Ligninger er et svært emne at mestre, men de er et stærkt værktøj til at løse de fleste problemer.

Ligninger bruges til at beskrive forskellige processer, der forekommer i naturen. Ligninger er meget brugt i andre videnskaber: økonomi, fysik, biologi og kemi.

I denne lektion Vi vil forsøge at forstå essensen af ​​de enkleste ligninger, lære at udtrykke ukendte og løse flere ligninger. Efterhånden som du lærer nye materialer, vil ligningerne blive mere komplekse, så det er meget vigtigt at forstå det grundlæggende.

Indledende færdigheder Lektionens indhold

Hvad er en ligning?

En ligning er en lighed, der indeholder en variabel, hvis værdi du vil finde. Denne værdi skal være sådan, at når den indsættes i den oprindelige ligning, opnås den korrekte numeriske lighed.

For eksempel er udtrykket 2 + 2 = 4 en lighed. Ved beregning af venstre side opnås den korrekte numeriske lighed 4 = 4.

Men ligestillingen er 2+ x= 4 er en ligning, fordi den indeholder en variabel x, hvis værdi kan findes. Værdien skal være sådan, at når denne værdi indsættes i den oprindelige ligning, opnås den korrekte numeriske lighed.

Med andre ord skal vi finde en værdi, hvor lighedstegnet ville retfærdiggøre sin placering - venstre side skal være lig med højre side.

Ligning 2 + x= 4 er elementært. Variabel værdi x er lig med tallet 2. For enhver anden værdi vil lighed ikke blive observeret

De siger, at tallet 2 er rod eller løsning af ligningen 2 + x = 4

Rod eller løsning på ligningen- dette er værdien af ​​den variabel, ved hvilken ligningen bliver til en sand numerisk lighed.

Der kan være flere rødder eller slet ingen. Løs ligningen betyder at finde dens rødder eller bevise, at der ikke er nogen rødder.

Variablen, der indgår i ligningen, kaldes ellers ukendt. Du har ret til at kalde det, hvad du foretrækker. Det er synonymer.

Bemærk. Udtrykket "løs en ligning" taler for sig selv. At løse en ligning betyder at "udligne" ligningen - at gøre den afbalanceret, så venstre side er lig med højre side.

Udtryk det ene gennem det andet

Studiet af ligninger begynder traditionelt med at lære at udtrykke et tal inkluderet i en lighed gennem en række andre. Lad os ikke bryde denne tradition og gøre det samme.

Overvej følgende udtryk:

8 + 2

Dette udtryk er summen af ​​tallene 8 og 2. Værdien af ​​dette udtryk er 10

8 + 2 = 10

Vi fik ligestilling. Nu kan du udtrykke et hvilket som helst tal fra denne lighed gennem andre tal inkluderet i den samme lighed. Lad os for eksempel udtrykke tallet 2.

For at udtrykke tallet 2 skal du stille spørgsmålet: "hvad skal der gøres med tallene 10 og 8 for at få tallet 2." Det er klart, at for at opnå tallet 2, skal du trække tallet 8 fra tallet 10.

Det er det, vi gør. Vi skriver tallet 2 ned og gennem lighedstegnet siger vi, at for at opnå dette tal 2 trak vi tallet 8 fra tallet 10:

2 = 10 − 8

Vi udtrykte tallet 2 fra ligheden 8 + 2 = 10. Som det fremgår af eksemplet, er der ikke noget kompliceret i dette.

Når man løser ligninger, især når man udtrykker et tal i form af andre, er det praktisk at erstatte lighedstegnet med ordet " Der er" . Dette skal gøres mentalt, og ikke i selve udtrykket.

Så når vi udtrykker tallet 2 fra ligheden 8 + 2 = 10, får vi ligheden 2 = 10 − 8. Denne ligestilling kan læses som følger:

2 Der er 10 − 8

Altså et tegn = erstattet af ordet "er". Desuden kan ligheden 2 = 10 − 8 oversættes fra matematisk sprog til fuldt menneskeligt sprog. Så kan det læses som følger:

Nummer 2 Der er forskel mellem nummer 10 og nummer 8

Nummer 2 Der er forskel mellem nummer 10 og nummer 8.

Men vi vil begrænse os til kun at erstatte lighedstegnet med ordet "er", og vi vil ikke altid gøre dette. Elementære udtryk kan forstås uden at oversætte matematisk sprog til menneskeligt sprog.

Lad os returnere den resulterende lighed 2 = 10 − 8 til dens oprindelige tilstand:

8 + 2 = 10

Lad os udtrykke tallet 8 denne gang. Hvad skal der gøres med de resterende tal for at få tallet 8? Det er rigtigt, du skal trække 2 fra tallet 10

8 = 10 − 2

Lad os returnere den resulterende lighed 8 = 10 − 2 til dens oprindelige tilstand:

8 + 2 = 10

Denne gang vil vi udtrykke tallet 10. Men det viser sig, at der ikke er behov for at udtrykke ti, da det allerede er udtrykt. Det er nok at bytte venstre og højre del, så får vi det, vi har brug for:

10 = 8 + 2

Eksempel 2. Overvej ligheden 8 − 2 = 6

Lad os udtrykke tallet 8 fra denne lighed For at udtrykke tallet 8 skal de resterende to tal tilføjes:

8 = 6 + 2

Lad os returnere den resulterende lighed 8 = 6 + 2 til dens oprindelige tilstand:

8 − 2 = 6

Lad os udtrykke tallet 2 fra denne lighed For at udtrykke tallet 2 skal du trække 6 fra 8

2 = 8 − 6

Eksempel 3. Betragt ligheden 3 × 2 = 6

Lad os udtrykke tallet 3. For at udtrykke tallet 3 skal du bruge 6 divideret med 2

Lad os returnere den resulterende lighed til sin oprindelige tilstand:

3 × 2 = 6

Lad os udtrykke tallet 2 fra denne lighed For at udtrykke tallet 2 skal du bruge 6 divideret med 3

Eksempel 4. Overvej ligestillingen

Lad os udtrykke tallet 15 fra denne lighed For at udtrykke tallet 15 skal du gange tallene 3 og 5

15 = 3 × 5

Lad os returnere den resulterende lighed 15 = 3 × 5 til dens oprindelige tilstand:

Lad os udtrykke tallet 5 fra denne lighed For at udtrykke tallet 5 skal du bruge 15 divideret med 3

Regler for at finde ukendte

Lad os overveje flere regler for at finde ukendte. De er måske bekendte for dig, men det skader ikke at gentage dem igen. I fremtiden kan de blive glemt, da vi lærer at løse ligninger uden at anvende disse regler.

Lad os vende tilbage til det første eksempel, som vi så på i det foregående emne, hvor vi i ligheden 8 + 2 = 10 skulle udtrykke tallet 2.

I ligheden 8 + 2 = 10 er tallene 8 og 2 led, og tallet 10 er summen.

For at udtrykke tallet 2 gjorde vi følgende:

2 = 10 − 8

Det vil sige, fra summen af ​​10 trak vi udtrykket 8 fra.

Forestil dig nu, at der i ligheden 8 + 2 = 10, i stedet for tallet 2, er en variabel x

8 + x = 10

I dette tilfælde bliver ligheden 8 + 2 = 10 til ligningen 8 + x= 10 og variablen x ukendt udtryk

Vores opgave er at finde dette ukendte led, det vil sige at løse ligningen 8+ x= 10. For at finde et ukendt udtryk er følgende regel angivet:

For at finde det ukendte led, skal du trække det kendte led fra summen.

Hvilket dybest set er, hvad vi gjorde, da vi udtrykte to i ligheden 8 + 2 = 10. For at udtrykke led 2 trak vi et andet led 8 fra summen 10

2 = 10 − 8

Nu for at finde det ukendte udtryk x, skal vi trække det kendte led 8 fra summen 10:

x = 10 − 8

Hvis du beregner højre side af den resulterende lighed, kan du finde ud af, hvad variablen er lig x

x = 2

Vi har løst ligningen. Variabel værdi x er lig med 2. For at kontrollere værdien af ​​en variabel x sendt til den oprindelige ligning 8+ x= 10 og erstatning x. Det er tilrådeligt at gøre dette med enhver løst ligning, da du ikke kan være helt sikker på, at ligningen er blevet løst korrekt:

Som resultat

Den samme regel ville gælde, hvis det ukendte udtryk var det første tal 8.

x + 2 = 10

I denne ligning x er det ukendte led, 2 er det kendte led, 10 er summen. For at finde et ukendt udtryk x, skal du trække det kendte led 2 fra summen 10

x = 10 − 2

x = 8

Lad os vende tilbage til det andet eksempel fra det forrige emne, hvor det i ligheden 8 − 2 = 6 var nødvendigt at udtrykke tallet 8.

I ligheden 8 − 2 = 6 er tallet 8 minuenden, tallet 2 er subtrahenden, og tallet 6 er forskellen

For at udtrykke tallet 8 gjorde vi følgende:

8 = 6 + 2

Det vil sige, vi tilføjede forskellen på 6 og de subtraherede 2.

Forestil dig nu, at der i ligheden 8 − 2 = 6, i stedet for tallet 8, er en variabel x

x − 2 = 6

I dette tilfælde variablen x påtager sig rollen som den såkaldte ukendt minuend

For at finde en ukendt minuend er følgende regel angivet:

For at finde det ukendte minuend skal du tilføje subtrahenden til forskellen.

Dette er, hvad vi gjorde, da vi udtrykte tallet 8 i ligheden 8 − 2 = 6. For at udtrykke minuenden af ​​8 tilføjede vi subtrahenden af ​​2 til forskellen på 6.

Nu for at finde det ukendte minuend x, skal vi tilføje subtrahend 2 til forskellen 6

x = 6 + 2

Regner man på højre side, kan man finde ud af, hvad variablen er lig x

x = 8

Forestil dig nu, at der i ligheden 8 − 2 = 6, i stedet for tallet 2, er en variabel x

8 − x = 6

I dette tilfælde variablen x påtager sig rollen ukendt subtrahend

For at finde en ukendt subtrahend er følgende regel angivet:

For at finde den ukendte subtrahend skal du trække forskellen fra minuenden.

Det var det, vi gjorde, da vi udtrykte tallet 2 i ligheden 8 − 2 = 6. For at udtrykke tallet 2 trak vi forskellen 6 fra minuenden 8.

Nu for at finde den ukendte subtrahend x, skal du igen trække forskellen 6 fra minuenden 8

x = 8 − 6

Vi beregner højre side og finder værdien x

x = 2

Lad os vende tilbage til det tredje eksempel fra det forrige emne, hvor vi i ligheden 3 × 2 = 6 forsøgte at udtrykke tallet 3.

I ligheden 3 × 2 = 6 er tallet 3 multiplikanten, tallet 2 er multiplikatoren, tallet 6 er produktet

For at udtrykke tallet 3 gjorde vi følgende:

Det vil sige, vi dividerede produktet af 6 med faktoren 2.

Forestil dig nu, at i ligheden 3 × 2 = 6, i stedet for tallet 3 er der en variabel x

x× 2 = 6

I dette tilfælde variablen x påtager sig rollen ukendt multiplikand.

For at finde en ukendt multiplikand er følgende regel angivet:

For at finde en ukendt multiplikand skal du dividere produktet med faktoren.

Dette er, hvad vi gjorde, da vi udtrykte tallet 3 fra ligheden 3 × 2 = 6. Vi dividerede produktet 6 med faktoren 2.

Nu for at finde den ukendte multiplikand x, skal du dividere produktet 6 med faktoren 2.

Ved at beregne højre side kan vi finde værdien af ​​en variabel x

x = 3

Den samme regel gælder, hvis variablen x er placeret i stedet for multiplikatoren, ikke multiplikatoren. Lad os forestille os, at i ligheden 3 × 2 = 6, i stedet for tallet 2 er der en variabel x.

I dette tilfælde variablen x påtager sig rollen ukendt multiplikator. For at finde en ukendt faktor er den samme procedure tilvejebragt som for at finde en ukendt multiplikand, nemlig at dividere produktet med en kendt faktor:

For at finde en ukendt faktor skal du dividere produktet med multiplikanet.

Dette er, hvad vi gjorde, da vi udtrykte tallet 2 fra ligheden 3 × 2 = 6. For at få tallet 2 dividerede vi produktet af 6 med dets multiplikant 3.

Nu for at finde den ukendte faktor x Vi dividerede produktet af 6 med multiplikaden af ​​3.

Ved at beregne højre side af ligheden kan du finde ud af, hvad x er lig med

x = 2

Multiplikanten og multiplikatoren kaldes tilsammen faktorer. Da reglerne for at finde en multiplikator og en multiplikator er de samme, kan vi formulere almindelig regel finde den ukendte faktor:

For at finde en ukendt faktor skal du dividere produktet med den kendte faktor.

