Vi lærer at reducere polynomier til standardform.

Begrebet et polynomium

Definition af polynomium: Et polynomium er summen af monomer. Eksempel på polynomium:

her ser vi summen af to monomer, og dette er et polynomium, dvs. summen af monomer.

De udtryk, der udgør et polynomium, kaldes termer for polynomiet.

Er forskellen mellem monomer et polynomium? Ja, det er det, fordi forskellen let reduceres til en sum, f.eks.: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monomier betragtes også som polynomier. Men et monomial har ingen sum, hvorfor betragtes det så som et polynomium? Og du kan tilføje nul til det og få dets sum med et nul monomial. Så det monomiale er særligt tilfælde polynomium, det består af et medlem.

Tallet nul er nulpolynomiet.

Standardform af polynomium

Hvad er et polynomium af standardform? Et polynomium er summen af monomialer, og hvis alle disse monomer, der udgør polynomiet, er skrevet på standardform, og der ikke burde være nogen lignende blandt dem, så skrives polynomiet på standardform.

Et eksempel på et polynomium i standardform:

her består polynomiet af 2 monomialer, som hver har en standardform blandt monomierne er der ingen lignende;

Nu et eksempel på et polynomium, der ikke har en standardform:

her er to monomialer: 2a og 4a ens. Du skal lægge dem sammen, så vil polynomiet have standardformen:

Et andet eksempel:

Dette polynomium reduceres til standard visning? Nej, hans anden periode er ikke skrevet i standardform. Ved at skrive det i standardform får vi et polynomium af standardform:

Polynomisk grad

Hvad er graden af et polynomium?

Polynomisk gradsdefinition:

Graden af et polynomium er den højeste grad, som de monomer, der udgør et givet polynomium af standardform, har.

Eksempel. Hvad er graden af polynomiet 5h? Graden af polynomiet 5h er lig med én, fordi dette polynomium kun indeholder ét monomer og dets grad er lig med én.

Et andet eksempel. Hvad er graden af polynomiet 5a 2 h 3 s 4 +1? Graden af polynomiet 5a 2 h 3 s 4 + 1 er lig med ni, fordi dette polynomium omfatter to monomer, det første monomial 5a 2 h 3 s 4 har den højeste grad, og dets grad er 9.

Et andet eksempel. Hvad er graden af polynomiet 5? Graden af et polynomium 5 er nul. Så graden af et polynomium, der kun består af et tal, dvs. uden bogstaver er lig med nul.

Det sidste eksempel. Hvad er graden af nulpolynomiet, dvs. nul? Graden af nulpolynomiet er ikke defineret.

Et polynomium er summen af monomer. Hvis alle termerne i polynomiet er skrevet i standardform (se afsnit 51), og lignende termer reduceres, vil du få et polynomium af standardform.

Ethvert heltalsudtryk kan konverteres til et polynomium af standardform - dette er formålet med transformationer (simplifikationer) af heltalsudtryk.

Lad os se på eksempler, hvor et helt udtryk skal reduceres til standardformen af et polynomium.

Løsning. Lad os først bringe vilkårene for polynomiet til standardform. Vi opnår Efter at have bragt lignende udtryk får vi et polynomium af standardformen

Løsning. Hvis der er et plustegn foran parenteserne, så kan parenteserne udelades, mens fortegnene for alle termer i parentes bevares. Ved at bruge denne regel til at åbne parenteser får vi:

Løsning. Hvis parenteserne er foranstillet af et minustegn, kan parenteserne udelades ved at ændre fortegnene for alle led i parentes. Ved at bruge denne regel til at skjule parenteser får vi:

Løsning. Produktet af et monomial og et polynomium er ifølge den distributive lov lig med summen af produkterne af dette monomial og hvert medlem af polynomiet. Vi får

Løsning. Det har vi

Det er tilbage at give lignende udtryk (de er understreget). Vi får:

53. Forkortede multiplikationsformler.

I nogle tilfælde udføres at bringe et helt udtryk til standardformen af et polynomium ved hjælp af identiteterne:

Disse identiteter kaldes forkortede multiplikationsformler,

Lad os se på eksempler, hvor du skal konvertere et givet udtryk til standardform myogochlea.

