Den relative position af 2 linjer i rummet. Linje i rummet - nødvendig information

Hvis to linjer skærer hinanden eller er parallelle, så ligger de i samme plan. Men i rummet kan to linjer placeres på en sådan måde, at de ikke ligger i samme plan, det vil sige, at der ikke er et plan, der passerer gennem begge disse linjer. Det er klart, at sådanne linjer ikke skærer eller er parallelle.

Tre tilfælde af mulig arrangement af to lige linjer betragtes i rummet. To lige linjer i rummet kan:

1. Lig i samme plan og hav et fælles punkt;

2. Lig i samme plan og har ingen fælles punkter;

Læg dig ikke i samme plan og har derfor ikke fælles punkter.

Definition: To linjer siges at skære hinanden, hvis de har et fælles punkt.

Definition: To linjer kaldes parallelle, hvis de ligger i samme plan og ikke har fælles punkter eller er sammenfaldende.

Definition: To linjer kaldes skæv, hvis de ikke skærer hinanden og ikke er parallelle (ligger ikke i samme plan).

Betegnelse:en · b

TEGN PÅ KRYDELSE AF LIGE LINIER

Sætning: Hvis en af ​​to linjer ligger i et plan, og den anden skærer dette plan i et punkt, der ikke hører til den første linje, så skærer disse linjer.

Givet: ; ; .

Bevise:en · b

Bevis: (i modsigelse)

Lad os antage det modsatte af det, vi ønsker at bevise, det vil sige, at disse linjer skærer eller er parallelle: .

Et enkelt plan kan tegnes gennem to skærende eller parallelle linjer, derfor er der et bestemt plan, hvori disse linjer ligger: .

Ifølge sætningens betingelser.

Ved antagelse.

Af sætningens betingelser og af antagelsen følger det, at begge planer går gennem den rette linie "a" og punktet M, der ikke hører til. Og da der kun kan tegnes et plan gennem den rette linje og a punkt, der ikke hører til det, derfor falder flyene sammen. .

Ved antagelse.

Efter betingelse.

Vi fik en modsigelse med betingelserne for sætningen, derfor er antagelsen ikke sand, men det, der skulle bevises, er sandt, det vil sige, linjerne skærer hinanden: a · b.

Husk, at vinklen mellem skærende linjer er vinklen mellem parallelle linjer, der går gennem et punkt. Med andre ord, hvis lige l o og l 1 krydses, så skal vi lave en paralleloversættelse af linjen l o , så det viser sig at være en ret linje l o ¢ skærer med l 1, og mål vinklen mellem l o ¢ og l 1 .

To skæve linjer har en enkelt vinkelret til fælles. Dens længde kaldes afstanden mellem linjer.

Lad to linjer i rummet defineres ved deres kanoniske ligninger:

l o: = = , l 1: = = . (35)

Så kan vi straks konkludere, at ( -en 1 , -en 2 , -en 3)½½ l o, ( b 1 , b 2 , b 3)½½ l 1 , EN o ( x o, y o, z o)Î l o, EN 1 (x 1 , y 1 , z 1)О l 1 . Lad os skabe en matrix

x 1 – x o y 1 – y o z 1 –z o

EN = -en 1 -en 2 -en 3 ,

b 1 b 2 b 3

og lad D = det EN.

Sætning 8.1.Vinklen mellem l og p beregnes med formlen

fordi a = = . (36)

2. Lige l o og l 1 krydsningÛ D ≠ 0.

3. Lige l o og l 1 krydseÛ D = 0 og ikke collineær.

4. l o½½ l 1 rang EN= 2 og ½½.

5. l o = l 1 rang EN = 1.

Bevis. 1. Vinkel a mellem rette linjer l o og l 1 kan være lig med vinklen b mellem deres retningsvektorer eller kan støde op til den. I det første tilfælde

cos a = cos b = ,

og i det andet tilfælde

cos a = – cos b =½ cos b½ = .

