Lektion "standardform for polynomium". Polynomier

Lektion om emnet: "Begrebet og definitionen af ​​et polynomium. Standardform for et polynomium"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 7. klasse
Elektronisk lærebog baseret på lærebogen af ​​Yu.N. Makarycheva
Elektronisk lærebog baseret på lærebogen af ​​Sh.A. Alimova

Gutter, du har allerede studeret monomialer i emnet: Standardform for en monomial. Definitioner. Eksempler. Lad os gennemgå de grundlæggende definitioner.

Monomial– et udtryk, der består af et produkt af tal og variable. Variabler kan hæves til naturlige kræfter. Et monomial indeholder ikke andre operationer end multiplikation.

Standard form for monomial- denne type, når koefficienten (numerisk faktor) kommer først, efterfulgt af graderne af forskellige variable.

Lignende monomialer– disse er enten identiske monomialer eller monomialer, der adskiller sig fra hinanden med en koefficient.

Begrebet et polynomium

Et polynomium er ligesom et monomial et generaliseret navn for matematiske udtryk af en bestemt type. Vi er stødt på sådanne generaliseringer før. For eksempel "sum", "produkt", "eksponentiering". Når vi hører "talforskel", falder tanken om multiplikation eller division ikke engang op for os. Et polynomium er også et udtryk af en strengt defineret type.

Definition af et polynomium

Polynomium er summen af ​​monomierne.

Monomialerne, der udgør et polynomium, kaldes medlemmer af polynomiet. Hvis der er to led, så har vi at gøre med et binomium, hvis der er tre, så med et trinomium. Hvis der er flere led, er det et polynomium.

Eksempler på polynomier.

1) 2аb + 4сd (binomial);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomial);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.

Lad os se nøje på det sidste udtryk. Per definition er et polynomium summen af ​​monomer, men i det sidste eksempel lægger vi ikke kun sammen, men trækker også monomer fra.
For at præcisere, lad os se på et lille eksempel.

Lad os skrive udtrykket ned a + b - c(lad os blive enige om det a ≥ 0, b ≥ 0 og c ≥ 0) og svar på spørgsmålet: er dette summen eller forskellen? Det er svært at sige.
Faktisk, hvis vi omskriver udtrykket som a + b + (-c), får vi summen af ​​to positive og et negativt led.
Hvis du ser på vores eksempel, har vi specifikt at gøre med summen af ​​monomer med koefficienter: 3, - 2, 7, -5. I matematik er der et udtryk " algebraisk sum". I definitionen af ​​et polynomium mener vi således en "algebraisk sum."

Men en notation af formen 3a: b + 7c er ikke et polynomium, fordi 3a: b ikke er et monomial.
Notationen af ​​formen 3b + 2a * (c 2 + d) er heller ikke et polynomium, da 2a * (c 2 + d) ikke er et monomial. Hvis du åbner parenteserne, vil det resulterende udtryk være et polynomium.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Polynomisk grad er den højeste grad af sine medlemmer.
Polynomiet a 3 b 2 + a 4 har den femte grad, da graden af ​​monomiet a 3 b 2 er 2 + 3= 5, og graden af ​​monomiet a 4 er 4.

Standardform af polynomium

Et polynomium, der ikke har lignende udtryk og er skrevet i faldende rækkefølge efter potenserne af polynomiets vilkår, er et polynomium af standardform.

Polynomiet bringes til en standardform for at fjerne unødvendig besværlig skrivning og forenkle yderligere handlinger med den.

Ja, hvorfor for eksempel skrive det lange udtryk 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, når det kan skrives kortere end 9b 2 + 3a 2 + 8.

For at bringe et polynomium til standardform skal du:
1. bringe alle sine medlemmer til en standardformular,
2. tilføje lignende (identiske eller med forskellige numeriske koefficienter) udtryk. Denne procedure ofte kaldet bringe lignende.

Eksempel.
Reducer polynomiet aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 til standardform.

