje y = – 2x med parablen y = x 2 + bx + c. Så vil tangentligningen y = x have formen y = (2t + b)x + c – t 2 , og tangentligningen y = – 2x vil have formen y = (2p + b)x + c – p 2 .

Lad os sammensætte og løse et ligningssystem

Svar:

Ligning for tangenten til grafen for en funktion

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk-regionen

Ligning for tangenten til grafen for en funktion

Artiklen blev publiceret med støtte fra ITAKA+ Hotel Complex. Når du bor i skibsbyggernes by Severodvinsk, vil du ikke støde på problemet med at finde midlertidig bolig. , Online hotelkompleks“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, du kan nemt og hurtigt leje en lejlighed i byen, for enhver periode, med en daglig betaling.

På det nuværende udviklingsstadium af uddannelse er en af ​​dens hovedopgaver dannelsen af ​​en kreativt tænkende personlighed. Evnen til kreativitet hos eleverne kan kun udvikles, hvis de systematisk er involveret i det grundlæggende i forskningsaktiviteter. Grundlaget for, at eleverne kan bruge deres kreative kræfter, evner og talenter, er dannet fuldgyldig viden og færdigheder. I denne henseende er problemet med at danne et system med grundlæggende viden og færdigheder for hvert emne i skolens matematikkursus af ikke ringe betydning. Samtidig bør fuldgyldige færdigheder ikke være det didaktiske mål for individuelle opgaver, men for et nøje gennemtænkt system af dem. I bredeste forstand forstås et system som et sæt af indbyrdes forbundne interagerende elementer med integritet og en stabil struktur.

Lad os overveje en teknik til at lære eleverne at skrive en ligning for en tangent til grafen for en funktion. I det væsentlige kommer alle problemer med at finde tangentligningen ned på behovet for at vælge fra et sæt (bundt, familie) af linjer dem, der opfylder et bestemt krav - de tangerer grafen for en bestemt funktion. I dette tilfælde kan det sæt af linjer, hvorfra valget udføres, specificeres på to måder:

a) et punkt, der ligger på xOy-planet (central blyant af linjer);
b) vinkelkoefficient (parallel stråle af rette linjer).

I denne henseende, når vi studerede emnet "Tangent til grafen for en funktion" for at isolere elementerne i systemet, identificerede vi to typer problemer:

1) problemer på en tangent givet af det punkt, den passerer igennem;
2) problemer på en tangent givet ved dens hældning.

Træning i at løse tangentproblemer blev udført ved hjælp af algoritmen foreslået af A.G. Mordkovich. Dens grundlæggende forskel fra de allerede kendte er, at tangentpunktets abscisse er angivet med bogstavet a (i stedet for x0), og derfor har tangentligningen formen

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(sammenlign med y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Denne metodiske teknik giver efter vores mening eleverne mulighed for hurtigt og nemt at forstå, hvor koordinaterne for det aktuelle punkt er skrevet i den generelle tangentligning, og hvor er kontaktpunkterne.

Algoritme til at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y = f(x)

1. Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet a.
2. Find f(a).
3. Find f "(x) og f "(a).
4. Erstat de fundne tal a, f(a), f "(a) i den generelle tangentligning y = f(a) = f "(a)(x – a).

Denne algoritme kan kompileres på grundlag af elevernes uafhængige identifikation af operationer og rækkefølgen af ​​deres implementering.

Praksis har vist, at den sekventielle løsning af hvert af nøgleproblemerne ved hjælp af en algoritme giver dig mulighed for at udvikle færdighederne til at skrive ligningen for en tangent til grafen for en funktion i etaper, og trinene i algoritmen tjener som referencepunkter for handlinger . Denne tilgang svarer til teorien om den gradvise dannelse af mentale handlinger udviklet af P.Ya. Galperin og N.F. Talyzina.

I den første type opgaver blev to nøgleopgaver identificeret:

• tangenten passerer gennem et punkt, der ligger på kurven (opgave 1);
• tangenten går gennem et punkt, der ikke ligger på kurven (opgave 2).

Opgave 1. Skriv en ligning for tangenten til funktionens graf ved punkt M(3; – 2).

Løsning. Punkt M(3; – 2) er et tangentpunkt, da

1. a = 3 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentligning.

Opgave 2. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = – x 2 – 4x + 2, der går gennem punktet M(– 3; 6).

Løsning. Punkt M(– 3; 6) er ikke et tangentpunkt, da f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangentligning.

Tangenten passerer gennem punktet M(– 3; 6), derfor opfylder dens koordinater tangentligningen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Hvis a = – 4, så er tangentligningen y = 4x + 18.