Denne formel vil også gælde for det første tilfælde. Bemærk venligst, at tegningen ikke viser en ret linje l o , og linjen parallelt med den l o ¢.

2, 3. Tydeligvis lige l o og l 1 er ikke parallelle, hvis og kun hvis deres retningsvektorer ikke er kollineære. I dette tilfælde ligger de rette linjer i samme plan og skærer hinanden - vektorerne er koplanære - deres blandede produkt er lig med nul: = 0. Og i koordinater er dette nøjagtighedsprodukt lig med D.

Følgelig, hvis D ≠ 0, så er vektorerne ikke koplanære og derfor lige l o og l 1 ikke ligger i samme plan Þ de skærer hinanden.

4, 5. Hvis l o½½ l 1 eller l o = l 1, derefter ½. Men i det første tilfælde er vektoren ikke-kollineær og derfor den første række i matrixen EN ude af proportioner med anden og tredje linje. Så rang EN = 2.

I det andet tilfælde er alle tre vektorer kollineære til hinanden, og derfor alle rækker

i matrixen EN proportional. Så rang EN = 1.

Og omvendt hvis || , derefter lige l o og l 1 parallel eller sammenfaldende; i dette tilfælde den anden og tredje række af matrixen EN proportional. Hvis samtidig rang EN= 2, så er den første række i matrixen uforholdsmæssig med den anden og tredje, hvilket betyder, at vektoren er ikke-kollineær og Û l o || l 1 . Hvis rang EN= 1, så alle rækker i matrixen EN er proportionale, hvilket betyder, at alle tre vektorer er kolineære med hinanden Û l o = l 1 .

Sætning 9.Lad to lige linjer l o og l 1 i rummet er givet af deres kanoniske ligninger (35). Derefter

1. hvis l o½½ l 1 , derefter afstanden mellem l o og l 1 findes ved formlen

h = , (37)

2. hvis l o og l 1 kryds, så findes afstanden mellem dem ved formlen

h = . (38)

Bevis. 1. Lade l o½½ l 1 . Lad os plotte vektoren fra punktet EN o , og på vektorer, og vi vil konstruere et parallelogram. Så dens højde h vil være afstanden mellem l o og l 1 . Arealet af dette parallelogram er: S=½ ´½, og basen er ½ ½. Derfor

h = S/½ ½ = (37).

2. Lade l o og l 1 er krydset. Lad os tegne gennem en lige linje l o plan p o ½½ l 1, og gennem den lige linje l 1 tegn planet p 1½½ l o.

Derefter den fælles vinkelret på l o og l 1 vil være en fælles vinkelret på p o og p 1. Lad os plotte vektorerne og fra punktet EN o og på vektorer, og konstruer et parallelepipedum. Så ligger dens nederste base i p o-planet, og dens øverste base ligger i p 1-planet. Derfor vil højden af ​​parallelepipedet være en fælles vinkelret på p o og p 1, og dens værdi h vil være afstanden mellem l o og l 1 . Volumenet af parallelepipedet er ½ ½, og arealet af basen er ½´½ Þ

h= V/S grundlæggende = (38).

Følge. Afstand fra punkt A 1 (x 1 , y 1 , z 1) til lige linje l, givet af ligningen

beregnet med formlen (37).

Eksempler på problemløsning.

1. Givet koordinaterne for toppunkterne A(1,– 6), B(–3, 0), C(6, 9) trekant ABC. Skriv en ligning for en cirkel, der er omskrevet omkring en trekant.

Løsning. For at skabe ligningen for en cirkel, skal vi kende dens radius R og centerkoordinater OM(-en, b). Så ser ligningen sådan ud:

(x–-en) 2 +(y–b) 2 = R 2 .

Centrum af en cirkel, der er omskrevet omkring en trekant, er i skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer på siderne af denne trekant. Find koordinaterne for midtpunkterne M 1 (x 1 , y 1), og M 3 (x 3 , y 3) sider B.C. Og AB henholdsvis:

x 1 = = = , y 1 = = = , M 1 .

Ligeledes M 3 (–1,–3).

Lade l 3 – ret linje, som er den vinkelrette halveringslinje til AB, A l 1 til B.C.. Så = (– 4, 6) ^ l 3 og l 3 passerer igennem M 3. Derfor er dens ligning:

– 4(x+1) + 6(y+3) = 0.

Ligeledes = (9, 9)^ l 3. Derfor ligningen l 1:

9(x-) + 9(y -) = 0

x + y – 6 = 0.

Vi har OM =l 1 I l 3. Derfor for at finde koordinaterne til et punkt OM det er nødvendigt at løse ligningerne sammen l 1 og l 3:

x + y – 6 = 0 ,

– 4x + 6y +14 = 0.

Lad os lægge den første ligning til den anden ligning, ganget med 4:

x + y – 6 = 0,

10y – 10 = 0.

Herfra y = 1, x = 5, O(5, 1).

Radius lig med afstanden fra OM til enhver af trekantens hjørner. Vi finder:

R =½½= = .

Så ligningen for en cirkel er:

(x – 5) 2 + (y–1) 2 = 65.

2. I retvinklet trekant ABC kendt ligning for et af benene 3x – 2y + 5 = 0, toppunktskoordinater C(–5,–5) og koordinaterne for den midterste O(– 3/2,–3)hypotenus AB. Find koordinater

hjørnerne A, B og koordinaterne til punktet E, symmetrisk med O i forhold til siden BC. Find koordinaterne for skæringspunktet for medianerne af trekanten ABC .

Løsning. Lad det ben, hvis ligning er givet os, være NE. Det er givet ved en generel ligning af formen

økse + ved + c = 0.

I denne ligning geometrisk betydning

koefficienter -en Og b er koordinaterne for den normale vektor ( -en, b). Derfor (3,-2)^ Sol.

Lad os lave ligningen for den vinkelrette l = O.D. til siden NE og find punktets koordinater D. Vektoren vil være parallel O.D., dvs. det er retningsvektoren for denne linje. Derudover kender vi punktets koordinater OM på denne lige linje. Opstilling af en parametrisk ligning l:

x = – + 3t, (*)

y = – 3 - 2t .

Vi har D = l jeg B.C.. Derfor, for at finde koordinaterne til dette punkt, skal vi løse ligningerne sammen l Og B.C.. Lad os erstatte x Og y fra Eq. l ind i ligningen B.C.:

3(– + 3t) –2(–3 -2t)+5 = 0,

– + 9t +6 +4t+5 = 0,

13t = –, t D= – .

Erstat det, vi fandt t ind i ligningen l og find punktets koordinater D(–3,–2). For at finde koordinaterne E Lad os huske den fysiske betydning af den parametriske ligning af en ret linje: den specificerer den retlinede og ensartet bevægelse. I vores tilfælde er udgangspunktet OM OE dobbelt så lang som segmentet OD. Hvis i løbet af tiden t D= – vi er kommet langt fra OM Før D, så vejen fra OM Før E vi passerer med tiden t E= 2t D= –1. Ved at erstatte denne værdi med (*), finder vi E(– 4,5;–1).

Prik D opdeler et segment B.C. i halv. Derfor

x D = , y D = .

Herfra finder vi

x B= 2xD– x C= –1, y B = 2y D – y C =1, B(–1, 1).

Ligeledes ved at bruge det faktum, at OM– midt AB, find punktets koordinater EN(-2,-7). Der er en anden mulig måde at løse dette problem på: fuldfør Δ ABC til et parallelogram.

Generelle formler opdele et segment i i denne forbindelse se sådan her ud:

x C = , y D = ,

hvis punkt MED opdeler et segment AB i forholdet l 1:l 2, dvs. ½ A.C.½:½ B.C.½=l 1:l 2.

Det er kendt, at medianernes skæringspunkt deler medianen i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. I vores tilfælde R deler CO i forholdet 2:1. Derfor

x P = = = – ,

yP = = = – .

Svar:EN(–2,–7), B(–1, 1), P.

3. Givet koordinaterne for toppunkterne A(– 4,–2), B(9, 7), C(2,– 4)trekant ABC. Komponer den generelle ligning for halveringslinjen AD og find koordinaterne for punkt D.

Løsning. Fra forløbet af elementær matematik ved man, at = . Vi beregner

(13, 9), (6,–2);

½½= = 5, ½½= = 2.

x D = = = 4,

y D = = = – , D(4,–).

Vi sammensætter ligningen af ​​en ret linje, der går gennem punkterne EN Og D. For hende er vektoren en guide. Men vi kan tage enhver collineær vektor som en guide. For eksempel vil det være praktisk at tage = , (7, 1). Derefter ligningen

AD: = y+ 2 Û x – 7y– 10 = 0.

Svar:D(4,–), AD: x – 7y– 10 = 0.

4. Givet ligningerne for to medianer x – y– 3 = 0, 5x + 4y– 9 = 0 trekant ABC og koordinater til top A(– 1, 2). Skriv en ligning for den tredje median.

Løsning. Først skal vi sikre os, at pointen EN hører ikke til disse medianer. Medianerne af en trekant skærer hinanden i et punkt M. Derfor er de inkluderet i bundtet af linjer, der passerer igennem M. Lad os lave en ligning for denne stråle:

l( x – y– 3) + m(5 x + 4y– 9) = 0.

Koefficienterne l og m bestemmes op til proportionalitet; derfor kan vi antage, at m = 1 (hvis m = 0, så angiver stråleligningen kun den første median, og den ønskede rette linje falder ikke sammen med den). Vi får stråleligningen:

(l + 5) x+ (–l + 4) y– 3l – 9 = 0.

Fra denne stråle skal vi vælge en lige linje, der går gennem punktet EN(- 12). Lad os erstatte dens koordinater i stråleligningen:

– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,

– 6l – 6 = 0, l = –1.

Vi erstatter den fundne værdi af l i stråleligningen og opnår den ønskede medianligning:

4x + 5y– 6 = 0.

Svar: 4x + 5y– 6 = 0.

5. Givet koordinaterne for hjørnerne af den trekantede pyramide SABC: EN(–3, 7, 1), B(–1, 9, 2), C(–3, 6, 6) S(6,–5,–2). Skriv ligningen for grundplanen ABC og ligningen for højden SD. Find koordinaterne for punkt D og punkt S¢ , symmetrisk S i forhold til basens plan.

Løsning. Lad os finde koordinaterne for to vektorer parallelt med planen af ​​grundfladen p = ABC:

= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).

Ligning for et fly, der passerer igennem dette punkt EN(x o, y o, z o) parallelt med to ikke-kollineære vektorer ( -en 1 ,-en 2 , -en 3), (b 1 ,b 2 , b 3) har formen

x – x o y – y o z – z o

-en 1 -en 2 -en 3 = 0.

b 1 b 2 b 3

Vi erstatter vores data i denne ligning:

x + 3 y – 7 z – 1

2 2 1 = 0.

0 –1 5

Vi udvider determinanten:

Ud fra planens ligning finder vi, at vektoren (11,–10,–2) er normalvektoren til planet. Den samme vektor vil være guiden for den lige linje h = SD. Parametrisk ligning for en linje, der går gennem et givet punkt EN(x o, y o, z o) med en retningsvektor ( -en 1 ,-en 2 , -en 3) har formen

x = x o + -en 1 t ,

y = y o + -en 2 t ,

z = z o + -en 3 t .

I vores tilfælde får vi ligningen:

x = 6 + 11t ,

h: y = –5 – 10t , (*)

z = –2 – 2t .

Lad os finde bunden af ​​vinkelret. Dette er skæringspunktet for linjen med planet p. For at gøre dette skal vi løse ligningerne og p sammen. Substituere fra ligningen l ind i π-ligningen:

11(6 + 11t) – 10(–5 – 10 t) – 2(–2 – 2t) + 105 = 0,

66 + 121 t + 50 + 100 t + 4 + 4 t + 105 = 0,

225 y = –225, t = –1.

Fundet t erstatte i ligningen l og find koordinaterne D(–5, 5, 0).

Lad os huske den fysiske betydning af den parametriske ligning af en ret linje: den specificerer retlinet og ensartet bevægelse. I vores tilfælde er udgangspunktet S, er hastighedsvektoren. Linjestykke SS¢dobbelt så lang som segmentet SD og det vil tage dobbelt så lang tid at fuldføre det. Hvis i løbet af tiden t D= – 1 er vi gået fra S Før D, så vejen fra S Før S¢ vi passerer i tide t¢= 2 t D= –2. Ved at erstatte denne værdi med (*), finder vi S¢(–16, 15; 2).

Svar:ABC: 11x – 10y– 2z +105 = 0, D(–5, 5, 0), S¢(–16, 15; 2),

x = 6 + 11t ,

SD: y = –5 – 10t ,

z = –2 – 2t .

6. Givet er ligningerne for den rette linie l i planen p:

Sørg for, at l og p skærer hinanden, og skriv projektionsligningen for l¢ lige linie l til planet. Find vinklen mellem l og p .

Løsning. Ud fra en linjes ligning finder vi dens retningsvektor: (1,–1, 2) og et punkt på denne linje: EN(6, 0, 2), og fra planens ligning - vektornormalen til planet:

(5,–2, 4). Det er klart, hvis l½½ p eller , så ^ dvs. · = 0. Lad os tjekke:

· = 5 1 – 2 (–1) + 4 2 = 15 ¹ 0.

Midler, l skærer π. Vinkel mellem l og p findes ved formlen:

synd -en = ;

|| = = , || = = = 3 .

synd -en = = .

Lade EN o – punktprojektion EN på et fly, og B = l jeg π . Derefter l¢= EN o B er en projektion af en ret linje. Lad os først finde koordinaterne for punktet B. For at gøre dette omskriver vi ligningen for den rette linje l i parametrisk form:

x = 6 + t,

l: y = – t,

z = 2 + 2t,

og løse det sammen med flyets ligning π . Substituere fra ligningen l ind i ligningen π :

5(6 + t) – 2(– t) + 4(2 + 2t) + 7 = 0,

30 + 5t + 2t + 8 + 8t + 7 = 0,

15t = – 45, t = – 3.

Erstatter dette t ind i ligningen l find koordinaterne B(3, 3, 4). Lad os lave ligningen for den vinkelrette h = A.A. o. For lige h vektoren fungerer som en guide. Derfor h givet af ligningen

x = 6 + 5t,

h: y = –2 t,

z = 2 + 4t,

Vi løser det sammen med π-planens ligning for at finde punktets koordinater EN o:

5(6 + 5t) – 2(–2t) + 4(2 + 4t) + 7 = 0,

30 + 25t + 4t + 8 + 16t + 7 = 0,

45t = – 45, t = – 1.

Lad os erstatte dette t ind i ligningen h og vi finder EN o (1, 2,–2). Find linjens retningsvektor l": EN o B(2, 1,–2) og få dens ligning:

.

7. Den rette linie l i rummet er givet ved et ligningssystem

2x+2y– z– 1=0,

4x– 8y+ z – 5= 0,

og koordinaterne for punkt A er givet(–5,6,1). Find koordinaterne for punkt B, symmetrisk med A i forhold til lige linje l.

Løsning. Lade P– bunden af ​​en vinkelret faldet fra et punkt EN direkte l. Først finder vi koordinaterne for punktet P. For at gøre dette vil vi lave en ligning for planen p, der passerer gennem punktet EN vinkelret på planerne p 1 og p 2. Vi finder normalvektorerne til disse planer: (2, 2,–1), (4,–8, 1). For fly p vil de være guider. Derfor er ligningen for dette plan:

x + 5 y – 6 z – 1

2 2 –1 = 0.

4 –8 1

– 6(x + 5) – 6(y – 6) –24(z – 1) = 0 .

Før du åbner parentesen, skal du sørge for at

Først divider du hele ligningen med – 6:

x + 5 + y – 6 + 4(z – 1) = 0,

x+ y+ 4z – 5 = 0.

Nu P– skæringspunktet for planerne p, p 1 og p 2. For at finde dens koordinater skal vi løse et system, der består af ligningerne for disse planer:

x + y + 4z – 5 = 0,

4x – 8y + z – 5 = 0,

2x + 2y – z – 1 = 0.

At løse det ved hjælp af Gauss-metoden, finder vi P(1,0,1). Dernæst ved at bruge det faktum, at P– midt AB vi finder punktets koordinater B(7,–6,1).

Fuldt stop P kan findes på anden måde, som tættest på EN punkt på en ret linje l. For at gøre dette er det nødvendigt at oprette en parametrisk ligning for denne linje. Hvordan det gøres, se opgaven 10 . For yderligere handlinger, se opgaven 8 .

8. I D ABC med toppunkter A(9, 5, 1), B(–3, 8, 4), C(9,–13,–8) højde AD tegnes. Find koordinaterne for punkt D, skriv ligningen for linje AD, beregn h=½ AD½ og kontroller h ved at beregne S D ABC ved hjælp af krydsprodukt.

Løsning. Det er klart pointen D kan findes sådan her: D= π I B.C., hvor π er det plan, der passerer gennem punktet EN vinkelret på siden B.C.. For dette plan tjener som normalvektor. Vi finder (12,–21,–12). Koordinaterne for denne vektor er fuldstændigt delelige med 3. Derfor kan vi som normalvektor til p tage = , (4,–7,–4). Ligning for planen π, der går gennem et punkt EN o ( x o, y o, z o) vinkelret på vektoren ( -en, b, c), har formen:

-en(x – x o) + b(y – y o) + c(z – z o) = 0.

I vores tilfælde:

4(x – 9) - 7(y – 5) - 4(z – 1) = 0,

4x - 7y - 4z + 3 = 0,

Lad os lave en ligning af en ret linje B.C.. For hende vil vektoren være en guide:

x = –3 + 4t,

B.C.: y = 8 – 7t, (*)

z = 4 – 4t,

Fordi D= π I B.C., for at finde koordinaterne for et punkt D ligninger skal løses sammen π Og B.C.. Substituere fra ligningen B.C. ind i π-ligningen:

4(–3 + 4t) – 7(8 – 7t) – 4(4 – 4t) + 3 = 0,

–12 + 16 t – 56 + 49t – 16 + 16 t + 3 = 0,

81t = 81, t = 1.

Lad os erstatte dette t ind i en linjes ligning B.C. og vi finder D(1, 1, 0). Dernæst at kende punkternes koordinater EN Og D, sammensætter vi ligningen for den rette linje AD Vi beregner afstanden mellem punkter ved hjælp af formlen:

i j k i j k

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(– jeg + 4j– 8k) .

0 –18 –9 0 2 1

(I beregningsprocessen brugte vi egenskaben for determinanten: den fælles faktor for elementerne i en række kan tages ud af determinantens fortegn).

SΔ ABC= · 27 = .

På den anden side er S Δ ABC = | |· h. Herfra h= . Vi finder

Derfor h= 9. Dette svarer til det tidligere fundne svar.

Fuldt stop D kan findes nærmest EN punkt på en ret linje B.C. ved hjælp af differentialregningsmetoder. Lade M(t) – vilkårligt punkt på en ret linje B.C.; dens koordinater bestemmes af systemet (*):

M(–3 + 4t, 8 – 7t, 4 – 4t).

Find den kvadratiske afstand fra et punkt EN Før M(t):

h 2 (t) = (9 + 3 – 4t) 2 + (5 – 8 + 7t) 2 + (1 – 4 + 4t) 2

= (12 – 4t) 2 + (–3 + 7t) 2 + (–3 + 4t) 2 =

144 – 96t + 16t 2 + 9 – 42t + 49t 2 + 9 – 24t + 16t 2 =

81t 2 – 162t + 162.

Vi finder mindste værdi funktioner h 2 (t) ved hjælp af den afledede:

h 2 (t) = 162t – 162; h 2 (t) = 0 Þ t = 1.

Erstat denne værdi t ind i en linjes ligning B.C. og det finder vi D(1, 1, 0) er tættest på EN punkt på en linje B.C..

9. Undersøg den relative position af følgende flypar(skære hinanden, parallelt, falde sammen). Hvis planerne skærer hinanden, så find vinklen mellem dem, hvis de er parallelle – afstand mellem dem.

EN). p1:2 y+ z + 5 = 0, p 2: 5 x + 4y– 2z +11 = 0.

Løsning. Hvis planerne p 1 og p 2 får deres egne generelle ligninger

-en 1 x + b 1 y + c 1 z+ d 1 = 0, -en 2 x + b 2 y + c 2 z+ d 2 = 0,

p 1 ½½ p 2 Û = = ¹ ,

p 1 = p 2 Û = = = .

I vores tilfælde ¹ ¹, så planerne er ikke parallelle og falder ikke sammen. Det betyder, at de krydser hinanden. Vinklen mellem planerne beregnes med formlen

cos -en = ,

hvor og er de normale vektorer til disse planer. I vores tilfælde

(0, 2, 1), (5, 4,–2), = 0,5 + 2,4 + 1·(–2);

|| = = , || = = 3 .

Så pga -en = = .

Svar: a = arccos.

b) p1: x – y+ 2z + 8 = 0,

p2:2 x – y+ 4z –12 = 0.

Løsning. Kontrol for parallelitet eller tilfældighed:

Det betyder p 1 ½½ p 2 men p 1 ¹ p 2 . Afstand fra punkt EN(x, y, z) til planen angivet af ligningen findes af formlen

h = .

Lad os vælge et punkt ENОp 1. For at gøre dette skal du vælge tre koordinater, der opfylder ligningen p 1. I vores tilfælde er den enkleste ting: EN o (0, 8, 0). Afstand fra EN o til p 2 og vil være afstanden mellem p 1 og p 2:

h = = .

10. Lav en ligning af flyet p, som halverer en af ​​de dihedriske vinkler mellem planer

p1:2 x– y+ 2= 0, p 2: 5 x+ 4y– 2z–14 = 0,

som indeholder dette punkt A(0, 3,–2). Opstil en parametrisk ligning af lige linje l = s 1 I s 2 ;

Løsning. Hvis punktet ligger på planet p, som halverer den dihedrale vinkel, så er afstandene h 1 og h 2 fra dette punkt til p 1 og til p 2 er ens.

Vi finder disse afstande og sidestiller dem:

Vi kan åbne moduler med samme eller forskellige tegn. Derfor kan vi få 2 svar, fordi... p 1 og p 2 danner to dihedral vinkel. Men betingelsen kræver, at man finder ligningen for det plan, der halverer den vinkel, hvori punktet er placeret EN. Altså punktets koordinater M når du substituerer i venstre side af ligningerne for disse planer s 1 og skal have samme fortegn som punktets koordinater EN. Det er nemt at kontrollere, at disse tegn er for p 1 og "+" for p 2. Derfor udvider vi det første modul med et "–"-tegn, og det andet med et "+"-tegn:

3(-2x + y- 2) = 5x+ 4y– 2z–14,

p:11 x + y - 2z - 14 = 0.

For at skabe en ligning af en ret linje l, skal vi finde retningsvektoren for denne linje og punktet på den.

Ud fra ligningerne p 1 og p 2 finder vi koordinaterne for normalvektorerne til disse planer: (2,–1, 0), (5, 4,–2). Direkte vektor l vinkelret og Dette kan findes ved hjælp af vektorproduktet (per definition, hvis = ´, så ^ og ^):

= ´ = 2 –1 0 = 2 jeg + 4j+ 13k .

For at finde koordinaterne til et punkt på en linje skal vi finde en bestemt løsning til ligningssystemet

Da der er to ligninger og tre ubekendte, har systemet et uendeligt antal løsninger. Alt vi skal gøre er at vælge en. Den nemmeste måde er at sætte x= 0 og så finder vi

Þ z = – 3, .

Kanonisk ligning lige linje, der går gennem et punkt B(x o, y o, z o) parallelt med vektoren ( -en 1 , -en 2 , -en 3), har formen:

I vores tilfælde har vi ligningen:

l: = = .

Svar: p: 11 x + y – 2z = 0, l: = = .

11. Givet ligningerne for to linjer i rummet:

x = –1 – t, x = –3 + 2t¢,

l 1: y = 6 + 2 t, l 2: y = –2 – 3t¢,

z = 5 + 2t, z = 3 – 2t¢.

Bevis, at disse linjer skærer hinanden og konstruerer en ligning for deres fælles vinkelret.

Løsning. Ud fra linjernes ligninger finder vi koordinaterne for deres retningsvektorer: (–1, 2, 2), (2,–3,–2) og punkterne l 1, hvilket betyder, at det er retningsvektoren for den fælles vinkelret på disse linjer. Vi har allerede fundet dens koordinater: (2, 2,–1). For at

skriv en ligning h vi skal finde koordinaterne for et punkt på denne linje. For at gøre dette vil vi lave en ligning for planet π, der går igennem l 1 og h. For hende vil vektorerne være guider, og ENÎp.

x – 1 y – 2 z – 1

– 6(x – 1) + 3(y – 2) – 6(z – 1) = 0.

– 2(x – 1) + (y – 2) – 2(z – 1) = 0.

p: –2 x + y – 2z + 2 = 0.

At finde skæringspunktet l 2 og π. For at gøre dette, fra ligningen l 2 erstatter vi π i ligningen:

–2(–3 + 2t¢) –2 + 3 t¢ – 2(3 – 2 t¢) + 2 = 0,

6 – 4t¢ – 2 – 3 t¢ – 6 – 4 t¢ + 2 = 0,

–7t¢= 0, t¢= 0.

Erstat det, vi fandt t¢ ind

I denne lektion vil vi give grundlæggende definitioner og teoremer om emnet parallelle linjer i rummet.
I begyndelsen af ​​lektionen vil vi overveje definitionen af ​​parallelle linjer i rummet og bevise sætningen, at gennem ethvert punkt i rummet er det muligt kun at tegne en linje parallel med en given. Dernæst beviser vi lemmaet om to parallelle linjer, der skærer et plan. Og med dens hjælp vil vi bevise sætningen om to linjer parallelt med en tredje linje.

Emne: Parallelisme af linjer og planer

Lektion: Parallelle linjer i rummet. Parallelisme af tre linjer

Vi har allerede studeret parallelle linjer i planimetri. Nu skal vi definere parallelle linjer i rummet og bevise de tilsvarende sætninger.

Definition: To linjer i rummet kaldes parallelle, hvis de ligger i samme plan og ikke skærer hinanden (fig. 1.).

Betegnelse for parallelle linjer: a || b.

1. Hvilke linjer kaldes parallelle?

2. Bevis, at alle linjer, der skærer to givne parallelle linjer, ligger i samme plan.

3. En linje skærer linjer AB Og B.C. i rette vinkler. Er linjerne parallelle? AB Og B.C.?

4. Geometri. Klasse 10-11: lærebog for studerende på almene uddannelsesinstitutioner (grundlæggende og specialiserede niveauer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. udgave, rettet og udvidet - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : syg.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller baseret på offentlige henvendelser eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.