Eksempel 1. .

Løsning. Ved hjælp af formel (1) får vi:

Eksempel 2. .

Løsning.

Eksempel 3. .

Løsning. Ved hjælp af formel (3) får vi:

Eksempel 4.

Løsning. Ved hjælp af formel (4) får vi:

54. Faktoreringspolynomier.

Nogle gange kan du transformere et polynomium til et produkt af flere faktorer - polynomier eller subnomialer. En sådan identitetstransformation kaldes faktorisering af et polynomium. I dette tilfælde siges polynomiet at være deleligt med hver af disse faktorer.

Lad os se på nogle måder at faktorisere polynomier på,

1) At tage den fælles faktor ud af parentes. Denne transformation er en direkte konsekvens af den distributive lov (for klarhedens skyld skal du bare omskrive denne lov "fra højre til venstre"):

Eksempel 1: Faktor et polynomium

Løsning. .

Normalt, når man tager den fælles faktor ud af parentes, tages hver variabel, der er inkluderet i alle termer af polynomiet, ud med den laveste eksponent, den har i dette polynomium. Hvis alle koefficienterne for polynomiet er heltal, tages den største i modul som koefficienten for den fælles faktor fælles divisor alle koefficienter af polynomiet.

2) Brug af forkortede multiplikationsformler. Formler (1) - (7) fra afsnit 53, læst fra højre mod venstre, viser sig i mange tilfælde at være nyttige til faktorisering af polynomier.

Eksempel 2: Faktor .

Løsning. Det har vi. Ved at anvende formel (1) (forskel mellem kvadrater) får vi . Ved at ansøge

Nu formler (4) og (5) (sum af terninger, forskel af terninger), får vi:

Eksempel 3. .

Løsning. Lad os først tage den fælles faktor ud af beslaget. For at gøre dette vil vi finde den største fælles divisor af koefficienterne 4, 16, 16 og de mindste eksponenter, med hvilke variablerne a og b indgår i de konstituerende monomer af dette polynomium. Vi får:

3) Metode til gruppering. Det er baseret på det faktum, at de kommutative og associative love for addition tillader medlemmerne af et polynomium at blive grupperet på forskellige måder. Nogle gange er det muligt at gruppere på en sådan måde, at efter at have taget de fælles faktorer ud af parentes, forbliver det samme polynomium i parentes i hver gruppe, som igen, som en fælles faktor, kan tages ud af parentes. Lad os se på eksempler på faktorisering af et polynomium.

Eksempel 4. .

Løsning. Lad os gruppere som følger:

I den første gruppe, lad os tage den fælles faktor ud af parenteserne ind i den anden - den fælles faktor 5. Vi får Nu sætter vi polynomiet som en fælles faktor ud af parenteserne: Således får vi:

Eksempel 5.

Løsning. .

Eksempel 6.

Løsning. Her vil ingen gruppering føre til fremkomsten af det samme polynomium i alle grupper. I sådanne tilfælde er det nogle gange nyttigt at repræsentere et medlem af polynomiet som en sum og derefter prøve grupperingsmetoden igen. I vores eksempel er det tilrådeligt at repræsentere det som en sum Vi får

Eksempel 7.

Løsning. Add og subtraher et monomial Vi får

55. Polynomier i én variabel.

Et polynomium, hvor a, b er variable tal, kaldes et polynomium af første grad; et polynomium, hvor a, b, c er variable tal, kaldet et polynomium af anden grad eller et kvadratisk trinomium; et polynomium hvor a, b, c, d er tal, variablen kaldes et polynomium af tredje grad.