Løsning.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Lad os bestemme styrkerne af monomialerne inkluderet i udtrykket og arrangere dem i faldende rækkefølge.
11a 2 b har tredje grad, 3 x 5 y 2 har syvende grad, 14 har nul grad.
Det betyder, at vi sætter 3 x 5 y 2 (7. grad) på førstepladsen, 12a 2 b (3. grad) på andenpladsen og 14 (nul grad) på tredjepladsen.
Som et resultat opnår vi et polynomium af standardformen 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Eksempler på selvløsning

Reducer polynomier til standardform.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Vi sagde, at der er både standard og ikke-standard polynomier. Der bemærkede vi, at alle kan bringe polynomiet til standardform. I denne artikel vil vi først finde ud af, hvilken betydning denne sætning har. Dernæst viser vi de trin, der giver dig mulighed for at transformere et hvilket som helst polynomium til standard visning. Lad os endelig se på løsninger på typiske eksempler. Vi vil beskrive løsningerne meget detaljeret for at forstå alle de nuancer, der opstår, når polynomier reduceres til standardform.

Sidenavigation.

Hvad vil det sige at reducere et polynomium til standardform?

Først skal du klart forstå, hvad der menes med at reducere et polynomium til standardform. Lad os finde ud af det.

Polynomier, som alle andre udtryk, kan udsættes for identiske transformationer. Som et resultat af at udføre sådanne transformationer opnås udtryk, der er identisk lig med det oprindelige udtryk. Udførelse af visse transformationer med polynomier af ikke-standardform giver således mulighed for at gå videre til polynomier, der er identisk lige med dem, men skrevet i standardform. Denne overgang kaldes at reducere polynomiet til standardform.

Så, reducere polynomiet til standardform- dette betyder at erstatte det oprindelige polynomium med et identisk ens polynomium af en standardform, opnået fra det oprindelige ved at udføre identiske transformationer.

Hvordan reducerer man et polynomium til standardform?

Lad os tænke på, hvilke transformationer der vil hjælpe os med at bringe polynomiet til en standardform. Vi vil tage udgangspunkt i definitionen af ​​et polynomium af standardformen.

Per definition er hvert led i et polynomium af standardform et monomial af standardform, og et polynomium af standardform indeholder ingen lignende udtryk. Til gengæld kan polynomier skrevet i en anden form end standard en bestå af monomer i en ikke-standardform og kan indeholde lignende udtryk. Dette følger logisk den følgende regel, som forklarer hvordan man reducerer et polynomium til standardform:

• først skal du bringe monomierne, der udgør det oprindelige polynomium, til standardform,
• udfør derefter reduktionen af ​​lignende vilkår.

Som et resultat opnås et polynomium af standardform, da alle dets udtryk vil blive skrevet i standardform, og det vil ikke indeholde lignende udtryk.

Eksempler, løsninger

Lad os se på eksempler på at reducere polynomier til standardform. Når vi løser, vil vi følge trinene dikteret af reglen fra forrige afsnit.

Lad os her bemærke, at nogle gange skrives alle vilkårene i et polynomium umiddelbart i standardform i dette tilfælde, det er nok bare at give lignende vilkår. Nogle gange, efter at have reduceret vilkårene for et polynomium til en standardform, er der ingen lignende vilkår, derfor er stadiet med at bringe lignende vilkår udeladt i dette tilfælde. Generelt skal du gøre begge dele.

Eksempel.

Nuværende polynomier i standardform: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Og .

Løsning.

Alle led i polynomiet 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 er skrevet i standardform, og derfor er dette polynomium allerede præsenteret i standardform.

Lad os gå videre til det næste polynomium 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Dens form er ikke standard, som det fremgår af vilkårene 2·a 3 ·0,6 og −b·a·b 4 ·b 5 i en ikke-standardform. Lad os præsentere det i standardform.