Lad os for eksempel løse ligningen 9 × x= 18. Variabel x er en ukendt faktor. For at finde denne ukendte faktor skal du dividere produktet 18 med den kendte faktor 9

Lad os løse ligningen x× 3 = 27. Variabel x er en ukendt faktor. For at finde denne ukendte faktor skal du dividere produktet 27 med den kendte faktor 3

Lad os vende tilbage til det fjerde eksempel fra det forrige emne, hvor vi i en lighed skulle udtrykke tallet 15. I denne lighed er tallet 15 udbyttet, tallet 5 er divisoren og tallet 3 er kvotienten.

For at udtrykke tallet 15 gjorde vi følgende:

15 = 3 × 5

Det vil sige, at vi ganget kvotienten af ​​3 med divisoren af ​​5.

Forestil dig nu, at der i ligheden, i stedet for tallet 15, er en variabel x

I dette tilfælde variablen x påtager sig rollen ukendt udbytte.

For at finde et ukendt udbytte er følgende regel angivet:

For at finde det ukendte udbytte skal du gange kvotienten med divisoren.

Det var det, vi gjorde, da vi udtrykte tallet 15 fra ligestillingen. For at udtrykke tallet 15 gange vi kvotienten af ​​3 med divisor af 5.

Nu for at finde det ukendte udbytte x, skal du gange kvotienten 3 med divisoren 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Forestil dig nu, at der i ligheden, i stedet for tallet 5, er en variabel x .

I dette tilfælde variablen x påtager sig rollen ukendt divisor.

For at finde en ukendt divisor er følgende regel angivet:

Det var det, vi gjorde, da vi udtrykte tallet 5 fra ligestillingen. For at udtrykke tallet 5 dividerer vi udbyttet 15 med kvotienten 3.

Og nu at finde ukendt divisor x, skal du dividere udbyttet 15 med kvotienten 3

Lad os beregne højre side af den resulterende lighed. På denne måde finder vi ud af, hvad variablen er lig med x .

x = 5

Så for at finde ukendte studerede vi følgende regler:

• For at finde det ukendte led, skal du trække det kendte led fra summen;
• For at finde det ukendte minuend skal du tilføje subtrahenden til forskellen;
• For at finde den ukendte subtrahend skal du trække forskellen fra minuenden;
• For at finde en ukendt multiplikand skal du dividere produktet med faktoren;
• For at finde en ukendt faktor skal du dividere produktet med multiplikanet;
• For at finde et ukendt udbytte skal du gange kvotienten med divisoren;
• For at finde en ukendt divisor skal du dividere udbyttet med kvotienten.

Komponenter

Vi vil kalde komponenter for de tal og variabler, der indgår i ligheden

Så komponenterne i tilsætning er betingelser Og sum

Subtraktionskomponenterne er minuend, subtrahend Og forskel

Komponenterne i multiplikation er multiplicand, faktor Og arbejde

Komponenterne i division er udbytte, divisor og kvotient.

Afhængigt af hvilke komponenter vi har med at gøre, gælder de tilsvarende regler for at finde ukendte. Vi studerede disse regler i det forrige emne. Når man løser ligninger, er det tilrådeligt at kende disse regler udenad.

Eksempel 1. Find roden af ​​ligningen 45+ x = 60

45 - sigt, x- ukendt led, 60 - sum. Vi har at gøre med tilføjelseskomponenterne. Vi husker, at for at finde det ukendte led, skal du trække det kendte led fra summen:

x = 60 − 45

Lad os beregne højre side og få værdien x lig med 15

x = 15

Så roden af ​​ligningen er 45+ x= 60 er lig med 15.

Oftest skal et ukendt udtryk reduceres til en form, hvori det kan udtrykkes.

Eksempel 2. Løs ligningen

Her, i modsætning til det foregående eksempel, kan det ukendte led ikke udtrykkes umiddelbart, da det indeholder en koefficient på 2. Vores opgave er at bringe denne ligning til en form, hvor den kunne udtrykkes x

I i dette eksempel Vi har at gøre med tilføjelseskomponenterne - vilkårene og summen. 2 x er det første led, 4 er det andet led, 8 er summen.

I dette tilfælde termin 2 x indeholder en variabel x. Efter at have fundet værdien af ​​variablen x sigt 2 x vil se anderledes ud. Derfor termin 2 x kan helt tages som et ukendt udtryk:

Nu anvender vi reglen for at finde det ukendte udtryk. Træk det kendte led fra summen:

Lad os beregne højre side af den resulterende ligning:

Vi har en ny ligning. Nu beskæftiger vi os med multiplikationskomponenterne: multiplikanten, multiplikatoren og produktet. 2 - multiplikant, x- multiplikator, 4 - produkt

I dette tilfælde variablen x er ikke bare en multiplikator, men en ukendt multiplikator

For at finde denne ukendte faktor skal du dividere produktet med multiplikanet:

Lad os beregne højre side og få værdien af ​​variablen x

For at kontrollere, send den fundne rod til den oprindelige ligning og erstatning x

Eksempel 3. Løs ligningen 3x+ 9x+ 16x= 56

Udtryk det ukendte med det samme x det er forbudt. Først skal du bringe denne ligning til en form, hvor den kan udtrykkes.

Vi præsenterer i venstre side af denne ligning:

Vi har at gøre med komponenterne i multiplikation. 28 - multiplikant, x- multiplikator, 56 - produkt. Hvori x er en ukendt faktor. For at finde en ukendt faktor skal du dividere produktet med multiplikanet:

Herfra x er lig med 2

Ækvivalente ligninger

I det foregående eksempel, når man løser ligningen 3x + 9x + 16x = 56 , har vi givet lignende udtryk i venstre side af ligningen. Som et resultat fik vi en ny ligning 28 x= 56. Gammel ligning 3x + 9x + 16x = 56 og den resulterende nye ligning 28 x= 56 kaldes ækvivalente ligninger, da deres rødder falder sammen.

Ligninger kaldes ækvivalente, hvis deres rødder falder sammen.

Lad os tjekke det ud. Til ligningen 3x+ 9x+ 16x= 56 vi fandt roden lig med 2. Lad os først erstatte denne rod i ligningen 3x+ 9x+ 16x= 56 , og derefter ind i ligning 28 x= 56, som blev opnået ved at bringe lignende udtryk på venstre side af den foregående ligning. Vi skal have de rigtige numeriske ligheder

I henhold til rækkefølgen af ​​operationer udføres multiplikation først:

Lad os erstatte rod 2 i den anden ligning 28 x= 56

Vi ser, at begge ligninger har samme rødder. Altså ligningerne 3x+ 9x+ 16x= 6 og 28 x= 56 er faktisk ækvivalente.

At løse ligningen 3x+ 9x+ 16x= 56 Vi brugte en af ​​dem - reduktion af lignende udtryk. Den korrekte identitetstransformation af ligningen gjorde det muligt for os at opnå den ækvivalente ligning 28 x= 56, hvilket er lettere at løse.

Fra identiske transformationer til dette øjeblik Vi ved kun, hvordan man reducerer brøker, tilføjer lignende udtryk, tager den fælles faktor ud af parenteser og åbner også parenteser. Der er andre konverteringer, du skal være opmærksom på. Men for generel idé om identiske transformationer af ligninger, er de emner, vi har studeret, ganske tilstrækkelige.

Lad os overveje nogle transformationer, der giver os mulighed for at opnå den ækvivalente ligning

Hvis du tilføjer det samme tal til begge sider af ligningen, får du en ligning svarende til den givne.

og lignende:

Hvis du trækker det samme tal fra begge sider af en ligning, får du en ligning svarende til den givne.

Med andre ord vil roden af ​​ligningen ikke ændre sig, hvis det samme tal lægges til (eller trækkes fra begge sider) det samme tal.

Eksempel 1. Løs ligningen

Træk 10 fra begge sider af ligningen

Vi har ligning 5 x= 10. Vi har at gøre med komponenterne i multiplikation. For at finde en ukendt faktor x, skal du dividere produktet 10 med den kendte faktor 5.

og erstatning x fundet værdi 2

Vi fik den korrekte numeriske lighed. Det betyder, at ligningen er løst korrekt.

Løsning af ligningen vi trækker tallet 10 fra begge sider af ligningen. Som et resultat opnåede vi en tilsvarende ligning. Roden af ​​denne ligning, ligesom ligningen er også lig med 2

Eksempel 2. Løs ligning 4( x+ 3) = 16

Træk tallet 12 fra begge sider af ligningen

Der vil være 4 tilbage i venstre side x, og på højre side tallet 4

Vi har ligning 4 x= 4. Vi har at gøre med komponenterne i multiplikation. For at finde en ukendt faktor x, skal du dividere produktet 4 med den kendte faktor 4

Lad os vende tilbage til den oprindelige ligning 4( x+ 3) = 16 og erstatning x fundet værdi 1

Vi fik den korrekte numeriske lighed. Det betyder, at ligningen er løst korrekt.

Løsning af ligning 4( x+ 3) = 16 vi trækker tallet 12 fra begge sider af ligningen. Som et resultat opnåede vi den ækvivalente ligning 4 x= 4. Roden af ​​denne ligning, ligesom ligning 4( x+ 3) = 16 er også lig med 1

Eksempel 3. Løs ligningen

Lad os udvide parenteserne i venstre side af ligningen:

Tilføj tallet 8 til begge sider af ligningen

Lad os præsentere lignende udtryk på begge sider af ligningen:

Der vil være 2 tilbage i venstre side x, og på højre side tallet 9

I den resulterende ligning 2 x= 9 udtrykker vi det ukendte led x

Lad os vende tilbage til den oprindelige ligning og erstatning x fundet værdi 4,5

Vi fik den korrekte numeriske lighed. Det betyder, at ligningen er løst korrekt.

Løsning af ligningen vi tilføjede tallet 8 til begge sider af ligningen. Som et resultat fik vi en tilsvarende ligning. Roden af ​​denne ligning, ligesom ligningen også lig med 4,5

Den næste regel, der tillader os at opnå en ækvivalent ligning, er som følger

Hvis du flytter et led i en ligning fra en del til en anden og ændrer dets fortegn, får du en ligning svarende til den givne.

Det vil sige, at roden af ​​ligningen ikke ændres, hvis vi flytter et led fra en del af ligningen til en anden, og ændrer dets fortegn. Denne egenskab er en af ​​de vigtige og en af ​​de ofte brugte ved løsning af ligninger.

Overvej følgende ligning:

Roden af ​​denne ligning er lig med 2. Lad os erstatte x denne rod og kontroller, om den numeriske lighed er korrekt

Resultatet er en korrekt ligestilling. Det betyder, at tallet 2 faktisk er roden af ​​ligningen.

Lad os nu prøve at eksperimentere med vilkårene i denne ligning, flytte dem fra en del til en anden, ændre tegnene.

For eksempel termin 3 x er placeret i venstre side af ligningen. Lad os flytte det til højre side og ændre tegnet til det modsatte:

Resultatet er en ligning 12 = 9x − 3x . i højre side af denne ligning:

x er en ukendt faktor. Lad os finde denne velkendte faktor:

Herfra x= 2. Som du kan se, har roden af ​​ligningen ikke ændret sig. Så ligningerne er 12 + 3 x = 9x Og 12 = 9x − 3x er ækvivalente.

Faktisk er denne transformation en forenklet metode fra den tidligere transformation, hvor det samme tal blev tilføjet (eller trukket fra) til begge sider af ligningen.

Vi sagde det i ligningen 12 + 3 x = 9x sigt 3 x blev flyttet til højre side, skiftende tegn. I virkeligheden skete følgende: led 3 blev trukket fra begge sider af ligningen x

Derefter blev lignende udtryk givet på venstre side, og ligningen blev opnået 12 = 9x − 3x. Så blev der igen givet lignende udtryk, men på højre side, og ligningen 12 = 6 blev opnået x.

Men den såkaldte "oversættelse" er mere praktisk til sådanne ligninger, hvorfor den er blevet så udbredt. Når vi løser ligninger, vil vi ofte bruge netop denne transformation.

Ligningerne 12 + 3 er også ækvivalente x= 9x Og 3x− 9x= −12 . Denne gang er ligningen 12 + 3 x= 9x termin 12 blev flyttet til højre side, og termin 9 x til venstre. Vi bør ikke glemme, at tegnene på disse vilkår blev ændret under overførslen

Den næste regel, der tillader os at opnå en ækvivalent ligning, er som følger:

Hvis begge sider af ligningen ganges eller divideres med det samme tal, ikke lig med nul, får du en ligning svarende til den givne.

Med andre ord vil rødderne af en ligning ikke ændre sig, hvis begge sider ganges eller divideres med det samme tal. Denne handling bruges ofte, når du skal løse en ligning, der indeholder brøkudtryk.

Lad os først se på eksempler, hvor begge sider af ligningen vil blive ganget med det samme tal.

Eksempel 1. Løs ligningen

Når man løser ligninger, der indeholder brøkudtryk, er det sædvanligt først at forenkle ligningen.

