Primtalsregler. Primtal: historie og fakta

Artiklen diskuterer begreberne primtal og sammensatte tal. Definitioner af sådanne tal er givet med eksempler. Vi giver et bevis på, at antallet af primtal er ubegrænset, og vi vil registrere det i tabellen over primtal ved hjælp af Eratosthenes-metoden. Der vil blive givet bevis for, om et tal er primtal eller sammensat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Primtal og sammensatte tal - definitioner og eksempler

Primtal og sammensatte tal klassificeres som positive heltal. De skal være større end én. Divisorer er også opdelt i simple og sammensatte. For at forstå begrebet sammensatte tal, skal du først studere begreberne divisorer og multipla.

Definition 1

Primtal er heltal, der er større end et og har to positive divisorer, det vil sige sig selv og 1.

Definition 2

Sammensatte tal er heltal, der er større end et og har mindst tre positive divisorer.

Det ene er hverken et primtal eller et sammensat tal. Den har kun én positiv divisor, så den er forskellig fra alle andre positive tal. Alle positive heltal kaldes naturlige tal, det vil sige bruges til at tælle.

Definition 3

Primtal er naturlige tal, der kun har to positive delere.

Definition 4

Komposit nummer er et naturligt tal, der har mere end to positive delere.

Ethvert tal, der er større end 1, er enten primtal eller sammensat. Fra delelighedsegenskaben har vi, at 1 og tallet a altid vil være divisorer for ethvert tal a, det vil sige, det vil være deleligt med sig selv og med 1. Lad os give en definition af heltal.

Definition 5

Naturlige tal, der ikke er primtal, kaldes sammensatte tal.

Primtal: 2, 3, 11, 17, 131, 523. De er kun delelige med sig selv og 1. Sammensatte tal: 6, 63, 121, 6697. Det vil sige, at tallet 6 kan dekomponeres til 2 og 3, og 63 til 1, 3, 7, 9, 21, 63 og 121 til 11, 11, det vil sige, at dets divisorer vil være 1, 11, 121. Tallet 6697 er opdelt i 37 og 181. Bemærk, at begreberne primtal og coprimtal er forskellige begreber.

For at gøre det nemmere at bruge primtal skal du bruge en tabel:

En tabel for alle eksisterende naturlige tal er urealistisk, da der er et uendeligt antal af dem. Når tallene når størrelser på 10000 eller 1000000000, bør du overveje at bruge Eratosthenes Sieve.

Lad os overveje sætningen, der forklarer det sidste udsagn.

Sætning 1

Mindste positive divisor bortset fra 1 naturligt tal, større end én, er et primtal.

Bevis 1

Lad os antage, at a er et naturligt tal, der er større end 1, b er den mindste ikke-en divisor af a. Det er nødvendigt at bevise, at b er et primtal ved hjælp af modsigelsesmetoden.

Lad os antage, at b er et sammensat tal. Herfra har vi, at der er en divisor for b, som er forskellig fra 1 såvel som fra b. En sådan divisor betegnes som b 1. Det er nødvendigt, at betingelse 1< b 1 < b blev afsluttet.

Af betingelsen fremgår det klart, at a divideres med b, b divideres med b 1, hvilket betyder, at delelighedsbegrebet udtrykkes således: a = b q og b = b 1 · q 1, hvorfra a = b 1 · (q 1 · q), hvor q og q 1 er heltal. Ifølge reglen om multiplikation af heltal har vi, at produktet af heltal er et heltal med en lighed på formen a = b 1 · (q 1 · q) . Det kan ses, at b 1 er divisor for tallet a. Ulighed 1< b 1 < b Ikke svarer, fordi vi finder, at b er den mindste positive og ikke-1 divisor af a.

Sætning 2

Der er et uendeligt antal primtal.

Bevis 2

Formentlig tager vi et endeligt antal naturlige tal n og betegner dem som p 1, p 2, …, p n. Lad os overveje muligheden for at finde et primtal forskelligt fra de angivne.