Hvis a = – 2, så har tangentligningen formen y = 6.

I den anden type vil nøgleopgaverne være følgende:

• tangenten er parallel med en linje (opgave 3);
• tangenten passerer i en bestemt vinkel til den givne linje (opgave 4).

Opgave 3. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = x 3 – 3x 2 + 3, parallelt med linjen y = 9x + 1.

Løsning.

1. a – abscisse af tangentpunktet.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Men på den anden side er f "(a) = 9 (parallelismebetingelse). Det betyder, at vi skal løse ligningen 3a 2 – 6a = 9. Dens rødder er a = – 1, a = 3 (fig. 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – tangentligning;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangentligning.

Opgave 4. Skriv tangentens ligning til grafen for funktionen y = 0,5x 2 – 3x + 1, idet den passerer i en vinkel på 45° til den rette linje y = 0 (fig. 4).

Løsning. Fra betingelsen f "(a) = tan 45° finder vi a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangentligning.

Det er let at vise, at løsningen på ethvert andet problem kommer ned til at løse et eller flere nøgleproblemer. Betragt følgende to problemer som et eksempel.

1. Skriv ligningerne for tangenterne til parablen y = 2x 2 – 5x – 2, hvis tangenterne skærer hinanden vinkelret og en af ​​dem rører parablen i punktet med abscisse 3 (fig. 5).

Løsning. Da tangentpunktets abscisse er givet, reduceres den første del af løsningen til nøgleopgave 1.

1. a = 3 – abscisse af tangenspunktet for en af ​​siderne af den rette vinkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ligning for den første tangent.

Lad a – hældningsvinkel for den første tangent. Da tangenterne er vinkelrette, så er hældningsvinklen for den anden tangent. Fra ligningen y = 7x – 20 af den første tangent har vi tg a = 7. Lad os finde

Det betyder, at hældningen af ​​den anden tangent er lig med .

Den videre løsning kommer ned til nøgleopgave 3.

Lad B(c; f(c)) være tangenspunktet for den anden linje, så

1. – abscisse af det andet tangenspunkt.
2.
3.
4.
– ligning for den anden tangent.

Bemærk. Tangensens vinkelkoefficient kan lettere findes, hvis eleverne kender forholdet mellem koefficienterne for vinkelrette linjer k 1 k 2 = – 1.

2. Skriv ligningerne for alle fælles tangenter til graferne for funktioner

Løsning. Opgaven går ud på at finde abscissen af ​​tangentpunkterne for almindelige tangenter, det vil sige at løse nøgleproblem 1 i generel form, tegne et ligningssystem og derefter løse det (fig. 6).

1. Lad a være abscissen af ​​tangentpunktet, der ligger på grafen for funktionen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.

1. Lad c være abscissen af ​​tangentpunktet, der ligger på grafen for funktionen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da tangenter er generelle, altså

Så y = x + 1 og y = – 3x – 3 er almindelige tangenter.

Hovedmålet med de overvejede opgaver er at forberede eleverne til selvstændigt at genkende typen af ​​nøgleproblem, når de løser mere komplekse problemer, der kræver visse forskningsfærdigheder (evnen til at analysere, sammenligne, generalisere, fremsætte en hypotese osv.). Sådanne opgaver omfatter enhver opgave, hvori nøgleopgaven indgår som en komponent. Lad os som eksempel betragte problemet (omvendt til opgave 1) med at finde en funktion fra familien af ​​dens tangenter.

3. For hvilke b og c tangerer linjerne y = x og y = – 2x grafen for funktionen y = x 2 + bx + c?

Løsning.

Lad t være abscissen af ​​tangenspunktet for den rette linje y = x med parablen y = x 2 + bx + c; p er abscissen af ​​tangenspunktet for den rette linje y = – 2x med parablen y = x 2 + bx + c. Så vil tangentligningen y = x have formen y = (2t + b)x + c – t 2 , og tangentligningen y = – 2x vil have formen y = (2p + b)x + c – p 2 .

Lad os sammensætte og løse et ligningssystem

Svar:

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Skriv ligningerne for tangenterne tegnet til grafen for funktionen y = 2x 2 – 4x + 3 i grafens skæringspunkter med linjen y = x + 3.

Svar: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. For hvilke værdier af a går tangenten tegnet til grafen for funktionen y = x 2 – ax i punktet af grafen med abscissen x 0 = 1 gennem punktet M(2; 3)?

Svar: a = 0,5.

3. For hvilke værdier af p rører den rette linje y = px – 5 kurven y = 3x 2 – 4x – 2?

Svar: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Find alle fælles punkter i grafen for funktionen y = 3x – x 3 og tangenten tegnet til denne graf gennem punktet P(0; 16).