I dette tilfælde har vi netop at gøre med sådan en ligning. For at forenkle denne ligning kan begge sider ganges med 8:

Vi husker, at for , skal vi gange tælleren for en given brøk med dette tal. Vi har to brøker og hver af dem ganges med tallet 8. Vores opgave er at gange brøkernes tællere med dette tal 8

Nu sker den interessante del. Tællerne og nævnerne for begge brøker indeholder en faktor på 8, som kan reduceres med 8. Dette vil give os mulighed for at slippe af med brøkudtrykket:

Som et resultat forbliver den enkleste ligning

Nå, det er ikke svært at gætte, at roden til denne ligning er 4

x fundet værdi 4

Resultatet er en korrekt numerisk lighed. Det betyder, at ligningen er løst korrekt.

Når vi løser denne ligning, gangede vi begge sider med 8. Som et resultat fik vi ligningen. Roden af ​​denne ligning er ligesom ligningen 4. Det betyder, at disse ligninger er ækvivalente.

Faktoren, som begge sider af ligningen ganges med, skrives normalt før den del af ligningen, og ikke efter den. Så ved at løse ligningen multiplicerede vi begge sider med en faktor 8 og fik følgende indtastning:

Dette ændrede ikke på roden af ​​ligningen, men hvis vi havde gjort dette, mens vi var i skolen, ville vi være blevet irettesat, da det i algebra er sædvanligt at skrive en faktor før udtrykket, som den ganges med. Derfor er det tilrådeligt at omskrive multiplikationen af ​​begge sider af ligningen med en faktor på 8 som følger:

Eksempel 2. Løs ligningen

På venstre side kan faktorerne 15 reduceres med 15, og på højre side kan faktorerne 15 og 5 reduceres med 5

Lad os åbne parenteserne i højre side af ligningen:

Lad os flytte udtrykket x fra venstre side af ligningen til højre side, ved at ændre tegnet. Og vi flytter led 15 fra højre side af ligningen til venstre side og ændrer igen tegnet:

Vi præsenterer lignende udtryk på begge sider, får vi

Vi har at gøre med komponenterne i multiplikation. Variabel x

Lad os vende tilbage til den oprindelige ligning og erstatning x fundet værdi 5

Resultatet er en korrekt numerisk lighed. Det betyder, at ligningen er løst korrekt. Når vi løser denne ligning, gangede vi begge sider med 15. Ved yderligere at udføre identiske transformationer opnåede vi ligningen 10 = 2 x. Roden af ​​denne ligning, ligesom ligningen er lig med 5. Det betyder, at disse ligninger er ækvivalente.

Eksempel 3. Løs ligningen

På venstre side kan du reducere to treere, og højre side vil være lig med 18

Den enkleste ligning er tilbage. Vi har at gøre med komponenterne i multiplikation. Variabel x er en ukendt faktor. Lad os finde denne velkendte faktor:

Lad os vende tilbage til den oprindelige ligning og erstatte x fundet værdi 9

Resultatet er en korrekt numerisk lighed. Det betyder, at ligningen er løst korrekt.

Eksempel 4. Løs ligningen

Gang begge sider af ligningen med 6

Lad os åbne parenteserne i venstre side af ligningen. På højre side kan faktoren 6 hæves til tælleren:

Lad os reducere, hvad der kan reduceres på begge sider af ligningerne:

Lad os omskrive, hvad vi har tilbage:

Lad os bruge overførsel af vilkår. Begreber, der indeholder det ukendte x, grupperer vi i venstre side af ligningen, og termerne fri for ukendte - til højre:

Lad os præsentere lignende udtryk i begge dele:

Lad os nu finde værdien af ​​variablen x. For at gøre dette skal du dividere produktet 28 med den kendte faktor 7

Herfra x= 4.

Lad os vende tilbage til den oprindelige ligning og erstatning x fundet værdi 4

Resultatet er en korrekt numerisk ligning. Det betyder, at ligningen er løst korrekt.

Eksempel 5. Løs ligningen

Lad os åbne parenteserne på begge sider af ligningen, hvor det er muligt:

Gang begge sider af ligningen med 15

Lad os åbne parenteserne på begge sider af ligningen:

Lad os reducere, hvad der kan reduceres på begge sider af ligningen:

Lad os omskrive, hvad vi har tilbage:

Lad os udvide parenteserne, hvor det er muligt:

Lad os bruge overførsel af vilkår. Vi grupperer termerne, der indeholder det ukendte i venstre side af ligningen, og termerne fri for ukendte til højre. Glem ikke, at under overførslen ændrer vilkårene deres tegn til det modsatte:

Lad os præsentere lignende udtryk på begge sider af ligningen:

Lad os finde værdien x

Det resulterende svar indeholder en hel del:

Lad os vende tilbage til den oprindelige ligning og erstatte x fundet værdi

Det viser sig at være et ret besværligt udtryk. Lad os bruge variabler. Lad os sætte venstre side af ligheden ind i en variabel EN, og højre side af ligheden til en variabel B

Vores opgave er at sikre os, om venstre side er lig med højre. Med andre ord, bevis ligheden A = B

Lad os finde værdien af ​​udtrykket i variabel A.

Variabel værdi EN lige med . Lad os nu finde værdien af ​​variablen B. Det vil sige værdien af ​​den rigtige side af vores ligestilling. Hvis den også er lig, vil ligningen blive løst korrekt

Vi ser, at værdien af ​​variablen B, samt værdien af ​​variabel A er . Det betyder, at venstre side er lig med højre side. Ud fra dette konkluderer vi, at ligningen er løst korrekt.

Lad os nu prøve ikke at gange begge sider af ligningen med det samme tal, men at dividere.

Overvej ligningen 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Lad os løse det ved at bruge den sædvanlige metode: vi grupperer termer, der indeholder ukendte i venstre side af ligningen, og termer fri for ukendte - til højre. Dernæst, ved at udføre de kendte identitetstransformationer, finder vi værdien x

Lad os erstatte den fundne værdi 2 i stedet for x ind i den oprindelige ligning:

Lad os nu prøve at adskille alle udtryk i ligningen 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 med et tal Vi bemærker, at alle led i denne ligning har en fælles faktor på 2. Vi dividerer hvert led med det:

Lad os udføre en reduktion i hver periode:

Lad os omskrive, hvad vi har tilbage:

Lad os løse denne ligning ved hjælp af de velkendte identitetstransformationer:

Vi har root 2. Altså ligningerne 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Og 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 er ækvivalente.

Ved at dividere begge sider af ligningen med det samme tal kan du fjerne det ukendte fra koefficienten. I det forrige eksempel fik vi ligning 7 x= 14, skulle vi dividere produktet 14 med den kendte faktor 7. Men hvis vi havde befriet det ukendte fra faktoren 7 på venstre side, ville roden være fundet med det samme. For at gøre dette var det nok at dividere begge sider med 7

Vi vil også bruge denne metode ofte.

Multiplikation med minus en

Hvis begge sider af ligningen ganges med minus en, får du en ligning svarende til denne.

Denne regel følger af det faktum, at gange (eller dividere) begge sider af en ligning med det samme tal ikke ændrer roden af ​​den givne ligning. Det betyder, at roden ikke ændres, hvis begge dens dele ganges med −1.

Denne regel giver dig mulighed for at ændre fortegnene for alle komponenter inkluderet i ligningen. Hvad er det for? Igen for at få en tilsvarende ligning, der er lettere at løse.

Overvej ligningen. Hvad er roden til denne ligning?

Tilføj tallet 5 til begge sider af ligningen

Lad os se på lignende udtryk:

Lad os nu huske ca. Hvad er venstre side af ligningen? Dette er produktet af minus én og en variabel x

Det vil sige minustegnet foran variablen x henviser ikke til selve variablen x, men til en, som vi ikke ser, da koefficient 1 normalt ikke nedskrives. Det betyder, at ligningen faktisk ser sådan ud:

Vi har at gøre med komponenterne i multiplikation. At finde x, skal du dividere produktet −5 med den kendte faktor −1.

eller dividere begge sider af ligningen med −1, hvilket er endnu enklere

Så roden af ​​ligningen er 5. For at kontrollere, lad os erstatte det med den oprindelige ligning. Glem ikke, at minus i den oprindelige ligning er foran variablen x henviser til en usynlig enhed

Resultatet er en korrekt numerisk ligning. Det betyder, at ligningen er løst korrekt.

Lad os nu prøve at gange begge sider af ligningen med minus en:

Efter åbning af parenteserne dannes udtrykket på venstre side, og højre side vil være lig med 10

Roden af ​​denne ligning er ligesom ligningen 5

Det betyder, at ligningerne er ækvivalente.

Eksempel 2. Løs ligningen

I denne ligning er alle komponenter negative. Det er mere bekvemt at arbejde med positive komponenter end med negative, så lad os ændre fortegnene for alle komponenter, der er inkluderet i ligningen. For at gøre dette skal du gange begge sider af denne ligning med −1.

Det er klart, at når det ganges med −1, vil ethvert tal ændre sit fortegn til det modsatte. Derfor er proceduren med at gange med −1 og åbne parenteserne ikke beskrevet i detaljer, men komponenterne i ligningen med modsatte fortegn skrives straks ned.

Således kan multiplicering af en ligning med -1 skrives i detaljer som følger:

eller du kan blot ændre tegnene for alle komponenter:

Resultatet bliver det samme, men forskellen vil være, at vi vil spare os selv for tid.

Så multiplicerer vi begge sider af ligningen med −1, får vi ligningen. Lad os løse denne ligning. Træk 4 fra på begge sider og divider begge sider med 3

Når roden er fundet, skrives variablen normalt i venstre side, og dens værdi til højre, hvilket er, hvad vi gjorde.

Eksempel 3. Løs ligningen

Lad os gange begge sider af ligningen med −1. Så vil alle komponenter ændre deres tegn til modsatte:

Træk 2 fra begge sider af den resulterende ligning x og giv lignende udtryk:

Lad os tilføje en til begge sider af ligningen og give lignende udtryk:

Lige til nul

Vi har for nylig erfaret, at hvis vi flytter et led i en ligning fra en del til en anden og ændrer dets fortegn, får vi en ligning svarende til den givne.

Hvad sker der, hvis du flytter fra en del til en anden, ikke kun en periode, men alle termerne? Det er rigtigt, i den del, hvor alle vilkårene blev fjernet, vil der være nul tilbage. Der vil med andre ord ikke være noget tilbage.

Som et eksempel, overvej ligningen. Lad os løse denne ligning som sædvanlig - vi vil gruppere de termer, der indeholder ukendte i den ene del, og lade de numeriske udtryk være fri for ukendte i den anden. Når vi derefter udfører de kendte identitetstransformationer, finder vi værdien af ​​variablen x

Lad os nu prøve at løse den samme ligning ved at ligne alle dens komponenter til nul. For at gøre dette flytter vi alle udtryk fra højre side til venstre og ændrer tegnene:

Lad os præsentere lignende udtryk i venstre side:

Tilføj 77 til begge sider og divider begge sider med 7

Et alternativ til reglerne for at finde ukendte

Når du kender identiske transformationer af ligninger, behøver du naturligvis ikke huske reglerne for at finde ukendte.

For at finde det ukendte i ligningen, dividerede vi produktet 10 med den kendte faktor 2

Men hvis du dividerer begge sider af ligningen med 2, vil roden blive fundet med det samme. På venstre side af ligningen i tælleren vil faktor 2 og i nævneren faktor 2 blive reduceret med 2. Og højre side vil være lig med 5

Vi løste formens ligninger ved at udtrykke det ukendte led:

Men du kan bruge de identiske transformationer, som vi studerede i dag. I ligningen kan led 4 flyttes til højre ved at ændre tegnet:

På venstre side af ligningen vil to toere annullere. Den højre side vil være lig med 2. Derfor .

Eller du kan trække 4 fra begge sider af ligningen, så får du følgende:

I tilfælde af formligninger er det mere bekvemt at dividere produktet med en kendt faktor. Lad os sammenligne begge løsninger:

Den første løsning er meget kortere og pænere. Den anden løsning kan forkortes markant, hvis du laver opdelingen i hovedet.

Det er dog nødvendigt at kende begge metoder og først derefter bruge den, du foretrækker.

Når der er flere rødder

En ligning kan have flere rødder. For eksempel ligningen x(x+ 9) = 0 har to rødder: 0 og −9.

I lign. x(x+ 9) = 0 var det nødvendigt at finde en sådan værdi x hvor venstre side ville være lig nul. Venstre side af denne ligning indeholder udtrykkene x Og (x+9), som er faktorer. Fra produktlovene ved vi, at et produkt er lig nul, hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul (enten den første faktor eller den anden).

Det vil sige i lign. x(x+ 9) = 0 lighed vil blive opnået hvis x vil være lig med nul eller (x+9) vil være lig nul.

x= 0 eller x + 9 = 0

Ved at sætte begge disse udtryk til nul, kan vi finde rødderne til ligningen x(x+ 9) = 0 . Den første rod blev, som det fremgår af eksemplet, fundet med det samme. For at finde den anden rod skal du løse den elementære ligning x+ 9 = 0. Det er let at gætte, at roden til denne ligning er -9. Kontrol viser, at roden er korrekt:

−9 + 9 = 0

Eksempel 2. Løs ligningen

Denne ligning har to rødder: 1 og 2. Venstre side af ligningen er produktet af udtrykkene ( x− 1) og ( x− 2) . Og produktet er lig nul, hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul (eller faktoren ( x− 1) eller faktor ( x − 2) ).

