Med denne video begynder jeg en række lektioner dedikeret til ligningssystemer. I dag vil vi tale om løsning af systemer af lineære ligninger additionsmetode- dette er en af ​​de mest enkle måder, men samtidig en af ​​de mest effektive.

Tilsætningsmetoden består af tre enkle trin:

1. Se på systemet og vælg en variabel, der har de samme (eller modsatte) koefficienter i hver ligning;
2. Udfør algebraisk subtraktion (for modsatte tal - addition) af ligninger fra hinanden, og bring derefter lignende udtryk;
3. Løs den nye ligning opnået efter andet trin.

Hvis alt er gjort korrekt, vil vi ved udgangen få en enkelt ligning med én variabel- det bliver ikke svært at løse det. Så er der kun tilbage at erstatte den fundne rod i det originale system og få det endelige svar.

Men i praksis er alt ikke så enkelt. Det er der flere grunde til:

• Løsning af ligninger ved hjælp af additionsmetoden indebærer, at alle linjer skal indeholde variable med lige store/modsatte koefficienter. Hvad skal man gøre, hvis dette krav ikke er opfyldt?
• Ikke altid, efter at have lagt til/fratrukket ligninger på den angivne måde, får vi en smuk konstruktion, der let kan løses. Er det muligt på en eller anden måde at forenkle beregningerne og fremskynde beregningerne?

For at få svaret på disse spørgsmål og samtidig forstå et par ekstra finesser, som mange elever fejler, kan du se min videolektion:

Med denne lektion begynder vi en række forelæsninger om ligningssystemer. Og vi vil tage udgangspunkt i den enkleste af dem, nemlig dem, der indeholder to ligninger og to variable. Hver af dem vil være lineære.

Systemer er 7. klasses materiale, men denne lektion vil også være nyttig for gymnasieelever, der ønsker at opfriske deres viden om dette emne.

Generelt er der to metoder til at løse sådanne systemer:

1. Tilføjelsesmetode;
2. En metode til at udtrykke en variabel i form af en anden.

I dag vil vi beskæftige os med den første metode - vi vil bruge metoden til subtraktion og addition. Men for at gøre dette skal du forstå følgende kendsgerning: Når du har to eller flere ligninger, kan du tage to af dem og tilføje dem til hinanden. De tilføjes medlem for medlem, dvs. "X'er" føjes til "X'er" og lignende angives, "Y'er" med "Y'er" ligner igen, og det, der er til højre for lighedstegnet, føjes også til hinanden, og lignende er også givet der .

Resultaterne af sådanne manipulationer vil være en ny ligning, som, hvis den har rødder, helt sikkert vil være blandt rødderne til den oprindelige ligning. Derfor er vores opgave at foretage subtraktionen eller additionen på en sådan måde, at enten $x$ eller $y$ forsvinder.

Hvordan man opnår dette, og hvilket værktøj der skal bruges til dette - vi taler om dette nu.

Løsning af nemme problemer ved hjælp af addition

Så vi lærer at bruge additionsmetoden ved at bruge eksemplet med to simple udtryk.

Opgave nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Bemærk, at $y$ har en koefficient på $-4$ i den første ligning og $+4$ i den anden. De er indbyrdes modsatte, så det er logisk at antage, at hvis vi lægger dem sammen, så vil "spillene" i den resulterende sum blive gensidigt ødelagt. Tilføj det og få:

Lad os løse den enkleste konstruktion:

Fantastisk, vi fandt "x". Hvad skal vi gøre med det nu? Vi har ret til at erstatte det i enhver af ligningerne. Lad os erstatte i den første:

\[-4y=12\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

Svar: $\left(2;-3 \right)$.

Opgave nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Situationen her er fuldstændig ens, kun med "X'er". Lad os lægge dem sammen:

Vi har den enkleste lineære ligning, lad os løse den:

Lad os nu finde $x$:

Svar: $\left(-3;3 \right)$.