På det første trin med at bringe det oprindelige polynomium til standardform, skal vi præsentere alle dets udtryk i standardform. Derfor bringer vi monomialet 2·a 3 ·0,6 til standardformen, vi har 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3, hvorefter – monomialet −b·a·b 4 ·b 5 , vi har −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Således,. I det resulterende polynomium er alle termer skrevet i standardform. Desuden er det indlysende, at der ikke er lignende udtryk i det. Følgelig fuldender dette reduktionen af ​​det oprindelige polynomium til standardform.

Det er tilbage at præsentere det sidste af de givne polynomier i standardform. Efter at have bragt alle sine medlemmer til standardform, vil det blive skrevet som . Det har lignende medlemmer, så du skal caste lignende medlemmer:

Så det oprindelige polynomium tog standardformen −x·y+1.

Svar:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – allerede i standardform, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Ofte er at bringe et polynomium til en standardform kun et mellemtrin i besvarelsen af ​​det spørgsmål, der stilles til problemet. For eksempel, at finde graden af ​​et polynomium kræver dets foreløbige repræsentation i standardform.

Eksempel.

Giv et polynomium til standardformularen, angive dens grad og arrangere termerne i faldende grader af variablen.

Løsning.

Først bringer vi alle termerne i polynomiet til standardform: .

Nu præsenterer vi lignende udtryk:

Så vi bragte det oprindelige polynomium til en standardform, dette giver os mulighed for at bestemme graden af ​​polynomiet, som er lig med den højeste grad af de monomer, der er inkluderet i det. Det er åbenbart lig med 5.

Det er tilbage at arrangere polynomiets vilkår i aftagende potenser af variablerne. For at gøre dette skal du bare omarrangere vilkårene i det resulterende polynomium af standardform under hensyntagen til kravet. Udtrykket z 5 har den højeste grad graderne af led , −0,5·z 2 og 11 er lig med henholdsvis 3, 2 og 0. Derfor vil et polynomium med termer arrangeret i aftagende potenser af variablen have formen .

Svar:

Graden af ​​polynomiet er 5, og efter at have arrangeret dets led i faldende grader af variablen, tager det formen .

Referencer.

• Algebra: lærebog for 7. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 17. udg., tilføje. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra og startede matematisk analyse. 10. klasse: lærebog. til almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; redigeret af A. B. Zhizhchenko. - 3. udg. - M.: Uddannelse, 2010.- 368 s. : syg. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.

På denne lektion Vi vil huske de grundlæggende definitioner af dette emne og overveje nogle typiske problemer, nemlig at reducere et polynomium til en standardform og beregne en numerisk værdi for givne værdier af variable. Vi vil løse flere eksempler, hvor reduktion til en standardform vil blive brugt til at løse forskellige slags problemer.

Emne:Polynomier. Aritmetiske operationer på monomer

Lektie:Reduktion af et polynomium til standardform. Typiske opgaver

Lad os huske den grundlæggende definition: et polynomium er summen af ​​monomialer. Hvert monomial, der er en del af et polynomium som et led, kaldes dets medlem. For eksempel:

Binomial;

Polynomium;

Binomial;

Da et polynomium består af monomialer, følger den første handling med et polynomium herfra - du skal bringe alle monomialer til en standardform. Lad os minde dig om, at for at gøre dette skal du gange alle de numeriske faktorer - få en numerisk koefficient og gange de tilsvarende potenser - få bogstavdelen. Lad os derudover være opmærksomme på sætningen om produktet af potenser: når potenser ganges, summeres deres eksponenter.

Lad os overveje en vigtig operation - at reducere et polynomium til standardform. Eksempel:

Kommentar: for at bringe et polynomium til en standardform, skal du bringe alle de monomer, der er inkluderet i dets sammensætning, til en standardform, hvorefter, hvis der er lignende monomer - og disse er monomer med samme bogstavdel - udføre handlinger med dem .

Så vi så på det første typiske problem - at bringe et polynomium til en standardform.