Lad os finde sådan noget x hvorunder udtrykkene ( x− 1) eller ( x− 2) bliver nul:

Vi erstatter de fundne værdier én efter én i den oprindelige ligning og sikrer, at for disse værdier er venstre side lig nul:

Når der er uendeligt mange rødder

En ligning kan have uendeligt mange rødder. Det vil sige, at ved at substituere et hvilket som helst tal i en sådan ligning, får vi den korrekte numeriske lighed.

Eksempel 1. Løs ligningen

Roden af ​​denne ligning er et hvilket som helst tal. Hvis du åbner parenteserne i venstre side af ligningen og tilføjer lignende udtryk, får du ligheden 14 = 14. Denne ligestilling vil blive opnået for evt x

Eksempel 2. Løs ligningen

Roden af ​​denne ligning er et hvilket som helst tal. Hvis du åbner parenteserne i venstre side af ligningen, får du ligheden 10x + 12 = 10x + 12. Denne ligestilling vil blive opnået for evt x

Når der ikke er rødder

Det sker også, at ligningen slet ikke har nogen løsninger, det vil sige, at den ikke har rødder. For eksempel har ligningen ingen rødder, da for enhver værdi x, vil venstre side af ligningen ikke være lig med højre side. Lad f.eks. Så vil ligningen antage følgende form

Eksempel 2. Løs ligningen

Lad os udvide parenteserne i venstre side af ligningen:

Lad os se på lignende udtryk:

Vi ser, at venstre side ikke er lig med højre side. Og dette vil være tilfældet for enhver værdi. y. Lad f.eks y = 3 .

Bogstavligninger

En ligning kan ikke kun indeholde tal med variable, men også bogstaver.

For eksempel er formlen for at finde hastighed en bogstavelig ligning:

Denne ligning beskriver et legemes hastighed under ensartet accelereret bevægelse.

En nyttig færdighed er evnen til at udtrykke enhver komponent, der indgår i en bogstavligning. For at bestemme afstand fra en ligning skal du for eksempel udtrykke variablen s .

Gang begge sider af ligningen med t

Variabler på højre side t lad os skære det af t

I den resulterende ligning bytter vi venstre og højre side:

Vi har en formel til at finde afstanden, som vi studerede tidligere.

Lad os prøve at bestemme tiden ud fra ligningen. For at gøre dette skal du udtrykke variablen t .

Gang begge sider af ligningen med t

Variabler på højre side t lad os skære det af t og omskriv det vi har tilbage:

I den resulterende ligning v×t = s dividere begge dele med v

Variabler til venstre v lad os skære det af v og omskriv det vi har tilbage:

Vi har formlen til at bestemme tid, som vi studerede tidligere.

Antag, at toghastigheden er 50 km/t

v= 50 km/t

Og afstanden er 100 km

s= 100 km

Så vil brevet have følgende form

Tid kan findes ud fra denne ligning. For at gøre dette skal du kunne udtrykke variablen t. Du kan bruge reglen til at finde en ukendt divisor ved at dividere udbyttet med kvotienten og dermed bestemme værdien af ​​variablen t

eller du kan bruge identiske transformationer. Gang først begge sider af ligningen med t

Divider derefter begge sider med 50

Eksempel 2 x

Træk fra begge sider af ligningen -en

Lad os dividere begge sider af ligningen med b

a + bx = c, så har vi en færdig løsning. Det vil være nok at erstatte de nødvendige værdier i det. De værdier, der vil blive erstattet af bogstaver a, b, c normalt kaldet parametre. Og formens ligninger a + bx = c hedder ligning med parametre. Afhængigt af parametrene vil roden ændre sig.

Lad os løse ligningen 2 + 4 x= 10. Det ligner en bogstavligning a + bx = c. I stedet for at udføre identiske transformationer, kan vi bruge en færdiglavet løsning. Lad os sammenligne begge løsninger:

Vi ser, at den anden løsning er meget enklere og kortere.

For en færdig løsning er det nødvendigt at lave en lille bemærkning. Parameter b må ikke være lig nul (b ≠ 0), da division med nul med er tilladt.

Eksempel 3. Der gives en bogstavelig ligning. Udtryk fra denne ligning x

Lad os åbne parenteserne på begge sider af ligningen

Lad os bruge overførsel af vilkår. Parametre, der indeholder en variabel x, grupperer vi på venstre side af ligningen, og parametre fri for denne variabel - til højre.

På venstre side tager vi faktoren ud af parentes x

Lad os opdele begge sider i udtrykket a − b

I venstre side kan tæller og nævner reduceres med a − b. Sådan kommer variablen endelig til udtryk x

Nu, hvis vi støder på en ligning af formen a(x − c) = b(x + d), så har vi en færdig løsning. Det vil være nok at erstatte de nødvendige værdier i det.

Lad os sige, at vi får ligningen 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Det er ligesom en ligning a(x − c) = b(x + d). Lad os løse det på to måder: ved at bruge identiske transformationer og ved at bruge en færdiglavet løsning:

Lad os for nemheds skyld tage det ud af ligningen 4(x− 3) = 2(x+ 4) parameterværdier -en, b, c, d . Dette vil tillade os ikke at lave en fejl, når vi erstatter:

Som i det foregående eksempel skal nævneren her ikke være lig med nul ( a − b ≠ 0). Hvis vi støder på en ligning af formen a(x − c) = b(x + d) hvori parametrene -en Og b vil være den samme, kan vi uden at løse det sige, at denne ligning ikke har nogen rødder, da forskellen mellem identiske tal er nul.

For eksempel ligningen 2(x − 3) = 2(x + 4) er en ligning af formen a(x − c) = b(x + d). I lign. 2(x − 3) = 2(x + 4) muligheder -en Og b det samme. Hvis vi begynder at løse det, kommer vi til den konklusion, at venstre side ikke vil være lig med højre side:

Eksempel 4. Der gives en bogstavelig ligning. Udtryk fra denne ligning x

Lad os bringe venstre side af ligningen til en fællesnævner:

Gang begge sider med -en

På venstre side x lad os sætte det uden for parentes

Divider begge sider med udtrykket (1 − -en)

Lineære ligninger med en ukendt

De ligninger, der diskuteres i denne lektion, kaldes lineære ligninger af første grad med en ukendt.

Hvis ligningen er givet i første grad, ikke indeholder division med det ukendte, og heller ikke indeholder rødder fra det ukendte, så kan den kaldes lineær. Vi har endnu ikke studeret kræfter og rødder, så for ikke at komplicere vores liv, vil vi forstå ordet "lineær" som "simpelt".

De fleste af de ligninger, der blev løst i denne lektion, kom i sidste ende til en simpel ligning, hvor du skulle dividere produktet med en kendt faktor. Dette er f.eks. ligning 2( x+ 3) = 16. Lad os løse det.

Lad os åbne parenteserne i venstre side af ligningen, vi får 2 x+ 6 = 16. Lad os flytte led 6 til højre og ændre tegnet. Så får vi 2 x= 16 − 6. Beregn højre side, vi får 2 x= 10. At finde x, divider produktet 10 med den kendte faktor 2. Derfor x = 5.

Ligning 2( x+ 3) = 16 er lineær. Det kommer ned til ligning 2 x= 10, for at finde roden, hvoraf det var nødvendigt at dividere produktet med en kendt faktor. Denne enkleste ligning kaldes lineær ligning af første grad med en ukendt i kanonisk form. Ordet "kanonisk" er synonymt med ordene "simpelt" eller "normalt".

En lineær ligning af første grad med en ukendt i kanonisk form kaldes en ligning af formen økse = b.

Vores resulterende ligning 2 x= 10 er en lineær ligning af første grad med en ukendt i kanonisk form. Denne ligning har den første grad, en ukendt, den indeholder ikke division med det ukendte og indeholder ikke rødder fra det ukendte, og den præsenteres i kanonisk form, det vil sige i den enkleste form, hvor værdien let kan bestemmes x. I stedet for parametre -en Og b vores ligning indeholder tallene 2 og 10. Men sådan en ligning kan også indeholde andre tal: positive, negative eller lig med nul.

Hvis i en lineær ligning -en= 0 og b= 0, så har ligningen uendeligt mange rødder. Faktisk, hvis -en lig med nul og b er lig med nul, så den lineære ligning økse= b vil have formen 0 x= 0 . For enhver værdi x venstre side vil være lig med højre side.

Hvis i en lineær ligning -en= 0 og b≠ 0, så har ligningen ingen rødder. Faktisk, hvis -en lig med nul og b er lig med et tal, der ikke er lig med nul, sig tallet 5, derefter ligningen økse = b vil have formen 0 x= 5. Venstre side vil være nul, og højre side vil være fem. Og nul er ikke lig med fem.

Hvis i en lineær ligning -en≠ 0, og b er lig med et hvilket som helst tal, så har ligningen én rod. Det bestemmes ved at dividere parameteren b pr parameter -en

Faktisk, hvis -en er lig med et tal, der ikke er nul, sig tallet 3, og b lig med et eller andet tal, sig tallet 6, så vil ligningen tage formen .
Herfra.

Der er en anden form for at skrive en lineær ligning af første grad med en ukendt. Det ser sådan ud: ax−b= 0 . Dette er den samme ligning som økse = b

Kunne du lide lektionen?
Deltag i vores ny gruppe VKontakte og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner

Ligninger

Hvordan løser man ligninger?

I dette afsnit vil vi huske (eller studere, afhængigt af hvem du vælger) de mest elementære ligninger. Så hvad er ligningen? I menneskelige termer er dette en form for matematisk udtryk, hvor der er et lighedstegn og et ukendt. Hvilket normalt betegnes med bogstavet "X". Løs ligningen- dette er at finde sådanne værdier af x, der, når de erstattes i original udtryk vil give os den korrekte identitet. Lad mig minde dig om, at identitet er et udtryk, der er hævet over enhver tvivl, selv for en person, der absolut ikke er belastet med matematisk viden. Som 2=2, 0=0, ab=ab osv. Så hvordan løser man ligninger? Lad os finde ud af det.

Der er alle mulige ligninger (jeg er overrasket, ikke?). Men al deres uendelige variation kan kun opdeles i fire typer.

4. Andet.)

Alt det andet, selvfølgelig, mest af alt, ja...) Dette inkluderer kubisk, eksponentiel, logaritmisk, trigonometrisk og alle mulige andre. Vi vil arbejde tæt sammen med dem i de relevante afsnit.

Jeg vil med det samme sige, at nogle gange er ligningerne i den første tre typer de vil snyde dig så meget, at du ikke engang vil genkende dem... Intet. Vi vil lære at slappe af dem.

Og hvorfor har vi brug for disse fire typer? Og så hvad lineære ligninger løst på én måde firkant andre, brøkrationaler - tredje, EN hvile De tør slet ikke! Nå, det er ikke, at de slet ikke kan bestemme, det er, at jeg tog fejl med matematik.) Det er bare, at de har deres egne specielle teknikker og metoder.

Men for enhver (jeg gentager - for nogen!) ligninger giver et pålideligt og fejlsikkert grundlag for løsning. Virker overalt og altid. Dette fundament - Lyder skræmmende, men det er meget enkelt. Og meget (Meget!) vigtig.

Faktisk består løsningen af ​​ligningen af ​​netop disse transformationer. 99 % Svar på spørgsmålet: " Hvordan løser man ligninger?" ligger netop i disse transformationer. Er hintet klart?)

Identiske transformationer af ligninger.

I nogen ligninger For at finde det ukendte skal du transformere og forenkle det originale eksempel. Og sådan når man skifter udseende essensen af ​​ligningen har ikke ændret sig. Sådanne transformationer kaldes identisk eller tilsvarende.

Bemærk, at disse transformationer gælder specifikt til ligningerne. Der er også identitetstransformationer i matematik udtryk. Dette er et andet emne.

Nu vil vi gentage alt, alt, alt grundlæggende identiske transformationer af ligninger.

Grundlæggende, fordi de kan anvendes til nogen ligninger - lineære, kvadratiske, brøkdele, trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske osv. og så videre.

Første identitetstransformation: du kan addere (fratrække) til begge sider af enhver ligning nogen(men et og samme!) tal eller udtryk (inklusive et udtryk med en ukendt!). Dette ændrer ikke på essensen af ​​ligningen.

Forresten brugte du konstant denne transformation, du troede bare, at du overfører nogle udtryk fra en del af ligningen til en anden med et fortegnsskifte. Type:

Sagen er velkendt, vi flytter de to til højre, og vi får:

Faktisk dig taget væk fra begge sider af ligning to. Resultatet er det samme:

x+2 - 2 = 3 - 2

At flytte termer til venstre og højre med et tegnskifte er simpelthen en forkortet version af den første identitetstransformation. Og hvorfor har vi brug for sådan en dyb viden? - du spørger. Intet i ligningerne. For guds skyld, bær det ud. Bare glem ikke at ændre skiltet. Men i uligheder kan vanen med overførsel føre til en blindgyde...