Vigtige punkter

Så vi har netop løst to simple systemer af lineære ligninger ved hjælp af additionsmetoden. Nøglepunkter igen:

1. Hvis der er modsatte koefficienter for en af ​​variablerne, så er det nødvendigt at tilføje alle variablerne i ligningen. I dette tilfælde vil en af ​​dem blive ødelagt.
2. Vi erstatter den fundne variabel i en af ​​systemligningerne for at finde den anden.
3. Den endelige svarpost kan præsenteres på forskellige måder. For eksempel sådan - $x=...,y=...$, eller i form af koordinater af punkter - $\left(...;... \right)$. Den anden mulighed er at foretrække. Det vigtigste at huske er, at den første koordinat er $x$, og den anden er $y$.
4. Reglen om at skrive svaret i form af punktkoordinater er ikke altid gældende. For eksempel kan den ikke bruges, når variablerne ikke er $x$ og $y$, men for eksempel $a$ og $b$.

I de følgende opgaver vil vi overveje subtraktionsteknikken, når koefficienterne ikke er modsatte.

Løsning af lette problemer ved hjælp af subtraktionsmetoden

Opgave nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Bemærk, at der ikke er nogen modsatte koefficienter her, men der er identiske. Derfor trækker vi den anden fra den første ligning:

Nu erstatter vi værdien $x$ i en hvilken som helst af systemligningerne. Lad os gå først:

Svar: $\left(2;5\right)$.

Opgave nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vi ser igen den samme koefficient på $5$ for $x$ i første og anden ligning. Derfor er det logisk at antage, at du skal trække den anden fra den første ligning:

Vi har beregnet én variabel. Lad os nu finde den anden, for eksempel ved at erstatte værdien $y$ i den anden konstruktion:

Svar: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuancer af løsningen

Så hvad ser vi? I det væsentlige adskiller ordningen sig ikke fra løsningen af ​​tidligere systemer. Den eneste forskel er, at vi ikke tilføjer ligninger, men trækker dem fra. Vi laver algebraisk subtraktion.

Med andre ord, så snart du ser et system bestående af to ligninger i to ubekendte, er det første du skal se på koefficienterne. Hvis de er ens overalt, trækkes ligningerne fra, og hvis de er modsatte, bruges additionsmetoden. Dette gøres altid, så en af ​​dem forsvinder, og i den endelige ligning, som bliver tilbage efter subtraktion, er der kun én variabel tilbage.

Det er selvfølgelig ikke alt. Nu vil vi overveje systemer, hvor ligningerne generelt er inkonsistente. De der. Der er ingen variable i dem, der enten er ens eller modsatte. I dette tilfælde bruges en yderligere teknik for at løse sådanne systemer, nemlig at gange hver af ligningerne med en speciel koefficient. Hvordan man finder det, og hvordan man løser sådanne systemer generelt, vi vil tale om dette nu.

Løsning af problemer ved at gange med en koefficient

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vi ser, at hverken for $x$ eller for $y$ er koefficienterne ikke kun indbyrdes modsatte, men heller ikke på nogen måde korrelerede med den anden ligning. Disse koefficienter vil ikke forsvinde på nogen måde, selvom vi adderer eller trækker ligningerne fra hinanden. Derfor er det nødvendigt at anvende multiplikation. Lad os prøve at slippe af med variablen $y$. For at gøre dette multiplicerer vi den første ligning med koefficienten $y$ fra den anden ligning, og den anden ligning med koefficienten $y$ fra den første ligning uden at røre tegnet. Vi formerer os og får et nyt system:

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Lad os se på det: ved $y$ er koefficienterne modsatte. I en sådan situation er det nødvendigt at bruge additionsmetoden. Lad os tilføje:

Nu skal vi finde $y$. For at gøre dette skal du erstatte $x$ i det første udtryk:

\[-9y=18\venstre| :\left(-9 \right) \right.\]

Svar: $\left(4;-2 \right)$.

Eksempel nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Igen er koefficienterne for ingen af ​​variablerne konsistente. Lad os gange med koefficienterne for $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\venstre\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Vores nyt system er ækvivalent med den foregående, men koefficienterne for $y$ er indbyrdes modsatte, og derfor er det let at anvende additionsmetoden her:

Lad os nu finde $y$ ved at erstatte $x$ i den første ligning:

Svar: $\left(-2;1 \right)$.