Lad os tage tallet p i betragtning, som er lig med p 1, p 2, ..., p n + 1. Det er ikke lig med hvert af de tal, der svarer til primtal på formen p 1, p 2, ..., p n. Tallet p er primtal. Så anses sætningen for at være bevist. Hvis det er sammensat, skal du tage notationen p n + 1 og vis at divisor ikke falder sammen med nogen af p 1, p 2, ..., p n.

Hvis dette ikke var tilfældet, så baseret på delelighedsegenskaben for produktet p 1, p 2, ..., p n , vi finder ud af, at det ville være deleligt med pn + 1. Bemærk, at udtrykket p n + 1 at dividere tallet p er lig med summen p 1, p 2, ..., p n + 1. Vi får, at udtrykket p n + 1 Det andet led i denne sum, som er lig med 1, skal divideres, men det er umuligt.

Det kan ses, at ethvert primtal kan findes blandt et hvilket som helst antal givne primtal. Heraf følger, at der er uendeligt mange primtal.

Da der er mange primtal, er tabellerne begrænset til tallene 100, 1000, 10000 og så videre.

Når du kompilerer en tabel med primtal, skal du tage højde for, at en sådan opgave kræver sekventiel kontrol af tal, startende fra 2 til 100. Hvis der ikke er nogen divisor, registreres det i tabellen, hvis det er sammensat, så indtastes det ikke i tabellen.

Lad os se på det trin for trin.

Hvis du starter med tallet 2, så har det kun 2 divisorer: 2 og 1, hvilket betyder, at det kan indtastes i tabellen. Det samme med tallet 3. Tallet 4 er sammensat; det skal dekomponeres i 2 og 2. Tallet 5 er primtal, hvilket betyder, at det kan optages i tabellen. Gør dette indtil tallet 100.

Denne metode ubelejligt og langt. Du kan oprette en tabel, men du bliver nødt til at bruge et stort antal af tid. Det er nødvendigt at bruge delelighedskriterier, som vil fremskynde processen med at finde divisorer.

Metoden ved hjælp af sigten af Eratosthenes betragtes som den mest bekvemme. Lad os se på tabellerne nedenfor som et eksempel. Til at begynde med skrives tallene 2, 3, 4, ..., 50 ned.

Nu skal du overstrege alle de tal, der er multipla af 2. Udfør sekventielle gennemstregninger. Vi får et bord som:

Vi går videre til at overstrege tal, der er multipla af 5. Vi får:

Overstrege tal, der er multipla af 7, 11. I sidste ende ser bordet ud

Lad os gå videre til formuleringen af sætningen.

Sætning 3

Den mindste positive og ikke-1 divisor af grundtallet a overstiger ikke a, hvor a er den aritmetiske rod af det givne tal.

Bevis 3

Skal betegnes b mindste divisor sammensat nummer a. Der er et heltal q, hvor a = b · q, og vi har, at b ≤ q. Uligheder i formen er uacceptable b > q, fordi betingelsen er overtrådt. Begge sider af uligheden b ≤ q skal ganges med ethvert positivt tal b, der ikke er lig med 1. Vi får, at b · b ≤ b · q, hvor b 2 ≤ a og b ≤ a.

Ud fra den beviste sætning er det klart, at overstregning af tal i tabellen fører til, at det er nødvendigt at starte med et tal, der er lig med b 2 og opfylder uligheden b 2 ≤ a. Det vil sige, at hvis du overstreger tal, der er multipla af 2, så begynder processen med 4, og multipla af 3 med 9, og så videre indtil 100.

At kompilere en sådan tabel ved hjælp af Eratosthenes' sætning antyder, at når alle sammensatte tal er overstreget, vil der forblive primtal, der ikke overstiger n. I eksemplet, hvor n = 50, har vi, at n = 50. Herfra får vi, at Eratosthenes sigte sigter alle sammensatte tal ud, der ikke er signifikante i værdi. større værdi rod af 50. Søgning efter tal sker ved at strege over.

Før du løser, skal du finde ud af, om tallet er primtal eller sammensat. Delbarhedskriterier bruges ofte. Lad os se på dette i eksemplet nedenfor.

Eksempel 1

Bevis, at tallet 898989898989898989 er sammensat.

Løsning

Summen af cifrene i et givet tal er 9 8 + 9 9 = 9 17. Det betyder, at tallet 9 · 17 er deleligt med 9, baseret på delelighedstesten med 9. Det følger heraf, at det er sammensat.

Sådanne tegn er ikke i stand til at bevise primeness af et tal. Hvis der er behov for verifikation, bør der træffes andre handlinger. Den bedst egnede måde er at opregne tal. Under processen kan primtal og sammensatte tal findes. Det vil sige, at tallene ikke må overstige en i værdi. Det vil sige, at tallet a skal faktoriseres til primfaktorer. hvis dette er opfyldt, kan tallet a betragtes som et primtal.

Eksempel 2

Bestem det sammensatte eller primtal 11723.

Løsning

Nu skal du finde alle divisorerne for tallet 11723. Skal vurdere 11723.

Herfra ser vi, at 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 og 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 mindre antal 200 .

For et mere præcist estimat af tallet 11723 skal du skrive udtrykket 108 2 = 11 664, og 109 2 = 11 881 , At 108 2 < 11 723 < 109 2 . Det følger, at 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Når vi udvider, finder vi, at 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 er alle primtal. Hele denne proces kan afbildes som opdeling med en kolonne. Det vil sige dividere 11723 med 19. Tallet 19 er en af dets faktorer, da vi får division uden en rest. Lad os repræsentere opdelingen som en kolonne:

Det følger heraf, at 11723 er et sammensat tal, fordi det ud over sig selv og 1 har en divisor på 19.

Svar: 11723 er et sammensat tal.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

primtal

et naturligt tal større end én og uden andre divisorer end sig selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Antallet af primtal er uendeligt.

primtal

et positivt heltal større end én, som ikke har andre divisorer end sig selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Begrebet et tal er grundlæggende i studiet af deleligheden af naturlige (positive heltal) ) tal; Hovedsætningen i delelighedsteorien fastslår nemlig, at hvert positivt heltal, undtagen 1, er entydigt dekomponeret i produktet af et antal tal (faktorernes rækkefølge tages ikke i betragtning). Der er uendeligt mange primtal (denne påstand var kendt af oldgræske matematikere; dets bevis er tilgængeligt i den 9. bog af Euklids elementer). Spørgsmål om naturlige tals delelighed, og derfor spørgsmål relateret til primtal, er vigtige i studiet af grupper; især er strukturen af en gruppe med et endeligt antal elementer tæt forbundet med den måde, hvorpå dette antal elementer (rækkefølgen af gruppen) er dekomponeret i primfaktorer. Teorien om algebraiske tal beskæftiger sig med spørgsmålene om delelighed af algebraiske heltal; Begrebet et partielt tal viste sig at være utilstrækkeligt til at konstruere en teori om delelighed, hvilket førte til skabelsen af et ideal. P. G. L. Dirichlet konstaterede i 1837, at den aritmetiske progression a + bx for x = 1, 2,... med coprime-heltal a og b indeholder uendeligt mange primtal Det er meget vanskeligt at bestemme fordelingen af primtal i den naturlige talrække problem i talteori. Det er formuleret som en undersøgelse af den asymptotiske adfærd af funktionen p(x), som angiver antallet af partielle tal, der ikke overstiger et positivt tal x. De første resultater i denne retning tilhører P.L. Chebyshev, som i 1850 beviste, at der er to konstanter a og A, således at ═.< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

Efterfølgende blev betydelige bestræbelser fra matematikere rettet mod at afklare den asymptotiske lov om fordelingen af P.-tallet. Spørgsmål om fordelingen af P.-tallet studeres og elementære metoder og metoder matematisk analyse. Særligt frugtbar er metoden baseret på brugen af identiteten

(produktet strækker sig til alle P. h. p = 2, 3,...), først angivet af L. Euler; denne identitet er gyldig for alle komplekse s med en reel del større end enhed. På baggrund af denne identitet ledes spørgsmål om fordelingen af P.-tal til studiet af en speciel funktion ≈ zetafunktion x(s), bestemt for Res > 1 af serien

Denne funktion blev brugt i spørgsmål om fordelingen af primtal for reelle s af Chebyshev; B. Riemann påpegede vigtigheden af at studere x(s) for komplekse værdier af s. Riemann antog, at alle rødder af ligningen x(s) = 0, der ligger i højre halvplan, har en reel del lig med 1/

Denne hypotese er ikke blevet bevist til dato (1975); dets bevis ville gøre meget for at løse problemet med fordelingen af primtal Spørgsmål om fordelingen af primtal er tæt forbundet med Goldbachs problem, det stadig uløste problem med "tvillinger" og andre problemer med analytisk talteori. Problemet med "tvillingerne" er at finde ud af, om antallet af P.-tal, der adskiller sig med 2 (som f.eks. 11 og 13) er endeligt eller uendeligt. Tabeller med P.-tal, der ligger inden for de første 11 millioner naturlige tal, viser tilstedeværelsen af meget store "tvillinger" (f.eks. 10006427 og 10006429), men dette er ikke et bevis på uendeligheden af deres antal. Uden for de kompilerede tabeller kendes individuelle partialtal, der tillader et simpelt aritmetisk udtryk [for eksempel blev det fastslået (1965), at 211213 ≈1 er et regulært tal; den har 3376 cifre].

Lit.: Vinogradov I.M., Fundamentals of Number Theory, 8. udgave, M., 1972; Hasse G., Forelæsninger om talteori, trans. fra German, M., 1953; Ingham A. E., Fordeling af primtal, trans. fra engelsk, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Fordeling af primtal, trans. fra German, M., 1967; Trost E., Primtal, oversættelse, fra tysk, M., 1959.

Wikipedia

primtal

primtal- et naturligt tal, der har præcis to forskellige naturlige divisorer - og sig selv. Med andre ord antallet x er primtal, hvis den er større end 1 og er delelig uden rest kun med 1 og x. For eksempel er 5 et primtal, og 6 er et sammensat tal, da det ud over 1 og 6 også er deleligt med 2 og 3.

Naturlige tal, der er større end et og ikke er primtal, kaldes sammensatte tal. Således er alle naturlige tal opdelt i tre klasser: en. Talteori studerer primtals egenskaber. I ringteori svarer primtal til irreducerbare elementer.

Rækkefølgen af primtal starter således:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

Optælling af divisorer. Per definition tal n er kun prime, hvis det ikke er ligeligt deleligt med 2 og andre heltal undtagen 1 og sig selv. Ovenstående formel fjerner unødvendige trin og sparer tid: for eksempel, efter at have kontrolleret, om et tal er deleligt med 3, er det ikke nødvendigt at kontrollere, om det er deleligt med 9.

Etage(x)-funktionen afrunder x til det nærmeste heltal, der er mindre end eller lig med x.

Lær om modulær aritmetik. Operationen er "x mod y" (mod er en forkortelse for latinske ord"modulo" betyder "divider x med y og find resten." Med andre ord, i modulær aritmetik, ved at nå en vis værdi, som kaldes modul, "vender" tallene til nul igen. For eksempel holder et ur tid med et modul på 12: det viser klokken 10, 11 og 12 og vender derefter tilbage til 1.

Mange lommeregnere har en mod-nøgle. Slutningen af dette afsnit viser, hvordan man manuelt beregner denne funktion for store tal.

Lær om faldgruberne i Fermats lille sætning. Alle tal, for hvilke testbetingelserne ikke er opfyldt, er sammensatte, men de resterende tal er kun sandsynligvis klassificeres som simple. Hvis du vil undgå forkerte resultater, så kig efter n på listen over "Carmichael-numre" (sammensatte tal, der opfylder denne test) og "pseudo-prime Fermat-tal" (disse tal svarer kun til testbetingelserne for nogle værdier -en).

Hvis det er praktisk, brug Miller-Rabin-testen. Selvom denne metode er ret besværlig at beregne manuelt, bruges den ofte i computerprogrammer. Det giver acceptabel hastighed og giver færre fejl end Fermats metode. Et sammensat tal vil ikke blive accepteret som et primtal, hvis der foretages beregninger for mere end ¼ af værdierne -en. Hvis du vælger tilfældigt forskellige betydninger -en og for dem alle vil testen give et positivt resultat, vi kan med en ret høj grad af tillid antage, at n er et primtal.

For store tal, brug modulær aritmetik. Hvis du ikke har en lommeregner med mod ved hånden, eller din lommeregner ikke er designet til at håndtere så store tal, skal du bruge egenskaberne for potenser og modulær aritmetik til at gøre beregningerne nemmere. Nedenfor er et eksempel på 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

Omskriv udtrykket i en mere bekvem form: mod 50. Når du laver manuelle beregninger, kan yderligere forenklinger være nødvendige.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Her tog vi hensyn til egenskaben ved modulær multiplikation.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
= 49 (\displaystyle =49).

Oversættelse

Primtals egenskaber blev først undersøgt af matematikere Det gamle Grækenland. Matematikere fra den pythagoræiske skole (500 - 300 f.Kr.) var primært interesserede i de mystiske og numerologiske egenskaber ved primtal. De var de første, der kom med ideer om perfekte og venlige tal.

Et perfekt tal har en sum af sine egne divisorer lig med sig selv. For eksempel er de rigtige divisorer for tallet 6 1, 2 og 3. 1 + 2 + 3 = 6. Divisorerne for tallet 28 er 1, 2, 4, 7 og 14. Desuden er 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Tal kaldes venlige, hvis summen af de rigtige divisorer af et tal er lig med et andet, og omvendt - for eksempel 220 og 284. Vi kan sige, at et perfekt tal er venligt over for sig selv.

På tidspunktet for Euklids elementer i 300 f.Kr. flere er allerede blevet bevist vigtige fakta om primtal. I Elementernes Bog IX beviste Euklid, at der er et uendeligt antal primtal. Dette er i øvrigt et af de første eksempler på at bruge bevis ved modsigelse. Han beviser også aritmetikkens grundlæggende sætning - hvert heltal kan repræsenteres unikt som et produkt af primtal.

Han viste også, at hvis tallet 2n-1 er primtal, så vil tallet 2n-1 * (2n-1) være perfekt. En anden matematiker, Euler, var i stand til at vise i 1747, at alle lige perfekte tal kan skrives i denne form. Den dag i dag er det uvist, om der findes ulige perfekte tal.

I år 200 f.Kr. Den græske Eratosthenes kom op med en algoritme til at finde primtal kaldet Eratosthenes Sieve.

Og så skete det stor pause i historien om studiet af primtal, forbundet med middelalderen.

Følgende opdagelser blev gjort allerede i begyndelsen af det 17. århundrede af matematikeren Fermat. Han beviste Albert Girards formodning om, at ethvert primtal af formen 4n+1 kan skrives entydigt som summen af to kvadrater, og formulerede også sætningen om, at ethvert tal kan skrives som summen af fire kvadrater.

Han udviklede sig ny metode faktorisering af store tal, og demonstrerede det på tallet 2027651281 = 44021 × 46061. Han beviste også Fermats lille sætning: hvis p er et primtal, så vil det for ethvert heltal a være sandt, at a p = a modulo p.

Dette udsagn beviser halvdelen af det, der var kendt som den "kinesiske formodning" og går 2000 år tilbage: et helt tal n er primtal, hvis og kun hvis 2 n -2 er deleligt med n. Den anden del af hypotesen viste sig at være falsk - for eksempel er 2.341 - 2 deleligt med 341, selvom tallet 341 er sammensat: 341 = 31 × 11.

Fermats lille sætning tjente som grundlag for mange andre resultater inden for talteori og metoder til at teste om tal er primtal – hvoraf mange stadig bruges i dag.

Fermat korresponderede meget med sine samtidige, især med en munk ved navn Maren Mersenne. I et af sine breve antog han, at tal på formen 2 n +1 altid vil være primtal, hvis n er en potens af to. Han testede dette for n = 1, 2, 4, 8 og 16 og var overbevist om, at i det tilfælde, hvor n ikke var en potens af to, var tallet ikke nødvendigvis primtal. Disse tal kaldes Fermats tal, og kun 100 år senere viste Euler, at det næste tal, 2 32 + 1 = 4294967297, er deleligt med 641, og derfor ikke er primtal.

Tal på formen 2 n - 1 har også været genstand for forskning, da det er let at vise, at hvis n er sammensat, så er selve tallet også sammensat. Disse tal kaldes Mersenne-numre, fordi han studerede dem indgående.

Men ikke alle tal på formen 2 n - 1, hvor n er primtal, er primtal. For eksempel, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dette blev først opdaget i 1536.

I mange år har tal af denne art givet matematikere de største kendte primtal. At M 19 blev bevist af Cataldi i 1588, og i 200 år var det største kendte primtal, indtil Euler beviste, at M 31 også var primtal. Denne rekord stod i yderligere hundrede år, og så viste Lucas, at M 127 er prime (og dette er allerede et tal på 39 cifre), og derefter fortsatte forskningen med computernes fremkomst.

I 1952 blev primiteten af tallene M 521, M 607, M 1279, M 2203 og M 2281 bevist.

I 2005 var der fundet 42 Mersenne-primtal. Den største af dem, M 25964951, består af 7816230 cifre.

Eulers arbejde havde en enorm indflydelse på teorien om tal, herunder primtal. Han udvidede Fermats lille sætning og introducerede φ-funktionen. Faktoriseret den 5. Fermat nummer 2 32 +1, fundet 60 par venlige tal, og formulerede (men kunne ikke bevise) den kvadratiske reciprocitetslov.

Han var den første til at introducere metoder til matematisk analyse og udvikle analytisk talteori. Han beviste, at ikke kun den harmoniske række ∑ (1/n), men også en række af formen

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Resultatet opnået ved summen af de reciproke primtal afviger også. Summen af n led af den harmoniske række vokser omtrent som log(n), og den anden række divergerer langsommere som log[ log(n) ]. Det betyder, at f.eks. beløbet gensidige til alle primtal fundet til dato vil kun give 4, selvom rækken stadig divergerer.

Ved første øjekast ser det ud til, at primtal er fordelt ret tilfældigt blandt heltal. For eksempel er der blandt de 100 tal umiddelbart før 10000000 9 primtal, og blandt de 100 tal umiddelbart efter denne værdi er der kun 2. Men over store segmenter er primtallene fordelt ret ligeligt. Legendre og Gauss beskæftigede sig med spørgsmål om deres distribution. Gauss fortalte engang en ven, at han i alle frie 15 minutter altid tæller antallet af primtal i de næste 1000 tal. Ved slutningen af sit liv havde han talt alle primtal op til 3 millioner. Legendre og Gauss beregnede ligeledes, at for store n er primtætheden 1/log(n). Legendre estimerede antallet af primtal i området fra 1 til n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Og Gauss er som et logaritmisk integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Med et integrationsinterval fra 2 til n.

Udsagnet om tætheden af primtal 1/log(n) er kendt som Prime Distribution Theorem. De forsøgte at bevise det gennem det 19. århundrede, og fremskridt blev opnået af Chebyshev og Riemann. De forbandt det med Riemann-hypotesen, en stadig ubevist hypotese om fordelingen af nuller af Riemann-zeta-funktionen. Tætheden af primtal blev samtidigt bevist af Hadamard og Vallée-Poussin i 1896.

Der er stadig mange uløste spørgsmål i primtalsteorien, hvoraf nogle er hundreder af år gamle:

Tvillingprimhypotesen handler om et uendeligt antal par af primtal, der adskiller sig fra hinanden med 2
Goldbachs formodning: ethvert lige tal, der starter med 4, kan repræsenteres som summen af to primtal
Er der et uendeligt antal primtal på formen n 2 + 1?
Er det altid muligt at finde et primtal mellem n 2 og (n + 1) 2? (det faktum, at der altid er et primtal mellem n og 2n blev bevist af Chebyshev)
Er antallet af Fermat-primtal uendeligt? Er der nogen Fermat-primtal efter 4?
findes det aritmetisk progression af på hinanden følgende primtal for en given længde? for eksempel for længde 4: 251, 257, 263, 269. Den maksimale fundet længde er 26.
Er der et uendeligt antal sæt af tre på hinanden følgende primtal i en aritmetisk progression?
n 2 - n + 41 er et primtal for 0 ≤ n ≤ 40. Er der et uendeligt antal af sådanne primtal? Det samme spørgsmål for formlen n 2 - 79 n + 1601. Disse tal er primtal for 0 ≤ n ≤ 79.
Er der et uendeligt antal primtal på formen n# + 1? (n# er resultatet af at gange alle primtal mindre end n)
Er der et uendeligt antal primtal på formen n# -1?
Er der et uendeligt antal primtal på formen n? + 1?
Er der et uendeligt antal primtal på formen n? - 1?
hvis p er primtal, indeholder 2 p -1 så ikke primtals kvadrater blandt sine faktorer?
indeholder Fibonacci-sekvensen et uendeligt antal primtal?

De største tvillingeprimtal er 2003663613 × 2 195000 ± 1. De består af 58711 cifre og blev opdaget i 2007.

Det største faktorielle primtal (af typen n! ± 1) er 147855! - 1. Den består af 142891 cifre og blev fundet i 2002.

Det største primtal (et tal på formen n# ± 1) er 1098133# + 1.

Tal er forskellige: naturlige, rationelle, rationelle, heltal og brøker, positive og negative, komplekse og primtal, ulige og lige, reelle osv. Fra denne artikel kan du finde ud af, hvad primtal er.

Hvilke tal kaldes "simple" på engelsk?

Meget ofte ved skolebørn ikke, hvordan man besvarer et af de enkleste spørgsmål i matematik ved første øjekast, om hvad et primtal er. De forveksler ofte primtal med naturlige tal (det vil sige de tal, som folk bruger, når de tæller objekter, mens de i nogle kilder begynder med nul, og i andre med et). Men det er to helt forskellige begreber. Primtal er naturlige tal, det vil sige heltal og positive tal, der er større end et, og som kun har 2 naturlige divisorer. Desuden er en af disse divisorer det givne tal, og den anden er en. For eksempel er tre et primtal, fordi det ikke kan divideres uden en rest med et andet tal end sig selv og en.

Sammensatte tal

Det modsatte af primtal er sammensatte tal. De er også naturlige, også større end én, men har ikke to, men stor mængde skillevægge. Altså f.eks. tallene 4, 6, 8, 9 osv. er naturlige, sammensatte, men ikke primtal. Som du kan se, er dette dybest set lige tal, Men ikke alle. Men "to" er et lige tal og det "første tal" i en række af primtal.

Efterfølgende

For at konstruere en række primtal er det nødvendigt at vælge fra alle naturlige tal under hensyntagen til deres definition, det vil sige, at du skal handle ved selvmodsigelse. Det er nødvendigt at undersøge hvert af de positive naturlige tal for at se, om det har mere end to divisorer. Lad os prøve at bygge en række (sekvens), der består af primtal. Listen starter med to, efterfulgt af tre, da den kun er delelig med sig selv og en. Overvej tallet fire. Har den andre divisorer end fire og en? Ja, det tal er 2. Så fire er ikke et primtal. Fem er også primtal (det er ikke deleligt med noget andet tal, undtagen 1 og 5), men seks er deleligt. Og generelt, hvis du følger alle de lige tal, vil du bemærke, at bortset fra "to", er ingen af dem prime. Ud fra dette konkluderer vi, at lige tal, undtagen to, ikke er primtal. En anden opdagelse: alle tal, der er delelige med tre, undtagen de tre selv, uanset om de er lige eller ulige, er heller ikke primtal (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 osv.). Det samme gælder for tal, der er delelige med fem og syv. Hele deres mangfoldighed er heller ikke enkel. Lad os opsummere. Så simple enkeltcifrede tal inkluderer alle ulige tal undtagen et og ni, og lige "to" er lige tal. Tierne i sig selv (10, 20,... 40 osv.) er ikke simple. Tocifrede, trecifrede osv. primtal kan bestemmes ud fra ovenstående principper: hvis de ikke har andre divisorer end dem selv og en.

Teorier om primtals egenskaber

Der er en videnskab, der studerer egenskaberne af heltal, herunder primtal. Dette er en gren af matematik kaldet højere. Udover heltals egenskaber beskæftiger hun sig også med algebraiske og transcendentale tal, samt funktioner af forskellig oprindelse relateret til aritmetikken af disse tal. I disse undersøgelser anvendes der udover elementære og algebraiske metoder også analytiske og geometriske. Konkret beskæftiger "Talteori" sig med studiet af primtal.

Primtal er "byggestenene" af naturlige tal

I aritmetik er der en sætning kaldet grundsætningen. Ifølge den kan ethvert naturligt tal, undtagen ét, repræsenteres som et produkt, hvis faktorer er primtal, og rækkefølgen af faktorerne er unik, hvilket betyder, at fremstillingsmetoden også er unik. Det kaldes at faktorisere et naturligt tal i primfaktorer. Der er et andet navn for denne proces - faktorisering af tal. Ud fra dette kan primtal kaldes " byggemateriale”, “blokke” til at konstruere naturlige tal.

Søg efter primtal. Enkelthedstest

Mange videnskabsmænd fra forskellige tider forsøgte at finde nogle principper (systemer) til at finde en liste over primtal. Videnskaben kender systemer kaldet Atkin-sien, Sundartham-sien og Eratosthenes-sien. De giver dog ingen signifikante resultater, og en simpel test bruges til at finde primtallene. Matematikere skabte også algoritmer. De kaldes normalt primalitetstest. For eksempel er der en test udviklet af Rabin og Miller. Det bruges af kryptografer. Der er også Kayal-Agrawal-Sasquena-testen. På trods af tilstrækkelig nøjagtighed er det dog meget vanskeligt at beregne, hvilket reducerer dens praktiske betydning.

Har sættet af primtal en grænse?

Den antikke græske videnskabsmand Euclid skrev i sin bog "Elementer", at sættet af primtal er uendeligt. Han sagde dette: "Lad os et øjeblik forestille os, at primtal har en grænse. Lad os derefter gange dem med hinanden og tilføje én til produktet. Tallet opnået som et resultat af disse simple handlinger kan ikke divideres med nogen af rækken af primtal, fordi resten altid vil være ét. Det betyder, at der er et andet tal, som endnu ikke er med på listen over primtal. Derfor er vores antagelse ikke sand, og dette sæt kan ikke have en grænse. Udover Euklids bevis er der en mere moderne formel givet af den schweiziske matematiker Leonhard Euler fra det attende århundrede. Ifølge den vokser den gensidige sum af summen af de første n tal ubegrænset, efterhånden som tallet n stiger. Og her er formlen for sætningen vedrørende fordelingen af primtal: (n) vokser som n/ln (n).

Hvad er det største primtal?

Den samme Leonard Euler var i stand til at finde det største primtal i sin tid. Dette er 2 31 - 1 = 2147483647. Men i 2013 blev en anden mest nøjagtig største på listen over primtal beregnet - 2 57885161 - 1. Det kaldes Mersenne-tallet. Den indeholder omkring 17 millioner decimaler. Som du kan se, er antallet fundet af en videnskabsmand fra det attende århundrede flere gange mindre end dette. Dette var som det skulle være, for Euler foretog denne beregning manuelt, mens vores samtid nok blev hjulpet af en computer. Desuden er dette nummer opnået på det matematiske fakultet på et af de amerikanske fakulteter. Tal opkaldt efter denne videnskabsmand består Luc-Lemaire-primalitetstesten. Videnskaben ønsker dog ikke at stoppe der. Electronic Frontier Foundation, som blev grundlagt i 1990 i USA (EFF), har tilbudt en pengebelønning for at finde store primtal. Og hvis prisen indtil 2013 blev tildelt de videnskabsmænd, der ville finde dem blandt 1 og 10 mio. decimaltal, så i dag er dette tal nået fra 100 mio. til 1 mia. Præmierne spænder fra 150 til 250 tusind amerikanske dollars.

Navne på særlige primtal

De tal, der blev fundet takket være algoritmer skabt af visse videnskabsmænd og bestod enkelhedstesten, kaldes specielle. Her er nogle af dem:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Enkelheden af disse tal, opkaldt efter ovennævnte videnskabsmænd, fastslås ved hjælp af følgende tests:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge og andre.

Moderne videnskab stopper ikke der, og sandsynligvis vil verden i den nærmeste fremtid lære navnene på dem, der var i stand til at modtage prisen på $250.000 ved at finde det største primtal.