Hvorfor er absolut fejl nødvendig? Måling af fysiske størrelser

Resultatet af at måle en fysisk størrelse afviger altid fra den sande værdi med en vis mængde, hvilket kaldes fejl

KLASSIFIKATION:

1. Som udtryk: absolut, reduceret og relativ

2. Efter oprindelseskilde: metodologisk og instrumentel.

3. I henhold til betingelserne og årsagerne til forekomsten: hoved og yderligere

4. Efter ændringernes art: systematiske og tilfældige.

5. Afhængigt af den indgående målte værdi: additiv og multiplikativ

6. Afhængig af inerti: statisk og dynamisk.

13. Absolutte, relative og reducerede fejl.

Absolut fejl er forskellen mellem de målte og faktiske værdier af den målte mængde:

hvor A er målt, er A de målte og faktiske værdier; ΔA - absolut fejl.

Den absolutte fejl er udtrykt i enheder af den målte værdi. Den absolutte fejl taget med det modsatte fortegn kaldes korrektionen.

I forholdfejl p er lig med forholdet absolut fejlΔA til den faktiske værdi af den målte værdi og udtrykkes som en procentdel:

Givetfejl af et måleinstrument er forholdet mellem den absolutte fejl og den nominelle værdi. Den nominelle værdi for en enhed med en ensidig skala er lig med den øvre målegrænse, for en enhed med en dobbeltsidet skala (med et nul i midten) - den aritmetiske sum af de øvre målingsgrænser:

pr.

14. Metodiske, instrumentelle, systematiske og tilfældige fejl.

Metode fejl skyldes den anvendte målemetodes ufuldkommenhed, unøjagtigheden af ​​formlerne og matematiske afhængigheder, der beskriver denne målemetode, samt måleinstrumentets indflydelse på objektet, hvis egenskaber ændres.

Instrumentel fejl(instrumentfejl) skyldes måleapparatets designfunktioner, unøjagtighed af kalibrering og skala samt forkert installation af måleapparatet.

Instrumentfejlen er som udgangspunkt angivet i passet til måleinstrumentet og kan vurderes i numeriske termer.

Systematisk fejl- konstant eller naturligt varierende fejl ved gentagne målinger af samme mængde under samme målebetingelser. For eksempel skyldes fejlen, der opstår ved måling af modstand med et ampere-voltmeter, et lavt batteri.

Tilfældig fejl- målefejl, hvis art ændrer sig under gentagne målinger af samme mængde under samme forhold er tilfældig. For eksempel tællefejlen ved flere gentagne målinger.

Årsagen til tilfældige fejl er den samtidige handling af mange tilfældige faktorer, som hver især har ringe effekt individuelt.

Tilfældige fejl kan vurderes og delvist reduceres gennem korrekte behandlingsmetoder matematisk statistik, samt sandsynlighedsmetoder.

15. Grundlæggende og yderligere, statiske og dynamiske fejl.

Grundlæggende fejl- fejl, der opstår under normale brugsforhold af et måleinstrument (temperatur, luftfugtighed, forsyningsspænding osv.), som er standardiseret og specificeret i standarder eller tekniske specifikationer.

Yderligere fejl skyldes, at en eller flere påvirkende mængder afviger fra normalværdien. For eksempel temperaturændringer miljø, ændringer i luftfugtighed, udsving i forsyningsspændingen. Værdien af ​​den yderligere fejl er standardiseret og angivet i den tekniske dokumentation for måleinstrumenterne.

Statisk fejl- fejl ved måling af en tidskonstant værdi. For eksempel målefejlen for en konstant strømspænding under måling.

Dynamisk fejl- målefejl af en tidsvarierende størrelse. For eksempel fejlen ved måling af den skiftede DC-spænding på grund af transiente processer under omskiftning, samt begrænset hastighed måleinstrument.

MÅLING AF FYSISKE MÆNGDER.

INTRODUKTION

K-402.1 komplekset er nødvendig liste laboratoriearbejde i henhold til uddannelsesstandarden og arbejdsprogram under afsnittet "Dynamik" solid"disciplin "Fysik". Den omfatter en beskrivelse af laboratorieinstallationer, proceduren for målinger og en algoritme til beregning af visse fysiske mængder.

Hvis en elev begynder at stifte bekendtskab med et bestemt arbejde i klasseværelset i løbet af en lektion, så er de to timer, der er afsat til at udføre en laboratoriearbejde, vil han ikke have nok og vil begynde at halte bagefter semesterets arbejdsplan. For at eliminere dette kræver anden generations uddannelsesstandard, at 50 % af de timer, der er afsat til at studere disciplinen, skal bruges på selvstændigt arbejde, hvilket er en nødvendig komponent i læringsprocessen. Formål selvstændigt arbejde er at konsolidere og uddybe viden og færdigheder, forberede sig til forelæsninger, praktiske og laboratorietimer samt udvikle elevernes selvstændighed i at tilegne sig ny viden og færdigheder.

Der er fastsat læseplaner for forskellige specialer selvstudie disciplin "Fysik" i semesteret fra 60 til 120 timer. Af disse udgør laboratorietimerne 20-40 timer eller 2-4 timer pr. arbejde. I denne tid skal eleven: læse de relevante afsnit i lærebøger; lære grundlæggende formler og love; blive fortrolig med installations- og måleproceduren. For at få lov til at udføre arbejde på installationen skal en elev kende anlæggets anordning, kunne bestemme måleapparatets deleværdi, kende rækkefølgen af ​​målinger, kunne bearbejde måleresultater og vurdere fejlen.

Efter alle beregninger og udarbejdelse af rapporten skal eleven drage en konklusion, der specifikt angiver de fysiske love, der blev testet under arbejdet.

Der er to typer målinger: direkte og indirekte.

Direkte målinger er dem, hvor der foretages en sammenligning af et mål og et objekt. Mål for eksempel højden og diameteren af ​​en cylinder ved hjælp af en skydelære.

Ved indirekte målinger bestemmes en fysisk størrelse ud fra en formel, der fastslår dens sammenhæng med mængder fundet ved direkte målinger.

Målingen kan ikke udføres helt nøjagtigt. Dens resultat indeholder altid en fejl.

Målefejl opdeles normalt i systematiske og tilfældige.

Systematiske fejl er forårsaget af faktorer, der virker på samme måde, når de samme målinger gentages mange gange.

Bidrag til systematiske fejl kommer fra medvirkende eller instrument fejl, som bestemmes af enhedens følsomhed. I mangel af sådanne data på instrumentet, antages instrumentfejlen at være prisen eller halvdelen af ​​prisen for den mindste skalainddeling af instrumentet.

Tilfældige fejl forårsaget af den samtidige virkning af mange faktorer, der ikke kan tages i betragtning. De fleste målinger er ledsaget af tilfældige fejl, kendetegnet ved, at de ved hver gentagen måling får en anden uforudsigelig værdi.

Absolut fejl vil inkludere systematiske og tilfældige fejl:

. (1.1)

Den sande værdi af den målte værdi vil være i området:

som kaldes konfidensintervallet.

For at bestemme den tilfældige fejl skal du først beregne gennemsnittet af alle værdier opnået under målingen:

, (1.2)

hvor er resultatet jeg-th dimension, - antal dimensioner.

Derefter findes fejlene for individuelle målinger

, , …, .

. (1.3)

Ved behandling af måleresultater anvendes Student-fordelingen. Under hensyntagen til Student-koefficienten, tilfældig fejl

.

Tabel 1.1

Elevens koefficienttabel

n
0,6	0,7	0,9	0,95	0,99
	1,36	2,0	6,3	12,7	636,6
	1,06	1,3	2,9	4,3	31,6
	0,98	1,3	2,4	3,2	12,9
	0,94	1,2	2,1	2,8	8,7
…	…	…	…	…	…
	0,85	1,0	1,7	2,0	3,5
	0,84	1,0	1,7	2,0	3,4

Studentkoefficienten viser afvigelsen af ​​det aritmetiske gennemsnit fra den sande værdi, udtrykt som en brøkdel af middelkvadratfejlen. Elevens koefficient afhænger af antallet af målinger n og om pålidelighed og er angivet i tabel. 1.1.

Den absolutte fejl beregnes ved hjælp af formlen

.

I de fleste tilfælde er det ikke den absolutte, men den relative fejl, der spiller en mere væsentlig rolle

Eller . (1.4)

Alle beregningsresultater indtastes i tabellen. 1.2.

Tabel 1.2

Resultatet af beregning af målefejlen

Ingen.
	mm	mm	mm	mm 2	mm 2	mm	mm	mm	mm	mm	%

Beregning af fejl ved indirekte målinger

Betingelser målefejl Og målefejl bruges i flæng.) Det er kun muligt at estimere størrelsen af ​​denne afvigelse, for eksempel ved hjælp af statistiske metoder. I dette tilfælde tages den gennemsnitlige statistiske værdi opnået ved statistisk behandling af resultaterne af en række målinger som den sande værdi. Denne opnåede værdi er ikke nøjagtig, men kun den mest sandsynlige. Derfor er det nødvendigt at angive i målingerne, hvad deres nøjagtighed er. For at gøre dette angives målefejlen sammen med det opnåede resultat. For eksempel optage T=2,8±0,1 c. betyder, at den sande værdi af mængden T ligger i intervallet fra 2,7 sek. Før 2,9 s. nogen specificeret sandsynlighed (se konfidensinterval, konfidenssandsynlighed, standardfejl).

I 2006 kl internationalt niveau blev accepteret nyt dokument, diktere betingelserne for at udføre målinger og etablere nye regler for sammenligning af statslige standarder. Begrebet "fejl" blev forældet, og begrebet "måleusikkerhed" blev i stedet indført.

Konstatering af fejl

Afhængigt af den målte mængdes karakteristika anvendes forskellige metoder til at bestemme målefejlen.

• Kornfeld-metoden består i at vælge et konfidensinterval fra minimum til maksimum måleresultat og fejlen som halvdelen af ​​forskellen mellem maksimum og minimum måleresultat:

• Gennemsnitlig kvadratfejl:

• Root mean square fejl af det aritmetiske middelværdi:

Fejlklassificering

I henhold til præsentationsform

• Absolut fejl - Δ x er et skøn over den absolutte målefejl. Størrelsen af ​​denne fejl afhænger af metoden til dens beregning, som igen bestemmes af fordelingen af ​​den stokastiske variabel x me-ens . I dette tilfælde lighed:

Δ x = | x true − x me-ens | ,

Hvor x true er den sande værdi, og x me-ens - målt værdi skal være opfyldt med en vis sandsynlighed tæt på 1. Hvis tilfældig værdi x me-ens er fordelt efter normalloven, så tages normalt dens standardafvigelse som den absolutte fejl. Absolut fejl måles i de samme enheder som selve mængden.

• Relativ fejl- forholdet mellem den absolutte fejl og den værdi, der accepteres som sand:

Den relative fejl er en dimensionsløs størrelse eller målt som en procentdel.

• Reduceret fejl- relativ fejl, udtrykt som forholdet mellem måleinstrumentets absolutte fejl og det konventionelle accepteret værdi en værdi, der er konstant over hele måleområdet eller en del af området. Beregnet ved formlen

Hvor x n- normaliseringsværdi, som afhænger af måleapparatets skalatype og bestemmes af dens kalibrering:

Hvis instrumentvægten er ensidig, dvs. den nedre målegrænse er så nul x n bestemt lig med den øvre grænse for måling;
- hvis instrumentskalaen er dobbeltsidet, så er normaliseringsværdien lig med bredden af ​​instrumentets måleområde.

Den givne fejl er en dimensionsløs størrelse (kan måles i procent).

På grund af hændelsen

• Instrumentelle/instrumentelle fejl- fejl, der er bestemt af fejlene i de anvendte måleinstrumenter og er forårsaget af ufuldkommenheder i driftsprincippet, unøjagtighed af skalakalibrering og manglende synlighed af enheden.
• Metodiske fejl- fejl på grund af metodens ufuldkommenhed samt forenklinger, der ligger til grund for metoden.
• Subjektive / operatør / personlige fejl- fejl forårsaget af operatørens grad af opmærksomhed, koncentration, beredskab og andre egenskaber.

Inden for teknologi bruges instrumenter kun til at måle med en vis forudbestemt nøjagtighed - hovedfejlen tillader normalen i normale forhold drift for denne enhed.

Hvis enheden fungerer under andre forhold end normalt, opstår der en yderligere fejl, hvilket øger enhedens samlede fejl. Yderligere fejl omfatter: temperatur, forårsaget af en afvigelse af den omgivende temperatur fra normalen, installation, forårsaget af en afvigelse af enhedens position fra den normale driftsposition osv. Bag normal temperatur den omgivende luft antages at være 20°C som normalt Atmosfæretryk 01.325 kPa.

Et generaliseret kendetegn ved måleinstrumenter er nøjagtighedsklassen, bestemt grænseværdier tilladte hoved- og yderligere fejl samt andre parametre, der påvirker nøjagtigheden af ​​måleinstrumenter; betydningen af ​​parametrene er fastlagt af standarder for visse typer måleinstrumenter. Måleinstrumenternes nøjagtighedsklasse karakteriserer deres præcisionsegenskaber, men er ikke en direkte indikator for nøjagtigheden af ​​målinger udført ved brug af disse instrumenter, da nøjagtigheden også afhænger af målemetoden og betingelserne for deres implementering. Måleinstrumenter, hvis grænser for tilladelige grundfejl er specificeret i form af de givne grundlæggende (relative) fejl, tildeles nøjagtighedsklasser udvalgt blandt en række af følgende tal: (1; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 4.0 5,0; 6,0)*10n, hvor n = 1; 0; -1; -2 osv.

Af manifestationens natur

• Tilfældig fejl- fejl, der varierer (i størrelse og fortegn) fra måling til måling. Tilfældige fejl kan være forbundet med ufuldkommenhed af instrumenter (friktion i mekaniske enheder osv.), rystelser i byforhold, med ufuldkommenhed af måleobjektet (for eksempel ved måling af diameteren af ​​en tynd ledning, som måske ikke har en helt rund tværsnit som følge af ufuldkommenheder i fremstillingsprocessen), med egenskaberne for selve den målte mængde (f.eks. ved måling af mængden elementære partikler passerer i minuttet gennem en geigertæller).
• Systematisk fejl- en fejl, der ændrer sig over tid i henhold til en bestemt lov (et specialtilfælde er en konstant fejl, der ikke ændrer sig over tid). Systematiske fejl kan være forbundet med instrumentfejl (forkert skala, kalibrering osv.), der ikke tages i betragtning af forsøgslederen.
• Progressiv (drift) fejl- en uforudsigelig fejl, der ændrer sig langsomt over tid. Det er en ikke-stationær tilfældig proces.
• Groft fejl (miss)- en fejl som følge af et tilsyn fra forsøgslederen eller en funktionsfejl i udstyret (f.eks. hvis forsøgslederen forkert aflæser antallet af delinger på instrumentskalaen, hvis der opstod en kortslutning i det elektriske kredsløb).

Den absolutte regnefejl findes ved formlen:

Modultegnet viser, at vi er ligeglade med, hvilken værdi der er større, og hvilken der er mindre. Vigtig, hvor langt det omtrentlige resultat afveg fra den nøjagtige værdi i den ene eller anden retning.

Den relative fejl ved beregninger findes ved formlen:
eller det samme:

Den relative fejl viser med hvilken procentdel det omtrentlige resultat afveg fra den nøjagtige værdi. Der findes en version af formlen uden at gange med 100 %, men i praksis ser jeg næsten altid ovenstående version med procenter.

Efter en kort reference, lad os vende tilbage til vores problemstilling, hvor vi beregnede den omtrentlige værdi af funktionen ved hjælp af en differential.

Lad os beregne den nøjagtige værdi af funktionen ved hjælp af en mikroberegner:
, strengt taget er værdien stadig omtrentlig, men vi vil betragte den som nøjagtig. Sådanne problemer opstår.

Lad os beregne den absolutte fejl:

Lad os beregne relativ fejl:
, tusindedele af en procent blev opnået, så differentialet gav bare en fremragende tilnærmelse.

Svar: , absolut regnefejl, relativ regnefejl

Følgende eksempel for en uafhængig løsning:

Eksempel 4

på punktet. Beregn en mere nøjagtig værdi af funktionen på et givet punkt, estimer den absolutte og relative fejl ved beregninger.

Et omtrentligt udsnit af det endelige design og svaret i slutningen af ​​lektionen.

Mange mennesker har bemærket, at rødder optræder i alle de nævnte eksempler. Dette er ikke tilfældigt i de fleste tilfælde, funktioner med rødder er faktisk foreslået i det pågældende problem.

Men til lidende læsere gravede jeg et lille eksempel op med arcsine:

Eksempel 5

Beregn tilnærmelsesvis værdien af ​​en funktion ved hjælp af en differential på punktet

Dette korte, men informative eksempel er også for dig at løse på egen hånd. Og jeg hvilede mig lidt, så jeg med fornyet kraft kunne overveje den særlige opgave:

Eksempel 6

Beregn tilnærmelsesvis ved hjælp af en differential, afrund resultatet til to decimaler.

Løsning: Hvad er nyt i opgaven? Betingelsen kræver, at resultatet afrundes til to decimaler. Men det er ikke meningen, jeg tror, ​​at skoleafrundingsproblemet ikke er svært for dig. Faktum er, at vi får en tangent med et argument, som udtrykkes i grader. Hvad skal du gøre, når du bliver bedt om at løse en trigonometrisk funktion med grader? For eksempel , etc.

Løsningsalgoritmen er grundlæggende den samme, det vil sige, det er nødvendigt, som i tidligere eksempler, at anvende formlen

Lad os skrive en oplagt funktion

Værdien skal præsenteres i formularen. Vil yde seriøs hjælp tabel over værdier af trigonometriske funktioner . I øvrigt, for dem, der ikke har printet det ud, anbefaler jeg at gøre det, da du bliver nødt til at kigge der gennem hele studiet af højere matematik.

Ved at analysere tabellen bemærker vi en "god" tangentværdi, som er tæt på 47 grader:

Dermed:

Efter foreløbig analyse grader skal omregnes til radianer. Ja, og kun på denne måde!

I i dette eksempel direkte fra den trigonometriske tabel kan du finde ud af det. Brug af formlen til at konvertere grader til radianer: (formler kan findes i samme tabel).

Det følgende er formelt:

Dermed: (vi bruger værdien til beregninger). Resultatet, som krævet af betingelsen, afrundes til to decimaler.

Svar:

Eksempel 7

Beregn tilnærmelsesvis ved hjælp af en differential, afrund resultatet til tre decimaler.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret, vi konverterer grader til radianer og overholder den sædvanlige løsningsalgoritme.

Tilnærmede beregninger ved hjælp af den samlede differential af en funktion af to variable

Alt vil være meget, meget ens, så hvis du kom til denne side specifikt til denne opgave, så anbefaler jeg først at se på i det mindste et par eksempler fra det foregående afsnit.

For at studere et afsnit skal du kunne finde anden ordens partielle derivater , hvor ville vi være uden dem? I ovenstående lektion betegnede jeg en funktion af to variable ved hjælp af bogstavet . I forhold til den pågældende opgave er det mere bekvemt at bruge den tilsvarende notation.

Som det er tilfældet med en funktion af én variabel, kan problemets tilstand formuleres på forskellige måder, og jeg vil forsøge at overveje alle de formuleringer, man støder på.

Eksempel 8

Løsning: Uanset hvordan betingelsen er skrevet, i selve løsningen for at betegne funktionen, gentager jeg, det er bedre at bruge ikke bogstavet "zet", men .

Og her er arbejdsformlen:

Faktisk før os storesøster formlerne i det foregående afsnit. Variablen er kun steget. Hvad kan jeg selv sige løsningsalgoritmen vil grundlæggende være den samme!

Ifølge betingelsen kræves det at finde den omtrentlige værdi af funktionen i punktet.

Lad os repræsentere tallet 3,04 som . Bollen selv beder om at blive spist:
,

Lad os repræsentere tallet 3,95 som . Turen er kommet til anden halvdel af Kolobok:
,

Og se ikke på alle rævens tricks, der er en Kolobok - du skal spise den.

Lad os beregne værdien af ​​funktionen ved punktet:

Vi finder differentialet af en funktion i et punkt ved hjælp af formlen:

Af formlen følger det, at vi skal finde partielle derivater første orden og beregn deres værdier ved punkt .

Lad os beregne de første ordens partielle afledte ved punktet:

Samlet forskel på punktet:

Således, ifølge formlen, den omtrentlige værdi af funktionen ved punktet:

Lad os beregne den nøjagtige værdi af funktionen på punktet:

Denne værdi er helt nøjagtig.

Fejl beregnes ved hjælp af standardformler, som allerede er blevet diskuteret i denne artikel.

Absolut fejl:

Relativ fejl:

Svar: , absolut fejl: , relativ fejl:

Eksempel 9

Beregn den omtrentlige værdi af en funktion estimer den absolutte og relative fejl på et tidspunkt ved hjælp af en total differens.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Den, der dvæler mere detaljeret ved dette eksempel, vil bemærke, at regnefejlene viste sig at være meget, meget mærkbare. Dette skete af følgende årsag: i det foreslåede problem er stigningerne af argumenter ret store: .

Generelt mønster det er sådan det er a - jo større disse trin i absolut værdi, jo lavere er nøjagtigheden af ​​beregningerne. Så for et lignende punkt vil stigningerne for eksempel være små: , og nøjagtigheden af ​​de omtrentlige beregninger vil være meget høj.

Denne funktion gælder også for en funktion af en variabel (den første del af lektionen).

Eksempel 10

Løsning: Lad os beregne dette udtryk tilnærmelsesvis ved at bruge den samlede differential af en funktion af to variable:

Forskellen fra eksempel 8-9 er, at vi først skal konstruere en funktion af to variable: . Jeg tror, ​​at alle intuitivt forstår, hvordan funktionen er sammensat.

Værdien 4,9973 er ​​tæt på "fem", derfor: , .
Værdien 0,9919 er tæt på "én", derfor antager vi: , .

Lad os beregne værdien af ​​funktionen ved punktet:

Vi finder differentialet på et punkt ved hjælp af formlen:

For at gøre dette beregner vi de første ordens partielle afledte ved punktet.

De afledte produkter her er ikke de enkleste, og du skal være forsigtig:

;

.

Samlet forskel på punktet:

Således er den omtrentlige værdi af dette udtryk:

Lad os beregne en mere nøjagtig værdi ved hjælp af en mikroberegner: 2.998899527

Lad os finde den relative regnefejl:

Svar: ,

Bare en illustration af ovenstående, i det betragtede problem, er stigningerne af argumenter meget små, og fejlen viste sig at være fantastisk lille.

Eksempel 11

Beregn tilnærmelsesvis værdien af ​​dette udtryk ved hjælp af den fuldstændige differential af en funktion af to variable. Beregn det samme udtryk ved hjælp af en mikroberegner. Estimer den relative regnefejl i procent.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. En omtrentlig prøve af det endelige design i slutningen af ​​lektionen.

Som allerede nævnt er den mest almindelige gæst i denne type opgave en slags rødder. Men fra tid til anden er der andre funktioner. Og et sidste simpelt eksempel på afslapning:

Eksempel 12

Beregn tilnærmelsesvis værdien af ​​funktionen if

Løsningen er tættere på bunden af ​​siden. Vær endnu en gang opmærksom på ordlyden af ​​lektionsopgaverne, i forskellige eksempler i praksis kan formuleringerne være anderledes, men det ændrer ikke fundamentalt på løsningens essens og algoritme.

For at være ærlig var jeg lidt træt, fordi materialet var lidt kedeligt. Det var ikke pædagogisk at sige dette i begyndelsen af ​​artiklen, men nu er det allerede muligt =) Ja, opgaverne beregningsmatematik normalt ikke særlig kompleks, ikke særlig interessant, det vigtigste er måske ikke at lave en fejl i almindelige beregninger.

Må nøglerne til din lommeregner ikke slettes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2:

Løsning: Vi bruger formlen:
I dette tilfælde: , ,

Dermed:

Svar:

Eksempel 4:

Løsning: Vi bruger formlen:
I dette tilfælde: , ,

Dermed:

Lad os beregne en mere nøjagtig værdi af funktionen ved hjælp af en mikroberegner:

Absolut fejl:

Relativ fejl:

Svar: , absolut regnefejl, relativ regnefejl

Eksempel 5:

Løsning: Vi bruger formlen:

I dette tilfælde: , ,

Dermed:

Svar:

Eksempel 7:

Løsning: Vi bruger formlen:
I dette tilfælde: , ,

I vores tid har mennesket opfundet og bruger et stort udvalg af alle slags måleinstrumenter. Men uanset hvor perfekt teknologien til deres fremstilling måtte være, har de alle en større eller mindre fejl. Denne parameter er som regel angivet på selve instrumentet, og for at vurdere nøjagtigheden af ​​den værdi, der bestemmes, skal du være i stand til at forstå, hvad tallene angivet på mærkningen betyder. Derudover opstår der uundgåeligt relative og absolutte fejl under komplekse matematiske beregninger. Det er meget brugt i statistik, industri (kvalitetskontrol) og på en række andre områder. Hvordan denne værdi beregnes, og hvordan man fortolker dens værdi - det er præcis, hvad der vil blive diskuteret i denne artikel.

Absolut fejl

Lad os angive med x den omtrentlige værdi af en mængde opnået, for eksempel gennem en enkelt måling, og med x 0 dens nøjagtige værdi. Lad os nu beregne størrelsen af ​​forskellen mellem disse to tal. Den absolutte fejl er præcis den værdi, vi fik som et resultat af denne simple operation. I formlernes sprog, denne definition kan skrives på denne form: Δ x = | x - x 0 |.

Relativ fejl

Absolut afvigelse har en vigtig ulempe - den tillader ikke at vurdere graden af ​​betydning af fejlen. For eksempel køber vi 5 kg kartofler på markedet, og en skruppelløs sælger begik ved vægtmålingen en fejl på 50 gram til hans fordel. Det vil sige, at den absolutte fejl var 50 gram. For os vil en sådan forglemmelse kun være en bagatel, og vi vil ikke engang være opmærksomme på det. Kan du forestille dig, hvad der vil ske, hvis en lignende fejl opstår under forberedelsen af ​​medicinen? Her vil alt være meget mere seriøst. Og ved lastning af en godsvogn vil der sandsynligvis forekomme afvigelser meget større end denne værdi. Derfor er selve den absolutte fejl ikke særlig informativ. Ud over det beregner de meget ofte den relative afvigelse, svarende til forholdet mellem den absolutte fejl og præcise værdi tal. Dette er skrevet med følgende formel: δ = Δ x / x 0 .

Fejlegenskaber

Antag, at vi har to uafhængige størrelser: x og y. Vi skal beregne afvigelsen af ​​den omtrentlige værdi af deres sum. I dette tilfælde kan vi beregne den absolutte fejl som summen af ​​de forudberegnede absolutte afvigelser for hver af dem. I nogle målinger kan det ske, at fejl i bestemmelsen af ​​x- og y-værdier ophæver hinanden. Eller det kan ske, at afvigelserne som følge af addition bliver maksimalt intensiverede. Når den samlede absolutte fejl beregnes, skal det værst tænkelige scenarie derfor tages i betragtning. Det samme gælder for forskellen mellem fejl af flere størrelser. Denne ejendom er kun karakteristisk for absolut fejl og kan ikke anvendes på relativ afvigelse, da dette uundgåeligt vil føre til et forkert resultat. Lad os se på denne situation ved hjælp af følgende eksempel.

Antag, at målinger inde i cylinderen viste, at den indre radius (R 1) er 97 mm, og den ydre radius (R 2) er 100 mm. Det er nødvendigt at bestemme tykkelsen af ​​dens væg. Lad os først finde forskellen: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Hvis problemet ikke angiver, hvad den absolutte fejl er, tages det som halvdelen af ​​måleapparatets skaladeling. Således er Δ(R2) = Δ(R1) = 0,5 mm. Den totale absolutte fejl er: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Lad os nu beregne den relative afvigelse af alle værdier:

δ(R1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R1).

Som du kan se, overstiger fejlen ved måling af begge radier ikke 5,2%, og fejlen i beregningen af ​​deres forskel - tykkelsen af ​​cylindervæggen - var hele 33,(3)%!

Følgende egenskab siger: den relative afvigelse af produktet af flere tal er omtrent lig med summen af ​​de relative afvigelser af de enkelte faktorer:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

i øvrigt denne regel er sandt uanset antallet af værdier, der evalueres. Den tredje og sidste egenskab ved relativ fejl er, at det relative skøn over antallet kth grad cirka i | k | gange den relative fejl af det oprindelige tal.