Nuancer af løsningen

Nøglereglen her er følgende: vi gange altid kun med positive tal- dette vil spare dig for dumme og stødende fejl i forbindelse med at skifte skilte. Generelt er løsningsskemaet ret simpelt:

1. Vi ser på systemet og analyserer hver ligning.
2. Hvis vi ser, at hverken $y$ eller $x$ er koefficienterne konsistente, dvs. de er hverken ens eller modsatte, så gør vi følgende: vi vælger den variabel, som vi skal af med, og så ser vi på koefficienterne for disse ligninger. Hvis vi multiplicerer den første ligning med koefficienten fra den anden, og den anden tilsvarende gange med koefficienten fra den første, så får vi i sidste ende et system, der er fuldstændig ækvivalent med det foregående, og koefficienterne for $ y$ vil være konsekvent. Alle vores handlinger eller transformationer er kun rettet mod at få én variabel i én ligning.
3. Vi finder én variabel.
4. Vi erstatter den fundne variabel i en af ​​systemets to ligninger og finder den anden.
5. Vi skriver svaret i form af koordinater af punkter, hvis vi har variable $x$ og $y$.

Men selv en sådan simpel algoritme har sine egne finesser, for eksempel kan koefficienterne for $x$ eller $y$ være brøker og andre "grimme" tal. Vi vil nu overveje disse sager separat, for i dem kan du handle noget anderledes end efter standardalgoritmen.

Løsning af problemer med brøker

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Først skal du bemærke, at den anden ligning indeholder brøker. Men bemærk, at du kan dividere $4$ med $0,8$. Vi modtager $5$. Lad os gange den anden ligning med $5$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Vi trækker ligningerne fra hinanden:

Vi fandt $n$, lad os nu tælle $m$:

Svar: $n=-4;m=5$

Eksempel nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ højre.\]

Her er der som i det tidligere system brøkkoefficienter, men for ingen af ​​variablerne passer koefficienterne et helt antal gange ind i hinanden. Derfor bruger vi standardalgoritmen. Slip af med $p$:

\[\venstre\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Vi bruger subtraktionsmetoden:

Lad os finde $p$ ved at erstatte $k$ i den anden konstruktion:

Svar: $p=-4;k=-2$.

Nuancer af løsningen

Det er alt sammen optimering. I den første ligning gangede vi ikke med noget som helst, men gangede den anden ligning med $5$. Som et resultat modtog vi en konsistent og endda identisk ligning for den første variabel. I det andet system fulgte vi en standardalgoritme.

Men hvordan finder man de tal, man multiplicerer ligninger med? Hvis vi gange med brøker, får vi jo nye brøker. Derfor skal brøkerne ganges med et tal, der ville give et nyt heltal, og derefter skal variablerne ganges med koefficienter, efter standardalgoritmen.

Afslutningsvis vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på formatet for registrering af svaret. Som jeg allerede har sagt, da vi her ikke har $x$ og $y$, men andre værdier, bruger vi en ikke-standard notation af formen:

Løsning af komplekse ligningssystemer

Som en sidste bemærkning til dagens video tutorial, lad os se på et par virkelig komplekse systemer. Deres kompleksitet vil bestå i, at de vil have variable til både venstre og højre. Derfor bliver vi nødt til at anvende forbehandling for at løse dem.

System nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Hver ligning har en vis kompleksitet. Lad os derfor behandle hvert udtryk som med en regulær lineær konstruktion.