Svar: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Find den korteste afstand mellem parablen y = x 2 + 6x + 10 og den rette linje

Svar:

6. På kurven y = x 2 – x + 1 skal du finde det punkt, hvor tangenten til grafen er parallel med den rette linje y – 3x + 1 = 0.

Svar: M(2; 3).

7. Skriv tangentens ligning til grafen for funktionen y = x 2 + 2x – | 4x |, som rører den ved to punkter. Lav en tegning.

Svar: y = 2x – 4.

8. Bevis, at linjen y = 2x – 1 ikke skærer kurven y = x 4 + 3x 2 + 2x. Find afstanden mellem deres nærmeste punkter.

Svar:

9. På parablen y = x 2 tages to punkter med abscisse x 1 = 1, x 2 = 3. Gennem disse punkter trækkes en sekant. På hvilket punkt af parablen vil tangenten til den være parallel med sekanten? Skriv sekant- og tangentligningerne.

Svar: y = 4x – 3 – sekantsligning; y = 4x – 4 – tangentligning.

10. Find vinklen q mellem tangenterne til grafen for funktionen y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, tegnet i punkterne med abscisse 0 og 1.

Svar: q = 45°.

11. I hvilke punkter danner tangenten til funktionens graf en vinkel på 135° med Ox-aksen?

Svar: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Ved punkt A(1; 8) til kurven der tegnes en tangent. Find længden af ​​tangentsegmentet mellem koordinatakserne.

Svar:

13. Skriv ligningen for alle fælles tangenter til graferne for funktionerne y = x 2 – x + 1 og y = 2x 2 – x + 0,5.

Svar: y = – 3x og y = x.

14. Find afstanden mellem tangenterne til funktionens graf parallelt med x-aksen.

Svar:

15. Bestem, i hvilke vinkler parablen y = x 2 + 2x – 8 skærer x-aksen.

Svar: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Funktionsgraf find alle punkter, hvor tangenten ved hver af disse til denne graf skærer de positive halvakser af koordinater og afskærer lige store segmenter fra dem.

Svar: A(– 3; 11).

17. Linjen y = 2x + 7 og parablen y = x 2 – 1 skærer hinanden i punkterne M og N. Find skæringspunktet K for linjerne, der tangerer parablen i punkterne M og N.

Svar: K(1; – 9).

18. For hvilke værdier af b tangerer linjen y = 9x + b grafen for funktionen y = x 3 – 3x + 15?

Svar: – 1; 31.

19. For hvilke værdier af k har den rette linje y = kx – 10 kun ét fælles punkt med grafen for funktionen y = 2x 2 + 3x – 2? For de fundne værdier af k skal du bestemme koordinaterne for punktet.

Svar: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. For hvilke værdier af b går tangenten tegnet til grafen for funktionen y = bx 3 – 2x 2 – 4 i punktet med abscissen x 0 = 2 gennem punktet M(1; 8)?

Svar: b = – 3.

21. En parabel med et toppunkt på Ox-aksen berører linjen, der går gennem punkterne A(1; 2) og B(2; 4) ved punkt B. Find parablens ligning.

Svar:

22. Ved hvilken værdi af koefficienten k rører parablen y = x 2 + kx + 1 Ox-aksen?

Svar: k = d 2.

23. Find vinklerne mellem den rette linje y = x + 2 og kurven y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Find afstanden mellem tangenterne til funktionens graf og generatorerne med Ox-aksens positive retning i en vinkel på 45°.

Svar:

30. Find stedet for toppunkterne for alle parabler på formen y = x 2 + ax + b, der tangerer linjen y = 4x – 1.

Svar: lige linje y = 4x + 3.

Litteratur

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: 3600 problemer for skolebørn og dem, der går ind på universiteter. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar fire for unge lærere. Emne: Afledte applikationer. – M., "Matematik", nr. 21/94.
3. Dannelse af viden og færdigheder baseret på teorien om gradvis assimilering af mentale handlinger. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moscow State University, 1968.

Det her matematik program finder ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(f(x)\) ved et brugerspecificeret punkt \(a\).

Programmet viser ikke kun tangentligningen, men viser også processen med at løse problemet.

Denne online lommeregner kan være nyttig for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State Exam, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På denne måde kan du gennemføre din egen træning og/eller din egen træning. yngre brødre eller søstre, mens uddannelsesniveauet inden for problemløsningsområdet stiger.