Anden identitetstransformation: begge sider af ligningen kan ganges (divideres) med det samme ikke-nul tal eller udtryk. Her dukker allerede en forståelig begrænsning op: at gange med nul er dumt, og at dividere er fuldstændig umuligt. Det er den transformation, du bruger, når du løser noget sejt som

Det er klart x= 2. Hvordan fandt du det? Ved valg? Eller gik det bare op for dig? For ikke at vælge og ikke vente på indsigt, skal du forstå, at du er retfærdig divideret begge sider af ligningen med 5. Ved deling af venstre side (5x), blev de fem reduceret, hvilket efterlod ren X. Hvilket er præcis, hvad vi havde brug for. Og når man dividerer højre side af (10) med fem, er resultatet selvfølgelig to.

Det er alt.

Det er sjovt, men disse to (kun to!) identiske transformationer er grundlaget for løsningen alle matematikkens ligninger. Wow! Det giver mening at se på eksempler på hvad og hvordan, ikke?)

Eksempler på identiske transformationer af ligninger. Hovedproblemer.

Lad os starte med først identitetstransformation. Overfør venstre-højre.

Et eksempel for de yngre.)

Lad os sige, at vi skal løse følgende ligning:

3-2x=5-3x

Lad os huske besværgelsen: "med X'er - til venstre, uden X'er - til højre!" Denne besværgelse er instruktioner til brug af den første identitetstransformation.) Hvad er udtrykket med et X til højre? 3x? Svaret er forkert! På vores højre side - 3x! Minus tre x! Derfor, når du flytter til venstre, vil tegnet skifte til plus. Det vil vise sig:

3-2x+3x=5

Så X'erne blev samlet i en bunke. Lad os komme ind på tallene. Der er en tre til venstre. Med hvilket skilt? Svaret "med ingen" accepteres ikke!) Foran de tre er der faktisk intet tegnet. Og det betyder, at før de tre er der plus. Så matematikerne var enige. Der er ikke skrevet noget, hvilket betyder plus. Derfor vil triplen blive overført til højre side med et minus. Vi får:

-2x+3x=5-3

Der er kun småting tilbage. Til venstre - medbring lignende, til højre - tæl. Svaret kommer med det samme:

I dette eksempel var én identitetstransformation nok. Den anden var ikke nødvendig. Nå okay.)

Et eksempel for ældre børn.)

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Denne lektion diskuterer i detaljer proceduren for udførelse aritmetiske operationer i udtryk uden og med parentes. Eleverne får mulighed for, under udførelse af opgaver, at afgøre, om betydningen af ​​udtryk afhænger af den rækkefølge, regneoperationer udføres i, at finde ud af, om rækkefølgen af ​​regneoperationer er forskellig i udtryk uden parentes og med parentes, at øve sig i at anvende den indlærte regel, for at finde og rette fejl begået ved fastlæggelse af rækkefølgen af ​​handlinger.

I livet udfører vi konstant en form for handling: vi går, studerer, læser, skriver, tæller, smiler, skændes og slutter fred. Vi udfører disse handlinger i i forskellig rækkefølge. Nogle gange kan de byttes, nogle gange ikke. For eksempel, når du gør dig klar til skole om morgenen, kan du først lave øvelser, derefter rede din seng, eller omvendt. Men du kan ikke gå i skole først og derefter tage tøj på.

I matematik er det nødvendigt at udføre aritmetiske operationer i en bestemt rækkefølge?

Lad os tjekke

Lad os sammenligne udtrykkene:
8-3+4 og 8-3+4

Vi ser, at begge udtryk er helt ens.

Lad os udføre handlinger i det ene udtryk fra venstre mod højre og i det andet fra højre mod venstre. Du kan bruge tal til at angive rækkefølgen af ​​handlinger (fig. 1).

Ris. 1. Fremgangsmåde

I det første udtryk vil vi først udføre subtraktionsoperationen og derefter tilføje tallet 4 til resultatet.

I det andet udtryk finder vi først værdien af ​​summen og trækker derefter det resulterende resultat 7 fra 8.

Vi ser, at betydningerne af udtrykkene er forskellige.

Lad os konkludere: Den rækkefølge, som aritmetiske operationer udføres i, kan ikke ændres.

Lad os lære reglen for at udføre aritmetiske operationer i udtryk uden parentes.

Hvis et udtryk uden parentes kun omfatter addition og subtraktion eller kun multiplikation og division, så udføres handlingerne i den rækkefølge, de er skrevet i.

Lad os øve.

Overvej udtrykket

Dette udtryk indeholder kun additions- og subtraktionsoperationer. Disse handlinger kaldes handlinger i første fase.

Vi udfører handlingerne fra venstre mod højre i rækkefølge (fig. 2).

Ris. 2. Fremgangsmåde

Overvej det andet udtryk

Dette udtryk indeholder kun multiplikations- og divisionsoperationer - Dette er handlingerne i anden fase.

Vi udfører handlingerne fra venstre mod højre i rækkefølge (fig. 3).

Ris. 3. Fremgangsmåde

I hvilken rækkefølge udføres aritmetiske operationer, hvis udtrykket ikke kun indeholder addition og subtraktion, men også multiplikation og division?

Hvis et udtryk uden parentes omfatter ikke kun operationerne addition og subtraktion, men også multiplikation og division, eller begge disse operationer, så udfør først i rækkefølge (fra venstre mod højre) multiplikation og division, og derefter addition og subtraktion.

Lad os se på udtrykket.

Lad os tænke sådan her. Dette udtryk indeholder operationerne addition og subtraktion, multiplikation og division. Vi handler efter reglen. Først udfører vi i rækkefølge (fra venstre mod højre) multiplikation og division, og derefter addition og subtraktion. Lad os arrangere rækkefølgen af ​​handlinger.

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

I hvilken rækkefølge udføres aritmetiske operationer, hvis der er parenteser i et udtryk?

Hvis et udtryk indeholder parenteser, evalueres værdien af ​​udtrykkene i parentesen først.

Lad os se på udtrykket.

30 + 6 * (13 - 9)

Vi ser, at der i dette udtryk er en handling i parentes, hvilket betyder, at vi udfører denne handling først, derefter multiplikation og addition i rækkefølge. Lad os arrangere rækkefølgen af ​​handlinger.

30 + 6 * (13 - 9)

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Hvordan skal man ræsonnere til korrekt at fastslå rækkefølgen af ​​aritmetiske operationer i et numerisk udtryk?

Før du starter beregninger, skal du se på udtrykket (find ud af, om det indeholder parenteser, hvilke handlinger det indeholder) og først derefter udføre handlingerne i følgende rækkefølge:

1. handlinger skrevet i parentes;

2. multiplikation og division;

3. addition og subtraktion.

Diagrammet hjælper dig med at huske denne enkle regel (fig. 4).

Ris. 4. Fremgangsmåde

Lad os øve.

Lad os overveje udtrykkene, fastlægge rækkefølgen af ​​handlinger og udføre beregninger.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Vi vil handle efter reglen. Udtrykket 43 - (20 - 7) +15 indeholder operationer i parentes samt additions- og subtraktionsoperationer. Lad os etablere en procedure. Den første handling er at udføre operationen i parentes, og derefter, i rækkefølge fra venstre mod højre, subtraktion og addition.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Udtrykket 32 ​​+ 9 * (19 - 16) indeholder operationer i parentes samt multiplikations- og additionsoperationer. Ifølge reglen udfører vi først handlingen i parentes, derefter multiplikation (vi ganger tallet 9 med resultatet opnået ved subtraktion) og addition.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

I udtrykket 2*9-18:3 er der ingen parenteser, men der er multiplikation, division og subtraktion operationer. Vi handler efter reglen. Først udfører vi multiplikation og division fra venstre mod højre, og derefter trækker vi resultatet opnået fra division fra resultatet opnået ved multiplikation. Det vil sige, at den første handling er multiplikation, den anden er division, og den tredje er subtraktion.

2*9-18:3=18-6=12

Lad os finde ud af, om rækkefølgen af ​​handlinger i de følgende udtryk er korrekt defineret.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Lad os tænke sådan her.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Der er ingen parentes i dette udtryk, hvilket betyder, at vi først udfører multiplikation eller division fra venstre mod højre, derefter addition eller subtraktion. I dette udtryk er den første handling division, den anden er multiplikation. Den tredje handling skal være addition, den fjerde - subtraktion. Konklusion: proceduren er bestemt korrekt.

Lad os finde værdien af ​​dette udtryk.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Lad os fortsætte med at snakke.

Det andet udtryk indeholder parenteser, hvilket betyder, at vi først udfører handlingen i parentes, derefter fra venstre mod højre multiplikation eller division, addition eller subtraktion. Vi tjekker: den første handling er i parentes, den anden er division, den tredje er tilføjelse. Konklusion: proceduren er forkert defineret. Lad os rette fejlene og finde værdien af ​​udtrykket.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Dette udtryk indeholder også parenteser, hvilket betyder, at vi først udfører handlingen i parentes, derefter fra venstre mod højre multiplikation eller division, addition eller subtraktion. Lad os tjekke: den første handling er i parentes, den anden er multiplikation, den tredje er subtraktion. Konklusion: proceduren er forkert defineret. Lad os rette fejlene og finde værdien af ​​udtrykket.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Lad os fuldføre opgaven.

Lad os arrangere rækkefølgen af ​​handlinger i udtrykket ved hjælp af den indlærte regel (fig. 5).

Ris. 5. Fremgangsmåde

Vi kan ikke se numeriske værdier, derfor vil vi ikke kunne finde meningen med udtrykkene, men vi vil øve os i at anvende den tillærte regel.

Vi handler efter algoritmen.

Det første udtryk indeholder parenteser, hvilket betyder, at den første handling er i parentes. Derefter fra venstre mod højre multiplikation og division, derefter fra venstre mod højre subtraktion og addition.

Det andet udtryk indeholder også parenteser, hvilket betyder, at vi udfører den første handling i parentes. Derefter, fra venstre mod højre, multiplikation og division, derefter subtraktion.

Lad os tjekke os selv (fig. 6).

Ris. 6. Fremgangsmåde

I dag i klassen lærte vi om reglen for rækkefølgen af ​​handlinger i udtryk uden og med parentes.

Bibliografi

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Lærebog. 3. klasse: i 2 dele, del 1. - M.: “Oplysning”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Lærebog. 3. klasse: i 2 dele, del 2. - M.: “Oplysning”, 2012.
3. M.I. Moro. Matematikundervisning: Retningslinier for læreren. 3. klasse. - M.: Uddannelse, 2012.
4. Reguleringsdokument. Monitorering og evaluering af læringsudbytte. - M.: "Enlightenment", 2011.
5. "School of Russia": Programmer for folkeskolen. - M.: "Enlightenment", 2011.
6. S.I. Volkova. Matematik: Test arbejde. 3. klasse. - M.: Uddannelse, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tests. - M.: "Eksamen", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Lektier

1. Bestem rækkefølgen af ​​handlinger i disse udtryk. Find betydningen af ​​udtrykkene.

2. Bestem i hvilket udtryk denne rækkefølge af handlinger udføres:

1. multiplikation; 2. division;. 3. tilføjelse; 4. subtraktion; 5. tilføjelse. Find betydningen af ​​dette udtryk.

3. Lav tre udtryk, hvor følgende rækkefølge af handlinger udføres:

1. multiplikation; 2. tilføjelse; 3. subtraktion

1. tilføjelse; 2. subtraktion; 3. tilføjelse

1. multiplikation; 2. division; 3. tilføjelse

Find betydningen af ​​disse udtryk.

En ligning er en lighed, der indeholder et bogstav, hvis værdi skal findes.

I ligninger er det ukendte normalt repræsenteret med små bogstaver latinsk bogstav. De mest brugte bogstaver er "x" [ix] og "y" [y].

• Roden til ligningen- dette er værdien af ​​det bogstav, ved hvilket den korrekte numeriske lighed opnås fra ligningen.
• Løs ligningen- betyder at finde alle dens rødder eller sørge for, at der ikke er nogen rødder.

Når vi har løst ligningen, skriver vi altid en check ned efter svaret.

Information til forældre

Kære forældre, det gør vi opmærksom på folkeskole og i 5. klasse kender børn IKKE emnet "Negative tal".

Derfor skal de løse ligninger ved kun at bruge egenskaberne addition, subtraktion, multiplikation og division. Metoder til løsning af ligninger for klasse 5 er angivet nedenfor.

Forsøg ikke at forklare løsningen af ​​ligninger ved at overføre tal og bogstaver fra en del af ligningen til en anden med et fortegnsskifte.

Du kan friske op på begreber relateret til addition, subtraktion, multiplikation og division i lektionen "Aritmetikloven".

Løsning af additions- og subtraktionsligninger

Hvordan finder man det ukendte
semester

Hvordan finder man det ukendte
minuend

Hvordan finder man det ukendte
subtrahend

For at finde det ukendte led, skal du trække det kendte led fra summen.

For at finde det ukendte minuend skal du tilføje subtrahenden til forskellen.

For at finde den ukendte subtrahend skal du trække forskellen fra minuenden.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Undersøgelse

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Undersøgelse

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Undersøgelse

Løsning af multiplikations- og divisionsligninger

Hvordan man finder en ukendt
faktor

Hvordan finder man det ukendte
udbytte

Hvordan man finder en ukendt
skillevæg

For at finde en ukendt faktor skal du dividere produktet med den kendte faktor.

For at finde det ukendte udbytte skal du gange kvotienten med divisoren.

For at finde en ukendt divisor skal du dividere udbyttet med kvotienten.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Undersøgelse

y: 7 = 2
y = 27
y=14
Undersøgelse

8:y=4
y=8:4
y=2
Undersøgelse

En ligning er en lighed, der indeholder et bogstav, hvis tegn skal findes. Løsningen til en ligning er det sæt af bogstavværdier, der gør ligningen til en ægte lighed:

Husk det for at løse ligning du skal overføre termerne med det ukendte til den ene del af ligheden, og de numeriske termer til den anden, bringe lignende og få følgende lighed:

Fra den sidste lighed bestemmer vi det ukendte efter reglen: "en af ​​faktorerne er lig med kvotienten divideret med den anden faktor."

Fordi rationelle tal a og b kan have samme og forskellige tegn, så bestemmes fortegnet for det ukendte af reglerne for at dividere rationelle tal.

Fremgangsmåde til løsning af lineære ligninger

Den lineære ligning skal forenkles ved at åbne parenteserne og udføre operationerne i andet trin (multiplikation og division).

Flyt de ukendte til den ene side af lighedstegnet, og tallene til den anden side af lighedstegnet, for at opnå en lighed, der er identisk med det givne,

Bring lignende til venstre og højre for lighedstegnet, og opnå en lighed af formen økse = b.

Beregn roden af ​​ligningen (find det ukendte x fra ligestilling x = b : -en),

Tjek ved at erstatte det ukendte i den givne ligning.

Hvis vi opnår en identitet i en numerisk lighed, så er ligningen løst korrekt.

Særlige tilfælde af løsning af ligninger

1. Hvis ligningen givet et produkt lig med 0, så for at løse det bruger vi egenskaben multiplikation: "produktet er lig med nul, hvis en af ​​faktorerne eller begge faktorer er lig med nul."

27 (x - 3) = 0
27 er ikke lig med 0, hvilket betyder x - 3 = 0

Det andet eksempel har to løsninger til ligningen, da
dette er en andengradsligning:

Hvis ligningens koefficienter er almindelige brøker, så skal vi først og fremmest slippe af med nævnerne. For det:

Find fællesnævneren;

Bestem yderligere faktorer for hvert led i ligningen;

Multiplicer tællere af brøker og heltal med yderligere faktorer og skriv alle led i ligningen uden nævnere (fællesnævneren kan kasseres);

Flyt termerne med ukendte til den ene side af ligningen og de numeriske led til den anden fra lighedstegnet for at opnå en ækvivalent lighed;

Medbring lignende medlemmer;

Grundlæggende egenskaber ved ligninger

I enhver del af ligningen kan du tilføje lignende udtryk eller åbne en parentes.

Ethvert led i ligningen kan overføres fra en del af ligningen til en anden ved at ændre dens fortegn til det modsatte.

Begge sider af ligningen kan multipliceres (divideres) med det samme tal, undtagen 0.

I eksemplet ovenfor blev alle dets egenskaber brugt til at løse ligningen.

Multiplikationsligninger

1) At udvikle evnen til at bygge en algoritme ved at bruge eksemplet med at konstruere en algoritme til løsning af simple multiplikationsligninger, at udvikle evnen til at bruge den konstruerede algoritme ved løsning af en ligning.

2) Træn dine computerfærdigheder og løs ordproblemer.

Mentale operationer nødvendige på designstadiet: analyse, syntese, sammenligning, analogi.

Scene 1. Motivation til læringsaktiviteter

1) motivere eleverne til pædagogiske aktiviteter,

2) fastlægge lektionens indholdsramme.

Organisation pædagogisk proces på trin 1:

— Hvilket emne studerer vi i matematiktimerne nu? (Multiplikation og division)

— I hvilke opgaver bruger vi disse handlinger? (Ved at løse eksempler, problemer)

- Vil du vide, hvilke andre opgaver der er, hvor vi kan bruge disse handlinger? (Ja)

Gutter, se hvem der kom til vores lektion i dag? Genkendte du dem? Hvad ved du om disse helte? (...)

(Spørgsmålstegn vises). Hvad sker der? Kolobokse er forundrede og oprørte. De ville løse opgaven, men for første gang mislykkedes de. De ved ikke, hvordan de skal opdage ny viden. Skal vi hjælpe? (...)

Er det muligt at komme på arbejde med sådan en stemning som koloboks? (Det er umuligt, der vil ikke være noget resultat)

Lad os smile til hinanden og ønske hinanden held og lykke! Nå, lad os handle efter planen for at opdage ny viden. Du kender ham godt.

Etape 2. Opdatering af viden og afhjælpning af vanskeligheder i en prøvehandling

1) opdatering af de studerede handlingsmetoder, der er tilstrækkelige til konstruktion, deres verbale og symbolske fiksering og generalisering;

2) aktualisering af mental og kognitive processer tilstrækkelig til opbygning af ny viden;

3) motivation for en pædagogisk prøvehandling og dens uafhængige gennemførelse;

4) elevernes registrering af individuelle vanskeligheder med at gennemføre testen pædagogisk handling eller dens begrundelse.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 2:

1) Opdatering af formler til at finde arealet og den ukendte side af et rektangel.

Hvor skal vi starte? (Med gentagelse). Skal vi gentage alt, hvad vi ved? (Nej, kun hvad der er nyttigt for os at opdage ny viden)



- Hvad skal du finde i denne opgave? (Areal af rektangel)

- Hvordan finder man arealet af et rektangel? (For at finde arealet af et rektangel skal du gange længden med bredden)

Områdeformlen vises.

Eleverne udfører opgaven.

-Hvad er området? (18 kvm)

- Hvem fik et andet svar?

- Hvad er din fejl?

- Sådan finder du kendt side rektangel? (For at finde den ukendte side af et rektangel skal du dividere arealet med den kendte side)

— En formel til at finde den ukendte side af et rektangel vises.

— Lav en omvendt opgave, hvor du skal finde længden af ​​et rektangel (...)

— Lad os skrive løsningen på det omvendte problem ned.

Eleven, der komponerede det omvendte problem, løser det på tavlen: 18:3=6(m) – længde

- Opret nu endnu et omvendt problem.

Eleven, der komponerede det omvendte problem, løser det på tavlen: 18:6=3 (m) – bredde

Hvem lavede ikke fejl i denne opgave? Sæt dig selv et +-tegn på rutearket ved siden af ​​gentagelsen. Hvem begik fejlen? Hvorfor opstod fejlen? Forstår du årsagen? Ret fejlen. Hvad vil du sætte for dig selv? (? og +).

2) Opdatering af algoritmen til løsning af additions- og subtraktionsligninger.

— Skriv ned: summen af ​​X + 5 er lig med 7. Hvad kan du kalde denne post? (ligningen)

- Hvad er en ligning? (En lighed, hvor der er et ukendt tal, kaldes en ligning)

- Hvad vil hjælpe os med at løse denne ligning? (Standard til løsning af additionsligninger)

En elev ved tavlen kommenterer. (Jeg udpeger ligningens komponenter, understreger delene, cirkulerer hele (summen). Jeg kan se, at delen er ukendt. For at finde den ukendte del skal du trække den kendte del fra summen.

Hvem lavede ikke fejl i denne opgave? Sæt dig selv et +-tegn på rutearket ved siden af ​​gentagelsen. Hvem begik fejlen? Hvorfor opstod fejlen? Forstår du årsagen? Ret fejlen. Hvad vil du sætte for dig selv? (- og +).

- Hvorfor gentog vi dette? (Dette vil være nyttigt for os at opdage ny viden)

- Hvilken Næste skridt? (Testhandling) Hvad er det til? (For at forstå, hvad vi ikke ved)

Læreren uddeler kort til eleverne med en opgave til en prøvehandling:

- Hvilken opgave skal løses? (Løs ligningen)



- Med hvilken handling? (Med multiplikation)

- Hvad er nyt i denne opgave? (Vi løste ikke multiplikationsligninger)

Prøv denne opgave. (30 sek.)

- Hvem klarede ikke opgaven?

Hvad kunne du ikke? (Vi kunne ikke løse ligningen)

- Hvem fandt roden til ligningen? Hvilke resultater fik du?

Læreren registrerer resultaterne på tavlen ved siden af ​​prøvehandlingen.

- Begrund din mening.

Det kan du ikke? (Vi kan ikke begrunde vores svar.)

Du har et problem. (vanskelighed). Lad os sætte... (spørgsmålstegn) ved siden af ​​prøvehandlingen på rutearket.

— Hvad er næste trin i lektionen? (Find ud af, hvad vores problem er)

- Og da der er opstået en vanskelighed, skal du... (Stop op og tænk)

Etape 3. Identifikation af placeringen og årsagen til problemet

1) gendanne de udførte operationer og registrere placeringen af ​​vanskeligheden;

2) korreler dine handlinger med den anvendte handlingsmetode og identificer og optag på dette grundlag i ekstern tale årsagen til vanskeligheden.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 3:

- Hvilken opgave skulle du udføre? (Vi skulle løse en multiplikationsligning)

— Hvordan ræsonnerede du, mens du udførte testhandlingen? (Vi forsøgte at bruge en velkendt algoritme til at løse ligninger...)

- Hvad er vanskeligheden? (Algoritmen er ikke egnet)

Hvorfor opstod vanskeligheden? (Vi har ikke en måde at løse multiplikationsligninger på)

Forstår du, hvad du ikke ved? (Ja). Sæt et +-tegn på dit ruteark ved siden af ​​det tredje trin.

Etape 4. Opbygning af et projekt for at komme ud af et problem

1) aftale og registrere formålet med og emnet for lektionen;

2) opbyg en plan og bestem midlerne til at nå målet.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 4:

- Vi indså, hvad vi ikke ved, nu kan vi... (Opdag metoden selv)

Først skal du sætte et mål. Hvis du ikke ved, hvordan man løser multiplikationsligninger, så er dit mål... (Opdag en måde at løse sådanne ligninger på)

- Formuler emnet for vores lektion (...)

Skriv emnet på tavlen:

- Vi vil agere som rigtige detektiver. Lad os lave en handlingsplan. Glide

- Lad os tænke over, hvad der kan hjælpe os. Husk, at du gentog i begyndelsen af ​​lektionen. (Algoritme til løsning af additionsligninger, formel til at finde areal)

- Hvilken formel kan hjælpe os? (Formel til at finde arealet og den ukendte side af et rektangel)

— Lad os prøve at anvende formlen for arealet af et rektangel.

— Jeg foreslår, at du bruger den algoritme, du kender, til at løse additionsligninger.

Algoritme.

2. Jeg skelner helheden og delene.
3. Hvad er ukendt?
4. Jeg anvender reglen.
5. Jeg finder ukendt x.
6. Hvad i denne algoritme passer tydeligvis ikke til dig? (1 point)
7. Når du havde additionsligninger, relaterede du deres komponenter til dele og helheder ved hjælp af linjesegmenter. Hvad korrelerede du komponenterne i multiplikation med? (Med areal)
8. Hvad vil du bruge i stedet for segmentet? (Rektangel model)

Lad os erstatte punkt 1 med Lad os betegne komponenterne i ligningen ved hjælp af rektangelmodellen.

— Passer de resterende punkter i algoritmen til dig?

— Ved hjælp af denne algoritme, kan du prøve at løse ligningen?

— Hvad kan vi gøre for at gøre det bekvemt altid at bruge denne regel? (Skriv reglen ind generel opfattelse)

Lad os skrive reglen i generel form.

- Hvilke midler vil vi bruge?

Lad os prøve at anvende formlen for arealet af et rektangel...

Værktøjer: rektangelmodel, algoritme.

Etape 5. Gennemførelse af det afsluttede projekt

1) gennemføre det opførte projekt i overensstemmelse med planen;

2) fastsætte måder at skrive udtryk på standarden;

3) organisere registrering af at overvinde vanskeligheden;

4) organisere afklaring af den generelle karakter af den nye viden.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 5:

Jeg foreslår, at du arbejder i grupper. Angiv reglerne for at arbejde i grupper.

Regler for at arbejde i grupper

1. Der skal være en ansvarlig i gruppen.

2. En taler, andre lytter.

3. Udtryk din uenighed høfligt.

4. Alle skal arbejde.

Eleverne danner grupper.

- Udfør planen i grupper.

Den ansvarlige fra hver gruppe får en opgave.

1. Jeg vil bruge en rektangelmodel og plotte ligningens komponenter på modellen.

2. Jeg vil anvende reglen for arealet af et rektangel. (For at finde den ukendte side af et rektangel skal du dividere arealet med den kendte side)

3. Find roden af ​​ligningen

Vi markerede tallene på rektangelmodellen. Det kan ses, at siden af ​​rektanglet er ukendt. For at finde den ukendte side af et rektangel skal du dividere arealet med den kendte side. Vi udførte beregningerne og fandt roden af ​​ligningen, x=5.

— Hvad skal der ske efter planen? (Skriv ligningen i generel form)

— Hvordan skriver man ligningen i generel form? (Brug af bogstaver i det latinske alfabet)

— Hvordan betegner man i ligningen de tal, der er siderne af rektanglet? (Vi understreger)

— Jeg foreslår at tage tallet, som er arealet, ind i et rektangel, hvorfor er det praktisk? (minder mig om den formel vi bruger)

— Vil det være nødvendigt at skabe en anden standard for det tilfælde, hvor x er i stedet for en anden faktor? (Ingen)

- Hvorfor? (Du kan bruge den kommutative egenskab ved multiplikation)

– Hvordan tjekker man sin opdagelse? Hvilke nøgler til viden har vi? (Se i lærebogen)

Åbn dine lærebøger på side 1. Læs reglen.

Godt klaret! Du hjalp kolobokserne. Slide (bifald).

Lad os nu vende tilbage til retssagen.

Udfyld det nødvendige på tavlen.

Var du i stand til at overvinde vanskeligheden? (Ja). Lad os sætte et +-tegn på rutearket.

På en almindelig bestyrelse, under trinnet "Jeg finder selv en vej", vedhæft nye standarder.

Hvad kan du gøre nu ved hjælp af din nye viden? (Løs ligninger)

Etape 6. Primær konsolidering

1) organisere børns assimilering af en ny handlingsmetode, når de løser multiplikationsligninger med deres udtale i ekstern tale.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 6:

1) Frontalarbejde. På tavlen er venstre side algoritmen, højre side er ligningen + modellen.

2) 4 x=8; 3 x=9; x · 4=12.

3) Læreren åbner en opgave til konsolidering i bestyrelsen. Eleverne går op til tavlen én efter én og afslutter opgaven med kommentarer. Kommentarmulighed:

- Først vil jeg markere området af rektanglet med en firkant, og jeg vil understrege siderne. I denne ligning er siden af ​​rektanglet ukendt. Det betyder, at arealet af rektanglet skal divideres med den kendte side. Otte divideret med 4 er 2, x er lig med 2.

Videre udførelse af opgaven kommenteres på samme måde.

Fysiske øvelser for øjnene.

Vi hviler os lidt. og vi finder svaret på alt.
Lad os stå på tæerne og strække armene op.
Hænderne på taljen, bøj ​​dig fremad.
Lad os nu hoppe og sætte os ned!

Nu har alle hvilet sig, og der er en ny bekymring:

Du skal udføre fremragende pararbejde.

Læreren uddeler kort med en opgave, som parvis kan arbejde med.

Eleverne udfører opgaver parvis med kommentarer. Checken er organiseret efter D-7 modellen.

- Tjek dine resultater.

Ret fejlene. Hvem lavede ikke fejl i denne opgave? Sæt dig selv et +-tegn på rutearket ved siden af ​​5. trin. Hvem begik fejlen? Hvorfor opstod fejlen? Forstår du årsagen? Ret fejlen. Hvad vil du sætte for dig selv? (? og +)

— Hvad er næste trin i lektionen? (Test os selv for at se, om vi kan klare det på egen hånd)

Etape 7. Selvkontrol med selvtest i forhold til en standard

1) træne evnen til selvkontrol og selvværd;

2) test din evne til at løse multiplikationsligninger.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 7:

- Udfør disse ligninger selv. Eleverne arbejder selvstændigt med kort

— Checken er organiseret efter D-8 standarden.

- Træk en konklusion. (Har brug for mere øvelse.)

- Træk en konklusion. (Vi har lært alt godt.)

- Hvem lavede ikke fejl i denne opgave? Sæt dig selv et +-tegn på rutearket ved siden af ​​5. trin. Hvem begik fejlen? Hvorfor opstod fejlen? Forstår du årsagen? Ret fejlen. Hvad vil du sætte for dig selv? (? og +).

Etape 8. Inklusion i vidensystemet og gentagelse

1) inddrage ny viden i vidensystemet;

2) træne evnen til at løse problemer.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 8:

— Hvad skal du vide for korrekt at løse multiplikationsligninger? (Multiplikations- og divisionstabeller, arealformel). Jeg foreslår, at du løser problem nr. 4 s.2.

Eleverne udfører opgaven. Checken er organiseret efter D-9 modellen.

- Hvem af jer tog fejl?

- Hvor er fejlen? (Ved valg af en regel, i beregninger, ...)

Etape 9. Refleksion over læringsaktiviteter i klasseværelset

Mål:

1) registrere nyt indhold lært i lektionen;

2) evaluer dit arbejde og klassens arbejde i lektionen;

4) skitsere retninger for fremtidige uddannelsesaktiviteter;

3) diskutere lektier.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 9:

– Hvilket mål har du sat dig? (...)

– Har du nået dit mål? (Bevis det)

— Jeg foreslår, at du evaluerer dit arbejde i klassen. Tag endnu et kig på dine lektionsplaner, se hvor mange positive ting du har.

— På en almindelig tavle er der et billede af koloboks individuelt. Man smiler. Dem af jer, der tror, ​​I forstår og husker nyt emne, tag udråbstegn og sæt dem ved siden af ​​den smilende Kolobok. Dem, der stadig ikke er sikre på noget, som stadig har spørgsmål, som har lavet fejl i selvstændigt arbejde– vedhæfte spørgsmålstegn ved siden af ​​den seriøse Kolobok. Du vil øve dig, og du vil helt sikkert overvinde dine vanskeligheder.

- Du har arbejdet rigtig godt i dag, men betyder det, at du ikke behøver at træne mere? (Jeg skal lave mine lektier)

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Løsning af ligninger ved multiplikation

En ukendt størrelse kan relateres til en kendt mængde ikke kun med et + eller - tegn, men også ved delt op med et vist beløb, som i denne ligning: $\frac = b$.

Her kan løsningen ikke findes, som i tidligere eksempler, ved at overføre et led i ligningen. Men hvis begge udtryk i ligningen formere sig på a tager ligningen formen
$x = ab.$

Det vil sige, at nævneren af ​​brøken på venstre side ophæves. Dette kan bevises ved fraktioners egenskaber.

Når den ukendte mængde delt op ved en kendt værdi løses ligningen ved multiplikation hver side med dette kendte beløb.

De samme overførsler skal foretages i dette tilfælde som i de foregående eksempler. Vi skal dog huske, at det er nødvendigt at formere sig hver udtryk i ligningen.

Eksempel 1. Løs ligningen $\frac + a = b + d$
Multiplicer begge sider med $c$
Produktet vil være $x + ac = bc + cd$
Og $x = bc + cd - ac$.

Eksempel 1: Løs ligningen $\frac + d = h$
Multiplicer med $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
Og $x = ag + bh - ad - bd.$

Hvornår ukendt værdi er i nævner brøker, løses ligningen på lignende måde, det vil sige ved at gange ligningen med nævneren.

Eksempel 3: Løs ligningen $\frac + 7 = 8$
Multiplicer med $10 - x$ $6 + 70 - 7x = 80 - 8x$
Så $x = 4$.

Selvom dette er ikke nødvendigt, men det er ofte meget bekvemt at slippe af med nævneren af ​​en brøk, der kun består af berømt mængder Dette kan gøres på lignende måde, når vi slipper af med nævneren, som omfatter den ukendte størrelse.

Lad os tage $\frac = \frac som et eksempel +\frac $
Gang med en $x = \frac +\frac $
Multiplicer med b $bx = ad + \frac $
Multiplicer med c $bcx = acd + abh$.

Eller vi kan gange med produktet af alle nævnere på én gang.

I samme ligning $\frac = \frac +\frac $
Gang led med abc $\frac = \frac +\frac $

Efter at have reduceret hver identisk værdi i en brøk, får vi $bcx = acd + abh$, som i den tidligere version. Herfra,

I ligningen kan vi slippe af med brøker, gange hver side af ligningen med alle nævnere.

Når du slipper af med brøker i en ligning, skal du sikre dig, at fortegn og koefficienter for hver brøk er skrevet korrekt, når du åbner parenteserne

Snydekort "Løsning af ligninger. Sådan finder du det ukendte", multiplikation og division, 11x20 cm

Egenskaber

Beskrivelse

Stil et spørgsmål

Giv feedback

• Er almindelige
• Varemærke ferieatmosfære
• Artikel 1060173
• Certifikat Ikke certificeringspligtigt
• Land Rusland
• Emballage
• Æsken indeholder 2000 stk
• Emballage: 20 stk.
• Individuel emballage Ingen emballage
• Pakkestørrelse 0,1 cm × 6 cm × 13 cm
• Dimensioner og vægt
• Størrelse 0,1 cm × 7 cm × 13 cm
• Vægt 3 g
• Ejendommeligheder
• Massefylde, g/m² 190
• Afslut uden efterbehandling
• For hvem er Unisex
• Ferie tema Ingen grund
• Adressat Ingen adressat
• Materiale pap
• Skolefaget matematik

Rusland er et af de ti mest læsende lande i verden! Interessen for at læse blandt vores landsmænd vokser fra år til år, hvilket er godt nyt, for det er en vidunderlig og meget nyttig vane.

Ved at studere forskellig litteratur kan du få en masse værdifuld information, udvide din horisont, leksikon og blive lærd. Desuden er bogen fantastisk måde slappe af og have det sjovt. Lad snydearket "Løsning af ligninger. Sådan finder du det ukendte", multiplikation og division, 11x20 cm vil være en anden nyttig publikation i din samling.

Sima-land har ret til selvstændigt og uden meddelelse til brugere at vælge spørgsmål til offentliggørelse. Vi stiller ikke spørgsmål, der:

• ikke forholder sig til emnet for butikkens drift eller køb i den;
• indeholde bandeord, stødende udtalelser;

Vi offentliggør ikke spørgsmål, der indeholder:

• links til andre websteder, samt henvisninger til specifikke sælgere og importører af varer;

Sima-land forbeholder sig retten til at slette et offentliggjort spørgsmål til enhver tid, samt selvstændigt at bestemme, i hvilken periode spørgsmål anses for relevante, og for hvilke de offentliggøres på Sima-lands hjemmeside.

Vi påtager os ingen forpligtelse til at informere brugerne om årsagerne til at afvise spørgsmål eller slette tidligere stillede spørgsmål.

Hvis en bruger stiller et spørgsmål, accepterer han at modtage meddelelser fra Sima-lands hjemmeside om nye svar på hans spørgsmål.

Sima-land har ret til selvstændigt og uden meddelelse til brugere at vælge anmeldelser til offentliggørelse. Vi udsender ikke anmeldelser, der:

• ikke forholder sig til den faktiske erfaring med at bruge dette produkt;
• ikke indeholder brugbar information for andre brugere;
• indeholde links til andre websteder.

Vi offentliggør ikke udvalg og anmeldelser af produkter, der indeholder:

• links til andre websteder i teksten til udvælgelsen og gennemgangen, samt omtaler af specifikke sælgere og importører af varer;
• erklæringer, der miskrediterer tredjeparters ære, værdighed og forretningsomdømme (herunder butikker, producenter og importører af varer);
• materialer (herunder i form af tekst, video, grafiske billeder, kode), der krænker tredjeparters rettigheder, herunder rettigheder til resultater af intellektuel aktivitet og midler til individualisering.

Sima-land forbeholder sig retten til til enhver tid at slette en offentliggjort anmeldelse, udvalg og anmeldelse af produkter samt selvstændigt at bestemme, i hvilken periode anmeldelser anses for relevante, og for hvilke de offentliggøres på Sima-lands hjemmeside.

Vi påtager os ingen forpligtelse til at informere brugerne om årsagerne til at afvise offentliggørelse eller slette tidligere offentliggjorte anmeldelser, vurderinger, valg og produktanmeldelser.

Hvis en bruger svarer på en anmeldelse eller et spørgsmål, accepterer han at modtage meddelelser fra Sima-lands hjemmeside om nye svar på hans kommentarer.

www.sima-land.ru

• Program for en sommersundhedslejr med dagophold for børn Udarbejdet af: Pilipei O.N. (1. kategori) Melentyeva I.N. (1. kvartal kategori) Demidova O.B. (Kategori Q1) Børns alder: 5 -15 år Term […]
• Sådan afspejles salget af anlægsaktiver i skatteregnskabet Når du sælger anlægsaktiver, skal du udfylde de primære regnskabsdokumenter godkendt ved resolution fra Ruslands statsstatistiske komité dateret 21. januar 2003 nr. 7 (artikel 2, 5, […]
• Skat af renter på indlån: skal du betale? Skatter på renter af indlån enkeltpersoner De er stadig i kraft i Rusland i dag. I hvilke tilfælde skal en kunde betale skat af renteindtægter på indlån? MED […]

I denne video vil vi analysere et helt sæt lineære ligninger, der er løst ved hjælp af den samme algoritme - det er derfor, de kaldes de enkleste.