I alt får vi det endelige system, som svarer til det originale:

\[\venstre\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Lad os se på koefficienterne for $y$: $3$ passer ind i $6$ to gange, så lad os gange den første ligning med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Koefficienterne for $y$ er nu ens, så vi trækker den anden fra den første ligning: $$

Lad os nu finde $y$:

Svar: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\venstre(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Lad os transformere det første udtryk:

Lad os beskæftige os med den anden:

\[-3\venstre(b-2a \højre)-12=2\venstre(a-5 \højre)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

I alt vil vores indledende system have følgende form:

\[\venstre\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Ser vi på koefficienterne for $a$, ser vi, at den første ligning skal ganges med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Træk den anden fra den første konstruktion:

Lad os nu finde $a$:

Svar: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Det er alt. Jeg håber, at denne videovejledning vil hjælpe dig med at forstå dette vanskelige emne, nemlig at løse systemer med simple lineære ligninger. Der vil være mange flere lektioner om dette emne: vi vil se på flere komplekse eksempler, hvor der vil være flere variable, og ligningerne selv vil allerede være ikke-lineære. Vi ses!

Et system af lineære ligninger med to ukendte er to eller flere lineære ligninger, for hvilke det er nødvendigt at finde dem alle generelle løsninger. Vi vil betragte systemer med to lineære ligninger i to ubekendte. Generel form et system af to lineære ligninger med to ubekendte er præsenteret i figuren nedenfor:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Her er x og y ukendte variable, a1,a2,b1,b2,c1,c2 er nogle reelle tal. En løsning til et system med to lineære ligninger i to ubekendte er et talpar (x,y), sådan at hvis vi erstatter disse tal i systemets ligninger, så bliver hver af systemets ligninger til en sand lighed. Der er flere måder at løse et system af lineære ligninger på. Lad os overveje en af ​​måderne at løse et system af lineære ligninger på, nemlig additionsmetoden.

Algoritme til løsning ved additionsmetode

En algoritme til løsning af et system af lineære ligninger med to ubekendte ved hjælp af additionsmetoden.

1. Brug om nødvendigt ækvivalente transformationer til at udligne koefficienterne for en af ​​de ukendte variable i begge ligninger.

2. Ved at addere eller trække de resulterende ligninger, fås en lineær ligning med en ukendt

3. Løs den resulterende ligning med en ukendt og find en af ​​variablerne.

4. Erstat det resulterende udtryk i en af ​​systemets to ligninger og løs denne ligning, og opnå den anden variabel.

5. Tjek løsningen.

Et eksempel på en løsning, der bruger tilsætningsmetoden

For større klarhed, lad os løse følgende system af lineære ligninger med to ubekendte ved hjælp af additionsmetoden:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Da ingen af ​​variablerne har identiske koefficienter, udligner vi koefficienterne for variablen y. For at gøre dette skal du gange den første ligning med tre og den anden ligning med to.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Vi får følgende ligningssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Nu trækker vi den første fra den anden ligning. Vi præsenterer lignende udtryk og løser den resulterende lineære ligning.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Vi erstatter den resulterende værdi i den første ligning fra vores oprindelige system og løser den resulterende ligning.

(3*(-6) + 2*y=10;
(2*y=28; y=14;

Resultatet er et talpar x=6 og y=14. Vi tjekker. Lad os lave en udskiftning.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Som du kan se, fik vi to korrekte ligheder, derfor fandt vi den rigtige løsning.

Brugen af ​​ligninger er udbredt i vores liv. De bruges i mange beregninger, konstruktion af strukturer og endda sport. Mennesket brugte ligninger i oldtiden, og siden er deres brug kun steget. Kun ved at bestemme selv af varierende kompleksitet ligningssystemer, lærer du hurtigt at bestemme metoder til løsning af ethvert system. Nogle gange kan det være ret svært at løse systemet andengradsligninger.

Den mest almindeligt anvendte metode til at løse disse ligninger er substitution/additionsmetoden.

Antag, at vi får følgende ligningssystem:

\[\venstre\(\begin(matrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrix)\right.\]

Lad os tilføje systemets ligninger:

\[\venstre\(\begin(matrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrix)\right.\]

Lad os løse det resulterende system:

\[\venstre\(\begin(matrix) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrix)\right.\]

\[(x - y) = -1 \] eller \[(x - y) = 1\] - vi får fra 2 ligninger

Lad os erstatte 1 eller -1 med 1:

\ eller \

\[-3 - y= -1\] eller \

Lad os erstatte 1 eller -1 med 1:

Svar: \[(-3; -2); (3; 4)\]

Hvis du skal løse et system med 2 grader og 1 lineær, så kan du udtrykke 1 af variablerne fra den lineære og erstatte denne ligning med den andengradslige.