Næste typisk opgave- beregning af en specifik værdi af et polynomium for givne numeriske værdier af de variable, der er inkluderet i det. Lad os fortsætte med at se på det forrige eksempel og indstille værdierne for variablerne:

Kommentar: lad os huske, at en til enhver naturlig potens er lig med en, og nul til enhver naturlig potens er lig med nul, desuden husker vi, at når vi multiplicerer ethvert tal med nul, får vi nul.

Lad os se på en række eksempler på typiske operationer for at reducere et polynomium til en standardform og beregne dets værdi:

Eksempel 1 - bring til standardform:

Kommentar: det første trin er at bringe monomialerne til standardformen, du skal bringe den første, anden og sjette; anden handling - vi bringer lignende vilkår, det vil sige, vi udfører de givne opgaver på dem aritmetiske operationer: vi tilføjer den første med den femte, den anden med den tredje, resten omskrives uden ændringer, da de ikke har lignende.

Eksempel 2 - beregn værdien af ​​polynomiet fra eksempel 1 givet værdierne af variablerne:

Kommentar: når du beregner, skal du huske, at en enhed til enhver naturlig potens er én, hvis det er svært at beregne potenser af to, kan du bruge tabellen over potenser.

Eksempel 3 - i stedet for en stjerne, sæt et monomial, således at resultatet ikke indeholder en variabel:

Kommentar: uanset opgaven er den første handling altid den samme - bring polynomiet til en standardform. I vores eksempel kommer denne handling ned til at bringe lignende udtryk. Herefter bør du omhyggeligt læse tilstanden igen og tænke over, hvordan vi kan slippe af med monomiet. Det er klart, for dette skal du tilføje det samme monomial til det, men med modsat fortegn- . Dernæst erstatter vi stjernen med denne monomial og sikrer os, at vores løsning er korrekt.

- polynomier. I denne artikel vil vi skitsere alle de indledende og nødvendige oplysninger om polynomier. Disse omfatter for det første definitionen af ​​et polynomium med tilhørende definitioner af termerne i polynomiet, især det frie udtryk og lignende udtryk. For det andet vil vi dvæle ved polynomier af standardformen, give den passende definition og give eksempler på dem. Til sidst vil vi introducere definitionen af ​​graden af ​​et polynomium, finde ud af, hvordan man finder det og tale om koefficienterne for polynomiets termer.

Sidenavigation.

Polynomium og dets udtryk - definitioner og eksempler

I klasse 7 studeres polynomier umiddelbart efter monomialer, dette er forståeligt, da polynomisk definition gives gennem monomialer. Lad os give denne definition for at forklare, hvad et polynomium er.

Definition.

Polynomium er summen af ​​monomer; Et monomial betragtes som et specialtilfælde af et polynomium.

Den skriftlige definition giver dig mulighed for at give så mange eksempler på polynomier, som du vil. Enhver af monomialerne 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 osv. er et polynomium. Også per definition er 1+x, a 2 +b 2 og polynomier.

For at gøre det nemmere at beskrive polynomier introduceres en definition af et polynomium.

Definition.

Polynomiske termer er de konstituerende monomer i et polynomium.

For eksempel består polynomiet 3 x 4 −2 x y+3−y 3 af fire led: 3 x 4 , −2 x y , 3 og −y 3 . Et monomial betragtes som et polynomium bestående af et led.

Definition.

Polynomier, der består af to og tre led, har specielle navne - binomial Og trinomial henholdsvis.

Så x+y er et binomium, og 2 x 3 q−q x x x+7 b er et trinomium.

I skolen skal vi oftest arbejde med lineær binomial a x+b , hvor a og b er nogle tal, og x er en variabel, samt c kvadratisk trinomium a·x 2 +b·x+c, hvor a, b og c er nogle tal, og x er en variabel. Her er eksempler på lineære binomialer: x+1, x 7,2−4, og her er eksempler på kvadratiske trinomialer: x 2 +3 x−5 og .

Polynomier i deres notation kan have lignende udtryk. For eksempel, i polynomiet 1+5 x−3+y+2 x er de tilsvarende led 1 og −3, samt 5 x og 2 x. De har deres eget specielle navn - lignende udtryk for et polynomium.