Lad os først definere: hvad er en lineær ligning, og hvilken kaldes den enkleste?

En lineær ligning er en, hvor der kun er én variabel, og kun i første grad.

Den enkleste ligning betyder konstruktionen:

Alle andre lineære ligninger reduceres til den enkleste ved hjælp af algoritmen:

1. Udvid parenteser, hvis nogen;
2. Flyt termer, der indeholder en variabel, til den ene side af lighedstegnet og led uden variabel til den anden;
3. Giv lignende udtryk til venstre og højre for lighedstegnet;
4. Divider den resulterende ligning med koefficienten for variablen $x$.

Selvfølgelig hjælper denne algoritme ikke altid. Faktum er, at nogle gange efter alle disse manipulationer viser koefficienten for variablen $x$ sig at være lig nul. I dette tilfælde er to muligheder mulige:

1. Ligningen har ingen løsninger overhovedet. For eksempel, når noget som $0\cdot x=8$ viser sig, dvs. til venstre er nul, og til højre er et andet tal end nul. I videoen nedenfor vil vi se på flere årsager til, hvorfor denne situation er mulig.
2. Løsningen er alle tal. Det eneste tilfælde, hvor dette er muligt, er, når ligningen er blevet reduceret til konstruktionen $0\cdot x=0$. Det er ret logisk, at uanset hvilken $x$ vi erstatter, så vil det stadig vise sig "nul er lig med nul", dvs. korrekt numerisk lighed.

Lad os nu se, hvordan alt dette fungerer ved hjælp af eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning af ligninger

I dag har vi at gøre med lineære ligninger, og kun de simpleste. Generelt betyder en lineær ligning enhver lighed, der indeholder præcis én variabel, og den går kun til første grad.

Sådanne konstruktioner løses på nogenlunde samme måde:

1. Først og fremmest skal du udvide parenteserne, hvis der er nogen (som i vores sidste eksempel);
2. Så medbring lignende
3. Til sidst isoleres variablen, dvs. flytte alt, der er forbundet med variablen - de termer, den er indeholdt i - til den ene side, og flyt alt, der er tilbage uden den, til den anden side.

Så skal du som regel give lignende på hver side af den resulterende lighed, og derefter er der kun tilbage at dividere med koefficienten "x", og vi får det endelige svar.

I teorien ser dette smukt og enkelt ud, men i praksis kan selv erfarne gymnasieelever begå stødende fejl i ret enkle lineære ligninger. Typisk begås fejl enten ved åbning af parenteser eller ved beregning af "pluser" og "minusser".

Derudover sker det, at en lineær ligning slet ikke har nogen løsninger, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. ethvert nummer. Vi vil se på disse finesser i dagens lektion. Men vi starter, som du allerede har forstået, med det meget simple opgaver.

Skema til løsning af simple lineære ligninger

Lad mig først igen skrive hele skemaet til løsning af de enkleste lineære ligninger:

1. Udvid evt. beslagene.
2. Vi isolerer variablerne, dvs. Vi flytter alt, der indeholder "X'er" til den ene side, og alt uden "X'er" til den anden.
3. Vi præsenterer lignende udtryk.
4. Vi dividerer alt med koefficienten "x".

Selvfølgelig fungerer denne ordning ikke altid, der er visse finesser og tricks i den, og nu vil vi lære dem at kende.

Løsning af rigtige eksempler på simple lineære ligninger

Opgave nr. 1

Det første skridt kræver, at vi åbner beslagene. Men de er ikke i dette eksempel, så vi springer dette trin over. I det andet trin skal vi isolere variablerne. Bemærk: vi taler om kun om individuelle vilkår. Lad os skrive det ned:

Vi præsenterer lignende udtryk til venstre og højre, men det er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trin: dividere med koefficienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så fik vi svaret.

Opgave nr. 2

Vi kan se parenteserne i denne opgave, så lad os udvide dem:

Både til venstre og til højre ser vi nogenlunde samme design, men lad os handle efter algoritmen, dvs. adskille variablerne:

Her er nogle lignende:

Ved hvilke rødder virker dette? Svar: for evt. Derfor kan vi skrive, at $x$ er et hvilket som helst tal.

Opgave nr. 3

Den tredje lineære ligning er mere interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Der er flere parenteser, men de ganges ikke med noget, de er blot indledt af forskellige tegn. Lad os opdele dem:

Vi udfører det andet trin, som vi allerede kender:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lad os regne ud:

Vi udfører det sidste trin - divider alt med koefficienten "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting at huske, når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for simple opgaver, vil jeg gerne sige følgende:

• Som jeg sagde ovenfor, har ikke enhver lineær ligning en løsning - nogle gange er der simpelthen ingen rødder;
• Selvom der er rødder, kan der være nul blandt dem – det er der ikke noget galt i.

Nul er det samme tal som de andre, du skal ikke diskriminere det på nogen måde eller antage, at hvis du får nul, så har du gjort noget forkert.

En anden funktion er relateret til åbningen af ​​beslag. Bemærk venligst: når der er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes ændrer vi tegnene til modsat. Og så kan vi åbne det ved hjælp af standardalgoritmer: vi får det, vi så i beregningerne ovenfor.

At forstå dette simpelt faktum vil tillade dig at undgå at begå dumme og stødende fejl i gymnasiet, når det tages for givet.

Løsning af komplekse lineære ligninger

Lad os gå videre til mere komplekse ligninger. Nu vil konstruktionerne blive mere komplekse, og når der udføres forskellige transformationer, vil der fremkomme en kvadratisk funktion. Vi skal dog ikke være bange for dette, for hvis vi ifølge forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer, der indeholder en kvadratisk funktion, nødvendigvis annullere under transformationsprocessen.

Eksempel nr. 1

Det første skridt er naturligvis at åbne beslagene. Lad os gøre dette meget omhyggeligt:

Lad os nu tage et kig på privatlivets fred:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er nogle lignende:

Denne ligning har naturligvis ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller der er ingen rødder.

Eksempel nr. 2

Vi udfører de samme handlinger. Første skridt:

Lad os flytte alt med en variabel til venstre og uden den - til højre:

Her er nogle lignende:

Denne lineære ligning har naturligvis ingen løsning, så vi skriver det på denne måde:

\[\varnothing\],

eller der er ingen rødder.

Nuancer af løsningen

Begge ligninger er fuldstændig løst. Ved at bruge disse to udtryk som eksempel, blev vi igen overbevist om, at selv i de mest simple lineære ligninger er alt måske ikke så enkelt: Der kan være enten én eller ingen eller uendeligt mange rødder. I vores tilfælde betragtede vi to ligninger, begge har simpelthen ingen rødder.

Men jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på et andet faktum: hvordan man arbejder med parenteser, og hvordan man åbner dem, hvis der er et minustegn foran dem. Overvej dette udtryk:

Før du åbner, skal du gange alt med "X". Bemærk venligst: multipliceres hvert enkelt semester. Indeni er der to led - henholdsvis to led og ganget.

Og først efter at disse tilsyneladende elementære, men meget vigtige og farlige transformationer er blevet gennemført, kan du åbne beslaget ud fra det synspunkt, at der er et minustegn efter det. Ja, ja: først nu, når transformationerne er afsluttet, husker vi, at der er et minustegn foran parenteserne, hvilket betyder, at alt nedenfor blot skifter fortegn. Samtidig forsvinder selve beslagene, og vigtigst af alt forsvinder den forreste "minus" også.

Vi gør det samme med den anden ligning:

Det er ikke tilfældigt, at jeg lægger mærke til disse små, tilsyneladende ubetydelige fakta. Fordi at løse ligninger er altid en sekvens af elementære transformationer, hvor manglende evne til klart og kompetent at udføre simple handlinger fører til, at gymnasieelever kommer til mig og igen lærer at løse sådanne simple ligninger.

Selvfølgelig vil den dag komme, hvor du vil finpudse disse færdigheder til et punkt af automatik. Du skal ikke længere udføre så mange transformationer hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, skal du skrive hver handling separat.

Løsning af endnu mere komplekse lineære ligninger

Det, vi skal løse nu, kan næppe kaldes den enkleste opgave, men meningen forbliver den samme.

Opgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \højre)\venstre(3x-1 \højre)-21((x)^(2))=3\]

Lad os gange alle elementerne i den første del:

Lad os gøre lidt privatliv:

Her er nogle lignende:

Lad os fuldføre det sidste trin:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vores endelige svar. Og på trods af at vi i processen med at løse havde koefficienter med en andengradsfunktion, ophævede de hinanden, hvilket gør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Opgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \højre)\venstre(1-3x \højre)=6x\venstre(2x-1 \højre)\]

Lad os omhyggeligt udføre det første trin: gange hvert element fra den første parentes med hvert element fra den anden. Der skulle være i alt fire nye termer efter transformationerne:

Lad os nu omhyggeligt udføre multiplikationen i hvert led:

Lad os flytte termerne med "X" til venstre, og dem uden - til højre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende udtryk:

Endnu en gang har vi modtaget det endelige svar.

Nuancer af løsningen

Den vigtigste note om disse to ligninger er følgende: Så snart vi begynder at gange parenteser, der indeholder mere end et led, gøres dette efter følgende regel: vi tager det første led fra det første og multiplicerer med hvert element fra Sekundet; så tager vi det andet element fra det første og multiplicerer på samme måde med hvert element fra det andet. Som et resultat vil vi have fire valgperioder.

Om den algebraiske sum

Med dette sidste eksempel vil jeg gerne minde eleverne om hvad algebraisk sum. I klassisk matematik mener vi med $1-7$ en simpel konstruktion: træk syv fra en. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" tilføjer vi et andet tal, nemlig "minus syv". Sådan adskiller en algebraisk sum sig fra en almindelig aritmetisk sum.

Så snart du, når du udfører alle transformationerne, hver addition og multiplikation, begynder at se konstruktioner svarende til dem, der er beskrevet ovenfor, vil du simpelthen ikke have nogen problemer i algebra, når du arbejder med polynomier og ligninger.

Til sidst, lad os se på et par flere eksempler, der vil være endnu mere komplekse end dem, vi lige har set på, og for at løse dem bliver vi nødt til at udvide vores standardalgoritme lidt.

Løsning af ligninger med brøker

For at løse sådanne opgaver bliver vi nødt til at tilføje endnu et trin til vores algoritme. Men lad mig først minde dig om vores algoritme:

1. Åbn beslagene.
2. Separate variabler.
3. Medbring lignende.
4. Divider med forholdet.

Ak, denne vidunderlige algoritme, trods al dens effektivitet, viser sig ikke at være helt passende, når vi har brøker foran os. Og i det, vi vil se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og højre i begge ligninger.

Hvordan arbejder man i dette tilfælde? Ja, det er meget enkelt! For at gøre dette skal du tilføje et trin mere til algoritmen, som kan gøres både før og efter den første handling, nemlig at slippe af med brøker. Så algoritmen vil være som følger:

1. Slip af med brøker.
2. Åbn beslagene.
3. Separate variabler.
4. Medbring lignende.
5. Divider med forholdet.

Hvad vil det sige at "slippe af med fraktioner"? Og hvorfor kan dette gøres både efter og før det første standardtrin? Faktisk er alle brøker i vores tilfælde numeriske i deres nævner, dvs. Overalt er nævneren kun et tal. Derfor, hvis vi gange begge sider af ligningen med dette tal, vil vi slippe af med brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lad os slippe af med brøkerne i denne ligning:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bemærk venligst: alt ganges med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser, betyder det ikke, at du skal gange hver med "fire". Lad os skrive ned:

\[\venstre(2x+1 \højre)\venstre(2x-3 \højre)=\venstre(((x)^(2))-1 \højre)\cdot 4\]

Lad os nu udvide:

Vi udelukker variablen:

Vi udfører reduktion af lignende vilkår:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi fik endelige beslutning, lad os gå videre til den anden ligning.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\venstre(1-x \højre)\venstre(1+5x \højre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her udfører vi alle de samme handlinger:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det er faktisk alt, jeg ville fortælle dig i dag.

Centrale punkter

Nøgleresultater er:

• Kend algoritmen til løsning af lineære ligninger.
• Mulighed for at åbne beslag.
• Bare rolig, hvis du ser kvadratiske funktioner, højst sandsynligt, i processen med yderligere transformationer vil de falde.
• Der er tre typer rødder i lineære ligninger, selv de simpleste: én enkelt rod, hele tallinjen er en rod og slet ingen rødder.

Jeg håber, at denne lektion vil hjælpe dig med at mestre et simpelt, men meget vigtigt emne for yderligere forståelse af al matematik. Hvis noget ikke er klart, skal du gå til webstedet og løse de eksempler, der præsenteres der. Hold dig opdateret, mange flere interessante ting venter på dig!