Hvordan beviser man, at en lineær vinkel er en dihedral vinkel. Matematik lektionsnoter "Dihedral vinkel"

$\sorttriangleright$ Dihedral vinkel er en vinkel dannet af to halvplaner og en ret linje $a$, som er deres fælles grænse.

$\blacktriangleright$ For at finde vinklen mellem planerne $\xi$ og $\pi$ , skal du finde den lineære vinkel (og krydret eller lige) dihedral vinkel dannet af planerne $\xi$ og $\pi$:

Trin 1: lad $\xi\cap\pi=a$ (skæringslinjen for planerne). I planet $\xi$ markerer vi et vilkårligt punkt $F$ og tegner $FA\perp a$ ;

Trin 2: udfør $FG\perp \pi$ ;

Trin 3: ifølge TTP ($FG$ – vinkelret, $FA$ – skrå, $AG$ – projektion) har vi: $AG\perp a$ ;

Trin 4: Vinklen $\vinkel FAG$ kaldes den lineære vinkel på den dihedrale vinkel dannet af planerne $\xi$ og $\pi$ .

Bemærk, at trekanten $AG$ er retvinklet.
Bemærk også, at planet $AFG$ konstrueret på denne måde er vinkelret på begge planer $\xi$ og $\pi$ . Derfor kan vi sige det anderledes: vinkel mellem planer$\xi$ og $\pi$ er vinklen mellem to skærende linjer $c\in \xi$ og $b\in\pi$, der danner et plan vinkelret på og $\xi\ ), og \(\pi$ .

Opgave 1 #2875

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Givet en firkantet pyramide, hvis alle kanter er lige store, og bunden er en firkant. Find $6\cos \alpha$ , hvor $\alpha$ er vinklen mellem dens tilstødende sideflader.

Lad $SABCD$ være en given pyramide ($S$ er et toppunkt), hvis kanter er lig med $a$ . Derfor er alle sideflader ens ligesidede trekanter. Lad os finde vinklen mellem fladerne $SAD$ og $SCD$ .

Lad os gøre $CH\perp SD$ . Fordi $\triangle SAD=\triangle SCD$, så vil $AH$ også være højden af $\triangle SAD$ . Derfor er $\angle AHC=\alpha$ per definition den lineære vinkel af den dihedriske vinkel mellem fladerne $SAD$ og $SCD$ .
Da grundfladen er et kvadrat, så er $AC=a\sqrt2$ . Bemærk også, at $CH=AH$ er højden af en ligesidet trekant med siden $a$, derfor $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ .
Derefter ved cosinussætningen fra $\trekant AHC$: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Svar: -2

Opgave 2 #2876

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Planerne $\pi_1$ og $\pi_2$ skærer hinanden i en vinkel, hvis cosinus er lig med $0,2$. Planerne $\pi_2$ og $\pi_3$ skærer hinanden i rette vinkler, og skæringslinjen for planerne $\pi_1$ og $\pi_2$ er parallel med skæringslinjen for planerne $\pi_2$ og $\ pi_3$ . Find sinus for vinklen mellem planerne $\pi_1$ og $\pi_3$ .

Lad skæringslinjen for $\pi_1$ og $\pi_2$ være en ret linje $a$, skæringslinjen for $\pi_2$ og $\pi_3$ være en ret linje linje $b$, og skæringslinjen $\pi_3$ og $\pi_1$ – lige linje $c$ . Siden $a\parallel b$ , så $c\parallel a\parallel b$ (ifølge sætningen fra afsnittet i den teoretiske reference "Geometri i rummet" $\højrepil$ "Introduktion til stereometri, parallelitet").

Lad os markere punkterne $A\i a, B\i b$ så $AB\perp a, AB\perp b$ (dette er muligt siden $a\parallel b$ ). Lad os markere $C\in c$ så $BC\perp c$ , derfor $BC\perp b$ . Derefter $AC\perp c$ og $AC\perp a$ .
Faktisk, da $AB\perp b, BC\perp b$ , så er $b$ vinkelret på planet $ABC$ . Da $c\parallel a\parallel b$, så er linjerne $a$ og $c$ også vinkelrette på planet $ABC$, og derfor på enhver linje fra dette plan, især , linjen \ (AC\) .

Den følger det $\vinkel BAC=\vinkel (\pi_1, \pi_2)$, $\vinkel ABC=\vinkel (\pi_2, \pi_3)=90^\cirkel$, $\vinkel BCA=\vinkel (\pi_3, \pi_1)$. Det viser sig, at $\trekant ABC$ er rektangulær, hvilket betyder \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Svar: 0,2

Opgave 3 #2877

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Givet rette linjer $a, b, c$, der skærer hinanden i et punkt, og vinklen mellem to af dem er lig med $60^\circ$ . Find $\cos^(-1)\alpha$ , hvor $\alpha$ er vinklen mellem planen dannet af linjer $a$ og $c$ og planen dannet af linjer $ b$ og $c$ . Giv dit svar i grader.

Lad linjerne skære hinanden i punktet $O$ . Da vinklen mellem to af dem er lig med $60^\cirkel$, kan alle tre rette linjer ikke ligge i samme plan. Lad os markere punktet $A$ på linjen $a$ og tegne $AB\perp b$ og $AC\perp c$ . Derefter $\triangle AOB=\triangle AOC$ som rektangulær langs hypotenusen og den spidse vinkel. Derfor $OB=OC$ og $AB=AC$ .
Lad os gøre $AH\perp (BOC)$ . Derefter ved sætningen om tre perpendikulære $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . Siden $AB=AC$ , så $\trekant AHB=\trekant AHC$ som rektangulær langs hypotenusen og benet. Derfor $HB=HC$ . Det betyder, at $OH$ er halveringslinjen for vinklen $BOC$ (da punktet $H$ er lige langt fra vinklens sider).

Bemærk, at vi på denne måde også konstruerede den lineære vinkel af den dihedriske vinkel dannet af planet dannet af linjerne $a$ og $c$ og planet dannet af linjerne $b$ og $c $ . Dette er vinklen $ACH$ .

Lad os finde denne vinkel. Da vi valgte punktet $A$ vilkårligt, så lad os vælge det således, at $OA=2$ . Derefter i rektangulær $\triangle AOC$: \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Da $OH$ er en halveringslinje, så er $\vinkel HOC=30^\cirkel$ , derfor i en rektangulær $\trekant HOC$ : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Derefter fra den rektangulære $\trekant ACH$: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Svar: 3

Opgave 4 #2910

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Planerne $\pi_1$ og $\pi_2$ skærer langs den rette linje $l$, hvorpå punkterne $M$ og $N$ ligger. Segmenterne $MA$ og $MB$ er vinkelrette på den rette linie $l$ og ligger i henholdsvis planerne $\pi_1$ og $\pi_2$, og $MN = 15 $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Find $3\cos\alpha$ , hvor $\alpha$ er vinklen mellem planerne $\pi_1$ og $\pi_2$ .

Trekanten $AMN$ er retvinklet, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, hvorfra \ Trekanten $BMN$ er retvinklet, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, hvorfra \Vi skriver cosinussætningen for trekanten $AMB$: \ Derefter \ Da vinklen $\alpha$ mellem planerne er skarpt hjørne, og $\angle AMB$ viste sig at være stump, derefter $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ . Derefter \

Svar: 1,25

Opgave 5 #2911

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ er et parallelepipedum, $ABCD$ er et kvadrat med siden $a$, punktet $M$ er bunden af vinkelret faldet fra punktet $A_1$ til planet \ ((ABCD)\) , desuden er $M$ skæringspunktet mellem diagonalerne i kvadratet $ABCD$ . Det er kendt, at $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. Find vinklen mellem planerne $(ABCD)$ og $(AA_1B_1B)$ . Giv dit svar i grader.

Lad os konstruere $MN$ vinkelret på $AB$ som vist på figuren.

Da $ABCD$ er et kvadrat med siden $a$ og $MN\perp AB$ og $BC\perp AB$ , så $MN\parallel BC$ . Da $M$ er skæringspunktet for kvadratets diagonaler, så er $M$ midten af $AC$, derfor er $MN$ midterlinjen og $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$ er projektionen af $A_1N$ på planet $(ABCD)$, og $MN$ er vinkelret på $AB$, og derefter, ved sætningen af tre vinkelrette, \ (A_1N\) er vinkelret på $AB $ og vinklen mellem planerne $(ABCD)$ og $(AA_1B_1B)$ er $\vinkel A_1NM$ .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Svar: 60

Opgave 6 #1854

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

I en firkant $ABCD$ : $O$ – skæringspunktet for diagonalerne; $S$ – ligger ikke i kvadratets plan, $SO \perp ABC$ . Find vinklen mellem planerne $ASD$ og $ABC$ hvis $SO = 5$ og $AB = 10$ .

Rette trekanter $\triangle SAO$ og $\triangle SDO$ er lige store i to sider og vinklen mellem dem ($SO \perp ABC$ $\Højrepil$ $\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ$; $AO = DO$ , fordi $O$ – skæringspunktet for kvadratets diagonaler, $SO$ – fælles side) $\Højrepil$ $AS = SD$ $\Højrepil$ $\trekant ASD\ ) – ligebenet. Punkt \(K$ er midten af $AD$, så er $SK$ højden i trekanten $\trekant ASD$, og $OK$ er højden i trekanten $ AOD$ $\ Højrepil$ plan $SOK$ er vinkelret på planerne $ASD$ og $ABC$ $\Højrepil$ $\vinkel SKO$ – lineær vinkel lig med den ønskede dihedral vinkel.

I $\triangle SKO$: $OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\Højrepil$ $\trekant SOK$ – ligebenet retvinklet trekant $\Højrepil$ $\vinkel SKO = 45^\cirkel$ .

Svar: 45

Opgave 7 #1855

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

I en firkant $ABCD$ : $O$ – skæringspunktet for diagonalerne; $S$ – ligger ikke i kvadratets plan, $SO \perp ABC$ . Find vinklen mellem planerne $ASD$ og $BSC$ hvis $SO = 5$ og $AB = 10$ .

Retvinklede trekanter $\triangle SAO$ , $\triangle SDO$ , $\triangle SOB$ og $\triangle SOC$ er lige store i to sider og vinklen mellem dem ($SO \perp ABC $ $\Højre pil$ $\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ$; $AO = OD = OB = OC$, fordi $O$ – skæringspunktet for kvadratets diagonaler, $SO$ – fælles side) $\Højrepil$ $AS = DS = BS = CS$ $\Højrepil$ $ \triangle ASD$ og $\triangle BSC$ er ligebenede. Punkt $K$ er midten af $AD$, så er $SK$ højden i trekanten $\trekant ASD$, og $OK$ er højden i trekanten $ AOD$ $\ Højrepil$ plan $SOK$ er vinkelret på plan $ASD$ . Punkt $L$ er midten af $BC$, så er $SL$ højden i trekanten $\trekant BSC$, og $OL$ er højden i trekanten $ BOC$ $\ Højrepil$ plan $SOL$ (alias plan $SOK$) er vinkelret på planet $BSC$ . Således opnår vi, at $\vinkel KSL$ er en lineær vinkel lig med den ønskede dihedriske vinkel.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\Højrepil$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – lige høje ligebenede trekanter, som kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. Det kan man mærke $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$$\Højrepil$ for en trekant $\trekant KSL$ indeholder den omvendte Pythagoras sætning $\Højrepil$ $\trekant KSL$ – retvinklet $\Højrepil$ $\vinkel KSL = 90 ^\ cirk$ .

Svar: 90

Forberedelse af elever til at tage Unified State-eksamen i matematik begynder som regel med at gentage grundlæggende formler, herunder dem, der giver dig mulighed for at bestemme vinklen mellem fly. På trods af det faktum, at dette afsnit af geometri er dækket tilstrækkeligt detaljeret inden for skolepensum, skal mange kandidater gentage grundmateriale. Ved at forstå, hvordan man finder vinklen mellem fly, vil gymnasieelever hurtigt kunne beregne det rigtige svar, når de løser et problem, og regne med at modtage anstændige score på resultaterne af at bestå den unified state-eksamen.

Vigtigste nuancer

For at sikre, at spørgsmålet om, hvordan man finder en dihedral vinkel, ikke forårsager vanskeligheder, anbefaler vi at følge en løsningsalgoritme, der vil hjælpe dig med at klare Unified State Examination-opgaver.

Først skal du bestemme den lige linje, langs hvilken flyene skærer hinanden.

Derefter skal du vælge et punkt på denne linje og tegne to vinkelrette på det.

Næste skridt- at finde trigonometrisk funktion dihedral vinkel dannet af perpendikulære. Den mest bekvemme måde at gøre dette på er ved hjælp af den resulterende trekant, som vinklen er en del af.

Svaret vil være værdien af vinklen eller dens trigonometriske funktion.

Forberedelse til eksamensprøven med Shkolkovo er nøglen til din succes

Under undervisningen dagen før bestå Unified State-eksamenen Mange skolebørn står over for problemet med at finde definitioner og formler, der giver dem mulighed for at beregne vinklen mellem 2 planer. En skolebog er ikke altid lige ved hånden, når det er nødvendigt. Og for at finde de nødvendige formler og eksempler på deres korrekte anvendelse, herunder for at finde vinklen mellem fly på internettet online, skal du nogle gange bruge meget tid.

Shkolkovo matematiske portal tilbyder en ny tilgang til at forberede sig til statseksamenen. Klasser på vores hjemmeside vil hjælpe eleverne med at identificere de sværeste sektioner for sig selv og udfylde huller i viden.

Vi har forberedt og tydeligt præsenteret alt påkrævet materiale. Grundlæggende definitioner og formler er præsenteret i afsnittet "Teoretisk information".

For bedre at forstå materialet foreslår vi også at øve de passende øvelser. Et stort udvalg af opgaver af forskellig grad af kompleksitet, for eksempel på, præsenteres i afsnittet "Katalog". Alle opgaver indeholder en detaljeret algoritme til at finde det rigtige svar. Listen over øvelser på siden bliver løbende suppleret og opdateret.

Mens de øver sig i at løse problemer, der kræver at finde vinklen mellem to planer, har eleverne mulighed for at gemme enhver opgave online som "Favoritter". Takket være dette vil de være i stand til at vende tilbage til det så mange gange som nødvendigt og diskutere fremskridtene med dets løsning med skole lærer eller en underviser.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Når du indsender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller baseret på offentlige henvendelser eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Koncept af dihedral vinkel

For at introducere begrebet en dihedral vinkel, lad os først huske et af stereometriens aksiomer.

Ethvert plan kan opdeles i to halvplaner af linjen $a$, der ligger i dette plan. I dette tilfælde er punkter, der ligger i samme halvplan, placeret på den ene side af den lige linje $a$, og punkter, der ligger i forskellige halvplaner, er på samme side. forskellige sider fra lige linie $a$ (fig. 1).

Billede 1.

Princippet om at konstruere en dihedral vinkel er baseret på dette aksiom.

Definition 1

Figuren hedder dihedral vinkel, hvis den består af en linje og to halvplaner af denne linje, der ikke hører til samme plan.

I dette tilfælde kaldes halvplanerne af den dihedrale vinkel kanter, og den rette linje, der adskiller halvplanerne er dihedral kant(Fig. 1).

Figur 2. Dihedral vinkel

Gradmål for dihedral vinkel

Definition 2

Lad os vælge et vilkårligt punkt $A$ på kanten. Vinklen mellem to rette linjer, der ligger i forskellige halvplaner, vinkelret på en kant og skærer i punktet $A$ kaldes lineær dihedral vinkel(Fig. 3).

Figur 3.

Det er klart, at hver dihedral vinkel har et uendeligt antal lineære vinkler.

Sætning 1

Alle lineære vinkler af en dihedral vinkel er lig med hinanden.

Bevis.

Lad os betragte to lineære vinkler $AOB$ og $A_1(OB)_1$ (fig. 4).

Figur 4.

Da strålerne $OA$ og $(OA)_1$ ligger i samme halvplan $\alpha $ og er vinkelrette på den samme rette linje, så er de codirectional. Da strålerne $OB$ og $(OB)_1$ ligger i samme halvplan $\beta $ og er vinkelrette på den samme rette linje, så er de codirectional. Derfor

\[\vinkel AOB=\vinkel A_1(OB)_1\]

På grund af vilkårligheden af valget af lineære vinkler. Alle lineære vinkler af en dihedral vinkel er lig med hinanden.

Sætningen er blevet bevist.

Definition 3

Gradmålet for en dihedral vinkel er gradmålet for den lineære vinkel af en dihedral vinkel.

Prøveproblemer

Eksempel 1

Lad os få to ikke-vinkelrette planer $\alpha $ og $\beta $, som skærer hinanden langs den rette linie $m$. Punkt $A$ hører til flyet $\beta$. $AB$ er vinkelret på linjen $m$. $AC$ er vinkelret på planet $\alpha $ (punkt $C$ tilhører $\alpha $). Bevis at vinkel $ABC$ er en lineær vinkel af en dihedral vinkel.

Bevis.

Lad os tegne et billede i henhold til betingelserne for problemet (fig. 5).

Figur 5.

For at bevise det skal du huske følgende teorem

Sætning 2: En lige linje, der går gennem bunden af en skrå linje, er vinkelret på den, vinkelret på dens projektion.

Da $AC$ er vinkelret på $\alpha $-planet, så er punktet $C$ projektionen af punktet $A$ på $\alpha $-planet. Derfor er $BC$ en projektion af den skrå $AB$. Ved sætning 2 er $BC$ vinkelret på kanten af den dihedrale vinkel.

Derefter opfylder vinkel $ABC$ alle kravene til at definere en lineær dihedral vinkel.

Eksempel 2

Den dihedriske vinkel er $30^\circ$. På den ene flade ligger et punkt $A$, som er placeret i en afstand af $4$ cm fra den anden flade. Find afstanden fra punktet $A$ til kanten af den dihedrale vinkel.

Løsning.

Lad os se på figur 5.

Efter betingelse har vi $AC=4\cm$.

Per definition af gradmålet for en dihedral vinkel har vi, at vinklen $ABC$ er lig med $30^\cirkel$.

Trekant $ABC$ er en retvinklet trekant. Ved definition af sinus af en spids vinkel

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Lektionens emne: "Dihedral vinkel."

Formålet med lektionen: introduktion af begrebet dihedral vinkel og dens lineære vinkel.

Opgaver:

Uddannelsesmæssigt: overveje opgaver vedrørende anvendelsen af disse begreber, udvikle den konstruktive færdighed til at finde vinklen mellem planer;

Udviklingsmæssigt: udvikling kreativ tænkning studerende, personlig selvudvikling af elever, udvikling af elevernes tale;

Uddannelsesmæssigt: pleje en kultur af mentalt arbejde, kommunikativ kultur, refleksiv kultur.

Lektionstype: lektion i at lære ny viden

Undervisningsmetoder: forklarende og illustrerende

Udstyr: computer, interaktiv tavle.

Litteratur:

Geometri. 10-11 klassetrin: lærebog. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etc.] - 18. udg. – M.: Uddannelse, 2009. – 255 s.

Lektionsplan:

Organisering af tid(2 minutter)

Opdatering af viden (5 min)

Lær nyt materiale (12 min)

Forstærkning af indlært materiale (21 min)

Hjemmearbejde (2 min)

Opsummering (3 min)

Under undervisningen:

1. Organisatorisk øjeblik.

Inkluderer at læreren hilser på klassen, forbereder lokalet til lektionen og kontrollerer fravær.

2. Opdatering af grundlæggende viden.

Lærer: I den sidste lektion du skrev selvstændigt arbejde. Generelt var værket godt skrevet. Lad os nu gentage det lidt. Hvad kaldes en vinkel i et plan?

Studerende: En vinkel på et plan er en figur dannet af to stråler, der udgår fra et punkt.

Lærer: Hvad kaldes vinklen mellem linjer i rummet?

Studerende: Vinklen mellem to skærende linjer i rummet er den mindste af de vinkler, der dannes af disse linjers stråler med toppunktet ved deres skæringspunkt.

Studerende: Vinklen mellem skærende linjer er vinklen mellem skærende linjer, henholdsvis parallelt med dataene.

Lærer: Hvad kaldes vinklen mellem en ret linje og et plan?

Studerende: Vinklen mellem en ret linje og et planEnhver vinkel mellem en ret linje og dens projektion på dette plan kaldes.

3. At lære nyt materiale.

Lærer: I stereometri betragtes sammen med sådanne vinkler en anden type vinkel - dihedrale vinkler. Du har sikkert allerede gættet, hvad emnet for dagens lektion er, så åbn dine notesbøger, skriv ned dagens dato og emnet for lektionen.

Skriv på tavlen og i notesbøger:

10.12.14.

Dihedral vinkel.

Lærer : For at introducere begrebet en dihedral vinkel skal det huskes, at enhver ret linje tegnet i et givet plan deler dette plan i to halvplaner(Fig. 1, a)

Lærer : Lad os forestille os, at vi har bøjet planet langs en ret linje, så to halvplaner med en grænse ikke længere ligger i samme plan (fig. 1, b). Den resulterende figur er den dihedrale vinkel. En dihedral vinkel er en figur dannet af en ret linje og to halvplaner med en fælles grænse, der ikke hører til samme plan. Halvplanerne, der danner en dihedral vinkel, kaldes dens flader. En dihedral vinkel har to sider, deraf navnet dihedral vinkel. Den rette linje - halvplanernes fælles grænse - kaldes kanten af den dihedrale vinkel. Skriv definitionen i din notesbog.

En dihedral vinkel er en figur dannet af en ret linje og to halvplaner med en fælles grænse, der ikke hører til samme plan.

Lærer : I hverdagen støder vi ofte på genstande, der har form af en dihedral vinkel. Giv eksempler.

Studerende : Halvåbnet mappe.

Studerende : Rummets væg er sammen med gulvet.

Studerende : Sadeltage på bygninger.

Lærer : Højre. Og der er et stort antal af sådanne eksempler.

Lærer : Vinkler i et plan måles som bekendt i grader. Du har sikkert et spørgsmål, hvordan måles dihedriske vinkler? Dette gøres som følger.Lad os markere et punkt på kanten af den dihedrale vinkel og tegne en stråle vinkelret på kanten fra dette punkt på hver side. Vinklen dannet af disse stråler kaldes den lineære vinkel på den dihedrale vinkel. Lav en tegning i dine notesbøger.

Skriv på tavlen og i notesbøger.

OM ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ -en, SABD– dihedral vinkel,∠ AOB– lineær vinkel på den dihedrale vinkel.

Lærer : Alle lineære vinkler i en dihedral vinkel er ens. Lav dig selv endnu en tegning som denne.

Lærer : Lad os bevise det. Overvej to lineære vinkler AOB ogPQR. Stråler OA ogQPligge på samme ansigt og er vinkelretteOQ, hvilket betyder, at de er co-directed. Tilsvarende vil strålerne OB ogQRco-instrueret. Midler,∠ AOB= ∠ PQR(som vinkler med justerede sider).

Lærer : Nå, nu er svaret på vores spørgsmål, hvordan den dihedrale vinkel måles.Gradmålet for en dihedral vinkel er gradmålet for dens lineære vinkel. Gentegn billederne af en spids, ret og stump dihedral vinkel fra lærebogen på side 48.

4. Konsolidering af det undersøgte materiale.

Lærer : Lav tegninger til opgaverne.

№ 1 . Givet: ΔABC, AC = BC, AB ligger i planetα, CD ⊥ α, C∉ α. Konstruer lineær vinkel af dihedral vinkelCABD.

Studerende : Løsning:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - søgte efter.

№ 2. Givet: ΔABC, ∠ C= 90°, BC ligger på planetα, JSC⊥ α, EN∈ α.

Konstruer lineær vinkel af dihedral vinkelABCO.

Studerende : Løsning:AB ⊥ B.C., JSC⊥ BC betyder OS⊥ Sol.∠ ACO - søgte efter.

№ 3 . Givet: ΔABC, ∠ C = 90°, AB ligger i planetα, CD⊥ α, C∉ α. Byglineær dihedral vinkelDABC.

Studerende : Løsning: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB betyder∠ DKC - søgte efter.

№ 4 . Givet:DABC- tetraeder,GØR⊥ ABC.Konstruer den lineære vinkel for den dihedrale vinkelABCD.

Studerende : Løsning:DM ⊥ sol,GØR ⊥ VS betyder OM⊥ Sol;∠ OMD - søgte efter.

5. Opsummering.

Lærer: Hvad nyt lærte du i klassen i dag?

Studerende : Hvad kaldes dihedral vinkel, lineær vinkel, hvordan måles dihedral vinkel.

Lærer : Hvad gentog de?

Studerende : Det man kalder en vinkel på et plan; vinkel mellem rette linjer.

6. Hjemmearbejde.

Skriv på tavlen og i dine dagbøger: paragraf 22, nr. 167, nr. 170.

Dihedral vinkel. Lineær dihedral vinkel. En dihedral vinkel er en figur dannet af to halvplaner, der ikke hører til samme plan og har en fælles grænse - ret linje a. Halvplanerne, der danner en dihedral vinkel, kaldes dens flader, og den fælles grænse for disse halvplaner kaldes kanten af den dihedriske vinkel. Den lineære vinkel af en dihedrisk vinkel er en vinkel, hvis sider er de stråler, langs hvilke siderne af den dihedriske vinkel skæres af et plan vinkelret på kanten af den dihedriske vinkel. Hver dihedral vinkel har et hvilket som helst antal lineære vinkler: gennem hvert punkt på en kant kan man tegne et plan vinkelret på denne kant; Strålerne, langs hvilke dette plan skærer fladerne af en dihedral vinkel, danner lineære vinkler.

Alle lineære vinkler i en dihedral vinkel er lig med hinanden. Lad os bevise, at hvis de dihedriske vinkler dannet af bunden af pyramiden CABC og planerne af dens laterale flader er ens, så er bunden af den vinkelrette trukket fra toppunktet K midten af den indskrevne cirkel i trekant ABC.

Bevis. Først og fremmest, lad os konstruere lineære vinkler med lige store dihedriske vinkler. Per definition skal planet af en lineær vinkel være vinkelret på kanten af den dihedrale vinkel. Derfor skal kanten af en dihedral vinkel være vinkelret på siderne af den lineære vinkel. Hvis KO er vinkelret på grundplanet, så kan vi tegne OR vinkelret AC, OR vinkelret SV, OQ vinkelret AB, og derefter forbinde punkterne P, Q, R MED punktet K. Således vil vi konstruere en projektion af skrå RK, QK , RK, så kanterne AC, NE, AB er vinkelrette på disse fremspring. Følgelig er disse kanter vinkelrette på de skrånende selv. Og derfor er planerne af trekanter ROK, QOK, ROK vinkelrette på de tilsvarende kanter af den dihedrale vinkel og danner de lige lineære vinkler, der er nævnt i betingelsen. Retvinklede trekanter ROK, QOK, ROK er kongruente (da de har et fælles ben OK og vinklerne modsat dette ben er lige store). Derfor er OR = OR = OQ. Hvis vi tegner en cirkel med centrum O og radius OP, så er siderne af trekanten ABC vinkelrette på radierne OP, OR og OQ og tangerer derfor denne cirkel.

Planernes vinkelrethed. Alfa- og betaplanerne kaldes vinkelrette, hvis den lineære vinkel på en af de dihedriske vinkler dannet ved deres skæringspunkt er lig med 90." Tegn på vinkelret på to planer Hvis et af de to planer passerer gennem en linje vinkelret på det andet plan, så er disse planer vinkelrette.

Figuren viser et rektangulært parallelepipedum. Dens baser er rektangler ABCD og A1B1C1D1. Og sideribberne AA1 BB1, CC1, DD1 er vinkelrette på baserne. Det følger heraf, at AA1 er vinkelret på AB, dvs. sidefladen er et rektangel. Det er således muligt at begrunde egenskaberne rektangulær parallelepipedum: I et rektangulært parallelepipedum er alle seks flader rektangler. I et rektangulært parallelepipedum er alle seks flader rektangler. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rette vinkler. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rette vinkler.

Sætning Square af diagonalen af en rektangulær parallelepipedum lig med summen kvadrater af dens tre dimensioner. Lad os vende igen til figuren og bevise, at AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Da kant CC1 er vinkelret på grundfladen ABCD, er vinklen ACC1 ret. Fra retvinklet trekant ACC1 ved hjælp af Pythagoras sætning får vi AC12=AC2+CC12. Men AC er en diagonal af rektangel ABCD, så AC2 = AB2 + AD2. Derudover er CC1 = AA1. Derfor AC12= AB2+AD2+AA12 Sætningen er bevist.