Definition.

Lignende udtryk for et polynomium lignende udtryk i et polynomium kaldes.

I det foregående eksempel er 1 og −3, såvel som parret 5 x og 2 x, lignende udtryk for polynomiet. I polynomier, der har lignende udtryk, kan du reducere lignende udtryk for at forenkle deres form.

Polynomium af standardform

For polynomier er der som for monomer en såkaldt standardform. Lad os give udtryk for den tilsvarende definition.

Baseret på denne definition, kan vi give eksempler på polynomier af standardform. Så polynomierne 3 x 2 −x y+1 og skrevet i standardform. Og udtrykkene 5+3 x 2 −x 2 +2 x z og x+x y 3 x x z 2 +3 z er ikke polynomier af standardformen, da det første af dem indeholder lignende udtryk 3 x 2 og −x 2 , og i den anden - en monomial x·y 3 ·x·z 2, hvis form er forskellig fra standarden.

Bemærk, at du om nødvendigt altid kan reducere polynomiet til standardform.

Et andet begreb relateret til polynomier af standardformen er begrebet et frit udtryk for et polynomium.

Definition.

Frit udtryk for et polynomium kaldes et medlem af et polynomium af standardform uden bogstavdel.

Med andre ord, hvis et polynomium af standardform indeholder et tal, kaldes det et frit medlem. For eksempel er 5 det frie led af polynomiet x 2 z+5, men polynomiet 7 a+4 a b+b 3 har ikke et frit led.

Grad af et polynomium - hvordan finder man det?

En anden vigtig relateret definition er definitionen af ​​graden af ​​et polynomium. Først definerer vi graden af ​​et polynomium af standardformen. Denne definition er baseret på graderne af monomierne, der er i dets sammensætning.

Definition.

Graden af ​​et polynomium af standardform er den største af potenserne af monomialerne, der er inkluderet i dens notation.

Lad os give eksempler. Graden af ​​polynomiet 5 x 3 −4 er lig med 3, da monomierne 5 x 3 og −4, der er inkluderet i det, har henholdsvis grader 3 og 0, det største af disse tal er 3, som er graden af ​​polynomiet per definition. Og graden af ​​polynomiet 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x lig med det største af tallene 2+3=5, 4+1=5 og 1, det vil sige 5.

Lad os nu finde ud af, hvordan man finder graden af ​​et polynomium af enhver form.

Definition.

Graden af ​​et polynomium af vilkårlig form kald graden af ​​det tilsvarende polynomium af standardform.

Så hvis et polynomium ikke er skrevet i standardform, og du skal finde dets grad, skal du reducere det oprindelige polynomium til standardform og finde graden af ​​det resulterende polynomium - det vil være det påkrævede. Lad os se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Find graden af ​​polynomiet 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Løsning.

Først skal du repræsentere polynomiet i standardform:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2.

Det resulterende polynomium af standardform inkluderer to monomialer −2·a 2 ·b 2 ·c 2 og y 2 · z 2 . Lad os finde deres potenser: 2+2+2=6 og 2+2=4. Det er klart, at den største af disse potenser er 6, som per definition er potensen af ​​et polynomium af standardformen −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2, og derfor graden af ​​det oprindelige polynomium., 3 x og 7 af polynomiet 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Referencer.

• Algebra: lærebog for 7. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 17. udg., tilføje. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra og begyndelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebog. til almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; redigeret af A. B. Zhizhchenko. - 3. udg. - M.: Uddannelse, 2010.- 368 s. : syg. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.

Når man studerer emnet polynomier, er det værd at nævne separat, at polynomier forekommer i både standard- og ikke-standardformer. I dette tilfælde kan et polynomium af en ikke-standardform reduceres til en standardform. Faktisk vil dette spørgsmål blive diskuteret i denne artikel. Lad os forstærke forklaringerne med eksempler med en detaljeret trin-for-trin beskrivelse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Betydningen af ​​at reducere et polynomium til standardform

Lad os dykke lidt dybere ned i selve konceptet, handlingen - "at bringe et polynomium til en standardform."