Hvor kan jeg løse et system af andengradsligninger online med en lommeregner?

Du kan løse ligningssystemet online på vores hjemmeside https://site. Den gratis online løser giver dig mulighed for at løse online ligninger af enhver kompleksitet i løbet af få sekunder. Alt du skal gøre er blot at indtaste dine data i solveren. Du kan også se videoinstruktioner og lære, hvordan du løser ligningen på vores hjemmeside. Og hvis du stadig har spørgsmål, kan du stille dem i vores VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Tilmeld dig vores gruppe, vi er altid glade for at hjælpe dig.

Lad os analysere to typer af løsninger til ligningssystemer:

1. Løsning af systemet ved hjælp af substitutionsmetoden.
2. Løsning af systemet ved led-for-led addition (subtraktion) af systemligningerne.

For at løse ligningssystemet efter substitutionsmetode du skal følge en simpel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning udtrykker vi én variabel.
2. Stedfortræder. Vi erstatter den resulterende værdi i en anden ligning i stedet for den udtrykte variabel.
3. Løs den resulterende ligning med én variabel. Vi finder en løsning på systemet.

At løse system ved term-for-term addition (subtraktion) metode behøver:
1. Vælg en variabel, som vi vil lave identiske koefficienter for.
2. Vi adderer eller subtraherer ligninger, hvilket resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligning. Vi finder en løsning på systemet.

Løsningen på systemet er funktionsgrafernes skæringspunkter.

Lad os overveje detaljeret løsningen af ​​systemer ved hjælp af eksempler.

Eksempel #1:

Lad os løse ved substitutionsmetode

Løsning af et ligningssystem ved hjælp af substitutionsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)

1. Express
Det kan ses, at der i den anden ligning er en variabel x med koefficienten 1, hvilket betyder, at det er lettest at udtrykke variablen x fra den anden ligning.
x=3+10y

2.Når vi har udtrykt det, indsætter vi 3+10y i den første ligning i stedet for variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Løs den resulterende ligning med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åbn parenteserne)
6+20år+5år=1
25 år=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen til ligningssystemet er grafernes skæringspunkter, derfor skal vi finde x og y, fordi skæringspunktet består af x og y Lad os finde x, i det første punkt, hvor vi udtrykte det, erstatter vi y der .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er sædvanligt at skrive point i første omgang skriver vi variablen x, og for det andet variablen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

Lad os løse ved hjælp af term-for-term addition (subtraktion) metoden.

Løsning af et ligningssystem ved hjælp af additionsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (2. ligning)

1. Vi vælger en variabel, lad os sige, at vi vælger x. I den første ligning har variablen x en koefficient på 3, i den anden - 2. Vi skal lave koefficienterne ens, for dette har vi ret til at gange ligningerne eller dividere med et hvilket som helst tal. Vi ganger den første ligning med 2 og den anden med 3 og får en total koefficient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Træk den anden fra den første ligning for at slippe af med variablen x Løs den lineære ligning.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Find x. Vi erstatter det fundne y i enhver af ligningerne, lad os sige i den første ligning.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede dig til eksamen gratis? Underviser online gratis. Det siger du ikke.

Bruger dette matematik program Du kan løse et system af to lineære ligninger i to variable ved hjælp af substitutionsmetoden og additionsmetoden.

Programmet giver ikke kun svaret på problemet, men giver også detaljeret løsning med forklaringer af løsningstrinnene på to måder: substitutionsmetoden og additionsmetoden.

Dette program kan være nyttigt for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier

i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger. På denne måde kan du gennemføre din egen træning og/eller din egen træning. yngre brødre

eller søstre, mens uddannelsesniveauet inden for problemløsningsområdet stiger.

Regler for indtastning af ligninger
Ethvert latinsk bogstav kan fungere som en variabel.

