Et højre parallelepipedum med en firkantet base. Rektangulær parallelepipedum

Rektangulær parallelepipedum

Et rektangulært parallelepipedum er et ret parallelepipedum, hvor alle dets flader er rektangler.

Det er nok at se os omkring, og vi vil se, at genstandene omkring os har en form, der ligner et parallelepipedum. De kan skelnes efter farve, har mange yderligere detaljer, men hvis disse finesser kasseres, kan vi sige, at for eksempel et skab, en æske osv. har omtrent samme form.

Vi støder på konceptet med et rektangulært parallelepipedum næsten hver dag! Se dig omkring og fortæl mig, hvor du ser rektangulære parallelepipeder? Se bogen, den har nøjagtig samme form! En mursten, en tændstikæske, en træklods har samme form, og selv lige nu er du inde i et rektangulært parallelepipedum, fordi klasseværelset er den lyseste fortolkning af dette geometrisk figur.

Dyrke motion: Hvilke eksempler på parallelepiped kan du nævne?

Lad os se nærmere på kuben. Og hvad ser vi?

For det første ser vi, at denne figur er dannet af seks rektangler, som er flader af en kuboid;

For det andet har en kuboid otte hjørner og tolv kanter. Kanterne på en kuboid er siderne af dens flader, og spidserne af cuboiden er spidserne af fladerne.

Dyrke motion:

1. Hvad hedder hver af siderne på et rektangulært parallelepipedum? 2. Takket være hvilke parametre kan et parallelogram måles? 3. Definer modsatte ansigter.

Typer af parallelepipeder

Men parallelepipederne er ikke kun rektangulære, men de kan også være lige og skrånende, og lige linjer er opdelt i rektangulære, ikke-rektangulære og terninger.

Opgave: Se på billedet og sig hvilke parallelepipeder der er vist på det. Hvordan adskiller et rektangulært parallelepipedum sig fra en terning?

Egenskaber ved et rektangulært parallelepipedum

Et rektangulært parallelepipedum har en række vigtige egenskaber:

For det første er kvadratet på diagonalen af ​​denne geometriske figur lig med summen af ​​kvadraterne af dens tre hovedparametre: højde, bredde og længde.

For det andet er alle fire diagonaler helt identiske.

For det tredje, hvis alle tre parametre i et parallelepipedum er ens, det vil sige længden, bredden og højden er ens, så kaldes en sådan parallelepiped en terning, og alle dens flader vil være lig med det samme kvadrat.

Dyrke motion

1. Har et rektangulært parallelepipedum lige sider? Hvis der er nogen, så vis dem på figuren. 2. Hvilke geometriske former består flader af et rektangulært parallelepipedum af? 3. Hvad er arrangementet af lige kanter i forhold til hinanden? 4. Nævn antallet af par lige store flader på denne figur. 5. Find kanterne i et rektangulært parallelepipedum, der angiver dets længde, bredde, højde. Hvor mange talte du?

Opgave

For smukt at dekorere en fødselsdagsgave til sin mor tog Tanya en æske i form af et rektangulært parallelepipedum. Størrelsen på denne æske er 25cm*35cm*45cm. For at gøre denne emballage smuk, besluttede Tanya at dække den smukt papir, hvis omkostninger er 3 Hryvnia pr. 1 dm2. Hvor mange penge skal du bruge på indpakningspapir?

Ved du, at den berømte illusionist David Blaine tilbragte 44 dage i et glas parallelepipedum ophængt over Themsen som en del af et eksperiment. I disse 44 dage spiste han ikke, men drak kun vand. I sit frivillige fængsel tog David kun skrivemateriale, en pude og madras og lommetørklæder.

Da du var lille og legede med terninger, har du muligvis lavet figurerne vist i figur 154. Disse tal giver en idé om rektangulær parallelepipedum. For eksempel har en æske chokolade, en mursten, en tændstikæske, en emballageæske og en juiceæske form som et rektangulært parallelepipedum.

Figur 155 viser en rektangulær parallelepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Et rektangulært parallelepiped er begrænset af seks kanter. Hvert ansigt er et rektangel, dvs. Overfladen af ​​et rektangulært parallelepiped består af seks rektangler.

Siderne af ansigterne kaldes kanter af et rektangulært parallelepipedum, hjørner af ansigter − hjørner af et rektangulært parallelepipedum. For eksempel er segmenterne AB, BC, A 1 B 1 kanter, og punkterne B, A 1, C 1 er hjørner af den parallelepipedumformede ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (fig. 155).

Et rektangulært parallelepipedum har 8 spidser og 12 kanter.

Ansigterne AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C har ikke fælles hjørner. Sådanne kanter kaldes modsat. I parallelepipedummet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er der yderligere to par af modsatte flader: rektangler ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1, samt rektangler AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C.

Modsatte flader af et rektangulært parallelepipedum er lige store.

På figur 155 kaldes ansigtet ABCD basis rektangulært parallelepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Overfladearealet af et parallelepipedum er summen af ​​arealerne af alle dets flader.

For at få en idé om dimensionerne af et rektangulært parallelepipedum er det nok at overveje alle tre kanter, der har et fælles toppunkt. Længderne af disse kanter kaldes målinger rektangulær parallelepipedum. For at skelne dem bruger de navne: længde, bredde, højde(Fig. 156).

Et rektangulært parallelepipedum, hvor alle dimensioner er lige, kaldes terning(Fig. 157). Terningens overflade består af seks lige store firkanter.

Hvis en kasse i form af et rektangulært parallelepiped åbnes (fig. 158) og skæres langs fire lodrette kanter (fig. 159), og derefter foldes ud, får vi en figur bestående af seks rektangler (fig. 160). Denne figur kaldes udvikling af et rektangulært parallelepipedum.

Figur 161 viser en figur bestående af seks lige store kvadrater. Det er udviklingen af ​​en terning.

Ved hjælp af en udvikling kan du lave en model af et rektangulært parallelepipedum.

Dette kan for eksempel gøres sådan. Tegn dens omrids på papir. Klip det ud, bøj ​​det langs segmenterne svarende til kanterne på det rektangulære parallelepipedum (se fig. 159), og lim det sammen.

Et rektangulært parallelepipedum er en type polyeder - en figur, hvis overflade består af polygoner. Figur 162 viser polyedre.

En type polyeder er pyramide.

Dette tal er ikke nyt for dig. At studere kurset Oldtidens verden, stiftede du bekendtskab med et af verdens syv vidundere - de egyptiske pyramider.

Figur 163 viser pyramiderne MABC, MABCD, MABCDE. Pyramidens overflade består af sideflader− trekanter med fælles toppunkt, og grunde(Fig. 164). Sidefladernes fælles toppunkt kaldes kanter af bunden af ​​pyramiden, og siderne af sidefladerne, der ikke hører til basen, er pyramidens sidekanter.

Pyramider kan klassificeres efter antallet af sider af basen: trekantede, firkantede, femkantede (se fig. 163) osv.

Overfladen af ​​en trekantet pyramide består af fire trekanter. Enhver af disse trekanter kan tjene som bunden af ​​en pyramide. Denne base er en type pyramide, hvis enhver flade kan tjene som dens base.

Figur 165 viser en figur, der kan tjene udvikling af en firkantet pyramide. Den består af en firkant og fire ligebenede trekanter.

Figur 166 viser en figur bestående af fire ens ligesidede trekanter. Ved hjælp af denne figur kan du lave en model af en trekantet pyramide, hvis ansigter alle er ligesidede trekanter.

Polyedre er eksempler geometriske legemer.

Figur 167 viser kendte geometriske legemer, som ikke er polyedre. Du lærer mere om disse kroppe i 6. klasse.

I denne lektion vil alle være i stand til at studere emnet "Rektangulær parallelepipedum". I begyndelsen af ​​lektionen vil vi gentage, hvad vilkårlige og lige parallelepipeder er, husk egenskaberne for deres modsatte flader og diagonaler af parallelepipedet. Derefter vil vi se på, hvad en kuboid er, og diskutere dens grundlæggende egenskaber.

Emne: Vinkelrette linjer og planer

Lektion: Cuboid

En overflade sammensat af to lige store parallelogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 og fire parallelogrammer ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kaldes parallelepipedum(Fig. 1).

Ris. 1 Parallelepiped

Det vil sige: vi har to lige store parallelogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallelle planer, så sidekanterne AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 er parallelle. Således kaldes en overflade sammensat af parallelogrammer parallelepipedum.

Således er overfladen af ​​et parallelepipedum summen af ​​alle de parallelogrammer, der udgør parallelepipedet.

1. De modsatte flader af et parallelepipedum er parallelle og lige store.

(formerne er ens, dvs. de kan kombineres ved at overlappe hinanden)

For eksempel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (lige parallelogrammer pr. definition),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (da AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er modsatte flader af parallelepipedet),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (da AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C er modsatte flader af parallelepipedet).

2. Diagonalerne af et parallelepipedum skærer hinanden i et punkt og er halveret af dette punkt.

Diagonalerne af parallelepipedummet AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skærer hinanden i et punkt O, og hver diagonal er delt i to af dette punkt (fig. 2).

Ris. 2 Diagonalerne af et parallelepipedum skærer hinanden og er delt i to af skæringspunktet.

3. Der er tre firdobler af lige store og parallelle kanter af et parallelepipedum: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Definition. Et parallelepipedum kaldes lige, hvis dets sidekanter er vinkelrette på baserne.

Lad sidekanten AA 1 være vinkelret på bunden (fig. 3). Det betyder, at lige linje AA 1 er vinkelret på rette linier AD og AB, som ligger i grundplanet. Det betyder, at sidefladerne indeholder rektangler. Og baserne indeholder vilkårlige parallelogrammer. Lad os betegne ∠DÅRLIG = φ, vinklen φ kan være en hvilken som helst.

Ris. 3 Højre parallelepipedum

Så et højre parallelepipedum er et parallelepipedum, hvor sidekanterne er vinkelrette på parallelepipedets baser.

Definition. Parallepipedet kaldes rektangulært, hvis dens sidekanter er vinkelrette på bunden. Baserne er rektangler.

Den parallellepipedede ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er rektangulær (fig. 4), hvis:

1. AA 1 ⊥ ABCD (lateral kant vinkelret på bundens plan, det vil sige en lige parallelepipedum).

2. ∠DÅRLIG = 90°, dvs. basen er et rektangel.

Ris. 4 Rektangulær parallelepipedum

Et rektangulært parallelepipedum har alle egenskaberne for et vilkårligt parallelepipedum. Men der er yderligere egenskaber, der er afledt af definitionen af ​​en cuboid.

Så, cuboid er et parallelepipedum, hvis sidekanter er vinkelrette på bunden. Grundlaget for en kuboid er et rektangel.

1. I et rektangulært parallelepipedum er alle seks flader rektangler.

ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er per definition rektangler.

2. Laterale ribber er vinkelrette på bunden. Det betyder, at alle sideflader af et rektangulært parallelepipedum er rektangler.

3. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rigtige.

Lad os for eksempel betragte den dihedriske vinkel på et rektangulært parallelepipedum med kant AB, dvs. den dihedriske vinkel mellem planerne ABC 1 og ABC.

AB er en kant, punkt A 1 ligger i det ene plan - i planet ABB 1, og punkt D i det andet - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Så kan den undersøgte dihedriske vinkel også betegnes som følger: ∠A 1 ABD.

Lad os tage punkt A på kant AB. AA 1 er vinkelret på kant AB i planet АВВ-1, AD er vinkelret på kant AB i planet ABC. Så, ∠A 1 AD - lineær vinkel givet dihedral vinkel. ∠A 1 AD = 90°, hvilket betyder, at den dihedriske vinkel ved kanten AB er 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

På samme måde er det bevist, at alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rigtige.

Firkantet diagonal af en kasse lig med summen kvadrater af dens tre dimensioner.

Bemærk. Længderne af de tre kanter, der udgår fra det ene hjørne af en kuboid, er målene for cuboiden. De kaldes undertiden længde, bredde, højde.

Givet: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulært parallelepipedum (fig. 5).

Bevise: .

Ris. 5 Rektangulær parallelepipedum

Bevis:

Ret linje CC 1 er vinkelret på plan ABC, og derfor på lige linje AC. Det betyder, at trekanten CC 1 A er retvinklet. Ifølge Pythagoras sætning:

Lad os overveje retvinklet trekant ABC. Ifølge Pythagoras sætning:

Men BC og AD er modsatte sider af rektanglet. Så BC = AD. Derefter:

Fordi , A , At. Da CC 1 = AA 1, var det det, der skulle bevises.

Diagonalerne på et rektangulært parallelepipedum er lige store.

Lad os betegne dimensionerne af parallelepipedum ABC som a, b, c (se fig. 6), så AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Prismet kaldes parallelepipedum, hvis dens baser er parallelogrammer. Cm. Fig.1.

Egenskaber for et parallelepipedum:

De modsatte flader af et parallelepipedum er parallelle (det vil sige, de ligger i parallelle planer) og ens.

Diagonalerne af et parallelepipedum skærer hinanden i et punkt og er halveret af dette punkt.

Tilstødende flader af et parallelepipedum– to ansigter, der har en fælles kant.

Modsatte flader af et parallelepipedum– ansigter, der ikke har fælles kanter.

Modsatte hjørner af et parallelepipedum– to hjørner, der ikke hører til det samme ansigt.

Diagonal af et parallelepipedum– et segment, der forbinder modsatte hjørner.

Hvis sidekanterne er vinkelrette på basernes planer, kaldes parallelepipedummet direkte.

Et ret parallelepipedum, hvis baser er rektangler, kaldes rektangulær. Et prisme, hvis ansigter alle er firkanter, kaldes terning.

Parallelepiped- et prisme, hvis baser er parallellogrammer.

Højre parallelepipedum- et parallelepipedum, hvis sidekanter er vinkelrette på bundens plan.

Rektangulær parallelepipedum er et ret parallelepipedum, hvis baser er rektangler.

terning– et rektangulært parallelepipedum med lige kanter.

parallelepipedum kaldet et prisme, hvis base er et parallelogram; Således har et parallelepipedum seks flader, og alle er parallelogrammer.

Modstående flader er parvis lige store og parallelle. Parallepipedet har fire diagonaler; de skærer alle sammen på et punkt og er delt i to ved det. Ethvert ansigt kan tages som base; bind lig med produktet basisareal til højde: V = Sh.

Et parallelepipedum, hvis fire sideflader er rektangler, kaldes et lige parallelepipedum.

Et ret parallelepipedum, hvis seks flader er rektangler, kaldes rektangulært. Cm. Fig.2.

Rumfanget (V) af et højre parallelepipedum er lig med produktet af basisarealet (S) og højden (h): V = Sh .

For et rektangulært parallelepipedum gælder desuden formlen V=abc, hvor a,b,c er kanter.

Diagonalen (d) af et rektangulært parallelepiped er relateret til dets kanter ved relationen d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Rektangulær parallelepipedum- et parallelepipedum, hvis sidekanter er vinkelrette på bunden, og bunden er rektangler.

Egenskaber for et rektangulært parallelepipedum:

I et rektangulært parallelepipedum er alle seks flader rektangler.

Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rigtige.

Kvadraten af ​​diagonalen af ​​et rektangulært parallelepiped er lig med summen af ​​kvadraterne af dets tre dimensioner (længderne af tre kanter, der har et fælles toppunkt).

Diagonalerne på et rektangulært parallelepipedum er lige store.

Et rektangulært parallelepipedum, hvis flader alle er kvadratiske, kaldes en terning. Alle kanter af terningen er lige store; rumfanget (V) af en terning er udtrykt ved formlen V=a 3, hvor a er kanten af ​​terningen.