I fortsættelse af emnet "Løsning af ligninger" vil materialet i denne artikel introducere dig til andengradsligninger.

Lad os se på alt i detaljer: essensen og notationen af ​​en andengradsligning, definere de ledsagende udtryk, analysere skemaet til løsning af ufuldstændige og komplette ligninger, blive bekendt med formlen for rødder og diskriminanten, etablere forbindelser mellem rødderne og koefficienterne, og vi vil selvfølgelig give en visuel løsning på praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratisk ligning, dens typer

Definition 1

Kvadratisk ligning er en ligning skrevet som a x 2 + b x + c = 0, Hvor x– variabel, a , b og c– nogle tal, mens -en er ikke nul.

Ofte kaldes andengradsligninger også ligninger af anden grad, da en andengradsligning i bund og grund er en algebraisk ligning af anden grad.

Lad os give et eksempel til illustration givet definition: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 osv. Disse er andengradsligninger.

Definition 2

Tal a, b og c er koefficienterne for andengradsligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koefficienten -en kaldes den første, eller senior, eller koefficient ved x 2, b - den anden koefficient eller koefficient ved x, A c kaldet et gratis medlem.

For eksempel i andengradsligningen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 den førende koefficient er 6, den anden koefficient er − 2 , og fritiden er lig med − 11 . Lad os være opmærksomme på, at når koefficienterne b og/eller c er negative, så brug kort form optegnelser som 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ikke 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Lad os også præcisere dette aspekt: ​​hvis koefficienterne -en og/eller b lige 1 eller − 1 , så tager de måske ikke eksplicit del i at skrive andengradsligningen, hvilket forklares ved det særlige ved at skrive de angivne numeriske koefficienter. For eksempel i andengradsligningen y 2 − y + 7 = 0 den førende koefficient er 1, og den anden koefficient er − 1 .

Reducerede og ureducerede andengradsligninger

Baseret på værdien af ​​den første koefficient opdeles andengradsligninger i reduceret og ikke-reduceret.

Definition 3

Reduceret andengradsligning er en andengradsligning, hvor den førende koefficient er 1. For andre værdier af den førende koefficient er andengradsligningen ureduceret.

Lad os give eksempler: andengradsligninger x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 reduceres, i hver af dem er den førende koefficient 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ureduceret andengradsligning, hvor den første koefficient er forskellig fra 1 .

Enhver ikke-reduceret andengradsligning kan konverteres til en reduceret ligning ved at dividere begge sider med den første koefficient (ækvivalent transformation). Den transformerede ligning vil have de samme rødder som den givne ureducerede ligning eller vil heller ikke have nogen rødder overhovedet.

Betragtning af et specifikt eksempel vil give os mulighed for klart at demonstrere overgangen fra en ureduceret andengradsligning til en reduceret.

Eksempel 1

Givet ligningen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det er nødvendigt at konvertere den oprindelige ligning til den reducerede form.

Løsning

I henhold til ovenstående skema dividerer vi begge sider af den oprindelige ligning med den førende koefficient 6. Så får vi: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, og dette er det samme som: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Herfra: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Således opnås en ligning svarende til den givne.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Fuldstændige og ufuldstændige andengradsligninger

Lad os vende os til definitionen af ​​en andengradsligning. I den har vi specificeret det a ≠ 0. En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var netop firkantet, da kl a = 0 det omdannes i det væsentlige til en lineær ligning b x + c = 0.

I det tilfælde, hvor koefficienterne b Og c er lig med nul (hvilket er muligt, både individuelt og i fællesskab), kaldes andengradsligningen ufuldstændig.

Definition 4

Ufuldstændig andengradsligning- sådan en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor mindst en af ​​koefficienterne b Og c(eller begge) er nul.

Komplet andengradsligning– en andengradsligning, hvor alle numeriske koefficienter ikke er lig med nul.

Lad os diskutere, hvorfor typerne af andengradsligninger får præcis disse navne.

Når b = 0, antager andengradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, hvilket er det samme som a x 2 + c = 0. På c = 0 andengradsligning skrevet som a x 2 + b x + 0 = 0, hvilket svarer til a x 2 + b x = 0. På b = 0 Og c = 0 ligningen vil tage formen a x 2 = 0. De ligninger, som vi fik, adskiller sig fra den komplette andengradsligning ved, at deres venstre side hverken indeholder et led med variablen x eller et frit led eller begge dele. Faktisk gav dette faktum navnet til denne type ligning - ufuldstændig.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 komplette andengradsligninger; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Ovenstående definition gør det muligt at fremhæve følgende typer ufuldstændige andengradsligninger:

• a x 2 = 0, svarer denne ligning til koefficienterne b = 0 og c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ved b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ved c = 0.

Lad os overveje sekventielt løsningen af ​​hver type ufuldstændig andengradsligning.

Løsning af ligningen a x 2 =0

Som nævnt ovenfor svarer denne ligning til koefficienterne b Og c, lig med nul. Ligning a x 2 = 0 kan konverteres til en ækvivalent ligning x 2 = 0, som vi får ved at dividere begge sider af den oprindelige ligning med tallet -en, ikke lig med nul. Det åbenlyse faktum er, at roden til ligningen x 2 = 0 dette er nul fordi 0 2 = 0 . Denne ligning har ingen andre rødder, hvilket kan forklares med gradens egenskaber: for et hvilket som helst tal p, ikke lig med nul, er uligheden sand p 2 > 0, hvoraf det følger, at når p ≠ 0 lighed p2 = 0 vil aldrig blive opnået.

Definition 5

For den ufuldstændige andengradsligning a x 2 = 0 er der således en unik rod x = 0.

Eksempel 2

Lad os for eksempel løse en ufuldstændig andengradsligning − 3 x 2 = 0. Det svarer til ligningen x 2 = 0, dens eneste rod er x = 0, så har den oprindelige ligning en enkelt rod - nul.

Kort fortalt er løsningen skrevet som følger:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Løsning af ligningen a x 2 + c = 0

Næste i rækken er løsningen af ​​ufuldstændige andengradsligninger, hvor b = 0, c ≠ 0, det vil sige ligninger af formen a x 2 + c = 0. Lad os transformere denne ligning ved at flytte et led fra den ene side af ligningen til den anden, ændre tegnet til det modsatte og dividere begge sider af ligningen med et tal, der ikke er lig med nul:

• overførsel c til højre, hvilket giver ligningen a x 2 = − c;
• dividere begge sider af ligningen med -en, vi ender med x = - c a .

Vores transformationer er tilsvarende, den resulterende ligning er også ækvivalent med den oprindelige, og dette faktum gør det muligt at drage konklusioner om ligningens rødder. Ud fra hvad værdierne er -en Og c værdien af ​​udtrykket - c a afhænger: det kan have et minustegn (f.eks. if a = 1 Og c = 2, derefter - c a = - 2 1 = - 2) eller et plustegn (f.eks. if a = − 2 Og c = 6 derefter - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke nul, fordi c ≠ 0. Lad os dvæle mere detaljeret ved situationer, hvor - ca< 0 и - c a > 0 .