Skal du finde den afledede af en funktion, så har vi til dette opgaven Find den afledede.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af funktioner, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Indtast funktionsudtrykket \(f(x)\) og tallet \(a\)

f(x)=
a=

Find tangentligningen

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om få sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Direkte hældning

Husk, at grafen for den lineære funktion \(y=kx+b\) er en ret linje. Tallet \(k=tg \alpha \) kaldes hældning af en lige linje, og vinklen \(\alpha \) er vinklen mellem denne linje og Ox-aksen

Hvis \(k>0\), så \(0 Hvis \(kLigning af tangenten til funktionens graf

Hvis punktet M(a; f(a)) hører til grafen for funktionen y = f(x), og hvis det på dette punkt er muligt at tegne en tangent til grafen for funktionen, der ikke er vinkelret på abscisseaksen , derefter fra geometrisk betydning afledet følger det, at tangentens vinkelkoefficient er lig med f "(a). Dernæst vil vi udvikle en algoritme til at sammensætte tangentens ligning til grafen for enhver funktion.

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M(a; f(a)) være givet på grafen for denne funktion; lad det vide, at f"(a) eksisterer. Lad os lave en ligning for tangenten til grafen givet funktion V givet point. Denne ligning har ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, formen y = kx + b, så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og b.

Alt er klart med vinkelkoefficienten k: det er kendt, at k = f"(a). For at beregne værdien af ​​b bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f(a)) Det betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punktet M i ligningen for en ret linje, får vi den korrekte lighed: \(f(a)=ka+b\), dvs. \(b = f(a) -. ka\).

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne k og b i ligningen for den rette linje:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a)$$

Vi modtog ligning af tangenten til grafen for en funktion\(y = f(x) \) i punktet \(x=a \).

Algoritme til at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(y=f(x)\)
1. Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet \(a\)
2. Beregn \(f(a)\)
3. Find \(f"(x)\) og beregn \(f"(a)\)
4. Erstat de fundne tal \(a, f(a), f"(a) \) i formlen \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Bøger (lærebøger) Sammendrag af Unified State Examination og Unified State Examination tests online Spil, puslespil Plotte grafer over funktioner Staveordbog for det russiske sprog Ordbog over ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over sekundære uddannelsesinstitutioner i Rusland Katalog over russiske universiteter Katalog over russiske universiteter Liste over problemer At finde GCD og LCM Simplificering af et polynomium (multiplikation af polynomier)

Y = f(x) og hvis der på dette punkt kan trækkes en tangent til grafen for funktionen, som ikke er vinkelret på abscisseaksen, så er tangentens vinkelkoefficient lig med f"(a). Vi har allerede brugt dette flere gange For eksempel blev det i § 33 fastslået, at grafen for funktionen y = sin x (sinusformet) ved origo danner en vinkel på 45° med x-aksen (mere præcist, tangenten til den. graf ved origo danner en vinkel på 45° med x-aksens positive retning), og i eksempel 5 blev § 33 punkter fundet på skema givet funktioner, hvor tangenten er parallel med x-aksen. I eksempel 2 i § 33 blev der udarbejdet en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = x 2 i punktet x = 1 (mere præcist i punktet (1; 1), men oftere er det kun abscisseværdien, der er angivet, idet man mener, at hvis abscisseværdien er kendt, så kan ordinatværdien findes ud fra ligningen y = f(x)). I dette afsnit vil vi udvikle en algoritme til at sammensætte en tangentligning til grafen for enhver funktion.

Lad funktionen y = f(x) og punktet M (a; f(a)) være givet, og det er også kendt, at f"(a) eksisterer. Lad os sammensætte en ligning for tangenten til grafen for en givet funktion i et givet punkt Denne ligning er ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, har formen y = kx+m, så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og m.

Der er ingen problemer med vinkelkoefficienten k: vi ved, at k = f "(a). For at beregne værdien af ​​m bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f (a)) Det betyder, at hvis vi erstatter koordinatpunktet M i ligningen for den rette linje, får vi den korrekte lighed: f(a) = ka+m, hvorfra vi finder, at m = f(a) - ka.
Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af kitkoefficienterne i ligningen lige:

Vi har fået ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet x=a.
Hvis f.eks.
Ved at erstatte de fundne værdier a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 i ligning (1), får vi: y = 1+2(x-f), dvs. y = 2x-1.
Sammenlign dette resultat med det opnåede i eksempel 2 fra § 33. Naturligvis skete det samme.
Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = tan x ved origo. Vi har: dette betyder cos x f"(0) = 1. Ved at erstatte de fundne værdier a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 i ligning (1), får vi: y = x.
Derfor tegnede vi tangentoiden i § 15 (se fig. 62) gennem koordinaternes begyndelse i en vinkel på 45° i forhold til abscisseaksen.
Løser disse nok simple eksempler, brugte vi faktisk en bestemt algoritme, som er indeholdt i formel (1). Lad os gøre denne algoritme eksplicit.