Generelt, hvis o er en variabel, så er det et polynomium

kaldet lsmogochnolenol grad (i forhold til x); , m-led for polynomiet, koefficienter, polynomiets førende led, a er koefficienten for det førende led, polynomiets frie led. Typisk skrives et polynomium i faldende potenser af en variabel, dvs. potenserne af en variabel falder gradvist, især er det førende led på førstepladsen, og det frie led er på sidstepladsen. Graden af et polynomium er graden af det højeste led.

For eksempel et polynomium af femte grad, hvor det førende led, 1, er polynomiets frie led.

Roden af et polynomium er den værdi, hvorved polynomiet forsvinder. For eksempel er tallet 2 roden af et polynomium siden

Vi sagde, at der er både standard og ikke-standard polynomier. Der bemærkede vi, at alle kan bringe polynomiet til standardform. I denne artikel vil vi først finde ud af, hvilken betydning denne sætning har. Dernæst viser vi trinene til at konvertere et hvilket som helst polynomium til standardform. Lad os endelig se på løsninger på typiske eksempler. Vi vil beskrive løsningerne meget detaljeret for at forstå alle de nuancer, der opstår, når polynomier reduceres til standardform.

Sidenavigation.

Hvad vil det sige at reducere et polynomium til standardform?

Først skal du klart forstå, hvad der menes med at reducere et polynomium til standardform. Lad os finde ud af det.

Polynomier kan ligesom alle andre udtryk udsættes for identiske transformationer. Som et resultat af at udføre sådanne transformationer opnås udtryk, der er identisk lig med det oprindelige udtryk. Udførelse af visse transformationer med polynomier af ikke-standardform giver således mulighed for at gå videre til polynomier, der er identisk lige med dem, men skrevet i standardform. Denne overgang kaldes at reducere polynomiet til standardform.

Så, reducere polynomiet til standardform- dette betyder at erstatte det oprindelige polynomium med et identisk ens polynomium af en standardform, opnået fra det oprindelige ved at udføre identiske transformationer.

Hvordan reducerer man et polynomium til standardform?

Lad os tænke på, hvilke transformationer der vil hjælpe os med at bringe polynomiet til en standardform. Vi vil tage udgangspunkt i definitionen af et polynomium af standardformen.

Per definition er hvert led i et polynomium af standardform et monomial af standardform, og et polynomium af standardform indeholder ingen lignende udtryk. Til gengæld kan polynomier skrevet i en anden form end standard en bestå af monomer i en ikke-standardform og kan indeholde lignende udtryk. Dette følger logisk den følgende regel, som forklarer hvordan man reducerer et polynomium til standardform:

først skal du bringe de monomialer, der udgør det oprindelige polynomium, til standardform,
udfør derefter reduktionen af lignende vilkår.

Som et resultat opnås et polynomium af standardform, da alle dets udtryk vil blive skrevet i standardform, og det vil ikke indeholde lignende udtryk.

Eksempler, løsninger

Lad os se på eksempler på at reducere polynomier til standardform. Når vi løser, vil vi følge trinene dikteret af reglen fra forrige afsnit.

Her bemærker vi, at nogle gange skrives alle vilkårene i et polynomium umiddelbart i standardform i dette tilfælde, det er nok bare at give lignende vilkår. Nogle gange, efter at have reduceret vilkårene for et polynomium til en standardform, er der ingen lignende vilkår, derfor er stadiet med at bringe lignende vilkår udeladt i dette tilfælde. Generelt skal du gøre begge dele.

Eksempel.

Præsenter polynomierne på standardform: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Og .

Løsning.

Alle led i polynomiet 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 er skrevet i standardform, og derfor er dette polynomium allerede præsenteret i standardform.

Lad os gå videre til det næste polynomium 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Dens form er ikke standard, som det fremgår af vilkårene 2·a 3 ·0,6 og −b·a·b 4 ·b 5 i en ikke-standardform. Lad os præsentere det i standardform.