I det tilfælde, hvor - ca< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s ligheden p 2 = - c a kan ikke være sand.

Alt er anderledes, når - c a > 0: husk kvadratroden, og det bliver tydeligt, at roden af ​​ligningen x 2 = - c a vil være tallet - c a, da - c a 2 = - c a. Det er ikke svært at forstå, at tallet - - c a også er roden til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ligningen vil ikke have andre rødder. Vi kan demonstrere dette ved hjælp af modsigelsesmetoden. Til at begynde med, lad os definere notationerne for rødderne fundet ovenfor som x 1 Og − x 1. Lad os antage, at ligningen x 2 = - c a også har en rod x 2, som er forskellig fra rødderne x 1 Og − x 1. Det ved vi ved at substituere ind i ligningen x dens rødder omdanner vi ligningen til en rimelig numerisk lighed.

For x 1 Og − x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a , og for x 2- x 2 2 = - c a. Baseret på egenskaberne ved numeriske ligheder trækker vi et korrekt lighedsled for led fra et andet, hvilket vil give os: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vi bruger egenskaberne for operationer med tal til at omskrive den sidste lighed som (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Det er kendt, at produktet af to tal er nul, hvis og kun hvis mindst et af tallene er nul. Af ovenstående følger det x 1 − x 2 = 0 og/eller x 1 + x 2 = 0, hvilket er det samme x 2 = x 1 og/eller x 2 = − x 1. En åbenlys modsigelse opstod, fordi man først var enige om, at roden til ligningen x 2 forskellig fra x 1 Og − x 1. Så vi har bevist, at ligningen ikke har andre rødder end x = - c a og x = - - c a.

Lad os opsummere alle argumenterne ovenfor.

Definition 6

Ufuldstændig andengradsligning a x 2 + c = 0 er ækvivalent med ligningen x 2 = - c a, som:

• vil ikke have rødder ved - ca< 0 ;
• vil have to rødder x = - c a og x = - - c a for - c a > 0.

Lad os give eksempler på løsning af ligningerne a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Givet en andengradsligning 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendigt at finde en løsning.

Løsning

Lad os flytte det frie led til højre side af ligningen, så vil ligningen tage formen 9 x 2 = − 7.
Lad os dividere begge sider af den resulterende ligning med 9 , når vi frem til x 2 = - 7 9 . På højre side ser vi et tal med et minustegn, hvilket betyder: den givne ligning har ingen rødder. Derefter den oprindelige ufuldstændige andengradsligning 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke have rødder.

Svar: ligning 9 x 2 + 7 = 0 har ingen rødder.

Eksempel 4

Ligningen skal løses − x 2 + 36 = 0.

Løsning

Lad os flytte 36 til højre: − x 2 = − 36.
Lad os dividere begge dele med − 1 , får vi x 2 = 36. På højre side - positivt tal, herfra kan vi konkludere det x = 36 eller x = -36.
Lad os udtrække roden og skrive det endelige resultat ned: ufuldstændig andengradsligning − x 2 + 36 = 0 har to rødder x = 6 eller x = − 6.

Svar: x = 6 eller x = − 6.

Løsning af ligningen a x 2 +b x=0

Lad os analysere den tredje type ufuldstændige andengradsligninger, når c = 0. At finde en løsning på en ufuldstændig andengradsligning a x 2 + b x = 0, vil vi bruge faktoriseringsmetoden. Lad os faktorisere polynomiet, der er på venstre side af ligningen, og tage den fælles faktor ud af parentes x. Dette trin vil gøre det muligt at transformere den oprindelige ufuldstændige andengradsligning til dens ækvivalent x (a x + b) = 0. Og denne ligning svarer til gengæld til et sæt ligninger x = 0 Og a x + b = 0. Ligning a x + b = 0 lineær, og dens rod: x = − b a.

Definition 7

Altså den ufuldstændige andengradsligning a x 2 + b x = 0 vil have to rødder x = 0 Og x = − b a.

Lad os forstærke materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendigt at finde en løsning på ligningen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Løsning

Vi tager den ud x uden for parentes får vi ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denne ligning svarer til ligningerne x = 0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nu skal du løse den resulterende lineære ligning: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Skriv kort løsningen til ligningen som følger:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel for rødderne af en andengradsligning

For at finde løsninger til andengradsligninger er der en rodformel:

Definition 8

x = - b ± D 2 · a, hvor D = b 2 − 4 a c– den såkaldte diskriminant af en andengradsligning.

At skrive x = - b ± D 2 · a betyder i det væsentlige, at x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det ville være nyttigt at forstå, hvordan denne formel blev afledt, og hvordan man anvender den.

Afledning af formlen for rødderne af en andengradsligning

Lad os stå over for opgaven med at løse en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0. Lad os udføre en række tilsvarende transformationer:

• dividere begge sider af ligningen med et tal -en, forskellig fra nul, får vi følgende andengradsligning: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Lad os vælge den komplette firkant i venstre side af den resulterende ligning:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Efter dette vil ligningen antage formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nu er det muligt at overføre de sidste to led til højre side, ændre tegnet til det modsatte, hvorefter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Til sidst transformerer vi udtrykket skrevet på højre side af den sidste lighed:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Således kommer vi frem til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, svarende til den oprindelige ligning a x 2 + b x + c = 0.

Vi undersøgte løsningen af ​​sådanne ligninger i de foregående afsnit (løsning af ufuldstændige andengradsligninger). De allerede opnåede erfaringer gør det muligt at drage en konklusion vedrørende rødderne af ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• med b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• når b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, er ligningen x + b 2 · a 2 = 0, så er x + b 2 · a = 0.

Herfra er den eneste rod x = - b 2 · a tydelig;

• for b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 vil følgende være sandt: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , hvilket er det samme som x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , dvs. ligningen har to rødder.

Det er muligt at konkludere, at tilstedeværelsen eller fraværet af rødder af ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (og derfor den oprindelige ligning) afhænger af fortegnet af udtrykket b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 skrevet på højre side. Og tegnet på dette udtryk er givet af tællerens fortegn, (nævner 4 a 2 vil altid være positiv), det vil sige udtrykkets tegn b 2 − 4 a c. Dette udtryk b 2 − 4 a c navnet er givet - andengradsligningens diskriminant og bogstavet D er defineret som dens betegnelse. Her kan du nedskrive essensen af ​​diskriminanten - baseret på dens værdi og fortegn kan de konkludere, om andengradsligningen vil have reelle rødder, og i så fald, hvad er antallet af rødder - en eller to.

Lad os vende tilbage til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Lad os omskrive det ved hjælp af diskriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Lad os formulere vores konklusioner igen:

Definition 9

• på D< 0 ligningen har ingen reelle rødder;
• på D=0 ligningen har en enkelt rod x = - b 2 · a ;
• på D > 0 ligningen har to rødder: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Baseret på egenskaberne af radikaler kan disse rødder skrives på formen: x = - b 2 · a + D 2 · a eller - b 2 · a - D 2 · a. Og når vi åbner modulerne og bringer brøkerne til en fællesnævner, får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet af vores ræsonnement var udledningen af ​​formlen for rødderne af en andengradsligning:

x = - b + D2a, x = - b - D2a, diskriminant D beregnet med formlen D = b 2 − 4 a c.

Disse formler gør det muligt at bestemme begge reelle rødder, når diskriminanten er større end nul. Når diskriminanten er nul, vil anvendelse af begge formler give den samme rod som den eneste løsning til andengradsligningen. I det tilfælde, hvor diskriminanten er negativ, vil vi, hvis vi forsøger at bruge formlen for roden af ​​en andengradsligning, stå over for behovet for at udtrække kvadratrod fra et negativt tal, som vil tage os ud over de reelle tal. Med en negativ diskriminant vil andengradsligningen ikke have reelle rødder, men et par komplekse konjugerede rødder er muligt, bestemt af de samme rodformler, som vi opnåede.

Algoritme til løsning af andengradsligninger ved hjælp af rodformler

Det er muligt at løse en andengradsligning ved straks at bruge rodformlen, men dette gøres generelt, når det er nødvendigt at finde komplekse rødder.

I de fleste tilfælde betyder det normalt ikke at søge efter komplekse, men efter rigtige rødder af en andengradsligning. Så er det optimalt, før man bruger formlerne for rødderne til en andengradsligning, først at bestemme diskriminanten og sikre sig, at den ikke er negativ (ellers konkluderer vi, at ligningen ikke har nogen reelle rødder), og derefter fortsætte med at beregne røddernes værdi.

Begrundelsen ovenfor gør det muligt at formulere en algoritme til løsning af en andengradsligning.

Definition 10

At løse en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendigt:

• efter formlen D = b 2 − 4 a c finde den diskriminerende værdi;
• hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• for D = 0, find den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen x = - b 2 · a;
• for D > 0, bestem to reelle rødder af andengradsligningen ved hjælp af formlen x = - b ± D 2 · a.

Bemærk at når diskriminanten er nul, kan du bruge formlen x = - b ± D 2 · a, det vil give samme resultat som formlen x = - b 2 · a.

Lad os se på eksempler.

Eksempler på løsning af andengradsligninger

Lad os give en løsning på eksemplerne for forskellige betydninger diskriminerende.

Eksempel 6

Vi skal finde rødderne til ligningen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Løsning

Lad os nedskrive de numeriske koefficienter for andengradsligningen: a = 1, b = 2 og c = − 6. Dernæst fortsætter vi efter algoritmen, dvs. Lad os begynde at beregne diskriminanten, som vi vil erstatte koefficienterne a, b for Og c ind i diskriminantformlen: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi får D > 0, hvilket betyder, at den oprindelige ligning vil have to reelle rødder.
For at finde dem bruger vi rodformlen x = - b ± D 2 · a, og erstatter de tilsvarende værdier, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. Lad os forenkle det resulterende udtryk ved at tage faktoren ud af rodtegnet og derefter reducere brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7​​​​, x = - 1 - 7 .

Eksempel 7

Skal løse en andengradsligning − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Løsning

Lad os definere diskriminanten: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Med denne værdi af diskriminanten vil den oprindelige ligning kun have én rod, bestemt af formlen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Svar: x = 3,5.

Eksempel 8

Ligningen skal løses 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koefficienter for denne ligning vil være: a = 5, b = 6 og c = 2. Vi bruger disse værdier til at finde diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beregnede diskriminant er negativ, så den oprindelige andengradsligning har ingen reelle rødder.

I det tilfælde, hvor opgaven er at angive komplekse rødder, anvender vi rodformlen og udfører handlinger med komplekse tal:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: der er ingen rigtige rødder; de komplekse rødder er som følger: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I skolepensum Der er ikke noget standardkrav om at lede efter komplekse rødder, derfor, hvis diskriminanten under løsningen bestemmes til at være negativ, bliver svaret straks skrevet ned, at der ikke er nogen reelle rødder.

Rodformel for selv anden koefficienter

Rodformlen x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) gør det muligt at opnå en anden formel, mere kompakt, så man kan finde løsninger til andengradsligninger med en lige koefficient for x ( eller med en koefficient på formen 2 · n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Lad os vise, hvordan denne formel er afledt.

Lad os stå over for opgaven med at finde en løsning til andengradsligningen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Vi fortsætter efter algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), og bruger derefter rodformlen:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Lad udtrykket n 2 − a · c betegnes som D 1 (nogle gange betegnes det D "). Så vil formlen for rødderne af den andengradsligning, der er under overvejelse med den anden koefficient 2 · n, antage formen:

x = - n ± D 1 a, hvor D 1 = n 2 − a · c.

Det er let at se, at D = 4 · D 1 eller D 1 = D 4. D 1 er med andre ord en fjerdedel af diskriminanten. Det er klart, at tegnet på D 1 er det samme som tegnet på D, hvilket betyder at tegnet på D 1 også kan tjene som en indikator for tilstedeværelsen eller fraværet af rødder i en andengradsligning.

Definition 11

For at finde en løsning til en andengradsligning med en anden koefficient på 2 n er det således nødvendigt:

• find D 1 = n 2 − a · c ;
• på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• når D 1 = 0, bestem den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen x = - n a;
• for D 1 > 0, bestem to reelle rødder ved hjælp af formlen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendigt at løse andengradsligningen 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Løsning

Vi kan repræsentere den anden koefficient i den givne ligning som 2 · (− 3) . Derefter omskriver vi den givne andengradsligning til 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, hvor a = 5, n = − 3 og c = − 32.

Lad os beregne den fjerde del af diskriminanten: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Den resulterende værdi er positiv, hvilket betyder, at ligningen har to reelle rødder. Lad os bestemme dem ved hjælp af den tilsvarende rodformel:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være muligt at udføre beregninger ved hjælp af den sædvanlige formel for rødderne af en andengradsligning, men i dette tilfælde ville løsningen være mere besværlig.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Simplificering af andengradsligningers form

Nogle gange er det muligt at optimere formen af ​​den oprindelige ligning, hvilket vil forenkle processen med at beregne rødderne.

For eksempel er andengradsligningen 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 klart mere praktisk at løse end 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Oftere udføres forenkling af formen af ​​en andengradsligning ved at gange eller dividere dens begge sider med et vist tal. For eksempel viste vi ovenfor en forenklet repræsentation af ligningen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, opnået ved at dividere begge sider med 100.

En sådan transformation er mulig, når andengradsligningens koefficienter ikke er indbyrdes primtal. Så dividerer vi normalt begge sider af ligningen med den største fælles divisor absolutte værdier dens koefficienter.

Som eksempel bruger vi andengradsligningen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Lad os bestemme GCD for de absolutte værdier af dens koefficienter: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Lad os dividere begge sider af den oprindelige andengradsligning med 6 og få den ækvivalente andengradsligning 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ved at gange begge sider af en andengradsligning slipper man normalt for brøkkoefficienter. I dette tilfælde ganges de med det mindste fælles multiplum af nævnerne af dets koefficienter. For eksempel, hvis hver del af andengradsligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliceres med LCM (6, 3, 1) = 6, vil det blive skrevet på en enklere form x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Til sidst bemærker vi, at vi næsten altid slipper af med minus ved den første koefficient af en andengradsligning ved at ændre fortegnene for hvert led i ligningen, hvilket opnås ved at gange (eller dividere) begge sider med − 1. For eksempel, fra andengradsligningen − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, kan du gå til dens forenklede version 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Sammenhæng mellem rødder og koefficienter

Formlen for rødderne af andengradsligninger, som vi allerede kender, x = - b ± D 2 · a, udtrykker ligningens rødder gennem dens numeriske koefficienter. Ud fra denne formel har vi mulighed for at specificere andre afhængigheder mellem rødderne og koefficienterne.

De mest berømte og anvendelige formler er Vietas sætning:

x 1 + x 2 = - b a og x 2 = c a.

Især for den givne andengradsligning er summen af ​​rødderne den anden koefficient med modsat fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. For eksempel, ved at se på formen af ​​andengradsligningen 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, er det muligt umiddelbart at bestemme, at summen af ​​dens rødder er 7 3 og produktet af rødderne er 22 3.

Du kan også finde en række andre sammenhænge mellem rødderne og koefficienterne i en andengradsligning. For eksempel kan summen af ​​kvadraterne af rødderne af en andengradsligning udtrykkes i koefficienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Indgangsniveau

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I udtrykket "andengradsligning" er nøgleordet "kvadrat". Det betyder, at ligningen nødvendigvis skal indeholde en variabel (det samme x) i anden potens, og der bør ikke være x'er til den tredje (eller større) potens.

Løsningen af ​​mange ligninger kommer ned til at løse andengradsligninger.

Lad os lære at bestemme, at dette er en andengradsligning og ikke en anden ligning.

Eksempel 1.

Lad os slippe af med nævneren og gange hvert led i ligningen med

Lad os flytte alt til venstre side og arrangere termerne i faldende rækkefølge af potenser af X

Nu kan vi med tillid sige, at denne ligning er kvadratisk!

Eksempel 2.

Multiplicer venstre og højre side med:

Denne ligning er, selvom den oprindeligt var i den, ikke andengrads!

Eksempel 3.

Lad os gange alt med:

Skræmmende? Den fjerde og anden grad... Men hvis vi laver en erstatning, vil vi se, at vi har en simpel andengradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ud til at være der, men lad os se nærmere. Lad os flytte alt til venstre side:

Se, det er reduceret - og nu er det en simpel lineær ligning!

Prøv nu selv at bestemme, hvilke af følgende ligninger der er kvadratiske, og hvilke der ikke er:

Eksempler:

Svar:

1. firkant;
2. firkant;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. firkant;
7. ikke firkantet;
8. firkant.

Matematikere opdeler konventionelt alle andengradsligninger i følgende typer:

• Fuldfør andengradsligninger- ligninger, hvor koefficienterne og, samt det frie led c, ikke er lig med nul (som i eksemplet). Derudover er der blandt komplette andengradsligninger givet- disse er ligninger, hvor koefficienten (ligningen fra eksempel 1 er ikke kun komplet, men også reduceret!)

• Ufuldstændige andengradsligninger- ligninger, hvor koefficienten og eller det frie led c er lig med nul:

  De er ufuldstændige, fordi de mangler et eller andet element. Men ligningen skal altid indeholde x i kvadrat!!! Ellers vil det ikke længere være en andengradsligning, men en anden ligning.

Hvorfor fandt de på sådan en opdeling? Det ser ud til, at der er et X i kvadrat, og okay. Denne opdeling bestemmes af løsningsmetoderne. Lad os se på hver af dem mere detaljeret.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Lad os først fokusere på at løse ufuldstændige andengradsligninger - de er meget enklere!

Der er typer af ufuldstændige andengradsligninger:

1. , i denne ligning er koefficienten lig.
2. , i denne ligning er frileddet lig med.
3. , i denne ligning er koefficienten og det frie led ens.

1. i. Da vi ved, hvordan man tager kvadratroden, lad os udtrykke fra denne ligning

Udtrykket kan enten være negativt eller positivt. Et kvadreret tal kan ikke være negativt, for når man multiplicerer to negative eller to positive tal, vil resultatet altid være et positivt tal, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to rødder. Der er ingen grund til at huske disse formler. Det vigtigste er, at du skal vide og altid huske, at det ikke kan være mindre.

Lad os prøve at løse nogle eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nu er der kun tilbage at udtrække roden fra venstre og højre side. Når alt kommer til alt, kan du huske, hvordan man udvinder rødder?

Svar:

Glem aldrig rødder med et negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadratet af et tal kan ikke være negativt, hvilket betyder, at ligningen

ingen rødder!

For sådanne ligninger, der ikke har nogen rødder, kom matematikere med et særligt ikon - (tomt sæt). Og svaret kan skrives sådan:

Svar:

Således har denne andengradsligning to rødder. Der er ingen begrænsninger her, da vi ikke har udtrukket roden.
Eksempel 8:

Løs ligningen

Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:

Således,

Denne ligning har to rødder.

Svar:

Den enkleste type af ufuldstændige andengradsligninger (selvom de alle er simple, ikke?). Det er klart, at denne ligning altid kun har én rod:

Vi vil undvære eksempler her.

Løsning af komplette andengradsligninger

Vi minder dig om, at en komplet andengradsligning er en ligning af formen hvor

At løse komplette andengradsligninger er lidt sværere (bare lidt) end disse.

Huske Enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant! Selv ufuldstændig.

De andre metoder vil hjælpe dig med at gøre det hurtigere, men hvis du har problemer med andengradsligninger, skal du først mestre løsningen ved hjælp af diskriminanten.

1. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af en diskriminant.

At løse andengradsligninger ved hjælp af denne metode er meget simpelt, det vigtigste er at huske rækkefølgen af ​​handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rod. særlig opmærksomhed tage et skridt. Diskriminant () fortæller os antallet af rødder af ligningen.

• Hvis, så vil formlen i trinnet blive reduceret til. Således vil ligningen kun have en rod.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til at udtrække roden til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.

Lad os gå tilbage til vores ligninger og se på nogle eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trin 1 vi springer over.

Trin 2.

Vi finder diskriminanten:

Det betyder, at ligningen har to rødder.

Trin 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.

Trin 2.

Vi finder diskriminanten:

Det betyder, at ligningen har én rod.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.

Trin 2.

Vi finder diskriminanten:

Det betyder, at vi ikke vil være i stand til at udvinde roden til diskriminanten. Der er ingen rødder til ligningen.

Nu ved vi, hvordan man korrekt skriver sådanne svar ned.

Svar: ingen rødder

2. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning.

Hvis du husker det, er der en form for ligning, der kaldes reduceret (når koefficienten a er lig med):

Sådanne ligninger er meget nemme at løse ved hjælp af Vietas sætning:

Summen af ​​rødder givet andengradsligningen er lig, og produktet af rødderne er lig.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga .

Summen af ​​ligningens rødder er lig, dvs. vi får den første ligning:

Og produktet er lig med:

Lad os sammensætte og løse systemet:

• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lige meget.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er givet, hvilket betyder:

Svar:

KVADRATLIGNINGER. MELLEMNIVEAU

Hvad er en andengradsligning?

Med andre ord er en andengradsligning en ligning af formen, hvor - det ukendte, - nogle tal, og.

Nummeret kaldes det højeste eller første koefficient andengradsligning, - anden koefficient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen straks bliver lineær, fordi vil forsvinde.

I dette tilfælde kan og være lig med nul. I denne stol kaldes ligningen ufuldstændig. Hvis alle vilkårene er på plads, det vil sige, at ligningen er komplet.

Løsninger til forskellige typer andengradsligninger

Metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger:

Lad os først se på metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger - de er enklere.

Vi kan skelne mellem følgende ligningstyper:

I., i denne ligning er koefficienten og det frie led ens.

II. , i denne ligning er koefficienten lig.

III. , i denne ligning er frileddet lig med.

Lad os nu se på løsningen til hver af disse undertyper.

Det er klart, at denne ligning altid kun har én rod:

Et kvadreret tal kan ikke være negativt, for når man ganger to negative eller to positive tal, vil resultatet altid være et positivt tal. Det er derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to rødder

Der er ingen grund til at huske disse formler. Det vigtigste at huske er, at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldrig rødder med et negativt fortegn!

Kvadratet af et tal kan ikke være negativt, hvilket betyder, at ligningen

ingen rødder.

For kort at skrive ned, at et problem ikke har nogen løsninger, bruger vi det tomme sæt-ikon.

Svar:

Så denne ligning har to rødder: og.

Svar:

Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:

Produktet er lig nul, hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul. Det betyder, at ligningen har en løsning, når:

Så denne andengradsligning har to rødder: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

Lad os faktorisere venstre side af ligningen og finde rødderne:

Svar:

Metoder til løsning af komplette andengradsligninger:

1. Diskriminerende

At løse andengradsligninger på denne måde er let, det vigtigste er at huske rækkefølgen af ​​handlinger og et par formler. Husk, enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant! Selv ufuldstændig.

Lagde du mærke til roden fra diskriminanten i formlen for rødder? Men diskriminanten kan være negativ. Hvad skal man gøre? Vi skal være særligt opmærksomme på trin 2. Diskriminanten fortæller os antallet af rødder i ligningen.

• Hvis, så har ligningen rødder:
• Hvis ligningen har de samme rødder, og faktisk én rod:

  Sådanne rødder kaldes dobbeltrødder.

• Hvis, så er roden til diskriminanten ikke udvundet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.

Hvorfor er det muligt forskellige mængder rødder? Lad os vende os til geometrisk sans andengradsligning. Grafen for funktionen er en parabel:

I et særligt tilfælde, som er en andengradsligning, . Det betyder, at rødderne af en andengradsligning er skæringspunkterne med abscisseaksen (aksen). En parabel kan slet ikke skære aksen eller skære den ved et (når parablens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

Derudover er koefficienten ansvarlig for retningen af ​​parablens grene. Hvis, så er grenene af parablen rettet opad, og hvis, så nedad.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Det betyder, at der ikke er nogen løsninger.

Svar: .

2. Vietas sætning

Det er meget nemt at bruge Vietas sætning: du skal bare vælge et talpar, hvis produkt er lig med ligningens frie led, og summen er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn.

Det er vigtigt at huske, at Vietas sætning kun kan anvendes i reducerede andengradsligninger ().

Lad os se på et par eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga . Andre koefficienter: ; .

Summen af ​​ligningens rødder er:

Og produktet er lig med:

Lad os vælge par af tal, hvis produkt er ens og kontrollere, om deres sum er lig:

• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lige meget.

og er løsningen på systemet:

Således og er rødderne til vores ligning.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

Lad os vælge talpar, der giver i produktet, og derefter kontrollere, om deres sum er lig:

og: de giver i alt.

og: de giver i alt. For at opnå det er det nok blot at ændre tegnene på de formodede rødder: og trods alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Det frie led i ligningen er negativ, og derfor er produktet af rødderne et negativt tal. Dette er kun muligt, hvis en af ​​rødderne er negativ, og den anden er positiv. Derfor er summen af ​​rødderne lig med forskelle i deres moduler.

Lad os vælge par af tal, der giver i produktet, og hvis forskel er lig med:

og: deres forskel er lige - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - passende. Tilbage er blot at huske, at en af ​​rødderne er negativ. Da deres sum skal være lig, skal roden med det mindre modul være negativ: . Vi tjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er givet, hvilket betyder:

Det frie led er negativt, og derfor er produktet af rødderne negativt. Og dette er kun muligt, når den ene rod af ligningen er negativ, og den anden er positiv.

Lad os vælge talpar, hvis produkt er ens, og derefter bestemme, hvilke rødder der skal have et negativt fortegn:

Det er klart, kun rødderne og er egnede til den første betingelse:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er givet, hvilket betyder:

Summen af ​​rødderne er negativ, hvilket betyder, at mindst én af rødderne er negativ. Men da deres produkt er positivt, betyder det, at begge rødder har et minustegn.

Lad os vælge talpar, hvis produkt er lig med:

Det er klart, at rødderne er tallene og.

Svar:

Enig, det er meget praktisk at komme med rødder mundtligt i stedet for at tælle denne grimme diskriminant. Prøv at bruge Vietas sætning så ofte som muligt.

Men Vietas teorem er nødvendig for at lette og fremskynde at finde rødderne. For at du kan få gavn af at bruge det, skal du bringe handlingerne til automatik. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men snyd ikke: du kan ikke bruge en diskriminant! Kun Vietas sætning:

Løsninger på opgaver til selvstændigt arbejde:

Opgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ifølge Vietas sætning:

Som sædvanlig starter vi udvælgelsen med stykket:

Ikke egnet, fordi mængden;

: mængden er lige hvad du har brug for.

Svar: ; .

Opgave 2.

Og igen vores foretrukne Vieta-sætning: summen skal være lig, og produktet skal være lig.

Men da det ikke skal være, men, ændrer vi røddernes tegn: og (i alt).

Svar: ; .

Opgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du skal flytte alle termerne til én del:

Summen af ​​rødderne er lig med produktet.

Okay, stop! Ligningen er ikke givet. Men Vietas sætning er kun anvendelig i de givne ligninger. Så først skal du give en ligning. Hvis du ikke kan lede, så opgiv denne idé og løs på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant). Lad mig minde dig om, at at give en andengradsligning betyder at gøre den førende koefficient lig:

Stor. Så er summen af ​​rødderne lig med og produktet.

Her er det lige så nemt som at beskyde pærer at vælge: Det er trods alt et primtal (undskyld tautologien).

Svar: ; .

Opgave 4.

Det gratis medlem er negativt. Hvad er specielt ved dette? Og faktum er, at rødderne vil have forskellige tegn. Og nu, under udvælgelsen, kontrollerer vi ikke summen af ​​rødderne, men forskellen i deres moduler: denne forskel er lig, men et produkt.

Så rødderne er lig med og, men en af ​​dem er minus. Vietas sætning fortæller os, at summen af ​​rødderne er lig med den anden koefficient med modsat fortegn, dvs. Det betyder, at den mindre rod vil have et minus: og, siden.

Svar: ; .

Opgave 5.

Hvad skal du gøre først? Det er rigtigt, giv ligningen:

Igen: vi vælger faktorerne for tallet, og deres forskel skal være lig med:

Rødderne er lig med og, men en af ​​dem er minus. Hvilke? Deres sum skal være lig, hvilket betyder, at minus vil have en større rod.

Svar: ; .

Lad mig opsummere:

1. Vietas sætning bruges kun i de angivne andengradsligninger.
2. Ved hjælp af Vietas sætning kan du finde rødderne ved udvælgelse, mundtligt.
3. Hvis ligningen ikke er givet, eller der ikke findes et passende par af faktorer af det frie led, så er der ingen hele rødder, og du skal løse det på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant).

3. Metode til at vælge en komplet firkant

Hvis alle led, der indeholder det ukendte, er repræsenteret i form af led fra forkortede multiplikationsformler - kvadratet af summen eller forskellen - så kan ligningen efter at have erstattet variablerne præsenteres i form af en ufuldstændig andengradsligning af typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Generelt vil transformationen se sådan ud:

Det følger:.

Minder du dig ikke om noget? Dette er en diskriminerende ting! Det er præcis sådan, vi fik diskriminantformlen.

KVADRATLIGNINGER. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Kvadratisk ligning- dette er en ligning af formen, hvor - det ukendte, - andengradsligningens koefficienter, - det frie led.

Komplet andengradsligning- en ligning, hvor koefficienterne ikke er lig med nul.

Reduceret andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten, dvs.: .

Ufuldstændig andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten og eller det frie led c er lig med nul:

• hvis koefficienten ser ligningen sådan ud: ,
• hvis der er et frit led, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen sådan ud: .

1. Algoritme til løsning af ufuldstændige andengradsligninger

1.1. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:

1) Lad os udtrykke det ukendte: ,

2) Tjek udtrykkets tegn:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to rødder.

1.2. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:

1) Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: ,

2) Produktet er lig nul, hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul. Derfor har ligningen to rødder:

1.3. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:

Denne ligning har altid kun én rod: .

2. Algoritme til løsning af komplette andengradsligninger på formen hvor

2.1. Løsning ved hjælp af diskriminant

1) Lad os bringe ligningen til standardform: ,

2) Lad os beregne diskriminanten ved hjælp af formlen: , som angiver antallet af rødder i ligningen:

3) Find rødderne til ligningen:

• hvis, så har ligningen rødder, som findes ved formlen:
• hvis, så har ligningen en rod, som findes ved formlen:
• hvis, så har ligningen ingen rødder.

2.2. Løsning ved hjælp af Vietas sætning

Summen af ​​rødderne af den reducerede andengradsligning (formens ligning hvor) er lig, og produktet af rødderne er lig, dvs. , A.

2.3. Løsning ved at vælge en komplet firkant

", det vil sige ligninger af første grad. I denne lektion vil vi se på det man kalder en andengradsligning og hvordan man løser det.

Hvad er en andengradsligning?

Vigtig!

Graden af ​​en ligning bestemmes af den højeste grad, som det ukendte står i.

Hvis den maksimale effekt, hvori det ukendte er "2", så har du en andengradsligning.

Eksempler på andengradsligninger

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Vigtig! Den generelle form for en andengradsligning ser sådan ud:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" og "c" er givet tal.

• "a" er den første eller højeste koefficient;
• "b" er den anden koefficient;
• "c" er et frit udtryk.

For at finde "a", "b" og "c" skal du sammenligne din ligning med den generelle form for andengradsligningen "ax 2 + bx + c = 0".

Lad os øve os i at bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" i andengradsligninger.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ligning	Odds
a = 5 b = -14 c = 17
a = −7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Sådan løses andengradsligninger

I modsætning til lineære ligninger bruges en speciel metode til at løse andengradsligninger. formel til at finde rødder.

Huske!

For at løse en andengradsligning skal du bruge:

• reducere andengradsligningen til generelt udseende"ax 2 + bx + c = 0".
• Det vil sige, at kun "0" skal forblive på højre side;

brug formel for rødder:

Lad os se på et eksempel på, hvordan man bruger formlen til at finde rødderne til en andengradsligning. Lad os løse en andengradsligning.

X 2 − 3x − 4 = 0 Ligningen "x 2 − 3x − 4 = 0" er allerede blevet reduceret til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0" og kræver ikke yderligere forenklinger. For at løse det skal vi bare ansøge.

formel til at finde rødderne til en andengradsligning

Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.

x 1;2 =

Det kan bruges til at løse enhver andengradsligning.
I formlen “x 1;2 = ” erstattes det radikale udtryk ofte

"b 2 − 4ac" for bogstavet "D" og kaldes diskriminant. Begrebet diskriminant diskuteres mere detaljeret i lektionen "Hvad er en diskriminant".

Lad os se på et andet eksempel på en andengradsligning.

x 2 + 9 + x = 7x

I denne form er det ret svært at bestemme koefficienterne "a", "b" og "c". Lad os først reducere ligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

Nu kan du bruge formlen for rødderne.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =

6

2

x =
x = 3

Svar: x = 3

Der er tidspunkter, hvor andengradsligninger ikke har nogen rødder. Denne situation opstår, når formlen indeholder et negativt tal under roden. Dette emne kan virke svært i starten, fordi mange ikke er det. Ikke alene har andengradsligningerne i sig selv lange notationer, men rødderne findes også gennem diskriminanten. I alt opnås tre nye formler. Ikke særlig let at huske. Dette er kun muligt efter at have løst sådanne ligninger ofte. Så vil alle formlerne blive husket af sig selv.

Generelt billede af en andengradsligning

Her foreslår vi deres eksplicitte optagelse, når de mest høj grad skrevet først og derefter i faldende rækkefølge. Der er ofte situationer, hvor vilkårene er inkonsistente. Så er det bedre at omskrive ligningen i faldende rækkefølge efter graden af ​​variablen.

Lad os introducere noget notation. De er præsenteret i tabellen nedenfor.

Hvis vi accepterer disse notationer, reduceres alle andengradsligninger til følgende notation.

Desuden er koefficienten a ≠ 0. Lad denne formel betegnes som nummer et.

Når en ligning er givet, er det ikke klart, hvor mange rødder der vil være i svaret. Fordi en af ​​tre muligheder altid er mulig:

• løsningen vil have to rødder;
• svaret vil være ét tal;
• ligningen vil slet ikke have nogen rødder.

Og indtil afgørelsen er endeligt truffet, er det svært at forstå, hvilken mulighed der vil dukke op i en bestemt sag.

Typer af optagelser af andengradsligninger

Der kan være forskellige poster i opgaver. De vil ikke altid se ud generel formel andengradsligning. Nogle gange vil det mangle nogle udtryk. Det, der blev skrevet ovenfor, er den komplette ligning. Hvis du fjerner den anden eller tredje term i den, får du noget andet. Disse optegnelser kaldes også andengradsligninger, kun ufuldstændige.

