Egenskaber for grader med forskellige baser og eksponenter. Grad og dens egenskaber

Et af de vigtigste kendetegn i algebra, og i al matematik, er grad. Selvfølgelig kan alle beregninger i det 21. århundrede laves på en online lommeregner, men det er bedre for hjernens udvikling at lære at gøre det selv.

I denne artikel vil vi overveje de vigtigste spørgsmål vedrørende denne definition. Vi vil nemlig forstå, hvad det er generelt, og hvad dets hovedfunktioner er, hvilke egenskaber der er i matematik.

Lad os se på eksempler på, hvordan regnestykket ser ud, og hvad de grundlæggende formler er. Lad os se på hovedtyperne af mængder, og hvordan de adskiller sig fra andre funktioner.

Lad os forstå, hvordan man løser forskellige problemer ved hjælp af denne mængde. Vi vil med eksempler vise, hvordan man hæver til nulstyrken, irrationel, negativ osv.

Online eksponentieringsberegner

Hvad er en potens af et tal

Hvad menes med udtrykket "hæve et tal til en magt"?

Potensen n af et tal er produktet af størrelsesfaktorer n gange i træk.

Matematisk ser det sådan ud:

a n = a * a * a * …a n .

For eksempel:

• 2 3 = 2 i tredje grad. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 for at trin. to = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 for at trin. fire = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 i 5 trin. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100.000;
• 10 4 = 10 i 4 trin. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000.

Nedenfor er en tabel med firkanter og terninger fra 1 til 10.

Tabel over grader fra 1 til 10

Nedenfor er resultaterne af at hæve naturlige tal til positive potenser - "fra 1 til 100".

Ch-lo	2. st.	3. etape
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Egenskaber for grader

Hvad er karakteristisk for sådan en matematisk funktion? Lad os se på de grundlæggende egenskaber.

Forskere har fastslået følgende tegn, der er karakteristiske for alle grader:

• an*am = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

Lad os tjekke med eksempler:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. På den anden side er 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Tilsvarende: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ellers 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Hvad hvis det er anderledes? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som du kan se, virker reglerne.

Men hvad med med addition og subtraktion? Det er simpelt. Først udføres eksponentiering og derefter addition og subtraktion.

Lad os se på eksempler:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Bemærk venligst: reglen gælder ikke, hvis du trækker først: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Men i dette tilfælde skal du først beregne tilføjelsen, da der er handlinger i parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hvordan man producerer beregninger i mere komplekse sager? Rækkefølgen er den samme:

• hvis der er beslag, skal du starte med dem;
• derefter eksponentiering;
• udfør derefter operationerne multiplikation og division;
• efter addition, subtraktion.

Der er specifikke egenskaber, der ikke er karakteristiske for alle grader:

1. Den n-te rod af tallet a til graden m vil blive skrevet som: a m / n.
2. Når du hæver en brøk til en potens: både tælleren og dens nævner er underlagt denne procedure.
3. Når man hæver produktet af forskellige tal til en potens, vil udtrykket svare til produktet af disse tal til den givne potens. Det vil sige: (a * b) n = a n * b n .
4. Når du hæver et tal til en negativ potens, skal du dividere 1 med et tal i samme århundrede, men med et "+"-tegn.
5. Hvis nævneren af ​​en brøk er til en negativ potens, så vil dette udtryk være lig med produktet af tælleren og nævneren til en positiv potens.
6. Ethvert tal i potensen 0 = 1 og i potensen. 1 = til dig selv.

Disse regler er vigtige i nogle tilfælde, vi vil overveje dem mere detaljeret nedenfor.

Grad med negativ eksponent

Hvad skal man gøre med en minusgrad, dvs. når indikatoren er negativ?

Baseret på egenskab 4 og 5(se punkt ovenfor), det viser sig:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Og omvendt:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Hvad hvis det er en brøkdel?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Grad med naturlig indikator

Det forstås som en grad med eksponenter lig med heltal.

Ting at huske:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...osv.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

Derudover, hvis (-a) 2 n +2, n=0, 1, 2... så vil resultatet være med et "+"-tegn. Hvis et negativt tal hæves til en ulige potens, så omvendt.

Generelle egenskaber og alle de specifikke funktioner beskrevet ovenfor er også karakteristiske for dem.

Brøkdel grad

Denne type kan skrives som et skema: A m / n. Læs som: den n'te rod af tallet A i potensen m.

Du kan gøre, hvad du vil med en brøkindikator: reducere den, opdele den i dele, hæve den til en anden magt osv.

Grad med irrationel eksponent

Lad α være et irrationelt tal og A ˃ 0.