ALGORIME TIL UDVIKLING AF EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKTIONEN y = f(x)

1) Udpeg abscissen af ​​tangenspunktet med bogstavet a.
2) Beregn 1 (a).
3) Find f"(x) og beregn f"(a).
4) Erstat de fundne tal a, f(a), (a) med formel (1).

Eksempel 1. Skriv en ligning for tangenten til grafen for funktionen i punktet x = 1.
Lad os bruge algoritmen under hensyntagen til det i i dette eksempel

I fig. 126 er en hyperbel afbildet, en ret linje y = 2 er konstrueret.
Tegningen bekræfter ovenstående beregninger: ja, den rette linje y = 2 rører hyperbelen ved punktet (1; 1).

Svar: y = 2-x.
Eksempel 2. Tegn en tangent til grafen for funktionen, så den er parallel med linjen y = 4x - 5.
Lad os afklare problemformuleringen. Kravet om at "tegne en tangent" betyder normalt "at danne en ligning for tangenten." Dette er logisk, for hvis en person var i stand til at skabe en ligning for en tangent, så vil han næppe have svært ved at konstruere på koordinatplan lige linje ifølge hendes ligning.
Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel. Men i modsætning til det foregående eksempel er der tvetydighed: tangentpunktets abscisse er ikke eksplicit angivet.
Lad os begynde at tænke sådan her. Den ønskede tangent skal være parallel med den rette linje y = 4x-5. To linjer er parallelle, hvis og kun hvis deres hældninger er lige store. Det betyder, at tangentens vinkelkoefficient skal være lig med hældning givet ret linje: Således kan vi finde værdien af ​​a ud fra ligningen f"(a) = 4.
Vi har:
Ud fra ligningen Det betyder, at der er to tangenter, der opfylder problemets betingelser: den ene i punktet med abscisse 2, den anden i punktet med abscisse -2.
Nu kan du følge algoritmen.

Eksempel 3. Fra punkt (0; 1) tegnes en tangent til grafen for funktionen
Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel, Bemærk, at her, som i eksempel 2, er abscissen af ​​tangentpunktet ikke eksplicit angivet. Ikke desto mindre følger vi algoritmen.

Ved betingelse passerer tangenten gennem punktet (0; 1). Ved at erstatte værdierne x = 0, y = 1 i ligning (2), får vi:
Som du kan se, i dette eksempel, lykkedes det kun på det fjerde trin af algoritmen at finde abscissen af ​​tangentpunktet. Ved at erstatte værdien a =4 i ligning (2), får vi:

I fig. 127 præsenterer en geometrisk illustration af det betragtede eksempel: en graf over funktionen er plottet

I § ​​32 bemærkede vi, at for en funktion y = f(x) med en afledt i et fast punkt x, er den omtrentlige lighed gyldig:

For at gøre det nemmere for yderligere ræsonnement, lad os ændre notationen: i stedet for x skriver vi a, i stedet for vil vi skrive x og følgelig i stedet for vil vi skrive x-a. Så vil den omtrentlige lighed skrevet ovenfor have formen:

Se nu på fig. 128. Der tegnes en tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punktet M (a; f (a)). Punkt x er markeret på x-aksen tæt på a. Det er tydeligt, at f(x) er ordinaten til grafen for funktionen i specificeret punkt X. Hvad er f(a) + f"(a) (x-a)? Dette er ordinaten af ​​tangenten svarende til det samme punkt x - se formel (1). Hvad er meningen med den omtrentlige lighed (3)? Faktum at For at beregne den omtrentlige værdi af funktionen, tag ordinatværdien af ​​tangenten.

Eksempel 4. Find den omtrentlige værdi numerisk udtryk 1,02 7 .
Det handler om om at finde værdien af ​​funktionen y = x 7 i punktet x = 1,02. Lad os bruge formel (3), idet vi tager højde for det i dette eksempel
Som et resultat får vi:

Hvis vi bruger en lommeregner, får vi: 1,02 7 = 1,148685667...
Som du kan se, er tilnærmelsesnøjagtigheden ganske acceptabel.
Svar: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10 klasse

Kalendertematisk planlægning i matematik, video i matematik online, Matematik i skolen download

Lektionens indhold lektionsnotater understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Øve sig opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests lektier diskussion spørgsmål retoriske spørgsmål fra elever Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og yderligere ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan for året retningslinier diskussionsprogrammer Integrerede lektioner