På det første trin med at bringe det oprindelige polynomium til standardform, skal vi præsentere alle dets udtryk i standardform. Derfor bringer vi monomialet 2·a 3 ·0,6 til standardformen, vi har 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 , hvorefter – monomialet −b·a·b 4 ·b 5 , vi har −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Således,. I det resulterende polynomium er alle termer skrevet i standardform. Desuden er det indlysende, at der ikke er lignende udtryk i det. Følgelig fuldender dette reduktionen af det oprindelige polynomium til standardform.

Det er tilbage at præsentere det sidste af de givne polynomier i standardform. Efter at have bragt alle sine medlemmer til standardform, vil det blive skrevet som . Det har lignende medlemmer, så du skal caste lignende medlemmer:

Så det oprindelige polynomium tog standardformen −x·y+1.

Svar:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – allerede i standardform, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Ofte er at bringe et polynomium til en standardform kun et mellemtrin i besvarelsen af det stillede spørgsmål om problemet. For eksempel, at finde graden af et polynomium kræver dets foreløbige repræsentation i standardform.

Eksempel.

Giv et polynomium til standardformularen, angiv dens grad og arranger termerne i faldende grader af variablen.

Løsning.

Først bringer vi alle termerne i polynomiet til standardform: .

Nu præsenterer vi lignende udtryk:

Så vi bragte det oprindelige polynomium til en standardform, dette giver os mulighed for at bestemme graden af polynomiet, som er lig med den højeste grad af de monomialer, der er inkluderet i det. Det er åbenbart lig med 5.

Det er tilbage at arrangere polynomiets vilkår i aftagende potenser af variablerne. For at gøre dette skal du bare omarrangere vilkårene i det resulterende polynomium af standardform under hensyntagen til kravet. Udtrykket z 5 har den højeste grad graderne af led , −0,5·z 2 og 11 er lig med henholdsvis 3, 2 og 0. Derfor vil et polynomium med termer arrangeret i aftagende potenser af variablen have formen .

Svar:

Graden af polynomiet er 5, og efter at have arrangeret dets led i faldende grader af variablen, tager det formen .

Referencer.

Algebra: lærebog for 7. klasse almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 17. udg., tilføje. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra og startede matematisk analyse. 10. klasse: lærebog. til almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; redigeret af A. B. Zhizhchenko. - 3. udg. - M.: Uddannelse, 2010.- 368 s. : syg. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.

Per definition er et polynomium algebraisk udtryk som er summen af monomer.

For eksempel: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 er polynomier, og udtrykket z/(x - x*y^2 + 4) er ikke et polynomium, fordi det ikke er en sum af monomer. Et polynomium kaldes også nogle gange et polynomium, og monomer, der er en del af et polynomium, er medlemmer af et polynomium eller monomer.

Komplekst begreb polynomium

Hvis et polynomium består af to led, så kaldes det et binomium, hvis det består af tre, kaldes det et trinomium. Navnene fournomial, fivenomial og andre bruges ikke, og i sådanne tilfælde siger de blot polynomium. Sådanne navne, afhængigt af antallet af udtryk, sætter alt på sin plads.

Og udtrykket monomial bliver intuitivt. Fra et matematisk synspunkt er et monomial et specialtilfælde af et polynomium. Et monomial er et polynomium, der består af et led.

Ligesom et monomer har et polynomium sin egen standardform. Standardformen for et polynomium er en sådan notation af et polynomium, hvor alle de monomer, der er inkluderet i det som udtryk, er skrevet i en standardform og lignende udtryk er givet.

Standardform af polynomium

Fremgangsmåden for at reducere et polynomium til standardform er at reducere hver af monomierne til standardform og derefter tilføje alle lignende monomialer sammen. Tilføjelsen af lignende led i et polynomium kaldes reduktion af lignende.
Lad os f.eks. give lignende udtryk i polynomiet 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Begreberne 4*a*b^2*c^3 og 6*a*b^2*c^3 ligner hinanden her. Summen af disse termer vil være det monomiale 10*a*b^2*c^3. Derfor kan det oprindelige polynomium 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b omskrives til 10*a*b^2*c^3 - a* b . Denne post vil være standardformen for et polynomium.