For at forstå essensen af ​​en grad med en sådan indikator, Lad os se på forskellige mulige tilfælde:

• A = 1. Resultatet vil være lig med 1. Da der er et aksiom - er 1 i alle potenser lig med en;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – rationelle tal;

• 0˂А˂1.

I dette tilfælde er det omvendt: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 under samme betingelser som i andet afsnit.

For eksempel er eksponenten tallet π. Det er rationelt.

r 1 - i dette tilfælde er lig med 3;

r 2 – vil være lig med 4.

Så for A = 1, 1 π = 1.

A = 2, derefter 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, derefter (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Sådanne grader er karakteriseret ved alle de matematiske operationer og specifikke egenskaber beskrevet ovenfor.

Konklusion

Lad os opsummere - hvad er disse mængder nødvendige til, hvad er fordelene ved sådanne funktioner? Selvfølgelig forenkler de først og fremmest matematikeres og programmørers liv, når de løser eksempler, da de giver dem mulighed for at minimere beregninger, forkorte algoritmer, systematisere data og meget mere.

Hvor ellers kan denne viden være nyttig? Inden for ethvert arbejdsspeciale: medicin, farmakologi, tandpleje, konstruktion, teknologi, teknik, design osv.

Hvordan multiplicerer man potenser? Hvilke potenser kan ganges, og hvilke kan ikke? Hvordan ganges et tal med en potens?

I algebra kan du finde et produkt af potenser i to tilfælde:

1) hvis graderne har samme basis;

2) hvis graderne har samme indikatorer.

Når potenser ganges med de samme grundtal, skal grundtallet være det samme, og eksponenterne skal tilføjes:

Når grader ganges med de samme indikatorer, kan den overordnede indikator tages ud af parentes:

Lad os se på, hvordan man multiplicerer potenser ved hjælp af specifikke eksempler.

Enheden er ikke skrevet i eksponenten, men ved multiplikation af potenser tager de hensyn til:

Når man multiplicerer, kan der være et hvilket som helst antal potenser. Det skal huskes, at du ikke behøver at skrive multiplikationstegnet før bogstavet:

I udtryk udføres eksponentieringen først.

Hvis du skal gange et tal med en potens, skal du først udføre eksponentieringen, og først derefter multiplikationen:

www.algebraclass.ru

Addition, subtraktion, multiplikation og division af potenser

Addition og subtraktion af potenser

Det er indlysende, at tal med potenser kan tilføjes ligesom andre størrelser , ved at tilføje dem en efter en med deres tegn.

Så summen af ​​a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen af ​​a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds samme magt af identiske variabler kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af ​​2a 2 og 3a 2 er lig med 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis du tager to felter a, eller tre felter a, eller fem felter a.

Men grader forskellige variabler Og forskellige grader identiske variabler, skal sammensættes ved at tilføje dem med deres tegn.

Så summen af ​​en 2'er og en 3'er er summen af ​​en 2'er + en 3'er.

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af ​​a, ikke er lig med to gange kvadratet af a, men to gange terningen af ​​a.

Summen af ​​a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion beføjelser udføres på samme måde som addition, bortset fra at subtrahendernes fortegn skal ændres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplikation af magter

Tal med potenser kan ganges, ligesom andre størrelser, ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden et multiplikationstegn mellem dem.

Resultatet af at gange a 3 med b 2 er således a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje identiske variabler.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3.

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med beløb grader af vilkår.

Så a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen af ​​multiplikationsresultatet, som er lig med 2 + 3, summen af ​​potenserne af led.

Så a n.am = a m+n.

For a n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af ​​n;

Og en m tages som en faktor lige så mange gange som graden m er lig med;

Derfor, potenser med samme grundtal kan ganges ved at lægge potensernes eksponenter sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, bliver resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet af at gange summen eller forskellen af ​​to tal er lig med summen eller forskellen af ​​deres kvadrater.

Hvis du gange summen og forskellen af ​​to tal hævet til firkant, vil resultatet være lig med summen eller forskellen af ​​disse tal i fjerde grader.

Altså (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inddeling af grader

Tal med potenser kan divideres som andre tal ved at trække fra udbyttet eller ved at placere dem i brøkform.

Således er a 3 b 2 divideret med b 2 lig med a 3.

At skrive en 5 divideret med en 3 ligner $\frac $. Men dette er lig med en 2'er. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel indikatorer for delelige tal.

Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil sige $\frac = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil sige $\frac = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ værdier af grader.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker indeholdende tal med potenser

1. Formindsk eksponenterne med $\frac $ Svar: $\frac $.

2. Formindsk eksponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.

3. Reducer eksponenterne a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring dem til en fællesnævner.
a 2 .a -4 er a -2 den første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er en -1 , den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reducer eksponenterne 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og bring dem til en fællesnævner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Gang (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Gang (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Gang b4/a-2 med h-3/x og a n/y-3.

8. Divider a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

Gradens egenskaber

Vi minder dig om, at vi i denne lektion vil forstå egenskaber ved grader med naturlige indikatorer og nul. Potenser med rationelle eksponenter og deres egenskaber vil blive diskuteret i lektionerne for 8. klasse.

En potens med en naturlig eksponent har flere vigtige egenskaber, der giver os mulighed for at forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Ejendom nr. 1
Produkt af magter

Når potenser ganges med de samme grundtal, forbliver grundtallet uændret, og potensernes eksponenter lægges sammen.

a m · a n = a m + n, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

Denne magtegenskab gælder også for produktet af tre eller flere potenser.

Forenkle udtrykket.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Præsenter det som en grad.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Præsenter det som en grad.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bemærk venligst, at vi i den angivne egenskab kun talte om multiplikation af potenser med de samme baser. Det gælder ikke for deres tilføjelse.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståeligt hvis
beregn (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 og 3 5 = 243

Ejendom nr. 2
Delvise grader

Når potenser divideres med samme grundtal, forbliver grundtallet uændret, og divisorens eksponent trækkes fra udbyttets eksponent.

Skriv kvotienten som en potens
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Beregn.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruger egenskaben af ​​kvotientbeføjelser.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved hjælp af egenskab nr. 1 og nr. 2 kan du nemt forenkle udtryk og udføre beregninger.

Eksempel. Forenkle udtrykket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Eksempel. Find værdien af ​​et udtryk ved at bruge eksponenternes egenskaber.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bemærk venligst, at vi i Ejendom 2 kun talte om at dividere potenser med de samme baser.

Du kan ikke erstatte forskellen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståeligt, hvis du beregner (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4

Ejendom nr. 3
At hæve en grad til en magt

Når man hæver en grad til en potens, forbliver gradens basis uændret, og eksponenterne ganges.

(a n) m = a n · m, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

Bemærk venligst, at egenskab nr. 4, ligesom andre egenskaber for grader, også anvendes i omvendt rækkefølge.

(a n · b n)= (a · b) n

Det vil sige, at for at gange potenser med de samme eksponenter, kan du gange baserne, men lade eksponenten være uændret.

Eksempel. Beregn.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Eksempel. Beregn.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

I mere komplekse eksempler kan der være tilfælde, hvor multiplikation og division skal udføres over potenser med forskellige baser og forskellige eksponenter. I dette tilfælde råder vi dig til at gøre følgende.

For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Et eksempel på at hæve en decimal til en potens.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Egenskaber 5
Kraften af ​​en kvotient (brøk)

For at hæve en kvotient til en potens, kan du hæve dividenden og divisoren separat til denne potens og dividere det første resultat med det andet.

(a: b) n = a n: b n, hvor "a", "b" er ethvert rationelt tal, b ≠ 0, n - ethvert naturligt tal.

Eksempel. Præsenter udtrykket som en magtkvotient.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vi minder om, at en kvotient kan repræsenteres som en brøk. Derfor vil vi dvæle ved emnet at hæve en brøk til en potens mere detaljeret på næste side.

Kræfter og rødder

Operationer med kræfter og rødder. Grad med negativ ,

nul og brøk indikator. Om udtryk, der ikke har nogen betydning.

Operationer med grader.

1. Når potenser ganges med samme grundtal, tilføjes deres eksponenter:

en m · a n = a m + n.

2. Når man dividerer grader med samme base, deres eksponenter er fratrukket .

3. Graden af ​​produktet af to eller flere faktorer er lig med produktet af graderne af disse faktorer.

4. Graden af ​​et forhold (brøk) er lig med forholdet mellem graderne af udbyttet (tæller) og divisor (nævner):

(a/b) n = a n/b n.

5. Når man hæver en potens til en potens, ganges deres eksponenter:

Alle ovenstående formler læses og udføres i begge retninger fra venstre mod højre og omvendt.

EKSEMPEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operationer med rødder. I alle nedenstående formler betyder symbolet aritmetisk rod(det radikale udtryk er positivt).