Desuden kan kun udtryk med koefficienterne "b" og "c" forsvinde. Tallet "a" kan under ingen omstændigheder være lig med nul. For i dette tilfælde bliver formlen til en lineær ligning. Formlerne for den ufuldstændige form af ligninger vil være som følger:

Så der er kun to typer udover komplette, er der også ufuldstændige andengradsligninger. Lad den første formel være nummer to, og den anden - tre.

Diskriminerende og afhængig af antallet af rødder på dets værdi

Du skal kende dette tal for at kunne beregne rødderne til ligningen. Det kan altid beregnes, uanset hvilken andengradsligning formlen er. For at beregne diskriminanten skal du bruge nedenstående lighed, som vil have nummer fire.

Efter at have erstattet koefficientværdierne i denne formel, kan du få tal med forskellige tegn. Hvis svaret er ja, så vil svaret på ligningen være to forskellige rødder. På negativt tal andengradsligningens rødder vil mangle. Hvis det er lig med nul, vil der kun være ét svar.

Hvordan løser man en komplet andengradsligning?

Faktisk er behandlingen af ​​dette spørgsmål allerede begyndt. For først skal du finde en diskriminant. Når det er fastslået, at der er rødder til andengradsligningen, og deres antal er kendt, skal du bruge formler til variablerne. Hvis der er to rødder, skal du anvende følgende formel.

Da den indeholder et "±"-tegn, vil der være to værdier. Udtrykket under kvadratrodstegnet er diskriminanten. Derfor kan formlen omskrives anderledes.

Formel nummer fem. Fra den samme post er det klart, at hvis diskriminanten er lig med nul, så vil begge rødder have de samme værdier.

Hvis løsning af andengradsligninger endnu ikke er blevet udarbejdet, er det bedre at nedskrive værdierne af alle koefficienter, før du anvender diskriminant- og variabelformlerne. Senere vil dette øjeblik ikke forårsage vanskeligheder. Men i begyndelsen er der forvirring.

Hvordan løser man en ufuldstændig andengradsligning?

Alt er meget enklere her. Der er ikke engang behov for yderligere formler. Og dem, der allerede er skrevet ned til diskriminant og ukendte, bliver der ikke brug for.

Lad os først se på ufuldstændig ligning nummer to. I denne lighed er det nødvendigt at tage den ukendte mængde ud af parentes og løse den lineære ligning, som forbliver i parentes. Svaret vil have to rødder. Den første er nødvendigvis lig nul, fordi der er en multiplikator, der består af selve variablen. Den anden fås ved at løse en lineær ligning.

Ufuldstændig ligning nummer tre løses ved at flytte tallet fra venstre side af ligheden til højre. Så skal du dividere med koefficienten, der vender mod det ukendte. Tilbage er blot at udtrække kvadratroden og huske at skrive den ned to gange med modsatte fortegn.

Nedenfor er nogle trin, der vil hjælpe dig med at lære at løse alle slags ligheder, der bliver til andengradsligninger. De vil hjælpe eleven til at undgå fejl på grund af uopmærksomhed. Disse mangler kan forårsage dårlige karakterer, når man studerer det omfattende emne "Avgradsligninger (grad 8)." Efterfølgende skal disse handlinger ikke udføres konstant. Fordi en stabil færdighed vil dukke op.

• Først skal du skrive ligningen i standardform. Det vil sige først udtrykket med den største grad af variablen, og derefter - uden en grad, og sidst - kun et tal.

• Hvis der vises et minus før koefficienten "a", kan det komplicere arbejdet for en begynder, der studerer andengradsligninger. Det er bedre at slippe af med det. Til dette formål skal al lighed ganges med "-1". Det betyder, at alle udtryk vil skifte fortegn til det modsatte.

• Det anbefales at slippe af med fraktioner på samme måde. Du skal blot gange ligningen med den passende faktor, så nævnerne udligner.

Eksempler

Det er nødvendigt at løse følgende andengradsligninger:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den første ligning: x 2 − 7x = 0. Den er ufuldstændig, så den løses som beskrevet for formel nummer to.

Efter at have taget det ud af parentes, viser det sig: x (x - 7) = 0.

Den første rod har værdien: x 1 = 0. Den anden vil blive fundet fra lineær ligning: x - 7 = 0. Det er let at se, at x 2 = 7.

Anden ligning: 5x 2 + 30 = 0. Igen ufuldstændig. Kun det løses som beskrevet for den tredje formel.

Efter at have flyttet 30 til højre side af ligningen: 5x 2 = 30. Nu skal du dividere med 5. Det viser sig: x 2 = 6. Svarene vil være tallene: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Den tredje ligning: 15 − 2х − x 2 = 0. Her og videre vil løsning af andengradsligninger begynde med deres omskrivning i standard visning: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nu er det tid til at bruge den anden nyttige råd og gange alt med minus en. Det viser sig x 2 + 2x - 15 = 0. Ved hjælp af den fjerde formel skal du beregne diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det er et positivt tal. Ud fra det, der er sagt ovenfor, viser det sig, at ligningen har to rødder. De skal beregnes ved hjælp af den femte formel. Det viser sig, at x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Så er x 1 = 3, x 2 = - 5.

Den fjerde ligning x 2 + 8 + 3x = 0 omdannes til denne: x 2 + 3x + 8 = 0. Dens diskriminant er lig med denne værdi: -23. Da dette tal er negativt, vil svaret på denne opgave være næste post: "Der er ingen rødder."

Den femte ligning 12x + x 2 + 36 = 0 skal omskrives som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter anvendelse af formlen for diskriminanten opnås tallet nul. Det betyder, at den vil have én rod, nemlig: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Den sjette ligning (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) kræver transformationer, som består i, at du skal bringe lignende udtryk, først at åbne parenteserne. I stedet for det første vil der være følgende udtryk: x 2 + 2x + 1. Efter ligheden vises denne post: x 2 + 3x + 2. Efter at lignende led er talt, vil ligningen have formen: x 2 - x = 0. Den er blevet ufuldstændig . Noget lignende dette er allerede blevet diskuteret lidt højere. Rødderne til dette vil være tallene 0 og 1.

Problemer med kvadratiske ligninger studeres både i skolepensum og på universiteter. De betyder ligninger af formen a*x^2 + b*x + c = 0, hvor x- variabel, a, b, c - konstanter; -en<>0 . Opgaven er at finde rødderne til ligningen.

Geometrisk betydning af andengradsligning

Grafen for en funktion, der er repræsenteret ved en andengradsligning, er en parabel. Løsningerne (rødderne) af en andengradsligning er skæringspunkterne mellem parablen og abscissen (x)-aksen. Det følger heraf, at der er tre mulige tilfælde:
1) parablen har ingen skæringspunkter med abscisseaksen. Det betyder, at den er i det øverste plan med grene op eller bunden med grene ned. I sådanne tilfælde har andengradsligningen ingen reelle rødder (den har to komplekse rødder).

2) parablen har ét skæringspunkt med okseaksen. Et sådant punkt kaldes parablens toppunkt, og andengradsligningen ved det får sin minimums- eller maksimumværdi. I dette tilfælde har andengradsligningen én reel rod (eller to identiske rødder).

3) Det sidste tilfælde er mere interessant i praksis - der er to skæringspunkter mellem parablen og abscisseaksen. Det betyder, at der er to reelle rødder til ligningen.

Baseret på analysen af ​​koefficienterne for variablernes potenser kan der drages interessante konklusioner om placeringen af ​​parablen.

1) Hvis koefficienten a er større end nul, så er parablens grene rettet opad, hvis negative, så er parablens grene rettet nedad.

2) Hvis koefficienten b er større end nul, så ligger parablens toppunkt i venstre halvplan, hvis den tager negativ værdi- så til højre.

Udledning af formlen til løsning af en andengradsligning

Lad os overføre konstanten fra andengradsligningen

for lighedstegnet får vi udtrykket

Gang begge sider med 4a

For at få en komplet firkant til venstre skal du tilføje b^2 på begge sider og udføre transformationen

Herfra finder vi

Formel for diskriminant og rødder af en andengradsligning

Diskriminanten er værdien af ​​det radikale udtryk Hvis det er positivt, så har ligningen to reelle rødder, beregnet ved formlen Når diskriminanten er nul, har andengradsligningen én løsning (to sammenfaldende rødder), som let kan fås ud fra ovenstående formel for D=0. Når diskriminanten er negativ, har ligningen ingen reelle rødder. Imidlertid findes løsninger til andengradsligningen i det komplekse plan, og deres værdi beregnes ved hjælp af formlen

Vietas sætning

Lad os betragte to rødder af en andengradsligning og konstruere en andengradsligning på basis af deres sætning følger let af notationen: hvis vi har en andengradsligning af formen. så er summen af ​​dens rødder lig med koefficienten p taget med det modsatte fortegn, og produktet af ligningens rødder er lig med det frie led q. Formelrepræsentationen af ​​ovenstående vil se ud som Hvis konstanten a i en klassisk ligning ikke er nul, skal du dividere hele ligningen med den og derefter anvende Vietas sætning.

Factoring andengradsligningsplan

Lad opgaven være indstillet: faktor en andengradsligning. For at gøre dette løser vi først ligningen (find rødderne). Dernæst erstatter vi den andengradsligning med de fundne rødder i ekspansionsformlen. Dette vil løse problemet.

Problemer med kvadratiske ligninger

Opgave 1. Find rødderne til en andengradsligning

x^2-26x+120=0 .

Løsning: Skriv koefficienterne ned og indsæt dem i diskriminantformlen

Roden af ​​denne værdi er 14, den er let at finde med en lommeregner, eller huske med hyppig brug, men for nemheds skyld vil jeg i slutningen af ​​artiklen give dig en liste over kvadrater af tal, der ofte kan stødes på i sådanne problemer.
Vi erstatter den fundne værdi i rodformlen

og vi får

Opgave 2. Løs ligningen

2x2 +x-3=0.

Løsning: Vi har en komplet andengradsligning, skriver koefficienterne ud og finder diskriminanten


Ved hjælp af kendte formler finder vi rødderne til andengradsligningen

Opgave 3. Løs ligningen

9x2 -12x+4=0.

Løsning: Vi har en komplet andengradsligning. Bestemmelse af diskriminant

Vi har et tilfælde, hvor rødderne falder sammen. Find værdierne af rødderne ved hjælp af formlen

Opgave 4. Løs ligningen

x^2+x-6=0 .

Løsning: I tilfælde, hvor der er små koefficienter for x, er det tilrådeligt at anvende Vietas sætning. Ved dens tilstand får vi to ligninger

Ud fra den anden betingelse finder vi, at produktet skal være lig med -6. Det betyder, at en af ​​rødderne er negativ. Vi har følgende mulige løsningspar (-3;2), (3;-2) . Under hensyntagen til den første betingelse afviser vi det andet par løsninger.
Ligningens rødder er lige store

Opgave 5. Find længderne af siderne af et rektangel, hvis dets omkreds er 18 cm og dets areal er 77 cm 2.

Løsning: Halvdelen af ​​omkredsen af ​​et rektangel er lig med summen af ​​dets tilstødende sider. Lad os betegne x som den større side, så er 18-x dens mindre side. Arealet af rektanglet er lig med produktet af disse længder:
x(18-x)=77;
eller
x 2 -18x+77=0.
Lad os finde ligningens diskriminant

Beregning af ligningens rødder

Hvis x=11, At 18'er=7 , det modsatte er også sandt (hvis x=7, så 21'er=9).

Opgave 6. Faktorer andengradsligningen 10x 2 -11x+3=0.

Løsning: Lad os beregne rødderne til ligningen, for at gøre dette finder vi diskriminanten

Vi erstatter den fundne værdi i rodformlen og beregner

Vi anvender formlen til at nedbryde en andengradsligning med rødder

Ved at åbne parenteserne får vi en identitet.

Andengradsligning med parameter

Eksempel 1. Ved hvilke parameterværdier A , har ligningen (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 én rod?

Løsning: Ved direkte substitution af værdien a=3 ser vi, at den ikke har nogen løsning. Dernæst vil vi bruge det faktum, at med en nuldiskriminant har ligningen én rod af multiplicitet 2. Lad os skrive diskriminanten ud

Lad os forenkle det og sidestille det med nul

Vi har fået en andengradsligning med hensyn til parameteren a, hvis løsning let kan opnås ved hjælp af Vietas sætning. Summen af ​​rødderne er 7, og deres produkt er 12. Ved simpel søgning fastslår vi, at tallene 3,4 vil være rødderne til ligningen. Da vi allerede afviste løsningen a=3 i begyndelsen af ​​beregningerne, vil den eneste rigtige være - a=4. For a=4 har ligningen således én rod.

Eksempel 2. Ved hvilke parameterværdier A , ligning a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mere end én rod?

Løsning: Lad os først overveje entalspunkterne, de vil være værdierne a=0 og a=-3. Når a=0, vil ligningen blive forenklet til formen 6x-9=0; x=3/2 og der vil være én rod. For a= -3 får vi identiteten 0=0.
Lad os beregne diskriminanten

og find værdien af ​​a, hvor den er positiv

Fra den første betingelse får vi a>3. For det andet finder vi ligningens diskriminant og rødder


Lad os definere intervallerne, hvor funktionen tager positive værdier. Ved at erstatte punktet a=0 får vi 3>0 . Så uden for intervallet (-3;1/3) er funktionen negativ. Glem ikke pointen a=0, som bør udelukkes, fordi den oprindelige ligning har én rod i sig.
Som et resultat opnår vi to intervaller, der opfylder betingelserne for problemet

Der vil være mange lignende opgaver i praksis, prøv selv at finde ud af opgaverne og glem ikke at tage hensyn til de forhold, der udelukker hinanden. Studer godt formlerne til løsning af andengradsligninger de er ofte nødvendige i beregninger i forskellige problemer og videnskaber.