Polynomier, som alle andre udtryk, kan transformeres identisk. Som et resultat opnår vi i dette tilfælde udtryk, der er identisk lig med det oprindelige udtryk.

Definition 1

Reducer polynomiet til standardform– betyder at erstatte det oprindelige polynomium med et tilsvarende polynomium af standardform, opnået fra det oprindelige polynomium ved hjælp af identiske transformationer.

En metode til at reducere et polynomium til standardform

Lad os spekulere over emnet præcis, hvilke identitetstransformationer der vil føre polynomiet til standardformen.

Definition 2

Ifølge definitionen består hvert polynomium af standardform af monomer af standardform og indeholder ikke lignende udtryk. Et polynomium af en ikke-standardform kan omfatte monomer af en ikke-standardform og lignende udtryk. Fra ovenstående udledes naturligvis en regel om, hvordan man reducerer et polynomium til en standardform:

• først og fremmest reduceres monomierne, der udgør et givet polynomium, til standardform;
• derefter gennemføres reduktionen af ​​tilsvarende medlemmer.

Eksempler og løsninger

Lad os i detaljer undersøge eksempler, hvor vi reducerer polynomiet til standardform. Vi vil følge reglen afledt ovenfor.

Bemærk, at nogle gange har vilkårene for et polynomium i den oprindelige tilstand allerede en standardform, og det eneste, der er tilbage, er at bringe lignende vilkår. Det sker, at der efter det første trin af handlinger ikke er sådanne vilkår, så springer vi over det andet trin. I generelle tilfælde er det nødvendigt at udføre begge handlinger fra reglen ovenfor.

Eksempel 1

Polynomier er givet:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Det er nødvendigt at bringe dem til en standardform.

Løsning

Lad os først overveje polynomiet 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : dens medlemmer har en standardform, der er ingen lignende termer, hvilket betyder, at polynomiet er specificeret i en standardform, og der kræves ingen yderligere handlinger.

Lad os nu se på polynomiet 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Det omfatter ikke-standard monomialer: 2 · a 3 · 0, 6 og − b · a · b 4 · b 5, dvs. vi skal bringe polynomiet til standardform, hvor det første trin er at transformere monomierne til standardform:

2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , således får vi følgende polynomium:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.

I det resulterende polynomium er alle termer standard, der er ingen lignende termer, hvilket betyder, at vores handlinger for at bringe polynomiet til standardform er fuldført.

Overvej det tredje givne polynomium: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Lad os bringe medlemmerne til standardform og få:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Vi ser, at polynomiet indeholder lignende medlemmer, lad os bringe lignende medlemmer:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Det givne polynomium 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 har således standardformen − x y + 1 .

Svar:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polynomiet er sat som standard;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

I mange problemer er handlingen med at reducere et polynomium til en standardform mellemliggende, når man søger efter et svar på stillede spørgsmål. Lad os overveje dette eksempel.

Eksempel 2

Polynomiet 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 er givet. 5 · z 2 + z 3 . Det er nødvendigt at bringe det til en standardform, angive dets grad og arrangere vilkårene for et givet polynomium i faldende grader af variablen.

Løsning

Lad os reducere vilkårene for det givne polynomium til standardformen:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Næste skridt Her er nogle lignende udtryk:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Vi har opnået et polynomium af standardform, som giver os mulighed for at udpege graden af ​​polynomiet (lig med den højeste grad af dets konstituerende monomialer). Naturligvis er den nødvendige grad 5.

Det eneste, der er tilbage, er at arrangere termerne i aftagende potenser af variablerne. Til dette formål omarrangerer vi blot vilkårene i det resulterende polynomium af standardform under hensyntagen til kravet. Således får vi:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Svar:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, mens graden af polynomiet – 5; som et resultat af at arrangere polynomiets vilkår i aftagende potenser af variablerne, vil polynomiet have formen: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter