Eksempler på ligninger 5. Online ligninger

En ligning med en ukendt, som, efter at have åbnet parenteserne og bragt lignende udtryk, antager formen

ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tal, kaldes lineær ligning med en ukendt. I dag vil vi finde ud af, hvordan man løser disse lineære ligninger.

For eksempel alle ligninger:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineær.

Værdien af det ukendte, der gør ligningen til en sand lighed kaldes afgørelse eller roden af ligningen .

For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for det ukendte x erstatter tallet 2, får vi den korrekte lighed 3 2 +7 = 13. Det betyder, at værdien x = 2 er løsningen eller roden af ligningen.

Og værdien x = 3 gør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sand lighed, da 3 2 +7 ≠ 13. Det betyder, at værdien x = 3 ikke er en løsning eller en rod af ligningen.

Løsning af evt lineære ligninger reducerer til at løse formens ligninger

ax + b = 0.

Lad os flytte det frie led fra venstre side af ligningen til højre, ændre tegnet foran b til det modsatte, får vi

Hvis a ≠ 0, så er x = ‒ b/a .

Eksempel 1. Løs ligningen 3x + 2 =11.

Lad os flytte 2 fra venstre side af ligningen til højre, ændre tegnet foran 2 til det modsatte, får vi
3x = 11 – 2.

Lad os så trække fra
3x = 9.

For at finde x skal du dividere produktet med en kendt faktor, dvs
x = 9:3.

Det betyder, at værdien x = 3 er løsningen eller roden af ligningen.

Svar: x = 3.

Hvis a = 0 og b = 0, så får vi ligningen 0x = 0. Denne ligning har uendeligt mange løsninger, da når vi gange et hvilket som helst tal med 0 får vi 0, men b er også lig med 0. Løsningen til denne ligning er et hvilket som helst tal.

Eksempel 2. Løs ligningen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Lad os udvide parenteserne:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Her er nogle lignende udtryk:
0x = 0.

Svar: x - et vilkårligt tal.

Hvis a = 0 og b ≠ 0, så får vi ligningen 0x = - b. Denne ligning har ingen løsninger, da når vi gange et hvilket som helst tal med 0, får vi 0, men b ≠ 0.

Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.

Lad os gruppere termer, der indeholder ukendte på venstre side, og gratis termer på højre side:
x – x = 5 – 8.

Her er nogle lignende udtryk:
0х = ‒ 3.

Svar: ingen løsninger.

På Figur 1 viser et diagram til løsning af en lineær ligning

Lad os udarbejde et generelt skema til løsning af ligninger med én variabel. Lad os overveje løsningen til eksempel 4.

Eksempel 4. Antag, at vi skal løse ligningen

1) Gang alle led i ligningen med det mindste fælles multiplum af nævnerne, lig med 12.

2) Efter reduktion får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) For at adskille vilkår, der indeholder ukendte og gratis vilkår, skal du åbne parenteserne:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Lad os gruppere i den ene del termerne, der indeholder ukendte, og i den anden - frie termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Lad os præsentere lignende udtryk:
- 22x = - 154.

6) Divider med – 22, vi får
x = 7.

Som du kan se, er roden af ligningen syv.

Generelt sådan ligninger kan løses ved hjælp af følgende skema:

a) bringe ligningen til sin heltalsform;

b) åbne beslagene;

c) grupper de termer, der indeholder det ukendte i den ene del af ligningen, og de frie led i den anden;

d) medbringe lignende medlemmer;

e) løs en ligning med formen aх = b, som blev opnået efter at have bragt lignende led.

Dette skema er dog ikke nødvendigt for hver ligning. Når du løser mange enklere ligninger, skal du ikke starte fra den første, men fra den anden ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. 1, 3) og endda fra den femte fase, som i eksempel 5.

Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.

Find det ukendte x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Lad os se på at løse nogle lineære ligninger fundet i hovedtilstandseksamenen.

Eksempel 6. Løs ligning 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Svar: - 0,125

Eksempel 7. Løs ligningen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Svar: 2.3

Eksempel 8. Løs ligningen

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Eksempel 9. Find f(6) hvis f (x + 2) = 3 7'ere

Løsning

Da vi skal finde f(6), og vi kender f (x + 2),
derefter x + 2 = 6.

Vi løser den lineære ligning x + 2 = 6,
vi får x = 6 – 2, x = 4.

Hvis x = 4 så
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Svar: 27.

Hvis du stadig har spørgsmål eller ønsker at forstå løsningen af ligninger mere grundigt, så tilmeld dig mine lektioner i skemaet. Jeg vil med glæde hjælpe dig!

TutorOnline anbefaler også at se en ny videolektion fra vores tutor Olga Alexandrovna, som vil hjælpe dig med at forstå både lineære ligninger og andre.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

En af de vigtigste færdigheder når optagelse i 5. klasse er evnen til at løse simple ligninger. Da 5. klasse endnu ikke er så langt fra grundskole, så er der ikke så mange ligningstyper, som en elev kan løse. Vi vil introducere dig til alle de grundlæggende ligningstyper, som du skal kunne løse, hvis du vil komme ind på en fysik- og matematikskole.

Type 1: "løgformet"
Det er ligninger, som du næsten vil støde på, når optagelse på enhver skole eller en 5. klasses klub som en særskilt opgave. De er lette at skelne fra andre: i dem er variablen kun til stede én gang. For eksempel eller.
De løses meget enkelt: du skal bare "komme" til det ukendte, gradvist "fjerne" alt unødvendigt, der omgiver det - som om du skræller et løg - deraf navnet. For at løse det skal du bare huske et par regler fra anden klasse. Lad os liste dem alle sammen:

Tilføjelse

led1 + led2 = sum
term1 = sum - term2
term2 = sum - term1

Subtraktion

minuend - subtrahend = forskel
minuend = subtrahend + forskel
subtrahend = minuend - forskel

Multiplikation

faktor1 * faktor2 = produkt
faktor1 = produkt: faktor2
faktor2 = produkt: faktor1

Afdeling

udbytte: divisor = kvotient
udbytte = divisor * kvotient
divisor = udbytte: kvotient

Lad os se på et eksempel på, hvordan man anvender disse regler.

Bemærk, at vi deler på og vi modtager. I denne situation kender vi divisoren og kvotienten. For at finde udbyttet skal du gange divisoren med kvotienten:

Vi er blevet lidt tættere på os selv. Nu ser vi det tilføjes og det viser sig . Det betyder, at for at finde et af termerne, skal du trække det kendte led fra summen:

Og endnu et "lag" er blevet fjernet fra det ukendte! Nu ser vi situationen med kendt værdi produkt () og en kendt faktor ().

Nu er situationen "minuend - subtrahend = forskel"

Og det sidste skridt - berømt værk() og en af multiplikatorerne ()

Type 2: ligninger med parenteser
Ligninger af denne type findes oftest i problemer - 90% af alle problemer for optagelse i 5. klasse. I modsætning til "løg ligninger" variablen her kan optræde flere gange, så det er umuligt at løse det ved hjælp af metoderne fra forrige afsnit. Typiske ligninger: eller
Det største problem er at åbne beslagene korrekt. Når du har formået at gøre dette korrekt, bør du reducere lignende udtryk (tal til tal, variable til variable), og derefter får vi den enkleste "løgligning" som vi kan løse. Men først ting først.

Udvidelse af parenteser. Vi vil give flere regler, der skal bruges i dette tilfælde. Men som praksis viser, begynder eleven først at åbne beslagene korrekt efter 70-80 afsluttede problemer. Grundreglen er denne: enhver faktor uden for parentes skal ganges med hvert led inden for parentes. Og minustegnet foran parentesen ændrer tegnet på alle udtryk indeni. Så de grundlæggende regler for offentliggørelse:

Medbringer lignende. Her er alt meget lettere: du skal, ved at overføre vilkårene gennem lighedstegnet, sikre, at der på den ene side kun er vilkår med det ukendte, og på den anden side - kun tal. Grundreglen er denne: hvert led, der overføres gennem, ændrer sit fortegn - hvis det var med, bliver det med, og omvendt. Efter en vellykket overførsel er det nødvendigt at tælle det samlede antal ubekendte, det samlede antal på den anden side af ligheden end variablerne og løse en simpel "løgligning".

En ligning er en lighed, hvor der er et ukendt led - x. Dens betydning skal findes.

Den ukendte størrelse kaldes roden af ligningen. At løse en ligning betyder at finde dens rod, og for at gøre dette skal du kende ligningernes egenskaber. Ligningerne for 5. klasse er ikke svære, men hvis du lærer at løse dem rigtigt, får du ikke problemer med dem i fremtiden.

Ligningernes hovedegenskab

Når begge sider af en ligning ændres med samme mængde, fortsætter det med at være den samme ligning med samme rod. Lad os løse nogle eksempler for bedre at forstå denne regel.

Sådan løses ligninger: Addition eller subtraktion

Antag, at vi har en ligning af formen:

a + x = b - her er a og b tal, og x er ligningens ukendte led.

Hvis vi tilføjer (eller trækker fra dem) værdien c til begge sider af ligningen, ændres den ikke:

a + x + c = b + c
a + x - c = b - c.

Eksempel 1

Lad os bruge denne egenskab til at løse ligningen:

37+x=51

Træk tallet 37 fra begge sider:

37+x-37=51-37

vi får:

x=51-37.

Roden af ligningen er x=14.

Hvis vi ser nærmere på den sidste ligning, kan vi se, at den er den samme som den første. Vi flyttede simpelthen led 37 fra den ene side af ligningen til den anden og erstattede plus med minus.

Det viser sig, at et hvilket som helst tal kan overføres fra en del af ligningen til en anden med det modsatte fortegn.

Eksempel 2

37+x=37+22

Lad os udføre den samme handling, flytte tallet 37 fra venstre side af ligningen til højre:

x=37-37+22

Da 37-37=0 reducerer vi blot dette og får:

x =22.

Identiske udtryk for en ligning med samme fortegn, placeret i forskellige dele ligninger kan reduceres (overstreges).

Multiplikation og division af ligninger

Begge sider af ligheden kan også ganges eller divideres med det samme tal:

Hvis ligheden a = b divideres eller ganges med c, ændres den ikke:

a/c = b/c,
ac = bс.

Eksempel 3

5x = 20

Lad os dividere begge sider af ligningen med 5:

5x/5 = 20/5.

Da 5/5 = 1, reducerer vi disse multiplikatorer og divisorer på venstre side af ligningen og får:

x = 20/5, x=4

Eksempel 4

5x = 5a

Hvis begge sider af ligningen divideres med 5, får vi:

5x/5 = 5a/5.

5'erne i tælleren og nævneren på venstre og højre side annulleres, hvilket resulterer i x = a. Det betyder, at identiske faktorer på venstre og højre side af ligningerne ophæves.

Lad os løse et andet eksempel: