Arealet af en rombe er lig med produktet. Sådan finder du arealet af en rombe

På trods af at matematik er videnskabens dronning, og aritmetik er matematikkens dronning, er geometri det sværeste for skolebørn at lære. Planimetri er en gren af geometri, der studerer plane figurer. En af disse former er en rombe. De fleste problemer med at løse firkanter kommer ned til at finde deres områder. Lad os systematisere de kendte formler og forskellige måder at beregne arealet af en rombe.

En rombe er et parallelogram med alle fire sider lige. Husk, at et parallelogram har fire vinkler og fire par parallelle lige store sider. Som enhver firkant har en rombe en række egenskaber, som bunder i følgende: Når diagonalerne skærer hinanden, danner de en vinkel lig med 90 grader (AC ⊥ BD), skæringspunktet deler sig hver i to lige store segmenter. Diagonalerne på en rombe er også halveringslinjerne for dens vinkler (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD osv.). Det følger, at de deler romben i fire lige store retvinklet trekant. Summen af længderne af diagonalerne hævet til anden potens er lig med længden af siden til anden potens ganget med 4, dvs. BD 2 + AC 2 = 4AB 2. Der er mange metoder, der bruges i planimetri til at beregne arealet af en rhombus, hvis anvendelse afhænger af kildedataene. Hvis sidelængden og enhver vinkel er kendt, kan du bruge følgende formel: arealet af en rombe er lig med kvadratet på siden ganget med vinklens sinus. Fra trigonometrikurset ved vi, at sin (π – α) = sin α, hvilket betyder, at man i beregninger kan bruge sinus for enhver vinkel - både spids og stump. Et særligt tilfælde er en rombe, hvor alle vinkler er rette. Dette er en firkant. Det er kendt, at sinus ret vinkel

er lig med én, så arealet af et kvadrat er lig med længden af dets side hævet til anden potens.

Hvis størrelsen på siderne er ukendt, bruger vi længden af diagonalerne. I dette tilfælde er rhombus areal lig med halvdelen af produktet af de store og mindre diagonaler. I betragtning af den kendte længde af diagonalerne og størrelsen af enhver vinkel bestemmes arealet af en rombe på to måder. For det første: arealet er halvdelen af kvadratet af den større diagonal ganget med tangenten af halvdelen gradsmål, dvs. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), hvor D er den store diagonal, α er den spidse vinkel. Hvis du kender størrelsen af den lille diagonal, vil vi bruge formlen 1/2*d 2 *tg(β/2), hvor d er den lille diagonal, β er en stump vinkel. Lad os huske på, at målet for en spids vinkel er mindre end 90 grader (målet for en ret vinkel), og en stump vinkel er derfor større end 90 0.

Arealet af en rhombus kan findes ved hjælp af længden af siden (husk, at alle sider af en rhombus er lige store) og højden. Højde er en vinkelret sænket til siden modsat vinklen eller til dens forlængelse. For at bunden af højden skal være placeret inde i romben, skal den sænkes fra en stump vinkel.

Nogle gange kræver et problem at finde området af en rhombus baseret på data relateret til den indskrevne cirkel. I dette tilfælde skal du kende dens radius. Der er to formler, der kan bruges til beregning. Så for at besvare spørgsmålet kan du fordoble produktet af siden af rhombus og radius af den indskrevne cirkel. Med andre ord skal du gange diameteren af den indskrevne cirkel med siden af rhombus. Hvis størrelsen af vinklen er præsenteret i problemformuleringen, så findes arealet gennem kvotienten mellem kvadratet af radius ganget med fire og sinus for vinklen.

Som du kan se, er der mange måder at finde området af en rombe på. Selvfølgelig vil det kræve tålmodighed, opmærksomhed og selvfølgelig tid at huske hver af dem. Men i fremtiden kan du sagtens vælge den metode, der passer til din opgave, og du vil opdage, at geometri ikke er svært.

Firkant geometrisk figur - en numerisk karakteristik af en geometrisk figur, der viser størrelsen af denne figur (en del af overfladen begrænset af den lukkede kontur af denne figur). Størrelsen af området er udtrykt ved antallet af kvadratenheder indeholdt i det.

Formler for trekantareal

Formel for arealet af en trekant ved side og højde
Areal af en trekant lig med halvdelen af produktet af længden af en side af en trekant og længden af højden trukket til denne side
Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den omskrevne cirkel
Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den indskrevne cirkel
Areal af en trekant er lig med produktet af trekantens halvperimeter og radius af den indskrevne cirkel.

Formler for kvadratisk areal

Formel for arealet af en firkant ved sidelængde
Firkantet område lig med kvadratet af længden af dens side.
Formel for arealet af en firkant langs den diagonale længde
Firkantet område lig med halvdelen af kvadratet af længden af dens diagonal.
S= 1 2
2

Formel for rektangelareal

Arealet af et rektangel

Parallelogram område formler

Formel for arealet af et parallelogram baseret på sidelængde og højde
Arealet af et parallelogram
Formel for arealet af et parallelogram baseret på to sider og vinklen mellem dem
Arealet af et parallelogram er lig med produktet af længderne af dens sider ganget med sinus af vinklen mellem dem.
a b sin α

Formler for området af en rombe

Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og højde
Område af en rombe er lig med produktet af længden af dens side og længden af højden sænket til denne side.
Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og vinkel
Område af en rombe er lig med produktet af kvadratet af længden af dens side og sinus af vinklen mellem siderne af rhombus.
Formel for arealet af en rombe baseret på længden af dens diagonaler
Område af en rombe lig med halvdelen af produktet af længderne af dens diagonaler.

Trapezområdeformler

Herons formel for trapez
Hvor S er arealet af trapezoidet,
- længder af trapezets baser,
- længder af siderne af trapezoidet,

I skoleforløb i geometri er der blandt hovedopgaverne stor opmærksomhed på eksempler at beregne arealet og omkredsen af en rombe. Lad os huske, at rhombus tilhører en separat klasse af firkanter og skiller sig ud blandt dem lige sider. En rhombus er også et specialtilfælde af et parallelogram, hvis sidstnævnte har alle sider lig AB=BC=CD=AD. Nedenfor er et billede, der viser en rombe.

Egenskaber af en rombe

Da en rombe optager en del af parallelogrammer, vil egenskaberne i dem være ens.

Modsatte vinkler af en rombe, som et parallelogram, er lige store.
Summen af vinklerne på en rombe, der støder op til den ene side, er 180°.
Diagonalerne på en rombe skærer hinanden i en vinkel på 90 grader.
Diagonalerne på en rombe er også halveringslinjerne for dens vinkler.
Diagonalerne på en rombe er delt i to i skæringspunktet.

Tegn på en diamant

Alle karakteristika for en rhombus følger af dens egenskaber og hjælper med at skelne den mellem firkanter, rektangler og parallelogrammer.

Et parallelogram, hvis diagonaler skærer hinanden i rette vinkler, er en rombe.
Et parallelogram, hvis diagonaler er halveringslinjer, er en rombe.
Et parallelogram med lige sider er en rombe.
En firkant med alle sider lige er en rombe.
En firkant, hvis diagonaler er vinkelhalveringslinjer og skærer hinanden i rette vinkler, er en rombe.
Et parallelogram med lige højder er en rombe.

Formel for omkredsen af en rombe

Perimeter per definition lig med summen alle sider. Da alle sider af en rombe er lige store, beregner vi dens omkreds ved hjælp af formlen

Omkredsen beregnes i længdeenheder.

Radius af en cirkel indskrevet i en rombe

Et af de almindelige problemer, når man studerer en rombe, er at finde radius eller diameter af den indskrevne cirkel. Figuren nedenfor viser nogle af de mest almindelige formler for radius af en indskrevet cirkel i en rombe.

Den første formel viser, at radius af en cirkel indskrevet i en rombe er lig med produktet af diagonalerne divideret med summen af alle sider (4a).

En anden formel viser, at radius af en cirkel indskrevet i en rombe er lig med halvdelen af højden af romben

Den anden formel i figuren er en modifikation af den første og bruges ved beregning af radius af en cirkel indskrevet i en rombe, når rombens diagonaler er kendt, det vil sige de ukendte sider.

Den tredje formel for radius af en indskrevet cirkel finder faktisk halvdelen af højden af den lille trekant, der dannes af skæringspunktet mellem diagonalerne.

Blandt de mindre populære formler til beregning af radius af en cirkel indskrevet i en rhombus, kan du også give følgende:

her er D diagonalen af romben, alfa er den vinkel, der skærer diagonalen.

Hvis arealet (S) af en rombe og størrelsen af den spidse vinkel (alfa) er kendt, skal du for at beregne radius af den indskrevne cirkel finde Kvadrat rod fra en fjerdedel af produktet af området og sinus af en spids vinkel:

Ud fra ovenstående formler kan du nemt finde radius af en cirkel indskrevet i en rombe, hvis betingelserne i eksemplet indeholder det nødvendige sæt data.

Formel for området af en rombe

Formler til beregning af areal er vist i figuren.

Den enkleste udledes som summen af arealer af to trekanter, som en rombe er opdelt i med sin diagonal.

Den anden arealformel gælder for problemer, hvor diagonalerne af en rombe er kendt. Så er arealet af en rombe lig med halvdelen af produktet af diagonalerne

Det er nemt at huske og også nemt at beregne.

Den tredje arealformel giver mening, når vinklen mellem siderne er kendt. Ifølge den er arealet af en rombe lig med produktet af kvadratet på siden og sinus af vinklen. Om det er spidst eller ej er ligegyldigt, da sinus for begge vinkler får samme værdi.

Hvad er Rhombus? En rombe er et parallelogram, hvor alle sider er lige store.

RHOMBUS, en figur på et plan, en firkant med lige sider. Diamant - særlig situation ET PARALLELOGRAM, hvor enten to tilstødende sider er lige store, eller diagonalerne skærer hinanden i rette vinkler, eller diagonalen halverer vinklen. En rombe med rette vinkler kaldes en firkant.

Den klassiske formel for arealet af en rombe er at beregne værdien gennem højden. Arealet af en rombe er lig med produktet af en side og højden trukket til den side.

1. Arealet af en rombe er lig med produktet af en side og højden tegnet til denne side:

\[ S = a \cdot h \]

2. Hvis siden af en rombe er kendt (alle sider af en rombe er ens) og vinklen mellem siderne, så kan arealet findes ved hjælp af følgende formel:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Arealet af en rombe er også lig med halvproduktet af diagonalerne, det vil sige:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Hvis radius r af en cirkel indskrevet i en rombe og siden af romben a er kendt, så beregnes dens areal med formlen:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Egenskaber af en rombe

I figuren ovenfor er \(ABCD\) en rombe, \(AC = DB = CD = AD\) . Da en rhombus er et parallelogram, har den alle egenskaberne af et parallelogram, men der er også egenskaber, der kun er iboende for en rhombus.

Du kan passe en cirkel ind i enhver rombe. Centrum af en cirkel indskrevet i en rombe er skæringspunktet for dens diagonaler. Cirkel radius lig med halvdelen af rhombus højde:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Egenskaber af en rombe

Diagonalerne på en rombe er vinkelrette;

Diagonalerne på en rombe er halveringslinjen af dens vinkler.

Tegn på en diamant

Et parallelogram, hvis diagonaler skærer hinanden i rette vinkler, er en rombe;

Et parallelogram, hvis diagonaler er halveringslinjen af dets vinkler, er en rombe.

JavaScript er deaktiveret i din webbrowser.
For at udføre beregninger skal du aktivere ActiveX-kontroller!

En rhombus er et specialtilfælde af et parallelogram. Det er en flad firkantet figur, hvor alle sider er lige store. Denne ejendom bestemmer, at romber har modsatte sider parallelle og modsatte vinkler ens. Diagonalerne på en rombe skærer hinanden i rette vinkler, deres skæringspunkt er i midten af hver diagonal, og vinklerne, hvorfra de kommer ud, er delt i to. Det vil sige, at diagonalerne på en rombe er halveringslinjer for vinklerne. Baseret på ovenstående definitioner og de anførte egenskaber for romber kan deres areal bestemmes på forskellige måder.

1. Hvis begge diagonaler af en rhombus AC og BD er kendt, så kan areal af rhombus bestemmes som halvdelen af produktet af diagonalerne.

S = ½ ∙ A.C. ∙ BD

hvor AC, BD er længden af rhombus diagonaler.

For at forstå, hvorfor det er sådan, kan du mentalt passe et rektangel ind i en rombe, så siderne af sidstnævnte er vinkelrette på diagonalerne af romben. Det bliver indlysende, at arealet af rhombus vil være lig med halvdelen af arealet af rektanglet indskrevet på denne måde i rhombus, hvis længde og bredde vil svare til størrelsen af diagonalerne af rhombus.

2. I analogi med et parallelepipedum kan arealet af en rhombus findes som produktet af dens side og højden af vinkelret fra den modsatte side sænket til en given side.

S = a ∙ h

hvor a er siden af rhombus;
h er højden af vinkelret faldet til en given side.

3. Arealet af en rombe er også lig med kvadratet på dens side ganget med sinus af vinklen α.

S = a 2 ∙ synd α

hvor a er siden af rhombus;
α er vinklen mellem siderne.

4. Også området af en rombe kan findes gennem dens side og radius af cirklen indskrevet i den.

S=2 ∙ -en ∙ r

hvor a er siden af rhombus;
r er radius af cirklen indskrevet i romben.

Interessante fakta
Ordet rombe kommer fra det oldgræske rombus, som betyder "tamburin". I de dage havde tamburiner faktisk en diamantform, og ikke rund, som vi er vant til at se dem nu. Navnet kom fra samme tid kortfarve"diamanter". Meget brede diamanter forskellige typer brugt i heraldik.