1. Roden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:

2. Roden af ​​et forhold er lig med forholdet mellem rødderne af udbyttet og divisoren:

3. Når du hæver en rod til en magt, er det nok at hæve til denne magt radikalt tal:

4. Hvis du øger graden af ​​roden med m gange og samtidig hæver det radikale tal til mth potens, så ændres værdien af ​​roden ikke:

5. Hvis du reducerer graden af ​​roden med m gange og samtidig udtrækker mth-roden af ​​radikaltallet, så ændres værdien af ​​roden ikke:

Udvidelse af begrebet grad. Hidtil har vi kun betragtet grader med naturlige eksponenter; men operationer med beføjelser og rødder kan også føre til negativ, nul Og fraktioneret indikatorer. Alle disse eksponenter kræver yderligere definition.

En grad med negativ eksponent. Potensen af ​​et bestemt tal med en negativ (heltal) eksponent er defineret som én divideret med potensen af ​​det samme tal med en eksponent lig med den absolutte værdi af den negative eksponent:

Nu formlen en m : en n = a m - n kan bruges ikke kun til m, mere end n, men også med m, Mindre end n .

EKSEMPEL -en 4: -en 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Hvis vi vil have formlen en m : en n = en m — n var fair da m = n, har vi brug for en definition af nulgrad.

En grad med et nulindeks. Potensen af ​​ethvert ikke-nul tal med eksponent nul er 1.

EKSEMPLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For at hæve et reelt tal a til potensen m / n, skal du udtrække den n'te rod af den mte potens af dette tal a:

Om udtryk, der ikke har nogen betydning. Der er flere sådanne udtryk.

Hvor -en ≠ 0 , eksisterer ikke.

Faktisk hvis vi antager det x er et vist tal, så har vi i overensstemmelse med definitionen af ​​divisionsoperationen: -en = 0· x, dvs. -en= 0, hvilket modsiger betingelsen: -en ≠ 0

— ethvert nummer.

Faktisk, hvis vi antager, at dette udtryk er lig med et eller andet tal x, så har vi ifølge definitionen af ​​divisionsoperationen: 0 = 0 · x. Men denne ligestilling finder sted, når ethvert tal x, hvilket var det, der skulle bevises.

0 0 — ethvert nummer.

Løsning Lad os overveje tre hovedsager:

1) x = 0 – denne værdi opfylder ikke denne ligning

2) hvornår x> 0 får vi: x/x= 1, dvs. 1 = 1, hvilket betyder

Hvad x– ethvert nummer; men under hensyntagen til det i

i vores tilfælde x> 0, er svaret x > 0 ;

Regler for multiplikation af potenser med forskellige baser

GRAD MED RATIONEL INDIKATOR,

POWER FUNKTION IV

§ 69. Multiplikation og deling af potenser med samme grundtal

Sætning 1. For at gange potenser med de samme grundtal er det nok at lægge eksponenterne sammen og lade grundtallet være det samme, dvs.

Bevis. Per definition af grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Vi så på produktet af to magter. Faktisk er den beviste egenskab sand for et hvilket som helst antal kræfter med de samme baser.

Sætning 2. For at dividere potenser med de samme grundlag, når indekset for udbyttet er større end indekset for divisor, er det nok at trække indekset for divisor fra indekset for udbyttet og lade basen være det samme, dvs. på t > s

(-en =/= 0)

Bevis. Husk, at kvotienten ved at dividere et tal med et andet er det tal, der, når det ganges med divisoren, giver udbyttet. Bevis derfor formlen hvor -en =/= 0, det er det samme som at bevise formlen

Hvis t > s , derefter nummeret t - s vil være naturligt; derfor ved sætning 1

Sætning 2 er bevist.

Det skal bemærkes, at formlen

vi har kun bevist det under den antagelse, at t > s . Derfor er det, ud fra det, der er blevet bevist, endnu ikke muligt at drage f.eks. følgende konklusioner:

Derudover har vi endnu ikke overvejet grader med negative eksponenter, og vi ved endnu ikke, hvilken betydning der kan tillægges udtryk 3 - 2 .

Sætning 3. For at hæve en grad til en potens, er det nok at gange eksponenterne, så bunden af ​​graden er den samme, det er

Bevis. Ved at bruge definitionen af ​​grad og sætning 1 i dette afsnit får vi:

Q.E.D.

For eksempel, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Mundtligt) Bestem x fra ligningerne:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Sæt nr.) Forenkle:

520. (Sæt nr.) Forenkle:

521. Præsenter disse udtryk i form af grader med de samme baser:

1) 32 og 64; 3) 8 5 og 16 3; 5) 4 100 og 32 50;

2) -1000 og 100; 4) -27 og -243; 6) 81 75 8 200 og 3 600 4 150.

I den sidste videolektion lærte vi, at graden af ​​en bestemt base er et udtryk, der repræsenterer produktet af basen i sig selv, taget i en mængde svarende til eksponenten. Lad os nu studere nogle af magtens vigtigste egenskaber og funktioner.

Lad os for eksempel gange to forskellige potenser med samme grundtal:

Lad os præsentere dette arbejde i sin helhed:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Efter at have beregnet værdien af ​​dette udtryk, får vi tallet 32. På den anden side, som det fremgår af samme eksempel, kan 32 repræsenteres som produktet af den samme base (to), taget 5 gange. Og faktisk, hvis du tæller det med, så:

Derfor kan vi med sikkerhed konkludere, at:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Denne regel fungerer med succes for alle indikatorer og årsager. Denne egenskab ved potensmultiplikation følger af reglen om, at betydningen af ​​udtryk bevares under transformationer i et produkt. For enhver base a er produktet af to udtryk (a)x og (a)y lig med a(x + y). Med andre ord, når nogen udtryk med samme base produceres, har det resulterende monomial en total grad dannet ved at tilføje graderne af det første og andet udtryk.

Den præsenterede regel fungerer også godt, når man multiplicerer flere udtryk. Hovedbetingelsen er, at alle har det samme grundlag. For eksempel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Det er umuligt at tilføje grader, og faktisk at udføre nogen magtbaserede fælles handlinger med to elementer af et udtryk, hvis deres grundlag er forskellige.
Som vores video viser, på grund af ligheden mellem processerne med multiplikation og division, er reglerne for tilføjelse af potenser i et produkt perfekt overført til divisionsproceduren. Overvej dette eksempel:

Lad os omdanne udtrykket led for led til dets fulde form og reducere de samme elementer i dividenden og divisoren:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Slutresultatet af dette eksempel er ikke så interessant, for allerede i processen med at løse det er det klart, at værdien af ​​udtrykket er lig med kvadratet af to. Og det er to, der opnås ved at trække graden af ​​det andet udtryk fra graden af ​​det første.

For at bestemme graden af ​​kvotienten er det nødvendigt at trække graden af ​​divisor fra graden af ​​udbyttet. Reglen fungerer med den samme base for alle dens værdier og for alle naturlige kræfter. I form af abstraktion har vi:

(a) x/(a) y = (a) x - y

Fra reglen om at dividere identiske baser med grader følger definitionen for nulgraden. Det er klart, at følgende udtryk ser sådan ud:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

På den anden side, hvis vi gør opdelingen på en mere visuel måde, får vi:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Ved reduktion af alle synlige elementer i en brøk opnås altid udtrykket 1/1, det vil sige én. Derfor er det generelt accepteret, at enhver base hævet til nulpotensen er lig med én:

Uanset værdien af ​​en.

Det ville dog være absurd, hvis 0 (som stadig giver 0 for enhver multiplikation) på en eller anden måde er lig med én, så et udtryk for formen (0) 0 (nul til nul potens) giver simpelthen ikke mening, og formel ( a) 0 = 1 tilføj en betingelse: "hvis a ikke er lig med 0."

Lad os løse øvelsen. Lad os finde værdien af ​​udtrykket:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Da basen er den samme overalt og lig med 34, vil den endelige værdi have den samme base med en grad (i henhold til ovenstående regler):

Med andre ord:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Svar: udtrykket er lig med én.

Vi minder dig om, at vi i denne lektion vil forstå egenskaber ved grader med naturlige indikatorer og nul. Potenser med rationelle eksponenter og deres egenskaber vil blive diskuteret i lektionerne for 8. klasse.

En potens med en naturlig eksponent har flere vigtige egenskaber, der giver os mulighed for at forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Ejendom nr. 1
Produkt af magter

Husk!

Når potenser ganges med de samme grundtal, forbliver grundtallet uændret, og potensernes eksponenter lægges sammen.

a m · a n = a m + n, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

Denne magtegenskab gælder også for produktet af tre eller flere potenser.

• Forenkle udtrykket.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Præsenter det som en grad.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Præsenter det som en grad.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vigtig!

Bemærk venligst, at vi i den angivne egenskab kun talte om at multiplicere potenser med på samme grund . Det gælder ikke for deres tilføjelse.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståeligt hvis
antal (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 og 3 5 = 243

Ejendom nr. 2
Delvise grader

Husk!

Når potenser divideres med samme grundtal, forbliver grundtallet uændret, og divisorens eksponent trækkes fra udbyttets eksponent.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Eksempel. Løs ligningen. Vi bruger egenskaben af ​​kvotientbeføjelser.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved hjælp af egenskab nr. 1 og nr. 2 kan du nemt forenkle udtryk og udføre beregninger.

• Eksempel. Forenkle udtrykket.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Eksempel. Find værdien af ​​et udtryk ved at bruge eksponenternes egenskaber.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Vigtig!

  Bemærk venligst, at vi i Ejendom 2 kun talte om at dividere potenser med de samme baser.

  Du kan ikke erstatte forskellen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståeligt, hvis du tæller med (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 og 4 1 = 4

  Vær forsigtig!

  Ejendom nr. 3
  At hæve en grad til en magt

  Husk!

  Når man hæver en grad til en potens, forbliver gradens basis uændret, og eksponenterne ganges.

  (a n) m = a n · m, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

  
  

  Egenskaber 4
  Produktkraft

  Husk!

  Når man hæver et produkt til en magt, hæves hver af faktorerne til en magt. De opnåede resultater ganges derefter.

  (a b) n = a n b n, hvor "a", "b" er alle rationelle tal; "n" er ethvert naturligt tal.

  • Eksempel 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Eksempel 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Vigtig!

  Bemærk venligst, at egenskab nr. 4, ligesom andre egenskaber for grader, også anvendes i omvendt rækkefølge.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Det vil sige, at for at gange potenser med de samme eksponenter, kan du gange baserne, men lade eksponenten være uændret.

  • Eksempel. Beregn.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Eksempel. Beregn.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  I mere komplekse eksempler kan der være tilfælde, hvor multiplikation og division skal udføres over potenser med forskellige baser og forskellige eksponenter. I dette tilfælde råder vi dig til at gøre følgende.

  For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Et eksempel på at hæve en decimal til en potens.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Egenskaber 5
  Kraften af ​​en kvotient (brøk)

  Husk!

  For at hæve en kvotient til en potens, kan du hæve dividenden og divisoren separat til denne potens og dividere det første resultat med det andet.

  (a: b) n = a n: b n, hvor "a", "b" er ethvert rationelt tal, b ≠ 0, n er ethvert naturligt tal.

  • Eksempel. Præsenter udtrykket som en magtkvotient.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Vi minder om, at en kvotient kan repræsenteres som en brøk. Derfor vil vi dvæle ved emnet at hæve en brøk til en potens mere detaljeret på næste side.

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Kan du huske det? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater! Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne reglen gælde.

Men hvordan gør man det? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes.

Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændres på samme tid!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Hel vi kalder de naturlige tal, deres modsætninger (det vil sige taget med tegnet " ") og tallet.

positivt heltal, og det er ikke anderledes end naturligt, så ser alt ud nøjagtigt som i forrige afsnit.

Lad os nu se på nye sager. Lad os starte med en indikator lig med.

Ethvert tal i nulpotensen er lig med én:

Lad os som altid spørge os selv: hvorfor er det sådan?

Lad os overveje en vis grad med en base. Tag for eksempel og gang med:

Så vi gangede tallet med, og vi fik det samme som det var - . Hvilket tal skal du gange med, så intet ændrer sig? Det er rigtigt, på. Midler.

Vi kan gøre det samme med et vilkårligt tal:

Lad os gentage reglen:

Ethvert tal i nulpotensen er lig med én.

Men der er undtagelser fra mange regler. Og her er det der også - dette er et tal (som en base).

På den ene side skal det være lig i en hvilken som helst grad - uanset hvor meget du gange nul med sig selv, vil du stadig få nul, det er klart. Men på den anden side, ligesom ethvert tal i nulpotensen, skal det være ens. Så hvor meget af dette er sandt? Matematikerne besluttede ikke at blive involveret og nægtede at hæve nul til nul potens. Det vil sige, at nu kan vi ikke kun dividere med nul, men også hæve det til nul-potensen.

Lad os gå videre. Ud over naturlige tal og tal omfatter heltal også negative tal. For at forstå, hvad en negativ potens er, lad os gøre som sidste gang: gange et normalt tal med det samme tal til en negativ potens:

Herfra er det nemt at udtrykke, hvad du leder efter:

Lad os nu udvide den resulterende regel til en vilkårlig grad:

Så lad os formulere en regel:

Et tal med en negativ potens er det gensidige af det samme tal med en positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dividere med).

Lad os opsummere:

I. Udtrykket er ikke defineret i sagen. Hvis så.

II. Ethvert tal i nulpotensen er lig med en:.

III. Et tal, der ikke er lig med nul til en negativ potens, er det omvendte af det samme tal til en positiv potens:.

Opgaver til selvstændig løsning:

Nå, som sædvanlig, eksempler på uafhængige løsninger:

Analyse af problemer til uafhængig løsning:

Jeg ved, jeg ved, tallene er skræmmende, men på Unified State Exam skal du være forberedt på hvad som helst! Løs disse eksempler eller analyser deres løsninger, hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære at håndtere dem nemt i eksamen!

Lad os fortsætte med at udvide rækken af ​​tal "egnede" som eksponent.

Lad os nu overveje rationelle tal. Hvilke tal kaldes rationelle?

Svar: alt, der kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal, og.

For at forstå hvad det er "brøkdel grad", overvej brøken:

Lad os hæve begge sider af ligningen til en potens:

Lad os nu huske reglen om "grad til grad":

Hvilket tal skal hæves til en magt for at få?

Denne formulering er definitionen af ​​roden af ​​th grad.

Lad mig minde dig om: roden af ​​th potens af et tal () er et tal, der, når det hæves til en potens, er lig med.

Det vil sige, at roden af ​​th potens er den omvendte operation af at hæve til en potens:.

Det viser sig at. Dette særlige tilfælde kan naturligvis udvides: .

Nu tilføjer vi tælleren: hvad er det? Svaret er nemt at få ved hjælp af magt-til-kraft-reglen:

Men kan basen være et hvilket som helst tal? Roden kan jo ikke udtrækkes fra alle tal.

Ingen!

Lad os huske reglen: ethvert tal hævet til en lige potens er et positivt tal. Det vil sige, at det er umuligt at udtrække lige rødder fra negative tal!

Det betyder, at sådanne tal ikke kan hæves til en brøkpotens med en lige nævner, det vil sige, at udtrykket ikke giver mening.

Hvad med udtrykket?

Men her opstår et problem.

Tallet kan repræsenteres i form af andre, reducerbare brøker, for eksempel eller.

Og det viser sig, at det findes, men ikke eksisterer, men det er blot to forskellige optegnelser med samme antal.

Eller et andet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver indikatoren anderledes ned, kommer vi igen i problemer: (det vil sige, vi fik et helt andet resultat!).

For at undgå sådanne paradokser, overvejer vi kun positiv baseeksponent med fraktioneret eksponent.

Så hvis:

• - naturligt tal;
• - heltal;

Eksempler:

Rationelle eksponenter er meget nyttige til at transformere udtryk med rødder, for eksempel:

5 eksempler til praksis

Analyse af 5 eksempler til træning

1. Glem ikke de sædvanlige egenskaber ved grader:

2. . Her husker vi, at vi glemte at lære gradertabellen:

trods alt - dette er eller. Løsningen findes automatisk: .

Nå, nu kommer den sværeste del. Nu finder vi ud af det grad med irrationel eksponent.

Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelse

Irrationelle tal er jo per definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (det vil sige, at irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange;

...tal til nul potens- det er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, de er endnu ikke begyndt at gange det, hvilket betyder, at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et vist "tomt tal" , nemlig et nummer;

...negativ heltalsgrad- det er som om der var sket en "omvendt proces", det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Forresten, i videnskab bruges ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at eksponenten ikke engang er et reelt tal.

Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

HVOR ER VI SIKKERE, AT DU GÅR! (hvis du lærer at løse sådanne eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse af løsninger:

1. Lad os starte med den sædvanlige regel for at hæve en magt til en magt:

Se nu på indikatoren. Minder han dig ikke om noget? Lad os huske formlen for forkortet multiplikation af forskellen mellem kvadrater:

I dette tilfælde,

Det viser sig at:

Svar: .

2. Vi reducerer brøker i eksponenter til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får fx:

Svar: 16

3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

AVANCERET NIVEAU

Gradsbestemmelse

En grad er et udtryk for formen: , hvor:

• — grad base;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

At hæve et tal til den naturlige potens n betyder at gange tallet med sig selv gange:

Grad med en heltalseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltal nummer:

Konstruktion til nulgraden:

Udtrykket er ubestemt, fordi på den ene side i enhver grad er dette, og på den anden side er ethvert tal i th grad dette.

Hvis eksponenten er negativt heltal nummer:

(fordi du ikke kan dividere med).

Endnu en gang om nuller: udtrykket er ikke defineret i casen. Hvis så.

Eksempler:

Power med rationel eksponent

• - naturligt tal;
• - heltal;

Eksempler:

Egenskaber for grader

For at gøre det lettere at løse problemer, lad os prøve at forstå: hvor kom disse egenskaber fra? Lad os bevise dem.

Lad os se: hvad er og?

A-priory:

Så på højre side af dette udtryk får vi følgende produkt:

Men per definition er det en potens af et tal med en eksponent, det vil sige:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel Nødvendigvis der må være de samme grunde. Derfor kombinerer vi kræfterne med basen, men det forbliver en separat faktor:

En anden vigtig bemærkning: denne regel - kun for produkt af beføjelser!

Det kan du under ingen omstændigheder skrive.

Ligesom med den forrige egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​grad:

Lad os omgruppere dette arbejde sådan her:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv gange, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "at tage indikatoren ud af parentes." Men du kan aldrig gøre dette i alt: !

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive? Men det er trods alt ikke sandt.

Strøm med negativ base.

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvordan det skulle være indeks grader. Men hvad skal grundlaget være? I beføjelser af naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer .

Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige. Lad os tænke på, hvilke tegn ("" eller "") der vil have grader af positive og negative tal?

Er tallet for eksempel positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker den enkle regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Altså eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre ad infinitum: For hver efterfølgende multiplikation vil tegnet ændre sig. Følgende enkle regler kan formuleres:

1. også selvom grad, - antal positiv.
2. Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
3. Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
4. Nul til enhver potens er lig med nul.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarede du dig? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på basis og eksponent og anvender den passende regel.

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: det er trods alt ligegyldigt, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt. Nå, undtagen når basen er nul. Grundlaget er ikke ens, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt. Her skal du finde ud af, hvad der er mindre: eller? Hvis vi husker det, bliver det klart, hvilket betyder, at basen er mindre end nul. Det vil sige, at vi anvender regel 2: resultatet bliver negativt.

Og igen bruger vi definitionen af ​​grad:

Alt er som det plejer - vi skriver definitionen af ​​grader ned og deler dem med hinanden, deler dem op i par og får:

Før vi ser på den sidste regel, lad os løse et par eksempler.

Beregn udtrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Kan du huske det? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater!

Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne regel 3 finde anvendelse. Men hvordan? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

Hvis du ganger det med, ændres intet, vel? Men nu bliver det sådan her:

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes. Men det er vigtigt at huske: Alle tegn ændrer sig på samme tid! Du kan ikke erstatte med ved kun at ændre én ulempe, vi ikke kan lide!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Så nu den sidste regel:

Hvordan vil vi bevise det? Selvfølgelig, som sædvanlig: lad os udvide begrebet grad og forenkle det:

Nå, lad os nu åbne parenteserne. Hvor mange bogstaver er der i alt? gange med multiplikatorer - hvad minder det dig om? Dette er intet andet end en definition af en operation multiplikation: Der var kun multiplikatorer der. Det vil sige, at dette per definition er en potens af et tal med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrationel eksponent

Udover information om grader for gennemsnitsniveauet vil vi analysere graden med en irrationel eksponent. Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelsen - trods alt er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (dvs. , irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationale tal).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange; et tal til nulpotensen er så at sige et tal ganget med sig selv gange, det vil sige, at de endnu ikke er begyndt at gange det, hvilket betyder at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et sikkert tal "blankt nummer", nemlig et tal; en grad med en heltal negativ eksponent - det er som om en "omvendt proces" havde fundet sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Det er ekstremt svært at forestille sig en grad med en irrationel eksponent (ligesom det er svært at forestille sig et 4-dimensionelt rum). Det er snarere et rent matematisk objekt, som matematikere skabte for at udvide begrebet grad til hele rummet af tal.

Forresten, i videnskab bruges ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at eksponenten ikke engang er et reelt tal. Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

Så hvad gør vi, hvis vi ser en irrationel eksponent? Vi gør vores bedste for at slippe af med det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Lad os huske forskellen mellem kvadraters formel. Svar: .
2. Vi reducerer brøkerne til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

RESUMÉ AF AFSNIT OG GRUNDFORMLER

Grad kaldet et udtryk for formen: , hvor:

Grad med en heltalseksponent

en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

Power med rationel eksponent

grad, hvis eksponent er negative tal og brøktal.

Grad med irrationel eksponent

en grad, hvis eksponent er en uendelig decimalbrøk eller rod.

Egenskaber for grader

Funktioner af grader.

• Negativt tal hævet til også selvom grad, - antal positiv.
• Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
• Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
• Nul er lig med enhver magt.
• Ethvert tal i nulpotensen er lig.

NU HAR DU ORDET...

Hvordan kan du lide artiklen? Skriv nedenfor i kommentarerne, om du kunne lide det eller ej.

Fortæl os om din erfaring med at bruge gradsegenskaber.

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne.

Og held og lykke med dine eksamener!