For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) osv. Når man indtaster ligninger du kan bruge parenteser
. I dette tilfælde forenkles ligningerne først.

Ligningerne efter forenklinger skal være lineære, dvs. af formen ax+by+c=0 med nøjagtigheden af ​​rækkefølgen af ​​elementer.

For eksempel: 6x+1 = 5(x+y)+2
I ligninger kan man ikke kun bruge hele tal, men også brøker i form af decimaler og almindelige brøker. Regler for indtastning af decimalbrøker. Heltals- og brøkdele i
For eksempel: 2,1n + 3,5m = 55

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et helt tal kan fungere som tæller, nævner og heltals del af en brøk.
Nævneren kan ikke være negativ.
Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Hele delen adskilt fra brøken med et og-tegn: &

Eksempler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Løs ligningssystem

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om få sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Løsning af lineære ligningssystemer. Substitutionsmetode

Rækkefølgen af ​​handlinger ved løsning af et system af lineære ligninger ved hjælp af substitutionsmetoden:
1) udtrykke en variabel fra en eller anden ligning i systemet i form af en anden;
2) erstatte det resulterende udtryk med en anden ligning af systemet i stedet for denne variabel;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Lad os udtrykke y i form af x fra den første ligning: y = 7-3x. Ved at erstatte udtrykket 7-3x i den anden ligning i stedet for y, får vi systemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Det er nemt at vise, at det første og andet system har de samme løsninger. I det andet system indeholder den anden ligning kun én variabel. Lad os løse denne ligning:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Højrepil -5x+14-6x=3 \Højrepil -11x=-11 \Højrepil x=1 $$

Ved at erstatte tallet 1 i stedet for x med ligheden y=7-3x, finder vi den tilsvarende værdi af y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Højrepil y=4 $$

Par (1;4) - løsning af systemet

Ligningssystemer i to variable, der har samme løsninger kaldes tilsvarende. Systemer, der ikke har løsninger, betragtes også som ækvivalente.

Løsning af lineære ligningssystemer ved addition

Lad os overveje en anden måde at løse lineære ligningssystemer på - additionsmetoden. Når man løser systemer på denne måde, samt når man løser ved substitution, går vi fra dette system til et andet, ækvivalent system, hvor en af ​​ligningerne kun indeholder én variabel.

Rækkefølgen af ​​handlinger ved løsning af et system af lineære ligninger ved hjælp af additionsmetoden:
1) multiplicer systemets ligninger med led, udvælg faktorer, så koefficienterne for en af ​​variablerne bliver modsatte tal;
2) tilføj venstre og højre side af systemligningerne led for led;
3) løs den resulterende ligning med én variabel;
4) find den tilsvarende værdi af den anden variabel.

Eksempel. Lad os løse ligningssystemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

I dette systems ligninger er koefficienterne for y modsatte tal. Ved at tilføje venstre og højre side af ligningerne led for led, får vi en ligning med én variabel 3x=33. Lad os erstatte en af ​​systemets ligninger, for eksempel den første, med ligningen 3x=33. Lad os få systemet
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Ud fra ligningen 3x=33 finder vi, at x=11. Ved at indsætte denne x-værdi i ligningen \(x-3y=38\) får vi en ligning med variablen y: \(11-3y=38\). Lad os løse denne ligning:
\(-3y=27 \Højrepil y=-9 \)

Således fandt vi løsningen til ligningssystemet ved at addere: \(x=11; y=-9\) eller \((11;-9)\)

Ved at udnytte det faktum, at koefficienterne for y i systemets ligninger er modsatte tal, reducerede vi dens løsning til løsningen af ​​et ækvivalent system (ved at summere begge sider af hver af ligningerne i det oprindelige system), hvor en af ligningerne indeholder kun én variabel.

Bøger (lærebøger) Resuméer af Unified State Examination og Unified State Examination tests online Spil, puslespil Plotning af grafer over funktioner Staveordbog for det russiske sprog Ordbog over ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over sekundære uddannelsesinstitutioner i Rusland Katalog over russiske universiteter Liste af opgaver