Af det faktum, at et hvilket som helst monomer kan reduceres til en standardform, følger det også, at ethvert polynomium kan reduceres til en standardform.

Når et polynomium reduceres til standardform, kan vi tale om et sådant begreb som graden af et polynomium. Graden af et polynomium er den højeste grad af et monomer, der er inkluderet i et givet polynomium.
Så for eksempel er 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 et polynomium af den femte grad, da den maksimale grad af monomiet inkluderet i polynomiet (5*x^3*y^ 2) er femte.

På denne lektion Vi vil huske de grundlæggende definitioner af dette emne og overveje nogle typiske problemer, nemlig at reducere et polynomium til en standardform og beregne en numerisk værdi for givne værdier af variable. Vi vil løse flere eksempler, hvor reduktion til en standardform vil blive brugt til at løse forskellige slags problemer.

Emne:Polynomier. Aritmetiske operationer på monomer

Lektie:Reduktion af et polynomium til standardform. Typiske opgaver

Lad os huske den grundlæggende definition: et polynomium er summen af monomialer. Hvert monomial, der er en del af et polynomium som et led, kaldes dets medlem. For eksempel:

Binomial;

Polynomium;

Binomial;

Da et polynomium består af monomialer, følger den første handling med et polynomium herfra - du skal bringe alle monomialer til en standardform. Lad os minde dig om, at for at gøre dette skal du gange alle de numeriske faktorer - få en numerisk koefficient og gange de tilsvarende potenser - få bogstavdelen. Lad os desuden være opmærksomme på sætningen om produktet af potenser: når potenser ganges, summeres deres eksponenter.

Lad os overveje en vigtig operation - at reducere et polynomium til standardform. Eksempel:

Kommentar: for at bringe et polynomium til en standardform, skal du bringe alle de monomer, der er inkluderet i dets sammensætning, til en standardform, hvorefter, hvis der er lignende monomer - og disse er monomer med samme bogstavdel - udføre handlinger med dem .

Så vi så på det første typiske problem - at bringe et polynomium til en standardform.

Næste typisk opgave- beregning af en specifik værdi af et polynomium for givne numeriske værdier af variablerne inkluderet i det. Lad os fortsætte med at se på det forrige eksempel og indstille værdierne for variablerne:

Kommentar: husk, at én til enhver naturlig potens er lig med én, og nul til enhver naturlig potens er lig med nul, husk desuden, at når vi multiplicerer ethvert tal med nul, får vi nul.

Lad os se på en række eksempler på typiske operationer for at reducere et polynomium til en standardform og beregne dets værdi:

Eksempel 1 - bring til standardform:

Kommentar: det første trin er at bringe monomialerne til standardformularen, du skal bringe den første, anden og sjette; anden handling - vi bringer lignende vilkår, det vil sige, vi udfører de givne opgaver på dem aritmetiske operationer: vi tilføjer den første med den femte, den anden med den tredje, resten omskrives uden ændringer, da de ikke har nogen lignende.

Eksempel 2 - beregn værdien af polynomiet fra eksempel 1 givet værdierne af variablerne:

Kommentar: når du regner, skal du huske, at en til enhver naturlig potens er en, hvis det er svært at beregne potenser af to, kan du bruge tabellen over potenser.

Eksempel 3 - i stedet for en stjerne, sæt et monomial, således at resultatet ikke indeholder en variabel:

Kommentar: uanset opgaven er den første handling altid den samme - bring polynomiet til en standardform. I vores eksempel kommer denne handling ned til at bringe lignende udtryk. Herefter bør du omhyggeligt læse tilstanden igen og tænke over, hvordan vi kan slippe af med monomiet. Det er klart, for dette skal du tilføje det samme monomial til det, men med modsat fortegn- . Dernæst erstatter vi stjernen med denne monomial og sikrer os, at vores løsning er korrekt.